1. Existen algunas tcnicas que nos permiten ResolverIntegrales que no podran integrarse ni con frmula directa ni realizando operaciones. Estas TCNICAS se llamanARTIFICIOS DE INTEGRACININTEGRACIN POR PARTESSon tresMTODO DEL TRIANGULOprincipalmente y susnombres son: FRACCIONES PARCIALES1

2. El Artificio que vamos a explicar en este pequeo tutorialse llama:INTEGRACIN POR EL MTODO DEL TRINGULOO SUSTITUCIN TRIGONOMTRICAEste artificio de integracin consiste en cambiar una integralcompleja en una nueva integral.La Integral Original est en trminos de la variable X y la Nueva Integral estar en trminos de la variable ZdxX2 4 + X2.Pasos delmtodoTrigonomtrico . Sec(z) dz 4 Tg2 (z).Integral OriginalNueva Integral2 3. Si a la INTEGRAL ORIGINAL leaplicamos los PASOS DEL MTODO DEL TRIANGULO tendramos como resultado POR EJEMPLO supongamos que staes la Integral Original. Una NUEVA INTEGRAL enLa variable que aqu se trminos de la variable Zpuede observar es laesta integral es ms fcil deXresolver que la ORIGINAL dx X2 4 + X2 .Pasos del mtodo Trigonomtrico. Sec(z) dz4 Tg2 (z) . Integral OriginalNueva Integral 3 4. Sustitucin Trigonomtrica o Mtododel tringuloLa nica condicin necesaria paracambiar una Integral algebraica yconvertirla en Integral Trigonomtrica usando este Esta raz puedeestar en elartificio de integracin, es que en laDenominador o integral original se encuentre una raz en el Numerador cuadrada con dos trminos al de la Integralcuadrado, sumndose o restndose, enOriginalsu interior .a2 b2 x2a2 + b2 x2 b2 x2 a2 ejemploejemploejemplo4 9 x2 5 + x2 6 x2 94 5. Sustitucin Trigonomtrica o Mtodo del tringuloPor ejemploSupongamos que la IntegralOriginal es:Lo primero que tenemos que hacer es dx X2 4 + X2 .identificar una raz con dos trminos alcuadrado en su interior Aqu est la raz 4 + X2 La separamos de la Integral y sacamos la raz cuadrada de2 X cada uno de sus trminos 5 6. Sustitucin Trigonomtrica o Mtododel tringuloAhora tenemos tres trminosIntegral Original1. La raz 4 + X22. La X X dxX2 4 + X2.3. La raz de la constante 2Para lograr la transformacin dealgebraico a trigonomtrico seemplea un TRINGULO 4 + X2RECTNGULO que se forma con laXRAZ de la INTEGRAL ORIGINALcolocando sus trminos en los zlados del TRINGULO de la2siguiente manera6 7. Sustitucin Trigonomtrica o Mtodo del tringuloVamos a ver algo de teora con respecto a cmo se formael tringulo. El acomodo de los tres datos de la raz cambiade acuerdo a que si sta es positiva o negativa, veamos lateora.z 7 8. Sustitucin Trigonomtrica o Mtododel tringuloSi la raz de la INTEGRALORIGINAL es positiva, laraz se coloca en la Sec (z) = hip/ady a2 + x2 = a Sec (z)hipotenusa del tringulorectngulo, la constante Tg (z) = op / ady x = a Tg (z)se pone siempre en eladyacente Sen (z) = op/hipx = a Sen(z)Si la raz es negativa, elprimer trmino dentroCos (z) = ady/hipa2 x2 = a Cos(z)de la raz es lahipotenusa.Si la constante no es la Sec (z) = hip/ady zx = a Sec (z)hipotenusa, seacostumbra ponerla Tg (z) = op / ady a2 x2 = a Tg (z)siempre en el adyacente,y la variable en elopuesto 8 9. Sustitucin Trigonomtrica o Mtodo del tringuloSec (z) = hip/ady a2 + x2 = a Sec (z)Estas Tg (z) = op / ady x = a Tg (z)funciones nosvan a ayudara transformarSen (z) = op/hipx = a Sen(z)la integraloriginal porCos (z) = ady/hipa2 x2 = a Cos(z)una nuevaintegral entrminos de ZSec (z) = hip/adyx = a Sec (z)Tg (z) = op / ady a2 x2 = a Tg (z) 9 10. Sustitucin Trigonomtrica o Mtodo del tringuloPasos para usar el Mtodo del Tringulo1. Identificar una raz cuadrada con dos trminos al cuadrado en su interior.2. Seleccionar el tringulo adecuado para la raz cuadrada identificada.3. Sacar de cada tringulo DOS funciones trigonomtricas; de una funcin trigonomtrica despejar raz, de otra despejar la X y derivar la X para obtener dx4. Remplazar cada elemento de la integral original por su equivalente en trminos trigonomtricos5. Resolver la nueva integral empleando frmulas directas o bien identidades y principios trigonomtricos6. Remplazar el resultado final por trminos de X empleando el triangulo seleccionado anteriormente.Paso 1Paso 2Paso 3 dx X2 4 + X2 .X 4 + X2Sec (z) = hip/adyTg (z) = op / ady4 + x2 = 2 Sec (z)x = 2 Tg (z)dx = 2 Sec2(z) dz2 10 11. Sustitucin Trigonomtrica o Mtododel trianguloPasos para usar el Mtodo del Tringulo 4. Remplazar cada elemento de la integral originalpor su equivalente en trminos trigonomtricos Esta es la dxPasos del Mtodo delTringulodxX2 4 + X2. 4 + x2 = 2 Sec (z) x = 2 Tg (z) 2Sec2(z) dz . (2Tg(z))2 2Sec(z) dx = 2 Sec2(z) dzIntegral Original Esta es Esta es laEn los pasos anteriores 1,2 y 3 se obtuvieron la X2RAIZestas igualaciones. Con ellas vamos aremplazar cada trmino de la integraloriginal (x, raz y dx) por funcionesNueva Integraltrigonomtricas 11 12. Sustitucin Trigonomtrica o Mtododel trianguloPasos para usar el Mtodo del Tringulo Slo haremos ejercicios con este mtodo hasta el paso 4 que consiste en transformar una integral algebraica en trigonomtrica empleando un tringulo rectngulo. Los pasos 5 y 6 son para resolver la integral pero esos se vern en otra ocasin 12 13. Ejemplo 1Primer Paso:Identificar una raz cuadrada con dostrminos al cuadrado en su interior. Paso 1x = 2 Tg Z4 + x2 = 2 Sec Zdx = 2 Sec2Z dz Paso 2 La x siempre se derivaPaso 3Tercer Paso:Segundo Paso:Sacar de cada tringulo DOS Seleccionar el tringulo adecuado funciones trigonomtricas; de una para la raz cuadrada identificada. funcin trigonomtrica despejar En este caso la raz es positiva por lo raz, de otra despejar la X y que debe de colocarse en la derivar la X para obtener dx hipotenusa del tringulo13 14. Ejemplo 1 Cuarto Paso: Ahora con estos tres elementos ( x, dx y ) se hace la transformacin de la integral cambiando todas las x por su equivalente trigonomtrico. La raz tambin se cambia e igualmente la dx se quita y se coloca lo que vale segn la derivadaPaso 4 Pasos del Mtodo del Tringulo dx X2 4 + X2 .4 + x2 = 2 Sec (z)x = 2 Tg (z) 2Sec2(z) dz . (2Tg(z))2 2Sec(z)dx = 2 Sec2(z) dz Integral Original Nueva Integral14 15. Por hoy ha sido todo.Ahora a practicar, este tema lo podrs repasar en tu manual, se llama: ARTIFICIO DE INTEGRACIN POR EL MTODO DEL TRINGULO O SUSTITUCIN TRIGONOMTRICA GRACIAS