U1. Probabilidad

ESTADISTICA. FCE. UBA

Prof. LAURA POLOLA

1

Registro y estudio

Fenmeno Econmico

Causas reconocidas

Causas desconocidas: factores aleatorios

Experiencia

UNIDAD 1. PROBABILIDAD

Concepto de aleatoriedad

Cuando se trabaja sobre fenmenos econmicos como objeto de estudio, como ser la

demanda de cierto producto, la inflacin, la balanza comercial, la evolucin de precios,

vale decir que sus posibles causas o factores que influyen en su comportamiento son

puntos de inters relevantes para su explicacin y comprensin efectiva.

Entre las causas desconocidas o no registrables se consideran las llamadas

componentes aleatorias o no predecibles del fenmeno. Cunto ms alta sea la

presencia de stas ms lejos se estar de lograr una explicacin del fenmeno. De ah

la necesidad de estudiar desde todas las dimensiones posibles estas situaciones con el

fin de determinar patrones o modelo de comportamiento que dejen lo ms acotado

posible el margen para los factores aleatorios que inciden en el fenmeno.

A fin de disponernos al estudio de situaciones que se desarrollan en escenarios

aleatorios o no determinsticos, tambin llamados escenarios de incertidumbre a

continuacin mencionamos algunos conceptos y definiciones importantes.

Concepto Definicin Ejemplos

Experimento o

fenmeno aleatorio

Hecho o situacin del que

no es posible predecir su

resultado.

Se lanza un dado y se observa la

cara superior.

Explicacin del fenmeno:

Patrn de

comportamiento


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Espacio muestral

asociado a un

experimento aleatorio

(E; )

Conjunto de todos los

resultados u observaciones

posibles del experimento

aleatorio asociado.

Al lanzar el dado resulta

= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Evento

suceso aleatorio

(A,B )

Hecho cuya ocurrencia

depende del resultado de

un fenmeno aleatorio.

Se llama as tambin a todo

subconjunto del espacio

muestral.

Se lanza un dado y sale un dos.

A = sale par= {2,4,6};

B = sale mayor que 4 = {5,6}

C = sale as = {1}

Ocurrencia de un suceso Un suceso ocurre cuando al

realizar un experimento

aleatorio se obtiene un

resultado que pertenece a

dicho suceso.

Si sale un 2 ocurre A pero no B ni

C.

Si sale un 6 ocurren A y B pero no

C.

Si sale un 3 no ocurre ni A ni B ni

C

Sucesos especiales

Suceso cierto

Suceso imposible

Suceso elemental {x}

Se caracterizan porque:

siempre ocurre

nunca ocurre

{x} tiene un nico

elemento

Al lanzar un dado:

Sale un valor de 1 a 6 inclusive

Sale 9

Sale un 3

Los sucesos especiales se definen de esa manera ya que como todo conjunto es

subconjunto de s mismo, el espacio muestral es un suceso y tiene la particularidad

de que siempre ocurre, ya que cualquiera sea el resultado obtenido en el experimento,

pertenece a .

El conjunto vaco o sin elementos tiene la propiedad de estar contenido en todo

conjunto (A A conjunto) ya que para demostrar que esto no es cierto, debera

poder encontrarse un elemento en el conjunto vaco que no pertenezca al conjunto A

dado y esto no es posible. De esta forma, tambin es un suceso y al no tener

elementos nunca podr ocurrir.

Por ltimo, los sucesos elementales son aquellos que tienen un nico elemento. stos

tienen la propiedad de ser disjuntos dos a dos (nunca comparten elementos) y la unin

de todos ellos cubre todo el espacio muestral.

A partir de esto pueden definirse los sucesos simples como aquellos que dependen de

un nico resultado de un fenmeno aleatorio, y sucesos complejos o compuestos a los

que surgen de la combinacin de dos o ms sucesos simples.

Para obtener sucesos compuestos pueden realizarse, entre dos o ms sucesos, las

operaciones bsicas definidas entre conjuntos, dado que las dems combinaciones

que pueden considerarse, pueden expresarse en funcin de stas.


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Operaciones entre sucesos

Operacin Definicin Observaciones

Unin Suma de sucesos:

AUB = { x : x A x B}

La unin entre dos sucesos

A y B ocurre cuando ocurre

A ocurre B o ambos,

salvo se especifique que se

trata de una unin disjunta

o excluyente.

En general, para que ocurra

una unin basta que ocurra al

menos uno de los sucesos

que participan de ella.

Interseccin Producto de

sucesos:

AB = { x : x A y x B}

La interseccin entre dos

sucesos A y B ocurre

cuando ocurren A y B

simultneamente.

En general, para que ocurra

una interseccin deben

ocurrir ambos al mismo

tiempo.

Complemento Negacin de

un suceso:

= { x : x A }

El complemento de un

suceso A ocurre cuando no

ocurre A.

Como todo elemento de

pertenece a un suceso A a

su complemento, vale que

=AU y tambin que

A=

Diferencia entre sucesos:

A-B = { x : x A y x B }

La diferencia entre dos

sucesos A y B ocurre

cuando ocurre A pero no

ocurre B.

Puede identificarse al suceso

diferencia A-B como la

interseccin del suceso A con

el complemento de B, es

decir A-B = AB .

Concepto de Probabilidad

Puede decirse que el concepto de probabilidad goza de bastante popularidad dado que

se difunden masivamente datos de diferentes reas que involucran cifras que expresan

probabilidades.

En escenarios de incertidumbre es donde esta nocin cobra un rol destacado ya que

aunque no es posible predecir con certeza la ocurrencia de hechos aleatorios, puede

llegarse a cuantificar la posibilidad de ocurrencia de sucesos de estas caractersticas.

Existe una nocin intuitiva o cultural que permite obtener probabilidades

identificndolas con proporciones aunque para que esto sea correcto deben cumplirse

algunas condiciones.

A

A-B B


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Se dice que un espacio muestral es equiprobable si todos los resultados del fenmeno

asociado tienen la misma posibilidad de ocurrir.

Definicin clsica de probabilidad de Laplace: Dado un espacio muestral finito y

equiprobable, para un suceso A se define la probabilidad de A como:

Nde elementos de AP(A)=

Nde elementos de

Los espacios muestrales que gozan de esta propiedad por excelencia son los

correspondientes a los juegos de azar (legales) donde el sistema por el que se generan

los resultados garantiza la equiprobabilidad.

Ejemplo: Siguiendo con el lanzamiento del dado y los sucesos ya mencionados:

A = sale par= { 2, 4, 6}; B = sale mayor que 4 = {5, 6} C = sale as = {1} Resultan sus probabilidades, aplicando la definicin clsica:

P(A)= 3/6 = 0,5 P(B)= 2/6 = 0,33 P(C)= 1/6 = 0,167

Dada la limitacin de esta definicin a espacios muestrales finitos y equiprobables, es

necesario definir la probabilidad para todo hecho aleatorio cualesquiera sean las

circunstancias en que ste se produzca.

Definicin frecuencista de probabilidad: Dado un fenmeno que puede observarse en

repetidas ocasiones en igualdad de condiciones, para un suceso A asociado a uno o

mas resultados del fenmeno se define la probabilidad de dicho suceso como:

Nde veces que ocurre AP(A) =

n

donde n representa la cantidad de observaciones o repeticiones realizadas. El nmero

de veces que ocurre el suceso A se denomina frecuencia absoluta de A y el cociente

indicado se define como frecuencia relativa del suceso A.

Este resultado tiene una esencia emprica y slo es aplicable a la situacin particular

que da origen al clculo (fenmeno y suceso a estudiar definidos en el momento). Ms

all de esto, los empiristas asentaron una interpretacin formal ms general de la

probabilidad en este clculo definiendo:

a

n n

f (A)P(A)= lim lim f (A)

nr

donde fa(A) y fr(A) representan las frecuencias absoluta y relativa del suceso A

respectivamente.


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Definicin subjetiva de probabilidad: Esta regla se aplica habitualmente en funcin de

la experiencia o percepcin de algn hecho aleatorio de quien conoce o posee algn

grado de creencia. Es comn que este tipo de asignacin de probabilidad se utilice

respondiendo al conocimiento de las circunstancias del hecho sin seguir ninguna ley o

regla cientfica que la avale, por ejemplo, la probabilidad asociada al deporte (sobre

quin ganar un partido de tenis por ejemplo) o, en general, a confrontaciones diversas

(electorales por ejemplo).

Dado que, segn las condiciones en que se estudia un fenmeno o sus caractersticas

propias, es posible trabajar con diferentes definiciones e interpretaciones de

probabilidad, es preciso establecer pautas que integren todas las concepciones sin

caer en contradicciones, formalizando el concepto y sus propiedades.

La teora matemtica de probabilidades se sustenta en un conjunto mnimo de axiomas

(leyes primarias y fundantes de la teora) que permiten demostrar teoremas y

propiedades que conforman las herramientas de validacin de afirmaciones y

relaciones entre los conceptos involucrados.

Definicin axiomtica de probabilidad: Dados un experimento aleatorio y un espacio

muestral asociado , una funcin P que se aplica sobre los sucesos de se denomina

probabilidad si verifica:

Ax. I) P(A) 0 A

Ax. II) P()=1 Ax. III) P(AUB)=P(A)+P(B) si AB =

Obs.: El axioma III, llamado de aditividad es vlido nicamente si AB = , (en este

caso A y B se dice que son mutuamente excluyentes o incompatibles). En los

corolarios y teoremas siguientes se establecen propiedades que se demuestran a partir

de los axiomas.

Corolario 1: P(A)= 1 - P(A)

Dem: Como A A= y A A= por el Ax. III puede decirse que

P(A A)=P(A)+P(A)=P( ) y adems por el Ax. II es P() = 1 entonces P(A)+P(A)=1

de lo que se deduce que P(A)=1- P(A) .

Corolario 2: P() = 0

Dem: Se prueba inmediatamente a partir del Corolario 1 y del Ax. II ya que = .

Propiedad: Si A B entonces P(A) P(B)

Dem: Como A y B verifican que A B vale que B = (B-A)UA y adems(B-A)A=

entonces por el Ax. III vale que P(B) = P(B-A)+P(A).

B

B -A A


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AUB

Dado que por el Ax. I es P(B-A) 0 entonces P(B) = P(B-A)+P(A) 0 + P(A) = P(A) que

es lo que se quera probar.

Observacin importante: La inclusin es una relacin que se define entre conjuntos en

general, que cumple con todas las propiedades de una relacin de orden. De esta

manera pueden considerarse conjuntos mas grandes ms chicos que otros.

Ntese que la probabilidad de conjuntos ms chicos es un nmero menor que la de

los conjuntos ms grandes. La importancia de la transferencia de la relacin de orden

a las probabilidades es que permite interpretarla como una medida de los conjuntos.

La probabilidad formalmente es un concepto que se desarrolla dentro de la teora de la

medida, rea muy fecunda de la matemtica pura.

Coralario 1 de la propiedad: 0 P(A) 1 A

Coralario 2 de la propiedad: Si A B entonces P(B-A) =P(B)-P(A)

Dem: Como vimos en la propiedad, P(B)=P(B-A)+P(A) de lo que se deduce

inmediatamente lo que se quiere probar.

Teorema de la suma o de probabilidad total: P(AUB) = P(A)+P(B)-P(AB)

Dem: Dado que es posible expresar al suceso

A B A B A

por se tratarse de una unin de sucesos mutuamente

excluyentes, aplicando el Ax. III resulta

P(AUB) =P (A)+P(B-A) y adems

por ser (AB)A y tambin ABB es aplicable el Corolario 2 y remplazando

convenientemente resulta

P(AUB) =P (A)+P(B)-P(AB)

y se obtiene la identidad que se deseaba probar.

Probabilidad Condicional: Dados dos sucesos A, B E, se define la probabilidad de

que ocurra A dado que ya ocurri B como:

( )( )

P A BAPB P B

(siempre que P(B) 0)

Obs.: La probabilidad condicional puede interpretarse como la proporcin de veces que

ocurrir el suceso A de todas las veces que ocurre B.

Para pensar:

cunto valen P(A/B) y P(B/A) si AB = ?

B-A A


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cunto vale P(B/A) si AB?

Puede darse el caso que para dos sucesos A, B E, la ocurrencia de uno de ellos no

altere la probabilidad de que ocurra el otro, en este caso sera P(A/B) = P(A) por

ejemplo, o tambin a la inversa P(B/A) = P(B). En este caso se trata de una relacin

particular entre sucesos, la independencia estocstica.

Independencia de sucesos: Se dice que dos sucesos A y B son independientes si sus

probabilidades no se alteran cuando se sabe o supone que uno de ellos ya ha ocurrido.

Es decir: P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B). En este caso no tiene sentido considerar la

probabilidad condicional entre ellos.

Probabilidad compuesta o conjunta: A partir de la definicin de probabilidad condicional

se deduce la probabilidad del producto de dos sucesos cualesquiera, conocida como

probabilidad compuesta o conjunta:

P(AB) = P(A/B).P(B) P(AB) = P(B/A).P(A)

o sea que se deduce que tambin se verifica: P(A/B).P(B)= P(B/A).P(A)

Esta frmula, se modifica cuando se trata de sucesos independientes obtenindose la

siguiente igualdad:

P(AB) = P(A).P(B)

Obs.: Es comn que este clculo se utilice para verificar la independencia de dos

sucesos (como prueba).

Ejemplos de todos los resultados tericos vistos

En el lanzamiento de un dado se verifica que:

P(salga par) = 1- P(salga impar) ya que ambos sucesos tiene probabilidad igual a

0,5.

P(salga mltiplo de 8) = 0 ya que no hay resultados mltiplos de 8, por lo tanto es

imposible que eso ocurra.

P(salga un mltiplo de 6) = P(6) = 1/6 dado que slo el 6 es resultado favorable y

este suceso {6} est incluido en el suceso sale par, donde P(salga par) = P(2; 4; 6)

= 0,5 que es un valor mayor que 1/6

Con los mismos sucesos del ejemplo anterior haciendo {2; 4; 6} {6} = {2; 4} las

probablidades P( {2; 4; 6} ) P( {6} ) =1/2 -1/6 = 1/3 = P( {2; 4} ) verifican la

propiedad de la diferencia.

Dados los sucesos A = sale par y B = sale mayor que 3 haciendo AUB = {2; 4; 5;


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6} resulta P(AUB) = 2/3 y P(A) + P(B) P(AB) = + -P({4; 6}) = 1- 1/3 = 2/3

verificndose el teorema de la suma.

Para los mismos sucesos del caso anterior, P(A/B) = P(AB)/P(B) =(1/3)/(1/2) = 2/3

y P(B/A) = P(AB)/P(A) = (1/3)/(1/2) = 2/3. En ambos casos la probabilidad

condicional no coincide con la del suceso sin condicionar, por lo tanto A y B no son

independientes.

Dados los sucesos A = sale mayor que 4 y B = Sale impar se tiene que

P(A) = 1/3 y P(B) = 1/2 y al calcular

P(A/B) = P(AB)/P(B) = P({5})/(1/2) = (1/6)/(1/2) = 1/3 y

P(B/A) = P(AB)/P(A) = P({5})/(1/3) = (1/6)/(1/3) = 1/2

En este caso P(A/B) = P(A) y P(B/A) = P(B), por lo tanto A y B resultan ser sucesos

independientes

Importante: Sucesos mutuamente excluyentes Sucesos independientes

Si dos sucesos son mutuamente excluyentes entonces P(AB)=0 por lo tanto si P(A)>0

y P(B)>0 (o sea que no son imposibles) entonces:

P(A/B)=P(B/A)=0 asi que P(A/B)P(A) y P(B/A)P(B)

es decir que A y B no son independientes. Por lo tanto hemos probado que:

Si dos sucesos son mutuamente excluyentes entonces son dependientes.

Vale decir tambin que no todo par de sucesos dependientes son mutuamente

excluyentes, por ejemplo si P(A)=1/2, P(B)=1/4 y P(AB)=1/6 se verifica que A y B son

dependientes ya que P(A).P(B)P(AB) y no son mutuamente excluyentes.

Por lo tanto puede decirse que los sucesos mutuamente excluyentes son un caso

particular de los sucesos dependientes, pero no son todos ya que hay sucesos

dependientes con interseccin no vaca.

Cubrimiento o particin de un conjunto: Dado un espacio muestral E asociado a un

experimento aleatorio, se dice que una familia de sucesos {A1 ; A2 ; ; Ak} es un

particin finita de E si se verifica que:

E

Mutuamente excluyentes

Dependientes

Independientes


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a) Ai Ai 1 i k

b) = 1 y

c) Ai Aj = i j

Obs: Dado que E = 1 y Ai Aj =

i j

resulta 1 = 1. (Por el Ax. III de la definicin axiomtica de probabilidad)

Esta nocin se refiere a un cubrimiento exhaustivo del espacio, es decir que cada

elemento del espacio pertenece a algn conjunto de la particin y slo a uno de ellos.

De esta manera, para todo suceso B , ste tambin puede partirse mediante la

particin que se tenga de , en subconjuntos mutuamente excluyentes de la forma

(B Ai) tales que:

B = ( )1 y

(B Ai) (B Aj) = si i j

A partir de estas propiedades aplicadas al espacio muestral y los sucesos incluidos en

l es posible demostrar el siguiente teorema.

Ley de la Probabilidad Total: Dado un espacio muestral asociado a un experimento

aleatorio, B un suceso cualquiera y {A1 ; A2 ; ; Ak} una particin finita de , se

verifica que:

P(B) = )k

1P(A P(B/A )i i

Dem: Como B se verifica que B = B y adems entonces

B = B 1

i

i k

A

Por la propiedad distributiva de la interseccin respecto de la unin se obtiene que

B = ii k

B A

1

( )

Donde (B Ai) (B Aj) = por estar cada uno contenido en un conjunto de la

particin, es decir (B Ai) Ai y (B Aj) Aj resultando mutuamente excluyentes.

Entonces puede obtenerse P(B) aplicando el Ax. III de la definicin axiomtica de

probabilidad haciendo:

P(B) = iP B Ak

1( ) = )

k

1P(A P(B/A )i i

A1 A2

A3

Ak

Ai

B

1

i

i k

A


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Como por definicin de probabilidad conjunta se verifica que P(B Ai) = P(Ai).P(B/Ai)

se arriba finalmente al resultado del teorema:

P(B) = )k

1P(A P(B/A )i i

Conclusin: Es posible obtener la probabilidad total de un suceso a partir de sus

probabilidades condicionales respecto a una serie de conjuntos de una particin del

espacio muestral siempre y cuando se sepan las probabilidades marginales de los

elementos de la particin que intersecan al suceso estudiado.

Ejemplo: Se sabe que la probabilidad de aprobar lgebra I siendo recursante es de

0,62 mientras que los alumnos que la cursan por primera vez tienen una probabilidad

de 0,35 de aprobarla. Si en un curso hay un 25% de recursantes, cul es la

probabilidad de que al elegir un alumno al azar, una vez finalizada la cursada, ste

haya aprobado?

Datos:

Experimento aleatorio: se elige al azar un alumno del curso de lgebra I

Denominando R al suceso el alumno es recursante, R el suceso complementario de

R, o sea el alumno no es recursante y A al suceso el alumno aprueba se tiene:

P(R) = 0,25 entonces P(R) = 0,75 por ser sucesos complementarios.

P(A/R) = 0,62 y P(A/R) = 0,35

Se quiere calcular P(A) sabiendo que hay dos nicas posibilidades (exhaustivas) ya

que cualquier alumno puede ser recursante o no, con probabilidad conocida y se saben

las probabilidades del suceso el alumno aprueba segn a que categora pertenezca -

ser recursante o no- entonces puede aplicarse la ley de la probabilidad total:

P(A) = P(R). P(A/R) + P(R).P(A/R)

P(A) = 0,25 . 0,62 + 0,75 . 0,35

P(A) = 0,4175

Rta.: La probabilidad de que un alumno elegido al azar apruebe lgebra I es 0,4175.

Teorema de Bayes o de las causas

Dadas las mismas condiciones en que se aplica la Ley de Probabilidad Total, es posible

obtener la probabilidad condicional de cualquier suceso A i perteneciente a la particin,

al que se lo identifica como causa, sabiendo de la ocurrencia del suceso B,

reconocido como efecto.


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Moneda

Cara=U1 Roja

Blanca

Ceca=U2 Roja

Blanca

Dado un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, B un suceso

cualquiera y {A1 ; A2 ; ; Ak} una particin finita de , se verifica que:

)

)

ik

1

P(A P(B/A )AP i, 1 i k

B P(A P(B/A )

i i

i i

Dem: Como iiP(A B)A

PB P(B)

por definicin de probabilidad condicional, y al poder

expresar la probabilidad conjunta como i ii

BP A B P P(A )A

resulta

)i

P(A P(B/A )AP

B P(B)i i

donde el denominador, que es el suceso efecto puede

descomponerse mediante la Ley de Probabilidad Total, obtenindose as:

)

)

ik

1

P(A P(B/A )AP i, 1 i k

B P(A P(B/A )

i i

i i

que para todo valor de i tal que 1 i k coincide con el resultado del Teorema de Bayes

o de las causa.

Ejemplo integrador: Se tienen dos urnas, una con dos bolillas rojas y una blanca y otra

con dos bolillas rojas y dos blancas. Se lanza moneda cargada y si sale cara se saca

una bolilla al azar de la primera urna, sino se saca una de la segunda urna. Se sabe

que la probabilidad de obtener cara al lanzar la moneda es 1/3.

a) Calcular la probabilidad de que la bolilla extrada sea roja.

Dado que el experimento consta de dos etapas y que la segunda depende del

resultado de la primera, es til ordenar la informacin mediante un diagrama de rbol.

Se puede obtener una bolilla roja tanto de

una urna como de la otra, aunque las

probabilidades P(R/U1) y P(R/U2) no sean

iguales. stas pueden ubicarse en el rbol

segn de que urna se haya tomado al bolilla.

En el rbol se acomodan las probabilidades

individuales o marginales y las

condicionales.

B

Ai

U1 U2

cara ceca


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Moneda

Cara=U1

1/3

Roja

2/3

Blanca

1/3

Ceca=U2

2/3

Roja

1/2

Blanca

1/2

Para calcular las probabilidades

condicionales, se utiliza la definicin clsica

ya que las bolillas se seleccionan al azar

con equiprobabilidad.

De esta forma P(R/U1) = 2/3 y P(R/U2)

=2/4=1/2.

A partir de estos datos es posible calcular P(U1R) = P(U1). P(R/U1)=1/3.2/3=2/9

y tambin P(U2R) = P(U2). P(R/U2)=2/3.1/2=1/3.

En base a estos resultados ya puede obtenerse la probabilidad buscada P(R) ya que

por la Ley de Probabilidad Total:

P(R)= P(U1). P(R/U1) + P(U2). P(R/U2) = 2/9 + 1/3 = 5/9.

b) Calcular la probabilidad de que la bolilla extrada sea de la primera urna si era roja.

En este caso se trata de la probabilidad de un suceso causa saco de U1 dependiendo

del suceso efecto sale R, por lo tanto se aplica el Teorema de Bayes:

RP P(U1) 2/3 1/3U1U1P 2/5

R P(R) 5/9

donde el denominador no se calcula con la frmula desarrollada, ya que fue obtenido a

travs de la Ley de Probabilidad Total con anterioridad.

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