U2_potencias y raíces

8/13/2019 U2_potencias y races

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Programacin* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Sugerencias didcticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Actividades de refuerzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Actividades de ampliacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Propuesta de evaluacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

*Tambin la podrs encontrar en el CD Programacin.

6

4

5

3

2

1

G U A D I D C T I C A UNIDAD 2

Potencias y races

C O N T E N I D O

3ESO


2/152 Unidad 2 Potencias y races

El estudio de las potencias y de las races de nmeros reales es un paso imprescindible antes de abordar el estudio dellgebra. Al igual que ocurra en la unidad anterior, los alumnos ya han trabajado con estas operaciones; sin embargo,solo lo han hecho con las definiciones y propiedades ms elementales, siendo, en cualquier caso, mayor su conocimientode las potencias que el que poseen sobre las races.

El repaso de las propiedades de las potencias, junto con la extensin de esta operacin a cualquier exponente racional,

es el primer objetivo de esta unidad. En particular, las potencias de exponente fraccionario y su inmediata identificacincon las races clsicas es, quiz, el concepto ms importante que deben adquirir nuestros alumnos. A partir de aqu, serms fcil que aprendan las propiedades de las operaciones con races y radicales, hacindoles ver que estas no son msque una expresin diferente de las ya conocidas propiedades de las potencias. El que adquieran soltura y buen manejoen la aplicacin de estas propiedades es fundamental para seguir avanzando en su educacin matemtica.

No resulta fcil convencer a muchos alumnos de la ventaja de utilizar los radicales como expresiones exactas de nmeros

reales, ya que su tendencia es utilizar las aproximaciones decimales dadas por la calculadora. Conseguir que no seasiempre 1,41 debe ser tambin uno de los objetivos importantes del tema. De alguna forma, se trata de iniciar el traba-jo con el lenguaje simblico que se tratar casi inmediatamente en las unidades dedicadas al lgebra.

Por ltimo, sealar la importancia de la utilizacin de la notacin cientfica que se incluye en el tema como una aplica-cin de las potencias a la expresin de cantidades extremas. Por otra parte, su utilidad en otras reas como Fsica, Qu-mica, Biologa o Tecnologa es obvia.

2

Potencias de exponente entero. Raz de un nmero. Clculo del nmero de races reales de un nmero real. Radicales equivalentes. Aplicacin de las propiedades de los radicales para el

clculo y la simplificacin. Potencias de exponente racional y races. Aplicacin de las propiedades de las potencias de expo-

nente entero y racional.

Notacin cientfica y orden de magnitud. Utilizacin de la calculadora para el clculo de races y de

potencias y para la utilizacin de la notacin cientfica. Disposicin y sensibilidad para valorar y reconocer la

necesidad de las potencias y las races. Inters por aquellos fenmenos o caractersticas que

requieren para su representacin de cantidades muy gran-des o muy pequeas, y de la notacin cientfica como una

herramienta til para utilizar dichas cantidades.

Unidad 2 Potencias y races

CONTENIDOS

rogramacin de aula

OBJETIVOSCRITERIOS

DE EVALUACINCOMPETENCIAS

BSICAS

1. Conocer la definicin de poten-cia de exponente entero yracional, as como sus propie-dades, y aplicarlas a la for-mulacin y resolucin deproblemas tanto del entornocotidiano como de otras cien-cias o materias.

1.1. Calcular y simplificar expresiones en lasque intervengan potencias de exponenteentero o racional, aplicando las propieda-des de las potencias y respetando las nor-mas de jerarqua de las operaciones.

Lingstica

Matemtica Interaccin con el mundo

fsico

Social y ciudadana

Cultural y artstica

Tratamiento de lainformacin y competenciadigital

1.2. Expresar cantidades muy grandes o muypequeas en notacin cientfica y realizar

clculos y resolver problemas con dichasexpresiones.

2. Conocer la definicin de radi-cal, as como sus propiedadesms importantes, relacionn-dolas con las correspondientesde las potencias a partir de losexponentes fraccionarios.

2.1. Conocer la equivalencia entre potencias deexponente racional y las races, utilizn-dola para realizar operaciones y simplifi-caciones.

2.2. Calcular y simplificar expresiones en lasque aparezcan radicales, aplicando las pro-piedades de las operaciones con ellos.

2.3. Aplicar los radicales a la resolucin de pro-

blemas del entorno cotidiano o de otrasciencias o materias.


3/153Potencias y races Unidad 2

Programacin de aula

ORIENTACIONES METODOLGICAS

1. Conocimientos previosTodo lo tratado desde primaria sobre potencias y races, especialmente las propiedades de las potencias de exponentenatural ya trabajadas en 1. y 2., incluyendo las potencias de exponentes 0 y 1.

Para trabajar la notacin cientfica es necesario recordar la expresin de un nmero en funcin de las potencias de 10y las reglas del sistema de numeracin decimal.

2. Previsin de dificultadesUn error clsico es extender las propiedades de las potencias a la suma y la diferencia, efectuando operaciones inco-rrectas del tipo (a + b)2 = a2 + b2.

Los alumnos suelen tener dificultades en asimilar cmo el nmero de races reales de un nmero depende del signo delradicando y de la paridad del ndice. Es importante insistir en este punto porque ser bsico ms adelante en los temasde factorizacin de polinomios y de resolucin de ecuaciones de 2. grado.

3. Vinculacin con otras reasAl igual que en el tema anterior, hay que sealar y recordar la importancia del clculo numrico en todos los campos dela ciencia, la tcnica y la sociedad en general.

La notacin cientfica ofrece una ocasin inmejorable para relacionar las matemticas con reas como la fsica, la qu-mica, la biologa o la tecnologa, a partir de problemas de contexto adecuados.

4. Esquema general de la unidadLa unidad comienza con un repaso de las potencias de expo-nente entero y sus propiedades.

Despus se introduce el concepto de raz ensima de un nme-ro real, definiendo la notacin clsica de los radicales para, pos-teriormente, dar la regla para calcular el nmero de racesreales de un nmero real y definir el concepto de radicalesequivalentes entre s y su aplicacin para la reduccin a ndi-ce comn.

Las propiedades de las operaciones con radicales se tratan enel epgrafe siguiente, en el que se proponen ejemplos de sim-

plificacin de radicales por extraccin de factores fuera delsigno radical y de suma de radicales semejantes.

La introduccin de las potencias de exponente racional en elepgrafe 5 y su relacin con las races permite justificar las pro-piedades de los radicales dadas en el epgrafe anterior a par-tir de las propiedades ya conocidas de las potencias.

La unidad termina con el estudio de la notacin cientfica,dando varios ejemplos de su aplicacin.

5. TemporalizacinSe propone el desarrollo de los contenidos de la unidad en siete sesiones:

1. Introduccin: desarrolla tus competencias. Potencias de exponente entero. Propiedades.

2. Raz de un nmero. Nmero de races. Radicales equivalentes y reduccin a ndice comn.

3. Propiedades de los radicales.

4. Potencias de exponente fraccionario.

6. Notacin cientfica. Actividades de repaso y consolidacin.

7. Trabajo en competencias mediante la doble pgina final de la unidad.

En todas las sesiones, la exposicin terica debera ir acompaada de la realizacin de ejemplos y de ejercicios de losque se proponen tanto en los epgrafes como en las pginas finales de actividades.

Por supuesto que el contexto de la clase es tambin un factor determinante en cuanto al nmero de sesiones necesa-rias para desarrollar la unidad.

POTENCIAS DE NMEROS REALES

PRO

PIEDADES

OPE

RACIONES

Potencias de exponente entero

Notacin cientfica

Potencias de exponente racional

Nmero de races

Radicales equivalentes

RACES DE NMEROS REALES


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CONTRIBUCIN DE LA UNIDAD A LA ADQUISICIN DE COMPETENCIAS BSICAS

Competencia lingsticaEsta competencia se trabaja a lo largo de toda la unidad, ya que la comprensin del texto es bsica para el aprovecha-miento de la misma. En particular, el texto de entrada, los problemas con enunciado contextualizado y las actividadescompetenciales finales desarrollan de forma ms especfica los descriptores recogidos en la subcompetencia de refle-xin sobre el lenguaje.

Competencia matemticaEsta competencia impregna todas las secciones y actividades del libro, por lo que prcticamente se trabajan todas lassubcompetencias y descriptores.

No obstante, al estar dedicada esta unidad a operaciones como potencias y races, es la subcompetencia uso de elementosy herramientas matemticos la que ms presencia tiene.

Competencia para la interaccin con el mundo fsicoHay a lo largo de la unidad varias referencias a la aplicacin de los contenidos matemticos expuestos a situaciones yproblemas de la vida real, especialmente en todo lo relacionado con la notacin cientfica.

Competencia social y ciudadanaA travs del tema de entrada a la unidad y de la actividad final asociada se trabaja la subcompetencia participacin cvi-ca, convivencia y resolucin de conflictos, a travs del ejemplo de cooperacin internacional que representa el progra-

ma Meteosat.

Competencia para el tratamiento de la informacin y competencia digitalLa unidad contiene variadas referencias a la utilizacin de medios tecnolgicos para la bsqueda de informacin y la reso-lucin de actividades interactivas. Se trabaja la subcompetencia de obtencin, transformacin y comunicacin de lainformacin.

Competencia para aprender a aprenderA partir de las actividades de evaluacin planteadas en las pginas finales de la unidad, particularmente en la seccinde Autoevaluacin, se puede indagar en la adquisicin de esta competencia, especialmente en lo concerniente a lassubcompetencias de conciencia y control de las propias capacidades y de conocimiento del propio proceso de aprendi-zaje.

Otras competencias de carcter transversal

Aprender a pensarEl proyecto educativo de SM considera importante reforzar el desarrollo de la capacidad de reflexin y el sentido crticodel alumno. La unidad presenta oportunidades en las que las actividades exigen al alumno este ejercicio reflexivo y cr-tico.

En las sugerencias didcticas de los epgrafes y de las actividades se proponen algunos temas de reflexin y debate enrelacin con las actividades sealadas.

ogramacin de aula



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Programacin de aula

Potencias y races Unidad 2

TRATAMIENTO ESPECFICO DE LAS COMPETENCIAS BSICAS EN LA UNIDADA lo largo de la unidad se pueden trabajar diversas competencias bsicas que prescribe el currculo. Para esta unidadsugerimos realizar un trabajo ms intensivo con algunas de ellas, para las que se han seleccionado descriptores com-petenciales especficos y actividades concretas de las propuestas en la unidad.

COMPETENCIA1.er nivel de concrecin

SUBCOMPETENCIA2. nivel de concrecin

DESCRIPTOR3.er nivel de concrecin

DESEMPEO4. nivel de concrecin

LingsticaReflexin sobre el

lenguaje.

Ser consciente de las convencionessociales, los valores y los aspectos

culturales del lenguaje

Conoce cmo la observacin de la realidad pasa al

lenguaje comn.

Pon a prueba tus competencias:Relaciona datos 4.

MatemticaUso de elementos y

herramientas

matemticos.

Conocer y utilizar los elementos

matemticos bsicos (distintos tipos de

nmeros, medidas, smbolos, elementos

geomtricos, etc.) en situaciones reales o

simuladas de la vida cotidiana.

Aplica la notacin cientfica y sus reglas a la

representacin de cantidades en situaciones reales.

Desarrolla tus competencias: I y II.

Actividades 47, 48 y 100 a 104.

Pon a prueba tus competencias.

Interaccin con elmundo fsico

Conocimiento y

valoracin del

desarrollo cientfico-

tecnolgico.

Conocer y valorar la aportacin del

desarrollo de la ciencia y la tecnologa a

la sociedad.

Conoce las leyes matemticas que rigen la

estructura del universo.

Actividad 103.

Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar 1-5.

Conocer los procesos cientfico-

tecnolgicos ms importantes que

permiten el desarrollo y el

mantenimiento de la vida y valorarlos.

Conoce las caractersticas de los seres vivos y sus

costumbres.

Desarrolla tus competencias: II.

Pon a prueba tus competencias:Relaciona datos, 3 y 5.

Reflexiona sobre la realidad biolgica del planeta,

la evolucin natural y el surgimiento y extincin de

especies.

Pon a prueba tus competencias:

Relaciona datos, 5 y 6.

Medio natural y

desarrollo sostenible.

Comprender la influencia de las

personas sobre el medio ambiente a

travs d e las diferentes actividades

humanas y valorar los paisajes resultantes.

Conoce las causas por las que hay especies en

peligro de extincin.

Desarrolla tus competencias: III.

Social y ciudadana

Participacin cvica,

convivencia y

resolucin de

conflictos.

Conocer y comprender los valores en los

que se asientan las sociedades

democrticas, sus fundamentos, sus

modos de organizacin y su

funcionamiento.

Entiende el programa Meteosat como muestra de

cooperacin internacional basada en el respeto y la

ayuda mutua.

Pon a prueba tus competencias:Aprende a pensar, 6.

Cultural y artstica Expresin artstica

Conocer y utilizar de forma bsica las

principales tcnicas, recursos y

convenciones de los diferentes lenguajes

artsticos.

Aprende cmo el cine de animacin contribuye a la

difusin del conocimiento


Relaciona datos, 6.

Tratamiento de lainformacin y

competencia digital

Obtencin,

transformacin y

comunicacin de la

informacin.

Buscar y seleccionar informacin con

distintas tcnicas segn la fuente o el

soporte, valorando su fiabilidad.

Busca en pginas de internet para obtener y

complementar la informacin.

Desarrolla tus competencias: III. En la red.


Aprende a pensar, 6.

Visita la pgina librosvivos.net para realizar

distintas actividades.

Actividades: 14, 41 y 49.

Recursos, resumen, autoevaluacin.

Uso de lasherramientas

tecnolgicas.

Emplear lenguajes especficos (textual,

numrico, icnico, visual, grfico y

sonoro) y los principales sistemas

operativos.

Conoce las unidades de capacidad usadas eninformtica y sus reglas de conversin.

Actividad: 99.


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EDUCACIN EN VALORES

Tanto los contenidos de la unidad como las actividades para el trabajo especfico de las competencias que se citan en latabla de la pgina anterior nos permiten desarrollar algunos aspectos relacionados con la educacin en valores:

Educacin medioambiental: actividad III, relaciona datos.

Educacin para la convivencia e intercultural: aprender a pensar 6.

ATENCIN A LA DIVERSIDAD

Hay que recordar que los ejercicios resueltos y propuestos en el libro de texto estn clasificados por un cdigo de colo-res segn su dificultad: verde, nivel bsico; naranja, nivel medio, y rojo, de alguna dificultad.

De esta forma, el profesor podr adaptar el contenido de la unidad bien a las caractersticas particulares de la clase, biena las especficas de cada grupo de alumnos dentro de la misma.

Adems, en este proyecto se incluyen los siguientes materiales, que complementan los ofrecidos en el libro del alumno:

Actividades de refuerzo. Una pgina fotocopiable con ejercicios para consolidar lo aprendido.

Actividades de ampliacin. Una pgina fotocopiable con ejercicios para complementar y ampliar lo tratado en cadaunidad del libro.

Propuesta de evaluacin. Una prueba que cubre los contenidos de la unidad y sirve para comprobar el grado de asi-milacin y comprensin de los conceptos y procedimientos tratados.

Cuaderno de evaluacin de competencias. En l se propone una prueba por bloque de contenidos que sirve para

evaluar la adquisicin por parte del alumno de la capacidad para aplicar los contenidos matemticos tratados a situa-ciones en contextos reales, en conjuncin con el resto de competencias bsicas.

MATERIALES DIDCTICOS

ogramacin de aula


SM

Repaso de contenidos de cursos anteriores

Cuadernos de matemticas. 2. de ESO: N. 1: Divisibilidad. Nmeros enteros.

Unidad III. Potencias y races.

Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 2. de ESO.

Unidad 4. Potencias y races.

Refuerzo y ampliacin de contenidos de este curso

Cuaderno de refuerzo de matemticas: Aprende y aprueba. 3. de ESO.

Unidad 2. Potencias y races.

Cuadernos de matemticas. 3. de ESO: N. 1: Nmeros reales.

Unidad III. Potencias y races.

Cuaderno de matemticas para la vida. 3. de ESO.

Cuadernos de resolucin de problemas I y II.

SMwww.smconectados.com

www.librosvivos.net

Otros

Unidad del proyecto Descartes para notacin cientfica:

www.e-sm.net/3esomatprd04

Potencias y notacin cientfica en el tema de Nmeros racionales en la pgina de educa-cin digital a distancia del Ministerio de Educacin.

www.e-sm.net/3esomatprd05

Buscadores especficos de matemticas como www.e-sm.net/3esomatprd06 (en ingls).

Juegos de domin en los que intervengan potencias y radicales.

Calculadora cientfica para el clculo de potencias y races, as como el uso de la notacin cientfica.

Programas informticos de clculo matemtico como Wiris, GeoGebra o Derive que permitan realizartambin este tipo de clculos.

Otr

os

mater

iales

Internet

Bibliogrficos


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Sugerencias didcticas

Desarrolla tus competencias

2. Raz de un nmero

Insistir en la conversin de una expresin radical en una

potencia y viceversa ( ). Que los alum-nos lo vean como dos representaciones diferentes de unamisma relacin entre nmeros.

a b b an n

= =

4. Propiedades de los radicales

Conviene realizar suficientes ejercicios para afianzar elautomatismo del clculo.

Hay que insistir en el hecho de que para multiplicar ydividir radicales, estos deben reducirse previamente andice comn, indicando la analoga con la suma y restade fracciones.

1. Potencias con exponente entero Lo fundamental es conseguir que no confundan el signo

de la base con el del exponente. Este es uno de los fallosque cometen de forma sistemtica. Otro es el de hacerequivalentes el 0 y el 1 como exponentes (30 = 3). Noimporta perder algo de tiempo con ejemplos repetidosde estos casos.

La comparacin entre los tamaos de la ballena azul ydel krill que constituye su alimento sirve de introduccinpara motivar la utilidad de las potencias y, ms concre-tamente, de la notacin cientfica en la descripcin de larealidad.

Se puede sugerir a los alumnos que, por grupos de tres o

cuatro, propongan otros ejemplos tomados de la realidad,cotidiana o no, en los que se ponga de manifiesto esa gran dis-paridad de tamaos y de rdenes de magnitud. Por ejemplo:

Una persona y las clulas que la forman.

Una bacteria o virus y el organismo al que infecta.

La Tierra, el Sol y la Va Lctea.

Los presupuestos de una familia, una pequea localidad,Espaa y Estados Unidos.

En la actividad II se describe la comunicacin entre lasballenas. A partir de este punto se puede establecer undebate en el que los alumnos expresen su opinin sobre el

nivel de inteligencia de otros seres vivos como las propiasballenas o los grandes simios, y la actitud que el ser huma-no debe tener frente a ellos.

Por ltimo, la actividad III permite introducir la reflexinsobre la accin humana y la desaparicin de las especiesvivas del planeta. Se puede comentar el tema de la mora-toria para la caza de ballenas y las diferentes posturas quepases como Espaa, Japn o Noruega adoptan frente a lamisma.

ACTIVIDADES POR NIVEL

Bsico 55, 77.

Medio 69.



Bsico 50 a 53, 76, 78 y 80.

Medio 54, 85 a 88, 90 y 91.

Alto 93, 94, 106 a 109 y 111.

3. Nmero de races. Radicalesequivalentes

Con vistas a cursos posteriores conviene acostumbrar alos alumnos a utilizar expresiones del tipo la raz cua-drada de 1 no tiene valores reales. A aquellos alum-nos ms motivados se les puede indicar que seranecesario ampliar el conjunto de los reales para poderrealizar ese tipo de operaciones imposibles en R.

Poner ejemplos en los que se vean algunos problemasque aparecen cuando se realiza la simplificacin sin ms

de radicales, por ejemplo: supone perder la raz2.

2 22 =


Bsico 56 a 59, 65 y 79.

Medio 89.

Alto 70 y 92.


Bsico 60 a 64.

Medio 66 a 68 y 82.

5. Potencias con exponentefraccionario

Realizar numerosos ejemplos de conversin de races enpotencias fraccionarias y viceversa para conseguir que

los alumnos se familiaricen con estas dos representa-ciones de la misma realidad.

Comprobar con la calculadora la equivalencia entre poten-cias fraccionarias y radicales.

Una vez vista la equivalencia entre races y potencias deexponente fraccionario, se pueden demostrar algunas delas propiedades de las operaciones con radicales vistasen el epgrafe anterior, utilizando para ello las propieda-des ya conocidas de las operaciones con potencias.


Bsico 71 a 75.

Medio 83 y 84.

Alto 110 y 112.


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Pon a prueba tus competencias

RELACIONA DATOS:EL TAMAO DE LOS MAMFEROS

Esta actividad se puede ver como una continuacin del temapropuesto en la entrada de la unidad.

La introduccin nos informa de los mamferos ms gran-des y ms pequeos que se conocen, proporcionando datossobre sus dimensiones y pesos.

Para contestar a la primera pregunta es necesario tomarun valor para el peso de un ser humano. Conviene que elprofesor fije este dato (por ejemplo, en 70 75 kilogramos)para poder despus comparar los distintos resultados.La actividad pretende que practiquen la notacin cient-fica y que tomen conciencia de la gran variabilidad detamaos presente en los seres vivos, incluso en los per-tenecientes a una misma familia como son los mamfe-ros.

La segunda pregunta pretende motivar una reflexin sobrelo importante que es utilizar una unidad apropiada parael problema concreto que se trabaja. Tan absurdo es usartoneladas para dar el peso del murcilago como usargramos para dar el de la ballena azul.

La pregunta 3 intenta que los alumnos busquen infor-macin por su cuenta (fundamentalmente en internet) yque se interesen, en este caso, por la realidad de la vidaanimal.

En la cuestin 4 se propone otro juego de investigacin enel que descubrirn cmo la lengua popular incorpora a sulxico y a sus expresiones coloquiales hechos tomados dela observacin de la naturaleza.

El planteamiento de la pregunta 5 es similar a lo ya rea-

lizado en la 2, pero con mamferos extintos. Es impor-tante que los alumnos entiendan que la realidad biolgicadel planeta no es inmutable y cmo las especies han evo-lucionado, apareciendo y desapareciendo a lo largo de

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gerencias didcticas

Organiza tus ideas

Como una actividad que sirva para que trabajen el esque-

ma-resumen, los alumnos pueden asignar las activida-des realizadas en la unidad a los distintos contenidospresentados en el resumen. Sera suficiente con queencontraran dos o tres ejemplos de actividades para cadaapartado. De esta forma se les obliga a repasar el tra-bajo realizado y a reflexionar sobre los conceptos y pro-cedimientos adquiridos.

Una segunda actividad de inters puede ser que los alum-nos completen el resumen tanto con otros contenidospresentes en el tema,pero no incluidos en este esquema,como con contenidos de cursos anteriores relacionados,pero no tratados explcitamente en el tema.

Actividades

47. En la lnea de lo expuesto para las actividades de De-sarrolla tus competencias, esta actividad nos permi-te volver a incidir en la gran variabilidad de escala queexiste en la naturaleza.

Una observacin que puede dar lugar a la reflexin esque, a pesar de la pequeez de un glbulo rojo, estecontiene, al igual que cualquier clula, una estructu-ra interna muy compleja.

48. Esta actividad va en la misma direccin que la anterior.

99. Aunque es seguro que los alumnos ya han odo hablarde los gigabytes y megabytes, es tambin muy proba-ble que no sepan cul es su definicin exacta.

Sobre todo es interesante que se den cuenta de cmose utilizan incorrectamente los prefijos del sistemamtrico decimal. En este contexto, kilo no significa1000, sino 1024, por ser este el mltiplo de 2 ms cer-cano. De aqu se puede pasar a exponer cmo ellenguaje binario se encuentra en la base de la inform-tica.

Aparte de la pregunta dada en la actividad, puede resul-tar conveniente ampliarla con otros enunciados para

que terminen de asimilar estas unidades, por ejemplo:

Calcula cuntos kilobytes son necesarios para alma-cenar un programa de 312 000 bytes.

Cuntas memorias USB de 8 GB se necesitan parahacer una copia de un disco duro de 1 terabyte?

Si se dispone de tiempo, se puede proponer un traba-jo de investigacin por grupos en el que hagan unapequea cronologa de cmo ha aumentado la memo-ria RAM de los ordenadores y la capacidad de los dis-cos duros de almacenamiento en los ltimos 20 aos.

100-102. Iguales consideraciones que para las actividades

47 y 48.103. Conviene remarcar que, a pesar de su alto valor, la

velocidad de la luz es finita, y esto es bien patentecuando la luz se desplaza por el espacio. Aqu cabereflexionar sobre el aspecto del cielo como mapa este-lar correspondiente a multitud de pocas que apare-cen mezcladas. Para alumnos muy motivados se puedehablar sobre el lmite fsico que representa el valor dela velocidad de la luz en el vaco segn la teora de larelatividad especial.

104. La actividad nos sirve para que adquieran concienciade las escalas espaciales del sistema solar y tambin

como introduccin a la actividad de Aprender a pen-sar de la seccin final.



Bsico 95, 96, 99 y 100.

Medio 97, 98 y 101 a 105.

6. Notacin cientfica

Convendra coordinarse con los profesores de otras reas,como Fsica y Qumica y Tecnologa, para utilizar ejemplosque los alumnos vayan a ver en las mismas.

Para los alumnos ms motivados se podra hablar delsistema de numeracin posicional, recordando la expre-sin de los nmeros como suma de potencias de la base.Esto resulta til a la hora de plantear problemas de ecua-ciones y sistemas en los que haya que averiguar las cifrasde un nmero.


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Sugerencias didcticas

los millones de aos de historia de la vida en laTierra. En este caso, a diferencia de lo que ocurra en lapregunta 2, han de ser los alumnos los que busquen losdatos pedidos de peso y altura.

La cuestin 6 trata tambin de extirpar la idea, muy exten-dida, de que los animales prehistricos ya extintos erangigantescos en comparacin con los actuales. Como ejem-plo de que esta afirmacin no es correcta en general, seobserva que el mamut era ms pequeo que su parien-te actual, el elefante africano.

Sera bueno hacerles reflexionar sobre este tema y comen-tarles cmo las pelculas de dinosaurios tienen muchoque ver en la creacin de este mito y explicarles que tam-bin existan dinosaurios diminutos.

Esta actividad tambin puede servir de excusa para hablarsobre la historia biolgica del planeta, la evolucin de lasespecies y los ciclos de extincin natural y sus posiblescausas.

Por ltimo, el vdeo proporciona una magnfica ocasin demostrarles cmo la tecnologa y el arte se unen para

recrear ambientes, en este caso un ecosistema prehis-trico, difciles de imaginar a travs de simples dibujos.

Sera muy conveniente plantear la actividad para gruposde tres o cuatro y recordar que necesitarn buscar infor-macin externa y, en algunos momentos, moverse por elaula para conseguir los datos requeridos.

APRENDE A PENSAR:CUANTO MS LEJOS, MS LENTO

En esta actividad, la notacin cientfica y el clculo conpotencias se aplican al mundo de la fsica, en concreto a lamedida de tiempos y distancias en el sistema solar.

La introduccin proporciona la informacin bsica sobre latercera ley de Kepler, que despus va a necesitarse pararesolver las cuestiones planteadas.

Aunque no es imprescindible, s sera de inters, especial-mente si se dispone de algo de tiempo, profundizar un pocoms sobre esta ley, sobre el contexto histrico en que sur-gi y su relacin, al igual que ocurre con las otras dos leyesde Kepler, con la ley de gravitacin universal de Newton.

Las tres primeras preguntas explotan los datos de la tablay sirven para que el alumno practique con la ley de Kepler.Esto tambin puede servir para recordar el uso de frmu-las visto en lgebra en el curso anterior y anticipa lo quese tratar a partir del tema 5 en lgebra y ecuaciones.

Las preguntas 4 y 5 permiten demostrar cmo la ley deKepler se cumple para cualquier sistema gravitatoriocomo el que tiene por cuerpo principal a la Tierra en vezde al Sol.

Al calcular la distancia a la Luna, se puede hacer men-cin de la curiosidad que significa el hecho de que la Lunasiempre presente la misma cara hacia la Tierra y cmoesto se debe a la igualdad entre sus perodos de rotacinalrededor de s misma y de traslacin alrededor de laTierra. Conviene resaltar que esta igualdad no es casual,sino que viene provocada por el efecto de marea entre

ambos cuerpos.

El concepto de satlite y rbita geoestacionarios es impor-tante para que entiendan lo importante que resulta elconocimiento cientfico de la naturaleza en el desarrollotecnolgico. Es fcil hacerles comprender cmo un sat-lite como el Meteosat est siempre en la misma posicinrelativa a la superficie terrestre y la utilidad que estehecho tiene para los fines del propio satlite.

Con las preguntas 5 y 6 es importante que reflexionensobre lo imprescindible que resulta la cooperacin inter-nacional para el avance de la humanidad. Se puedenponer ejemplos como la Organizacin Meteorolgica Mun-

dial o los organismos europeos responsables del pro-grama Meteosat: ESA, EUTMETSAT o el Centro Europeode Prediccin Meteorolgica.



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Actividades de refuerzo

Unidad 2 Potencias y racesORIENTACIONES METODOLGICAS

Al ser este tema una continuacin del anterior, en el sentido de que seguimos trabajando con operaciones con nme-ros reales, nos vamos a encontrar con los mismos problemas que entonces. Es claro que si un alumno tiene dificulta-des con las operaciones aritmticas bsicas, tambin las tendr con las potencias y con las races. Debemos serrealistas y centrarnos en conseguir que aprendan el concepto de potencia de exponente natural como una generali-

zacin del producto, y el concepto de raz, como una operacin inversa a la potencia. En cuanto a las potencias de expo-nente entero, debemos intentar que, al menos, adquieran los procedimientos ms elementales para trabajar con ellas.Las potencias de exponente fraccionario y su relacin con las races parecen, en este contexto, un contenido al que pro-bablemente no podamos llegar. Otras recomendaciones pueden ser:

Incorporar las potencias y las races a las reglas de jerarqua recordadas en la unidad anterior. Instarles a que modi-fiquen la chuleta que elaboraron para la jerarqua de las operaciones bsicas.

Utilizar ejemplos prcticos tomados de su entorno para que adquieran conciencia de la utilidad de las potencias y delas races.

Ensearles a utilizar correctamente la calculadora, especialmente para calcular races de ndice arbitrario y para quecomprueben la correccin de las soluciones obtenidas en cada caso (si 2 es la raz quinta de 32, que comprueben que25 = 32). Se trata de que no les den un carcter misterioso a estas dos operaciones matemticas y de seguir insis-tiendo en la importancia de repasar los clculos y de ser crticos con los resultados obtenidos.

1. 2.

3.

4. a) 3 b) 24 c) 40 d) 86

5. a)

b)

c)

d) 7776 6 6 77765 5= =

243 7 7 2433 3= =

81 3 3 814 4= =

169 13 13 1692= =

2 3 5 4 2 5 82 2 ( ) =:

2 2 2 23

33

2

22 2

2 5 3 10

3

2

4

2

3 5

= =

=3 3

33

5 5

2 1

2

3

33

6

=

( ) =

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS


Ms recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de refuerzo.

1. Concurso de clculo

Se trata de ampliar el tipo de concursos y de actividades de clculo propuestos en la unidad 1, con la incorporacinde operaciones sencillas con potencias y con races, manteniendo en lo dems lo ya establecido en dicha unidad. Algoimportante que podemos incluir es que sean capaces de calcular no ya el valor exacto de una raz (la calculadora yalo hace), sino su valor aproximado hasta un decimal (por ejemplo, saber que la raz cuadrada de 150 est entre 12,2y 12,3 porque los cuadrados de estos nmeros toman valores inferior y superior, respectivamente, a 150).

2. Cmo contamos?

Aqu intentaremos que los alumnos identifiquen nuestro sistema de numeracin con una suma de potencias de base10. Puede proponrseles que busquen otros sistemas de numeracin no posicionales como el romano y que haganuna valoracin de las ventajas e inconvenientes de los distintos sistemas. El objetivo es nuevamente que aprecien laimportancia de las potencias como herramienta para construir un sistema de conteo til y flexible.

ACTIVIDADES DE GRUPO

Fin de semana Paga (en ) Potencia de 2

1. 0,10 0,1

2. 0,20 0,1 2

3. 0,40 0,1

22

4. 0,80 0,1 23

5. 1,60 0,1 24

6. 3,20 0,1 25

7. 6,40 0,1 26

8. 12,80 0,1 27

9. 25,60 0,1 28

10. 51,20 0,1 29


11/1511

1. Imagina que llegas a un acuerdo con tus padres de manera que el prximo fin de semana te darn solo10 cntimos de paga pero cada uno de los siguientes te irn doblando la paga del fin de semana ante-rior, es decir, el segundo recibirs 20 cntimos; el tercero, 40, y as sucesivamente

a) Calcula la paga que recibirs durante las pri-

meras 10 semanas e intenta expresarla enforma de potencias de 2.

a) Para que te sea ms sencillo, convierte laspagas en euros recordando que 1 cntimoequivale a 0,01 y completa la tabla.

b) Consideras que es un buen acuerdo?

c) Cuntas semanas piensas que tardaran tuspadres en anularlo?

2. Las potencias nos permiten escribir de forma resumida multiplicaciones en las que se repite variasveces el mismo factor. Une las operaciones indicadas a la izquierda con las soluciones correspondien-tes de la derecha.

3. Realiza la siguiente operacin combinada con potencias:

Con la potencias hemos de tener cuidado cuando se combinan con otras operaciones. Ahora debemos incluir-las en las reglas de jerarqua para saber en qu orden hay que hacer los clculos.

4. Siguiendo los pasos del ejemplo anterior, intenta resolver los siguientes clculos.

a) b) c) d)

5. Observa los ejemplos y completa las relaciones:

a) c)

b) d)

22 25 23

3 3

3

2 1

2

3

3

5

3

2

22

4

2

3 (5 2)3

33

210

32

56

25

2 3 5 4 2 52 2 :

Primero hacemos los parntesis:2 32 52 2 5

En segundo lugarhacemos las potencias: 2 9 25 2 : 5

A continuacin, los productos y divisiones,empezando por la izquierda: 18 50 : 5 = 18 10

Y por ltimo, lassumas y restas:

18 10 = 8

7776 65 = ............................ ......= =3 814

.... ......= =7 2433169 13= ........................

9 3 3 9 1331 11 11 13312 3 3= = = = 625 5 5 6254 4= =

2 3 2 2 44 2 2 : ( )5 3 7 22 2 ( )2 3 48 22 3 + :2 3 22 3 4+


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ACTIVIDADES de REFUERZO


Fin de semana Paga (en ) Potencias de 2

1. 0,10 0,1

2. 0,20 0,1 2

3. 0,40 0,1 22

4. 0,80 0,1 23

5. 1,60 0,1 24

6.

7.

8.

9.

10.


12/152

Actividades de ampliacin

Unidad 2 Potencias y racesORIENTACIONES METODOLGICAS

En este tema podemos proponer a los alumnos ms interesados y motivados algunos procedimientos de clculo msavanzados, como es el caso de la racionalizacin de denominadores. Tambin creemos que se les podran proponer pro-blemas en los que de forma intuitiva surja la necesidad del concepto de logaritmo, como complemento esencial de lasideas de potencia y de raz, y como avance respecto de lo que vern en el siguiente curso.

1.

2. a)matmsfera= 5 1015 toneladas

b)MTierra= 1,2 106 matmsfera

3. a)E= 9 1013julios

b) Para 2500 casas

4. a)

b)

5.

6. a) Al cabo de 5 aos tendremos 1159,27.

b) El banco nos pagaba anualmente el 7,18%.

7.

8. a) c)

b) d)

450

152 6

13 7 3

22

5 2

3

33

7

a)

b)

2 3

2

5

6

7

3

196

( )x

a)

b)

5

5

7

8

17

24

11010 2 2 2 16 8 2 262

4 3 110( ) ( )

= + + = + + =

13456 10 3 10 4 10 5 10 64 3 2 1= + + + + 100

a)

b)

c)

99

28

3

7

12

15

abc

SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES PROPUESTAS

1. Concurso de clculo

Se trata de ampliar el tipo de concursos y de actividades de clculo propuestos en la unidad 1, con la incorporacinde operaciones con potencias y con races, manteniendo en lo dems lo ya establecido en dicha unidad. Algo impor-tante que podemos incluir es que sean capaces de calcular, no ya el valor exacto de una raz (la calculadora lo hacecon gran rapidez), sino su valor aproximado hasta un decimal (por ejemplo, saber que la raz cuadrada de 150 estentre 12,2 y 12,3 porque los cuadrados de estos nmeros toman valores inferior y superior, respectivamente, a 150).

2. Frmulas, potencias y races

Se trata de que los alumnos busquen frmulas y ecuaciones que aparezcan en los libros de Fsica y Qumica, Tec-nologa o Biologa y Geologa, en las que se incluyan potencias y races. Una vez encontradas, debern interpretar lasdiferentes magnitudes que se relacionan en dichas frmulas e intentar obtener cada una de ellas en funcin de lasdems (despejar).

3. Cmo contamos?

Aqu intentaremos que los alumnos identifiquen nuestro sistema de numeracin con una suma de potencias de base10. Puede proponrseles que busquen otros sistemas de numeracin no posicionales como el romano y que haganuna valoracin de las ventajas e inconvenientes de los distintos sistemas. El objetivo es nuevamente que aprecien laimportancia de las potencias como herramienta para construir un sistema de conteo til y flexible. A este tipo de alum-nos se les puede proponer adems que investiguen cmo se construye y se opera en sistemas posicionales de baseno decimal, como el sistema binario.

ACTIVIDADES DE GRUPO


Ms recursosen tu carpeta

En el CD Banco de actividades se pueden encontrar ms propuestas de actividades de ampliacin.


13/1513

1. Calcula y simplifica al mximo las siguientes expresiones con potencias:

2. a) Sabiendo que la superficie terrestre mide aproximadamente 500 millones de kilmetros cuadrados yque cada centmetro cuadrado de ella soporta una masa de 1 kilogramo de aire, calcula, en toneladas,la masa de la atmsfera terrestre.

b) Suponiendo que la masa de la Tierra es de 6 1021 toneladas, cuntas veces es mayor esta que la dela atmsfera?

3. La masa de un cuerpo, m, y la energa que contiene, E, estn relacionadas por la ecuacin de Einstein,E = mc2, donde c es la velocidad de la luz en el vaco (3 108 m/s), la masa se mide en kilogramos, y laenerga, en una unidad llamada julio.

a) Calcula la cantidad de energa contenida en 1 gramo de uranio.

b) Si un kW h (kilovatio-hora) equivale a 3 600 000 julios y el consumo de electricidad en una casa duran-

te un ao es de unos 10 000 kW h, para cuntas casas tendramos energa durante 1 ao si pudira-mos convertir toda la energa del gramo de uranio en electricidad?

4. a) Fjate que nuestras tradicionales unidades, decenas, centenas no son ms que las sucesivas poten-cias del nmero 10. El nmero 10 es la base de nuestro sistema de numeracin decimal. Expresa el nme-ro 13 456 como suma de potencias de 10.

b) Otros sistemas utilizan menos cifras para representar las cantidades. Por ejemplo, el sistema binariousado por los ordenadores slo emplea las cifras 0 y 1, y, por tanto, su base es el nmero 2 en vez del10. Aplicando lo mismo que en el ejemplo del sistema decimal, desarrolla el nmero 11 010, escrito enbase 2, en funcin de las potencias de 2 (ahora las unidades sern 20; las decenas, 21, etc.), y podrsencontrar a qu nmero equivale en base 10.

5. Calcula y simplifica las siguientes expresiones con races.

6. La expresin que nos da el capital final, Cf, obtenido al poner un capital inicial C

odurante n aos al t%

de inters en un banco es: . Esta expresin se conoce como la frmula del inters com-

puesto.

a) Cunto dinero tendremos al cabo de 5 aos si hemos invertido 1000 al 3% de inters compuesto?

b) Si nuestro dinero se ha doblado en 10 aos, cul ha sido el tanto por ciento de inters que el banco nosha estado pagando anualmente?

7. Calcula y simplifica las siguientes expresiones con races y potencias.

8. Racionalizar una fraccin con radicales es escribir una equivalente que no contenga radicales en el deno-minador. Si el denominador es un binomio, se hace uso de la identidad notable (a b) (a b) a2 b2.

Racionaliza las siguientes expresiones.

a)12 4 6

24 8

3 2 2

2

3

b) 2 2 21

4

1

2

8

5x x x( ) ( )

: ( )

22

3x( )

a) b) c) d)2

60

2 3

5 3

2

2 3

1

2 3 53

+

+

C C t

f o

n

= +

1

100

a) b)5 5 5 25 1253 4

a) b)22 21

14 33

2

3

5

4

3 4

5 2

3

:

34

6

7

3

( ) 56

62 4

2 5

c)a b c(( )

( )

3

5 03

b c a


ACTIVIDADES de AMPLIACIN

Pgina

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opiable



14/154

APELLIDOS: NOMBRE:

FECHA: CURSO: GRUPO:

1. Calcula y simplifica al mximo las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las potencias.

2. Simplifica al mximo las siguientes expresiones, aplicando las propiedades de las potencias.

3. Expresa los siguientes nmeros en notacin cientfica.

4. Realiza las siguientes operaciones, expresando el resultado en notacin cientfica.

5. Expresa como potencias los siguientes radicales y halla dos radicales equivalentes para cada uno de ellos.

6. a) Expresa como radicales las siguientes potencias:

b) Ordena de mayor a menor los tres radicales obtenidos, reducindolos previamente a ndice comn:

7. Calcula y simplifica al mximo las siguientes expresiones.

8. Calcula y simplifica al mximo las siguientes expresiones.

9. Queremos fotocopiar un plano de dimensiones 30 40 cm. La fotocopia la hacemos con un factor de reduc-cin del 50%. Como la copia obtenida es todava demasiado grande, hacemos una nueva copia de estenuevo plano aplicando el mismo factor de reduccin, y as sucesivamente. Qu dimensiones tendr lacopia final del plano si repetimos el procedimiento 3 veces? Si sometemos una fotografa al mismo pro-ceso 5 veces y la copia final mide 1 2 cm, cules eran las dimensiones del original?

10. Una habitacin con forma de cubo tiene un volumen de 125 m3. Cuntas losetas harn falta para ponerel suelo de la habitacin si cada loseta mide 50 50 cm? Cul ser la distancia mxima que se pue-da andar en lnea recta en la habitacin?

a) b)6 03 10 0 4 10 82 3 10 0 0033 4 5, , , , + + 10 323 5 0 43 10 13453 101 4 2c) , ,

2 5 33

2

1

3

1

4

a) b) c) d)5 9 4 12 300 108000 2 8 3 94 3 31

2 1 + 12

a) b) c) d)3 9 27 8 16 125 5 254 4 44

4 3 3 ( )

:33 3

3

2e)

a) b) c)2 5 2723 4

a) b) c) d)37200000 0 0000125 432 8 10 0 0925 , , , 10 74 257 e) ,

a) b)3 5 23 27

9

1 1 12

1

2

c) d)3 2 3 92 4 8

16

3 0 10 1

: 1 32

a) c) e)

b)

3 3 3 6 6 2

2

5

0 2 4 3 1 31

: ( )

: ( )

2

2 3 2 3 22

5 5 5 7 7d) f)

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opiable


PROPUESTA de EVALUACIN



15/15

1.

2.

3.

4.

5.

6. a)

b) Se pasan a ndice comn: , y quedan directamente ordenados de mayor a menor.

7.

8.

9. Las dimensiones de la tercera copia se obtendrn multiplicando las originales por , luego sern de3,75 5 cm.

Para obtener las dimensiones originales en el segundo caso tendremos que dividir las dimensiones finales por, lo que nos da un tamao de 32 64 cm para la fotografa original.

10. Las tres dimensiones de la habitacin son iguales a . El suelo tiene un rea de 5 5 = 25 m2, y como la

superficie de cada loseta es de 0,5 0,5 = 0,25 m2, necesitaremos losetas.

La distancia mxima que podremos andar en lnea recta ser la correspondiente a la diagonal del suelo de la habi-

tacin, es decir, .

a) 3 5 2 3 5 2 301

301 1 1 1 1 = = =( )

bb)3 3

3

3

3

2 3

2 1

22 3

2

+

=

( ) (

=

=

1

2

2

2

13

33

)

(( = = = =2 2 3 2 66

3 31

3

1

729)) ( )

3 03 2c) 33 9 3 1 3 3 3 3 31 3 2 1 3 2: : ( ) : = = = 3 3 03 3 =

2 4 8

16 2

1 20 1

1 3

2

=

d)

( ))

( )( )

= = = =

1 3

4 1 3

2

4

2 4 22

2 2

2

22 2 4

5 2 7 7m y cm=

25

0 25100

,=

125 53 m=

0 5 0 031255, ,=

0 5 01253, ,=

a) 5 9 4 12 300 5 3 4 2 3 10 3 7 34 + = + =

b) 1008000 2 3 5 2 3 5 2 30 43 5 3 33 23 3= = =

c) 2 8 2 2 2 323 2 33 56 6= = =

3 9 121

2 1 =d) 3 3 2 3 3 3 2 31

2 2 1 21

2

1

2 2 = ( ) ( )11

2 12 32

3= =

a) b) c)3 9 27 27 8 8 1

6416

4 4 44

2 4 = ( ) = =

= = =

2 2 125 5 25 25 2

48 3 3 3 3 3d) e):

=

3

42

2 5 31812 412 312

, ,

2 2 5 5 3 33

2 31

3 31

4 14= = =

; ;

a)

b)

c

2 2 2 2

5 5 5 5

1

2 36 24

232

3 46 69

= = =

= = =

)) 27 3 3 3 34 31

4

3

4 68 912=( ) = = =

a) b) c)2 03 10 1123 10 4 48897 103 3 3, , ,

a) b) c) d)3 72 10 125 10 4 328 10 97 5 3, , , ,, ,2 10 7 425 105 e)

a) b) c) d) e)3 925

46 1296 5

1

522 4 1 3= = = =

1

87 492f) =

SOLUCIONES DE LA PROPUESTA DE EVALUACIN

Propuesta de evaluacin


U2_potencias y raíces

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