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MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Álgebra y Funciones 1. RAÍCES CUADRADAS Y CÚBICAS Comencemos el estudio de las raíces haciéndonos la siguiente pregunta: si el área de un cuadrado es 15 cm2, ¿cuál es su lado? Para responder esto debemos encontrar un número cuyo cuadrado sea 15. Este número se denomina raíz cuadrada de 15 y es aproximadamente 3,8729.

Si generalizamos lo anterior podemos afirmar que: 2a b b a= ⇒ =

Si a es un número positivo entonces b es positivo; por lo tanto 9 3= y no ±3

como erróneamente se cree. Por otro lado la igualdad: 2x x= se cumple solo

si x>0, ya que si tenemos 2( 3)− esto no es igual a –3 ya que sería

contradictorio con lo anterior; por lo tanto, la propiedad es: 2x = x (para

cualquier valor real de x).

Si en la raíz: a , a es negativo, entonces la raíz no es un número real.

Si la raíz es cúbica, tenemos que: 33 a b b a= ⇒ = En este caso, si a es negativo b resulta ser negativo y si a es positivo, b también; por lo tanto, la raíz cúbica está definida para todo número real. En general, las raíces se pueden definir mediante una potencia de exponente fraccionario: Definición:

mn m na a= n se denomina el índice de la raíz, y como vimos anteriormente, cuando no aparece se entiende que su valor es dos (raíz cuadrada). La definición está sujeta a las restricciones que vimos en el párrafo anterior, es decir, las raíces de índice par están definidas para números no negativos y las de índice impar están definidas para todo número real.

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Debido a que las raíces pueden convertirse a potencias de exponente fraccionario, cumplen con todas las propiedades de potencias que estudiamos en el módulo anterior; de estas se pueden deducir las siguientes propiedades de raíces. 1.1. PROPIEDADES DE LAS RAÍCES 1. Multiplicación de raíces de igual índice n n na b ab⋅ = 2. División de raíces de igual índice n

nn

a abb

=

3. Raíz de raíz n m nma a= 4. Raíz de una potencia cuyo exponente es igual al índice n na a= 5. Propiedad de amplificación n r nm rma a= 6. Ingreso de un factor dentro de una raíz

n nna b a b= (con la restricción que a>0 si n es par)

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Observación: las propiedades anteriores son válidas solamente en el caso de que las raíces estén definidas en los números reales. Veamos a continuación la demostración de algunas de las propiedades para que veas su analogía con las propiedades de las potencias. Demostración de (1):

( )1 1 1

n n nn n na b a b ab ab⋅ = ⋅ = =

Demostración de (5):

r rmn r nm rmn nma a a a= = = Demostración de (6):

n n n nn na b a b a b= ⋅ = 1.2. OPERATORIA CON RAÍCES Adición y sustracción de raíces semejantes Se llaman raíces semejantes cuando tienen la misma cantidad subradical; por

ejemplo 2 5 y -7 5 son raíces semejantes y se pueden sumar y/o restar:

2 5 - 7 5 5 5= − En el caso de querer sumar o restar raíces no semejantes, se debe descomponer las cantidades subradicales para convertirlas a raíces semejantes. Ejemplo:

18 50 72− + = Descomponiendo las cantidades subradicales en forma conveniente:

18 50 72 9 2 25 2 36 2 3 2 5 2 6 2 4 2− + = ⋅ − ⋅ + ⋅ = − + =

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Multiplicación y división de raíces de igual índice En este caso aplicamos las propiedades 1 y 2 de las raíces. Ejemplo:

8 20⋅ = Descomponiendo las cantidades subradicales:

8 20 4 2 4 5 2 2 2 5 4 10⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = Multiplicación y división de raíces de distinto índice En este caso es conveniente utilizar la propiedad de amplificación para igualar índices. Ejemplo:

3

2

2=

El m.c.m. de los índices es seis, entonces amplificamos para igualar los índices a seis:

6 3 366

23 6 2

2 2 22

22 2= = =

1.3. RACIONALIZACIÓN La racionalización consiste en eliminar las raíces que se encuentran en el denominador de una fracción. Analizaremos a continuación los casos más importantes: Caso 1: Una raíz cuadrada en el denominador, sin adiciones ni sustracciones. Ejemplo:

Racionalizar: 4

2

5

Amplificamos la fracción por 2 :

4 4 2 4 22 2

22 2 2

⋅= = =

⋅

Caso 2: Una raíz cuadrada en el denominador, con adiciones o sustracciones. Ejemplo:

Racionalizar: 4

2 2=

−

Amplificamos la fracción por 2 + 2 para formar en el denominador una suma por su diferencia:

2

4 4 (2 2) 4 (2 2)2 (2 2) 4 2 2

2 22 2 (2 2)(2 2)

⋅ + ⋅ += = = ⋅ + =

−− − ++

Caso 3: Una raíz cúbica en el denominador, sin adiciones o sustracciones. Ejemplo:

Racionalizar: 3

4

2=

Amplificamos la fracción por 3 22 :

3 32 2

3 3 32 33

4 4 2 4 2 4

2 2 2 2

⋅ ⋅= = =

⋅

3 222⋅ 3 2 32 2 2 4= ⋅ = ⋅

Una de las aplicaciones de la racionalización es que nos permite ordenar fracciones que tengan raíces en el denominador. Ejemplo: Ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

2 1x ; y= ; z=

2 1+ 2 2=

3

1−

6

Racionalizamos cada una de las fracciones:

2 2 2 2 2x 2

22 2 2

⋅= = = =

⋅

1 1 (1 - 2) 1 2y 2

11 2 (1 2) (1 - 2)

⋅ −= = = =

−+ + ⋅1−

3 3 ( 2 1)z 3

2 1 ( 2 1) ( 2 1)

⋅ += = = ⋅

− − ⋅ +( 2 1)+

De lo anterior se deduce que: y < x < z 1.4. ECUACIONES IRRACIONALES Una ecuación irracional es una ecuación que tiene la incógnita en alguna cantidad subradical. Para resolverla, se debe tratar de eliminar las raíces que aparezcan. Después de obtenido el valor de la incógnita, se debe comprobar reemplazando el valor obtenido en la ecuación original. Ejemplo:

Resolver la ecuación: 1 2x 1+ − = 2 Primero elevamos al cuadrado a ambos lados de la ecuación para eliminar la raíz exterior:

2

2

1 2x 1 2 /( )

1 2x 1 4 ,despejamos la raíz que queda:

2x -1 3 / ( )2x 1 9x 5

+ − =

+ − =

=− =

=

Comprobando en la ecuación original, tenemos:

1 2 5 1 1 9 4+ ⋅ − = + = = 2 Por lo tanto x=5 es la solución de la ecuación.

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Ejemplo:

1 x 2 x 3+ − = − Elevamos al cuadrado a ambos lados de la ecuación:

( )2

2

2

1 x 2 x 3 / ( )

1 x 2 x 3

1 x 4 1 x 4 x 3

4 1 x 8

1 x 2 / ( )1 x 4x 3

+ − = −

+ − = −

+ − + + = −

− + = −

+ =+ ==

Comprobando en la ecuación original, se obtiene:

1 3 2 3 3+ − = − Lo que es correcto, por lo tanto x=3 es la solución de la ecuación. 2. ECUACIÓN CUADRÁTICA Una ecuación cuadrática es de la forma: ax2+bx+c=0 (con a≠ 0); para resolverla existen diferentes métodos, los cuales revisaremos a través de algunos ejemplos. 2.1. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES CUADRÁTICAS Por factorización Resolver la ecuación: x2 - 12x - 28 = 0 Factorizamos el trinomio buscando dos números que multiplicados den –28 y sumados den –12; estos son -14 y 2, por lo tanto la factorización es: (x - 14)(x + 2) = 0 A partir de esto se deduce que las soluciones son x = 14 y x = -2

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Utilizando la fórmula Para resolver la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 (con a ≠ 0), podemos utilizar

la fórmula: 2b b 4a

x2a

− ± −=

c

Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 – 10x +24 = 0 En esta ecuación: a = 1; b = -10 y c = 24, reemplazando en la fórmula, obtenemos:

210 ( 10) 4 1 24 10 2x

2 1 2± − − ⋅ ⋅ ±

= =⋅

Por lo tanto x = 6 ó x = 4 Por completación de cuadrados Ejemplo: Resolver la ecuación: x2 – 6x + 8 = 0 Con los términos x2 y –6x podemos formar el cuadrado de binomio: (x – 3)2

Pero nos faltaría el número 9, por lo tanto sumaremos 9 a ambos lados de la ecuación para formar el cuadrado de binomio: x2 – 6x + 8 = 0 /+9 x2 – 6x + 9 +8 = 9 (x - 3)2 + 8 = 9 (x – 3)2 = 1 Por lo tanto x –3 = 1 ó x – 3 = -1, de lo que se deduce que x = 4 ó x = 2

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2.2. PLANTEO DE PROBLEMAS CON ECUACIONES CUADRÁTICAS En el primer módulo vimos algunas resoluciones de problemas utilizando ecuaciones de primer grado. Ahora veremos algunos problemas cuyos planteamientos conducen a ecuaciones cuadráticas. Ejemplo: Un número entero cumple con que el cuadrado del antecesor de su doble equivale a su cuadrado aumentado en 5. Sea x el número entero, el enunciado se traduce en: (2x-1)2 = x2 + 5 Ordenando y reduciendo, se obtiene la ecuación cuadrática: 3x2 – 4x – 4 = 0 Utilizando la fórmula, con a = 3 , b = -4 y c = -4

2 4 16 4 3 ( 4)b b 4ac 4x

2a 6 6± − ⋅ ⋅ −− ± − ±

= =8

=

x = 2 ó x = -2/3 Como el número es un número entero, la solución es x = 2. Ejemplo: Un triángulo tiene un área de 24 cm2 y la altura mide 2 cm más que la base correspondiente. ¿Cuánto mide la altura?

Sea x la base, entonces su altura es x+2, y su área: x(x 2)

A2+

=

La ecuación que resuelve el problema es: x(x 2)

242+

=

Ordenando e igualando a cero, obtenemos la ecuación: x2+2x-48=0 Factorizando: (x-6)(x+8) = 0 ⇒ x = 6 ó x = -8

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Como x es una longitud, debe ser positiva o cero, por lo tanto x = 6 y la altura mediría 8 cm. Para practicar con problemas de planteo relacionados con ecuaciones cuadráticas, te recomendamos revisar los sitios: http://zeus.dci.ubiobio.cl/%7Ehvalenzu/paginas/asignaturas/Cares/C2.htmhttp://www.geocities.com/chilemat/pverbales/ec2grado.htm 2.3. NATURALEZA DE LAS SOLUCIONES DE UNA ECUACIÓN CUADRÁTICA Hemos visto que las soluciones de la ecuación cuadrática: ax2+bx+c=0 (con a ≠ 0), se pueden obtener a través de la fórmula:

2b b 4ax

2a− ± −

=c

La cantidad subradical: ∆ = b2–4ac se llama discriminante, y nos permite determinar el tipo de soluciones que tiene la ecuación cuadrática. Si el discriminante resulta ser negativo, estaríamos calculando la raíz de un número negativo, por lo tanto, las soluciones no serían números reales; si el discriminante es cero, las soluciones serían iguales, y si es positivo, las soluciones serían dos números reales y distintos. Resumiendo: Ejemplo: ¿Cuánto debe valer p para que las soluciones de la ecuación: x2 – (p+3)x + 9 = 0 sean reales e iguales? Como las soluciones son reales e iguales el discriminante debe ser cero: b2 – 4ac = 0 (-(p+3))⇒ 2 – 4 . 1 . 9 = 0 ⇒ p2 +6p –27 = 0 Factorizando: (p + 9)(p - 3) = 0 ⇒ p = -9 ó p = 3

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2.4. PROPIEDADES DE LAS SOLUCIONES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA Sean x1 y x2 las soluciones de la ecuación: ax2+bx+c=0

(con a ≠ 0), y supongamos que: 2 2

1 2

b b 4ac b b 4ax y x

2a 2a− + − − − −

= =c

Por lo tanto la suma de las soluciones es:

2 2

1 2

b b 4ac b b 4ac 2bx x

2a 2a 2a a− + − − − − − −

+ = + = =b

y el producto de las

soluciones es: 2 2 2 2

1 2 2 2

b b 4ac b b 4ac (b (b 4ac)) 4ac cx x

2a 2a 4a 4a a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + − − − − − −⋅ = ⋅ = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Es decir, a través de los coeficientes de la ecuación podemos obtener la suma y la multiplicación de las soluciones sin tener que resolverla. Resumiendo: Si x1 y x2 son las soluciones de la ecuación: ax2+bx+c=0 (con a ≠ 0), Entonces:

1 2

1 2

bx x y

ac

x xa

−+ =

⋅ =

3. FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es de la forma: f(x)= ax2+bx+c y su gráfica es una parábola. Una de las aplicaciones de la función cuadrática, es la altura h(t) que alcanza un objeto después de t segundos, cuando es lanzado verticalmente hacia arriba con una rapidez inicial vo:

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1h(t) v t gt

2= −

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Si suponemos que la velocidad inicial es 10 m/s y que la aceleración es 10 m/s2, entonces la altura es: h(t) = 10t – 5t2. Si graficamos esto dándonos algunos valores para t, obtenemos: Si graficamos esta función, obtenemos aproximadamente el siguiente gráfico:

La intersección con el eje de las abscisas (eje horizontal) se obtiene reemplazando h(t) = 0 en la función: h(t) = 10t – 5t2

0 = 10t – 5t2, factorizando: 5t(2 - t) = 0, obtenemos t = 0 ó t = 2. Interpretando físicamente lo anterior, podemos afirmar que a los 0 y 2 segundos la altura del objeto es cero, es decir, está en el suelo. Por otro lado, se puede observar en el gráfico que a 1 segundo se encuentra la máxima altura, si reemplazamos h = 1 en la función, obtenemos h(1)= 10 . 1 – 5 . 12 = 5 m Este punto donde se alcanza el valor máximo de la función se denomina vértice. Analicemos a continuación en forma general, las características del gráfico de una función cuadrática.

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3.1. ELEMENTOS PRINCIPALES DE LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA Sea la función cuadrática: f(x)= ax2+bx+c, sus elementos y características principales son: Concavidad Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba:

Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo:

Intersección con eje y Sea la función cuadrática: f(x)= ax2+bx+c, cuando su gráfica intercepte el eje y debe acontecer que x = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: y = a . 02 + b . 0 + c ⇒ y = c, por lo tanto la intersección con el eje x es el punto (0,c) Intersección con eje x Cuando la gráfica intercepte el eje x, debe ocurrir que y = 0; si reemplazamos en la ecuación, obtenemos: 0= ax2+bx+c, por lo tanto las intersecciones de la función cuadrática con el eje x se obtienen resolviendo las ecuación de segundo grado.

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Como las soluciones dependen del signo del discriminante, tenemos que:

1. Si ∆ < 0, la ecuación no tiene soluciones reales, por lo tanto la parábola no corta el eje x.

2. Si ∆ = 0, la ecuación tiene soluciones reales iguales, por lo tanto la parábola es tangente al eje x.

3. Si ∆ > 0, la ecuación tiene soluciones reales y distintas, por lo tanto la parábola corta en dos puntos al eje x.

Si graficamos lo visto hasta ahora, tenemos las siguientes posibilidades:

Vértice

El vértice de la parábola de ecuación: y = ax2+bx+c es el punto: b

V ,2a 4a− −∆⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

Si a > 0, en la ordenada del vértice se encuentra el mínimo de la función:

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Si a < 0, en la ordenada del vértice se encuentra el máximo de la función:

Para que practiques con la gráfica de la función cuadrática, te recomendamos el graficador que está en el sitio: http://descartes.cnice.mecd.es/4a_eso/Ecuacion_de_segundo_grado/ecuacion.htm#4 3.2. TRASLACIÓN DE LA GRÁFICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA La gráfica de la función cuadrática: y = x2 es:

Observemos a continuación, cómo es afectada la gráfica cuando sumamos o restamos una constante a la variable independiente (x) o la variable dependiente (y). 1. Gráfico de y = x2 + 1

El gráfico de y = x2 se traslada una unidad hacia arriba.

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2. Gráfico de y = x2 – 1 El gráfico de y = x2 se traslada una unidad hacia abajo. 3. Gráfico de y = (x – 1)2

El gráfico de y = x2 se traslada una unidad hacia la derecha. 4. Gráfico de y = (x + 1)2

El gráfico de y = x2 se traslada una unidad hacia la izquierda.

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Ejemplo: Graficar la función: y = (x – 1)2+2 Según lo visto anteriormente, el gráfico corresponde a una traslación de la gráfica de y = x2, un lugar a la derecha y dos unidades hacia arriba. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA El gráfico de la función raíz cuadrada es: A esta gráfica le podemos aplicar las traslaciones horizontales, tal como lo hicimos a la función: y = x2

Por ejemplo, el gráfico de y x 1= − correspondería al de y trasladado una unidad a la derecha:

x=

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4. INTERVALOS E INECUACIONES LINEALES Los intervalos son subconjuntos de los números reales. Existen los siguientes tipos de intervalos:

Propiedades de las desigualdades: (1) Una desigualdad no varía si se suma o resta la misma cantidad a ambos lados: a < b / ±c a ± c < b ± c

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(2) Una desigualdad no varía su sentido si se multiplica por un número positivo: a < b / . c (c > 0) a . c < b . c a > b / . c (c > 0) a . c > b . c (3) Una desigualdad varía su sentido si se multiplica por un número negativo: a < b / . c (c < 0) a . c > b . c a > b / . c (c < 0) a . c < b . c 4.1. INECUACIONES DE PRIMER GRADO A continuación veremos cómo se aplican las propiedades anteriores en la resolución de inecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. Ejemplo: Resolver la inecuación: x – 2 < 3x – 6 Primero sumemos –3x a ambos lados (prop. 1) x – 3x – 2 < -6 (sumemos 2 ambos lados) x – 3x < 2 – 6 -2x < -4 (multiplicamos por –1/2 a ambos lados; la desigualdad cambia en virtud de la propiedad 3) x > 2 La respuesta anterior en forma de intervalo es: [ 2 , +° [ 4.2. SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES Para resolver sistemas de inecuaciones lineales se debe resolver cada inecuación por separado e intersectar los intervalos resultantes; es decir, se debe hallar el conjunto de números que pertenezca a ambos intervalos:

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Ejemplo: Resolver el sistema de inecuaciones: x 2

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x 33

2

−>

−> −

−

En el primer sistema de inecuaciones multiplicamos por 3: (propiedad 2) x – 2 > 3 /+2 (propiedad 1) x > 5 En el segundo sistema de inecuaciones multiplicamos por –2 (propiedad 3) x – 3 < 6 / + 2 (propiedad 1) x < 9 Por lo tanto las soluciones son: x > 5 y x < 9. Gráficamente tenemos entonces la siguiente situación:

Por lo tanto los números reales que cumplen ambas condiciones corresponden a todos los números comprendidos entre 5 y 9. Si traducimos lo anterior a intervalo, tenemos que: ] 5 , 9 [

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Sitios sugeridos Para un resumen teórico de intervalos, inecuaciones y ejercitación, se recomienda el siguiente sitio de Internet: http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/20/matematicas-20.html Para analizar gráficamente inecuaciones lineales, se recomienda el sitio: http://www.pntic.mec.es/Descartes/Bach_CNST_1/Ecuaciones_sistemas_inecuaciones/inecuaci.htm#sistemas Resumen teórico de inecuaciones lineales con una incógnita e intervalos se encuentra en el sitio: http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/cap2.html#desig Para un resumen teórico de inecuaciones lineales y ejercicios, consultar el sitio: http://www20.brinkster.com/fmartinez/algebra6.htm Más ejemplos de inecuaciones en: http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/inecuac1.htm

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MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Estadística y Probabilidad 1. VARIABLE ALEATORIA Cuando te levantas en la mañana y esperas el bus que te lleva al colegio, seguramente piensas: ¿cuánto tiempo se demorará en pasar? Esta cantidad de tiempo depende de un evento aleatorio y, cuando es así, se dice que la variable es aleatoria. En la vida real hay muchos casos como el anterior, por ejemplo, si nos paramos en una esquina y preguntamos por la edad del entrevistado, también esta variable es una variable aleatoria. Si lanzamos un dado, sabemos que el espacio muestral E (esto es, todos los casos posibles) es: E = {1,2,3,4,5,6}. Así, cada uno de los sucesos tiene una probabilidad de 1/6; por lo tanto, si consideramos la variable aleatoria X: “la puntuación del dado”, tenemos que: P[X = 1] = P[X = 2] = P[X = 3] = P[X = 4]= P[X = 5]= P[X = 6] = 1/6 Si graficamos la variable anterior en un gráfico de barra, obtenemos el siguiente esquema:

Si queremos calcular, por ejemplo, la probabilidad de que la variable sea mayor que 3, tendremos:

P[X>3] = P[X = 4] + P[X = 5] + P[X = 6] = 1 1 1 3 16 6 6 6 2

+ + = =

Supongamos ahora que lanzamos tres monedas y contamos la cantidad de veces que sale cara. El espacio muestral consta de 8 elementos: (C,C,C) ; (C,C,S) ; (C,S,C) ; (S,C,C) ; (S,S,C) ; (S,C,S) ; (C,S,S) ; (S,S,S)

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Si X = “número de caras”, entonces la probabilidad P(x) para cada valor de X es:

El gráfico para esta variable aleatoria es:

2. PROBABILIDAD Y FRECUENCIA RELATIVA Si tiramos una moneda unas 100 veces, ¿cuántas veces crees tú que saldrá sello? Si la moneda no está cargada, se esperaría que el valor se acercara a 50. Pero si lanzamos la moneda cada vez un mayor número de veces, la frecuencia relativa de la cantidad de ocasiones que sale sello se iría acercando más y más a ½. Gráficamente, la situación sería la siguiente:

El hecho de que la frecuencia relativa se vaya acercando más y más a la probabilidad del evento, es conocido como: “La Ley de los grandes números”.

3

Esta Ley se aplica a múltiples sucesos en la vida real. Los casinos, por ejemplo, siempre tienen más probabilidad de ganar que los jugadores; si una noche resulta “muy mala para la casa” esto no le afectará, pues al correr del tiempo siempre ganará más que los apostadores. Sitio recomendado para la relación entre probabilidad y frecuencia relativa: http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capitulo1/C1m1t14.htm 3. PROBABILIDAD DE EVENTOS COMPUESTOS 3.1. EVENTOS INCOMPATIBLES Supongamos que tiras un dado y quieres determinar la probabilidad de que aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10. Para que sea múltiplo de tres, tenemos los casos: 3, 6 Para que sea un divisor de 10, tenemos los casos: 1, 2, 5 Observa que es imposible que se cumplan ambos eventos, ya que no hay ningún elemento común. En este caso se dice que son eventos incompatibles. La probabilidad de que aparezca un número múltiplo de tres o divisor de 10 es,

entonces: 2 3 56 6 6

+ =

En general si A y B son eventos incompatibles, la probabilidad del evento “A o B” se calcula mediante la expresión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) 3.2. EVENTOS COMPATIBLES Supongamos ahora que vamos a extraer una carta de un mazo inglés de 52 cartas y queremos determinar la probabilidad de sacar un as o un trébol. Para que sea un as: hay cuatro posibilidades. Para sacar un trébol hay trece posibilidades.

4

Pero en este caso, hay un elemento que es común a ambos eventos (el as de trébol), y por lo tanto los casos favorables serían 4 + 13 –1 = 16; en términos de probabilidades sería equivalente a afirmar que:

4 13 1 16 4P(As) P(Trébol) P(As y Trébol)=

52 52 52 52 13+ − + − = =

Por lo tanto, si A y B son eventos compatibles, es decir, si pueden ocurrir ambos simultáneamente, la probabilidad se calcula mediante la expresión: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) 3.3. EVENTOS INDEPENDIENTES Se dice que dos eventos son independientes cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Si tiramos una moneda tres veces, la probabilidad de que en todas las ocasiones salga cara responde a eventos independientes, ya que el resultado de un lanzamiento no afecta lo que vaya a ocurrir en el próximo. Si configuramos un diagrama de árbol para el conteo de todas las posibilidades en el lanzamiento de tres monedas, obtenemos el siguiente gráfico:

Según este diagrama, la probabilidad de obtener tres resultados cara es: 18

lo

que es equivalente a multiplicar la probabilidad de obtener cara en cada lanzamiento:

P(cara, cara y cara) = 1 1 1 12 2 2 8

⋅ ⋅ =

5

En términos de la frecuencia relativa, lo anterior es equivalente a pensar que al lanzar una moneda una cantidad de veces, la mitad de ellas saldría cara (idealmente), de la mitad de estas veces volvería a salir cara en el segundo lanzamiento, y la mitad de estas saldría cara en la tercera oportunidad; por lo tanto, la mitad de la mitad de la mitad de los lanzamientos saldría cara. De aquí que la frecuencia relativa de las veces que saldría cara en los tres

lanzamientos es: 1 1 1 12 2 2 8

⋅ ⋅ =

En general, si A y B son eventos independientes, entonces se cumple que:

( )P A B P(A) P(B)∩ = ⋅

4. PROBABILIDAD CONDICIONADA Supongamos que tenemos un ratón de laboratorio que se desplaza por el laberinto que se muestra en la siguiente figura:

¿Cuál es la probabilidad de que pueda salir del laberinto, si cada camino tiene la misma probabilidad de ser elegido por el ratón? Al entrar, el ratón puede tomar indistintamente el camino A o B, por lo tanto: P(A) = ½ y P(B) = ½. Al llegar a A, la probabilidad de elegir el camino C o D es la misma; por lo tanto, la probabilidad de elegir el camino C dado que eligió el camino A, lo que anotamos P(C/A), es ½ ; de la misma forma P(D/A) = ½. La probabilidad de elegir los caminos C y A es: P(A ∩ C) = P(A) . P(C/A) = ½ . ½ = ¼

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Por ejemplo, la probabilidad de que el ratón salga por W es igual a: P(B ∩ E) = P(B) . P(E/B) = ½ . ¼ = 1/8. Si calculamos cada una de las probabilidades tenemos la siguiente situación:

Por lo tanto, la probabilidad de que el ratoncillo salga del laberinto es: P(T o U o V) = P(T) + P(U) + P(V) = 1/8 + ¼ + 1/8 = 4/8 = ½. En general, la probabilidad del evento de que ocurra B sabiendo que ocurrió A: P(B/A) se calcula mediante la igualdad: P(A ∩ B) = P(A) . P(B/A) Ejemplo: En una tómbola hay 12 bolitas rojas y seis negras. Si se sacan dos en forma consecutiva, sin reponer la primera, ¿cuál es la probabilidad de que la primera sea roja y la segunda sea negra? La probabilidad de que la 1ª sea roja es 12/18 y de que la 2a sea negra, dado que la primera fue roja, es 6/17, por lo tanto: P(R ∩ N) = P(R) . P(N/R) = 12/18 . 6/17 = 4/17 4.1. TABLAS DE CONTINGENCIA Supongamos que encuestamos a 90 personas de las cuales 2/3 son hombres y de ellos 2/5 fuman. Si se sabe que 1/3 de las mujeres fuman; hallar: a) La probabilidad de que al elegir un encuestado al azar sea un hombre que fume. b) La probabilidad de elegir un encuestado que no fume sabiendo que es mujer.

7

Para responder lo anterior, podemos utilizar la fórmula de la probabilidad condicionada: a) P(H ∩ F) = P(H) . P(F/H) = 2/3 . 2/5 = 4/15 b) P(NF/M) es 2/3 ya que 1/3 de las mujeres fuman. Una forma alternativa de realizar esta operación es ordenando los datos dispuestos en una tabla de contingencia:

Por lo tanto:

a) P(H ∩ F) = 24 490 15

=

b) P(NF/M) = 20 230 3

=

Lo que coincide con lo hallado anteriormente. Sitios sugeridos Sitio recomendado para el estudio de la probabilidad condicionada: En el siguiente sitio podrás hallar un simulador que te permitirá comprender mejor la relación entre probabilidad y frecuencia relativa. http://www.ub.es/stat/docencia/Software/Statmedia/DemoStatm/Temas/Capitulo1/C1m1t7.htm Presentaciones Power Point Relación entre probabilidad y frecuencia relativa. Probabilidad Condicionada: http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93089.html Mendel y la probabilidad. Probabilidad condicionada: http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-95087.html

1

MATEMÁTICA MÓDULO 3 Eje temático: Geometría 1. SEGMENTOS PROPORCIONALES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO En el ∆ABC rectángulo en C de la figura: Se pueden establecer las siguientes semejanzas: 1)

De esta semejanza, se obtienen las siguientes proporciones: AH AC HC q b hAC AB CB b c a

= = ⇔ = =

2)

De esta semejanza, se tiene: BH BC HC p a hBC AB CA a c b

= = ⇔ = =

2

3)

De aquí se obtienen las proporciones: AH HC AC q h bCH HB CB h p a

= = ⇔ = =

De 1): 2q b b qc

b c= ⇔ =

De 2): 2p a a pc

a c= ⇔ =

De 3): 2q h h pq

h p= ⇔ =

Estas tres relaciones obtenidas corresponden al Teorema de Euclides. 1.1. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE AL CATETO El cuadrado de un cateto equivale al producto del cateto por la proyección de él sobre la hipotenusa. a2 = pc b2 = qc 1.2. TEOREMA DE EUCLIDES REFERENTE A LA ALTURA El cuadrado de la altura equivale al producto de las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa. h2 = pq Además de los teoremas anteriores, se puede obtener una relación para determinar la altura a través de los lados del triángulo rectángulo:

De 2) tenemos que: a hc b= , por lo tanto

abh

c=

Por lo tanto, la altura equivale al producto de los catetos dividido por la hipotenusa.

3

Otro teorema importante en el triángulo rectángulo es el siguiente: 1.3. TEOREMA DE PITÁGORAS El cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos. c2 = a2 + b2

Podemos demostrar este teorema utilizando los teoremas anteriores, como veremos a continuación: Por Euclides tenemos que: a2 = pc y b2 = qc, entonces a2 + b2 = pc+qc = c(p+q) ; pero p+q=c, si reemplazamos obtenemos: a2+b2= c(p+q)=c . c = c2

1.4. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITÁGORAS Diagonal de un cuadrado

La diagonal de un cuadrado equivale al producto del lado por 2 Demostración: Utilizando el teorema de Pitágoras: d2 = a2 + a2

d2 = 2a2 /

d a 2=

4

Altura de un triángulo equilátero

La altura de un triángulo equilátero equivale a la mitad del lado por 3 Demostración: Según la figura, por tratarse de un triángulo equilátero la altura cae en el punto medio del lado opuesto. Ocupando el teorema de Pitágoras:

22 2

22 2

22 2

22

ah a

2

ah a

4a

h a4

3ah /

4a

h 32

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

= −

=

=

Ejemplo: En la figura, el polígono es un hexágono regular cuyo lado mide 12 cm. ¿Cuánto mide la superficie sombreada? Cada uno de los triángulos sombreados corresponde a un triángulo equilátero de lado 12 cm.

5

La altura, según la fórmula anterior es: a 12

3 3 62 2

= = 3

El área de cada triángulo sombreado es:

base altura 12 6 3A 3

2 2⋅ ⋅

= = = 6 3

Por lo tanto el área sombreada es: ( )36 3 3 108 3⋅ = cm2.

2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO Supongamos que tenemos los triángulos rectángulos ABC y DEF de la figura, que a su vez tienen un ángulo agudo α congruente. Por el criterio (A,A) los triángulos son semejantes, por lo tanto: a c a a

o bien: a' c ' c c '

= ='

Es decir, si se conoce uno de los ángulos agudos, la razón entre dos lados del triángulo rectángulo es constante. Debido a que la razón entre los lados es constante y depende exclusivamente del ángulo α, se establecieron todas las razones posibles entre dos de los lados del triángulo rectángulo. Estas razones se denominan razones trigonométricas en el triángulo rectángulo y se definen de la siguiente forma: Sea el ∆ABC, rectángulo en C de la figura:

6

Se definen las siguientes razones trigonométricas para el ángulo agudo α: 2.1. PROPIEDADES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS Observa que las razones trigonométricas cumplen con las siguientes propiedades:

1) sen

t g cos

αα =

α

2) cos

ctg sen

αα =

α

3) 1

ctg tg

α =α

4) 1

seccos

α =α

5) 1

cosec sen

α =α

6) 2 2cos sen 1α + α =7) 2 21 t g sec+ α = α

7

Las propiedades 6 y 7 se llaman identidades pitagóricas y las demostraremos a continuación: Demostración de 6: En el ∆ABC anterior, teníamos que:

2 2 2 2 2 2 22 2

2 2 2 2

a bsen y cos ;

c c

a b a b a b centonces sen cos 1

c c c c c c

α = α =

+⎛ ⎞ ⎛ ⎞α + α = + = + = = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Demostración de 7:

2 2 2 2 22 2

2 2 2

a a a b c1 t g 1 1 sec

b b b b+⎛ ⎞+ α = + = + = = =⎜ ⎟

⎝ ⎠α

Fíjate que en ambas demostraciones planteamos que a2 + b2 = c2, motivo por el cual ambas identidades se denominan identidades pitagóricas. 2.2. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS PARA ÁNGULOS DE 30°, 45° Y 60° Si consideramos un triángulo rectángulo isósceles de cateto “a”, entonces la

hipotenusa mide a 2 (ver diagonal de un cuadrado)

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Si en este triángulo calculamos las razones trigonométricas, obtenemos:

a 1sen 45

2a 2 2

a 1cos 45

2a 2 2a

t g 45 1aa

ctg 45 1a

a 2sec 45 2

a

a 2cosec 45 2

a

° = = =

° = = =

° = =

° = =

° = =

° = =

2

2

Para calcular las razones trigonométricas para los ángulos de 30° y 60°, ocuparemos el triángulo equilátero de la figura:

9

En el triángulo rectángulo, se cumple que:

a /2 1sen 30 cos 60

a 2a

3 32cos 30 sen 60a 2

a /2 1 3tan 30 ctg 60

a 3332a

32ctg 30 3 tg 60a /2

a 2 2 3sec 30 cosec 60

a 3332

acosec 30 2 sec 60°

a /2

° = = = °

° = = = °

° = = = = °

° = = = °

° = = = = °

° = = =

Resumiendo, las razones trigonométricas sen, cos y tan para 30°, 45° y 60° son:

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2.3. APLICACIONES DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL CÁLCULO DE DISTANCIAS Ejemplo: Un poste de altura h está sujeto por una cuerda de longitud L con un ángulo de inclinación α. ¿Cuál es la altura del poste? En el triángulo rectángulo de la figura se conoce la hipotenusa y se requiere calcular el cateto opuesto, por lo tanto ocupamos la razón trigonométrica sen α:

hsen h L sen

Lα = ⇒ = ⋅ α

Esta expresión nos permite calcular la altura del poste, una vez conocidos α y L. Ejemplo: Una escalera de 6 m de largo se apoya en un muro vertical con un ángulo de inclinación α. ¿A qué distancia se ubica la base de la escalera con respecto al muro?

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En el triángulo rectángulo de la figura conocemos α, la hipotenusa, y deseamos calcular el cateto adyacente a α. Utilizando la razón trigonométrica cos α, tenemos:

xcos x 6 cos

6α = ⇒ = ⋅ α

Por lo tanto, la distancia que hay entre la base de la escalera y muro es 6 . cos α. Sitios sugeridos En los siguientes sitios puedes ver las demostraciones de los teoremas de Euclides y de Pitágoras a través de áreas: Se recomiendan los excelentes applet que se encuentran en los sitios: http://www.cnice.mecd.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/geometria_triangulo/teorema_del_cateto.htm http://www.cnice.mecd.es/eos/MaterialesEducativos/mem2002/geometria_triangulo/teorema_de_pitagoras.htm Sitio web recomendado para el estudio de la trigonometría en el triángulo rectángulo: http://www.pntic.mec.es/Descartes/4a_eso/Razones_trigonometricas/Ratrigo.htm Presentación Power Point Acerca de Euclides y trigonometría en el triángulo rectángulo: http://www.educarchile.cl/ntg/mediateca/1605/article-93090.html