Holt Álgebra 2 - on.mac-eg.com · Propiedad del producto de raíces cuadradas. 3 √ 4 · 3 _ 6...

Holt Álgebra 2

Resumen y repaso

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ISBN 0-03-041492-X

1 2 3 4 5 862 10 09 08 07 06

CAPÍTULO 1 Fundamentos de las funciones Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

CAPÍTULO 2 Funciones lineales Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5

CAPÍTULO 3 Sistemas lineales Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

CAPÍTULO 4 Matrices Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .13

CAPÍTULO 5 Funciones cuadráticas Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .17

CAPÍTULO 6 Funciones polinomiales Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

CAPÍTULO 7 Funciones exponenciales y logarítmicas Guía de estudio: Repaso . . . . . .25

CAPÍTULO 8 Funciones racionales y radicales Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . .29

CAPÍTULO 9 Propiedades y atributos de las funciones Guía de estudio: Repaso . . . . . . . .33

CAPÍTULO 10 Secciones cónicas Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

CAPÍTULO 11 Probabilidad y estadística Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41

CAPÍTULO 12 Sucesiones y series Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

CAPÍTULO 13 Funciones trigonométricas Guía de estudio: Repaso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .49

CAPÍTULO 14 Identidades y gráficas trigonométricas Guía de estudio: Repaso . . . .53

RESPUESTAS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

CONTENIDOS

Copyright © by Holt, Rinehart and Winston. iii Holt Álgebra 2All rights reserved.

Capítulo 1 Fundamentos de las funciones 1

Completa el enunciado con las palabras del vocabulario.

1. En una función, el/la −−−−−−

? es el conjunto de valores de entrada y el/la −−−−−−

? es el conjunto de valores de salida.

Vuelve a escribir cada conjunto en la notación indicada.

2. [-5, ∞); notación por comprensión

3. notación de intervalo

4. ⎧

⎨

⎩

x | x > 3 y x ∈ �

⎫

⎬

⎭

; notación por extensión

5. (-∞, -2

) ó

(5, ∞

) ; notación por comprensión

6. ⎧

⎨

⎩

x | -4 < x ≤ 5 y x ∈ �

⎫

⎬

⎭

; palabras

7. 5.5 ≤ x ≤ 5.6; notación de intervalo

Vuelve a escribir cada conjunto en la notación indicada.

■ ; notación de

intervalo

El intervalo son los números reales mayores que o iguales a -2.

[-2, ∞) -2 incluido, infinito no incluido.

■ (-1, 6

) ; notación por comprensión

⎧

⎨

⎩

x | -1 < x < 6 ⎫

⎬

⎭

No se incluye ninguno de los dos extremos.

1-1 Conjuntos de números (págs. 6–13)

EJERCICIOSE J E M P L O S

Identifica la propiedad que se demuestra en cada ecuación.

8. 2x √

�

3 = √

�

3 · (2x) 9. 9.9x - 2 x = (9.9 - 2) x

Halla el inverso aditivo y multiplicativo de cada número.

10. 0.55 11. - 7 _ 8

12. 1. −

2

■ Identifica la propiedad que se demuestra en la ecuación 3 (8x) = (3 · 8) x.

En la ecuación, se han reagrupado los factores. La propiedad de la multiplicación que permite la reagrupación es la propiedad asociativa.

1-2 Propiedades de los números reales (págs. 14–19)

EJERCICIOSE J E M P L O

ajuste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

compresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

conjunto finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

conjunto infinito . . . . . . . . . . . . . . . . 7

conjunto vacío . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

elemento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45

función madre . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

notación científica . . . . . . . . . . . . .36

notación de función . . . . . . . . . . . .51

notación de intervalo . . . . . . . . . . . . 7

notación por comprensión . . . . . . . 8

notación por extensión . . . . . . . . . . 7

racionalizar el denominador . . . .22

radicales semejantes . . . . . . . . . . . .23

radicando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

raíz principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21

rango . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60

relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .44

símbolo de radical . . . . . . . . . . . . . .21

subconjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

transformación . . . . . . . . . . . . . . . . .59

traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .59

variable dependiente . . . . . . . . . . .52

variable independiente . . . . . . . . .52

Vocabulario

2 Guía de estudio: Repaso

Estima a la décima más cercana.

13. √ �

12 14. √ �

55

15. √

�

74 16. √ �

29

Simplifica cada expresión.

17. √ �

32 18. √

� 64 _

√ �

4

19. 2 √ �

2 - √ �

72 20. √ �

3 · √ �

21

21. 7 _

√

�

2 22.

2 √ �

20 _

5 √ �

8

■ Simplifica la expresión 3 √ � 2

_ √ � 6

.

3 √

� 2 _

√ �

6 ·

√ � 6 _

√ � 6 Racionaliza el denominador.

3 √

� 12 _

6 Propiedad del producto de raíces

cuadradas.

3 √

�� 4 · 3 _

6 Propiedad del producto de raíces

cuadradas.

6 √

� 3 _

6 = √

� 3

1-3 Raíces cuadradas (págs. 21–26)


Evalúa cada expresión para los valores dados de las variables.

23. x 2 y - x y 2 para x = 6 e y = -2

24. -

x 2 _ 2

+ 5xy - 9y para x = 4 e y = 2

25. n 2 + mn - 1

__ 4 m 2 n

para m = 2 y n = -1


26. -x - 2y + 9x - y + 3x 27. 7 - (5a - b) + 11

28. -4 (

2x + 3y)

+ 5x 29. c ( a 2 - b) + 3bc

■ Evalúa 6c - 3 c 2 + d 3 para c = -1 y d = 3.

6 (-1) - 3 (-1) 2 + (3) 3 Sustituye c por -1 y d por 3.

-6 - 3 (1) + 27 = 18

■ Simplifica la expresión 3m + (m - 5n) 2.

3m + (2m - 10n) Distribuye el 2.

3m + 2m - 10n Identifica los términos semejantes.

5m - 10n Combina los términos similares.

1- 4 Cómo simplificar expresiones algebraicas (págs. 27–32)


Simplifica cada expresión. Debes suponer que todas las variables son distintas de cero.

30. (-2 x 5 y -3

) 3 31.

-24 x 4 y -6 _

14x -3 y 3

32. (

r 2 s _ s 3

)

2

33. 4mn ( m 5 n -5 )

Simplifica cada expresión. Escribe cada respuesta en notación científica.

34. 7.7 × 10 5 _ 1.1 × 10 -2

35. (4.5 × 10 -2 ) (1.2 × 1 0 3 )

■ Simplifica la expresión 6 m 4 n -3 _ 18 m 3 n

. Debes suponer

que todas las variables son distintas de cero.

6 _ 18

( m 4 - 3 n -3 - 1 ) Propiedad del cociente de potencias

1 _ 3

(m n -4 ) Simplifica.

m _ 3 n 4

Propiedad del exponente negativo

1- 5 Propiedades de los exponentes (págs. 34–41)


Capítulo 1 Fundamentos de las funciones 3

Da el dominio y el rango de cada relación. Luego determina si la relación es una función.

36. 37.

38.⎧

⎨

⎩

(3, 4) , (4, 3) , (0, 3) , (-2, 4) ⎫

⎬

⎭

39. x 5 10 15 20 25

y -5 -4 -3 -2 -1

40. relación entre las primeras tres letras del alfabeto y los estados de Estados Unidos que comienzan con una de esas letras

■ Da el dominio y el rango de la relación. Luego determina si la relación es una función.

Costos de videojuegos

Juegos 1 2 3 4

Costo ($) 0.50 1.00 1.50 2.00

Dominio: ⎧

⎨

⎩

1, 2, 3, 4 ⎫

⎬

⎭

Variable independiente

Rango: ⎧

⎨

⎩

0.50, 1.00, 1.50, 2.00 ⎫

⎬

⎭

Variable dependiente

Cada cantidad de juegos está asociada con un solo costo.

La relación entre la cantidad de juegos y el costo es una función.

1- 6 Relaciones y funciones (págs. 44–50)


En cada función, halla ƒ (2) , ƒ ( 1 __ 2 ) y ƒ (-2) .

41. f (x) = -x 2 + 2 42. f (x) = -5x - 6

43. 44.

Representa gráficamente cada función.

45. 46. f (x) = 10 - 2x

47. Geometría El área total de un cubo es el cuadrado de su longitud lateral por 6. Escribe una función para representar el área total de un cubo. ¿Cuál es el valor de la función para un valor de entrada de 10 centímetros y qué representa?

■ Una empresa de teléfonos celulares cobra $40 por mes por los primeros 500 minutos más $0.75 por cada minuto adicional. Escribe una función para representar el costo total mensual a partir de la cantidad de minutos usados. ¿Cuál es el valor de la función para un valor de entrada de 30 y qué representa?

Sea c el costo total mensual y sea m la cantidad de minutos adicionales.

costotarifa

mensualcargo

minutosadicionales

= +

·

c(m) 40 0.75 m= +

·

c (30) = 40 + 0.75 (30) = 40 + 22.5

= 62.5 El valor de c (m) para un valor de entrada de 30 es

c (30) = 62.5. Esto significa que el costo mensual al usar 30 minutos adicionales es $62.50.

1-7 Notación de función (págs. 51–57)



Realiza la transformación dada al punto (5, -1) . Da las coordenadas del nuevo punto.

48. 5 unidades hacia la izquierda, 4 unidades hacia abajo.

49. reflexión sobre el eje x.

En la gráfica se muestran las tarifas de un estacionamiento. Traza una gráfica para representar cada situación e identifica la transformación que representa respecto de la gráfica original.

50. Las tarifas se reducen a la mitad los fines de semana.

51. Las tarifas aumentan un 10%.

52. Todas las tarifas aumentan $1.00.

■ En la gráfica se muestran las tarifas del monitoreo de alarmas hogareñas. Traza una gráfica para

representar una reducción de de la tarifa 1 __ 5 en

los contratos a largo plazo. Luego identifica

la transformación de la gráfica original que representa la nueva gráfica.

Cada precio es 4 __ 5 del precio original. Esto representa

una compresión vertical de la gráfica por un factor de 4 __

5 .

1- 8 Cómo explorar las transformaciones (págs. 59–66)


Identifica la función madre de g a partir de su ecuación. Luego representa gráficamente g en tu calculadora y describe qué transformación de la función madre representa.

53. g (x) = x 2 - 1 54. g (x) = - √

�

x

55. Representa gráficamente los datos de la tabla. Describe la función madre que más se aproxime al conjunto de datos. Luego usa la gráfica para estimar la presión en las llantas de la bicicleta de una persona que pesa 95 libras.

Presión de las llantas de una bicicleta

Peso del ciclista (lb)

110 140 170 200 230

Presión (lb por pulg2)

95 105 115 125 135

■ Identifica la función madre de g (x) = √ �� x - 4 a partir de su ecuación. Luego representa gráficamente g en tu calculadora y describe qué transformación de la función madre representa.

g (x) = √

��

x - 4 es una función de raíz cuadrada.

La gráfi ca de la función madre de la raíz cuadrada cruza el eje x en el punto (0,0).

La gráfica de la función g (x) = √ ��

x - 4 cruza el eje x en el punto (4,0).

Por lo tanto, g (x) = √ ��

x - 4 representa una traslación de 4 unidades hacia la derecha de la función madre de la raíz cuadrada.

1- 9 Presentación de las funciones madre (págs. 67–73)


Capítulo 2 Funciones lineales 5

Completa los enunciados con las palabras del vocabulario.

1. Si no hay valores que hagan verdadera a una ecuación, entonces la ecuación es un(a) −−−−−

? .

2. La ecuación y - 5 = 2 (x - 1) está en −−−−−

? .

3. −−−−−−

? es la fuerza y la dirección de la relación lineal entre dos variables.

Resuelve.

4. 35 = 7 (2x - 8)

5. 3x + 12 - 9x = 12 - 6x

6. 4 (3x + 5) = 12 - 2x

7. 3x - 5 (x + 3) = 16 - 4x

8. 5 _ 2

(

3x -

3 _ 2

)

- 3 _ 4

= 2 _ 3

x + 4

9. Producir imanes cuesta $10 más $1.25 por cada unidad. Los vendes a $1.75. ¿Cuántos imanes se vendieron si obtuviste una ganancia de $60?

10. 24 ≥ 6x - 18

11. 8x + 12 < 5x - 20

12. 13 - 5x _ 8

≥ - 4

Escribe una ecuación o desigualdad y resuelve.

13. La membresía del gimnasio de Ali cuesta $19.95 por mes. Ali paga $2.75 cada vez que hace ejercicios. Si Ali quiere gastar menos de $50 por mes en el gimnasio, ¿con qué frecuencia puede ir?

Resuelve.

■ 5 (x + 4) = 3x - 2 5x + 20 = 3x - 2

2x + 20 = -2 2x = -22 x = -11

■ 15 - 3x _ 2

< 12

15 - 3x < 24 -3x < 9 x > -3

2-1 Cómo resolver ecuaciones lineales y desigualdades (págs. 90–96)


Usa la propiedad distributiva.

Resta 3x de ambos lados.

Resta 20 de ambos lados.

Divide ambos lados entre 2.

Multiplica ambos lados por 2.Resta 15 de ambos lados.Divide ambos lados entre –3x y revierte la desigualdad.

coeficiente de correlación . . . . . . .143

conjunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

conjunto solución de una ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

contradicción . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

correlación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .142

desigualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

desigualdad lineal . . . . . . . . . . . . . .124

disyunción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .150

ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

ecuación lineal con una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

forma de pendiente-intersección . . . . . . .107

forma de punto y pendiente . . . . .116

función de valor absoluto . . . . . . .158

función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . .105

identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

intersección con el eje x . . . . . . . . .106

intersección con el eje y . . . . . . . . .106

línea de límite . . . . . . . . . . . . . . . . . .124

línea de mejor ajuste . . . . . . . . . . . .142

medición indirecta . . . . . . . . . . . . . . .99

pendiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

proporción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

razón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .97

regresión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140

semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .99

tasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .98

valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . .151


Resuelve cada proporción.

14. 12 _ x = 4 _ 11

15. -9 _ 4

= 3x _ 20

16. x - 3 _ 4

=-

5 _ 3

17. 4 _ 5 - 2x

= 3 _ 3x - 1

18. Si un mástil de 20 pies de altura proyecta una sombra de 6 pies, ¿cuánto medirá la sombra de un edificio de 15 pies de altura a la misma hora del día?

Resuelve la proporción.

■ x + 2

_ 12

= 15 _ 20

20 (x + 2) = (12) (15) Iguala los productos cruzados. 20x + 40 = 180

20x = 140

x = 7

2-2 Razonamiento proporcional (págs. 97–103)


Determina si el conjunto de datos podría representar una función lineal.

19. x 1 4 7 10

f (x) 3 -2 -7 -12

Halla las intersecciones. Luego represéntalas gráficamente.

20. 2x + 5y = 10 21. -6x + 9y = -18

22. 8x = 12y - 18 23. y = 6-4x

Escribe cada función en forma de pendiente-intersección. Luego represéntala gráficamente.

24. 6x + 3y = 15 25. 5x - 3y = -9

26. 9x = 12 - 6y 27. 8 _ 9

x + 4 _ 3

y = 12

Determina si cada línea es vertical u horizontal. Luego represéntala gráficamente.

28. -3 = x 29. y = 5 _ 2

30. Un escalador desciende por un precipicio de 500 pies de altura. Tras 8 minutos, el escalador ha descendido hasta los 280 pies. Halla la altura como una función lineal del tiempo y representa gráficamente la función.

Halla las intersecciones. Luego represéntalas gráficamente.

■ 2x - 3y = 12 2x = 12 Iguala y a 0 para hallar la

intersección con el eje x.Iguala x a 0 para hallar la intersección con el eje y.

x = 6 -3y = 12 y = -4

Escribe cada función en forma de pendiente-intersección. Luego represéntala gráficamente.

■ 4x + 3y = 24

3y = -4x + 24 Despeja el término de y.


y = - 4 _ 3

x + 8

2-3 Cómo representar gráficamente funciones lineales (págs. 105–112)


Capítulo 2 Funciones lineales 7

Escribe la ecuación de cada línea en forma de pendiente-intersección.

31. pasa por (4, 6

) y tiene una pendiente de 1 _

2

32. pasa por (2, 6

) y

(3, 9

)

33. pasa por (4, -2

) y es paralela a y = 3 _

2 x + 9

34. pasa por (-3, 4

) y es perpendicular a y = 3 _

2 x + 9

■ Escribe la ecuación de la línea que atraviesa (3, 4

) y

(5, 10

) en forma de pendiente-intersección.

Halla la pendiente m = 10 - 4 _ 5 - 3

= 3

Método 1 Método 2

y - y1 = m (x - x1) y = mx + by - 4 = 3 (x - 3) y = 3x + b

y - 4 = 3x-9 4 = 3 (3) + b y = 3x - 9 + 4 -5 = b -5 es la

intersección con el eje y

y = 3x - 5 y = 3x - 5

2-4 Cómo escribir funciones lineales (págs. 115–123)


Halla y. Representa gráficamente la solución.

35. y > -3 36. y ≤ x + 3

37. 2x + 4y > -12 38. 6x - 2y > 8

39. Escribe una desigualdad para la gráfica.

40. Una galería ofrece una entrada de acceso limitado a $12 y una entrada estándar a $21. Se vendieron entradas por un total de más de $2520. Escribe y representa gráficamente una desigualdad para las cantidades de cada tipo de entrada vendida.

Halla y. Representa gráficamente la solución.

■ 3x - 5y ≤ 10

-5y ≤ -3x + 10

y ≥ 3 _ 5

x - 2

Usa una línea de límite continua y sombrea la región por encima de la línea.

2-5 Desigualdades lineales con dos variables (págs. 124–131)


Sea g (x) la transformación indicada de f (x) = x. Escribe la regla para g (x) .

41. desplazamiento horizontal de 8 unidades hacia la derecha

42. desplazamiento vertical de 5 unidades hacia arriba seguido de un ajuste vertical por un factor de 3

43. desplazamiento horizontal de 3 unidades hacia la izquierda seguido de un desplazamiento vertical hacia abajo de 7 unidades

44. desplazamiento vertical de 5 unidades hacia arriba seguido de una reflexión sobre el eje x

45. desplazamiento horizontal de 12 unidades hacia la derecha seguido de una reflexión sobre el eje y

Sea g (x) la transformación indicada de f (x) = x. Escribe la regla para g (x) .

■ desplazamiento horizontal de 5 unidades hacia la izquierda seguido de un ajuste horizontal por un factor de 3

Trasladar f (x) 5 unidades hacia la izquierda reemplaza cada x por (x + 5) .

Sea h (x) = f (x + 5)

Reemplaza cada x por (

x _ 3

)

.

g (x) = h (

x _ 3

)

= x _ 3

+ 5

2-6 Cómo transformar funciones lineales (págs. 134–140)



46. Halla lo siguiente para este conjunto de datos sobre la mediana de ingresos y la mediana de precios de casas.

a. Haz un diagrama de dispersión con los datos usando la mediana de ingresos como variable independiente.

b. Halla el coeficiente de correlación r y la línea de mejor ajuste de estos datos.

Mediana de ingreso (millares)

Mediana de precios de casas (millares)

69.5 130.2

46.3 94.5

56.7 115.5

65.2 106.4

54.7 98.6

59.6 115.5

■ Haz un diagrama x 2 5 9 13 16

y 8 10 24 16 29de dispersión con los datos. Halla el coeficiente de correlación r y la ecuación de la línea de mejor ajuste.

El diagrama de dispersión se muestra a la derecha.

Usa LinReg en tu calculadora de gráficas.

r ≈ 0.834. La ecuación de la línea de mejor ajuste es y ≈ 1.32x + 5.56.

2-7 Cómo ajustar una curva con modelos lineales (págs.142–149)


Resuelve.

47. ⎪x - 8⎥ = 20 48. ⎪

x - 6 _ 5

⎥

= 12

49. 4 ⎪3x - 8⎥ + 16 = 2

Resuelve cada desigualdad. Luego representa gráficamente la solución.

50. 3x + 6 > 15 ó 5x + 13 <-12

51. 2 (3x + 6) ≤ 32 + 2x Y 5x + 15 ≥ 2x + 9

52. ⎪4x - 8⎥ < 4 53. ⎪5x + 10⎥ ≥ 30

Resuelve la desigualdad. Luego representa gráficamente el conjunto solución.

■ ⎪2x + 8⎥ - 10 ≤ 2

⎪2x + 8⎥ ≤ 12

2x + 8 ≤ 12 y 2x + 8 ≥-12 Conjunción

2x ≤ 4 y 2x ≥-20

x ≤ 2 y x ≥-10

El conjunto solución es {x � -10 ≤ x ≤ 2}

2-8 Cómo resolver desigualdades y ecuaciones de valor absoluto (págs.150–156)


Traslada f (x) = ⎪x⎥ para que el vértice esté en el punto dado.

54. (-5, 7

) 55.

(6, -9

)

Realiza cada transformación. Luego represéntala gráficamente.

56. f (x) = ⎪x - 4⎥ + 1 reflejada sobre el eje y

57. f (x) = ⎪3x + 1⎥ comprimida verticalmente por 1 _ 3

58. f (x) = ⎪x - 3⎥ + 5 reflejada sobre el eje x

■ Refleja la gráfica de f (x) = ⎪x + 3⎥ - 2 sobre el eje x y representa gráficamente la función.

g (x) = -

( ⎪x + 3⎥ -2

) g (x) = -f (x)

g (x) = - ⎪x + 3⎥ + 2

2-9 Funciones de valor absoluto (págs.158–163)


Capítulo 3 Sistemas lineales 9

Vocabularioecuaciones paramétricas . . . . . . . .230

eje z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .214

eliminación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191

función objetiva . . . . . . . . . . . . . . . .206

parámetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .230

programación lineal . . . . . . . . . . . .205

región factible . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

restricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205

sistema consistente . . . . . . . . . . . . .183

sistema de coordenadas tridimensional . . . . . . . . . . . . . .214

sistema de desigualdades lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .199

sistema de ecuaciones . . . . . . . . . .182

sistema dependiente . . . . . . . . . . . .184

sistema inconsistente . . . . . . . . . . .183

sistema independiente . . . . . . . . . .184

sistema lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . .182

sustitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .190

triple ordenado . . . . . . . . . . . . . . . . .214

Resuelve cada sistema usando una gráfica y una tabla.

6. ⎧

⎨

⎩

y = 2x

3x - y = 5 7.

⎧

⎨

⎩

x + y = 6

x - y = 2

8. ⎧

⎨

⎩

x - 6y = 2

2x - 5y = -3 9.

⎧

⎨

⎩

x - 3y = 6

3x - y = 2

Clasifica cada sistema y determina la cantidad de soluciones.

10. ⎧

⎨

⎩

y = x - 7

x + 9y = 16 11.

⎧

�

⎨

�

⎩

1 _ 2

x + 2y = 3

x + 4y = 6

12. ⎧

⎨

⎩

5x - 10y = 8

x - 2y = 4 13.

⎧

⎨

⎩

4x - 3y = 21

2x - 2y = 10

14. Seguridad Un cerrajero cobra $25 por hacer una visita a domicilio y $15 por cada cerradura a la que cambia la combinación. Otro cerrajero cobra $10 por hacer una visita a domicilio y $20 por cada cerradura a la que cambia la combinación. ¿Para cuántas cerraduras será igual el costo total?

■ Resuelve ⎧

⎨

⎩ x + y = 3

3x - 6y = -9

usando una gráfica

y una tabla.

Despeja y en cada ecuación.

⎧

�

⎨

�

⎩

y = -x + 3

y = 1 _

2 x + 3 _

2

Haz una tabla de valores.

y = -x + 3 y = 1 _ 2

x + 3 _ 2

x y

0 3

1 2

4 1

x y

0 1.5

1 2

4 2.5

La solución es (1, 2).

3-1 Cómo usar gráficas y tablas para resolver sistemas lineales (págs. 182–189)



1. Un sistema consistente y −−−−−−

? tiene infinitas soluciones.

2. −−−−−−

? implica sumar o restar ecuaciones para quitar una de las variables de un sistema.

3. En un problema de programación lineal, la solución del/de la −−−−−−

? puede representarse gráficamente como un(a)

−−−−−−

? .

4. Cada punto en un(a) −−−−−−

? puede representarse con un(a) −−−−−−

? .

5. Un sistema −−−−−−

? es un conjunto de ecuaciones o desigualdades que tiene por lo menos una solución.

Representa gráficamente las líneas.


Usa la eliminación para resolver cada sistema de ecuaciones.

15. ⎧

�

⎨

�

⎩

y = 3x

2x - 3y = -7

16.⎧

�

⎨

�

⎩

y = x - 1

4x - y = 19

17.⎧

�

⎨

�

⎩

4x - y = 0

6x - 3y = 12

18.⎧

�

⎨

�

⎩

5x = -10y

8x - 4y = 40


19.⎧

�

⎨

�

⎩

4x + 5y = 41

7x + 5y = 53

20.⎧

�

⎨

�

⎩

-4x - y = -16

-4x - 5y = -32

21.⎧

�

⎨

�

⎩

2x - y = 8

x + 2y = 9

22.⎧

�

⎨

�

⎩

9x - 5y = 13

4x - 6y = 2

23. Mezclas Una popular mezcla de popurrí incluye agujas de pino y lavanda. Si las agujas de pino cuestan $1.50 por onza y la lavanda cuesta $4.00 por onza, ¿qué cantidad de cada ingrediente se debe mezclar para hacer 80 onzas de popurrí por un valor de $200?

■ Usa la sustitución para resolver ⎧

�

⎨

�

⎩

y = x + 6

4x - 5y = -18

.

4x - 5 (x + 6) = -18 Sustituye y. 4x - 5x - 30 = -18 ➔ x = -12

Sustituye el valor de x en una de las ecuaciones.

y = x + 6 ➔ y = (-12) + 6 ➔ y = -6

La solución del sistema es (-12, -6

) .

■ Usa la eliminación para resolver ⎧

�

⎨

�

⎩

7x - 2y = 2

3x + 4y = 30

.

Multiplica la primera ecuación por 2 para eliminar y.

⎧

⎨

⎩

7x - 2y = 2

3x + 4y = 30 ➔

2(7x - 2y = 2)

2(3x + 4y = 30 ➔

14x - 4y = 4

13x + 4y = 34

Suma las ecuaciones. 17x = 34Primera parte de la solución x = 2

Sustituye el valor de x en una de las ecuaciones.

3x + 4y = 30 ➔ 3 (2) + 4y = 30

➔ y = 6 Segunda parte de la solución

La solución del sistema es (2, 6

) .

3-2 Cómo usar métodos algebraicos para resolver sistemas lineales (págs. 190 –197)


Representa gráficamente cada sistema de desigualdades.

24.⎧

�

⎨

�

⎩

y + 1 > 4x

y ≤ x + 1

25.⎧

�

⎨

�

⎩

y - 3x < 3

3y ≥ x + 3

Representa gráficamente el sistema de desigualdades y clasifica la figura creada por la región solución.

26.

⎧

�

⎨

�

⎩

y ≤ -x + 2

x > -1

y > -1

27.

⎧

�

�

⎨

�

�

⎩

y ≥ 2x

y < 4

y > 2

y ≤ 1 _

2 x + 4

28. Negocios Una cafetería quiere preparar un máximo de 120 lb de una mezcla de café que cueste menos de $10/lb. La tienda mezclará un café que se vende a $8/lb con un café que se vende a $11.50/lb. Escribe y representa gráficamente un sistema de desigualdades que muestre las mezclas posibles de los dos tipos de café.

■ Las ventas anuales totales de las dos divisiones de una compañía sumaron casi $12 millones. Una de las divisiones produjo por lo menos el 75% de las ventas totales. Escribe y representa gráficamente un sistema de desigualdades que se pueda usar para determinar las combinaciones posibles de ventas para ambas divisiones de la compañía.

Sea x una división y sea y la otra división con el 75% de las ventas.

Escribe el sistema de desigualdades.

⎧

�

⎨

�

⎩

x + y < 12

y ≥ 0.75(x + y)

➔ ⎧

�

⎨

�

⎩

x + y < 12

y ≥ 3x

Representa gráficamente las líneas de límite y sombréalas como corresponda. Observa también que x > 0 e y > 0.

La región superpuesta es la solución del sistema.

3-3 Cómo resolver sistemas de desigualdades lineales (págs. 199–204)


línea discontinua

línea continua

Capítulo 3 Sistemas lineales 11

Representa gráficamente cada región factible.

29.

⎧

�

�

⎨

�

�

⎩

30.

⎧

�

�

⎨

�

�

⎩

x < 3

y ≥ 0

y < 2x + 1

y ≤ -x + 4

31.

⎧

�

⎨

�

⎩

32.

⎧

�

�

⎨

�

�

⎩

x ≤ 2

y ≥ -1

x ≥ -1

y ≤ -x + 3

Maximiza o minimiza cada función objetiva.

33. Maximiza P = 6x + 10y para las restricciones del Ejercicio 29.

34. Minimiza P = 14x + 9y para las restricciones del Ejercicio 30.

Producción Una compañía de plantillas de zapatos produce dos modelos de plantilla: una plantilla extra gruesa para zapatos deportivos y una plantilla más delgada para zapatos de vestir. La plantilla gruesa se fabrica en 6 minutos y genera una ganancia de $8. La plantilla delgada se fabrica en 4 minutos y genera una ganancia de $9. La línea de producción funciona como máximo durante 12 horas o 720 minutos al día. Debido a la demanda, la compañía fabrica, por lo menos, dos veces más suelas gruesas que suelas delgadas.

35. Escribe las restricciones y representa gráficamente la región factible.

36. Escribe la función objetiva para las ganancias de la compañía.

37. ¿Cuál es la ganancia máxima que se puede generar en un día?

38. Ventas Cada día, un puesto de venta de teléfonos celulares vende entre 10 y 25 teléfonos celulares con contratos de servicio nuevo, y entre 5 y 10 teléfonos celulares sin contrato. El puesto nunca vende más de 30 teléfonos celulares nuevos por día. El puesto de teléfonos celulares gana una comisión de $35 por cada teléfono con contrato y $5 por cada teléfono sin contrato. ¿Cuántos teléfonos de cada opción maximizarían las ganancias del puesto?

■ Un café vende sándwiches fríos y entradas calientes. El rango de productos vendidos se muestra en la tabla. El café nunca ha vendido más de un total de 125 sándwiches y entradas en un solo día. Si el café tiene una ganancia de $0.75 por cada sándwich y $1 por cada entrada caliente, ¿qué cantidad de cada producto maximizaría las ganancias del café?

Producto del menú

Mínimo vendido

Máximo vendido

Sandwiches fríos

60 80

Entradas calientes

40 60

Sea x la cantidad de sándwiches fríos y sea y la cantidad de entradas calientes.

Escribe las restricciones.

⎧

�

⎨

�

⎩

60 ≤ x ≤ 80

40 ≤ y ≤ 60

x + y < 125

Representa gráficamente la región factible e identifica los vértices.

La región factible tiene cinco vértices en

(60, 40

) ,

(60, 60

) ,

(65, 60

) ,

(80, 45

) ,

y (80, 40

) .

Escribe la función objetiva.

La función objetiva

es P = 0.75x + y.

P ( 0, 0) = 18 (0) + 25 (0) = 0

Evalúa la función objetiva en cada vértice.

P ( 60, 40) = 0.75 (60

) + 40 = 85

P ( 60, 60) = 0.75 (60

) + 60 = 105

P ( 65, 60) = 0.75 (65

) + 60 = 108.75

P ( 80, 45) = 0.75 (80

) + 45 = 105

P ( 80, 40) = 0.75 (80

) + 40 = 100

La función objetiva se maximiza en (65, 60). La ganancia máxima de $108.75 se obtiene al vender 65 sándwiches fríos y 60 entradas calientes.

3-4 Programación lineal (págs. 205–211)


Cantidad de sándwichesCantidad de entradas calientes

Cantidad de productos vendidos

x ≥ 0

y ≥ 0

y ≤ 3x + 1

y ≤ -

3 _ 4

x + 6

x > 0

y < 0

y > 1 _ 2

x - 6


Representa gráficamente cada punto en el espacio tridimensional.

39. (-1, 0, 3) 40. (2, -2, 1)

41. (0, -1, 1) 42. (3, 1, 0)

Representa gráficamente cada ecuación lineal en el espacio tridimensional.

43. x - 3y + 2z = 6 44. 2x - 4y - 2z = 4

45. -x + y - 5z = 5 46. 3x + 2y + z = -6

47. Economía para el consumidor Lee tiene $35 para comprar una combinación de bebidas, pizza y helado para una fiesta. Cada bebida cuesta $2, cada pizza cuesta $9 y cada cuarto de helado cuesta $4. Escribe una ecuación lineal con tres variables para representar esta situación.

■ Representa gráficamente (2, -1, 3) en el espacio tridimensional.

Desde el origen, muévete 2 unidades hacia delante a lo largo del eje x, 1 unidad a la izquierda y 3 unidades hacia arriba.

■ Representa gráficamente la ecuación lineal 3x + 6y - z = -6 en el espacio tridimensional.

Halla las intersecciones.

intersección con el eje x: 3x = -6 ➔ x = -2

intersección con el eje y: 6y = -6 ➔ y = -1

intersección con el eje z: -z = -6 ➔ z = 6

Marca los puntos (-2, 0, 0), (0, -1, 0), y (0, 0, 6). Traza un plano usando los tres puntos.

3-5 Ecuaciones lineales en tres dimensiones (págs. 214–218)


■ Usa la eliminación para resolver ⎧ �

⎨

�

⎩

3x + 2y - z = -1

x + 3y - z = -10

2x - y - 3z = -3

.

Primero, elimina z para obtener un sistema de 2 por 2.

3x + 2y - z = -1

3x + 3y - z = -10

3(x + 3y - z = -10)

32x - y - 3z = -3

2x - y = 9 x + 10y = -27

El sistema de 2 por 2 es

⎧

�

⎨

�

⎩

2x - y = 9

x + 10y = -27

.

( 2x -y = 9)

-2 (x + 10y = -27 )

-21y = 63 ➔ y = -3

Sustituye para hallar x y luego z.

2x - y = 9 ➔ 2x - (-3) = 9 ➔ x = 3

3x + 2y - z = -1 ➔ 3(3) + 2(-3) - z = -1 ➔

z = 4

La solución del sistema es (3, -3, 4).


48.

⎧

�

⎨

�

⎩

x + 3y + 2z = 13

2x + 2y - z = 3

x - 2y + 3z = 6

49.

⎧

�

⎨

�

⎩

x + y + z = 2

3x + 2y - z = -1

3x - y = 4

Clasifica cada sistema como consistente o inconsistente y determina la cantidad de soluciones.

50.

⎧

�

⎨

�

⎩

x + y + z = -2

-x + 2y - 5z = 4

3x + 3y + 3z = 5

51.

⎧

�

⎨

�

⎩

-x - y + 2z = -3

4x + 4y - 8z = 12

2x + y - 3z = -2

3-6 Cómo resolver sistemas lineales con tres variables (págs. 220–226)


Elimina x

Capítulo 4 Matrices 13

determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .270

diagonal principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

dirección . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

ecuación matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279

entrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .248

forma escalonada reducida por filas . . . . . . . . . . . . . .288

matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .246

matriz aumentada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .287

matriz de constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279

matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .255

matriz de coeficientes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271

matriz de identidad multiplicativa . . . . . . . . . . . . . . .255

matriz de inverso multiplicativo . . . . . . . . . . . . . . . . .278

matriz de reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .263

matriz de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264

matriz de traslación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .262

matriz variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .279

operación por filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288

producto matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .253

reducción por filas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .288

regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .271


1. Un(a) −−−−−−

? es un número que se multiplica por todas las entradas de una matriz para formar una nueva matriz.

2. Un(a) −−−−−−

? se forma a partir de las constantes de un sistema de ecuaciones.

3. Cualquier matriz que tenga el mismo número de filas y columnas es un(a) −−−−−−

? .

P = ⎡

⎢

⎣

-3 -5 2

-4 -1 3 ⎤

�

⎦

Q =

⎡

⎢

⎣

2 3

4 5

⎤

�

⎦

R = ⎡

⎢

⎣

-16 -8 4

-10 -2 4 ⎤

�

⎦

Evalúa, si es posible.

4. P - 2Q 5. (0.2)Q

6. 1 _ 2

R -

1 _ 3

P 7. 1 _ 2

(2P + R)

Usa los siguientes datos para los Ejercicios del 8 a 10.

Durante la limpieza de una playa, el equipo de Ashton recolectó 125 latas y 45 botellas; el equipo de Mark recolectó 95 latas y 65 botellas.

8. Presenta los datos en forma de una matriz C.

9. Escribe la matriz CD para mostrar las diferencias entre los equipos.

10. Cada equipo recibió el doble de sus números en puntos por equipo. Escribe la matriz P para mostrar los puntos por equipo.

A =

⎡

⎢

⎣

0 3

-1 4

⎤

�

⎦

B =

⎡

⎢

⎣

1 9

-7 8

⎤

�

⎦


■ A - 2B

=

⎡

⎢

⎣

-0 3

-1 4

⎤

�

⎦

- 2 ⎡

⎢

⎣

-1 9

-7 8

⎤

�

⎦

=

⎡

⎢

⎣

-0 3

-1 4

⎤

�

⎦

+

⎡

⎢

⎣

-2(1)

-2(-7)

-2(9)

-2(8)

⎤

�

⎦

=

⎡

⎢

⎣

-0 3

-1 4

⎤

�

⎦

+

⎡

⎢

⎣

-2

14

-18

-16

⎤

�

⎦

=

⎡

⎢

⎣

-2

13

-15

-12

⎤

�

⎦

4-1 Matrices y datos (págs. 246–252)


Vocabulario


Halla el producto matricial, si está definido.

D =

⎡

⎢

⎣

-1 2

0 -2

-3 1

⎤

�

⎦

E =

⎡

⎢

⎣

0 1 3

-2 -1 4 ⎤

�

⎦

F =

⎡

⎢

⎣

4 0 1

0 2 1

-1 1 3

⎤

�

⎦

11. DE 12. FD 13. DF 14. EF


15. D 2 16. F 2 17. (ED)

2

En las tablas se muestran Adulto Estudiante

Jue $5 $2.50

Vie $7.50 $4.25

Sáb $9 $5.75

los precios y las cantidadesde entradas vendidas para tres funciones de teatro.

Jue Vie Sáb

Adulto 67 196 245

Estudiante 104 75 154

18. a. Organiza cada tabla como una matriz.

b. Escribe el producto matricial para hallar la cantidad de dinero que se recaudó en cada función.

c. Halla el total de entradas de adultos y de estudiantes que se recaudó en las tres funciones.

Halla el producto matricial, si está definido.

■ ⎡

⎢

⎣

1 0

-3 2

⎤

�

⎦

⎡

⎢

⎣

2 7 -5

0 1 0

⎤

�

⎦

(2 × 2) (2 × 3)

⎡

⎢

⎣

2 7 -5

-6 -19 15

⎤

�

⎦

■ ⎡

⎢

⎣

5 1

-3 7

⎤

�

⎦

⎡

⎢

⎣

4

0

-12

16

-2

1

⎤

�

⎦

(2 × 2) (3 × 2)

indefinido

■ Evalúa A2, si es posible. A = ⎡

⎢

⎣

⎢

⎣

3 4 -5

0 -2 7

9 -6 1

⎤

�

⎦

A2 = ⎡

⎢

⎣

⎢

⎣

3

0

9

4

-2

-6

-5

7

1

⎤

�

⎦

⎡

⎢

⎣

⎢

⎣

3

0

9

4

-2

-6

-5

7

1

⎤

�

⎦

=

⎡

⎢

⎣

⎢

⎣

-36 34 8

63 -38 -7

36 42 -86

⎤

�

⎦

4-2 Cómo multiplicar matrices (págs. 253–260)


Usa matrices para transformar el polígono P con las coordenadas W(-2, -1), X(-1, 3), Y(2, 4) y Z(0, 0). Da las coordenadas de cada imagen.

19. Traslada P 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia arriba.

20. Agranda P por un factor de 1.5.

21. Usa la matriz ⎡

⎢

⎣

1 0

0 -1

⎤

�

⎦

para transformar P.

Describe la transformación.

22. Usa la matriz ⎡

⎢

⎣

0 1

-1 0

⎤

�

⎦

para transformar P.

Describe la transformación.

Usa la matriz ⎡

⎢

⎣

1 0

0 -1

⎤

�

⎦

para transformar el triángulo

ABC con A(-1, -2), B(0, 1) y C(3, -2). Representa gráficamente la figura y su imagen. Describe la transformación.

■ Multiplica ⎡

⎢

⎣

1 0

0 -1

⎤

�

⎦

⎡

⎢

⎣

-1

-2

0

1

3

-2 ⎤

�

⎦

= ⎡

⎢

⎣

-1 0 3

2 -1 2

⎤

�

⎦

Las coordenadas de la imagen son A ′(-1, 2), B ′(0, -1) y C ′(3, 2).

El triángulo se refleja sobre el eje x.

4-3 Cómo usar matrices para transformar figuras geométricas (págs. 261–267)


Capítulo 4 Matrices 15

Halla el determinante de cada matriz.

■ ⎡

⎢

⎣

4 -5

1 0

⎤

�

⎦

■ ⎡

⎢

⎣

⎢

⎣

-

1 __ 2 9

2 __ 3 -6

⎤

�

⎦

⎪

4 -5

1 0

⎥

⎪

-

1 __ 2 9

2 __ 3 -6

⎥

= 4 (0) - 1 (-5) = - 1 _ 2

(-6) - 2 _ 3

(9)

= 0 + 5 = 5 = 3 - 6 = -3

■

⎡

⎢

⎣

⎢

⎣

⎢

⎣

4 0 1

3 5 -2

2 -1 7

⎤

�

⎦

escribe ⎪

4 0 1

3 5 -2

2 -1 7

⎥

4 0

3 5

2 -1

140 + (0) + (-3) -[10 + 8 + 0] = 137 - 18D =119

Usa la regla de Cramer para resolver cada sistema de ecuaciones.

■ ⎧

⎨

⎩

3 + y = 3x

5 - y = x

Escribe en forma ax + by = c: ⎧

⎨

⎩

3x - y = 3

x + y = 5

D = det ⎡

⎢

⎣

3 -1

1 -1

⎤

�

⎦

= 3 - (-1) = 4

x =

⎪

3 -1

5 1

⎥

_ 4

= 8 _ 4

= 2 y =

⎪

3 3

1 5

⎥

_ 4

= 12 _ 4

= 3

La solución es (2, 3).

■

⎧

�

⎨

�

⎩

2a + 2b + c = 3

-2a - 4b + 5c = 79

a - 3b + 2c = 50

→ D = ⎪

2 2 1

-2 -4 5

1 -3 2

⎥

= 42

a =

⎪

3 2 1

79 -4 5

50 -3 2

⎥

__ D

b =

⎪

2 3 1

-2 79 5

1 50 2

⎥

__ D

c =

⎪

2 2 3

-2 -4 79

1 -3 50

⎥

__ D

a = 168 _ 42

= 4 b =

-336 _ 42

= -8 c = 462 _ 42

= 11

La solución es a = 4, b = -8, c = 11.

Halla el determinante de cada matriz.

23. ⎡

⎢

⎣

1 -1

1 1 ⎤

�

⎦

24. ⎡

⎢

⎣

3 2

6 4 ⎤

�

⎦

25.⎡

⎢

⎣

-

1 __ 4 3

-

2 __ 3 6

⎤

�

⎦

26.⎡

⎢

⎣

4 0 1

0 2 1

-1 1 3

⎤

�

⎦

27.⎡

⎢

⎣

2 3 -1

-1 5 3

3 -1 -6

⎤

�

⎦

28. ⎡

⎢

⎣

3

5

9

2

-3

-13

-1

2

8

⎤

�

⎦

Usa la regla de Cramer para resolver cada sistema de ecuaciones.

29.⎧

⎨

⎩

x + y = 9

x - y = 1 30.

⎧

⎨

⎩

2x + 5y + 21 = 0

6x = 47 + 7y

31.⎧

⎨

⎩

⎨

⎩

4.5x + 3y = 10.5

3x + 2y = 7 32.

⎧

�

⎨

�

⎩

5x - 6y = 7 + 7z

6x - 4y + 10z = -34

2x + 4y = 29 + 3z

33.

⎧

�

⎨

�

⎩

x - y + z = 5

y - x - z = 2

x - y + z = 7

34.

⎧

�

⎨

�

⎩

y - 2.4x = 0.8

3x + 0.5z = 2.25

3.5y + z = 8.5

35. Halla el punto de intersección de las líneas dadas por las ecuaciones 2x + 3y = 8 e y = x + 1.

a. Escribe la matriz de coeficientes y halla el determinante.

b. Resuelve usando la regla de Cramer.

36. En una liquidación de fin de temporada, una tienda de recuerdos entregó obsequios pequeños que valían $5 por ventas de entre $25 y $74.99; obsequios medianos que valían $8 por ventas de entre $75 y $149.99; y obsequios grandes que valían $12.50 por ventas superiores a los $150. La tienda entregó 102 obsequios por un valor total de $654 y 6 veces más obsequios pequeños que grandes.

a. Escribe un sistema de ecuaciones para la situación.

b. Usa la regla de Cramer para hallar la cantidad de obsequios pequeños, medianos y grandes.

4-4 Determinantes y regla de Cramer (págs. 270–277)



Halla la matriz inversa, si existe.

37. ⎡

⎢

⎣

6 2

-1 3

⎤

�

⎦

38. ⎡

⎢

⎣

3 __ 4 -

2 __ 5

0

1 __ 5 ⎤

�

⎦

39. ⎡

⎢

⎣

2 5

1 2.5 ⎤

�

⎦

40.⎡

⎢

⎣

2 1 0

0 3 2

3 2 1

⎤

�

⎦

41.⎡

⎢

⎣

-1.5

0.5

-1

1

1

1

0.5

1

0.5

⎤

�

⎦

42.⎡

⎢

⎣

5

0

2

-3

0

7

2

0

-1

⎤

�

⎦

Escribe la ecuación matricial para el sistema. Resuelve.

43.

⎧

�

⎨

�

⎩

3 _ 2

x = 20 + y

x + 6y = 80 44.

⎧

⎨

⎩

x = 1 + y

x + y = 9

45.

⎧

�

⎨

�

⎩

3x+ 3y = 19 + z

5x + 4y - 28 = 2z

2(x + y) - 12 = z

46.

⎧

�

⎨

�

⎩

2x + 9 = 2z

5x + y + 32 = 7z

2(3x + y) = 8z - 39

Halla la matriz inversa, si está definida.

■ A =

⎡

⎢

⎣

4 -2

0 -

1 __ 2 ⎤

�

⎦

⎪A⎥ = -2; dado que ⎪A⎥ ≠ 0, la matriz tiene una matriz inversa.

1 _ ⎪A⎥

⎡

⎢

⎣

d -b

-c a

⎤

�

⎦

da 1 _ -2

⎡

⎢

⎣

-

1 __ 2 2

0 4

⎤

�

⎦

= ⎡

⎢

⎣

1 __ 4 -1

0 -2

⎤

�

⎦

Comprueba ⎡

⎢

⎣

4 -2

0 -

1 __ 2 ⎤

�

⎦

⎡

⎢

⎣

1 __ 4 -1

0 -2

⎤

�

⎦

=

⎡

⎢

⎣

1

0

0

1

⎤

�

⎦

✔

Escribe la ecuación matricial para el sistema. Resuelve.

■ ⎧

⎨

⎩

x + y = -6

2x + 3y = 8

⎡

⎢

⎣

1 1

2 3

⎤

�

⎦

⎡

⎢

⎣

x

y

⎤

�

⎦

=

⎡

⎢

⎣

-6

8

⎤

�

⎦

por lo tanto A-1 = ⎡

⎢

⎣

3 -1

-2 1

⎤

�

⎦

⎡

⎢

⎣

x

y

⎤

�

⎦

=

⎡

⎢

⎣

3 -1

-2 1

⎤

�

⎦

⎡

⎢

⎣

-6

8

⎤

�

⎦

o ⎡

⎢

⎣

x

y

⎤

�

⎦

=

⎡

⎢

⎣

-26

20

⎤

�

⎦

La solución es (-26, 20

) .

4-5 Matrices inversas y sistemas de resolución (págs. 278–285)


Escribe la matriz aumentada y resuelve.

47. ⎧

⎨

⎩

7x + 2y = 0.75

2x - y = 1 48.

⎧

⎨

⎩

p - q = 4

2p + 3q = -22

Resuelve el sistema usando la reducción por filas.

49.

⎧

�

⎨

�

⎩

x + 2z = 0.5

-5y = 0.25

3x + 4z = 1.1

50.

⎧

�

⎨

�

⎩

2.5x + 1.5y = 4

3.2x + y = 4z - 3.8

6.4x - 5y + 2.1z = 5.6

51. En gimnasia, el equipo Osho obtuvo 27 premios, los cuales le dieron 87 puntos. El equipo logró un primer puesto más que el total de sus terceros puestos.

Usa la tabla para escribir un sistema de ecuaciones que represente esta situación. Usa la reducción por filas para hallar cuántos premios de cada tipo obtuvo el equipo.

Escribe la matriz aumentada y resuelve.

■ ⎧

⎨

⎩

x - y = 3

x - y = 0

⎡

⎢

⎣

1

1

-1

-1

3

0

⎤

�

⎦

➊ - ➋ →

⎡

⎢

⎣

1

0

-1

0

3

3

⎤

�

⎦

La segunda fila significa que 0 + 0y = 3, lo cual es falso. El sistema es inconsistente.

■ ⎧

⎨

⎩

2x + y = 6

x - y = 0

⎡

⎢

⎣

2

1

1

-1

6

0 ⎤

�

⎦

(➊ + ➋)

÷ 3 →

⎡

⎢

⎣

1

1

0

-1

2

0 ⎤

�

⎦

➊ - ➋ →

⎡

⎢

⎣

1

0

0

1

2

2

⎤

�

⎦

, por lo tanto, x = 2 e y = 2.

4-6 Operaciones por filas y matrices aumentadas (págs. 287–293)


Puesto Puntos

Primero 5

Segundo 4

Tercero 1

Capítulo 5 Funciones cuadráticas 17


1. El número 5i se puede clasificar como un(a) −−−−−−

? y como un(a) −−−−−−

? .

2. El valor de entrada x que hace el valor de salida f (x) sea igual a cero se llama −−−−−−

? .

3. El/la −−−−−−

? es el punto en el que la parábola cruza el eje de simetría.

4. El tipo y la cantidad de soluciones de una ecuación cuadrática se puede determinar hallando el/la

−−−−−−

? .

5. Cuando una parábola se abre hacia arriba, el valor de y del vértice es el/la −−−−−−

? de una función cuadrática.

Representa gráficamente cada función usando una tabla.

6. f (x) = - x 2 - 2x 7. f (x) =

1

_

2

x 2 + 3x - 4

Usando la gráfica de f (x) = x 2 como guía, describe las transformaciones y luego representa gráficamente cada función.

8. g (x) = 4 (x - 2) 2 9. g (x) = -2 (x + 1) 2

10. g (x) = 1 _ 3

x 2 - 3 11. g (x) = - (x + 2) 2 + 6

Usa la descripción para escribir cada función cuadrática con forma en vértice.

12. f (x) = x 2 se refleja sobre el eje x y se traslada 3 unidades hacia abajo para crear g.

13. f (x) = x 2 se ajusta verticalmente por un factor de 2 y se traslada 4 unidades hacia la derecha para crear g.

14. f (x) = x 2 se comprime verticalmente por un factor de 1 __ 4

y se traslada 1 unidad hacia la izquierda para crear g.

■ Usando la gráfica de f (x) = x 2 como guía, describe las transformaciones y luego representa gráficamente g (x) = 1 __

2 x 2 + 3.

g (x) = 1 __ 2 x 2 + 3 es f

comprimida verticalmente

por un factor de 1 __ 2 y

trasladada tres unidades

hacia arriba.

■ Usa la descripción para escribir una función cuadrática con forma en vértice. La función f (x) = x 2 se traslada 1 unidad hacia la derecha para crear g.

traslación de 1 unidad hacia la derecha: h = 1

g (x) = a (x - h) 2 + k → g (x) = (x - 1) 2

Cómo usar transformaciones para representar gráficamente funciones cuadráticas (págs. 315–322)


binomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .336

cero de una función . . . . . . . . . . . 333

conjugado complejo . . . . . . . . . . 352

completar el cuadrado . . . . . . . . 342

desigualdad cuadrática con dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . 357

eje de simetría . . . . . . . . . . . . . . . . 323

forma en vértice . . . . . . . . . . . . . . 318

forma estándar . . . . . . . . . . . . . . . 324

función cuadrática . . . . . . . . . . . . 315

modelo de una función cuadrática . . . . . . . . . . . . . . . . . .376

número complejo . . . . . . . . . . . . . .351

número imaginario . . . . . . . . . . . .350

parábola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .315

parte imaginaria . . . . . . . . . . . . . . .351

parte real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .351

plano complejo . . . . . . . . . . . . . . . .382

raíz de una ecuación . . . . . . . . . . .334

regresión cuadrática . . . . . . . . . . .376

trinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .336

unidad imaginaria . . . . . . . . . . . . .350

valor absoluto de un número complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382

valor máximo . . . . . . . . . . . . . . . . . .326

valor mínimo . . . . . . . . . . . . . . . . . .326

vértice de una parábola . . . . . . . .318

Vocabulario

5-1


Para cada función, (a) determina si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo, (b) halla el eje de simetría, (c) halla el vértice, (d) halla la intersección con el eje y, y (e) representa gráficamente la función.

15. f (x) = x 2 - 4x + 3 16. g (x) = x 2 + 2x + 3

17. h (x) = x 2 - 3x 18. j (x) = 1 _ 2

x 2 - 2x + 4

Halla el valor mínimo o máximo de cada función.

19. f (x) = x 2 + 2x + 6 20. g (x) = 6x - 2 x 2

21. f (x) = x 2 - 5x + 1 22. g (x) = -2 x 2 - 8x + 10

23. f (x) = -x 2 - 4x + 8 24. g (x) = 3 x 2 + 7

■ Para f (x) = - x 2 + 2x + 3, (a) determina si la gráfica se abre hacia arriba o hacia abajo, (b) halla el eje de simetría, (c) halla el vértice, (d) halla la intersección con el eje y, y (e) representa gráficamente la función.

a. Dado que a < 0, la e. parábola se abre hacia abajo.

b. eje de simetría:

x = -

b _ 2a

= -

2 _

2(-1)

= 1

c. f (1) = - 1 2 + 2(1) + 3 = 4

El vértice es (1, 4).

d. Dado que c = 3, la intersección con el eje y es 3.

5-2 Propiedades de las funciones cuadráticas en forma estándar (págs. 323–330)


Factoriza para hallar las raíces para cada ecuación.

25. x 2 - 7x - 8 = 0 26. x 2 - 5x + 6 = 0

27. x 2 = 144 28. x 2 - 21x = 0

29. 4 x 2 - 16x + 16 = 0 30. 2 x 2 + 8x + 6 = 0

31. x 2 + 14x = 32 32. 9 x 2 + 6x + 1 = 0

Escribe una función cuadrática en forma estándar para cada conjunto dado de ceros.

33. 2 y -3 34. 1 y -1

35. 4 y 5 36. -2 y -3

37. -5 y -5 38. 9 y 0

■ Factoriza para hallar las raíces de x 2 + x = 30.

x 2 + x - 30 = 0 Vuelve a escribir en forma estándar.Factoriza.

Propiedad del producto cero.Resuelve cada ecuación.

(x - 5) (x + 6) = 0

x - 5 = 0 ó x + 6 = 0

x = 5 ó x = -6

■ Escribe una función cuadrática con ceros en 8 y -8.

x = 8 ó x = -8 Escribe ceros como soluciones.

Iguala las ecuaciones a 0.

Propiedad recíproca del producto ceroReemplaza 0 con f (x) .

x - 8 = 0 ó x + 8 = 0

(x - 8) (x + 8) = 0

f (x) = x 2 - 64

Cómo resolver ecuaciones cuadráticas mediante la factorización y la representación gráfica (págs. 333–340)


Resuelve cada ecuación completando el cuadrado.

39. x 2 - 16x + 48 = 0 40. x 2 + 20x + 84 = 0

41. x 2 - 6x = 16 42. x 2 - 14x = 13

Escribe cada función con forma en vértice e identifica su vértice.

43. f (x) = x 2 - 4x + 9 44. g (x) = x 2 + 2x - 7

■ Resuelve x 2 - 8x = 12 completando el cuadrado.

x 2 - 8x + = 12 + Establece la ecuación.

Suma (

b __ 2 )

2 .

Factoriza.

Halla las raíces cuadradas.

Halla x.

x 2 - 8x + 16 = 12 + 16

(x - 4) 2 = 28

x - 4 = ± √ ��

28

x = 4 ± 2 √ �

7

5-4 Cómo completar el cuadrado (págs. 342–349)


5-3

Capítulo 5 Funciones cuadráticas 19

Resuelve cada ecuación.

45. x 2 = -81 46. 6 x 2 + 150 = 0

47. x 2 + 6x + 10 = 0 48. x 2 + 12x + 45 = 0

49. x 2 - 14x + 75 = 0 50. x 2 - 22x + 133 = 0

Halla cada conjugado complejo.

51. 5i - 4 52. 3 + i √ �

5

■ Resuelve x 2 - 22x + 133 = 0.

x 2 - 22x + = -133 + Vuelve a escribirla.

Suma (

b __ 2 )

2 .

Factoriza.

Halla las raíces cuadradas.

Resuelve.

x 2 - 22x + 121 = -133 + 121

(x - 11 ) 2 = -12

x - 11 = ± √ ��

-12

x = 11 ± 2i √ �

3

5-5 Números complejos y raíces (págs. 350–355)


Halla los ceros de cada función usando la fórmula cuadrática.

53. f (x) = x 2 - 3x - 8

54. h (x) = (x - 5 ) 2 + 12

55. f (x) = 2x 2 - 10x + 18

56. g (x) = x 2 + 3x + 3

57. h (x) = x 2 - 5x + 10

Halla el tipo y la cantidad de soluciones de cada ecuación.

58. 2x 2 - 16x + 32 = 0 59. x 2 - 6x = -5

60. x 2 + 3x + 8 = 0 61. x 2 - 246x = -144

62. x 2 + 5x = -12 63. 3 x 2 - 5x + 3 = 0

■ Halla los ceros de f (x) = 3x 2 - 5x + 3 usando la fórmula cuadrática.

x =

-b ± √

��

b 2 - 4ac __

2a Fórmula

cuadrática

Sustituye.

Simplifica.

x =

- (-5 ) ± √

��

( -5 ) 2 - 4 ( 3 ) ( 3 ) ___

2 (3 )

= 5 ± √

�� -11 _

6 = 5 _

6 ± i

√ �

11 _

6

■ Halla el tipo y la cantidad de soluciones de x 2 + 9x + 20 = 0.

b 2 - 4ac = 9 2 - 4 (1) (20) = 81 - 80 = 1

Hay dos raíces reales definidas porque el discriminante es positivo.

5-6 La fórmula cuadrática (págs. 356–363)


Representa gráficamente cada desigualdad.

64. y > x 2 + 3x + 4 65. y ≤ 2 x 2 - x - 5

Resuelve cada desigualdad usando tablas o gráficas.

66. x 2 + 2x - 4 ≥ -1 67. - x 2 - 5x > 4

Resuelve cada desigualdad usando álgebra.

68. - x 2 + 6x < 5 69. 3 x 2 - 25 ≤ 2

70. x 2 - 3 < 0 71. 3 x 2 + 4x - 3 ≤ 1

■ Resuelve x 2 - 4x - 9 ≥ 3 usando álgebra.

Escribe y resuelve la ecuación relacionada.

x 2 - 4x - 12 = 0 Escribe en forma estándar.Factoriza.Resuelve.

(x + 2)(x - 6) = 0

x = -2 or x = 6

Los valores críticos son -2 y 6. Estos valores dividen la recta numérica en 3 intervalos:

x ≤ -2, -2 ≤ x ≤ 6, y x ≥ 6.

Poner a prueba un valor de x en cada intervalo da la solución x ≤ -2 o x ≥ 6.

5-7 Cómo resolver desigualdades cuadráticas (págs. 366–373)



Escribe una función cuadrática que se ajuste a cada conjunto de puntos..

72. (-1, 8

) ,

(0, 6

) y

(1, 2

)

73. (0, 0

) ,

(1, -1

) y

(2, -6

)

Construcción Para los Ejercicios del 74 al 77, usa la tabla de calibres de cables de cobre.

Calibres usuales de cables de cobre en EE.UU.

Calibre Diámetro (pulg)Resistencia por cada 1000 pies (ohms)

24 0.0201 25.67

22 0.0254 16.14

20 0.0320 10.15

18 0.0403 6.385

74. Halla una ecuación de regresión cuadrática para hacer un modelo del diámetro dado el calibre del cable.

75. Usa tu modelo para predecir el diámetro de un cable de cobre de calibre 12.

76. Halla una ecuación de regresión cuadrática para hacer un modelo de la resistencia dado el calibre del cable.

77. Usa tu modelo para predecir la resistencia de un cable de calibre 26.

■ Halla un modelo cuadrático para la potencia en vatios de los focos fluorescentes F dada la potencia en vatios comparable de los focos incandescentes I. Usa el modelo para estimar la potencia en vatios de un foco fluorescente que produce la misma cantidad de luz que un foco incandescente de 120 vatios.

Comparación de potencia en vatios

Incandescente (vatios) 40 60 75 90 100

Fluorescente (vatios) 11 15 20 23 28

Escribe los datos en dos listas en una calculadora de gráficas. Usa la función de regresión cuadrática.

El modelo es F (I ) ≈ 0.0016 I 2 + 0.0481I + 6.48. Un foco fluorescente de 36 vatios produce aproximadamente la misma cantidad de luz que un foco incandescente de 120 vatios.

5-8 Cómo ajustar una curva con modelos cuadráticos (págs. 374–381)


Realiza cada operación indicada y escribe el resultado en forma a + bi.

78. ⎪-3i⎥ 79. ⎪4 - 2i⎥

80. ⎪12 - 16i⎥ 81. ⎪7i⎥

82. (1 + 5i) + (6 - i) 83. (9 + 4i) - (3 + 2i)

84. (5 - i) - (11 - i) 85. -5i (3 - 4i)

86. (5 - 2i) (6 + 8i) 87. (3 + 2i) (3 - 2i)

88. (4 + i) (1 - 5i) 89. (-7 + 4i) (3 + 9i)

90. i 32 91. -5 i 21

92. 2 + 9i

_ -2i

93. 5 + 2i

_ 3 - 4i

94. 8 - 4i _ 1 + i

95. -12 + 26i

_ 2 + 4i

Realiza cada operación indicada y escribe el resultado en forma a + bi.

■ ⎪-2 + 4i⎥

√

��

(-2) 2 + 4 2 = √ ��

4 + 16 = √ �

20 = 2 √ �

5

■ (3 + 2i) (4 - 5i)

12 - 15i + 8i - 10 i 2

12 - 7i - 10 (-1 ) = 22 - 7i

■ -5 + 3i

_ 1 - 2i

-5 + 3i _

1 - 2i (

1 + 2i _

1 + 2i ) =

-5 - 7i + 6 i 2 __

1 - 4 i 2

=

-11 - 7i _ 1 + 4

= -

11 _ 5

-

7 _ 5

i

5-9 Operaciones con números complejos (págs. 382–389)


Capítulo 6 Funciones polinomiales 21

Vocabulariocoeficiente principal . . . . . . . . . . 406

comportamiento extremo . . . . . 453

división sintética . . . . . . . . . . . . . 423

función polinomial . . . . . . . . . . . 408

grado de un monomio . . . . . . . . 406

grado de un polinomio . . . . . . . . 406

máximo local . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

mínimo local . . . . . . . . . . . . . . . . . 455

monomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

multiplicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

polinomio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

punto de inflexión . . . . . . . . . . . . 455


1. Un(a) −−−−−−

? es un número o producto de números y variables con exponentes cabales.

2. Un método para dividir un polinomio entre un binomio lineal del tipo x - a usando sólo el coeficiente es

−−−−−−

? .

3. La cantidad de veces que x - r es un factor de P(x) es el/la −−−−−−

? de r.

4. El/la −−−−−−

? de una función es una descripción de los valores de la función a medida que x se acerca al infinito positivo o al infinito negativo.

Vuelve a escribir cada polinomio en forma estándar. Luego identifica el coeficiente principal, el grado y la cantidad de términos. Identifica el polinomio.

5. 4 x 2 - 3 x 3 + 6x + 7 6. 5 x 3 - x 5 + 8x + 2 x 4

7. 1 - 11x + 9 x 2 8. -6 x 2 + x 4

Suma o resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.

9. (8 x 3 - 4 x 2 - 3x + 1) - (1 - 5 x 2 + x)

10. (6 x 2 + 7x - 2) + (1 - 5 x 3 + 3x)

11. (5x - 2 x 2 ) - (4 x 2 + 6x - 9)

12. ( x 4 - x 2 + 4) + ( x 2 - x 3 - 5 x 4 - 7)

Representa gráficamente cada función polinomial en una calculadora. Describe la gráfica e identifica la cantidad de ceros reales.

13. f (x) = - x 4 + 4 x 2 + 1

14. f (x) = x 3 + 2 x 2 + 1

15. f (x) = x 4 - 5 x 2 + 2

16. f (x) = x 3 - 3 x 2 + 2

■ Resta. Escribe tu respuesta en forma estándar.

(6x - 2 x 2 + 1) -

(4x - 5 x 2 )

(-2 x 2 + 6x + 1) + (5 x 2 - 4x) Suma el opuesto.

Combina los términos semejantes.

(-2 x 2 + 5 x 2 ) + (6x - 4x) + 1

3 x 2 + 2x + 1

■ Representa gráficamente f (x) = - x 3 + 4x + 1 en una calculadora. Describe la gráfica e identifica la cantidad de ceros reales.

De izquierda a derecha, la función disminuye, aumenta y vuelve a disminuir. Cruza el eje x tres veces. Parece haber tres ceros reales.

6-1 Polinomios (págs. 406–412)



Halla cada producto.

17. 5 x 2 (3x - 2) 18. -3t (2 t 2 - 6t + 1)

19. a b 2 ( a 2 - a + ab) 20. (x - 2) ( x 2 - 2x - 3)

21. (2x + 5) ( x 3 - x 2 + 1) 22. (x - 3) 3

23. (x + 4) ( x 4 - 3 x 2 + x) 24. (2x + 1) 4

25. Un cilindro tiene una altura de x 2 - x - 3 y un radio de 2x, como se muestra en la figura. Expresa el volumen del cilindro como una suma de monomios.

■ Halla el producto.

(x - 3) (5 - x - 2 x 2 )

Multiplica horizontalmente.

(x - 3)(-2 x 2 - x + 5) Escribe en forma estándar.

x(-2 x 2 ) + x(-x) + x(5) - 3(-2 x 2 ) - 3(-x) - 3(5)

-2 x 3 - x 2 + 5x + 6 x 2 + 3x - 15 Multiplica.

-2 x 3 + 5 x 2 + 8x - 15 Combina los términos semejantes.

6-2 Cómo multiplicar polinomios (págs. 414–420)


Divide usando la división larga.

26. ( x 3 - 5 x 2 + 2x - 7) ÷ (x + 2)

27. (8 x 4 + 6 x 2 - 2x + 4) ÷ (2x - 1)

Divide usando la división sintética.

28. ( x 3 - 4 x 2 + 3x + 2) ÷ (x - 3)

29. ( x 3 + 2x - 1) ÷ (x - 2)

30. Un carrete de cinta tiene una longitud de x 3 + x 2 pulgadas. Escribe una expresión que represente la cantidad de tiras de cinta con una longitud de x - 1 que se pueden cortar de un carrete.

■ Divide usando la división sintética.

( x 3 - 3 x 2 + 8) ÷ (x + 2)

a = -2

x 3 - 3 x 2 + 0x + 8 Escribe en forma estándar.

-2 1 -3 0 8 Escribe los coeficientes de los términos.

−−−−−−−−−−−−−−−

-2 10 -20

1 -5 10 -12

−−−−−−−−

x 3 - 3 x 2 + 8

x + 2 = x 2 - 5x + 10 +

-12 −−−−

x + 2

6-3 Cómo dividir polinomios (págs. 422–428)


Determina si el binomio dado es un factor del polinomio P(x).

31. (x + 3) ; P (x) = x 3 + 2 x 2 - 5

32. (x - 1) ; P (x) = 4 x 4 - 5 x 2 + 3x - 2

33. (x-2) ; P (x) = 2 x 3 - 3 x 2 + x - 6

Factoriza cada expresión.

34. x 3 - x 2 - 16x + 16 35. 4 x 3 - 8 x 2 - x + 2

36. 3 x 3 + 81 37. 16 x 3 - 2

Determina si cada binomio es un factor del polinomio P(x) = 2 x 2 + x - 10.

■ (x + 5) ■ (x - 2)

-5 2 1 -10 2 2 1 -10

−−−−−−−−−−−

-10 45 −−−−−−−−−

4 10

2 -9 35 2 5 0

x + 5 no es un factor x - 2 es un factor de P(x). de P(x).

6-4 Cómo factorizar polinomios (págs. 430–435)


Capítulo 6 Funciones polinomiales 23

Identifica todas las raíces reales de cada ecuación.

38. x 3 - 5 x 2 + 8x - 4 = 0

39. x 3 + 6 x 2 + 9x + 2 = 0

40. x 3 + 3 x 2 + 3x + 1 = 0

41. x 4 - 12x 2 + 27 = 0

42. x 3 + x 2 - 2x - 2 = 0

43. x 3 - 5 x 2 + 4 = 0

44. Un prisma rectangular tiene una longitud igual al doble de su ancho y una altura 4 metros mayor que su ancho. El volumen del prisma rectangular es 48 metros cúbicos. ¿Cuál es el ancho del prisma rectangular?

■ Identifica todas las raíces reales de x 4 - 4 x 3 + 4 x 2 - 1 = 0.

Según el teorema de las raíces racionales, las raíces posibles son ±1.

1 1 -4 4 0 -1 Intenta con 1.

−−−−−−−−−−−−−

1 -3 1 1

1 -3 1 1 0

1 1 -3 1 1 Intenta nuevamente con 1.

−−−−−−−−−−−

1 -2 -1

1 -2 -1 0

Factoriza x 2 - 2x - 1 usando la fórmula cuadrática.

x =

- (-2) ± √

��

(-2) 2 - 4 (1) (-1 ) ___

2 (1) = 1 ± √

� 2

Las raíces son 1 con una multiplicidad de 2 y 1 ± √

� 2 .

6-5 Cómo hallar raíces reales de ecuaciones polinomiales (págs. 438–444)


Escribe la función polinomial más simple con las raíces dadas.

45. -3, 2, 4 46. -

1 _ 2

, -2, 3

47. -

√

�

2 , -1 48. -3, i

49. √ �

2 , √ �

3 50. 1 + √ �

3 , 2i

Resuelve la ecuación hallando todas las raíces.

51. x 3 - x 2 + 4x - 4 = 0

52. x 4 - x 2 - 2 = 0

53. x 4 - 63 _ 4

x 2 - 4 = 0

54. x 3 + 3 x 2 - 5x - 15 = 0

■ Escribe la función polinomial más simple con las raíces -2, -1 y 4.

P (x) = 0 Si r es una raíz de P(x), entonces x - r es un factor de P(x).Multiplica. Para la ecuación más simple, sea a = 1.

a (x + 2) (x + 1) (x - 4) = 0

a ( x 3 - x 2 - 10x - 8) = 0

x 3 - x 2 - 10x - 8 = 0

■ Resuelve x 3 + 2 x 2 + x + 2 = 0 hallando todas las raíces.

La calculadora de gráficas muestra -2 como una raíz. Usa la división sintética para escribir la ecuación como (x + 2)( x 2 + 1) = 0. Resuelve x 2 + 1 = 0 para hallar las raíces que faltan. Las soluciones son -2, i y -i.

6-6 Teorema fundamental del álgebra (págs. 445–451)



Identifica el coeficiente principal, el grado y el comportamiento extremo.

55. -2 x 3 + 5 x 2 + 3 56. x 4 + 2 x 3 - 3x + 1

57. -3 x 6 + 9 x 3 - 2x - 9 58. 7 x 5 + x 4 - 2 x 2 + 5


59. f (x) = x 3 - x 2 - 5x + 6

60. f (x) = x 4 - 10 x 2 + 9

61. f (x) = - x 3 + 5 x 2 + x - 5

■ Representa gráficamente la función f (x) = x 3 + 2 x 2 - 5x - 6.

Coeficiente principal: 1; Grado: 3; Comportamiento extremo: x → -∞, f (x) → -∞

x → +∞, f (x) → +∞

Los ceros son -3, -1, 2. Factoriza para hallar los ceros.

f (0) = -6; f (-2) = 4; f (1) = -8 Evalúa f(x) en los valores ubicados entre las raíces. Marca estos puntos.

6-7 Cómo investigar gráficas de funciones polinomiales (págs. 453–459)


Escribe una función que transforme f (x) = x 4 - 6 x 2 - 4 en cada una de las siguientes maneras. Fundamenta tu solución usando una calculadora de gráficas.

62. Ajusta verticalmente por un factor de 2 y muévela 9 unidades hacia arriba.

63. Muévela 2 unidades hacia abajo y refléjala en el eje x

64. Muévela 3 unidades hacia la derecha y refléjala en el eje y.

■ Escribe una función que transforme f (x) = x 3 + 5reflejándola sobre el eje x y moviéndola 2 unidades hacia la derecha. Fundamenta tu solución usando una calculadora de gráficas.

g (x) = -f (x - 2)

g (x) = - (x - 2)

3- 5

6-8 Cómo transformar funciones polinomiales (págs. 460–465)


65. En la tabla se muestra la cantidad de espectadores en un cine nuevo durante cinco días. Escribe una función polinomial con los datos.

Día 1 2 3 4 5

Espectadores 248 298 318 388 428

66. En la tabla se muestra la población de una ciudad en un periodo de cinco años. Escribe una función polinomial con los datos.

Año 1 2 3 4 5

Población (millares)

1891 2674 3376 4480 6469

■ En la tabla se muestran las ganancias de una compañía en millares de dólares para los años mostrados. Escribe una función polinomial con los datos.

Año 1999 2000 2001 2002 2003

Ganancias $286 $401 $507 $671 $960

Primeras diferencias: 115 106 164 289Segundas diferencias: -9 58 125Terceras diferencias: 67 67 ConstanteUn polinomio cúbico describe mejor los datos. Usa la función de regresión cúbica en tu calculadora de gráficas.

f (x) = 11.2 x 3 - 71.5 x 2 + 251.3x + 95

6-9 Cómo ajustar una curva con modelos polinomiales (págs. 466–471)


Capítulo 7 Funciones exponenciales y logarítmicas 25

Vocabulario

asíntota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490

crecimiento exponencial . . . . . . 490

decremento exponencial . . . . . . 490

ecuación exponencial . . . . . . . . . 522

ecuación logarítmica . . . . . . . . . . 523

función exponencial . . . . . . . . . . 490

función inversa . . . . . . . . . . . . . . . 499

función logarítmica . . . . . . . . . . . 507

función logarítmica natural . . . 532

logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505

logaritmo común . . . . . . . . . . . . . 506

logaritmo natural . . . . . . . . . . . . . 531

regresión exponencial . . . . . . . . . 546

regresión logarítmica . . . . . . . . . 546

relación inversa . . . . . . . . . . . . . . 498


1. Un(a) −−−−−−

? tiene base e.

2. Un(a) −−−−−−

? es una línea a la que una función representada gráficamente se acerca

sin tocarla.

3. Para representar gráficamente un(a) −−−−−−

? , refleja cada punto de la relación sobre la línea y = x.

Indica si la función muestra crecimiento o decremento. Luego representa gráficamente.

4. f (x) = 0.5 (1.25) x 5. f (x) = 0.5

(

3 _ 2

)

x

6. f (x) = 2.5 (0.25) x 7. f (x) = 2 (1 + 0.25)

x

Usa los siguientes datos para responder a las preguntas.

La población de estudiantes en un pequeño pueblo vacacional ha aumentado un 2% anual durante los últimos 5 años. La población de este año es 765 estudiantes.

8. ¿La función que represente esta situación mostrará un crecimiento o un decremento?

9. Supongamos que la población de estudiantes continúa con la misma tendencia. Escribe una función que muestre la cantidad de estudiantes en función del año, a partir del presente año.

10. Representa gráficamente la función.

11. Usa la gráfica para predecir la cantidad de estudiantes que habrá en 5 años.

12. ¿Cuándo excederá la población los 1000 estudiantes?

Una cantidad de una vitamina determinada se elimina del flujo sanguíneo a un 15% por hora aproximadamente.

■ ¿La función que representa esta situación mostrará un crecimiento o un decremento?

Mostrará un decremento porque la cantidad disminuye.

■ Escribe una función para mostrar la cantidad de vitamina que queda t horas después de que se alcanza el nivel pico de 400 mg.

f (x) = 400 (0.85) t

■ Representa gráficamente la función. Usa la gráfica para predecir la cantidad que quedará después de 7 horas.

Después de 7 horas, quedarán alrededor de 130 mg.

7-1 Funciones, crecimiento y decremento exponenciales (págs. 490–496)



13. Representa gráficamente la relación y conecta los puntos. Luego representa gráficamente y escribe la relación inversa.

x -1 0 1 2 3

y 1 0.2 0.04 0.008 0.001

Este año, la población de una especie disminuyó un 3% con relación al año anterior.

14. Escribe una expresión para el tamaño de la población de este año P T en función de la población del año anterior P L .

15. Escribe una expresión para el año en función del tamaño de la población.

16. La fórmula M = 5 __ 8 K da la distancia aproximada en

millas en función de los kilómetros. Escribe y usa la función inversa de para expresar 25 millas en kilómetros.

■ Representa gráficamente la función f (x) = 4 _ 5

- 3x.

Luego escribe su función inversa y represéntala gráficamente.

f (x) = -3x +4 _ 5

y = -3x + 4 _ 5

Escribe como f (x) = ax + b . Representa gráficamente (consulta f debajo).Intercambia x e y.

Halla y. x = -3y + 4 _ 5

3y = -x + 4 _ 5

por lo tanto y = -

1 _ 3

x + 4 _ 15

Escribe la función inversa y represéntala gráficamente.

f - 1 (x) = -

1 _ 3

x + 4 _ 15

7-2 Relaciones y funciones inversas (págs. 498–504)


Escribe cada ecuación exponencial en forma logarítmica.

17. 3 5 = 243 18. 1 = 9 0 19. (

1 _ 3

)

-3

= 27

Escribe cada ecuación logarítmica en forma exponencial.

20. log 2 16 = 4 21. log 10 = 1 22. 2 = log 0.6 0.36

Evalúa usando el cálculo mental.

23. log 7 49 24. log 0.5 0.25

25. log 12 (

1 _ 12

)

26. log 0.01 27. log 2 1

28. Haz una tabla de pares ordenados para f (x) = (

1 __ 2 )

x .

Representa gráficamente la función y su inversa. Describe el dominio y el rango de la función inversa.

■ Escribe la ecuación exponencial 9 1.5 = 27 en forma logarítmica.

9 1.5 = 27 log 9 27 = 1.5 Un logaritmo es un

exponente.

■ Evalúa log 4 64.

Dado que 4 3 = 64, log 4 64 = 3.

■ Representa gráficamente f (x) = 0. 6 x . Luego representa gráficamente su función inversa. Describe el dominio y el rango de la función inversa.

x -2 -1 0 1 2

f (x) 2.8 1.7 1 0.6 0.4

Para representar gráficamente la función inversa, invierte cada par ordenado.

El dominio de la función

inversa ⎧

⎨

⎩

x | x > 0 ⎫

⎬

⎭

y el

rango es �.

7-3 Funciones logarítmicas (págs. 505–511)


Capítulo 7 Funciones exponenciales y logarítmicas 27

Expresa como un solo logaritmo y simplifica.

29. l og 2 8 + log 2 16 30. log 100 + log 10,000

31. log 2 128 - log 2 2 32. log 10 - log 0.1

33. log 5 25 2 34. log 10 5 + log 10 4

35. El volumen aparente de la música en el café de Sam hoy fue 10 decibeles más alto que el volumen de ayer.

El volumen aparente V está dado por V = 10 log I __

I 0 ,

donde I es la intensidad del sonido en V/ m 2 e I 0 es

la intensidad más baja que puede detectar el oído. ¿Cuántas veces más intenso que ayer fue el sonido hoy?

Resuelve.

Expresa como un solo logaritmo y simplifica.

■ log 25 + log 40

= log (25 · 40) = log 1000 = 3

■ log 5 125 - log 5 25

= log 5 (

125 _ 25

)

= log 5 5 = 1

■ lo g 3 8 2

= 2 log 3 8 = 2 · 2 = 4

■ Evalúa log 5 16.

= log 16

_ log 5

Usa la fórmula de cambio de base.

Usa la calculadora para evaluar.≈ 1.2 _

0.7 ≈ 1.72

7-4 Propiedades de los logaritmos (págs. 512–519)


Resuelve y comprueba.

36. 3 x-1 = 1 _ 9

37. (

1 _ 2

)

x

≤ 64 38. log x 5 _ 2

> 2.5

39. A = P (1 + r) n da la cantidad A en una cuenta luego de

n años con una inversión inicial P que gana intereses a la tasa anual r. ¿Cuánto tiempo hará falta para que $250 aumenten hasta $500 a un interés anual del 4%?

■ 5 x = 50 ■ l og 9 x 2 = 5

2 l og 9 x = 5

l og 9 x = 5 _ 2

x = 9 5 __ 2

x = ( 3 2 ) 5 __ 2 = 3 5 = 243

log 5 x = log 50

x log 5 = log 50

x = log 50

_ log 5

≈ 2.43

7-5 Ecuaciones y desigualdades exponenciales y logarítmicas (págs. 522–528)


40. La población de grullas blancas era alrededor de 22 en 1940 y aumentó a una tasa exponencial hasta llegar a 194 en 2003.

a. Usa la función de crecimiento exponencialP (t) = P 0 e kt , donde P 0 es la población inicial y P (t) es la población en un punto en el tiempo t, para determinar el factor de crecimiento k.

b. Si la bandada continúa creciendo a la misma tasa, ¿qué tan grande será en 2020?

■ Simplifica e ln (2s + 1) .e ln (2s + 1) = 2s + 1 e a la ln de un número es

simplemente ese número.

■ ¿Cuál es el valor total de una inversión de $5000 que ganó un 6% de interés compuesto de forma continua durante 5 años?

A = 5000 e 0.06 (5) Sustituye en A = Pe rt .

Usa una calculadora.A ≈ 6749.29

El valor es $6749.29.

7-6 La base natural, e (págs. 531–536)



Escribe la función transformada.

41. f (x) = e x se refleja sobre el eje x, se ajusta verticalmente por un factor de 3 y se desplaza 2 unidades hacia abajo.

Representa gráficamente cada función. Halla la intersección y la asíntota. Describe cómo la gráfica se transforma a partir de la gráfica de la función madre.

42. k (x) = 3 _ 5

(1.5) 6x 43. m (x) = 2log (

x + 1 _ 2

)

Si se entrega como parte del pago, la camioneta de Mark vale $5300. Un vendedor le dice que ese valor disminuye aproximadamente un 35% por año.

44. Escribe una ecuación en función del tiempo para el valor de la camioneta si se entrega como parte del pago.

45. Describe cómo la gráfica de esta función se transforma a partir de la gráfica de la función madre.

Escribe cada función transformada.

■ f (x) = (

1 __ 3 )

x se desplaza 1 unidad hacia la izquierda,

se ajusta verticalmente por un factor de 2 y se refleja sobre el eje y.

f (x) = (

1 _ 3

)

x

Comienza con la función madre. Para desplazar 1 unidad hacia la izquierda, reemplaza x con x + 1.

Ajusta verticalmente por 2.

Refleja sobre el eje y.

f (x) =

(

1 _ 3

)

x+1

f (x) = 2 (

1 _ 3

)

x+1

f (x) = 2 (

1 _ 3

)

-(x+1)

■ f (x) = log x se desplaza 2 unidades hacia la derecha y 1 unidad hacia abajo y se comprime verticalmente por un factor de 0.3.

f (x) = log (

x _ 0.3

- 2)

-1

7-7 Cómo transformar funciones exponenciales y logarítmicas (págs. 537–544)


En la tabla se da el tamaño de la población de una bandada de aves en un hábitat durante los últimos 55 años.

Años transcurridos desde la primera

recolección de datosTamaño de la

población

5 18

22 22

40 85

57 185

46. Usa la regresión exponencial, ExpReg, para hallar una función exponencial que represente los datos.

47. Usa la regresión logarítmica, LnReg, para hallar una función logarítmica que represente los datos.

48. Compara los valores de r 2 de las dos funciones. Indica qué función representa mejor los datos y por qué.

■ Usa la regresión logarítmica para hallar una función que represente el aumento en la cantidad de árboles de pimiento en un parque natural durante un periodo de seis años. Predice el año en el que la cantidad de árboles llegará a 70.

Año 1 2 3 4 5 6

Árboles 14 30 40 46 53 55

y ≈ 14 + 23.4 ln x Escribe el modelo. Sustituye por 70.

Habrá 70 árboles en alrededor de 11 años.

ln x ≈ 70 - 14 _ 23.4

≈ 2.39

e 2.39 ≈ 10.9

7-8 Cómo ajustar una curva con modelos exponenciales y logarítmicos (págs. 545–551)


Capítulo 8 Funciones racionales y radicales 29

Vocabularioconstante de variación . . . . . . . . 569

desigualdad racional . . . . . . . . . 603

desigualdad radical . . . . . . . . . . . 630

ecuación racional . . . . . . . . . . . . . 600

ecuación radical . . . . . . . . . . . . . . 628

exponente racional . . . . . . . . . . . 611

expresión racional . . . . . . . . . . . . 577

fracción compleja . . . . . . . . . . . . . 586

función continua . . . . . . . . . . . . . 593

función de raíz cuadrada . . . . . . 619

función discontinua . . . . . . . . . . 593

función racional . . . . . . . . . . . . . . 592

función radical . . . . . . . . . . . . . . . 619

hoyo (en una gráfica) . . . . . . . . . 596

índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 610

solución extraña . . . . . . . . . . . . . . 600

variación combinada . . . . . . . . . 572

variación conjunta . . . . . . . . . . . . 570

variación directa . . . . . . . . . . . . . . 569

variación inversa . . . . . . . . . . . . . 570

Completa los siguientes enunciados con las palabras del vocabulario.

1. Un(a) −−−−−−

? es una función cuya regla es una razón de dos polinomios.

2. Un(a) −−−−−−

? es una relación que puede ser escrita con forma y = kx, donde k es el/la

−−−−−−

? .

Dato: y varía directamente con x. Escribe y representa gráficamente cada función de variación directa.

3. y = 2 cuando x = 6 4. y = 4 cuando x = 1

5. La cantidad de mosaicos n que se necesita para cubrir un piso varía directamente con el área a del piso, yn = 180 cuando a = 20 pies 2 . Halla n cuando a = 34 pies 2 .

6. El interés simple I ahorrado a lo largo de un periodo de tiempo determinado varía conjuntamente con el capital C, y la tasa t, e I = $264 cuando C = $1100 y t = 0.12. Halla C cuando I = $360 y t = 0.09.

Dato: y varía inversamente con x. Escribe y representa gráficamente cada función de variación inversa.

7. y = 3 cuando x = 2 8. y = 4 cuando x = 1

9. Para un voltaje fijo, la corriente I que fluye por un cable varía inversamente con la resistencia R del cable. Si la corriente es 8 amperios cuando la resistencia es 15 ohmios, ¿cuál será la resistencia cuando la corriente sea 5 amperios?

10. Determina si el conjunto de datos representa una variación directa, una variación inversa o ninguna de las dos.

x 2 5 10

y 25 10 5

■ El costo en dólares de las manzanas m varía directamente con la cantidad de libras l, y m = 3.12 cuando l = 2.4. Halla l cuando m = 1.04.

m1 _ l 1 =

m2 _ l 2

Usa una proporción.

Sustituye.

Halla los productos cruzados.

Halla l.

3.12 _ 2.4

= 1.04 _ l 2

3.12l = 2.4 (1.04)

l = 0.8

Las manzanas que cuestan $1.04 pesan 0.8 lb.

■ La base b de un paralelogramo de área fija varía inversamente con la altura h y b = 12 cm cuando h = 8 cm. Halla b cuando h = 3 cm.

b = k _ h

b varía inversamente con h.

Sustituye.

Halla k.

Sustituye k por 96.

Sustituye h por 3.

Halla b.

12 = k _ 8

k = 96

b = 96 _ h

b = 96 _ 3

b = 32

Cuando la altura es 3 cm, la base es 32 cm.

8-1 Funciones de variación (págs. 569–576)



Simplifica. Identifica cualquiera de los valores de x para los que la expresión es indefinida.

11. 24 x 14 _ 9x 16

12. 6 x 3 _ 3x + 12

13. x 2 + x - 12

__ x 2 + 5x + 4

Multiplica. Debes suponer que todas las expresiones son definidas.

14. x + 5

_ 3x + 1

· 9x + 3

_ x 2 - 25

15. x _ x - 4

·

-x + 2 _

x 2 + x - 6

16. x 2 + 2x - 3

__ x 2 - x - 2

· x - 2 _ x + 3

17. 9 x 2 - 1 _ x 2 - 9

·

x + 3 _

3x + 1

Divide. Debes suponer que todas las expresiones son definidas.

18. x 3 y

_ 4x y 4

÷ x _ 8 y 2

19. x 2 + 2x - 15

__ x - 2

÷ x 2 - 9 _ 2x - 4

20. 3x - 21 _ 3x

÷ x 2 - 49 _ x 2 + 7x

21. x 2 + 4x + 3

__ x 2 + 2x - 8

÷ 3x + 3

_ x - 2

8-2 Cómo multiplicar y dividir expresiones racionales (págs. 577–582)


■ Simplifica 4 - x _________ x 2 - x - 20

. Identifica cualquiera de los

valores de x para los que la expresión es indefinida.

-1 (x + 4)

__ (x - 5) (x + 4)

=

-1 _ x - 5

Factoriza. Luego cancela los factores comunes. Indefinida en x = 5 y x = -4

■ Divide. Debes suponer que todas las expresiones son definidas.

x 2 - 9 _ x + 2

÷ x + 3 __

x 2 + 7x + 10

x 2 - 9 _ x + 2

· x 2 + 7x + 10

__ x + 3

Vuelve a escribirlo como una multiplicación.

(x - 3) (x + 3)

__ x + 2

· (x + 2) (x + 5)

__ x + 3

= (x - 3) (x + 5)

Suma. Identifica cualquiera de los valores de x para los que la expresión es indefinida.

22. 4 _ x 2 + 4

+ x 2 + 8

_ x 2 + 4

23. 1 _ x + 3

+ 1 _ x - 3

24. x _ x 2 - 4

+ 1 _ x - 2

25. 2x - 3 _ 3x + 7

+ 6 _ 4x - 1

Halla el mínimo común múltiplo de cada par.

26. x 2 - 9 y x 2 - 6x + 9

27. x 2 + 2x - 35 y x 2 + 9x + 14

Resta. Identifica cualquiera de los valores de x para los que la expresión es indefinida.

28. 2x _ x + 4

-

3 _ x + 4

29. x _ x + 5

-

5 _ x - 5

30. 1 _ x 2 - x - 6

-

x _ x + 2

31. 2x _ 2x + 1

-

7 _ 3x - 1

Simplifica. Debes suponer que todas las expresiones son definidas.

32. x - 6 ____

5 _

x + 2 ____ 8

33. x + 3 ____

3x _

x 2 - 9 _____ 6x - 9

34.

x __ 4 -

1 __ x _

x + 2 ____ x - 2

35. Un avión vuela de Dallas a Chicago a una velocidad promedio de 520 mi/h y regresa a una velocidad promedio de 580 mi/h. ¿Cuál es la velocidad promedio del viaje de ida y vuelta del avión?

8-3 Cómo sumar y restar expresiones racionales (págs. 583–590)


■ Suma. Identifica cualquiera de los valores de x para los que la expresión es indefinida.

6x - 3 __ x 2 - x - 12

+ x _ x + 3

6x - 3 __ (x -4) (x + 3)

+ x _ x + 3

( x - 4 _ x - 4

)

6x - 3 + x (x - 4)

__ (x - 4) (x + 3)

Suma los numeradores.

x 2 + 2x - 3

__ (x - 4) (x + 3)

Simplifica el numerador.

(x + 3) (x - 1)

__ (x - 4

) (x + 3) = x - 1 _

x - 4 Factoriza el

numerador.

Indefinida en x = 4 y x = -3

■ Simplifica. Debes suponer que todas las expresiones son definidas.

x + 2 ____

6x _

x ____ x - 4

=

x + 2 ____ 6x

(6x) (x - 4) __

x ____ x - 4

(6x) (x - 4)

El mcd es (6x) (x - 4) .

(x + 2) (x - 4)

__ x (6x)

= (x + 2) (x - 4)

__ 6 x 2

Capítulo 8 Funciones racionales y radicales 31

Con la gráfica de f (x) = 1 __ x como guía, describe la transformación y representa gráficamente cada función.

36. g (x) = 1 _ x - 4

37. g (x) = 1 _ x - 2

+ 3

Identifica las asíntotas, el dominio y el rango de cada función.

38. f (x) = 2 _ x - 1

- 3 39. f (x) = 3 _ x + 2

+ 1

Identifica los ceros y las asíntotas de cada función. Luego represéntala gráficamente.

40. f (x) =

x 2 - 3x _ x + 4

41. f (x) =

x - 3 __ x 2 + 6x + 5

42. f (x) =

2x - 4 _ x + 3

43. f (x) = x 2 - 9 _ x - 2

44. Identifica hoyos en la gráfica de f (x) = x 2 - 3x - 18 _________ x + 3

. Luego represéntalos gráficamente.

■ Con la gráfica de

f (x) = 1 __ x como guía,

describe la transformación y representa gráficamente

g (x) = 1 __ x - 3.

Dado que k = -3, traslada f 3 unidades hacia abajo.

■ Identifica los ceros y las asíntotas de

f (x) = 2x - 4 _____ x + 3

.

Luego, represéntala gráficamente.

Cero: 2Asíntota vertical: x = -3Asíntota horizontal: y = 2

8-4 Funciones racionales (págs. 592–599)


Simplifica cada expresión. Debes suponer que todas las variables son positivas.

51. 3 √

��

27 x 6 52. 4 √

��

81 x 12 53. 3

√

��

8 x 3 _ 3

Escribe cada expresión usando exponentes racionales.

54. ( 3 √

��

-27 ) 2 55.

4 √

��

16 3 56. ( √ �

9 ) 3


57. 17 1 _ 3

· 17

2 _ 3

58. ( 9 4 )

1 _ 2

59.

(

1 _ 16

)

1 _ 4

Simplifica cada expresión. Debes suponer que todas las variables son positivas.

■ 3 √

��

-8 x 9 = 3

√

��

(- 2 3 ) · 3 √

��

x 3 · 3 √

�

x 3 · 3 √

�

x 3 = -2 x 3

■ 4 √

��

8 x 6 ·

4 √

��

2 x 2 = 4 √

��

16 x 8 = 4 √

�

2 4 · 4 √

�

x 4 · 4 √

�

x 4 = 2 x 2

■ Escribe la expresión ( √ �� 16 )

3 usando exponentes

racionales.

16 3 _ 2

( n √

�

a ) m

= a m _ n

8-6 Expresiones radicales y exponentes racionales (págs. 610–617)



45. x -

6 _ x = 1 46. 4x _ x - 5

= 3x + 5

_ x - 5

47. 3x _ x + 2

= 2x + 2

_ x + 2

48. x _ x + 4

+ x _ 2

= 2x _ 2x + 8

Resuelve cada desigualdad.

49. x + 4

_ x > -2 50. 2 _ x - 3

< 4

■ Resuelve la ecuación 30 ____ x + 1

+ x = 10.

30 _ x + 1

(x + 1) + x (x + 1) = 10 (x + 1)

30 + x 2 + x = 10x + 10 Simplifica. x ≠ -1

Escríbelo en forma estándar.

Factoriza.

Halla x.

x 2 - 9x + 20 = 0

(x - 4) (x - 5) = 0

x = 4 ó x = 5

8-5 Cómo resolver ecuaciones y desigualdades racionales (págs. 600–607)



Representa gráficamente cada función e identifica su dominio y rango.

60. f (x) = √

�

x + 5 61. f (x) = -4 3 √

�

x

Con la gráfica de f (x) = √ � x como guía, describe la transformación y representa gráficamente cada función.

62. g (x) = - √

�

x + 1 63. h (x) = √ �

4x

64. j (x) = √

��

- (x - 8) 65. k (x) = -

1 _ 2

√

�

x + 1

66. Usa la descripción para escribir la función de raíz cuadrada g. La función madre f (x) = √

�

x se ajusta verticalmente por un factor de 3 y se traslada 4 unidades hacia la izquierda.

Representa gráficamente cada desigualdad.

67. y < √

�

x 68. y < 3 √ ��

x + 4

■ Representa gráficamente f (x) = √

�� x + 8 ______

2 e identifica

su dominio y rango.

Haz una tabla de valores. Luego, represéntalos gráficamente.

x y

-8 0

-7 0.5

-4 1

1 1.5

8 2

D: ⎧

⎨

⎩

x | x ≥ -8 ⎫

⎬

⎭

; R: ⎧

⎨

⎩

y | y ≥ 0 ⎫

⎬

⎭

8-7 Funciones radicales (págs. 619–627)



69. √ ��

x + 6 - 7 = -2 70.

3 √

��

2x - 2 _

6 = 1

71. √ ��

10x = 3 √ ��

x + 1 72. 2 5 √

�

x = 5 √

�

64

73. √ ��

6x - 12 = x - 2 74. √ ��

x + 1 = x - 5

75. (4x + 7) 1 _ 2

= 3 76. (x - 4)

1 _ 4

= 3

77. x = (2x + 35) 1 _ 2

78. (x + 3)

1 _ 3

= -6

Resuelve cada desigualdad.

79. √ ��

x - 4 ≤ 3 80. √ ��

2x + 7 - 6 > -1

81. √ �

3x - 4 < 2 82. 3 √

��

x - 1 > -2

83. El tiempo T en segundos que tarda un péndulo en completar una oscilación de un lado a otro puede

determinarse con la fórmula T = 2π √

��

L ___

9.8 ,

donde L es la longitud del péndulo en metros. Estima la longitud de un péndulo que completa una oscilación de un lado al otro en 2.5 s.

84. Un tetraedro es una pirámide triangular con cuatro caras congruentes. La longitud de lado l de un tetraedro en metros está dada por la fórmula

l = (6V √

�

2 ) 1 __ 3 , donde V es el volumen del tetraedro en

metros cúbicos. ¿Cuál es el volumen de un tetraedro con una longitud de lado de 8 m? Redondea a la décima más cercana.


■ 4 3 √

��

x - 4 = 12

3 √

��

x - 4 = 3 Divide entre 4.

Eleva ambos lados al cubo.

Simplifica.

Halla x.

( 3 √

��

x - 4 ) 3 = 3 3

x - 4 = 27

x = 31

■ √ ��

x + 15 = x - 5

( √ ��

x + 15 ) 2 = (x - 5) 2 Eleva ambos lados

al cuadrado.

Factoriza.

Halla x.

x + 15 = x 2 - 10x + 25

x 2 - 11x + 10 = 0 Escríbelo en forma estándar.

(x - 10) (x - 1) = 0

x = 10 ó x = 1

Usa la sustitución para comprobar si hay soluciones extrañas.

−−−−−−−−−−−

√ ��

x + 15 = x - 5 −−−−−−−−−−−

√ ��

x + 15 = x - 5

√ ��

10 + 15 10 - 5 √ ��

1 + 15 1 - 5

5 5 ✔ 4 -4 ✘

La solución x = 1 es extraña. La única solución es x = 10.

8-8 Cómo resolver ecuaciones y desigualdades radicales (págs. 628–635)


Capítulo 9 Propiedades y atributos de las funciones 33

Vocabulariocomposición de funciones . . . . . 683

función a trozos . . . . . . . . . . . . . . 662

función escalón . . . . . . . . . . . . . . . 663

función uno a uno . . . . . . . . . . . . 691


1. En un(a) −−−−−−

? , cada valor de y se corresponde exactamente con un valor de x.

2. Un(a) −−−−−−

? es una función a trozos que es constante para cada intervalo de su dominio.

3. La operación de función que usa el valor de salida de una función como valor de entrada de una segunda función es la

−−−−−−

? .

4. Dibuja una gráfica de velocidad contra tiempo que represente la siguiente situación.

Avery manejó 5 millas hasta la casa de su madre y se quedó de visita durante 20 minutos. Luego manejó por la carretera durante 15 minutos hasta llegar a su casa.

5. El encargado de un servicio de buffet planifica una gran cena benéfica. Su plan es ofrecer en el buffet 4 bandejas con 30 aperitivos cada una. Además, preparará 4 aperitivos adicionales por invitado. Crea una tabla, una gráfica y una ecuación que representen la cantidad de aperitivos en relación a la cantidad de invitados.

6. En el diagrama de dispersión se muestra cuánto tiempo se tarda en llenar diversos recipientes cilíndricos de diferentes radios.

a. Crea una tabla y una ecuación con los datos.

b. Usa tu ecuación para predecir el tiempo que se tardará en llenar un recipiente cilíndrico de 7 pulgadas de radio.

■ Las autoridades de una Nevada (pulg)

Costo ($)

3 6,950

6 8,900

9 10,850

12 12,800

ciudad están interesadas en saber cuánto les costaráretirar la nieve durante el invierno. En la tabla se muestra el costo para retirar diversas cantidades de nieve. Usa una gráfica y una ecuación para hallar lo que costará quitar 24 pulgadas de nieve.

En un diagrama de dispersión se muestra que los datos son lineales.

Halla la pendiente de la línea usando dos puntos.

m = 8900 - 6950 __ 6 - 3

= 1950 _ 3

= 650

Escribe una ecuación usando uno de los puntos.y - 6950 = 650 (x - 3) y = 650x + 5000

El costo de retirar 24 pulgadas de nieve es y = 5000 + 650 (24) = $20,600.

9-1 Representaciones múltiples de funciones (págs. 654–661)



7. Evalúa f (x) =

⎧

⎨

⎩

√

�� 5x + 9

9 - 7x

si x ≥ 4 si x < 4

para x = -6

y x = 8.


8. f (x) =

⎧

⎨

⎩

2x - 4

5

si x < 0

si x ≥ 0

9. g (x) =

⎧

�

⎨

�

⎩

3 _ 2

x - 1

√ ��

x + 2

si x ≤ 2

si x > 2

10. Escribe una función a trozos para esta gráfica.

11. Un servicio de entregas en bicicleta cobra $6 por entregar un paquete que pesa 8 onzas o menos. Por cada onza adicional, el servicio cobra $1.50. Escribe una función a trozos para las cantidades que esta compañía cobra por entregar paquetes que pesan 3 libras o menos.

■ Evalúa f (x) = ⎧ ⎨

⎩ 5x + 2

x 2 - 6

si x ≤ 1

si x > 1

para x = -2

y x = 5.

f ( -2 ) = 5 ( -2 ) + 2 = -8 Usa la regla para x ≤1.

Usa la regla para x > 1.f ( 5 ) = 5 2 - 6 = 19

■ Representa gráficamente

g (x) = ⎧ ⎨

⎩ 2x + 4

-3x + 2

si x < -2

si x ≥ -2

.

El dominio de la función se divide en x = -2. Usa una tabla de valores para representar gráficamente ambos trozos.

x g (x) = 2x + 4 g (x) = -3x + 2

-4 -4

-3 -2

-2 0 8

-1 5

0 2

Usa un círculo vacío en (-2, 0

) y un círculo lleno en

(-2, 8

) .

9-2 Funciones a trozos (págs. 662–669)


12. Dado que f (x) = ⎧

⎨

⎩

2x - 2

-4x + 16

si x ≤ 3

si x > 3

, escribe la

regla para h (x) , una traslación vertical de f (x) 2 unidades hacia arriba.

13. Dado que f (x) = ⎧

⎨

⎩

3x + 2

x 2

si x ≤ 0

si x > 0

, escribe la regla

para g (x) , una traslación horizontal de f (x) 7 unidades hacia la derecha.

14. Dado que f (x) = 2 x 2 + 1 y g (x) = f (

1 _ 2

x)

+ 1,

representa gráficamente g (x) .

■ Dado que f (x) = ⎧ ⎨

⎩ 2x - 2

-4x + 16

si x ≤ 3

si x > 3

, escribe la

regla para g (x) , una traslación horizontal de

f (x) 5 unidades hacia la izquierda.

Cada trozo de f (x) debe desplazarse 5 unidades hacia la izquierda. Reemplaza cada x con (x + 5) y simplifica.

g (x) = f (x + 5) = ⎧

⎨

⎩

2 (x + 5) -2

-4 (x + 5) + 16

si (x + 5) ≤ 3

si (x + 5) > 3

= ⎧

⎨

⎩

2x + 8

-4x - 4

si x ≤ -2

si x > -2

9-3 Cómo transformar funciones (págs. 672–679)


Capítulo 9 Propiedades y atributos de las funciones 35

Dado que f (x) = x 2 - 5x - 14 y g (x) = x - 7, halla cada función.

15. (

f + g)

(x) 16. (

f - g)

(x)

17. (

g - f )

(x) 18. (

fg)

(x)

19. (

f _ g )

(x) 20. (

g

_ f )

(x)

Sea f (x) = x - 2 y g (x) = 8 _ x + 1

.

21. Halla f (g (-2)

) y g

( f (-2)

) .

22. Halla f (g (1)

) y g

( f (1)

) .

23. Halla g (

f (x) )

e indica su dominio.

24. Halla f (

g (x) )

e indica su dominio.

25. Debido al elevado costo del combustible, una aerolínea comienza a aplicar un recargo de $30 en el precio de cada pasaje de avión. Además, la aerolínea debe sumar a ese precio un 9% en concepto de impuestos sobre las ventas y del aeropuerto. Escribe una función compuesta para hallar cuánto pagaría una persona por un pasaje de esta aerolínea que vale x dólares antes del recargo y los impuestos.

Dado que f (x) = x + 3 y g (x) = x 2 - 9, halla cada función.

■ (

g

_ f )

(x)

(

g

_ f )

(x) = g (x)

_ f (x)

= x 2 - 9 _ x + 3

= (x + 3) (x - 3)

__ x + 3

= x - 3, x ≠ -3

■ Dado que f (x) = x + 6 y g (x) = 18 _ x + 4

, halla

g ( f (x) ) . Indica su dominio.

g (

f (x) )

= g (x + 6) Sustituye con la regla para f en g. Usa la regla para g. = 18 __

(x + 6) + 4

= 18 _ x + 10

El dominio de g (

f (x) )

es ⎧

⎨

⎩

x | x ≠ -10 ⎫

⎬

⎭

porque la

función es indefinida en x = -10.

9-4 Operaciones con funciones (págs. 682–688)


26. Usa la prueba de la línea horizontal para determinar si el inverso de la relación representada gráficamente es una función.

Halla el inverso de cada función. Determina si es una función e indica su dominio y su rango.

27. f (x) = 5 - 8x 28. f (x) =

(

1 _ 3

x + 2)

2

29. f (x) = 5 _ 2x + 8

30. f (x) = 3 + √ ��

x - 5

■ Halla el inverso de f (x) = -3 (x - 6) 2 . Determina si es una función e indica su dominio y su rango.

y = -3 (x - 6) 2 Vuelve a escribir la función usando y.

Cambia x por y en la ecuación.

Divide ambos lados entre -3.

Halla la raíz cuadrada de ambos lados.

Simplifica.

Vuelve a escribirla como f -1 (x) .

x = -3 (

y - 6)

2

-

x _ 3

= (

y - 6)

2

± √ �� -

x _ 3

= y - 6

y = ±

√

��

-

x _ 3

+ 6

f -1 (x) = ±

√

��

-

x _ 3

+ 6

Como hay un valor positivo de y y un valor negativo de y para cualquier x > 0, el inverso no es una función. Como el radicando debe ser mayor que o igual a 0, el dominio es {x | x ≤ 0}. El rango es �.

9-5 Las funciones y sus inversos (págs. 690–696)



Determina por su composición si las funciones de cada par son inversas.

31. f (x) = 3x - 5 y g (x) = x - 3 _ 5

32. f (x) = 3 √

��

x - 5 y g (x) = x 3 + 5

33. La fórmula del área total de una esfera de radio r es A (r) = 4π r 2 . Halla e interpreta el inverso de A (r) .

■ Determina por su composición si

f (x) = 1 _ 3

x - 4 y g (x) = 12 + 3x son inversos.

Halla ambas composiciones.

f (

g (x) )

= 1 _ 3

(12 + 3x) - 4 = 4 + x - 4 = x

g (

f (x) )

= 12 + 3 ( 1 _ 3

x - 4) = 12 + x - 12 = x

Como f (

g (x) )

= g (

f (x) )

= x f y g son inversos.


34. En la tabla se muestra el consumo de agua de la ciudad de Culver en relación con la temperatura máxima diaria.

Consumo de agua en Culver

Temperatura máxima diaria (° F)

Consumo de agua (millones de gal)

55 71.3

60 78.7

65 86.9

70 96

75 106

80 117

a. Halla un modelo apropiado para estos datos. Usa la temperatura t como variable independiente.

b. Usa tu modelo para predecir la cantidad de galones que se consumirán en Culver cuando la temperatura máxima sea 85 ° F.

c. Usa tu modelo para predecir la temperatura máxima cuando el consumo de agua sea 50 millones de galones.

■ En la tabla se muestran los precios de las entradas de los partidos de una liga menor de béisbol en relación con la cantidad de años desde que el equipo empezó a jugar.

Precios de entradas de béisbol

Año Precio ($)

1 9.50

2 10.25

3 11.10

4 12.00

5 12.92

Paso 1 Comprueba las primeras diferencias de los precios.

0.75 0.85 0.90 0.92

Como las primeras diferencias no son constantes, un modelo lineal no funcionará.

Paso 2 Comprueba las segundas diferencias.

0.10 0.05 0.02

Como las segundas diferencias no son constantes, un modelo de una función cuadrática no funcionará.

Paso 3 Comprueba las razones.

10.25 ____

9.5 ≈ 1.08, 11.10

____ 10.25

≈ 1.08, 12 ____

11.10 ≈ 1.08, 12.92

____ 12

≈ 1.08

Las razones se acercan a 1.08. Un modelo exponencial funcionará.

Paso 4 Realiza una regresión exponencial.

Un modelo adecuado es f (x) = 8.79 (1.08)

x .

9-6 Cómo hacer un modelo de datos del mundo real (págs. 698–705)


Capítulo 10 Secciones cónicas 37

Vocabulariocírculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 729

co-vértices de una elipse . . . . . . 736

co-vértices de una hipérbola . . . 744

directriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751

eje conjugado . . . . . . . . . . . . . . . . 744

eje mayor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

eje menor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

eje transversal . . . . . . . . . . . . . . . . 744

elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736

foco de una parábola . . . . . . . . . . 751

focos de una elipse . . . . . . . . . . . 736

focos de una hipérbola . . . . . . . . 744

hipérbola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744

rama de una hipérbola . . . . . . . . 744

sección cónica . . . . . . . . . . . . . . . . 722

sistema no lineal de ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . 768

tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 731

vértices de una elipse . . . . . . . . . 736

vértices de una hipérbola . . . . . . 744


1. La línea que contiene los vértices y los focos de una hipérbola es el/la −−−−−−

? de simetría de la hipérbola.

2. Una línea que está en el mismo plano que un círculo y que cruza el círculo exactamente en un punto es un(a)

−−−−−−

? .

3. Una parábola es el conjunto de todos los puntos P(x, y) equidistantes de un punto fijo, llamado

−−−−−−

? , y una línea fija, llamada −−−−−−

? .

4. Un(a) −−−−−−

? se forma por la intersección de un cono recto doble y un plano.

Representa gráficamente cada ecuación en una calculadora de gráficas. Identifica y describe la sección cónica.

5. x 2 + y 2 = 81 6. x 2 _ 25

-

y 2 _

4 = 1

7. x = 1 _ 4

(

y + 1)

2 8. 8 x 2 + 25 y 2 = 98

9. ¿Qué ecuación está representada por la gráfica?

A. 16 x 2 - 16 y 2 = 256

B. 16 y 2 = 9 x 2 + 144

C. 9 x 2 + 16 y 2 = 256

D. 9 y 2 - 16 x 2 = 144

Halla el centro y el radio de un círculo cuyo diámetro es el de los extremos dados.

10. (-9, -3

) y

(15, -3

)

11. (-4, 1

) y

(20, -6

)

■ Representa gráficamente 4 x 2 + 25 y 2 = 100 en una calculadora de gráficas. Identifica y describe la sección cónica.

Despeja y para que la expresión pueda usarse en una calculadora de gráficas.

25 y 2 = 100 - 4 x 2 Resta 4 x 2 de ambos lados.


Halla la raíz cuadrada de ambos lados.

y 2 = 100 - 4 x 2 _ 25

y = ±

√

��

100 - 4 x 2 _ 25

Usa dos ecuaciones para ver la gráfica completa.

y 1 = √

��

100 - 4 x 2 _ 25

y y 2 =-

√

��

100 - 4 x 2 _ 25

La gráfica es una elipse con centro (0, 0), intersección con el eje y en 2 y en -2, e intersección con el eje x en 5 y en -5.

10-1 Introducción a las secciones cónicas (págs. 722–728)



Halla el centro y el radio de cada círculo.

12. (x - 6) 2 + y 2 = 361

13. (x + 12) 2 +

(

y - 4)

2 = 15

Escribe la ecuación de cada círculo.

14. centro (8, -7

) y radio r = 14

15. centro (3, 6

) y que contiene el punto

(7, -2

)

16. diámetro con extremos (2, 5

) y

(-8, 11

)

Escribe una ecuación de la línea que es tangente al círculo dado en el punto dado.

17. x 2 + y 2 = 34 en (3, 5

)

18. (x + 3) 2 + y 2 = 16 en (-3, 4

)

19. (x - 2) 2 + (

y + 7)

2 = 44 en (6, -2

)

20. (x + 4) 2 + (

y - 1)

2 = 89 en (1, -7

)

■ Escribe la ecuación del círculo de centro (-5, 9) y radio r = 16.

Sustituye en la ecuación general de un círculo, (x - h)

2 +

(

y - k)

2 = r 2 .

(x -

(-5) ) 2 +

(

y - 9)

2 = 16 2

(x + 5) 2 +

(

y - 9)

2 = 256 Simplifica.

■ Escribe una ecuación de la línea que es tangente en (12, 9) al círculo con la ecuación x 2 + y 2 = 225.

El círculo tiene centro (0, 0

) . La tangente es

perpendicular al radio en el punto donde se hace tangente.

Halla la pendiente del radio y la pendiente de la tangente.

m r = 9 - 0 _ 12 - 0

= 9 _ 12

= 3 _ 4

La pendiente del radio es 3 __

4 .

Usa el recíproco negativo.Usa la forma de punto y pendiente.

m t = -

4 _ 3

y - 9 = -

4 _ 3

(x - 12)

10-2 Círculos (págs. 729–734)


Halla el centro, los vértices, co-vértices y focos de cada elipse. Luego, represéntalos gráficamente.

21. x 2 _ 9

+

y 2 _

36 = 1

22. 25 x 2 + 64 y 2 = 1600

23. (x - 3) 2

_ 49

+ (

y + 2)

2 _

64 = 1

Halla la ecuación de cada elipse.

24.

25. co-vértices en (12, 0

) y

(-12, 0

) eje mayor con

longitud 30

26. vértices en (-8, 3

) y

(4, 3

) y focos en

(-5, 3

) y (1, 3)

■ Representa gráficamente (x + 1) 2

_ 25

+ ( y - 4) 2

_ 9

= 1.

Luego halla los focos de la elipse.

Vuelve a escribir las ecuaciones de

esta manera: (x + 1) 2

______ 5 2

+ (

y - 4)

2 ______

3 2 = 1.

El centro es (-1, 4) . Como 5 > 3, el eje mayor es

horizontal, a = 5 y b = 3. Los vértices son (-1 ± 5, 4

)

, o (-6, 4) y (4, 4) . Los co-vértices son (-1, 4 ± 3

) o

(-1, 7) y (-1, 1) .

En una elipse,

c 2 = a 2 - b 2 .

En esta elipse,

c 2 = 5 2 - 3 2 = 16,

por lo tanto c = 4.

Los focos son

(-1 ± 4, 4

) , o

(-5, 4

) y

(3, 4

) .

10-3 Elipses (págs. 736–742)


Capítulo 10 Secciones cónicas 39

Halla el centro, los vértices, co-vértices, focos y asíntotas de cada hipérbola y luego represéntalos gráficamente.

27. x 2 _ 25

-

y 2 _

49 = 1 28. 64 y 2 - 36 x 2 = 2304

29. (x - 3) 2

_ 4

-

(

y + 6)

2 _

49 = 1

Escribe una ecuación en forma estándar para cada hipérbola.

30.

31. vértices (11, 0

) y

(-11, 0

) y eje conjugado con

longitud 8

32. co-vértices (6, 0

) y

(-6, 0

) y asíntotas

y = 5 _ 6

x y y = - 5 _ 6

x

33. eje transversal con longitud 10 y focos en (-7, 18

) y

(-7, -8)

■ Halla el centro, los vértices, co-vértices, focos y

asíntotas de y 2

_ 16

- x 2 _ 9

= 1. Luego, represéntalos

gráficamente.

La ecuación está expresada como y 2

__ a 2

-

x 2 __

b 2 , entonces el

eje transversal es vertical. El centro es (0, 0).

Como a = 4 y b = 3, los vértices son (0, 4

) y

(0, -4

) y

los co-vértices son (3, 0

) y

(-3, 0

) . Las ecuaciones de

las asíntotas son y = 4 __ 3 x e y = -

4 __

3 x.

En una hipérbola, c 2 = a 2 + b 2 . En esta hipérbola,

c 2 = 4 2 + 3 2 = 25, por lo tanto c = 5 y los focos son

(0, 5

) y

(0, -5

) .

Dibuja un cuadro usando los vértices y co-vértices. Dibuja las asíntotas de una esquina a la otra del recuadro. Dibuja la hipérbola usando los vértices y las asíntotas.

10-4 Hipérbolas (págs. 744–750)


Halla el vértice, el valor de p, los ejes de simetría, foco y directriz de cada parábola. Luego, represéntalos gráficamente.

34. y = -

1 _ 12

x 2 35. x = 2 y 2

36. y - 5 = (x + 4) 2 37. x - 4 = - 1 _ 6

(

y + 2)

2

Escribe la ecuación de cada parábola en forma estándar.

38.

39. vértice (4, 6

) , eje de simetría y = 6, p = -2.5

40. foco (12, -4

) y directriz x = 6

■ Halla el vértice, el valor de p, los ejes de simetría,

el foco y la directriz de x - 2 = - 1 _

16 (y + 3) 2 .

Luego, represéntalos gráficamente.

La ecuación está en la forma x - h = 1 __

4p (

y - k)

2

con p < 0, entonces la gráfica se abre hacia la izquierda.

El vértice es (2, -3

) , y el eje de simetría es y = -3.

Como 1 __

4p = -

1 __

16 ,

p = -4. El foco es

(2 - 4, -3

) , ó

(-2, -3

) .

La directriz es

x = 2 + 4 ó x = 6.

10-5 Parábolas (págs. 751–757)



Identifica la sección cónica que representa cada ecuación.

41. x 2 _ 12

= 1-

y 2 _

9

42. (x - 5) 2 = 2 _ 3

(

y + 4)

2 + 1

43. (x - 8) 2 = 1 _ 12

(

y + 5)

44. 7 x 2 + 7 y 2 - 15x = 25

45. 15 x 2 - 6xy + 9 y 2 - 12x - 12y + 15 = 0

Halla la forma estándar de cada ecuación completando el cuadrado. Luego, identifica y representa gráficamente cada cónica.

46. y 2 - 4x + 12y = -24

47. 2 x 2 + 6 y 2 + 16x = -20

48. x 2 + y 2 + 10x - 8y + 5 = 0

49. 4 x 2 - 8 y 2 + 8x - 48y - 100 = 0

■ Identifica la sección cónica representada por 3 x 2 + 5xy - 8 y 2 + 3x - 5y = 2.

A = 3, B = 5, C = -8 Identifica los valores de A, B y C.

B 2 - 4AC = 5 2 - 4 (3) (-8) = 121 Sustituye.

Como B 2 - 4AC > 0, la ecuación representa una hipérbola.

■ Halla la forma estándar de la ecuación completando el cuadrado. Luego, identifica la sección cónica.

y 2 - 4x - 10y = -13

y 2 - 10y + = 4x - 13 + Vuelve a ordenar.

y 2 - 10y + ( 10 _ 2

) 2

= 4x - 13 + ( 10 _ 2

) 2

Suma

(

10 __

2 )

2 a

ambos lados.

(

y - 5)

2 = 4x + 12 Factoriza y simplifica.

Vuelve a escribirla en forma estándar

x + 3 = 1 _ 4

(

y - 5)

2

La ecuación representa una parábola.

10-6 Cómo identificar secciones cónicas (págs. 760–766)


Resuelve cada sistema de ecuaciones mediante la representación gráfica.

50.

⎧

�

⎨

�

⎩

y + 6 = 1 _

2 (x - 2) 2

y + 2x = -2

51. ⎧

⎨

⎩

25 x 2 + 16 y 2 = 400

16y = -5 (x - 4) 2

Resuelve cada sistema por sustitución.

52. ⎧

⎨

⎩

2 x 2 - 2 y 2 = 56

x 2 + y 2 = 100

53. ⎧

⎨

⎩

2 x 2 - y 2 = 14

y - 2x = -4

Resuelve cada sistema por eliminación.

54. ⎧

⎨

⎩

4 y 2 - 8 x 2 = 16

4 x 2 + 5 y 2 = 20

55. ⎧

⎨

⎩

3 x 2 - 2 y 2 = 76

5 x 2 + 3 y 2 = 228

Resuelve cada sistema usando cualquier método.

56. ⎧

⎨

⎩

3 x 2 + 5 y 2 = 192

3y - x = 16

57.

⎧

�

⎨

�

⎩

x 2 _ 25

-

y 2 _

16 = 1

30 x 2 + 20 y 2 = 600

■ Resuelve ⎧

⎨

⎩ x 2 - y 2 = 16

y 2 - x = 4

por sustitución.

La gráfica de la primera ecuación es una hipérbola. La gráfica de la segunda ecuación es una parábola. Es posible que haya hasta cuatro puntos de intersección.

Es más fácil despejar y 2 porque ambas ecuaciones tienen términos y 2 .

y 2 = x + 4 Despeja y 2 en la segunda ecuación.

x 2 - (x + 4) = 16 Sustituye este valor en la primera ecuación.

(x - 5) (x + 4) = 0 Simplifica y factoriza.

x = 5 ó x = -4

y 2 = 5 + 4 = 9 ó y 2 = -4 + 4 = 0 Sustituye.

y = ± 3 cuando x = 5 e y = 0 cuando x = -4.

El conjunto solución es ⎧

⎨

⎩

(5, 3

) ,

(5, -3

) ,

(-4, 0

) ⎫

⎬

⎭

.

10-7 Cómo resolver sistemas no lineales (págs. 768–775)


Capítulo 11 Probabilidad y estadística 41

combinación . . . . . . . . . . . . . . . . . 796

complemento . . . . . . . . . . . . . . . . 803

desviación estándar . . . . . . . . . . . 830

distribución de probabilidad . . 828

espacio muestral . . . . . . . . . . . . . 802

experimento . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

experimento binomial . . . . . . . . 838

factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

permutación . . . . . . . . . . . . . . . . . 795

principio fundamental de conteo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794

probabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

probabilidad binomial . . . . . . . . 838

probabilidad condicional . . . . . . 812

probabilidad experimental . . . . 805

probabilidad geométrica . . . . . . 804

probabilidad teórica . . . . . . . . . . 802

prueba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805

resultado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

resultados favorables . . . . . . . . . 802

resultados igualmente probables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

suceso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802

suceso compuesto . . . . . . . . . . . . 819

suceso simple . . . . . . . . . . . . . . . . 819

sucesos dependientes . . . . . . . . . 812

sucesos inclusivos . . . . . . . . . . . . 820

sucesos independientes . . . . . . . 811

sucesos mutuamente excluyentes . . . . . . . . . . . . . . . . 819

Teorema de los binomios . . . . . . 837

valor esperado . . . . . . . . . . . . . . . . 828

valor extremo . . . . . . . . . . . . . . . . 831

varianza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 830


1. Si la incidencia de un suceso afecta la probabilidad de otro, entonces los sucesos son

−−−−−−

? .

2. Un(a) −−−−−−

? también puede llamarse promedio ponderado.

3. Cuando se organizan elementos, el orden es importante si se usa un(a) −−−−−−

? .

4. Cuántos números telefónicos de 7 dígitos pueden crearse si el primer dígito no puede ser ni 7 ni 8 ni 9?

5. De un grupo de 12 voluntarios, un encuestador debe elegir a 5 para que realicen una encuesta avanzada. ¿Cuántos grupos de 5 personas pueden escogerse?

6. En un día, un vendedor planea visitar 6 de las 14 compañías que hay en el barrio. ¿De cuántas maneras puede planificar las visitas?

7. ¿De cuántas maneras pueden 7 personas ubicarse en una camioneta que tiene 10 asientos?

8. El encargado del servicio de buffet dijo a Kathy que puede elegir 3 entradas de las 6 que hay en el menú. ¿Cuántos grupos de 3 entradas puede elegir?

11-1 Permutaciones y combinaciones (págs. 794–800)


■ Si puedes escoger entre 8 jarrones, ¿de cuántas maneras puedes ordenar 5 de ellos sobre una repisa?

El orden importa, entonces es una permutación.

8 P 5 = 8! _ (8 - 5) !

= 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 ___ 3 · 2 · 1

= 8 · 7 · 6 · 5 = 6720

Hay 6720 maneras de ordenar los jarrones.

■ Si hay 7 ingredientes para cubrir la pizza, ¿de cuántas maneras puedes elegir 2 tipos de ingredientes?

El orden no importa, entonces es una combinación.

7 C 2 = 7! _ 2! (7 - 2) !

= 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 __ 2 · 1 (5 · 4 · 3 · 2 · 1)

= 42 _ 2

= 21

Hay 21 maneras de elegir los ingredientes.

Vocabulario


Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de cada suceso?

9. La suma es 8. 10. La diferencia es 1.

11. La suma es par. 12. El producto es menor que 30.

13. Un equipo de matemáticas de 10 miembros selecciona 4 representantes al azar para enviarlos a un encuentro. ¿Cuál es la probabilidad de que los 4 que se elijan sean los 4 que tengan las calificaciones más bajas en matemáticas?

14. Todos los cajeros de una tienda reciben un código de 5 dígitos para que comiencen a utilizar la caja registradora. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado reciba el código con los 5 números iguales?

15. Halla la probabilidad de que un punto elegido al azar dentro del rectángulo esté en el área sombreada.

16. Halla la probabilidad de que un punto elegido al azar dentro del cuadrado no esté dentro del círculo.

En la gráfica de barras se muestran los resultados de lanzar 50 veces dos monedas de un centavo. Halla la probabilidad experimental de cada uno de los siguientes resultados.

17. dos monedas caen cara 18. al menos una moneda cae cruz

19. ninguna moneda 20. sólo 1 moneda cae cruz cae cara

Se lanzan dos monedas de un centavo. Halla la probabilidad teórica de cada uno de los siguientes resultados.

21. dos monedas caen cara 22. al menos una moneda cae cruz

23. ninguna moneda 24. sólo 1 moneda cae cruz cae cara

Un porta clips contiene 100 clips: 30 rojos, 20 amarillos, 25 verdes, 15 rosados y 10 negros. Se elige un clip al azar. Halla cada probabilidad.

■ El clip es verde.

P (

verde)

= cantidad de _

cantidad total _

de clips _ clips verdes

_

= 25 _ 100

= 1 _ 4

■ El clip no es rosado.

P (no rosado

) = 1 - P

(rosado

) = 1 - 15 _

100 = 17 _

20

■ Carl y Pedro colocan sus nombres dentro de un sombrero para el sorteo de un premio. Se elegirán dos nombres y dentro del sombrero hay un total de 40 nombres. ¿Qué probabilidad existe de que Carl gane el primer premio y de que Pedro gane el segundo?

La cantidad de resultados del espacio muestral es la cantidad de maneras en las que 2 personas pueden ser seleccionadas de entre 40 y luego ser ordenadas.

P (Carl, luego Pedro) = 1 _ 40 P 2

= 1 _ 1560

■ Un dardo se lanza a la diana al azar. ¿Qué probabilidad existe de que caiga en el círculo exterior?

P (

círculo exterior)

=

área del círculo exterior

___ área de la diana

=

área del círculo exterior - área del círculo interior _____

área del círculo exterior

= π (3) 2 - π

(1) 2 __

π (3) 2

= 9π - 1π

_ 9π

= 8π

_ 9π

= 8 _ 9

■ En la tabla se muestran los resultados de 75 lanzamientos de un dado. Halla la probabilidad experimental de obtener un 4.

1 2 3 4 5 6

10 12 16 15 9 13

P (4) = cantidad de veces que se obtuvo 4 _____ cantidad de intentos

= 15 _ 75

= 1 _ 5

= 0.2

11-2 Probabilidad teórica y experimental (págs. 802–809)


Capítulo 11 Probabilidad y estadística 43

Explica por qué los sucesos son independientes y halla la probabilidad.

25. obtener “dobles” 3 veces seguidas al lanzar 2 dados

26. obtener una pluma roja y luego una pluma azul al elegir 2 plumas de una bolsa con 10 plumas rojas y 15 plumas azules con repuesto

En la tabla se muestra la edad y el estado civil de de los miembros de un grupo de ecologistas. Se selecciona una persona del grupo al azar. Halla cada probabilidad.

Estado civil por edad

18–34 35–50 51–65 66 o más

Casado 6 20 22 4

Soltero 14 22 11 0

27. que la persona seleccionada sea soltera, dado que él o ella está en el grupo de entre 35 y 50 años

28. que una persona casada tenga 66 años o más

29. que una persona de entre 18 y 50 años sea casada

30. que una persona del grupo sea soltera y que esté en el grupo de entre 18 y 34 años

Una bolsa contiene papelitos con los siguientes números: 2, 2, 3, 3, 4, 5 y 6. Determina si los sucesos son independientes o dependientes y halla la probabilidad indicada.

■ Seleccionas un 3, te guardas el papelito y luego tu amigo o amiga selecciona un 3.

Si te quedas con el primer papelito que dice 3, la cantidad de números 3, eso que tu amigo o amiga puede elegir de la bolsa cambia, entonces el suceso es dependiente.

P (3, luego 3) = P (3) · P (

3 | 3)

.

= 2 _ 7

· 1 _ 6

= 2 _ 42

= 1 _ 21

■ Seleccionas un número mayor que 3, devuelves el papelito y luego tu amigo o amiga selecciona un número menor que 3.

Si devuelves a la bolsa el papelito que tiene un número mayor que 3 significa que tu amigo o amiga también hará su selección de entre los mismos papelitos, entonces la incidencia de la primera selección no afecta la probabilidad de la segunda selección. Los sucesos son independientes.

P (> 3, luego < 3) = P (> 3) · P (< 3)

= 3 _ 7

· 2 _ 7

= 6 _ 49

11-3 Sucesos independientes y dependientes (págs. 811–818)


Andy usa su calculadora para obtener un número del 10 al 20, al azar. Halla la probabilidad de que

■ Andy obtenga un 15 o un múltiplo de 2.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 _ 11

+ 6 _ 11

= 7 _ 11

Los sucesos son mutuamente excluyentes.

■ Andy obtenga un múltiplo de 3 o un múltiplo de 5.

10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

3 _ 11

+ 3 _ 11

- 1 _ 11

= 5 _ 11

Los sucesos son inclusivos.

■ Andy obtenga todos números diferentes si hace que la calculadora seleccione 5 números al azar.

11 P 5

_ 11 5

= 11 · 10 · 9 · 8 · 7 __ 11 · 11 · 11 · 11 · 11

= 55,440

_ 161,051

≈ 0.3442

Una tienda entrega cupones de descuento. Un tercio de los cupones otorga 10% de descuento, la mitad otorga 15% de descuento y un sexto de los cupones otorga 20% de descuento. Se entrega un cupón a un cliente.

31. Explica por qué los sucesos “10% de descuento” y “15% de descuento” son mutuamente excluyentes.

32. ¿Cuál es la probabilidad de que el cupón otorgue 10% de descuento o 15% de descuento?

Se toma un naipe de un mazo de 52. Halla la probabilidad de cada resultado.

33. obtener un naipe rojo u obtener un 5

34. obtener un trébol u obtener un corazón

35. De 120 hombres y 180 mujeres que realizaron un examen de vista, 170 lo pasaron. Un tercio de los hombres no lo pasó. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que realizó el examen lo haya pasado o de que sea hombre?

11-4 Sucesos compuestos (págs. 819 – 825)



Halla la media, la mediana y la moda de cada conjunto de datos.

36. 5, 8, 0, 8, 6 37. 12, 15, 13, 13, 15, 12

38. A continuación se da la distribución de probabilidad de la cantidad de arrestos que se hacen en un día en una ciudad pequeña. Halla la cantidad esperada de arrestos un día cualquiera.

Cantidad de arrestos n

0 1 2 3

Probabilidad de n arrestos

0.65 0.22 0.1 0.03

39. Haz una gráfica de mediana y rango con los datos. Luego, halla el rango entre cuartiles.

33, 52, 65, 48, 83, 29, 33, 50, 71

40. Se da la cantidad de carreras que un corredor ganó cada año durante 10 años. Halla la cantidad de triunfos dentro de 1 desviación estándar de la media. 5, 7, 4, 11, 8, 10, 8, 6, 9, 7

41. El director informó que la media de calificaciones de un examen estandarizado de la escuela fue 81.3 y la desviación estándar fue 4.4. Sharon obtuvo 96. ¿Su calificación es un valor extremo? Explica.

42. En 6 pruebas, Aarón obtuvo 73, 88, 86, 90, 87 y 29. Halla la media y la desviación estándar de los datos. En la séptima prueba, obtuvo 32. Describe cómo su séptima calificación afecta la media y la desviación estándar.

■ Se da la distribución de probabilidad de la cantidad de maestros suplentes que se necesitan. Halla la cantidad esperada de maestros suplentes en cualquier día.

Cantidad de maestros suplentes n

0 1 2 3 4

Probabilidad de n maestros suplentes

0.05 0.08 0.38 0.41 0.08

0 (0.05) + 1 (0.08) + 2 (0.38) + 3 (0.41) + 4 (0.08) = 2.39

La cantidad esperada de maestros suplentes es 2.39.

■ Se conoce la cantidad de libros que hay en cada caja que se envía desde un depósito. Halla el número dentro de 1 desviación estándar de la media.

12, 10, 4, 8, 24, 16, 14, 10, 10, 8, 16

Paso 1 Halla la media.12 + 10 + 4 + 8 + 24 + 16 + 14 + 10 + 10 + 8 + 16 ___________________________________

11 = 12

Paso 2 Halla la varianza. Suma los cuadrados de todas las diferencias de la media y divide entre la cantidad de valores de los datos.0 + 4 + 64 + 16 + 144 + 16 + 4 + 4 + 4 + 16 + 16 __________________________________

11 ≈ 26.2

Paso 3 Halla la raíz cuadrada de: √ ��

26.2 ≈ 5.1

El número dentro de 1 desviación estándar de la media es ≈ 12 ± 5.1, ó [6.9, 17.1].

11-5 Medidas de tendencia dominante y variación (págs. 828–835)


Usa el Teorema de los binomios para desarrollar cada binomio.

43. (5 + 2x) 3 44. (

x - 2y)

4

45. La probabilidad de que Ike anote un tiro libre es de 0.65. Lanza 75 tiros libres. Halla la cantidad esperada de tiros libres anotados y la desviación estándar.

46. Una rueda giratoria se divide en 6 secciones iguales, numeradas del 1 al 6. Se gira 8 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que la rueda caiga en 1 exactamente 3 veces? ¿Cuál es la probabilidad de que la rueda caiga en 1 por lo menos 2 veces?

Sheila compró 5 barras energéticas. La posibilidad de que en cada barra haya un premio por otra gratis es de 1 a 10.

■ ¿Cuál es la probabilidad de que Sheila gane 3 barras energéticas?

P (3) = 5 C 3 (0.1) 3 (0.9) 5-3 P (r) = n C r p r q n-r

= 10 (0.001) (0.81) = 0.0081

■ ¿Cuál es la probabilidad de que Sheila gane por lo menos 1 barra energética?

P (por lo menos 1) = 1 - P (0)

P (0) = 5 C 0 (0.1) 0 (0.9) 5-0 ≈ 0.5905

1 - 0.5905 = 0.4095

11-6 Distribuciones binomiales (págs. 837–843)


Capítulo 12 Sucesiones y series 45

convergir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900

divergir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900

fórmula explícita . . . . . . . . . . . . . 863

fórmula recurrente . . . . . . . . . . . 862

inducción matemática . . . . . . . . 902

iteración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864

límite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 900

media geométrica . . . . . . . . . . . . 892

notación de sumatoria . . . . . . . . 870

serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 870

serie aritmética . . . . . . . . . . . . . . . 882

serie geométrica . . . . . . . . . . . . . . 893

serie geométrica infinita . . . . . . 900

sucesión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862

sucesión aritmética . . . . . . . . . . . 879

sucesión finita . . . . . . . . . . . . . . . . 862

sucesión geométrica . . . . . . . . . . 890

sucesión infinita . . . . . . . . . . . . . . 862

suma parcial . . . . . . . . . . . . . . . . . 870

término de una sucesión . . . . . . 862


1. Un(a) −−−−−−

? t iene una diferencia común y un(a) −−−−−−

? tiene una razón común.

2. Una serie que no tiene límite va a −−−−−−

? mientras que una serie que se acerca a un límite va a

−−−−−−

? .

3. Un(a) −−−−−−

? define el enésimo término. Un(a) −−−−−−

? define el siguiente término usando uno o más de los términos anteriores.

4. Un(a) −−−−−−

? continúa sin fin y un(a) −−−−−−

? tiene un último término.

5. Cada paso en un proceso que se repite es llamado un −−−−−−

? .

Halla los primeros 5 términos de cada sucesión.

6. a n = n - 9 7. a n = 1 _ 2

n 2

8. a n = (

-

3 _ 2

)

n -1

9. a 1 = 55 y a n = a n -1 - 2

10. a 1 = 200 y a n = 1 _ 5

a n -1

11. a 1 = -3 y a n = -3 a n -1 + 1

Escribe una regla explícita posible para el enésimo término de cada sucesión.

12. -4, -8, -12, -16, -20, . . .

13. 5, 20, 80, 320, 1280, . . .

14. -24, -19, -14, -9, -4, . . .

15. 27, 18, 12, 8, 16 _ 3

, . . .

16. Deportes Supongamos que una pelota de básquetbol se lanza desde una altura de 3 pies. Si luego de cada rebote la pelota alcanza el 70% de su altura, ¿qué tan alto llegará la pelota después del 4to rebote? ¿Y después del 9no rebote?

■ Halla los primeros 5 términos de la sucesión con a 1 = -52; a n = 0.5 a n -1 + 2.

Evalúa la regla usando cada término para hallar el siguiente término.

n 1 2 3 4 5

a n -52 -24 -10 -3 0.5

■ Escribe una regla explícita para el enésimo término de 100, 72, 44, 16, -12, . . . .

Examina las diferencias o razones. Términos 100 72 44 16 -12

1ras diferencias 28 28 28 28

Las primeras diferencias son constantes, entonces la sucesión es lineal.

El primer término es 100 y cada término es 28 menos que el término anterior.

La regla explícita es a n = 100 - 28 (n - 1) .

12-1 Introducción a las sucesiones (págs. 862–868)


Vocabulario


Desarrolla cada serie y evalúa.

17. ∑

k = 1

4

k 2 (-1) k 18. ∑

k = 1

5

(0.5k + 4)

19. ∑

k = 1

5

(-1) k+1 (2k - 1) 20. ∑

k = 1

4

5k _ k 2

Evalúa cada serie.

21. ∑

k = 1

8

-5 22. ∑

k = 1

10

k 2 23. ∑

k = 1

12

k

24. Finanzas Una familia paga una hipoteca mensual de $1150. ¿Cuánto han pagado después de 2 años? ¿Y después de 15 años?

■ Desarrolla ∑

k = 1

5

(-1) n+1 (11 - 2n) y evalúa.

∑

k = 1

5

(-1) n+1 (11 - 2n) = (-1) 2 (11 - 2)

+ (-1) 3 (11 - 4) + (-1) 4 (11 - 6)

+ (-1) 5 (11 - 8) + (-1) 6 (11 - 10)

= 9 - 7 + 5 - 3 + 1

= 5 Simplifica.

■ Evalúa ∑

k = 1

8

k 2 .

Usa la fórmula de sumatoria para una serie cuadrática.

∑

k = 1

8

k 2 = n (n + 1) (2n + 1)

__ 6

= 8 (8 + 1) (2 · 8 + 1)

__ 6

= 72 (17)

_ 6

= 204

12-2 Serie y notación de sumatoria (págs. 870–877)


Halla el 11er término de cada sucesión aritmética.

25. 23, 19, 15, 11, . . . 26. 1 _ 5

, 3 _ 5

, 1, 7 _ 5

, 9 _ 5

, . . .

27. -9.2, -8.4, -7.6, -6.8, . . .

28. a 3 = 1.5 y a 4 = 5

29. a 6 = 47 y a 8 = 21

30. a 5 = -7 y a 9 = 13

Halla la suma indicada para cada serie aritmética.

31. S 18 para -1 - 5 - 9 - 13 + �

32. S 12 para 1 _ 3

+ 1 _ 6

+ 0 -

1 _ 6

+ �

33. ∑

k = 1

15

(-14 + 3k)

34. ∑

k = 1

15

(

3 _ 2

k + 10)

35. Ahorros Kelly tiene $50 y recibe $8 por semana de mensualidad. Quiere ahorrar todo su dinero para comprar una bicicleta nueva que cuesta $499. Escribe una sucesión aritmética que represente la situación. Luego, averigua si Kelly podrá comprar la bicicleta nueva después de un año (52 semanas).

■ Halla el 12do término de la sucesión aritmética 85, 70, 55, 40, 25, . . ..

Halla la diferencia común: d = 70 - 85 = -15.

a n = a 1 + (n - 1) d Regla general.

a 12 = 85 + (12 - 1) (-15) Sustituye.

= -80 Simplifica.

■ Halla ∑

k = 1

11

(-2 - 33k) .

Halla el 1er y 11er término.

a 1 = -2 -33 (1) = -35

a 11 = -2 - 33 (11) = -365

Halla S 11 .

S n = n (

a 1 + a n

_ 2

)

Fórmula de la suma.

S 11 = 11 (

-35 - 365 _ 2

)

Sustituye.

= -2200

12-3 Sucesiones y series aritméticas (págs. 879–887)


Capítulo 12 Sucesiones y series 47

Halla el 8vo término de cada sucesión geométrica.

36. 40, 4, 0.4, 0.04, 0.004, . . .

37. 1 _ 18

, 1 _ 6

, 1 _ 2

, 3 _ 2

, . . .

38. -16, -8, -4, -2, . . .

39. -6, 12, -24, 48, . . .

Halla el 9no término de la sucesión geométrica con los términos dados.

40. a 3 = 24 y a 4 = 96

41. a 1 = 2 _ 3

y a 2 = -

4 _ 3

42. a 4 = -1 y a 6 = -4

43. a 3 = 4 y a 6 = 500

Halla la media geométrica de cada par de números.

44. 10 y 2.5 45. 1 _ 2

y 8

46. √

� 3 _

96 y

√ �

3 _

6 47. 5 _

12 y 125 _

108

Halla la suma indicada para cada serie geométrica.

48. S 5 para 1 + 1 _ 3

+ 1 _ 9

+ 1 _ 27

+ �

49. S 6 para -

4 _ 5

+ 8 - 80 + 800 + �

50. ∑

k = 1

8

(4) k -1

51. ∑

k = 1

7

-2 (5) k -1

52. ∑

k = 1

6

60 (

-

1 _ 2

)

k -1

53. ∑

k = 1

5

18 (

1 _ 2

)

k -1

54. Depreciación Una fotocopiadora nueva cuesta $9000 y cada año se deprecia de modo que retiene el 65% del valor que tenía el año anterior. ¿Cuál es el valor de la fotocopiadora después de 5 años?

55. Alquiler Un apartamento de una habitación se alquila a $650 al mes. Se calcula que el alquiler aumentará 6% por año.

a. ¿Cuál será el gasto anual de alquiler del apartamento después de 5 años?

b. ¿Cuál será la cantidad total que gastará una persona si lo alquila por un periodo de 5 años?

■ Halla el 8vo término de la sucesión geométrica 6, 24, 96, 384, . . ..

Halla la razón común. r = 24 _ 6

= 4

Escribe una regla y evalúala para n = 8.

a n = a 1 r n -1 Regla general

a 8 = 6 (4) 8 -1 = 98,304

■ Halla el 8vo término de la sucesión geométrica con a 4 = -1000 y a 6 = -40.

Paso 1 Halla la razón común.

a 6 = a 4 r (6 -4) Usa los términos dados.

-40 = -1000 r 2 Sustituye.

1 _ 25

= r 2 Simplifica.

±

1 _ 5

= r

Paso 2 Halla a1 usando los dos valores posibles de r.

-1000 = a 1 ( 1 _ 5

) 4-1

ó -1000 = a 1 (- 1 _ 5

) 4-1

a 1 = -125,000 ó a 1 = 125,000

Paso 3 Escribe la regla para a8 y evalúa, usando los dos valores posibles de r.

a n = a 1 r n –1 a n = a 1 r n -1

a n = -125,000 ( 1 _ 5

) n -1

ó a n = 125,000 (-

1 _ 5

) n -1

a 8 = -125,000 (

1 _ 5

)

8 –1

a 8 = 125,000 (

-

1 _ 5

)

8 -1

a 8 = -1.6 a 8 = -1.6

■ Halla ∑

k = 1

7

-2 (5) k -1 .

Halla la razón común. r = a 2

_ a 1 =

-6 _ 3

= -2

Halla S 7

S n = a 1 (

1 - r n _ 1 - r

)

Fórmula de la suma.

S 7 = 3 (

1 -

(-2) 7 _

1 - (-2)

)

Sustituye.

= 3 (

1 -

(-128) _

3

)

= 129

12-4 Sucesiones y series geométricas (págs. 890–898)



Halla la suma de cada serie infinita, si existe.

56. -2700 + 900 - 300 + 100 + �

57. -1.2 - 0.12 - 0.012 - 0.0012 + �

58. -49 - 42 - 36 - 216 _ 7

+ �

59. 4 + 4 _ 5

+ 4 _ 25

+ 4 _ 125

+ �

60. ∑

k = 1

∞

9 _ 3 k

61. ∑

k = 1

∞

-7 (

3 _ 5

)

k

62. ∑

k = 1

∞

(-1) k +1 (

1 _ 8 k

)

63. ∑

k = 1

∞

(

4 _ 3

)

k

Usa la inducción matemática para comprobar cada enunciado.

64. 2 + 4 + 8 + � + 2 n = 2 n +1 - 2

65. 1 + 5 + 25 + � + 5 n-1 = 5 n - 1 _ 4

66. 1 _ 3

+ 1 _ 15

+ � + 1 _ 4 n 2 - 1

= n _ 2n + 1

67. Tiempo libre La altura vertical desde la que comienza a hamacarse a un niño en un columpio hace posible que recorra una distancia de exactamente 9 pies en el primer vaivén.

a. Si la distancia que recorre disminuye un 85% en cada vaivén, escribe una serie geométrica infinita que exprese la distancia en pies que recorre el niño.

b. ¿Cuál es la distancia total que recorre el niño en el columpio antes de que el vaivén se detenga?

Halla la suma de cada serie infinita, si existe.

■ -9261 + 441 - 21 + 1 + �

r = 441 _ -9261

= - 1 _

21 Converge: ⎪r⎥ < 1

S = a 1 _

1 - r Fórmula de la suma

= -9261 _ 1 -

(

- 1 ___ 21

)

= -9261 _

22 __ 21

= -

194,481 _

22 , ó -8840.0

−−

45

■ ∑

k = 1

∞

-5 ( 7 _ 10

) k -1

= -5 - 35 _ 10

- 245 _ 100

+ � Evalúa.

r = -

35 __ 10

_

-5 = 7 _

10 Converge: ⎪r⎥ < 1

S = a 1 _

1 - r = -5 _

1 - 7 ___ 10

= -5 _

3 __ 10

= -

50 _ 3

, ó -16. −

6

■ Usa la inducción matemática para comprobar

2 + 5 + � + (3n - 1) = n _ 2

(3n + 1) .

Paso 1 Caso base: Demuestra que el enunciado es

verdadero para n = 1.

2 = n _ 2

(3n + 1) = 1 _ 2

(3 · 1 + 1) = 2 Verdadero

Paso 2 Debes suponer que el enunciado es verdadero

para un número natural k.

2 + 5 + � + (3k - 1) = k _ 2

(3k + 1) Reemplaza n con k.

Paso 3 Comprueba que es verdadero para el número

natural k + 1.

2 + 5 + . . . + (3k - 1) + 3 (k + 1) -1 Súmalo en ambos. lados.

= k _ 2

(3k + 1) + 3 (k + 1) -1

= k (3k + 1)

_ 2

+ ( 3k + 3 -1) Multiplica.

= 3 k 2 + k

_ 2

+ 2 (3k + 2)

_ 2

Simplifica y vuelve a escribirlo con denominadores semejantes.

= 3 k 2 + 7k + 4

__ 2

Suma.

= (k + 1) (3k + 4)

__ 2

Factoriza.

= (k + 1)

_ 2

(3 (k + 1) + 1

) Escribe con k + 1.

12-5 Inducción matemática y series geométricas infinitas (págs. 900–907)


Capítulo 13 Funciones trigonométricas 49

ángulo coterminal . . . . . . . . . . . . .937

ángulo de referencia . . . . . . . . . . .937

ángulo de rotación . . . . . . . . . . . . .936

círculo unitario . . . . . . . . . . . . . . . .944

cosecante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .932

coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .929

cotangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .932

función coseno inversa . . . . . . . .951

función seno inversa . . . . . . . . . . .951

función tangente inversa . . . . . . .951

función trigonométrica . . . . . . . .929

lado inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .936

lado terminal . . . . . . . . . . . . . . . . . .936

posición estándar . . . . . . . . . . . . . .936

radián . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .943

secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .932

seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .929

tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .929


1. Un(a) −−−−−−

? es una unidad de medida de ángulos basada en la longitud del arco.

2. El/la −−−−−−

? de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es la razón de la longitud de la hipotenusa a la longitud del cateto opuesto.

3. Un ángulo en −−−−−−

? tiene su vértice en el origen y un rayo en el eje x positivo.

Halla los valores de las seis funciones trigonométricas para θ.

4. 5.

Usa una función trigonométrica para hallar el valor de x.

6. 7.

8. Se coloca un cable para sostener un poste telefónico, como se muestra en el diagrama. Si se redondea al pie más cercano, ¿cuánto debe medir de largo el cable?

9. El ángulo de depresión desde una torre de observación hasta el lugar de un incendio forestal es de 8°. Si la torre mide 25 m de alto, ¿cuál es la distancia, redondeada al metro más cercano, entre la base de la torre y el lugar del incendio?

■ Halla los valores de las funciones del seno, coseno y tangente para θ.

sen θ = op.

_ hip.

= 8 _ 17

cos θ = ady.

_ hip.

= 15 _ 17

tan θ = op.

_ ady.

= 8 _ 15

■ Una escalera de 16 pies está apoyada contra la pared de un edificio, tal como se muestra en el dibujo. ¿Hasta qué altura de la pared llega la escalera?

sen θ = op.

_ hip.

sen 75° = h _ 16

Sustituye.

h = 16 sen 75° ≈ 15.5 Halla h.

La escalera llega aproximadamente a los 15.5 pies de la pared del edificio.

13-1 Trigonometría del ángulo recto (págs. 929–935)


Vocabulario


Dibuja un ángulo con la medida dada en posición estándar.

10. 195° 11. -220° 12. -450°

Halla las medidas de un ángulo positivo y de un ángulo negativo que sean coterminales con cada ángulo dado.

13. θ = 115° 14. θ = 382° 15. θ = -135°

Halla la medida del ángulo de referencia para cada ángulo dado.

16. θ = 84° 17. θ = 127° 18. θ = -105°

P es un punto en el lado terminal de θ en posición estándar. Halla el valor exacto de las seis funciones trigonométricas para θ.

19. P (-4, 3

) 20. P

(5, 12

) 21. P

(-15, -8

)

22. P (8, -3

) 23. P

(-9, -1

) 24. P

(-5, 10

)

■ Dibuja un ángulo de-290° en posición estándar.

Gira el lado terminal 290° en el sentido de las manecillas del reloj.

■ P (-5, 12) es un punto en el lado terminal de θ en posición estándar. Halla el valor exacto de las seis funciones trigonométricas de θ.

r = √

��

(-5) 2 + (12) 2 = 13 Halla r.

sen θ = y

_ r = 12 _ 13

cos θ = x _ r = -5 _ 13

= -

5 _ 13

tan θ = y

_ x = 12 _ -5

= -

12 _ 5

csc θ = 1 _ sen θ

= 13 _ 12

sec θ = 1 _ cos θ

= -

13 _ 5

cot θ = 1 _ tan θ

= -

5 _ 12

13-2 Ángulos de rotación (págs. 936–941)


Convierte cada medida de grados a radianes o de radianes a grados.

25. 270° 26. -120° 27. 400°

28. π

_ 6

29. -

π

_ 9

30. 9π

_ 4

Usa el círculo unitario para hallar el valor exacto de cada función trigonométrica.

31. cos 240° 32. tan 3π

_ 4

33. sec 300°

Usa el ángulo de referencia para hallar el valor exacto del seno, coseno y la tangente de cada medida de ángulo.

34. 7π

_ 6

35. 300° 36. - π

_ 3

37. Un círculo tiene un radio de 16 pulg. Si se redondea a la pulgada más cercana, ¿cuál es la longitud de un arco del círculo que se interseca con un ángulo central de 80°?

38. La manecilla de los minutos del reloj ubicado en la torre de una ciudad tiene una longitud de 1.5 metros.

a. Halla la medida en radianes del ángulo por el que rota la manecilla en 10 minutos.

b. Si redondeas a la décima de metro más cercana, ¿qué distancia recorre la punta de la manecilla en 10 minutos?

Convierte cada medida de grados a radianes o de radianes a grados.

■ -60°

-60°

(

π radianes _ 180°

)

= -

π

_ 3

radianes

■ 5π

_ 3

radianes

(

5π

_ 3

radianes)

(

180° _

π radianes )

= 300°

■ Usa un ángulo de referencia para hallar el valor exacto de tan 150°.

Paso 1 El ángulo de

referencia mide 30°.

Paso 2 Halla la tangente del

ángulo de referencia.

tan 30° = √

� 3 _

3

Paso 3 Arregla el signo, si es

necesario.

La razón de la tangente es negativa si el lado

terminal del ángulo está en el Cuadrante II.

tan 150° = -

√

�

3 _

3

13-3 El círculo unitario (págs. 943–949)


Capítulo 13 Funciones trigonométricas 51

Halla todos los valores posibles de cada expresión.

39. ta n -1 √ �

3 40. co s -1 (

-

√

�

3 _

2

)

41. sen -1 (

-

√

�

2 _

2

)

42. tan -1 (

-

√

�

3 _

3

)

Evalúa cada función trigonométrica inversa. Da tu respuesta en radianes y en grados.

43. Sen -1 (

-

1 _ 2

)

44. Ta n -1 √

� 3 _

3

45. Co s -1 (-1) 46. Sen -1 √

� 2 _

2

47. Una rampa de patinaje mide 39 pulgadas de largo y se eleva a una altura de 22 pulgadas. Si redondeas al grado más cercano, ¿qué ángulo forma la rampa con el suelo?

48. Un parasail es un paracaídas remolcado por una lancha. al que se sujeta a una persona para elevarla sobre el agua. Shelley está en un parasail a una altura de 100 pies. Si está atada a la lancha con 152 pies de cuerda, ¿cuál es el ángulo de depresión desde el punto donde está ubicada Shelley hasta la lancha? Redondea tu respuesta al grado más cercano.

Resuelve cada ecuación y redondea la respuesta a la décima más cercana. Usa las restricciones dadas.

49. sen θ = 0.3, para -90° ≤ θ ≤ 90°

50. sen θ = 0.3, para 90° ≤ θ ≤ 180°

51. tan θ = 2.2, para -90° < θ < 90°

52. tan θ = 2.2, para 180° ≤ θ ≤ 270°

■ Evalúa Sen -1 (- √ � 3

___

2 ) . Da tu respuesta en

radianes y en grados.

-

√

�

3 _

2 = Sen θ Halla el valor de θ para

-

π

__ 2 ≤ θ ≤ π

__ 2 .

-

√

�

3 _

2 = Sen

(

- π

_ 3

)

Usa las coordenadas y de puntos en el círculo unitario.

Se n -1 (

-

√

�

3 _

2

)

= -

π

_ 3

, o Se n -1 (

-

√

�

3 _

2

)

= -60°

■ Un barco está 2.8 millas al este y 1.3 millas al norte de un puerto. Si se redondea al grado más cercano, ¿en qué dirección debe dirigirse el barco para llegar al puerto?

Paso 1 Dibuja un diagrama.

Paso 2 Halla el valor de θ.

tan θ = op.

_ ady.

Usa la razón de la tangente.

tan θ = 2.8 _ 1.3

Sustituye.

θ = Ta n -1 (

2.8 _ 1.3

)

≈ 65° Halla θ.

El barco debe dirigirse 65° al oeste del sur.

13-4 Funciones trigonométricas inversas (págs. 950–955)

EJERCICIOS

Halla el área de cada triángulo. Redondea a la décima más cercana.

53. 54.

55. 56.

■ Halla el área del triángulo. Redondea a la décima más cercana.

Área = 1 _ 2

ab sen C Usa la fórmula del área.

= 1 _ 2

(3) (2.5) sen 70° Sustituye.

≈ 3.5 pies 2 Evalúa.

13-5 La ley de senos (págs. 958–965)


E J E M P L O S


Usa las medidas dadas para resolver �ABC. Redondea a la décima más cercana.

62. m∠C = 29°, a = 14, b = 30

63. m∠A = 110°, b = 18, c = 12

64. a = 12, b = 3, c = 10

65. a = 7, b = 9, c = 11

66. Una carrera de bicicletas tiene un trayecto triangular con las dimensiones que se muestran.

a. A la décima de kilómetro más cercana, ¿qué distancia se recorre en la carrera?

b. A una velocidad promedio de 28 km/h, ¿cuántas horas tardará un ciclista en completar la carrera? Redondea a la décima más cercana.

67. Los lados de una piscina triangular para niños miden 10 pies, 12 pies y 16 pies. ¿Cuál es el área de la superficie de la piscina, redondeada al pie cuadrado más cercano?

68. Los lados de un banderín triangular miden 24 pulg, 24 pulg y 8 pulg. ¿Cuál es el área del banderín, redondeada a la pulgada cuadrada más cercana?

■ Usa las medidas dadas para resolver �ABC. Redondea a la décima más cercana.

Paso 1 Halla la medida

del ángulo más

grande, ∠B.

b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B

1 4 2 = 7. 2 2 + 11 2 - 2 (7.2) (11) cos B

m∠B ≈ 98.4°

Paso 2 Halla la medida de otro ángulo.

a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A

7. 2 2 = 1 4 2 + 11 2 - 2 (14) (11) cos A

m∠A ≈ 30.6°

Paso 3 Halla la medida del tercer ángulo.

m∠C ≈ 180° - 30.6° - 98.4° ≈ 51.0°

■ Los lados de una baldosa triangular miden 4 pulg, 5 pulg y 8 pulg. ¿Cuál es el área de la baldosa a la pulgada cuadrada más cercana?

s = 1 _ 2

(4 + 5 + 8) = 8.5 Halla el valor de s.

A = √

��

s (s - a) (s - b) (s - c) Fórmula de Herón

A = √ ��

8.5 (8.5 - 4) (8.5 - 5) (8.5 - 8) ≈ 8.2 pulg 2

13-6 La ley de cosenos (p . 966–973)


Resuelve cada triángulo. Redondea a la décima más cercana.

57. 58.

59. 60.

61. Un artista gráfico diseña un logotipo triangular. Determina la cantidad de triángulos que puede formar usando las medidas a = 14 cm, b = 16 cm y m∠A = 55°. Luego, resuelve los triángulos. Redondea a la décima más cercana.

■ Resuelve el triángulo. Redondea a la décima más cercana.

Paso 1 Halla la medida del tercer ángulo.

m∠Q° = 180° - 20° - 13° = 147°

Paso 2 Usa la ley de senos para hallar la longitud de los lados desconocidos.

sen P _ p = sen R _ r sen Q

_ q = sen R _ r

sen 20° _ p = sen 13°

_ 14

sen 147° _ q = sen 13°

_ 14

p = 14 sen 20°

_ sen 13°

q = 14 sen 147°

_ sen 13°

p ≈ 21.3 q ≈ 33.9

Capítulo 14 Identidades y gráficas trigonométricas 53

amplitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 991

cambio de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 993

ciclo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990

frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992

función periódica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990

matriz de rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1016

periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 990


1. La parte más breve que se repite en una función periódica es un(a) −−−−−−

? .

2. La cantidad de ciclos en una unidad de tiempo determinada se denomina −−−−−−

? .

3. El/la −−−−−−

? da la longitud de un ciclo completo de una función periódica.

4. Una traslación horizontal de una función periódica es un(a) −−−−−−

? .

Con f (x) = sen x o f (x) = cos x como guía, representa gráficamente cada función. Identifica la amplitud y el periodo.

5. f (x) = cos 3x 6. g (x) = cos 1 _ 2

x

7. h (x) = -

1 _ 3

sen x 8. j (x) = 2 sen πx

9. f (x) = 1 _ 2

cos 2x 10. g (x) = π

_ 2

sen πx

Con f (x) = sen x o f (x) = cos x como guía, representa gráficamente cada función. Identifica la intersección con el eje x y el cambio de fase.

11. f (x) = cos (x + π) 12. g (x) = sen (

x + π

_ 4

)

13. h (x) = sen (

x - 3π

_ 2

)

14. j (x) = cos (

x + 3π

_ 2

)

Biología En la fotosíntesis, una planta convierte dióxido

de carbono y agua en azúcar y oxígeno. Este proceso se

estudia midiendo la asimilación de carbono de la planta C

(en micromoles de C O 2 por metro cuadrado por segundo).

Para una planta de frijoles, C (t) = 1.2 sen π

__ 12

(t - 6) + 7,

donde t es tiempo en horas a partir de la medianoche.

15. Representa gráficamente la función de dos ciclos completos.

16. ¿Cuál es el periodo de la función?

17. ¿Cuál es el máximo y a qué hora ocurre?

■ Con f (x) = cos x como guía, representa gráficamente g (x) = -2 cos π __

2 x. Identifica la

amplitud y el periodo.

Paso 1 Identifica el periodo y la amplitud.

Dado que a = -2, la amplitud es ⎪a⎥ = ⎪ -2 ⎥ = 2.

Dado que b = π

_ 2

, el periodo es 2π

_ ⎪b⎥

= 2π

_ ⎪

π __ 2 ⎥

= 4.

Paso 2 Representa gráficamente.

La curva se refleja sobre el eje x.

■ Con f (x) = sen x como guía, representa

gráficamente g (x) = sen (x - 5π ___

4 ) . Identifica la

intersección con el eje x y el cambio de fase.

La amplitud es 1. El periodo es 2π.

-

5π

___ 4 indica un cambio de 5π

___ 4 unidades hacia la

derecha.

La primera intersección con el eje x ocurre en π

__ 4 . Entonces, la

intersección ocurre en π

__ 4 + nπ, donde n

es un entero.

14-1 Gráficas de seno y coseno (págs. 990–997)


Vocabulario


Usando f (x) = tan x o f (x) = cot x como guía, representa gráficamente cada función. Identifica el periodo, la intersección con el eje x y las asíntotas.

18. f (x) = 1 _ 4

tan x 19. g (x) = tan πx

20. h (x) = tan 1 _ 2

πx 21. g (x) = 5 cot x

22. j (x) = -0.5 cot x 23. j (x) = cot πx

Con f (x) = cos x o f (x) = sen x como guía, representa gráficamente cada función. Identifica el periodo y las asíntotas.

24. f (x) = 2 sec x 25. g (x) = csc 2x

26. h (x) = 4 csc x 27. j (x) = 0.2 sec x

28. h (x) = sec (-x) 29. j (x) = -2 csc x

■ Usando f (x) = cot x como guía, representa gráficamente g (x) = cot π __

2 x. Identifica el período,

la intersección con el eje x y las asíntotas.

Paso 1 Identifica el periodo.

Dado que b = π

_ 2

, el periodo es π

_ ⎪b⎥

= π

_ ⎪

π __ 2 ⎥

= 2.

Paso 2 Identifica las intersecciones con el eje x.

La primera intersección con el eje x ocurre en 1. Entonces, la intersección con el eje x ocurre en 1 + 2n, donde n es un entero.

Paso 3 Identifica las asíntotas.

Las asíntotas ocurren en x = πn _ ⎪b⎥

= πn _ ⎪

π __ 2 ⎥

= 2n.

Paso 4 Representa gráficamente.

14-2 Gráficas de otras funciones trigonométricas (págs. 998–1003)


Comprueba cada identidad trigonométrica.

30. sec θ sin θ cot θ = 1

31. se n 2 (-θ

) _

tan θ = sen θ cos θ

32. (sec θ + 1) (sec θ - 1) = ta n 2 θ

33. cos θ sec θ + co s 2 θ cs c 2 θ = cs c 2 θ

34. (tan θ + cot θ) 2 = se c 2 θ + cs c 2 θ

35. tan θ + cot θ = sec θ csc θ

36. se n 2 θ tan θ = tan θ - sen θ cos θ

37. tan θ

_ 1 - co s 2 θ

= sec θ csc θ

Vuelve a escribir cada expresión como una sola función trigonométrica y simplifica.

38. cot θ sec θ 39. sec θ sen θ

_ cot θ

40. tan (-θ

) _

cot θ 41. cos θ cot θ

_ cs c 2 θ - 1

■ Comprueba que tan θ _______

1 - co s 2 θ = sec θ csc θ.

( sen θ

____ cos θ

) _

(se n 2 θ) =

Modifica el lado izquierdo. Aplica las identidades de la razón y de Pitágoras.

( sen θ

_ cos θ

) ( 1 _ se n 2 θ

) = Multiplica por el recíproco.

( 1 _ cos θ

) ( 1 _ sen θ

) = Simplifica.

sec θ csc θ Identidades recíprocas

■ Vuelve a escribir cot θ + tan θ

_________ csc θ

como una sola función

trigonométrica y simplifica.

(cot θ + tan θ) sen θ Dato

(

cos θ

_ sen θ

+ sen θ

_ cos θ

)

sen θ Identidades de la razón

co s 2 θ + se n 2 θ

__ cos θ

Suma las fracciones y

simplifica.

1 _ cos θ

= sec θ

Identidades de Pitágoras y recíproca

14-3 Identidades trigonométricas fundamentales (págs. 1008–1013)


Capítulo 14 Identidades y gráficas trigonométricas 55

Halla el valor exacto de cada expresión.

42. sen 19π

_ 12

43. cos 165°

44. cos 15° 45. tan π

_ 12

Halla cada valor si tan A = 3 __ 4 con

0° < A < 90° y si tan B = - 5 ___

12 con

90° < B < 180°.

46. sen (A + B) 47. cos (A + B)

48. tan (A - B) 49. tan (A + B)

50. sen (A - B) 51. cos (A - B)

Halla cada valor si sen A = √ � 7

___ 4 con

0° < A < 90° y si cos B = - 5 ___

13 con

90° < B < 180°.

52. sen (A + B) 53. cos (A + B)

54. tan (A - B) 55. tan (A + B)

56. sen (A - B) 57. cos (A - B)

Halla las coordenadas, redondeadas a la centésima más cercana, de los vértices de la figura ABCD con A (0, 0) , B (3, 0) , C (4, 2) y D (1, 2) después de cada

rotación alrededor del origen.

58. rotación de 30o 59. rotación de 45o


Halla las coordenadas, redondeadas a la centésima más cercana, de los vértices de la figura ABCD con A (0, 0) , B (5, 2) , C (0, 4) , y D (-5, 2) después de cada rotación alrededor del origen.



■ Halla sen (A + B) si cos A = - 1 __ 3 con

180° < A < 270° y si sen B = 4 __ 5 con

90° < B < 180°.

Paso 1 Halla sen A y cos B usando el Teorema de Pitágoras con triángulos de referencia.

180° < A < 270° 90° < B < 180°

cos A = -

1 _ 3

sen B = 4 _ 5

y = -

√

�

8 , sen A =

-

√

�

8 _

3 x = -3, cos B = -3 _

5

Paso 2 Usa la identidad de la suma de ángulos.

sen (A + B) = sen A cos B + cos A sen B

=

(

-

√

�

8 _

3

)

(

-3 _ 5

)

+

(

-

1 _ 3

)

(

4 _ 5

)

= 3 √

� 8 - 4 _

15

■ Halla las coordenadas, a la centésima más cercana, de los vértices de la figura ABC con A(0, 2), B(1, 2) y C(0, 1) después de una rotación de 60° alrededor del origen.

Paso 1 Escribe matrices para una rotación de 60° y para los puntos de la figura.

R 60°

= ⎡

⎢

⎣

cos 60°

sen 60°

-sen 60°

cos 60°

⎤

⎦

Matriz de rotación

S = ⎡

⎢

⎣

1

0

0

4

-1

0

⎤

⎦

Matriz de puntos

Paso 2 Halla el producto matricial.

R 60°

× S = ⎡

⎢

⎣

cos 60°

sen 60°

-sen 60°

cos 60°

⎤

⎦

⎡

⎢

⎣

1

0

0

4

-1

0

⎤

⎦

≈ ⎡

⎢

⎣

0.50

0.87

-3.46

2.00

-0.50

-0.87

⎤

⎦

Paso 3 Las coordinadas aproximadas de los puntos después de una rotación de 60° son A'

(0.5, 0.87

) ,

B ' (-3.46, 2

) , y C '

(-0.5, -0.87

) .

14-4 Identidades de la suma y la diferencia (págs. 1014–1019)



Halla todas las soluciones para cada ecuación.

76. √ �

2 cos θ + 1 = 0 77. cos θ = 2 + 3 cos θ

78. ta n 2 θ + tan θ = 0 79. sen 2 θ - co s 2 θ = 1 _ 2

Resuelve cada ecuación para 0 ≤ θ < 2π.

80. 2 co s 2 θ - 3 cos θ = 2 81. co s 2 θ + 5 cos θ - 6 = 0

82. sen 2 θ - 1 = 0 83. 2 se n 2 θ - sen θ = 3

Usa las identidades trigonométricas para resolver cada ecuación para 0 ≤ θ < 2π.

84. cos 2θ = cos θ 85. sen 2θ + cos θ = 0

86. Ciencias de la Tierra La cantidad de minutos de luz diurna de cada día durante un año puede representarse con una función trigonométrica. Para Washington, D.C., S es la cantidad de minutos de luz en el modelo S (d) = 180 sen (0.0172d - 1.376) + 720, donde d es la cantidad de días desde el 1° de enero.

a. ¿Cuál es la cantidad máxima de minutos de luz diurna y cuándo se alcanza?

b. ¿Cuál es la cantidad mínima de minutos de luz diurna y cuándo se alcanza?

■ Halla todas las soluciones de

3 cos θ -

√ � 3 = cos θ.

3 cos θ - √ �

3 = cos θ

3 cos θ - cos θ = √ �

3 Resta tan θ.

2 cos θ = √ �

3 Combina los términos semejantes.

cos θ = √

� 3 _

2 Divide entre 2.

θ = co s -1 (

√

� 3 _

2

)

Aplica el coseno inverso.

θ = 30° ó 330° Halla θ para0° ≤ θ < 360°. θ = 30° + 360°n

ó 330° + 360°n

■ Resuelve 6 se n 2 θ + 5 sen θ = -1 para 0° ≤ θ < 360°.

6 sen 2 θ + 5 sen θ + 1 = 0 Iguala a 0.

(2 sen θ + 1) (3 sen θ + 1) = 0 Factoriza.

sen θ = -1 ó sen θ = 3 Propiedad del producto cero

θ = 210°, 330°

ó ≈ 199.5°, 340.5°

sen θ = 3 no tiene solución ya que -1 ≤ sen θ ≤ 1.

14-6 Cómo resolver ecuaciones trigonométricas (págs. 1027–1033)


Halla cada expression si tan θ = 4 __ 3 y

0° < θ < 90°.

66. sen 2θ 67. cos 2θ

68. tan θ

_ 2

69. sen θ

_ 2

Halla cada expresión si cos θ = 3 __ 4 y

3π ___

2 < θ < 2π.

70. tan 2θ 71. cos 2θ

72. cos θ

_ 2

73. sin θ

_ 2

Use las identidades del medio ángulo para hallar el valor exacto de cada expresión trigonométrica.

74. sen π

_ 12

75. cos 75°

Halla cada expresión si senθ = 1 __ 4 y

270° < θ < 360°.

■ sen 2θ

Para sen θ = 1 _ 4

en el 4to. cuadrante, cos θ = - √ �� 15

_ 4

.

sen 2θ = 2 sen θ cos θ Identidad para sen 2θ

= 2 (

1 _ 4

)

(

- √ �� 15

_ 4

)

= -

√

�

15 _

8

Sustituye.

■ cos θ

_ 2

cos θ

_ 2

= ± √

��

1 + cos θ

_ 2

Identidad para cos θ

_ 2

= -

√

��

1 + (-

√ �� 15 ____

4 ) __

2

Negativa para

cos θ

_ 2 en el 2do.

Cuadrante

= -

√

��

(

4 -

√

�

15 _

4

)

(

1 _ 2

)

= -

√

��

4 -

√

�

15 _

√ �

8

14-5 Identidades del doble ángulo y del medio ángulo (págs. 1020–1026)


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