Microeconoma IElementos Bsicos de OptimizacinTaller de MatemticasProf. Melanie Oyarznmelanie.oyarzunw@uai.clMotivacin En los modelos microeconmicos, se busca entender como los individuos toman sus decisiones. Se sigue la idea de que las personas toman las mejores decisiones dadas posibles, es decir, estn optimizando. optimizando qu? ``algo'': felicidad, costos, etc... ese algo lo resumimos en una funcin y aplicamos clculo. Bibliografa: Cap 2- NicholsonMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas2 Ejemplos: Estudiantes quieren aprender al mximo (y tambin maximizar la nota, o no?) Un conductor quiere minimizar el tiempo de manejo desde la casa al trabajo Gerente Comercial que busca maximizar ventas Gerente de Personal quiere minimizar la rotacin de personal SII quiere minimizar la evasin tributariaMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas3Motivacin4Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasAs, la idea es encontrar mximos y mnimos en esas funciones.En este curso En este taller revisaremos los conceptos matemticos bsicos necesarios para analizar estos problemas (y maximizar la nota en el curso!!) Pendiente y derivada Maximizacin (y minimizacin) Maximizacin con restricciones (lo que ms vamos a usar)5Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasElementos Bsicosde Optimizacin En economa las relaciones entre variables se pueden expresar a travs de funciones Relacin entre precio de un producto y la cantidad que los consumidores quieren comprar Relacin entre tasa de inters y actividad econmica (PIB) e inflacin (IPC) Relacin entre tipo de cambio y exportaciones e importaciones Relacin entre costos de emplear mujeres, tasa de desempleo y proteccin a la maternidad6Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasModelandoCmo podemos determinar el punto ptimo (mximo o mnimo) que permite alcanzar nuestro objetivo?Algo es mximo cuando ya no puede mejorar, solo empeorar.Algo es mnimo cuando no puede empeorar, solo mejorar.7Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas8Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas Para identificar un mximo (o mnimo), utilizamos la pendiente de la funcin. Pendiente: muestra el cambio de la funcin con respecto a un factorxf(x)131= x301= y30= x50= yx Ay Ay = f(x)=AAxy5 , 21025= = 3 135 30=0 10 1x xy y) (x f y =Pendiente y derivadas10dxdy=AAxydxx df ) (= ) (x f'=xf =Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas Para calcular dicha pendiente podemos usar el concepto de derivada La derivada es el lmite del cambio cuando las variaciones son muy pequeas.Pendiente y derivadas11Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasPendiente y derivadas Qu pasa si la funcin no tiene una pendiente constante?: Entre los puntos A y B: Entre los puntos A y C: Hay mltiples pendientes dependiendo del punto de comparacin Aproximacin usando el concepto de derivada Pendiente en el punto A es la pendiente de tangente en ese punto12xf(x)6182101020=AAxy=AAxyABC25 , 1810 2 1010 20= =248 2 610 18= =Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasPendiente y derivadas13Pendiente y derivadasMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasMaximizacin con una variableCaso sin restricciones14Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticasxf(x) Para encontrar el mximo de la funcin: Condicin de Primer Orden (CPO)15maxglobal0 ) ( ='= x fdxdy) ( max arg*x f x =*xCondicin de primer ordenMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasmaxglobalCPO es una condicin necesaria pero no suficiente16xf(x)maxlocalminlocalpuntoinflec.CPO no bastaMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas Concepto: mide la curvatura de la funcin (cuan rpido cambia la pendiente) El cambio del cambio Con:y = f(x), la segunda derivada se denota:17dxdxdyd|.|

\| xf(x)maxlocalminlocalpuntoinflec.maxglobal22dxy d=xxf x f =' '= ) (22) (dx x f d=Condicin de segundo ordenMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas Cncava: Convexa: Punto de inflexin y Recta: Condicin de Segundo Orden (suficiente:180 ) ( ' 'x f0 ) ( =' 'x fxf(x)maxlocalminlocalpuntoinflec.maxglobalMximo 0 ) ( ' ' x fMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasLas derivadas nos ayudan a entender una funcinMaximizacin multivariableCaso sin restricciones20x1x2yMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas Muchas veces las relaciones econmicas incorporan mltiples variables, por ejemplo, la utilidad de una persona puede depender de mltiples bienes. Para poder optimizar debemos traer el concepto de derivada (pendiente) a un entorno de mltiples variables. Revisaremos dos conceptos: Derivada parcial Diferencial total21Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasMltiples variables) , (2 1x x f y =22 Derivada Parcial: cambio en la funcin (y) cuando una de las variables cambia y todas las dems permanecen constantes Notacin: Para tomar la derivada parcial con respecto a una variables, por ejemplo x1, debemos tomar a todas las otras variables como constantes (ya sabemos derivar cuando hay una constante), es decir, aplicamos las reglas de la derivacin en funciones de una variable.1xycc1xf =1f =12 1) , (xx x fcc=Derivadas parcialesMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas23Ejemplos derivadas parcialesMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas24Derivadas parciales de segundo ordenMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticasx1x2y Funcin: Cmo encontramos su mximo? Condiciones de Primer Orden (CPO): Resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incgnitas para encontrar:25) , (2 1 x x f y =0 ) , (2 1 1= x x f( ){ }*2*1 2 1, , argmax x x x x f =0 ) , (2 1 2= x x fOptimizacin con 2 variablesMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticasx1x2y26Optimizacin con 2 variables Y la CSO? Necesitamos asegurar que la funcin sea cncava (al maximizar) Eso exige que el Hessiano sea semidefinido negativo El Hessiano es una amtriz en la cual se ordenan las segundas derivadas de una funcinMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas27Condicin de segundo ordenMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas28Condicin de segundo ordenMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasMaximizacin con restriccionesmultivariable30x1x2yMicroeconoma Melanie Oyarzn WTaller de Matemticas Hasta ahora nos hemos concentrado en determinar el mximo de una funcin, sin preocuparnos de que podamos elegir. En la mayora de los problemas econmicos, no todas las xs son factibles. Por ejemplo, si se tiene el problema de determinar la produccin que maximiza la ganancia no tiene sentido una produccin negativa. Hay dos casos: Cuando las restricciones son de igualdad (Mult. De Lagrange) Cuando las restricciones son con desigualdad (KKT)31Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasMaximizacin con restricciones Vamos a revisar el caso de restricciones de igualdad, el de desigualdad se los dejar para que lo vean en la casa con un ejemplo. Si se resuelven las CPO, entonces tenemos n ecuaciones a resolver para obtener los puntos crticos. Cuando hay restricciones, se tendr al menos una ecuacin adicional, pero sin variables adicionales. Entonces tenemos n+1 ecuaciones y n variables. Sistema sobre identificado. Por lo cual el mtodo del Multiplicador de Lagrange agrega una variable adicional, lo que permite tener soluciones nicas.32Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasMaximizacin con restricciones de igualdad33Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasEl mtodo de multiplicador de Lagrange34Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasEl mtodo de multiplicador de Lagrange35Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasEl mtodo de multiplicador de Lagrange36Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasEl mtodo de multiplicador de Lagrange38Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasEl mtodo de multiplicador de Lagrange: CSO39Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasEl mtodo de multiplicador de Lagrange: CSO40Microeconoma Melanie Oyarzn WTaller de MatemticasEl mtodo de multiplicador de Lagrange: CSO