POLINOMIOS DE ZERNIKE

M. P. Cagigal, V. F. Canales

Optica adaptativa en astronomía y medicinaUniversidad de Laredo. Septiembre. 2000.

UC

UCCONTENIDO

- Descripción de los polinomios de Zernike.

- Simulación de frente de ondas ditorsionados por la atmósfera.

- Reconstrucción del frente de ondas a partir de los datos del sensor.

UCABERRACION DE ONDA

QQ’

P0

La función (r,t) = Q-Q’ definida sobre la pupila del sistema se denomina aberración de onda.Se puede desarrollar en polinomios de Zernike.

P’0

E(r,t) = E 0(r,t) exp(ik (r,t) )

UCPolinomios de Zernike

0)(R 1nZ

0)msen(2)(R 1nZ

0)mcos(2)(R 1nZ

0ni

mnimpar i

mnpar i

mr

mr

mr

2sn2/)mn(

0s

smn s]! m)/2[(n s]! m)/2[(n s!

)!sn()1()(R

rr

UC

0 1 2 3 4

0

Z1=1

Constante

1

Z2=2r cos

Z3=2r senTilts

2

Z4=31/2 (2r 2 -1)

Desenfoque

Z5=61/2 r 2 sen2

Z6=61/2 r 2 cos2Astigmatismo

3

Z7=81/2 (3r 3 -2r)

sen

Z8=81/2 (3r 3 -2r)

cosComa

Z9=81/2 r 3

sen3

Z10=81/2 r 3

cos3Coma de

curvatura 0

4

Z11=51/2 (6r 4-

6r 2 +1)Esférica

Z12=101/2(4r 4 -

3r 2 )cos2

Z13=101/2(4r 4 -

3r 2 ) sen2Astigm. 5º orden

Z14=101/2

r 4 cos4

Z15=101/2 r 4

sen4

Frecuencia acimutal (m)

ord

en r

adia

l (n

)Polinomios de Zernike

UC

m

piston

tilttilt

desenfoque astigmatismo

coma

esférica astigmatismo 5º orden

0 1 2 3 4

0

1

2

3

4

n

Z1

Z2 Z3

Z11

Z4 Z5Z6

Z10Z7Z8

Z12

Z9

Z14 Z15Z13

Polinomios de Zernike

UCDesarrollo en Pol. De Zernike

)(Za)( i

i

2ii

max

rr

3/5

0

2i

2

2i

2j )j(coefaa)(

r

Dr

jii

Índice del último modo corregido j Varianza residual j rad2

1 1.0299 (D/r0)5/3

2 0.582 (D/r0)5/3

3 0.134 (D/r0)5/3

4 0.111 (D/r0)5/3

5 0.0880 (D/r0)5/3

6 0.0648 (D/r0)5/3

7 0.0587 (D/r0)5/3

8 0.0525 (D/r0)5/3

9 0.0463 (D/r0)5/3

10 0.0401 (D/r0)5/3

11 0.0377 (D/r0)5/3

12 0.0352 (D/r0)5/3

UCVarianza residual

UCSIMULACION

- Obtención de datos realistas.

- Realización de aproximaciones.

- Separación de las distintas contribuciones.

- Manejo del ruido.

- Elevado número de muestras.

- Condiciones poco frecuentes.

UCSIMULACION

)(Za)( i

i

2ii

max

rr

Simulación de los valores de ia

UCPolinomios de Karhünen-Loève

- Base con coeficientes estadísticamente independientes.

- Funciones no analíticas.

- Desarrollable en modos de Zernike.

UC

2

/332n´n

2

/371nn´

2

17/3n´n

2n´-5/3n

δ K

aaC

3/5

0zzz´

i´iii´

rD

casos de resto elen 00m

parj'j siy m´m si1

δ z 1)1)(n´(n (-1) 2.2698K n´-2m)/2(nzz´

Covarianzas de los coef. de Zernike

UCMatriz de covarianzas-SVD

C = X S XT X DiagonalS Unitaria

0025.00000000000000

00025.0000000000000

000025.000000000039.0000

0000025.0000000039.00000

00000025.00000000039.000

000000063.000000000

0000000063.00000000

00000000063.0000000144.0

000000000063.00000144.00

0000039.0000000236.00000

000039.000000000236.0000

00000039.00000000236.000

000000000144.00004557.00

00000000144.0000004557.0

C

UCAlgoritmo simulación

1 - Estimación del número de polinomios NR en la simulación. Sin piston.

2 - Descomposición SVD de la matriz de covarianzas.

3 - Generación de NR variables gauss. bi (1 <i< NR). < bi >=0 y varianza Sii

4 - Cálculo de coef. de Zernike usando: A=XB. A: vector de coef. ai de Zer. B: vector de coef. bi de Karhünen-Loève. X matriz de cambio de base.

5 - Multiplicación de los ai por (D/r0)5/6 para incluir la atmósfera.

6 - Cálculo del frente de onda a partir de )(Za)( i

i

2ii

max

rr

Corrección:a1...aC = 0

Condiciones Atmosféricasai = ai*(D/r0)5/6

SVDdescomposicion de la matriz

de covarianxa de ZernikeCNxN = X S XT

N número de modos

Coeficientes Karhünen-Loève : B

(b1...bi...bN)Números Gaussianos

aleatorios, var Sii

Coef. Zernike.: A = X B

Frente de onda

Simulación de frentes de onda UC

Simulación de frentes de onda UC

Reconstrucción modal UC

)(Za)( i

i

2ii

max

rr

mm x

r

x

r

)(Za

)( ik

1ii

mmy

r

y

r

)(Za

)( ik

1ii

Reconstrucción de frentes de onda UC

aBS

2

2

1

2

2

1

)(

)(

)(

)(

)(

)(

M

M

y

r

y

r

y

r

x

r

x

r

x

r

S

ka

a

a

a

2

1

Matriz de derivadas UC

2

k

2

2

2

1

2

k

2

2

2

1

1

k

1

2

1

1

2

k

2

2

2

1

2

k

2

2

2

1

1

k

1

2

1

1

)(Z)(Z)(Z

)(Z)(Z)(Z

)(Z)(Z)(Z

)(Z)(Z)(Z

)(Z)(Z)(Z

)(Z)(Z)(Z

MMM

MMM

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

y

r

x

r

x

r

x

r

x

r

x

r

x

r

x

r

x

r

x

r

B

Reconstrucción modal UC

SBBBa TT 1

El uso de polinomios de Zernike permite encontrar de forma explícita los coeficientes de B

Conclusiones UC

- Descripción de la aberración de onda estableciendo conexión con las aberraciones clásicas.

- Simulación.

- Reconstrucción modal.