Ud 6 curvas técnicas y conicas
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Unidad Didáctica 6 Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
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Unidad Didáctica 6
Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
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Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Curvas cónicas. Elipse. Hiperbola. Parabola.
Tangencias e intersecciones.
Curvas técnicas. Óvalos, ovoides y espirales.
Curvas técnicas cíclicas. Cicloide. Epicocloide. Hipocicloide. Pericicloide.
Normal y tangente de una curva cíclica.
Envolvente de un círculo.
Normal y tengente de una envolvente.
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Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
Curvas cónicas
Se conoce como curvas cónicas el conjunto de curvas obtenidas al seccionar una superficie cónica con un plano; la inclinación de ese plano con respecto al eje de la superficie cónica determina la curva concreta obtenida.
Las curvas cónicas propiamente dichas son tres: Elipse, Parábola e Hipérbola, aunque alterando el cono o la posición del plano pueden buscarse otras figuras, entre ellas la circunferencia.
Elementos basicos de las curvas cónicas.
Focos: Son los puntos de contacto de la sección con las esferas tangentes al plano que la produce e inscritas en el cono. Estan relaccionadas con el Tª de Dandelin, y la excentricidad, que es la razon de proporcion constante, de dis-tancia entre un punto de una conica y el foco , y entre aquel y la recta directriz.
Diametros: Rectas que pasan por el centro geométrico. Dos diámetros son conjugados cuando cada uno pasa por la polar del otro. También es el lugar geométrico de los puntos medios de todas las cuerdas paralelas al primero.
Ejes: Mayor y menor. De todos los conjugados los ejes principales son los únicos que son perpendiculares entre sí.
Vértice: Cualquier punto del eje mayor sobre la curva.
Circunferencia focal: De radio igual al eje mayor, y centro en uno de los focos. En la Parábola el elemento correspondiente es la recta directriz.
Circunferencia principal o circunscrita: Tiene como diámetro el eje mayor. Una recta tangente a una elipse se corta en ella con las perpen-diculares que se tracen desde los focos.
Radios vectores: Segmento que une un P de la curva con ambos focos.
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Curvas técnicas, cíclicas y cónicas.
CD= eje menorAB= eje mayorC1 circunferencia principal con centro en O de la elipse y de diametro AB, o radio 1/2 ABC2 circunferencia focal con centro en F1 o F2 y de radio ABCtg
circunferencia con centro en O de la elipse, tangente a la focal y que pasa por F1 o F2
Elipse. Características, elementos y métodos de construcción.
La elipse es la sección de un cono de revolución con un plano que corta sólo una de sus ramas y que es oblicuo al eje y a las generatri-ces.
Características y elementos
Sus elementos cumplen ciertas caracteristicas de tal modo que se la puede definir tambien por ser el L.G. de los puntos que cumple dichas caracteristicas.
Tambien podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos de un plano en el que se cumple que la suma de los radios vectores es constante e igual al eje mayor.
F1P + PF2 = d1 + d1 =AB=K= constante
Los semiejes de una elipse tambien cumplen una caracteristica que parte del Tª de Pitagoras.
b
F 2
C
O a
c
a2 + b2= c2
Tambien es lugar geométrico de los centros de las circunferencias tangentes a la circunferencia focal de un foco y que pasa por el otro.
La circunferencia principal cumple caracteristicas importantes de relacion entre la focal y la tangente a la elipse. De tal modo que se la
puede definir como el punto medio del segmento que se traza desde los focos a la circunferencia focal o como el lugar geometrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes . Esta definicion se usara para trazar las tangentes.
QX=QF1
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Métodos constructivos de las curvas cónicas.
Existen multitud de metodos constructivos: Por puntos basandonos en la definicion y el elemento Foco. Por haces proyectivos Por envolventes Por la conjuncion de un numero de elementos conocidos.
Trazado una elipse conocidos los focos f´y f´´ y el eje mayor AB, por puntos. Basándonos en la primera definición, coloca-mos varias marcas arbitrarias (1,2,3,4) entre el centro y un de los focos. Estas divisiones permiten tomar con el compás pares de distan-cias (A1/B1, A2/B2), que suman la medida AB. Trazando arcos desde los focos con medidas parciales tomadas desde A y B, localizamos los puntos de la curva.
Trazado una elipse conocidos los focos f´y f´´ y el eje mayor AB, por puntos y envolventes.
Puede definirse también con rectas tangentes que serán perpendiculares en la circunferen-cia principal a otras trazadas desde los vérti-ces (derecha), por tangentes envolventes.
Trazado una elipse conocidos los ejes, el menor CD y el ma-yor AB, por haces proyectivos
En el tercer método se traza un rectángulo que tiene los ejes como medianas. Se divide desde el punto medio uno de los ejes en el mismo número de partes iguales que el lado paralelo al otro. Los extremos de este último, alineados con las divisiones, darán los puntos buscados.
Trazado una elipse dados los ejes conjugados.
Del mismo modo que una circunferencia vista en perspectiva es una elipse, dos diámetros perpendiculares aparecerán con un ángulo diferente, y serán diámetros conjugados. Si imaginamos que el conju-gadel menor era antes del mismo tamaño y perpendicular al mayor, podemos aplicar el supuesto desplazamiento de sus extremos (C’ =C, D’=D) al resto de los puntos de una circunferencia inicial. También podemos inscribir los diámetros conjugados en un romboide de lados pa ralelos a ellos y aplicar el método de cruce de proyecciones.
Trazado una elipse conocidos los ejes, el menor CD y el mayor AB, por proporcionalidad.
En el primer caso se utiliza el teorema de Tha-les para relacionar las dos medidas diametrales, y trasvasar las semicuerdas perpendiculares de la circunferencia correspondiente al eje menor, al eje mayor.
Trazado una elipse conocidos los ejes, el menor CD y el mayor AB, por afinidad.
En el segundo caso se colocan las circunferencias de los diámetros mayor y menor concéntricas, que son afines a la elipse. Se localizan puntos de la curva trazando primero varios radios comunes.
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Hipérbola. Caracteristicas, elementos y metodos de construccion.
La hiperbola es la sección de un cono de revolución con un plano cuando este es paralelo a dos de sus generatrices.
Caracteristicas y elementos
Sus elementos cumplen ciertas caracteristicas de tal modo que se la puede definir tambien por ser el L.G. de los puntos que cumple dichas cracteristicas.
Tambien podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos de un plano en el que se cumple que la diferen-cia de los radios vectores es constante e igual a la distan-cia entre sus vertices del eje real.
Los semiejes de una hiperbola tambien cumplen una caracteristica que parte del Tª de Pitagoras.
Tambien es lugar geométrico de los centros de las circun-ferencias tangentes a la circunferencia focal de un foco y que pasa por el otro.
La circunferencia principal cumple caracteristicas importantes de relacion entre la focal y la tangente a la hiperbola. De tal modo que se la puede definir como el punto medio del segmento que se traza desde los focos a la circunferencia focal o como el lugar geometrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes . Esta definicion se usara para trazar las tangentes.
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P
c2
r´
d 1
d 2
A BF 1 F 2
r
AB=vertices y eje mayorr y r´= asintotasc1 circunferencia principal con centro en O y de diametro AB, o radio 1/2 ABc2 circunferencia focal con centro en F2 y F2 y de diametro 2AB, o radio ABctg circunferencia tangente con centro en en P de la hiperbola, tangente a la focal y que pada por F2 o F2
T
F´1
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Trazado una hipérbola basandonos en los métodos constructivos básicos de la elipse: puntos, haces proyectivos y envolventes. Dependiendo de los datos, su construcción se hace por métodos esencialmente iguales a los empleados en las otras curvas cónicas.
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Parabola. Caracteristicas, elementos y metodos de construccion.
La parábola es la sección de un cono de revolución con un plano cuando este es paralelo a una de sus generatrices.
Caracteristicas y elementos
Sus elementos cumplen ciertas caracteristicas de tal modo que se la puede definir tambien por ser el L.G. de los puntos que cumple dichas cracteristicas.
Tambien podemos definirla como el lugar geométrico de los puntos de un plano en el que se cumple que equidistan de una recta llamada directriz y de su foco.
La directriz de la parábola cumple funciones muy simila-res a las de la circunferencia focal en la elipse o hiperbola. Se la puede considerar una circunferencia focal de centro impropio ya que la parabola puede ser una elipse de foco en el infinito, luego su circunferencia focal será de radio infinito.
Tambien es lugar geométrico de los centros de las circun-ferencias tangentes a la directriz, (focal de radio infinito) y que pasa por el F.
La tangente en el vertice tiene funciones similares a la circunferencia principal de la elipse o la parabola. La tangente en el vertice es el L.G. de los pies de las perpendi-culares trazadas desde el F hasta las tangentes.
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AB=vertices y eje mayorr y r´= asintotasD1 Directriz (circunferencia focal)Tv Tangente en el vertice (circunferencia principal)ctg circunferencia tangente con centro en en P de la parábola, tangente a la directriz ( c.focal) y que pada por F
V
D1
e
Tv
PD
F
d1
d2
F´Q
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Trazado una parábola basandonos en los métodos constructivos básicos de la elipse: puntos, haces proyectivos y envolventes. Puede construirse cortando con arcos desde el foco rectas paralelas a la directriz, tomando como radio la distancia a ésta de cada una de las paralelas. También por cruce de proyecciones si conocemos el eje, el vértice y un punto P de la curva, o definirla uniendo el foco con distintos puntos de la tangente principal y trazando desde estos puntos rectas perpendiculares, que serán tangentes a la curva.
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Solucion es el centro de las circun-ferencias tangentes a la Cfocal y que
pasen por F, y F´(respecto de la recta. TANGENCIAS (C,P,P)
Hallar la intersección entre curva y recta
Intersección de curva y recta., en la elipse. Potencia y Cr.
Se conocen el eje AB y los focos F1 y F2 de la elipse, así como la recta secante r. Mediante una perpendicular, se localiza el simétrico del foco F1 respecto de la recta: F’1, Se traza una circunferencia que pase por los dos puntos simétricos con centro en cualquier punto P de r, con tal que corte a la focal de F2. Se traza el eje radical de ambas pasando por los puntos de corte, y se localiza en centro radical donde corte a la prolongación de F1 F’1. Se une el centro Cr con F2 y desde el punt o medio M se traza una tercera circunferencia que corta a la focal en los puntos 1 y 2. Uniendo cada uno de ellos con F2, se obtienen en r las intersecciones I1 e I2. Un método algo más breve consiste en escoger cualquier punto C en la recta F1 F’1 y trazar la circunfe-rencia de diámetro F2 C. Las mediatrices de los segmentos F’1 1 y F’1 2 dan en la recta r los puntos de intersección.
Intersección de curva y recta, en la hiperbola.
Se conocen el eje AB y los focos F1 y F2 de la hipérbola, así como la recta secante r. Mediante una perpendicular, se localiza el simétrico del foco F1 respecto de la recta: F’1, Se traza una circunferencia que pase por los dos puntos simétricos con centro en cualquier punto P de r, con tal que corte a la focal de F2. Se traza el eje radical de ambas pasando por los puntos de corte, y se localiza en centro radical donde corte a la prolongación de F1 F’1. Se une el centro Cr con F2 y desde el p unto medio M se traza una tercera circunferencia que corta a la focal en los puntos 1 y 2. Uniendo cada uno de ellos con F2, se obtienen en r las intersecciones I1 e I2.
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Intersección de curva y recta., en la parábola. Potencia y Cr.
Se conocen el eje e de una parábola, el foco F y la recta directriz d, así como la recta secante r. Mediante una perpendicular, se localiza F’, simétrico de F respecto de r, y se prolonga hasta cortar la directriz en P. Se traza una circunferencia con centro en C que tiene como diámetro P’, así como la cuerda perpendicular A B que pasa por F. Con centro en P se traza otra circunferen-cia que pase también por A y B, que corta a la directriz en los puntos 1 y 2. Trazando por ellos paralelas al ej e tendremos en r los puntos de intersección.
Solucion es el centro de las circunferencias tangentes a la Cfocal y que pasen por F, y F´(respecto de la recta. TANGENCIAS (R,P,P)
Trazado de tangentes
En las tres curvas cónicas mas importantes, la elipse, la hiperbola y la parabola existen elementos homologos a nivel de caracteristiacs y pro-piedades: la circunferencia focal, la principal, la directriz o la tangente en el vertice y la normal. Expondremos a continuacion la tengente en un punto de las curvas, desde un exterior y a una dirección dada, y en los tres casos se hallan aplicando los mismos principios.En el caso de la tangente en un punto o la tangente desde un exterior puede hallarse por mas de un metodo.
Trazado una una tangente en un P de la curva.
Tangente y normal en un punto P de la curva: son las bisectrices de los ángulos producidos por las rectas que pasan por P y por cada uno de los focos. Su posición en Tangentes desde un punto exterior a la curva: Trácese una circunferencia con centro en E que pase por uno de los focos, y a circunferen-cia focal con centro en el otro (recta Directriz, en la Parábola). Las rectas tangentes la Hipérbola es inversa que en la Elipse. En la Parábola se considera el segundo foco en el infinito.
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Trazado una una tangente desde un Q exterior. Tangentes desde un punto exterior a la curva: Trácese una circunferencia con centro en E que pase por uno de los focos, y a circunferencia focal con centro en el otro (recta Directriz, en la Parábola). Las rectas tangentes son las mediatrices de los segmentos definidos por cada intersección entre los dos arcos y el primer foco. Los puntos de tangencia están alineados con los de intersección y el centro de la circunfe-rencia focal.
Trazado una una tangente a una dirección dada.
Tangentes paralelas a una dirección dada: Trácese por un foco una perpen-dicular a la dirección dada, y la cir-cunferencia focal con centro en el otro foco. Las tangentes (una en el caso de la Parábola) y los puntos de tangencia quedan definidos de la misma manera que en el caso anterior.
Busca otros metodos de trazar tangentes desde un punto exterior y desde un punto propio de la curva basados en las caracteristi-cas de la circunferencia principal y la focal.
Investiga
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Elementos especificos de las curvas
Radios de curvatura
Ejes conjugados de la elipse
Asintotas de la hipérbola
Hallar los ejes de una curva conica conoci-dos algunos de sus elementos principales.
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Curvas técnicas.
Las curvas tecnicas son aquellas que se utilizan comunmente en ingenieria y construccion. Dentro de las curvas tecnicas podemos encontrar dos subgrupos: los ovalos y las ciclicas.
Óvalos y ovoides.
Los ovalos son simetricos y los ovoides tienes una mitad en forma de circunferencia y la otra mitad no simetrica.
Trazado de un ovoide conociendo su anchura b. Tomando AB como diámetro, trácese una circunferencia. Perpendicularmente a AB trácese otro diámetro. Unase con rectas indefinidas 2 y 4, 3 y 4. Haciendo centro sucesivamente en 2, 3 y 4, llévense los tres arcos con un trazo continuo.
Trazar un ovoide de altura b y anchura a conocidas. Trácese A’B’ igual a AB y tomándola como diámetro trácese una circunferencia. Perpen-dicularmente a AB, trácese otro diámetro y prolónguese. Tómese desde D’, una altura D’C’ igual a la propuesta. Desde los puntos extremos A’ y B’ llévense distancias iguales a C’E en F y G respectivamente. Levántense las mediatrices deEF y EG que cortan el diámetro A’B’ en 3 y 2. Los puntos 2, 3 y 4 son los centros de los arcos que satisfacen el problema.
Trazar un óvalo o falsa elipse conociendo el eje mayor a. Trácese el eje mayor y divídase en tres secciones iguales. Descríbanse las circunferencias O y O’. Unanse con rectas indefinidas los puntos de inter-sección de estas circunferencias con los centros O y O’. Desde los puntos 1, 2, 3 y 4 como centro, trácense los arcos que forman el óvalo.
Trazar un óvalo cono-ciendo sus dos ejes a y b. Levántese la mediatriz de A’B’. Desde el punto O como centro, trácese una semicircunferencia. Señálese sobre la mediatriz la altura OC’ del arco igual al de un eje menor y únase el punto C’ con los extremos A’B’ de la anchura. Desde C’ como centro y con radio igual a C’F descríbase una cir-cunferencia. En medio de cada uno de los segmentos A’D y B’E levántense perpendiculares que determinarán los puntos 1, 2, 3 y 4 que son los cuatro centros con los que se podrá construir el óvalo propuesto.
Trazar un óvalo o falsa elipse conociendo el eje menor b. Construimos la circunferencia de diámetro CD y se trazan los diámetros perpendiculares. Los puntos 1, 2, 3 y 4 son los centros de los arcos de circunferencia que permiten construir el óvalo.
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Espirales.
Se llama espiral a la curva plana originada por un punto al despla-zarse alrededor de otro punto de forma que con cada vuelta se aleja de él. Paso es la distancia radial que existe entre dos espiras consecu-tivas, es decir, la distancia existente entre las diferentes espiras de la curva, la cuál permanece siempre constante y equivale al perímetro del polígono.
Construir la espiral de dos centros conocido el paso. Sobre una recta se marca un segmento de longitud igual a la mitad del paso, y se describen arcos suce-sivos haciendo centro en cada uno de los extremos 1, 2, 1, 2, etc. con diámetros iguales a la mitad del paso. Con centro en el punto 1 se dibuja el arco 2A. Con centro en el punto 2, se dibuja el arco AB, etc.
Construir la espiral de tres centros conocido el paso. Se construye un triángulo equilátero, cuyo lado mida 1/3 del paso dado. Se prolongan sus lados en un sentido y se numeran sus vértices 1, 2, 3. Haciendo centro en cada uno de los vértices, trazamos desde el punto 3 el arco 1A, desde 1 el arco AB, y con centro en 2 describimos el arco BC; haremos la misma operación para CD, DE, etc.
Construir la espiral de cuatro centros conocido el paso. Se dibuja un cuadrado de lado 1/4 del paso dado.Se prolongan sus lados en un mismo sentido y sedescriben arcos de centros en los vértices 2, 3, 4,1, 2, etc. Con centro en el vértice 2 se traza el arco A; con centro en 3 se dibuja el arco B; con centro en 4 el arco C, etc. Para dibujar más vueltas se repite esta operación.
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Curvas tecnicas cíclicas.
Las curvas cíclicas o de rodadura se generan por la rotacion de un punto solidario a una circunferencia o recta, llamada generatriz o ruleta, que rueda sin deslizar por una recta o circunferencia llamada directriz o base.
Dependiendo de cual sea su generatriz o ruleta, y dependiendo de donde se encuentre el punto solidario respecto de ella, o cual su base directriz obtendremos unas curvas ciclicas u otras.
GENERATRIZ O RULETA
Circunferencia
Circunferencia
Recta
DIRECTRIZ O BASE
Recta
Circunferencia
Circunferencia
CURVA QUESE GENERA
Cicloide
Epicicloide (exterior)Hipocicloide (interior)
Pericicloide (base tangente exterior)
Envolvente
Clasificación de cíclicas.
Piensa algunos ejemplos que podemos encontrar en el entorno cotidiano. Trata de ver como funcionan estas curvas con un platillo, un lapiz y una cartulina. Contru-yete un generador de ciclicas casero.
Construye
Cicloide
Epicicloide
Hipocicloide
