64

UNIDAD

unque no seamos conscientes de ello, los polgonos estn presentes en nues-tro entorno. En la naturaleza, los brazos de la estrella de mar y los ptalos dealgunas flores definen un pentgono, las celdillas de un panal son hexgonos,

los cristales de nieve se organizan creando estructuras hexagonales... El hombre utili-za los polgonos para organizar y dar forma a sus edificios, objetos, espacios urbanos,parques,... Los tcnicos se ayudan de los polgonos para trazar planos de la superficieterrestre o de construcciones y terrenos de la ciudad y el medio rural...

Se dedica esta Unidad al conocimiento de los polgonos y al estudio de sus cons-trucciones, y se inicia haciendo tres consideraciones:

La realizacin de las construcciones requiere el dominio de las operaciones ele-mentales y de las construcciones fundamentales.

La sistematizacin de las construcciones se ha efectuado a partir de los criteriosde igualdad de tringulos y de la triangulacin, para facilitar la orientacin entreun gran nmero de casos.

No se presentan formando parte de la teora muchas otras construcciones queemplean datos distintos, o variaciones sobre los mismos, y que tienen la consi-deracin de problemas geomtricos, pero s se recogen como propuestas en lasactividades.

Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son:

1. Ser capaz de realizar las construcciones de tringulos basadas en los cuatro cri-terios de igualdad.

2. Ser capaz de reducir un problema de construccin de polgonos a los casos ele-mentales de construccin de tringulos.

Polgonos3

A

65

o

1. CONCEPTOS BSICOS SOBRE TRINGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662. CONSTRUCCIONES ELEMENTALES DE TRINGULOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

2.1. Criterios de igualdad de tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.2. Construccin del tringulo dados dos lados y el ngulo que forman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.3. Construccin del tringulo dados un lado y dos ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.4. Construccin del tringulo dados los tres lados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.5. Construccin del tringulo dados dos lados y el ngulo opuesto al mayor de ellos . . . . . . . . . . . . . 69

3. CONSTRUCCIN DE TRINGULOS CONOCIDA LA SUMA O LA DIFERENCIA DE DOS LADOS . . . 703.1. Construccin del tringulo dado un lado, el ngulo opuesto y la suma de los lados que lo forman . 703.2. Construccin del tringulo dado un lado, el ngulo opuesto y la diferencia entre los lados que lo forman 71

4. CONCEPTOS BSICOS SOBRE CUADRILTEROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 735. CONSTRUCCIN DE TRAPECIOS Y TRAPEZOIDES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.1. Construccin del trapezoide dados cuatro lados y una diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 745.2. Construccin del trapezoide dada la suma de una diagonal y un lado, los otros tres lados y un ngulo 745.3. Construccin del trapezoide dada la diferencia de una diagonal y un lado, los otros tres lados y un ngulo 755.4. Construccin del trapecio dados tres lados y una diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 765.5. Construccin del trapecio dados dos ngulos que no compartan el mismo lado, una base y un lado 765.6. Construccin del trapecio dadas las bases, un lado y uno de los ngulos opuestos . . . . . . . . . . . . . 77

6. CONSTRUCCIN DE PARALELOGRAMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.1. Construcciones de paralelogramos dados dos lados y un ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2. Construcciones de paralelogramos dados un lado y dos diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3. Construcciones de paralelogramos dada una diagonal, un lado y un ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7. POLGONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.1. Conceptos bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2. Construccin de polgonos regulares a partir del radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3. Construccin de polgonos regulares a partir del lado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.4. Cubricin del plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.5. Los mosaicos de la Alhambra de Granada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

N D I C E D E C O N T E N I D O S

Lados y ngulos

Diagonal

Suma de lados

Criterios de igualdad de tringulos

Mosaicos

4 Casos elementales de construccin de tringulos

Mdulo y estructura

Construccin de cuadrilterosdada la diagonal + lado

Construccin de cuadrilteros

Construccin de tringulosdada la suma de dos lados

Construccinde

polgonos

66

1. Conceptos bsicos sobre tringulosEl tringulo es la porcin de plano limitada por tres rectas secantes.

Los puntos de interseccin se llaman vrtices y los segmentos comprendidosentre ellos, lados. ngulos interiores son los comprendidos entre cada dos lados ysus adyacentes son los ngulos exteriores.

La notacin que se va a emplear asigna a los vrtices las maysculas A, B, C, acada uno de sus lados opuestos las minsculas a, b, c, e identifica los ngulosmediante su vrtice (A, B, C).

Los tringulos pueden clasificarse por el valor de sus ngulos o por el nmero delados iguales que tienen, como puede verse en la Ilust. 1.

Los elementos del tringulo, o relacionados con l, son: lados, ngulos, puntosy rectas notables, circunferencia inscrita y circunscrita, permetro, suma de doslados, semejanza con otro,... y todos ellos pueden ser datos para construirlo.

El mnimo nmero de datos para construir un tringulo son tres. En el caso delos tringulos issceles, rectngulos o equilteros, pueden reducirse a dos o uno siel dato es un elemento del que existen dos o tres iguales. Tambin son precisosmenos datos cuando el tringulo tiene algn elemento de valor conocido, como elngulo de noventa grados del rectngulo.

No se pueden tener en cuenta datos que se deduzcan de otros, por ejemplo, lostres ngulos de un tringulo cuentan como dos datos, ya que el valor del tercerngulo se deduce a partir de los dos primeros.

En algunas construcciones, para que exista solucin, los datos deben cumplirciertas condiciones. Tambin es posible con unos mismos datos encontrar variassoluciones. Por ello, en algunas ocasiones la construccin se acompaa de un texto,en el cual se discuten las condiciones de existencia de solucin.

POLGONOS

3UNIDAD

Ilustracin 1 Animacin

67

2. Construcciones elementales detringulos

2.1. Criterios de igualdad de tringulos Dos tringulos son iguales si tienen iguales todos sus lados y ngulos, pero es

suficiente que se cumplan unas condiciones mnimas llamadas criterios:

Primero. Dos tringulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ngulo queforman.

Segundo. Dos tringulos son iguales si tienen iguales dos ngulos y el lado comn.

Tercero. Dos tringulos son iguales si tienen iguales sus tres lados.

Cuarto. Dos tringulos son iguales si tienen iguales dos lados y el ngulo opues-to al mayor de ellos.

Los criterios de igualdad definen cuatro grupos de datos mnimos para construirtringulos, por lo que son la base de las cuatro construcciones elementales de trin-gulos. Cada una de ellas admite simplificaciones para tringulos issceles, rectngu-los o equilteros, cuya construccin es idntica considerando los datos conocidos orepetidos, por ello se presentan acompaando al caso general con un texto comn.

2.2. Construccin del tringulo dados doslados y el ngulo que forman

Ilustracin 2

68

Sean a y c dos lados de un tringulo escaleno y B el ngulo que forman (Ilust.2 arriba).

Se dibuja una semirrecta cuyo origen ser B y a partir de ella se transporta elngulo B. Sobre sus lados se transportan a y c, obtenindose los vrtices A y C.

La construccin se particulariza en los tringulos issceles y rectngulo deacuerdo con los ttulos de la Ilust. 2. Su construccin sigue los mismos pasos que ladel tringulo escaleno.

2.3. Construccin del tringulo dados unlado y dos ngulos

Siguiendo lo establecido en el segundo criterio los datos sern dos ngulos B, C,y el lado comn a (Ilust. 3), pero en el ttulo de esta construccin elemental se gene-raliza para dos cualesquiera, ya que dados dos ngulos es posible deducir el tercero.

Sobre una semirrecta se transporta el lado comn a. En los vrtices B y C setransportan los ngulos B y C cuyos lados cierran el tringulo.

La condicin para que exista solucin es que B + C < 180 ya que en caso con-trario no se cierra el tringulo.

La construccin se particulariza en los tringulos issceles y rectngulo deacuerdo con los ttulos de la Ilust. 3. Su construccin sigue los mismos pasos que ladel tringulo escaleno.

POLGONOS

3UNIDAD

Ilustracin 3

69

2.4. Construccin del tringulo dados lostres lados

Sean a, b, c los lados del tringulo (Ilust. 4).

Sobre una semirrecta se transporta el lado a y con centro en los vrtices B y C setrazan dos arcos de radios c y b respectivamente, que se cortan en el tercer vrtice A.

La construccin se particulariza en los tringulos issceles y equiltero de acuer-do con los ttulos de la Ilust. 4. Su construccin sigue los mismos pasos que la deltringulo escaleno.

2.5. Construccin del tringulo dados doslados y el ngulo opuesto al mayor de ellos

Sean a, b los lados del tringulo y B el ngulo opuesto al mayor de ellos b (Ilust. 5).

Sobre una semirrecta, a partir de su origen B, se transporta el lado a. En B y apartir de a, se transporta el ngulo. Con centro en C y radio b se traza un arco quecorta al lado c en el tercer vrtice A.

B

a

a

c

aa

a a

Issceles dada la base y un lado Equiltero dado un lado

a

a

b

c

Escaleno dados los tres lados

a

b

B a

B a

A

C

A

CC

A

b

c b

b

bb

Ilustracin 4

70

La construccin se particulariza para el tringulo rectngulo en la Ilust. 5. abajo.Su construccin sigue los mismos pasos que la del tringulo escaleno.

3. Construccin de tringulos conocidala suma o la diferencia de dos lados

3.1. Construccin del tringulo dado un lado, el nguloopuesto y la suma de los lados que lo forman

Sea c un lado, C el ngulo opuesto y a+b la suma de los lados que lo forman (Ilust. 6).

Sobre una semirrecta, a partir de su origen B, se transporta a + b. Tomando Dcomo vrtice, se transporta el ngulo C a partir de a + b y se halla su bisectriz. Se

POLGONOS

3UNIDAD

Si h es la altura del vrtice C sobre el ladoc, los valores que puede tomar b determi-nan la existencia de solucin:

Cuando b < h no se cierra el tringulo.

Cuando a > b > h existen dos soluciones.

Cuando b > a la solucin es nica.

Cuando b = h o b = a se obtiene untringulo rectngulo o issceles. B a

A

C

b

b

hb b

A

Ab

A

Ilustracin 5

71

traza un arco con centro en B y radio c, que cortar a la bisectriz en dos posibles vr-tices A y A. Elegimos uno cualquiera y trazamos la mediatriz del segmento , quecorta a a + b en el tercer vrtice C.

En la figura de anlisis se parte del tringulo solucin ABC, y se transporta ellado b a continuacin de a, obteniendo el tringulo issceles ACD. El valor del ngu-lo D se obtiene de la expresin: (180 -- C) + D + D = 180 de donde D = C/2

Es posible construir primero el tringulo ABD del cual conocemos dos lados c,a+b y el ngulo opuesto al menor de ellos D = C/2 . La mediatriz de la base AD, deltringulo issceles ACD, determinar sobre el lado BD el vrtice C.

3.2. Construccin del tringulo dado un lado, elngulo opuesto y la diferencia entre los lados quelo forman

AD

Ilustracin 6

Ilustracin 7

72

Sea c un lado, C el ngulo opuesto y a-b la diferencia entre los lados que lo for-man (Ilust. 7).

Sobre una semirrecta, a partir de su origen B, se transporta a - b. Tomando elpunto D obtenido como vrtice, se construye un ngulo de 90, a partir de a - b.Yuxtapuesto al ngulo de 90 se transporta el ngulo C y se halla su bisectriz. Setraza un arco con centro en B y radio c, que cortar a la bisectriz en el vrtice A. Lamediatriz del segmento corta a la prolongacin de a -b en el tercer vrtice C.

En la figura de anlisis se parte del tringulo solucin ABC y se transporta bsobre el lado a, a partir de C, obteniendo el tringulo issceles ADC, cuyos ngulosiguales son 90 -- C/2.

Es posible construir primero el tringulo ABD, del cual conocemos dos lados c,a - b y el ngulo opuesto al mayor de ellos 90 -- C/2. La mediatriz de la base AD deltringulo issceles ADC, determinar sobre la prolongacin del lado BD el vrtice C.

Aplicacin

AD

POLGONOS

3UNIDAD

Construccin de un tringulo dado un lado c, el ngulo opuesto C y la raznentre los lados que lo forman a / b = 5 / 3.

En la figura de anlisis se han dibujado el tringulo solucin de lados a, b yotro de lados 5u y 3u donde u es una cantidad de longitud cualquiera. Segn elPrimer Criterio ambos son semejantes ya que a / 5u = b / 3u y C es comn.

En el procedimiento ideado se construye el tringulo CDE y se obtiene susemejante ABC, superponiendo el lado c = DF sobre su correspondiente DE ytrasladndolo mediante la paralela FB a DA.

73

4. Conceptos bsicos sobrecuadrilteros

El cuadriltero es la porcin de plano limitada entre cuatro rectas secantes.

Los elementos del cuadriltero son los mismos del tringulo, con la excepcin delas diagonales, que son los segmentos cuyos extremos son vrtices opuestos delcuadriltero. En el trapecio los lados paralelos reciben el nombre de bases y se llamaparalela media al segmento paralelo que equidista de ambas, cuyos extremos sonlas intersecciones con los lados.

La notacin que se va a emplear asigna las maysculas A, B, C, D, a los vrtices,y las minsculas a, b, c, d, e, f, a los lados correlativos y a las diagonales AC y BD.

Los cuadrilteros se clasifican atendiendo al paralelismo entre sus lados y sus pro-piedades definen relaciones entre ngulos y lados, como puede verse en la Ilust. 8.

El nmero de datos necesarios para construir un cuadriltero es cinco, e igualque en el tringulo se pueden reducir hasta uno para los cuadrilteros especiales.Las diagonales son, tanto un dato, como un elemento auxiliar que permite dividir elcuadriltero en dos o cuatro tringulos y as reducir sus construcciones a los casosconocidos de construccin de tringulos.

Consecuentemente la existencia de solucin est condicionada a la de los trin-gulos que se construyen.

1

Ilustracin 8 Animacin

74

5. Construccin de trapecios ytrapezoides

5.1. Construccin del trapezoide dadoscuatro lados y una diagonal

Sean a, b, c, d los lados y f la diagonal del trapecio que se desea construir.

La construccin se reduce a la de los tringulos ABD y BCD cuyos lados son cono-cidos. En la Ilust. 9, se transporta la diagonal f sobre una semirrecta y se determinan losvrtices A y C mediante dos pares de arcos de centros D y B y radios (d, a), y (c, b).

5.2. Construccin del trapezoide dada lasuma de una diagonal y un lado, los otrostres lados y un ngulo

POLGONOS

3UNIDAD

D

A

B

C

a

a

b

c

df

b

c

d

f

D B

C

A

f

d a

ec

Ilustracin 9

Ilustracin 10

75

Sea a + f la suma del lado a y la diagonal f, A el ngulo y b, c, d tres lados(Ilust. 10).

La construccin se reduce a la de los tringulos ABD dada la suma de los ladosa y f, el lado d y el ngulo A y BCD dados los tres lados f, b, c.

En la figura de anlisis se ha transportado el lado f del tringulo ABD, sobre laprolongacin del lado a, obtenindose el tringulo issceles BED. La mediatriz de subase corta en B el lado a + f del tringulo AED que construimos previamente,pues conocemos sus dos lados d, a + f y el ngulo que forman A.

En la construccin se transportan primero A, a + f, d, obteniendo , cuya

mediatriz determina B. Obtenido el lado se trazan arcos de radios c, b ycentros D, B que se cortan en C.

5.3. Construccin del trapezoide dada ladiferencia de una diagonal y un lado, losotros tres lados y un ngulo

Sea a-f la diferencia del lado a y la diagonal f, A el ngulo y b, c, d tres lados. (Ilust. 11)

La construccin se reduce a la de los tringulos ABD dada la diferencia de loslados a y f, el lado d y el ngulo A y BCD dados los tres lados f, b, c.

ED

ED

BD f=

Ilustracin 11

76

En la figura de anlisis se ha transportado el lado f del tringulo ABD sobre ellado a, obtenindose el tringulo issceles BDE. La mediatriz de su base cortaen B a la prolongacin del lado a - f del tringulo AED que construimos previamente,pues conocemos sus dos lados d, a - f y el ngulo que forman A.

En la construccin se transportan primero A, a- f, d, obteniendo , cuya media-triz determina B. Obtenido el lado se trazan arcos de radios c,b y centros D, B que se cortan en C.

5.4. Construccin del trapecio dados treslados y una diagonal

Sean a, b, d tres lados y e la diagonal del trapecio que deseamos construir.

La construccin se reduce a la del tringulo ABC dados sus tres lados a, b, e ya la del tringulo ACD dados dos lados e, d y el ngulo comprendido .

En la Ilust. 12 se ha trasladado el lado b a partir del origen B de una semirrecta,trazando despus arcos de radios a y e, con centros en B y C, que se cortan en elvrtice A.

En el vrtice A, a partir de la diagonal e, se transporta el ngulo . Sobre el ladoobtenido se transporta d, quedando determinado el cuarto vrtice D.

5.5. Construccin del trapecio dados dosngulos que no compartan el mismo lado,una base y un lado

Los ngulos que comparten un mismo lado son suplementarios, as pues, cono-cidos un ngulo de cada lado, podemos deducir los cuatro ngulos del trapecio.

ED

BDED

POLGONOS

3UNIDAD

a

b

d

e

A

B

C

D

a

b

cd

e

B Cb

A D

a

d

e

Ilustracin 12

77

Sean a y d un lado y una base, A su ngulo comprendido y C el opuesto.

La construccin se reduce a la del tringulo ABD dados dos lados a, d y el ngulocomprendido A y a la del tringulo BCD a partir de su lado f y de los ngulos A y C quedefinen la direccin de sus otros dos lados.

En la Ilust. 13, una vez construido el tringulo ABD, se transporta el ngulo C apartir de la prolongacin del lado a y el ngulo A a partir del lado c, pero con vrticeen D. Aplicamos as la igualdad entre los ngulos alternos internos, determinando elvrtice C en la interseccin de los lados de dichos ngulos.

5.6. Construccin del trapecio dadas lasbases, un lado y uno de los ngulos opuestos

Mediante la paralela CE al lado d por el vrtice C, se reduce el problema a laconstruccin del tringulo BCE dados dos lados b, a - c y el ngulo opuesto a uno deellos A y del tringulo ACD dados sus tres lados e, c, d.

En la Ilust. 14 se han transportado los lados a y c sobre una semirrecta a partirde su origen A, obtenindose a - c = . En el vrtice E se transporta el ngulo A apartir del lado a - c. Con centro en B y radio b se traza un arco que cortar al lado den el vrtice C.

Con centro en los puntos A y C se trazan dos arcos de radios d y c que se cor-tarn en D.

La solucin ser nica si lo es la del tringulo BCE, es decir, s b > a - c.

EB

Ilustracin13

Ilustracin 14

78

6. Construccin de paralelogramos

6.1. Construcciones de paralelogramosdados dos lados y un ngulo

En la Ilust. 15 se presenta la construccin del romboide, acompaada de las delrombo, rectngulo y cuadrado.

La construccin del romboide ABCD dados dos lados a, d y el ngulo queforman A, se reduce a la de los tringulos:

ABD dados los lados a, d y el ngulo que forman A;

BCD dados sus tres lados , b = d, c = a.

La construccin de los dems paralelogramos se diferencia nicamente en queambos tringulos pueden ser issceles o rectngulos.

BD

POLGONOS

3UNIDAD

Ilustracin 15

79

6.2. Construcciones de paralelogramosdados un lado y dos diagonales

En la Ilust. 16 se presentan dos mtodos de construccin diferentes segn dequ tipo de paralelogramo se trate:

El romboide y el rectngulo se construyen dividiendo los lados e, f en dospartes iguales, construyendo el tringulo de lados a, e /2, f / 2 (en el rectn-gulo e / 2 = f / 2) y completando las diagonales.

Los cuatro vrtices del rombo y del cuadrado quedan determinados al cons-truir sus dos diagonales, que son perpendiculares entre s y se cortan en elpunto medio. Para ello, se transporta la diagonal e, se halla su mediatriz y setransporta sobre ella, a partir del punto medio de e y a ambos lados, f /2 (enel cuadrado e / 2 = f / 2).

a

e

e

e

a

f

f

e

A B

CD

d

a

e

a

e

Romboide dado un lado y dos diagonales

Rombo dadas dos diagonales

Rectngulo dado un lado y una diagonal

Cuadrado dada una diagonal

c = a

b = de f

e f

A

A

A

A

B

B

B

e/2

e/2

e/2

e/2

e/2

e/2

f/2

f/2

a

a

B

Ilustracin 16

80

6.3. Construcciones de paralelogramosdada una diagonal, un lado y un ngulo

En la Ilust. 17 se presenta una construccin del romboide, dos del rombo, y nin-guna del rectngulo y cuadrado, pues al reducirse los datos al lado y a la diagonalcoinciden con las ya tratadas.

La construccin del romboide ABCD dados el lado a, el ngulo A y la diagonal f,se reduce a la de los tringulos:

ABD dados los lados a, f y el ngulo opuesto a uno de ellos A. Esta cons-truccin presenta dos soluciones, ya que al ser f < a, el arco de centro B yradio f corta en dos puntos D y D al lado d. Obtendremos pues dos romboi-des posibles con estos datos.

BCD dados sus tres lados , b = d, c = a.

La construccin del rombo dada la diagonal f y el ngulo A parte de la del trin-gulo auxiliar ADF, issceles e igual al ABD, como se deduce en la figura de anlisisde la igualdad de los ngulos .

Se transporta el ngulo A sobre una semirrecta y se halla la bisectriz del nguloexterior del mismo vrtice, sobre la que se transporta f a partir de A. Se traza la para-lela al lado a por el punto F que cortar al lado d en D. Con centro en los puntos A yD se trazan dos arcos de radio d, que cortan a la semirrecta y su paralela en B y C.

La construccin del rombo dada la diagonal f y el lado a se reduce a la de dostringulos de lados a, a, f.

BD

POLGONOS

3UNIDAD

Ilustracin 17

81

7. Polgonos

7.1. Conceptos bsicosLnea quebrada o poligonal es aquella formada por segmentos, ordenados de

tal modo, que uno intermedio tiene un extremo comn con el anterior y otro con elsiguiente. Los extremos libres son el origen y el extremo de la quebrada.

Polgono es una lnea quebrada cerrada, es decir, su extremo y su origen coinciden.

Se identificar un polgono ABCDEFG mediante sus vrtices, que son los extre-mos de los segmentos que lo forman, que a su vez sern los lados a, b, c, d, e, f, gdel polgono.

ngulos interiores son los formados por dos lados consecutivos y recibensu nombre del vrtice (A, B, ...). Su suma es 180 (n - 2) donde n es elnmero de lados. ngulos exteriores (, , , ) son los adyacentes de losngulos interiores. Su suma es 360.

Diagonal es cada uno de los segmentos determinados por dos vrtices noconsecutivos del polgono. En el heptgono regular de la Ilust. 18 se handibujado todas las diagonales posibles en trazo discontinuo.

Polgono convexo es la porcin de plano limitada por un polgono, tal que altrazar la recta que contiene a cada uno de sus lados, sta deja a todos los vrticesdel polgono situados del mismo lado. En el heptgono no convexo de la Ilust. 18 sepuede ver que la recta AB divide el plano en dos semiplanos, quedando en uno deellos los vrtices F, G y en el otro C, D, E, mientras que en el heptgono convexoquedan C, D, E, F, G en un semiplano y en el otro ninguno.

Los polgonos se nombran atendiendo al nmero de sus lados, as tenemos:tringulo, cuadriltero, pentgono, hexgono, heptgono, octgono, enegono,decgono, undecgono, dodecgono,...

Los polgonos convexos pueden ser equilteros si tienen todos sus lados igua-les, equingulos si tienen todos sus ngulos iguales, regulares si cumplen simult-neamente ambas condiciones e irregulares en caso contrario.

Ilustracin 18 Animacin

82

El nmero de datos necesarios para construir un polgono de n lados es 2n - 3.La triangulacin del polgono permite reducir su construccin a los casos conocidosde construccin de tringulos. Por ello los datos deben ser del mismo tipo que losempleados para construir tringulos o cuadrilteros.

7. 2. Construccin de polgonos regularesa partir del radio

Sea r el radio de la circunferencia en la que se desea inscribir un polgono regu-lar de n lados y n = 9 en la construccin de la ilust. 19.

Se traza la circunferencia con radio r, un dimetro AB y dos arcos de radio AB ycentros A, B que se cortan en C. Se obtiene el punto D situado sobre el dimetro ABa una distancia de A igual a 2/n AB

__ = 2/9 AB

__ . La secante que pasa por C y D corta

a la circunferencia en E, siendo AE el lado del polgono, en este caso un enegono.

Llevando AE n veces sobre la circunferencia se obtendra el polgono, aunquedebe advertirse que, al tratarse de una construccin aproximada, debern realizarsecorrecciones para evitar que el ltimo lado llevado sea desigual.

7. 3. Construccin de polgonos regularesa partir del lado

Sea l el lado del polgono regular de n lados y n = 11 en la construccin de la ilust. 20.

Se traza una circunferencia de radio cualquiera y se halla el lado AB del polgo-no inscrito de n = 11 lados. Se superpone el lado l = AC sobre el lado AB obtenido yse traslada mediante dos paralelas a OA hasta encajarlo en el ngulo AOB en laposicin DE.

POLGONOS

3UNIDAD

B

r

O

12

34

56

78

9

A

D

E

C

Ilustracin 19

83

Llevando DE 11 veces sobre la circunferencia se obtendra el polgono; aunquedebe advertirse que al tratarse de una construccin aproximada, debern realizarsecorrecciones para evitar que el ltimo lado llevado sea desigual.

7. 4. Cubricin del planoEl plano puede ser cubierto mediante figuras, sin que stas se solapen ni que-

den huecos, de muchas formas distintas. Cuando este proceso se realiza con regu-laridad aparecen los conceptos de mdulo y estructura:

Mdulo es cada una de las figuras que se repiten para rellenar el plano.

Estructura es la malla generada por la repeticin del mdulo o mdulos.

Cuando los mdulos son polgonos regulares iguales se obtienen las estructurasbsicas. Como en cada vrtice de la malla los ngulos de los polgonos concurrentesdeben sumar 360 se pueden utilizar nicamente como mdulos el tringulo equiltero,el cuadrado y el hexgono regular (Ilust. 21).

Cuando los mdulos son polgonos regulares diferentes se obtienen estructurasms complejas (Ilust. 22 y 23).

l

12

34

56

78

9

AB

1011

O

C

DE

Ilustracin 20

Ilustracin 21

84

POLGONOS

3UNIDAD

La deformacin controlada del mdulo o mdulos que forman una estructuragenera otras nuevas (Ilust. 24).

7. 5. Los mosaicos de la Alhambra de GranadaEn los mosaicos de la Alhambra de Granada los artfices nazares han dejado

valiosos ejemplos de cubricin del plano mediante mdulos creados a partir del trin-gulo equiltero y el cuadrado.

Sea el cuadrado ABCD (Ilust. 25). Restndole un trapecio issceles de altura lacuarta parte de un lado, en dos lados opuestos y aadindoselo en los otros dos, elrea del mdulo obtenido es equivalente a la del cuadrado. El encaje se producegirndolo 90.

Se trazan las diagonales AC, BD, se halla el punto medio E de una semidiago-nal y los F, G, H de las dems mediante la circunferencia de centro O. Los trapeciosABGH, CDEF se restan al cuadrado.

Ilustracin 23

Ilustracin 24

Ilustracin 22

Se obtienen los trapecios congruentes de los ABGH, CDEF mediante las seme-janzas directas definidas por los pares de segmentos orientados CD, CD y AB, AB.Como la razn de semejanza es la unidad, basta triangular los trapecios y construir,de uno en uno, los tringulos resultantes. Los trapecios ABGH, CDEF obtenidosse suman al cuadrado, resultando un mdulo en forma de hueso, cuya estructurapuede verse en la parte derecha de la ilust. 25.

Sea el tringulo equiltero ABC (Ilust. 26). Al restar y sumar en cada uno de suslados, un segmento circular formado por una cuerda igual a la mitad de un lado y unarco de centro el punto medio del lado contiguo, se obtiene un mdulo de rea equi-valente, que encaja al girarlo 60.

Se traza la mediatriz del lado AB para obtener su punto medio E, que es centrode la circunferencia de radio AE que corta a los dems lados en sus puntos mediosF, G. Se trazan los arcos FB, GC, EA de centros E, F, G y radios la mitad del lado.

Otras tres circunferencias de igual radio y centros A, B, C cortan a las anterio-res en los centros H, I, J de los arcos EB, FC, GA, resultando un mdulo conocidocon el nombre de la pajarita, cuya estructura puede verse en la parte derecha dela ilust. 26.

A B

CD CD A

E FE

F

A

G

H

C

D

BB

GH

E F

GHO

Ilustracin 25

Ilustracin 26

85

86

POLGONOS

3UNIDAD

Recuerda

T Todas las construcciones deben iniciarse dibujando una figura de anlisis.

T El nmero de datos necesarios para construir un polgono de n lados es2n - 3, pero si este tiene elementos conocidos o iguales, se reduce.

T Las 4 construcciones elementales de tringulos permiten resolver la mayorade las construcciones de polgonos, mediante su triangulacin y el empleo delmtodo de reduccin.

Actividades

1. Construir el trapecio ABCD siendo a,b, c, d sus cuatro lados.

a

b

c

d

2. Construir el tringulo rectngulo ABCsiendo a + c la suma de la hipotenusaa y el cateto c y b el otro cateto.

a+c

b

3. Construir el tringulo ABC siendoa / b = 6 / 5 la razn entre los lados a yb, c el tercer lado y A un ngulo.

c

a/ b = 6/ 5

A

4. El pentgono dibujado a trazo gruesosobre el croquis de la seccin de unrestaurante mirador define la forma desu espacio interior. Dibujarlo a escala1:700 utilizando las medidas acotadasen metros.

6

2620

60

15

40

COTAS EN METROS

87

5. Construir el tringulo ABC siendo p supermetro y A , B dos ngulos.

p

A B

6. En la ilustracin pueden verse laestructura y el mdulo del mosaico dela Alhambra de Granada conocidocomo avin o pjaro volador. Dibujarlocon regla y comps sabiendo que seobtiene sumando y restando a un cua-drado dos tringulos rectngulos.

AB

A B

GT20: GT21:

-GT20: Definen las condiciones mnimas para que dos tringulos sean iguales.-GT21: Son las que toman como datos las condiciones mnimas que establecen los criterios de igualdad de tringulos.-GT22: Es aquella formada por segmentos, ordenados de tal modo, que uno intermedio tiene un extremo comn con el anterior y otro con el siguiente.-GT23: Es una lnea quebrada cerrada, es decir, su extremo y su origen coinciden.GT22: GT23: GT24: -GT24: Es la porcin de plano limitada por un polgono tal que al trazar la recta que contiene a cada uno de sus lados, sta deja a todos los vrtices del polgono situados del mismo lado.SG13: SG14: SG15: SG16: -SG13: -SG14: -SG15: -SG16: SG17: sg2: -SG17: -sg2: Inicio:

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