UD9- Proporcion y Estructuras Modulares

Unidad Didáctica 9

Proporción y Estructuras Modulares

1.- Proporcionalidad

Para poder comparar dos cantidades se halla la razón o cocienteentre ellas. La razón se puede expresar de distintas maneras. Por ejemplo,la razón entre dos segmentos de 5 y 10 centímetros se puede expresar así:

- Mediante dos puntos: 5 : 10 - Mediante la preposición a: 5 a 10 - Mediante una fracción: 5/10 - Mediante una fracción equivalente: 1/2 - Con el resultado del cociente: 0,5 - En forma de porcentaje: 50%

Todas estas formas explican que en el segmento de mayor tamaño[10 cm] está contenido dos veces el segmento pequeño [5 cm].

En el caso de que dos figuras tengan la misma forma se dice que larazón entre sus medidas es siempre la misma: es constante

Así, en el ejemplo, la razón entre los lados a y a' es la misma queentre los lados b y b'. e y e', etc. Podemos establecer, pues la siguienteexpresión: a/a' = b/b’ = c/c'= d/d' = e/e' = f/f’ = constante.

La igualdad de dos razones recibe el nombre de proporción.

a b

cde

f

a'b'

c'

d'e'

f’


Teorema de Tales

El teorema de Tales afirma que los segmentos (a, b, c, d, e, f)determinados por un haz de rectas paralelas equidistantes entre sí (t, u, v),sobre otras dos rectas que se cortan (s, r). Son proporcionales.


El teorema de Tales serepresenta gráficamente como seobserva en el dibujo, el haz derectas paralelas está formado porlas rectas t, u y v. Las rectas que secorta r y s . Según Talesa/b=c/d=e/f

Teorema de Tales: división de un segmento en partes iguales

Una de las principales aplicaciones del teorema de Tales es ladivisión de un segmento en partes iguales.

1. Por uno de los extremos A setraza una recta cualquiera s

2. Sobre la recta s se llevantantos segmentos iguales, delongitud arbitraria, como númerode partes se quiera dividir elsegmento

3. Se traza la recta t uniendo elúltimo punto con el extremo B delsegmento dado

4. Se trazan paralelas a t por lospuntos 1, 2, 3, ... de la recta s.


Teorema de la altura

Dados dos segmentos de longitudes a y b, lamedia proporcional de ambos (x), es elsegmento que cumple la relacióna/x = x/b, o a * b = x2


El teorema de la altura de Euclides afirma que en un triángulorectángulo se verifica la siguiente relación de proporcionalidad:

a/x = x/b, o bien a * b = x2

Se dice, que la altura (x) es la mediaproporcional de los dos segmentos [a, b) enque se divide de la hipotenusa.

Empleando este teorema, por tanto,podemos determinar gráficamente la mediaproporcional de dos segmentos.

Teorema de la altura: determinación de la media proporcional

En todo triángulo rectángulo la altura sobre la hipotenusa es mediaproporcional entre los segmentos en que queda dividida la hipotenusa

1. Sobre la recta r se trasladan lossegmentos a=AB y b=CD, trazando unasemicircunferencia de diámetro la sumade ambos AD

2. Por el punto B-C se traza rectaperpendicular a r hasta cortar a lasemicircunferencia en el punto F.

El segmento x = AF es la media mediaproporcional buscada

a xx b

=

A

x

a

B-CE

b

D r

F

C b D

A a B


Sección Áurea

Se denomina Sección Aurea de dichosegmento a la división que le produce unpunto B de forma que:

La proporción entre la parte máspequeña a y la más grande x es igual ala existente entre la parte más grandex y el todo b

a x

x b=

Dados un segmento b = AC

b

ax

BA C

A C


Trazado Sección Áurea de un Segmento


1.- Se traza el segmento AB y se hallaun punto intermedio O. Por el extremoB se levanta una perpendicular. Concentro en B y radio OB, se traza unarco que corte a la perpendicular en elpunto C, y se une C con A

2.- Con radio CB, se traza desde C unarco que corte a AC en el punto D. Concentro en A y con radio AD se traza unarco que corte a AB en E. Este es elpunto que divide al segmento AB deforma que AE es su sección Aurea.

2.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Igualdad

Entre dos figuras se puede establecer una serie de relacionesproporcionales

Para construir una figura igual a otra se pueden seguir diferentesprocedimientos: traslación, giro, triangulación, transporte de ángulos yreproducción de coordenadas.

B

C

D

E

F

A

B’

D’

E’

F’

A’

C ’

La igualdad es una de estas relaciones, cuya proporción es 1 :1.Decimos que dos figuras son iguales cuando al superponerlas coincidentodos sus lados y ángulos.

Ahora veremos las siguientes construcciones…

E’

D’

F’

B

C

D

E

F

A

B ’

D ’

E ’

F ’

A’

A’ D ’

C ’B ’

O ’

A

B

D

C

A’

B ’

D ’

C ’

TRASLACIÓN

GIRO

COORDENADAS TRIANGULACIÓN

C ’

D

C

B

A

OC entro de giro

C

D

B

E

A

C ’

B ’

A’

D ’

E ’

B

C

E

D

A

F

B’

A’

C’

COPIA DE ÁNGULOS


Igualdad por Traslación

Trasladar una figura consiste en desplazar todos sus vértices ensentido recto a una misma distancia.

Dada la figura ABCDEF se traza unaparalela por cada uno de sus vértices.Sobre la recta que contiene al vérticeA, se fija a una distancia el punto A’.

Se transporta esa misma distanciasobre cada una de lasparalelas, de modo que queden fijadoslos vértices de la nueva figura igual,A’B'C’D’E'F'.

Los lados correspondientes permanecenparalelos e iguales a los de la figurainicial,


Igualdad por Giro

Girar una figura consiste en desplazar todos sus vértices en sentidocircular y con la misma amplitud. Como centro de giro se elige un puntocualquiera, O.

1.-A partir de O, se traza un arco por cada unode los vértices.

2.-Sobre el arco que contiene al punto A, se fijauna cierta amplitud de ángulo y se determinael vértice A’.

3.-Con esa misma amplitud se transportan elresto de los vértices.

4.-Con este procedimiento, la figura rotaalrededor del centro de giro, permaneciendoconstante la distancia de cada uno de susvértices al mismo. En este caso, OA= OA’.OB= OB', y el ángulo AOA' = ángulo BOB' =ángulo COC’


Igualdad por Triangulación

Triangular una figura consiste en descomponer su superficie entriángulos y trazar copias de los mismos. Esto es posible porque eltriángulo es el polígono más simple y se puede copiar de manera sencilla.

1.- Dada una figura ABCDE, se trazan diagonalesdesde un vértice, por ejemplo el A, de modo queesta quede dividida en triángulos con un vérticecomún.

2.-Para construir la figura igual a la primera, setraza el lado AB', paralelo a AB.

3.-A continuación, se trasladan con el compás lasmedidas del lado BC y AC, en cuya intersecciónestará el punto C'. De esta manera se obtiene eltriángulo A’B'C', igual al ABC.

4.-Se trasladan las medidas del lado CD y AD,reproduciendo sucesivamente todos lostriángulos de la figura inicial y completando lafigura AB'C‘D'E'.


Igualdad por Transporte de ángulos

Este procedimiento consiste en transportar cada ángulo de la figuradada para construir una figura igual.

1. Sobre una recta r se dibuja A’B’ =AB

2. Con centro en B’ se traza un ánguloigual al B. (con el compás)

3. Se transporta el segmento B’C’ = BC.(con el compás)

4. Se repite la operación con todos losvértices

Dado el polígono ABCDE


Igualdad por coordenadas

Los ejes de coordenadas son dos rectas perpendiculares A quepermiten asignar a cada punto del plano dos coordenadas. Esteprocedimiento consiste en reproducir las coordenadas de la figura inicialsobre otros ejes

1.-Dada una figura ABCD, se dibujan dos ejesde coordenadas y se trazanperpendiculares a los mismos desde todoslos vértices de la figura.

2.-De este modo, se averiguan lascoordenadas de cada uno de ellos.

3.-Para dibujar la figura igual a la dada, setrasladan los ejes y se reproducen lasmismas coordenadas, estos puntos seránlos nuevos vértices de la figura AB'C‘D'


Manifestaciones artísticas de la igualdad

Algunas composiciones artísticas están basadas en la repetición defiguras iguales, siendo también un recurso muy utilizado en laornamentación, el diseño gráfico y la arquitectura.

Observa la sucesión defiguras iguales en estacomposición pictórica, Lafinalidad de esterecurso estructural esproducir un efecto dehomogeneidad visual.


3.-Relaciones de proporcionalidad entre figuras: Simetría y Semejanza

Para que exista una relación de proporcionalidad entre dos figuras,estas deben tener la misma forma; Si estas figuras tienen una orientación en elespacio contrapuesta, son simétricas y, si tienen distinto tamaño, sonsemejantes.

Simetría

La simetría es una relación entre dos figuras, en la que cada puntode la primera se corresponde con otro de la segunda, de modo que ambosequidistan de un eje, de un centro o de un plano de simetría.


Simetría Central

La simetría central o respecto a un punto dispone que, dos puntossimétricos A y A' que están situados sobre una línea recta que pasa por unpunto, llamado centro de simetría, equidistan de él y están contrapuestos.

1.- Dada la figura ABCDE, se trazanrectas desde cada vértice al centro desimetría O y se prolongan.

2.- Sobre estas rectas se transportanmedidas, de modo que lasdistancias de los vértices A, B, C, D yE al punto O sean iguales a lasdistancias del punto O a los vértices A',B', C', D' y E', respectivamente.

3.- Uniendo los vértices obtenidos seconstruye la figura


Semejanza

La semejanza es una relación entre figuras en la que los ánguloscorrespondientes de las mismas son iguales, y sus lados correspondientes,proporcionales.

Se pueden obtener figuras semejantes utilizando los siguientesprocedimientos.


Semejanza por Radiación

1.-Se elige un punto O exterior a la figuray desde él se trazan rectas que pasen porlos vértices de esta.

2.-Sobre la prolongación de una recta, laque pasa por el punto A. se marca el puntoA. Por A se traza un segmento AB' paraleloal lado AB.

3.-Repitiendo la misma operación con todoslos lados se obtendrá la figura semejante.

Observa que se establece la proporción:

AB/AB' = BC/B'C‘ = CD/C‘D‘= …


Semejanza por radiación: (Desde un vértice)

1.-Dada una figura ABCDE, se elige elvértice A. y desde él se trazan rectas quepasen por los demás vértices

2.-Se sitúa un punto B' en la prolongacióndel lado AB, Por el punto B' se traza unaparalela al lado BC, hasta cortar a laprolongación de AC en C’

3.-A partir de él, se repite la mismaoperación hasta completar la figurasemejante.

Comprueba que se establece la proporciónentre los lados:

AB/A’B‘= BC/B’C‘=CD/C’D’=DE/D’E’=…


Aplicaciones en la expresión plástica

Como ocurre con la igualdad, la simetría y la semejanza se puedenutilizar como recursos para realizar obras artísticas y estructurasarquitectónicas, ornamentales y de diseño

Esta fotografía se basa en un juego de formas circulares semejantes que producen una ligera

sensación de movimiento.

Este anuncio publicitario de papel presenta una estructura simétrica que simplifica el recorrido

visual del observador.


Las redes modulares son estructuras, generalmentegeométricas, que permiten relacionar figuras iguales o semejantes,llamadas módulos, en una misma superficie.

La red modular debe compactar el plano,es decir, cubrirlo por completo sin dejarsuperficies vacías

EJEMPLOS:Las formadas por Triángulos y Cuadradoso derivados de estos.

SI NO

4.-Redes Modulares

Redes modulares simples

Las redes modulares simples están formadas por la repetición deuna sola figura.

Además de las redes triangulares y cuadradas básicas, existenotras con distintas peculiaridades: rectangulares, quebradas, romboides,etc.

4.-Redes Modulares

Redes modulares compuestas

Las redes modulares compuestas se forman por la yuxtaposición de varias figuras geométricas regulares o por la superposición de dos o más redes simples.

4.-Redes Modulares

5.- El móduloEl módulo es la figura básica que se repite en las estructuras

modulares.La combinación proporcionada de varios módulos sobre una red o

trama da lugar a la composición modular.

Cuando se combinan varios módulos básicos para formar una figuramás compleja aparece un supermódulo

Movimientos del módulo

Un módulo se puede colocar y combinar en distintas posiciones.Entre los movimientos más usuales destacan el giro y el desplazamiento, yaplicando el giro se puede llegar a situar los módulos en contraposición, esdecir formando una simetría

5.- El módulo

La circunferencia en la composición modular

La circunferencia es una figura que no puede compactar el espacio,al igual que el pentágono, por lo que no hay redes modulares circulares. Sinembargo, inscribiéndola en cuadrados, se utiliza como estructura paradiseñar módulos, dejando los espacios libres como formas de apoyo

5.- El módulo

Efectos tridimensionales

Como en cualquier expresión visual, en la composición modular sepueden crear sensaciones de espacio tridimensional utilizando diferentesrecursos gráficos:

5.- El módulo

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