Un Buen Resumen Para FES

8/22/2019 Un Buen Resumen Para FES

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Apuntes de apoyo a la asignatura

COMPLEMENTOSde FSICA

E.T.S. de Ingeniera Informtica

UNIVERSIDAD DE SEVILLA

Francisco L. Mesa Ledesma


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II

Copyright 2002 by Francisco L. Mesa Ledesma; esta informacinpuede ser copiada, distribuida y/o modificada bajo ciertas condicio-nes, pero viene SIN NINGUNA GARANTA; ver la D esign ScienceLicensepara ms detalles.

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Apuntes de CF FLML


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Prefacio

La presente coleccin de notas sobre Fsica Cuntica y Fsica delEstado Slido pretende ser una ayuda al estudiante en la asignatu-ra cuatrimestral Complementos de Fsica de la E.T.S. de Ingeniera In-formtica de la Universidad de Sevilla. Aunque estas notas han sidoinspiradas por diversas fuentes (permtaseme destacar y agradecer laimportante contribucin de los profesores de la ETS de Ingeniera In-formtica del Departamento de Fsica Aplicada 1 de la Universidad deSevilla), cualquier defecto o error slo es atribuible al autor de estosapuntes. Es importante resaltar que estas notas no pueden ni debensustituir a otros textos ms elaborados sobre la materia.

El objetivo principal de la materia presentada es dotar al alumnode algunos de los fundamentos fsicos elementales en los que se basael funcionamiento de los dispositivos y sistemas usados en Inform-tica. Gran parte de la tecnologa actual de los computadores se basa

en la Electrnica. Dado que la Electrnica consiste bsicamente en elcontrol del flujo de los electrones en materiales conductores y semi-conductores, es evidente la necesidad de estudiar el comportamientode dichos electrones en metales y semiconductores. Este estudio sellevar a cabo mediante una serie de temas introductorios de FsicaCuntica y Atmica donde se presentan las propiedades fundamen-tales de las partculas cunticas. Posteriormente se analiza el compor-tamiento de los electrones en metales y semiconductores, para lo cualdebemos considerar sus caractersticas cunticas y estadsticas. Final-mente, estudiaremos el comportamiento de la unin p-n puesto quees la base de multitud de dispositivos electrnicos y optoelectrnicos

usados en la tecnologa de los computadores.

FRANCISCO L. MESA LEDESMASevilla, febrero de 2001

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IV

Apuntes de CF FLML


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ndice general

1. Fundamentos de Fsica Cuntica 1

1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Cuantizacin de la radiacin . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2.1. Espectros pticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2. Efecto fotoelctrico . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Dualidad de la radiacin . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4. Modelo atmico de Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5. Dualidad de la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.1. Hiptesis de De Broglie . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5.2. Verificacin experimental . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.3. Naturaleza de la onda . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.6. Principio de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.1. Principio de incertidumbreposicin/momento . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.2. Principio de incertidumbre energa-tiempo . . . 24

1.7. Problemas propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2. Ecuacin de Schrdinger. Aplicaciones 29

2.1. Ecuacin de Schrdinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Partcula ligada. Cuantizacin . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.1. Partcula Libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2.2. Pozo potencial infinito monodimensional . . . 33

2.2.3. Pozo de potencial tridimensional . . . . . . . . 36

2.3. Efecto tnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4. tomos hidrogenoides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.1. Nmeros cunticos . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.2. Spin del electrn . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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VI NDICE GENERAL

2.5. Tabla peridica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


3. Materia Condensada 513.1. Estados de Agregacin de la Materia . . . . . . . . . . . 51

3.2. Gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3. Monocristal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4. Estructuras reticulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.1. Redes de Bravais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4.2. Parmetros de la estructura reticular . . . . . . . 58

3.5. Observacin de las estructuras cristalinas . . . . . . . . 60


4. Electrones libres en metales 63

4.1. Fenomenologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.2. Modelo clsico del electrn libre . . . . . . . . . . . . . 65

4.2.1. Hiptesis bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2.2. Dependencia con la temperatura . . . . . . . . . 68

4.2.3. Fallos del modelo de Drude . . . . . . . . . . . . 69

4.3. Modelo cuntico del electrn libre . . . . . . . . . . . . 69

4.3.1. Funcin densidad de estados . . . . . . . . . . . 70

4.3.2. Distribucin de Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . 70

4.3.3. Conduccin elctrica . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3.4. Fallos del modelo de Sommerfeld . . . . . . . . 74


5. Electrones en una red peridica 77

5.1.Modelo cuntico del electrn ligado . . . . . . . . . . . . . 775.1.1. Aproximacin de fuerte enlace . . . . . . . . . . 79

5.1.2. Bandas de energa . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.2. Aislantes, Semiconductores y Conductores . . . . . . . 84

5.3. Masa efectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.4. Huecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90


6. Bandas de Energa en Semiconductores 95

Apuntes de CF FLML


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NDICE GENERAL VII

6.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2. Generacin y recombinacin de electrones y huecos . . 96

6.3. Semiconductores Intrnsecos . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.3.1. Descripcin cualitativa . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.3.2. Probabilidad de ocupacin de electrones y huecos100

6.3.3. Posicin del nivel de Fermi para semiconducto-resintrnsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3.4. Funcin densidad de estados para electrones yhuecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.3.5. Distribucin energtica de huecos y electrones . 103

6.4. Semiconductores Extrnsecos . . . . . . . . . . . . . . . 1056.4.1. Semiconductor tipo n . . . . . . . . . . . . . . . . 105

6.4.2. Semiconductor tipo p . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.4.3. Distribucin energtica de huecos y electrones . 107


7. Portadores de carga en Semiconductores 111

7.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.2. Concentracin de electrones y huecos . . . . . . . . . . 1117.2.1. Ley de accin masas . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.3. Compensacin y Neutralidad de la cargaespacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

7.3.1. Clculo aproximado de n y p . . . . . . . . . . . 117

7.3.2. Clculo de EF para semiconductores intrnsecosy extrnsecos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

7.4. Conductividad elctrica en semiconductores . . . . . . 120

7.5. Corrientes de Arrastre y Difusin . . . . . . . . . . . . . 1227.5.1. Proceso de difusin . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.5.2. Corriente de difusin . . . . . . . . . . . . . . . 123

7.5.3. Corriente total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.5.4. Campo elctrico interno . . . . . . . . . . . . . . 125

7.6. Velocidad de generacin y recombinacin . . . . . . . . 128

7.7. Ecuacin de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

7.7.1. Ecuacin de difusin . . . . . . . . . . . . . . . 132

7.7.2. Inyeccin constante de portadores . . . . . . . . 133

FLML Apuntes de CF


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VIII NDICE GENERAL


8. Unin p-n 137

8.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1378.2. Unin p-n en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.2.1. Potencial de Contacto . . . . . . . . . . . . . . . 138

8.2.2. Regin de carga espacial . . . . . . . . . . . . . . 141

8.3. Unin p-n polarizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

8.3.1. Descripcin cualitativa de las corrientes en la unin143

8.3.2. Ecuacin del diodo. Clculo simplificado . . . . 147

8.4. Lser Semiconductor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

8.4.1. Propiedades elctricas . . . . . . . . . . . . . . . 152

8.4.2. Propiedades pticas . . . . . . . . . . . . . . . . 154

8.4.3. Estructura del lser semiconductor . . . . . . . . 158

8.5. Aplicaciones del Lser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

8.5.1. Aplicaciones del Lser de Inyeccin . . . . . . . 162


A. Constantes fundamentales 167

B. Energa y longitud de onda de una partcula relativista 169

C. Promedios estadsticos 171

C.1. Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

C.2. Sistemas Continuos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

D. Propiedades de algunos materiales semiconductores 173

E. Invarianza del nivel de Fermi en equilibrio 175

Apuntes de CF FLML


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Captulo 1

Fundamentos de FsicaCuntica

1.1. Introduccin

De una forma muy genrica denominaremos Fsica Cuntica ala Fsica que se desarroll a principios del siglo XX para explicar elcomportamiento de los fenmenos que ocurren a muy pequea escala(el mbito microscpico donde los rdenes de magnitud involucra-dos son: distancia 1, masa 1027 kg, energa 1019J). Esta

nueva Fsica complementa a la denominada Fsica Clsica que se de-sarroll para ser aplicada en el mbito macroscpico (fenmenos queinvolucran rdenes de magnitud del orden de 1 m, 1 kg, 1 J) y que po-demos identificar, por ejemplo, con las leyes de Newton, las ecuacio-nes de Maxwell, etc. Antes de introducir los fundamentos de la FsicaCuntica, es conveniente resaltar que la Fsica Cuntica trajo consigo,adems de nuevos resultados, cambios conceptuales muy importantesque afectan a la forma en la que habitualmente entendemos el mundoque nos rodea. No obstante, cabe sealar que estos cambios concep-tuales afectan drsticamente a nuestra visin del mundo microscpi-co pero no tanto a la del mundo macroscpico (aunque obviamente

muchos fenmenos macroscpicos slo pueden entenderse con baseen los principios de la Fsica Cuntica).

La Fsica siempre afronta el estudio de los fenmenos mediante elestudio de modelos, esto es, representaciones parciales de la realidad.Es entonces importante aclarar que lo que se estudia no es directamen-te la realidad sino el modelo que nosotros hacemos de ella. Usual-mente, el modelo es una simplificacin de la realidad que recoge, noobstante, las caractersticas esenciales del aspecto fsico en el que este-mos interesados. As, si queremos estudiar el efecto de la gravedad so-bre los cuerpos, un posible modelo elemental sera el suponer que loscuerpos son puntuales (su masa est concentrada en un punto), que

la gravedad es constante y que se desprecia el efecto del rozamiento

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2 Captulo 1. Fundamentos de Fsica Cuntica

con el aire. Este modelo simplificado explicara satisfactoriamente, porejemplo, el tiempo que tarda en caer una piedra desde cierta altura pe-ro no describira muy adecuadamente la cada de una hoja de papel.En consecuencia, el estudio de este ltimo fenmeno requerira el usode otro modelo ms complejo. En este sentido, es interesante consta-tar que la mayora de los modelos que intentan describir el mundomacroscpico se basan parcialmente en el sentido comn (esto es, enla manera en la que nuestros sentidos perciben la realidad). De estaforma, se suponen caractersticas generales como

continuidad de la materia y la energa (es decir, la materia y laenerga pueden tomar cualquier valor e intercambiarse en cual-quier cantidad);

diferenciacin objetiva entre fenmenos ondulatorios y corpus-culares;

posibilidad de minimizar completamente el efecto del observa-dor sobre el fenmeno observado, etc.

Cuando se afronta el estudio de los fenmenos microscpicos (porejemplo, el estudio de los tomos), una primera posibilidad sera lade partir de los modelos y categoras que se usaron con xito en elmbito macroscpico y extrapolarlos al nuevo mbito de muy peque-as escalas. En este sentido podramos considerar el tomo como un

sistema de cargas puntuales (algunas de ellas en movimiento) regidaspor las leyes de la Electrodinmica. No obstante, al iniciar el estudiodel mbito microscpico se observ que la extrapolacin directa de losmodelos macroscpicos llevaba irremediablemente a resultados muydispares con la realidad. Hubo, por tanto, que hacer un gran esfuerzono slo para desarrollar muevas leyes fsicas sino tambin para olvi-dar muchos de los conceptos y categoras vlidas en el mbito macros-cpico y buscar otros nuevos que fuesen aplicables al mbito micros-cpico. Gran parte de la dificultad de la nueva Fsica Cuntica recaeen el hecho de que las leyes que rigen el comportamiento del mbitomicroscpico son tremendamente antiintuitivas.

Este primer tema mostrar, siguiendo un cierto orden cronolgico,los fundamentos de la Fsica Cuntica; en concreto nos centraremosen la presentacin de las leyes bsicas y discutiremos algunas de susconsecuencias ms inmediatas. Un buen entendimiento de estas leyesy sus consecuencias ser fundamental para la posterior comprensindel comportamiento de los electrones en los materiales conductores ysemiconductores. En consecuencia, la comprensin fsica de los fen-menos cunticos nos proporcionar la base necesaria para entender elfuncionamiento de los mltiples dispositivos electrnicos y optoelec-trnicos que son la base de la actual tecnologa de los computadoresy previsiblemente nos dotar de la base cientfica imprescindible para

entender futuros desarrollos de la tecnologa informtica.

Apuntes de CF FLML


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1.2. Cuantizacin de la radiacin 3

1.2. Cuantizacin de la radiacin

El inicio de la Fsica Cuntica puede situarse en el final del siglo

XIX, momento en el que se estaba estudiando la interaccin de la ra-diacin con la materia. En concreto se estaba investigando la natura-leza del espectro de radiacin emitida por los distintos cuerpos.

1.2.1. Espectros pticos

Es un hecho bien conocido que cualquier cuerpo caliente emite radia-cin electromagntica1 . La distribucin con respecto a la frecuencia, ,de esta radiacin se conoce como espectro. Las observaciones expe-rimentales permitieron establecer la existencia de varios tipos de es-pectros: espectros discretos (emitidos por gases de tomos aislados),espectros de bandas (emitidos por gases moleculares) y espectros con-tinuos (emitidos por cuerpos slidos). A continuacin esbozaremosalgunas de las caractersticas de los espectros discretos y continuos.

Espectros DiscretosEmpricamente se comprob que la radiacin emitida (y absor-bida) por sustancias formadas por elementos qumicos aislados(en forma de gases) tena un carcter discreto; esto es, estas sus-tancias solo emiten (y absorben) radiacin para un conjunto dis-creto de frecuencias. Este hecho experimental era muy sorpren-

dente e imposible de explicar en el marco de la Fsica Clsica.Para el caso del hidrgeno (H) se comprob que su espectro estformado por una familia de lneas espectrales cuya longitud deonda ( = c/, c 3 108 m/s) sigue la siguiente ley emprica:

1

= R

1

m2 1

n2

m < n( N) , (1.1)

que se conoce como formula de Rydberg-Ritz y donde R =1,0967 107m1 es la denominada constante de Rydberg. Paracada valor de m y variando n se obtienen distintas familias delneas espectrales conocidas como las series del hidrgeno. Una

expresin particular para el espectro visible del H, conocido co-mo serie de Balmer, fue obtenida en 1885 por Balmer, siendo, noobstante un caso particular de la ley general (1.1) cuando m = 2.Es importante resaltar que la frmula de Rydberg-Ritz es una leycompletamente emprica que fue propuesta en ese momento sin

1La explicacin clsica de este hecho se basa en la suposicin de que la tempe-ratura es una medida de la energa cintica media de las partculas que componenla materia. Dado que la materia est compuesta de tomos y stos a su vez estnformados por partculas cargadas, un cuerpo caliente puede considerarse como unconjunto de osciladores cargados (se supone que, debido a su menor masa, la carganegativa oscila en torno al ncleo de carga positiva). Estos osciladores de carga emi-ten entonces radiacin electromagntica al igual que lo hacen los dipolos elctricos

oscilantes.

FLML Apuntes de CF


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ninguna explicacin fsica que justificase el ajuste sorprendentede dicha expresin con los resultados experimentales.

Espectros Continuos

Estos espectros son emitidos por los cuerpos slidos. Dado quela emisin de los slidos dependa en parte de su composicin,en el estudio de estos espectros se buscaba un cuerpo cuya emi-sin fuese independiente de la forma y composicin particulardel emisor. En este sentido, se define como cuerpo negro a unemisor cuyo espectro no dependa de su forma y composicin.Un estudio siguiendo las leyes de la Fsica Clsica, que quedafuera del alcance de este tema, permite establecer que la expre-sin terica para la radiancia espectral, R() (intensidad de la ra-diacin emitida con frecuencias comprendidas entre y + d)viene dada por

R() 2T , (1.2)

donde Tes la temperatura absoluta (en grados Kelvin) del cuer-po negro.

Cuando la expresin terica (1.2) se comparaba con los datos ex-perimentales (ver figura adjunta), se observaba una buena concordan-

curva terica

curvaexperimental

n

R( )n

cia para bajas frecuencias pero una discrepancia total para frecuenciasaltas. Esta discrepancia es tan importante (para frecuencias muy al-tas R() tiende a cero segn los datos experimentales mientras que elresultado terico tiende a infinito) que se conoce como catstrofe ul-

travioleta puesto que las diferencias empiezan a ser muy importantespara frecuencias de radiacin ultravioleta. La catstrofe ultravioletaes una clarsima constatacin de que haba algo fundamentalmenteerrneo en la aplicacin de las leyes conocidas hasta ese momento alestudio del espectro de radiacin del cuerpo negro.

Afortunadamente, en 1900 Planck incorpor un nuevo enfoque aeste problema que sorprendentemente conduca a una teora que seajustaba perfectamente a los resultados experimentales. La propuestade Planck fue que

Hiptesis de Planck los osciladores atmicos realizan intercambios de ener-ga con la radiacin de modo que la accin, S(energatiempo), vara nicamente en mltiplos deh = 6,62 1034Js.

La cantidad de intercambio de accin mnima, h, se conoce como cons-tante de Planck y tiene por valor

Constante de Planck h = 6,62 1034Js = 4,135 1015 eVs (1.3)

(1eV = 1,6

1019J, e = 1,6

1019 C es el mdulo de la carga del

electrn en el S.I.).

Apuntes de CF FLML


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La anterior hiptesis implicaba que en el periodo T de oscilacinde los osciladores atmicos, el intercambio de accin, S, deba ser

S = nh = E

T n = 1, 2, . . . , (1.4)

siendo E la energa puesta en juego en el intercambio energtico. Apartir de (1.4) encontramos entonces que

E = nh1T

= nh . (1.5)

La anterior expresin, fruto de la hiptesis de Planck, indica queel intercambio energtico mnimo es h y que cualquier otro intercam-bio energtico siempre se produce en mltiplos de esta cantidad. Esteresultado tiene dos implicaciones muy destacadas:

1. La interaccin energtica entre dos sistemas no puede hacersemenor que h. Este resultado es abiertamente opuesto a la hip-tesis clsica de que la interaccin entre dos sistemas poda ha-cerse tan pequea como se quisiera.

2. La energa puesta en juego en las interacciones est cuantizada.De nuevo, este sorprendente resultado contradice la hiptesisacerca del carcter continuo de la energa.

Es interesante finalmente notar que las consecuencias anterioresapenas tienen efecto en las interacciones entre sistemas macroscpi-cos. Ello es debido a que los valores de energa puestos en juego en losintercambios energticos son generalmente mucho ms altos que h,por lo que la existencia de una cantidad mnima de energa de inter-cambio apenas difiere de la suposicin de que sta sea infinitesimal.Este hecho provoca que la cuantizacin energtica sea prcticamenteinapreciable haciendo, por tanto, aceptable el hecho de que la energase considere continua a efectos prcticos.

1.2.2. Efecto fotoelctrico

Otro efecto muy destacado fruto de la interaccin entre la luz yla materia es el efecto fotoelctrico. Este efecto se produce cuando alincidir luz sobre ciertos metales, stos emiten electrones (que denomi-naremos fotoelectrones). Un dispositivo experimental apropiado para

I(n)

AC

V

+ -

i

e-

A

estudiar el efecto fotoelctrico se muestra en la figura adjunta y con-siste en un tubo de vaco con dos placas metlicas en su interior. Alincidir luz de intensidad I() sobre el metal del que est compuesto laplaca C, ste emite electrones que, si son acelerados por un potencial(V) impuesto entre las placas situadas en el interior del tubo de vaco,son arrastrados hasta la placa A. Este flujo de electrones da lugar auna corriente elctrica, i, que es detectada por el ampermetro puesto

a tal efecto.

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Una de las principales ventajas del anterior montaje experimentales que nos permite determinar la energa cintica, Ec, de los fotoelec-trones. Notemos que si V < 0, el campo impuesto entre las placasacelera los fotoelectrones hacia la placa A, pero si V > 0, el campoelctrico frenar los fotoelectrones dificultando as su camino hacia elnodo. El efecto de frenado ser total cuando la energa que propor-ciona el campo a los fotoelectrones, eV, sea igual a la energa cinticamxima, Ec,max, de los fotoelectrones, esto es, cuando

eVR = Ec,max , (1.6)

siendo VR el valor de potencial elctrico conocido como potencial defrenado.

El estudio experimental del efecto fotoelctrico pone de manifiestolas siguientes caractersticas:

La emisin fotoelctrica es instantnea.

Existe cierta frecuencia para la radiacin incidente, conocida co-mo frecuencia umbral, 0, por debajo de la cual no existe emisinfotoelctrica, independientemente de la intensidad de dicha ra-diacin; es decir, i = 0 I() si < 0Al aumentar la intensidad de la radiacin, aumenta el nmero

VACVR

I1( )n

I2( )n

I2( )>n I1( )n

i

de fotoelectrones emitidos y, en consecuencia, la intensidad dela corriente es mayor.

Para una frecuencia fija, la energa cintica de los fotoelectronesno depende de la intensidad de la radiacin incidente.

VR

nn0

La energa cintica mxima de los fotoelectrones(cuya magnitudes proporcional al potencial de frenado VR) muestra una depen-dencia lineal de la frecuencia.

La mayora de los anteriores resultados experimentales resultanrealmente sorprendentes y contradictorias cuando se intentan inter-pretar a partir de los postulados de la Fsica Clsica. En este marco, laluz es

una onda electromagntica cuya energa est repartida de formacontinua en el frente de ondas;

su intensidad promedio, I, viene dada por la expresin

I =120cE20 , (1.7)

donde 0 es la permitividad del vaco y E0 es la amplitud delcampo elctrico de la onda luminosa. Es interesante notar que,segn (1.7), la intensidad (y por tanto la energa) de la onda elec-tromagntica no depende de la frecuencia sino simplemente de

la amplitud del campo elctrico.

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En el metal hay que considerar que los electrones susceptibles deser emitidos estn ligados al metal con una cierta energa umbrale, denominada tambin funcin trabajo. Para que un electrn sea des-prendido del metal, ste debe adquirir una energa suficiente pararomper su ligadura con el metal, manifestndose el posible excesode energa en forma de energa cintica del electrn emitido. Desdeeste punto de vista, la luz incidente en el ctodo ser la encargada deproporcionar (durante cierto intervalo de tiempo) la energa suficien-te a cada electrn para que ste puede salir del metal. No obstante,el clculo terico del tiempo requerido para que se inicie la emisinproporciona un valor muchsimo mayor que el observado experimen-talmente (recurdese que el efecto fotoelctrico es prcticamente ins-tantneo). Por otra parte, si mantenemos fija la frecuencia y aumen-tamos la intensidad de la radiacin luminosa, esperamos de acuerdo

a la expresin (1.7) que llegue ms energa al metal y que, por tanto,la energa cintica de los fotoelectrones aumente. Hemos visto que laexperiencia contradice esta suposicin, mostrando que dicha energacintica mxima no depende de la intensidad de la radiacin incidentesino sorprendentemente de su frecuencia.

EJEMPLO 1.1 Calcule el tiempo que habra que esperar para que se produjeseel efecto fotoelctrico si una radiacin luminosa emitida por una fuente de luzde P = 100 W y rendimiento luminoso = 8 % incide sobre un metal que estsituado a 1 m de distancia y cuya funcin trabajo es e = 4 eV. Suponga que elradio aproximado de un tomo es ratomo = 1.

La intensidad luminosa, I, emitida por la fuente de luz que llega al metales

I = P

4R2= 0,08

100412

=2

W/m2 ,

por lo que la potencia captada por cada tomo vendr dada por

Ptomo = I r2tomo =21020 = 2 1020 W .

Finalmente, el tiempo de espera, t, para que se acumule la energa umbralsuficiente, e, es

t =e

Ptomo=

4 1,6 10192 1020 32s .

Ntese que el clculo del tiempo de espera calculado segn el modeloondulatorio de la radiacin luminosa nos da un valor (t 32 s) muchsimoms alto que el observado experimentalmente (emisin espontnea).

En 1905, A. Einstein proporcion una explicacin satisfactoria alefecto fotoelctrico aportando adems una concepcin revolucionariade la energa radiante. Bsicamente Einstein, partiendo la hiptesis de

Planck acerca de la cuantizacin del intercambio energtico, dio un

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paso ms extendiendo la nueva idea de cuantizacin a la propia ener-ga radiante (y no slo a su posible intercambio). En concreto, Einsteinexplic el efecto fotoelctrico a partir de las dos siguientes hiptesis:

1. La energa de la onda electromagntica de frecuencia no estdistribuida continuamente en el frente de onda sino que est lo-calizada en pequeos paquetes (entes como partculas) llamadosfotones cuya energa es

Energa del fotn E = h = h . (1.8)

(h = h/2, = 2).

2. El efecto fotoelctrico es fruto de procesos individuales de inter-hn

Ec

e-

e-

Metal

Radiacin incidiendoen el metal

electrn liberadodel metal

cambio instantneo de la energa del fotn con la del electrn.

El primer punto indica que Einstein concibe la onda electromagnticacomo un conjunto de paquetes discretos de energa h, esto es, la pro-pia energa de la onda estara cuantizada. El efecto fotoelctrico podraentonces verse como un conjunto de choques elsticos individualesentre los fotones de la radiacin incidente y los electrones ligados delinterior del metal. Supuesta que la energa se conserva en este cho-que, el fotn cede toda su energa h al electrn, adquiriendo ste portanto una energa que sera empleada parcialmente para vencer la fun-cin trabajo, e, apareciendo la restante en forma de energa cintica,Ec, esto es,

h = Ec +

e . (1.9)Dado que la expresin (1.6) relaciona la energa cintica de los fotoe-lectrones con el potencial de frenado, VR, tenemos que

Ec = heEc = eVR

eVr = he ,

lo que nos permite escribir finalmenteEcuacin de Einstein para el

efecto fotoelctrico VR =h

e e

e. (1.10)

El sencillo desarrollo anterior muestra que existe una relacin linealentre VR y , siendo la pendiente de esta recta h/e. Tambin explicala existencia de una frecuencia umbral, 0 = e/h, por debajo de lacual no puede existir efecto fotoelctrico (puesto que la energa cinti-ca asociada al electrn sera negativa). La expresin terica (1.10) coin-cide satisfactoriamente con los resultados experimentales, confirman-do la sorprendente hiptesis de la naturaleza fotnica de la radiaciny proporcionando una prueba adicional de que la constante h introdu-cida por Planck es una constante fundamental de la Naturaleza y no,simplemente, una constante arbitraria de ajuste.

Dado que la emisin de fotoelectrones crece al aumentar la inten-

sidad de la radiacin, I, esta magnitud debe estar relacionada con el

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nmero de choques y, en consecuencia, puede relacionarse con la den-sidad de fotones, Nf (nmero de fotones por unidad de tiempo y rea),de la radiacin. Podemos escribir, por tanto, que

I = Nfh . (1.11)

Por otra parte, dado que los fotones transportan una energa E,tambin deben transportar un momento lineal p. En su teora de laRelatividad Especial, Einstein demostr que el momento lineal de losfotones estaba relacionado con su energa mediante la siguiente rela-cin:

p =E

c, (1.12)

siendo c la velocidad de la luz. Como la energa del fotn es E = h,encontramos que

momento del fotnp =hc

= h

, (1.13)

donde se ha tenido en cuenta que la frecuencia de la onda, , estrelacionada con su longitud de onda, , mediante = c.

EJEMPLO 1.2 Una radiacin luminosa de = 2000 e intensidad I = 3 mW/m2

incide sobre un metal de Cu cuya funcin trabajo es e = 1 eV. Calcule (a) elnmero de fotones por unidad de tiempo y rea que llegan al metal; (b) el mo-mento de cada uno de los fotones; y (c) la energa cintica de los fotoelectronesemitidos.

(a) Para calcular el nmero de fotones por unidad de tiempo y rea debe-mos aplicar la expresin (1.11), para lo cual debemos obtener primerola frecuencia, , de la radiacin:

=c

=

3 1082 107 = 1,5 10

15 Hz ,

por lo que la energa, E, de cada fotn ser

E = h = 6,63 1034 1,5 1015 9,95 1019J = 6,21 eV .La aplicacin de (1.11) nos dice que

Nf = IE= 3 103

9,95 1019 3,017 1015 fotonesm2s .

(b) El momento del fotn puede calcularse a partir de

p =h

=

6,63 10342 107 3,31 10

27 kgm/s

(c) Finalmente la energa cintica de los fotoelectrones emitidos, de acuer-do a la expresin (1.10), vendr dada por

Ec = h

e = 6,21eV

1 eV = 5,21 eV .

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1.3. Dualidad de la radiacin

A la vista de la discusin presentada en el anterior apartado, nos

encontramos con que existen dos concepciones distintas de la radia-cin electromagntica:

Onda electromagntica (OEM)La visin clsica de la radiacin interpreta que sta es una ondade modo que su energa y momento se distribuye continuamen-te en el frente de ondas. Segn hemos visto, la intensidad de laonda, I, puede relacionarse con la amplitud del campo elctrico,E0, mediante

I =120cE20 .

FotonesSegn la interpretacin de Einstein, la radiacin electromagn-tica puede considerarse como un conjunto discreto de paquetesde energa E = h, de modo que la intensidad de la radiacin,de acuerdo con (1.11), puede escribirse como

I = Nfh .

Segn la visin clsica, la intensidad de la onda depende del valorde la amplitud del campo elctrico y segn la interpretacin fotni-

ca, del nmero de fotones. En consecuencia, podemos observar que elnmero de fotones debe ser proporcional al cuadrado de la amplituddel campo elctrico,

Nf E20 , (1.14)donde debemos interpretar esta densidad de fotones, Nf, en trmi-nos puramente probabilsticos. Este hecho nos permite establecer unpunto comn de relacin entre las visiones clsica y fotnica de la ra-diacin y establecer, en general, que

el cuadrado de la amplitud del campo elctrico de la on-

da electromagntica, E20 (r, t), es proporcional a la proba-bilidad de localizar en un instantet a los fotones en undVcentrado en el puntor.

Desde el punto de vista del modelo fotnico, el campo elctricode la onda electromagntica juega el papel de una funcin matem-tica que determina la probabilidad de encontrar a los fotones en undeterminado punto e instante. En aquellos puntos donde el campoelctrico tenga un valor alto de amplitud ser, por tanto, ms proba-ble encontrar fotones que all donde la amplitud presente un valorbajo. En la prctica, la conveniencia de usar uno de los dos modelos

(OEM/fotones) vendr determinada por la relacin entre la cantidad

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1.4. Modelo atmico de Bohr 11

de energa de los fotones y la energa puesta en juego en la posibleinteraccin. Si la energa en la interaccin, E, es del orden de la ener-ga de los fotones, h, entonces se debe usar el modelo fotnico. Por elcontrario, si E

h (esto es, si en la interaccin intervienen muchos

fotones conjuntamente), el modelo ondulatorio ser ms apropiado.

1.4. Modelo atmico de Bohr

En este apartado discutiremos el modelo que propuso N. Bohr en1913 para el tomo de hidrgeno. Este modelo fue propuesto comoconsecuencia de los problemas que presentaba el modelo nuclear deRutherford (este modelo se supone conocido por el alumno). En con-creto, Rutherford propuso un modelo planetario del tomo com-

puesto por un sistema de cargas globalmente neutro donde supusoque exista un ncleo de carga positiva muy pequeo y muy msicorodeado de cargas negativas (electrones) de muy poca masa orbitan-do continuamente a su alrededor. Este modelo, muy vlido en cuantoa la idea de un tomo formado por un ncleo y electrones a su alrede-dor, presentaba dos problemas fundamentales:

1. Inestabilidad del tomo.Segn la teora clsica del Electromagnetismo, una carga acele-

+

rada radia y como los electrones orbitando en torno al ncleodescriben un movimiento acelerado, estos electrones deban es-

tar radiando. Si estos electrones radian energa,esto significa quedeban estar perdiendo energa cintica de forma continua, loque a su vez implica que tras un breve lapso de tiempo los elec-trones deberan colapsar en el ncleo. Este razonamiento clsi-co conduce inevitablemente a un tomo inestable con todos loselectrones atrapados en el ncleo, en abierta contradiccin conlas suposiciones iniciales de un ncleo de carga positiva en tornoal cual los electrones orbitan de forma estable.

2. Emisin de un espectro continuo.Segn el razonamiento clsico anterior, la radiacin emitida por

el tomo deba ser continua, puesto que la supuesta prdida deenerga cintica del electrn en forma de radiacin electromag-ntica se realizara de forma continua. Esta suposicin es de nue-vo contraria al hecho experimental de que las sustancias forma-das por elementos puros emiten un espectro discreto.

Basado en el modelo de Rutherford e incorporando la concepcinfotnica de la radiacin propuesta por Einstein, Bohr propuso un sor-prendente modelo para el tomo de hidrgeno (el tomo ms simplede la naturaleza, compuesto nicamente por dos cargas: una positivaen el ncleo protn y otra negativa electrn orbitando a su alre-

dedor) basado en los siguientes tres postulados:

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1. En vez de las infinitas rbitas, con cualquier valor de radio, que

+

son permitidas por la Fsica Clsica, los electrones pueden tomarnicamente aquellas rbitas en las que se verifique que el mdu-lo de su momento angular, L (L = r

p, por lo que L = m

evr

siendo me = 9,1 1031 kg la masa del electrn, v el mdulo dela velocidad y r el valor del radio), sea un mltiplo de h:

L = mevr = nh , n = 1, 2, 3, . . . (1.15)

2. Un electrn en una de las rbitas anteriores no emite radiacinelectromagntica. Estas rbitas corresponden por tanto a esta-dos estacionarios, es decir, estados en los que la energa del to-mo es constante en el tiempo.

3. Si un electrn est inicialmente en una rbita de energa Ei yEi

Efhn

transita hacia una rbita de menor energa Ef, se emite radiacinelectromagntica (un fotn) de frecuencia

=Ei Ef

h. (1.16)

Consecuencias del modelo de Bohr

Los postulados propuestos por Bohr conducen a las siguientes con-secuencias:

Radio de las rbitas permitidasPara un electrn que est situado en una rbita estacionaria deradio r debe cumplirse que los mdulos de la fuerza centrfuga,Fc, y la de atraccin electrosttica del ncleo, Fe, se compensen,esto es,

Fc = Fe , (1.17)

o equivalentemente

+

Fc

v

Fe

mev2

r

=e2

40r2 . (1.18)

Si tenemos en cuenta la expresin (1.15), podemos escribir

mer

n2h2

m2e r2 =

e2

40r2, (1.19)

de donde obtenemos finalmente, al despejar el radio, que

Radio de las orbitasestacionarias del hidrgeno

rn = n2r0 = r0, 4r0, 9r0, . . . (1.20)

siendo

r0 =40 h2

e2me 0,53 (1.21)Apuntes de CF FLML


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1.4. Modelo atmico de Bohr 13

(1 = 1010 m).El electrn en el tomo de hidrgeno slo puede tomar aquellasrbitas discretas cuyos radios verifiquen (1.20). Dado que la me-

nor rbita que puede tomar el electrn en el tomo de hidrgenoes r0, este dato podra ser considerado como el tamao de di-cho tomo. Comprobaciones experimentales demuestran que r0coincide muy aproximadamente con el tamao medido para elradio de los tomos de hidrgeno.

Cuantizacin de la energa del tomo de HEn una rbita estacionaria, y que por tanto verifica (1.18), debecumplirse que

mev2 =

e2

40r. (1.22)

La energa, E, del electrn en una rbita estacionaria (y, en con-secuencia, en un estado estacionario) ser la suma de su energacintica, Ec, ms la energa potencial electrosttica, Ep, debido alefecto de carga positiva del ncleo, esto es,

E = Ec + Ep =12

mev2 1

40e2

r,

expresin que puede reescribirse, teniendo en cuenta (1.22), co-mo

E = 12

140

e2

r. (1.23)

Dado que el radio de la rbita est cuantizado (rn = n2r0), laenerga del estado estacionario lo estar igualmente. En conse-cuencia la energa del estado estacionario caracterizado por elnmero cuntico n puede escribirse como

Energa de los estados estacio-narios del H

En = E0n2

= E0, E04 , E09

, . . . , (1.24)

donde E0 es la energa del estado elemental del tomo de hidr-

n=1

n=2

n=3

n=

E -E1 0

E -E /42 0

E = 0geno (n = 1), que viene dada por

E0 =e2

80r0=

e4me820h2

13,6 eV . (1.25)

Los posibles estados de energa con n > 1 se conocen como esta-dos excitados. El hecho de que la energa de los distintos estadossea negativa debe entenderse en el sentido de que hay que pro-porcionar energa para sacar al electrn de esos estados, estoes, el electrn est ligado al tomo de hidrgeno por esa canti-dad de energa. En este sentido, podemos decir que la energa deionizacin del tomo de hidrgeno es de 13.6 eV; es decir, hay quedar al menos esa energa al tomo de H en su estado fundamen-

tal para poder extraerle el electrn.

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Espectro del hidrgenoTeniendo en cuenta la hiptesis(1.16) junto con la expresin (1.24)obtenida anteriormente, la frecuencia de la radiacin emitida enla transicin de un electrn desde un estado caracterizado por n

ihasta otro estado de menor energa caracterizado por nf vendradada por

=

E0n2i

+E0n2f

h=

E0h

1

n2f 1

n2i

, (1.26)

o equivalentemente, teniendo en cuenta que = c,

1

=E0hc

1

n2f 1

n2i

, (1.27)

donde E0/hc 1,0974 107m1. Esta expresin terica, obte-nida nicamente a partir de las hiptesis de Bohr, coincide ple-namente con la frmula emprica de RydbergRitz (1.1). Si ad-mitimos que esta sorprendente y total coincidencia no es me-ra casualidad debemos entonces admitir que el modelo de Bohrproporciona un marco terico novedoso, muy original y consis-tente para entender el espectro del tomo de hidrgeno. Pode-mos afirmar, por tanto, que el espectro discreto del H es fruto dela cuantizacin de los estados energticos de este tomo2 y de la na-turaleza fotnica de la radiacin.

Es interesante notar finalmente que, aunque el modelo atmico deBohr proporcion un marco terico muy satisfactorio que pudo expli-car las caractersticas esenciales del tomo de hidrgeno, cuando estemismo modelo se intento aplicar a tomos con ms de un electrn noresult tan eficaz. Por ejemplo, este modelo no pudo explicar el valorde la energa de ionizacin ni el espectro discreto del tomo de he-lio (el tomo de helio consta ya de dos protones en el ncleo y doselectrones orbitando). Este hecho debe interpretarse en el sentido deque, aunque el modelo de Bohr supuso un avance fundamental en lacomprensin del tomo, era un modelo simple que no tena en cuenta

algunas de las propiedadesms caractersticas (todava por descubrir)de las partculas cunticas. Los apartados siguientes explorarn algu-nas de estas propiedades.

EJEMPLO 1.3 Un tomo de H es excitado de manera que al volver a su es-tado fundamental (de mnima energa) emite una radiacin de frecuencia =3,023 1015 Hz. Calcule el nmero cuntico del estado excitado as como suradio.

2Un experimento muy relevante, llevado a cabo en 1914 por J. Frank y G. Hertz,demostr empricamente que la cuantizacin de los estados energticos es una carac-

terstica comn de todos los tomos.

Apuntes de CF FLML


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1.5. Dualidad de la materia 15

Supuesto que En sea la energa del estado excitado de nmero cunticon, sabemos que la energa, E, puesta en juego en la transicin ser

E = En

E0 = h ,

por lo que

En = E + E0 = h + E0

= 4,135 1015eVs 3,023 1015 s1 13,6eV = 1,55 eV .Para calcular el nmero cuntico, debemos tener en cuenta que

En = E0n2

,

por lo que

n =E0En = 13,61,55 = 3 .

El electrn fue excitado hasta el estado de nmero cuntico n = 3.

Segn el modelo de Bohr, el radio de la rbita del electrn en este estadoser

r3 = 9r0 4,77 .

1.5. Dualidad de la materia

1.5.1. Hiptesis de De Broglie

En 1924, L. de Broglie, suponiendo la existencia de una simetrainterna en la naturaleza, sugiri que el carcter dual onda/corpsculoexhibido por los fotones era igualmente aplicable a todas las partculasmateriales. En concreto la hiptesis de L. de Broglie fue

El movimiento de una partcula material viene determi-nado por las propiedades ondulatorias de propagacinde una onda piloto cuya longitud de onda, , y fre-

cuencia, , estn asociadas con el momento lineal, p, yla energa, E, de la partcula segn

=h

po bien p = hk (1.28)

=E

ho bien E = h . (1.29)

Relaciones de de Broglie

Debe notarse que en la onda piloto asociada a las partculas NO SEPara una partcula

= c/CUMPLE que = c/ (esto slo era vlido en ondas electromagnti-

cas/fotones en el espacio libre). Este hecho podemos relacionarlo con

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la expresin de la energa de una partcula libre3 , E, proporcionadapor la Relatividad Especial,

E2 = m20c4 + p2c2 , (1.30)

donde m0 es la masa en reposo de la partcula material ntese quepara los fotones, cuya masa en reposo es nula, m0 = 0, la expresinanterior se reduce a (1.12). Puede comprobarse que al sustituir (1.28)y (1.29) en (1.30) encontramos una relacin entre la y la de la ondapiloto ms complicada quela queexistepara ondas electromagnticas.

En el caso de partculas libres cuya velocidad, v, sea mucho menorque la velocidad de la luz (v2 c2), el Apndice B muestra que laenerga cintica de dicha partcula puede expresarse como

Ec =

p2

2m0 , (1.31)por lo que el momento y la longitud de onda de la partcula puedeexpresarse como

p =

2m0Ec = mv . (1.32)

y

=h

2m0Ec. (1.33)

Es interesante resaltar que, debido al pequeo valor de la constan-te de Planck, los fenmenos tpicamente ondulatorios de interferencia

y/o difraccin de las partculas macroscpicas son prcticamente im-posibles de detectar. Dado que la longitud de onda de estas partculasmacroscpicas es mucho menor que las distancia tpicas en el mbi-to macroscpico, podemos ignorar el carcter ondulatorio de estaspartculas.

EJEMPLO 1.4 Calcular la longitud de onda asociada a (1) una pelota de tenis dem = 50g y v = 40m/s; y (b) un electrn sometido a un potencial de aceleracinV = 100V.

(1) En este caso, el momento lineal es

p = mv = 0,05 40 = 2kgm/sy la longitud de onda ser

=h

p=

6,6 10342

3,3 1034 m .

Como puede observarse, la longitud de onda asociada a la pelota de te-nis es muchsimo ms pequea que el tamao de un tomo de H. Esta estan pequea que es totalmente indetectable por cualquier dispositivo expe-rimental. Una posible manera de aumentar esta es hacer que la masa de la

3partcula sobre la que no se ejercen fuerzas externas

Apuntes de CF FLML


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partcula sea muy pequea, en la prctica del orden de la masa de las part-culas elementales (electrones, protones, ....)

(2) Si el electrn est sometido a cierto potencial de aceleracin, V, entonces,supuesto que parte del reposo, la energa cintica que adquiere ser justa-mente la energa potencial elctrica que pierde la partcula cargada, esto es,

Ec = eV = 100eV .

La longitud de onda asociada a esta partcula ser entonces

=h

2meeV=

6,6 10342 9,1 1031 1,6 1019 100 1,2 .

Esta longitud de onda es muy pequea pero al menos es del orden del tama-o de los tomos.

1.5.2. Verificacin experimental

Antes de describir el experimento que verific el carcter ondula-torio de interferencia y/o difraccin las partculas materiales, debe-mos notar que para que un fenmeno ondulatorio sea observablees necesario que las dimensiones de los objetos con los que interactala onda sean del orden de la longitud de onda. Segn ha mostrado elEjemplo 1.4, la longitud de onda de las partculas elementales puedeser del orden de , por lo que se necesitara que su onda piloto inte-

ractuase con objetos de esas dimensiones. Un posible objeto quepresenta estas dimensiones son los planos atmicos de un monocristalque estn separados precisamente distancias del orden de .

Basado en lo anterior, Davisson y Germer verificaron experimen-talmente en 1927 el comportamiento ondulatorio de los electrones usan-do un dispositivo experimental cuyo esquema se muestra en la Fig. 1.1a.En este experimento, un monocristal es bombardeado con electrones

e-

Detector

Detalle de reflexinen monocristal

V

Monocristal

f

fq

q

a) b)

FIGURA 1.1: Experimento de Davisson y Germer

acelerados por un potencial elctrico V. Estos electrones, previamen-

te emitidos por una resistencia incandescente, adquieren una energa

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cintica dada porEc = eV. (1.34)

Si los electrones se comportasen comopartculas, entonces, tras cho-car con el monocristral, rebotaran tal y como lo haran pelotas de te-nis que chocasen contra una piedra, esto es, saldran rebotados en to-das direcciones sin que haya direcciones privilegiadas. Adems, esteefecto sera independiente de la energa cintica de las partculas, es-to es, del potencial de aceleracin V. No obstante, si los electrones secomportasen como ondas, entonces los electrones dispersados lo ha-ran mayoritariamente en aquellas direcciones privilegiadas para lasque exista interferencia constructiva.

Admitiendo que los electrones presentan un comportamiento on-dulatorio, la onda incidente se reflejar en cada uno de los planos at-

micos (ver detalle en Fig. 1.1b), existiendo una interferencia construc-tiva de las ondas reflejadas en planos paralelos consecutivos si se cum-

( )1

(2)q q

qd

diferencia decamino

ple la condicin de Bragg, esto es, si la diferencia de camino entre losrayos (1) y (2) es justamente un mltiplo de la longitud de onda:

2d sen = n . (1.35)

Supuesta vlida la hiptesis de de Broglie, la longitud de onda, , delos electrones que inciden en el monocristal ser

=

h

p =

h

2meeV , (1.36)lo que implicara que el detector mostrara unos mximos de disper-sin para los ngulos n relacionados con los n (2n + n = ) queverificasen

sen n = nh

2d

2meeV. (1.37)

El experimento de Davisson y Germer demostr que esta suposicinterica estaba en excelente acuerdo con la experiencia, confirmandofehacientemente que los electrones (y por ende, todas las partculas

materiales) presentaban un carcter ondulatorio.

EJEMPLO 1.5 En un dispositivo experimental como el del experimento de Davis-son y Germer, los electrones son acelerados por un potencial V antes de incidirsobre un monocristal de Ni cuya distancia entre planos atmicos es de 0.91.Si el detector se sita en un ngulo = 40o, calcule el valor del potencial deaceleracin para el cual se detecta en ese ngulo el mximo de dispersin deprimer orden.

Dado que 2 + = 180o, el ngulo relacionado con la posicin deldetector ser

= 180

o

40o

2 = 70o .

Apuntes de CF FLML


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El mximo de dispersin de primer orden ocurre cuando n = 1, esto es, paraun ngulo 1 que verifica

sen 1 =

h

2d2meeV ,o equivalentemente para un potencial de aceleracin, V, dado por

V =h2

8d2 sen2 1mee

=(6,6 1034)2

8 (0,91 1010)2 (0,9397)2 9,1 1031 1,6 1019 51,1V .

1.5.3. Naturaleza de la onda

En el Apartado 1.3 se discuti que la relacin existente entre la in-terpretacin ondulatoria y la corpuscular de la radiacin electromag-ntica poda hacerse mediante la interpretacin que se le daba al cam-po elctrico en un punto como una medida de la probabilidad de en-contrar a los fotones en cierto instante en el entorno de dicho punto.En este sentido, en 1926 Max Born extendi esta interpretacin pro-babilstica igualmente al caso de las partculas materiales. Segn lainterpretacin de Born, lo que se est propagando en forma de onda(asociado al movimiento de las partculas) no es algo material sinouna magnitud representada matemticamente por (r, t), que se co-noce como funcin de onda y que posee el siguiente significado fsico:

Si en un instantet se realiza una medida para localizara la partcula asociada a la funcin de onda (r, t), la

probabilidad P(r, t)dV de encontrar a la partcula en undVcentrado en r viene dado por

P(r, t)dV = |(r, t)|2dV . (1.38)

Dado que la partcula evidentemente debe encontrarse en algn puntodel espacio, la probabilidad de encontrar a dicha partcula en algnpunto del espacio debe ser la unidad, por lo que debemos imponer lasiguiente condicin:

todo elespacio

|(r, t)|2 dV = 1 , (1.39)

que se conoce como condicin de normalizacin.

FLML Apuntes de CF


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Analicemos dos casos de inters:

Partcula libre

Dado que sobre una partcula libre no se ejercen fuerzas exter-nas, esta partcula no debe encontrarse en ciertos sitios con msprobabilidad que en otros. En consecuencia, la probabilidad deencontrarla en alguna posicin no debe depender de dicha posi-cin. Por otra parte, una partcula libre tiene perfectamente defi-nido su energa, E, y su momento, p, por lo que de acuerdo a lasrelaciones de de Broglie (p = hky E = h), su nmero de ondasy frecuencia estn igualmente definidas y, por tanto, es razona-ble suponer que su funcin de onda asociada pueda venir dadapor

(x, t) = Aej(p/h)xej(E/h)t . (1.40)

Partcula localizadaSi una partcula est localizada existir entonces ms probabili-dad de encontrarla en algunos sitios que en otros. Consecuen-temente P(x, t) debe depender de la posicin, lo cual se puedeconseguir si su funcin de onda asociada,(x, t),vienedadaporun grupo de ondas, por lo que podr expresarse como

(x, t) =k0+k

k0kA(k)ejkx ej(k)t dk . (1.41)

En este caso, la velocidad de la partcula vendr determinadapor la velocidad del grupo de ondas, esto es,

vg =ddk

=1h

dEdk

. (1.42)

Es interesante resaltar que la funcin de onda, , no es una mag-nitud estadstica, en el sentido de que describa el comportamiento deun colectivo muy numeroso de partculas que se manifiestan simult-neamente, sino que es una propiedad intrnseca de cada partcula,independiente del colectivo4. En este sentido, la interpretacin proba-

bilstica de Born nos impone una restriccin al conocimiento que po-demos tener sobre la partcula, es decir, todo lo que nos puede dar laFsica Cuntica sobre la posicin de una partcula es una informacin

4Cuando decimos que la probabilidad de sacar cara al lanzar una moneda es de1/2, estamos diciendo que al lanzar un colectivo numeroso de monedas al aire, muyaproximadamente la mitad de ellas ser cara y la otra mitad cruz. Al aplicar esa pro-piedad a un elemento del colectivo, le estamos atribuyendo a ste las propiedades queen realidad slo posee el colectivo. De hecho, en principio, si supisemos con exac-titud las condiciones que determinan el lanzamiento de una moneda (su posicin ymomento iniciales), podramos determinar con precisin el resultado de este even-to. Esto NO es lo que ocurre con las partculas cunticas sino que cada una de ellasindividualmente presenta un comportamiento que slo puede conocerse en forma

probabilstica

Apuntes de CF FLML


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1.6. Principio de Heisenberg 21

probabilstica acerca del posible resultado de una medida. Podemosver que este hecho dota a nuestro conocimiento sobre la partcula decierta incertidumbre, hecho que ser discutido con ms profundidaden el apartado siguiente.

1.6. Principio de Heisenberg

Si una cuerda es agitada de forma peridica, tal como muestra lafigura adjunta, y nos planteamos la pregunta de dnde est la onda?,entonces parece razonable responder que la onda est distribuida entoda la cuerda. No obstante, si la pregunta es cul es la longitud deonda?, entonces la respuesta puede ser ms precisa. No obstante, sien vez de agitar la cuerda peridicamente simplemente se ha agitadouna vez de modo que se ha generado un pulso que viaja por la cuerda,ahora la pregunta de dnde est la onda? podra ser respondida concierta precisin mientras que a la pregunta cul es la longitud de on-da? no encontraramos una respuesta precisa. Esta discusin pone demanifiesto que, en este fenmeno ondulatorio, una determinacin preci-sa de la longitud de onda hara ms imprecisa la determinacin de laposicin, y viceversa. Un estudio ms riguroso, basado en el anlisisde Fourier, nos permitira establecer que la imprecisin o incertidum-bre en la determinacin simultnea de los valores de la posicin y lalongitud de onda es algo inherente a todo fenmeno ondulatorio.

1.6.1. Principio de incertidumbreposicin/momento

Si tenemos en cuenta que todo fenmeno ondulatorio estar afec-tado intrnsecamente por la anterior incertidumbre en la medida desu posicin y longitud de onda y lo relacionamos ahora con la exis-tencia de la dualidad onda/corpsculo tanto para la radiacin como parala materia, parece entonces razonable prever la existencia de incerti-dumbre en la determinacin de ciertas magnitudes fsicas en cualquier

fenmeno natural. En este sentido, en 1927 W. Heisenberg postul elsiguiente principio para la medida de la posicin y el momento de unapartcula:

En un experimento NO es posible determinar simult-neamente y con toda precisin una componente del mo-mento de una partcula, por ejemplo px, y la posicinde la coordenada correspondiente x. Si representa laincertidumbre en la medida, encontraremos que

pxx

h . (1.43)

FLML Apuntes de CF


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Una manera de ver que la dualidad onda/corpsculo de la mate-

Relacin de incertidumbre parala posicin y el momento

ria est intrnsecamente relacionada con el anterior principio de incer-tidumbre puede obtenerse a partir de la determinacin de la posicinde una partcula hacindola pasar por una rendija de anchura x (s-ta sera justamente la incertidumbre en su posicin). Al pasar por larendija, la partcula sufrira difraccin debido a su carcter ondulato-

q

Dx

Dpxp

p

rio. El estudio de la difraccin de una onda plana que incide normal ala rendija muestra que, para la configuracin mostrada en la figura, elprimer mnimo de difraccin se produce para un ngulo tal que

sen =

x. (1.44)

Dado que la partcula llegar a algn punto comprendido entre losdos mnimos mostrados en la figura, podemos ver que el mximo deincertidumbre de la componente x del momento ser

px = p sen , (1.45)

donde p es el mdulo del momento de la partcula, que no habr cam-biado al atravesar sta la rendija. Teniendo ahora en cuenta la relacinde de Broglie (1.28) y las dos expresiones anteriores, podemos escribir

px =h

x(1.46)

y finalmentepxx = h . (1.47)

Notemos que el simple anlisis anterior, basado en el carcter ondula-torio de la partcula, nos ha conducido a una expresin que relacionalas incertidumbres de la posicin y el momento, siendo adems con-gruente con (1.43).

El principio de incertidumbre puede tambin relacionarse con laexistencia de un mnimo de accin, h, descrito en el Apartado 1.2.1.Debe tenerse en cuenta que cualquier descripcin de un fenmeno re-quiere cierta interaccin con dicho fenmeno. Debido a la existenciade un mnimo de accin, esta interaccin no puede hacerse infinitesi-mal, por lo que la correspondiente descripcin siempre estar sujeta acierta incertidumbre.

Es importante destacar tres puntos con respecto al principio de in-certidumbre:

1. La existencia de incertidumbre no se debe a deficiencias en lacalidad de los aparatos de medida. Incluso con aparatos idealesseguira existiendo una incertidumbre en la medida determina-da por (1.43).

2. El principio de incertidumbre no prohbe una medida exacta dela posicin o el momento. Ahora bien, una medida exacta en laposicin (esto es, x

0) implica una incertidumbre total en la

medida del momento, px , y viceversa.Apuntes de CF FLML


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3. La desigualdad (1.43) debe considerarse como algo intrnseco yfundamental del comportamiento de la naturaleza.

Consecuencias del principio de incertidumbreposicin/momento

Una consecuencia relevante del principio de incertidumbre es que,en un sentido estricto, no podemos seguir hablando de trayectorias delas partculas. Notemos que la existencia de una trayectoria definidaes simplemente la informacin simultnea y precisa acerca de las po-siciones y las velocidades (momento) de cierta partcula. Dado quela simultaneidad y precisin de ambas magnitudes no est permitidapor (1.43), debemos admitir que el concepto de trayectoria debe serrevisado y usado con mucha prudencia. No obstante, debemos tener

en cuenta que ms relevante que la incertidumbre absoluta en s es laincertidumbre relativa, esto es, el cociente entre la incertidumbre y elvalor de la magnitud. Veamos este hecho con el siguiente ejemplo.

EJEMPLO 1.6 Calcule la incertidumbre relativa en la determinacin del momen-to para el movimiento de (1) la Luna en su rbita alrededor de la Tierra y (2) elelectrn en el tomo de hidrgeno.

La LunaSabiendo que la masa de la Luna es m 6 1022 kg, que su velocidadmedia es v 10

3

m/s y que su posicin se determina con una incerti-dumbre de x 106m (con una incertidumbre tan pequea, px semaximiza), la incertidumbre en el momento vendr dada por

px hx

1028 kgm/s .Puesto que el momento puede calcularse como

px = mv 1025 kgm/s ,la incertidumbre relativa ser aproximadamente

pxp

x

1028

1025 1053 .

La incertidumbre relativa para el momento, incluso intentando maxi-mixarla, es tremendamente pequea; tanto que en la prctica sera to-talmente indetectable. Consecuentemente, para el caso de la Luna ensu rbita alrededor de la Tierra, el concepto de trayectoria es aplicable.

Electrn en tomo de hidrgenoCon el fin de obtener el mnimo de imprecisin en el momento, su-pongamos que la imprecisin en la determinacin de x es mxima, esdecir, que slo sepamos que el electrn est dentro del tomo. Da-do que el tamao del tomo vena dado por r0, entonces diremos quex r0 1010 m y, por tanto,

px hx 1024 kgm/s .

FLML Apuntes de CF


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Ntese que la incertidumbre absoluta en el momento es mayor para elelectrn que para la Luna. Para calcular p, tengamos en cuenta que laenerga cintica, Ec, del electrn en la rbita fundamental ser

Ec = E0/2 7eV 1,12 1018

J ,por lo que

p =

2meEc

2 9,3 1031 1,12 1018 2 1024 kgm/s .La incertidumbre relativa en el momento ser entonces

pxpx

1024

2 1024 0,5 ,

esto es, una incertidumbre relativa muy importante, lo que indica cla-ramente que no podramos hablar de la trayectoria del electrn en eltomo de H.

Otra consecuencia importante del principio de incertidumbre esque no existe reposo para las partculas localizadas. Supongamos una par-tcula que est localizada en cierta regin 0 x a. Ciertamente, lamxima incertidumbre en la localizacin de esta partcula es

(x)max = a ,

y, en consecuencia, la mnima incertidumbre en el momento ser

(px)min =h

a.

Teniendo en cuenta que el mnimo valor del momento, pmin, debe serdel orden del mnimo valor de su incertidumbre, entonces tenemosque

pmin (px)min ,por lo que la energa cintica mnima de la partcula tomar el valor

(Ec)min =p2min2m

h2

2ma2, (1.48)

esto es, una partcula localizada no puede estar en reposo (con energacintica nula).

1.6.2. Principio de incertidumbre energa-tiempo

Al igual que existe un principio de incertidumbre para la posiciny el momento, podemos encontrar un principio de incertidumbre parala energa y el tiempo. Este principio puede enunciarse como sigue

Principio de incertidumbreenerga-tiempo Et h , (1.49)

donde E debe entenderse como la incertidumbre energtica asociadaa la energa puesta en juego en cierta transicin y t como el intervalo

de tiempo que tarda el sistema en realizar dicha transicin.

Apuntes de CF FLML


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El principio de incertidumbre energatiempo puede tambin in-terpretarse diciendo que una determinacin de la energa de un sis-tema que presente una incertidumbre, E, debe tomar al menos unintervalo de tiempo

t hE

.

Anlogamente, si un sistema permanece en cierto estado durante untiempo no mayor que t, la energa en ese estado presentar una in-certidumbre de al menos

E ht

.

Cuando hablamos de la incertidumbre en la energa de cierto estadodebe entenderse que nos referimos a la incertidumbre en la energapuesta en juego en la transicin a otro estado de referencia, usualmen-

te el estado fundamental.

EJEMPLO 1.7 Se sabe que el tiempo de vida media, , de cierto estado atmicoes de 100 s. Determine (1) la incertidumbre en la energa de dicho estado y (2)la incertidumbre en la longitud de onda de la radiacin emitida en la transicinhacia el estado fundamental, sabiendo que en sta se emite una radiacin de = 100 nm.

1. El tiempo de vida media es una medida del tiempo que tarda en realizar-se cierta transicin, por lo que podemos identificar t

. La incerti-

dumbre en la energa puesta en juego en la transicin ser entonces

E ht

1,009 1034

104 1020J 6,25 102 eV .

2. En la transicin hacia el estado fundamental se emitir un fotn deenerga E = h, cuya incertidumbre E corresponde a la calculadaanteriormente. La longitud de onda de la radiacin emitida ser

=hc

E,

por lo que la incertidumbre en la longitud de onda, , vendr dadapor

=

ddEE = hcE2 E =

2

hcE

=(100 109)2

6,6 1034 3 108 1020 5 .

En este caso la incertidumbre relativa en la longitud de onda es bas-tante pequea

=

0,5nm100nm

= 0,005 .

FLML Apuntes de CF


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1.7. Problemas propuestos

1.1: La longitud de onda, max, para la cual la radiancia espectral de un cuerpo negroes mxima viene dada por la ley de Wien, que establece

maxT = 2,898 103 mK ,donde T es la temperatura absoluta del cuerpo negro. Sabiendo que la temperaturade la superficie del Sol es aproximadamente 5800 K, (a) calcular la longitud de ondade la radiacin ms intensa emitida por el Sol. (b) A qu parte del espectro perteneceesta radiacin?Sol. max 500 nm (espectro visible).

1.2: Si el ojo humano empieza a detectar luz amarilla de longitud de onda 5890 apartir de una potencia de 3,1 1016 W, Cul es el nmero mnimo de fotones quedeben incidir en el ojo para la luz amarilla se vea?.Sol. 923fotones.

1.3: Una superficie de potasio se encuentra a 75 cm de distancia de una bombilla de100 W. Suponiendo que el rendimiento luminoso de la bombilla es del 5 % y que cadatomo de potasio presenta una superficie efectiva equivalente a un crculo de 1 dedimetro,calcule el tiempo requerido por cada tomo para absorber una energa iguala la de su funcin trabajo (e = 2,0 eV), de acuerdo con la interpretacin ondulatoriade la luz.Sol. t = 57,6s

1.4: Una radiacin de 2,5 1015 Hz incide sobre una superficie metlica cuya fre-cuencia umbral es de 9 1014 Hz. Calcular la velocidad de los fotoelectrones emiti-dos. Qu ocurrira si la radiacin incidente fuese de 8,5 1014 Hz?.Sol. v = 1,52 106 m/s.

1.5: (a) Calcular la longitud de onda mxima de la luz que har funcionar una clulafotoelctrica dotada de un ctodo de tungsteno sabiendo que los fotoelectrones po-seen una energa cintica de 5.5 eV cuando son arrancados por una luz de = 1200.(b) Si esta radiacin de = 1200 e intensidad I = 2,5W/m2 incide sobre la clulafotoelctrica de 30 mm2 de superficie, siendo el rendimiento cuntico del 20 %, culsera la intensidad, i, de la corriente elctrica producida?.Sol. (a) max = 2570; (b) i = 1,45 A.

1.6: Para una radiacin de 1500 que incide sobre una superficie de aluminio quetiene una funcin trabajo de 4.2 eV, calcule (a) La energa cintica mxima de losfotoe-lectrones emitidos; (b) el potencial de frenado; (c) la frecuencia de corte del aluminio.Sol. (a) 4.09 eV; (b) 4.09 V; (c) 1,01 1015 Hz.

1.7: Se emite un haz de fotones mediante una transicin electrnica entre los niveles

E2 = 8 eV y E1 = 2 eV. Este haz luminoso de potencia P = 10W incide sobre un me-tal cuyo trabajo de extraccin es e = 2,5 eV, originando la emisin de electrones porefecto fotoelctrico con rendimiento = 0,8 (nmero de electrones emitidos/nmerode fotones incidentes). Calcular: (a) la energa, frecuencia y cantidad de movimientode los fotones; (b) la energa cintica de los fotoelectrones; y (c) el nmero de ellosque son emitidos por segundo.Sol. (a) = 1,45 1015 Hz; (b) p = 3,2 1027 kgm/s; (c) Ec = 3,5eV; N = 8 1012.

1.8: Se consideran los rayos X producidos debidos a la transicin de los niveles E2 =6,33KeV y E1 = 2KeV. Determinar: (a) la frecuencia de dichos fotones; (b) la potenciaemitida (en mW) cuando el nmero de transiciones por segundo es N = 1014 s1;y (c) la distancia (en ) entre dos planos reticulares contiguos de un monocristal,sabiendo que la reflexin de primer orden de esta radiacin se produce con un ngulode = 450.Sol. (a) = 1,05 1018 Hz; (b) P = 69mW; (c) d = 2,02.

Apuntes de CF FLML


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1.7. Problemas propuestos 27

1.9: Se ilumina con luz de 280 nm la superficie de una aleacin metlica rodeada deoxgeno. A medida que la superficie se oxida, el potencial de frenado cambia de 1.3a 0.7 eV. Determinar qu cambios se producen en: (a) la energa cintica mxima delos electrones emitidos por la superficie; (b) la funcin de trabajo; (c) la frecuencia

umbral; y (d) la constante de Planck.Sol. (a) Ec disminuye en 0,6 eV; (b) e aumenta en 0.6 eV; (c) 0 aumenta en 1,46 1014 Hz; (d) h no vara.

1.10: Experimentalmente se observa que no todos los fotones que chocan contra lasuperficie metlica son capaces de extraer un fotoelectrn. En un experimento, luzde longitud de onda 4366 ilumina una superficie de sodio de funcin trabajo 2.5eV dando lugar a una emisin de 8,3 103 C/J. Cuntos fotones se requieren paraemitir un fotoelectrn?.Sol. 365 fotones.

1.11: Suponer un tomo de hidrgeno en el estado n = 2 y un electrn en rbitacircular. Determinar: (a) el radio de la rbita; (a) la energa potencial elctrica; (a) laenerga cintica; y (a) le energa total del electrn en esa rbita.

Sol. (a) r = 2,12; (b) Ep = 6,79eV; (c) Ec = 3,39eV; (d) E = 3,39 eV.1.12: Cul es el mnimo potencial de aceleracin capaz de excitar un electrn parasacar un tomo de Hidrgeno de su estado fundamental?Sol. Va = 10,2 V.

1.13: En una transicin a un estado de energa de excitacin de 10.19 eV, un tomo dehidrgeno emite un fotn cuya longitud de onda es de 4890 . Determinar la energadel estado inicial del que proviene la desexcitacin y los nmeros cunticos de losniveles energticos inicial y final. A qu transicin corresponde?.Sol. 4 2.

1.14: Cul es el mayor estado que pueden alcanzar tomos no excitados de hidr-geno cuando son bombardeados con electrones de 13.2 eV?Sol. n = 5.

1.15: Si la vida promedio de un estado excitado del hidrgeno es del orden de 108 s,estimar cuntas revoluciones da un electrn cuando se encuentra inicialmente a) enelestado n = 2 y b) en el estado n = 15, antes de experimentar una transicin al estadofundamental. c) Comparar estos resultados con el nmero de revoluciones que hadado la Tierra en sus dos mil millones de aos existencia.Sol.: a) 8,22 106 rbitas; b) 1,95 104.

1.16: Calcular la energa, el momento lineal y la longitud de onda del fotn que esemitido cuando un tomo de hidrgeno sufre una transicin desde el estado 3 alestado fundamental.Sol.: E = 12,07eV, p = 6,44 1027 kgm/s, = 1030.

1.17: Para transiciones en tomos de hidrgeno correspondientes a n = 1, demues-tre que para valores muy grandes de n, la energa de la transicin viene dada por

E = 2(me c2/n3), siendo una constante adimensional, = 2

1

40e2

hc

, cuyo

valor numrico es 1/137.

1.18: Compare la frecuencia de revolucin en el tomo de hidrgeno con la frecuen-cia del fotn emitido en una transicin para la que n = 1 cuando los estados inicialesson a) n = 10, b) n = 100 y c) n = 1000.Sol.: A medida que n aumenta ambos valores se aproximan.

1.19: Un haz de partculas (q=+2e), que es acelerado mediante una diferencia depotencial de 10 V, incide sobre un cristal de NaCl (d = 2,82 ). Cul es el mximoorden de la reflexin de Bragg que puede ser observada?.Sol.: nmax = 125.

FLML Apuntes de CF


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1.20: Si un haz monocromtico de neutrones (mn = 1,67 1027 kg) incide sobre uncristal de berilio cuyo espaciado entre planos atmicos es de 0,732 , cul ser elngulo entre el haz incidente y los planos atmicos que d lugar a un haz monocro-mtico de neutrones de longitud de onda 0,1 ?.

Sol.: 3,9o

.1.21: El lmite de resolucin de un aparato es del mismo orden de magnitud quela longitud de onda usada para ver los objetos bajo estudio. Para un microscopioelectrnico que opera a 60000 V, cul es el tamao mnimo del objeto que puede serobservado con este microscopio?.Sol.: d 0,05.

1.22: Un electrn, un neutrn y un fotn tienen la misma longitud de onda, = 1 .Calcule y compare la frecuencia y energa de cada cual.Sol. electrn: = 3,64 1016 Hz, E = 151 eV; neutrn: = 1,98 1013 Hz, E =8,2 102 eV; fotn: = 3 1018 Hz, E = 1,24 104 eV.

1.23: Cul es la incertidumbre en la posicin de un fotn de longitud de onda 3000

, si su longitud de onda se conoce con una precisin de una parte en un milln?Sol. x 50mm.

1.24: La posicin de una partcula se mide al paso de sta por una ranura de anchurad. Hallar la correspondiente incertidumbre en el momento de la partcula.Sol. px h/x.

1.25: Cul sera la incertidumbre en la posicin de un electrn que ha sido aceleradomediante una diferencia de potencial V = 1000 0,1?.

1.26: Si el ancho de energa deun estado excitado de un sistema es de 1.1 eV. (a) Cules el promedio de duracin en ese estado?; (b) Si el nivel de energa de excitacin delestado del sistema fuera de 1.6 keV, cul es la mnima incertidumbre en la longitudde onda del fotn emitido cuando el estado excitado decaiga?Sol. (b) 5 103 .1.27: La ley de conservacin de la energa slo puede verificarse dentro de los lmitesde la incertidumbre de la medida, E. Consecuentemente esta ley podra ser violadasi el intervalo de tiempo es suficientemente corto. Durante qu mximo intervalo detiempo puede violarse la conservacin de la energa de un sistema en (a) eldobledelaenerga correspondiente a un electrn en reposo, mc2 (lo que corresponde a un fotnque produce espontneamente un par electrnpositrn); (b) el doble de la energaasociada a la masa en reposo de un protn ?.Sol. (a) 1,27 1021 s.

1.28: Un tomo emite fotones de luz verde, = 5200 durante un intervalo =2 1010 s. Estime la dispersin, , en la longitud de onda de la luz emitida.Sol. 7,17 10

13

m.

Constantes: c = 3 108 m/s, 1 eV=1,6 1019J; h = 6,6 1034Js = 4,1 1015 eVs;me = 9,1 1031 kg.

Apuntes de CF FLML


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Captulo 2

Ecuacin de Schrdinger.Aplicaciones

2.1. Ecuacin de Schrdinger

La primera formulacin que se realiz de la teora cuntica aportuna visin novedosa y revolucionara de multitud de fenmenos. Noobstante, esta teora presentaba una seria de inconvenientes, entre losque cabe destacar lo siguiente:

Slo era aplicable a sistemas peridicos.

No explicaba las diferentes probabilidades de transicin entredistintos niveles energticos.

No explicaba el espectro de los tomos multielectrnicos.

Asignaba trayectorias a los electrones, lo cual es incompatiblecon el principio de incertidumbre.

Bsicamente, lo que faltaba era una teora unificadora que diera cuen-ta de los diversos fenmenoscunticos, a saber: dualidad onda/corps-culo de la radiacin/materia, principio de incertidumbre, naturaleza

probabilstica de los fenmenos, etc.Tal como ya se apunt en el Apartado 1.5.3, la descripcin de los

fenmenos cunticos se realizar a travs de una funcin de onda,(r, t), que describe completamente el estado de un sistema dado. Apartir de esta funcin de onda se podrn obtener los valores mediosde las distintas magnitudes observables asociadas al sistema as comola probabilidad de encontrar a las partculas en distintos puntos delespacio. Puede, por tanto, concluirse que

el problema central de la teora cuntica es la deter-

minacin de la funcin de onda (r, t).

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30 Captulo 2. Ecuacin de Schrdinger. Aplicaciones

En 1925, E. Schrdinger plante como un postulado la ecuacin di-ferencial que permite calcular la funcin de onda, (r, t), cuando seconoce la energa potencial, Ep(r, t) (o a menudo simplemente poten-cial), de la que derivan las interacciones que actan sobre el sistema.Para el caso de un sistema monodimensional, la ecuacin de Schrdin-ger para la funcin de onda (x, t) es

Ecuacin de Schrdinger paraun sistema monodimensional h

2

2m2

x2+ Ep(x, t) = jh

t. (2.1)

Es interesante notar que la solucin de esta ecuacin ser, en general,una funcin compleja debido a la aparicin de la unidad imaginaria, j,en el segundo miembro. Esto implica que el uso de funciones comple-jas no ser un recurso matemtico (tal como se hace, por ejemplo, en elestudio de corriente alterna y en las ondas en Fsica Clsica) sino que,

por el contrario, forma parte esencial de la propia teora.La funcin de onda (x, t) debe cumplir las siguientes condiciones:

Tanto (x, t) como su derivada espacial deben ser funcionescontinuas, finitas y monoevaluadas.

De acuerdo a la expresin (1.39), debe cumplirse la siguientecondicin de normalizacin (ver Apndice C):

|(x, t)|2 dx =

(x, t)(x, t) dx = 1 , (2.2)

que nos dice que la probabilidad de encontrar a la partcula enalgn punto x debe ser igual a la unidad (es decir, la partculadebe estar en algn sitio).

A partir de la expresin (1.38), podemos establecer que

(x, t)(x, t)dx =

probabilidad de encontrar a lapartcula en el instante tentre x y x + dx

, (2.3)

por lo que el valor esperado1 en una posible medicin de la posicin dela partcula vendr dado por

x =xdx (2.4)

(en analoga con la expresin (C.5) del Apndice C). Para cualquierotra magnitud, f(x), que sea funcin de x, su valor esperado podrcalcularse mediante

f(x) =f(x)dx . (2.5)

1En el contexto de la Fsica Cuntic

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