Rev.R.Acad.Cienc.Exact.Fís.Nat. (Esp)Vol. 104, Nº. 2, pp 427 444, 2010XII Programa de Promoción de la Cultura Científica y Tecnológica

UN PASEO POR EL INFINITOFERNANDO BOMBAL GORDÓN *

* Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. Valverde 22, 28004 Madrid. Facultad de Matemáticas. Universidad Complutense. 28040 Madrid.

1. INTRODUCCIÓN

Pocos conceptos han inquietado y fascinado tanto alos pensadores de todas las épocas como el del infinito.Jorge Luis Borges (1899-1986), uno de los escritoresque más y mejor han tratado el tema desde el punto devista literario, en su obra Avatares de la tortuga [Bg, p.254], escribe:

Hay un concepto que es el corruptor y el desatinadorde los otros. No hablo del Mal, cuyo limitado imperio esla ética; hablo del Infinito.

La sensación de pequeñez y apabullamiento queprovoca la idea de infinito en relación con nuestrasexperiencias personales lo expresa muy claramentePascal cuando dice:

Cuando considero la limitada extensión de mi vidacomparada con la eternidad […] o la pequeña parte deespacio que puedo tocar o ver, sumergido en la inmen

sidad infinita de espacios que no conozco […] sientomiedo y asombro al verme aquí en lugar de allí, ahoraen vez de entonces.([Pa ], P. 427).

Los griegos parece que fueron los primeros, comoen tantas ocasiones, en abordar rigurosamente el pro-blema del infinito y, como veremos, los resultados nofueron muy satisfactorios que digamos. La palabra queutilizaron para designar los distintos aspectos delinfinito fue απειρου (ápeiron), formada por el prefijonegativo α y la raíz πειρο (límite), que literalmente sig-nifica ilimitado, pero también indefinido, totalmentedesordenado, infinitamente complejo, etc. En palabrasde Aristóteles (384-322 a. d. C.), “… ser infinito esuna privación, no una perfección…” (Física,III.7.208a)

Lo cierto es que hay muchos aspectos de la realidadque parecen apuntar hacia la existencia real de infi-nitos: por ejemplo, el tiempo parece prolongarse haciaJorge Luis Borges

Pascal

ginal, y a partir de entonces volverían a repetirse losmismos acontecimientos: habría otra guerra de Troya,otra Alejandría e incluso otro Platón. Por tanto, nohabría una infinidad de acontecimientos ya que encada recorrido del ciclo completo o gran año, vol-verían a repetirse los mismos. De hecho, ni siquierahace falta hablar de una infinidad de ciclos: el mismociclo puede repetirse una y otra vez.

La teoría del los ciclos cósmicos reaparece con fre-cuencia a lo largo de la historia: En la mitología hindú,en mundo es periódicamente destruido y creado a lolargo de ciclos cósmicos muy largos; los antiguoschinos habían calculado un ciclo cósmico de 23.639años, producido por interacción de los principios deying y el yang. La misma idea, aunque con ciclos máscortos, reaparece entre los mayas y los aztecas, etc.

La aceptación por parte de la Iglesia Católica deque el Universo fue creado por la divinidad en unmomento dado, implica el abandono de la teoría deltiempo circular y la introducción de un tiempo lineal.Al fin y al cabo, la doctrina cristiana se centra en lamuerte y resurrección de Jesús, y este debe ser unhecho absolutamente singular, ya que si se repitieseuna y otra vez en sucesivos ciclos cósmicos, desapare-cería en significado mismo de la Redención2.

Pero si hubo una Creación en un momento espe-cífico del tiempo, ¿qué había antes?, ¿qué hacía Diosantes de crear el Cielo y la Tierra? Se dice que SanAgustín (354-430) dio la siguiente respuesta:“Preparar el Infierno para quienes hacen semejantespreguntas”. Pero, realmente, la solución dada por SanAgustín al problema fue, como era de esperar de unhombre excepcional, tremendamente original: antes dela Creación, simplemente el tiempo no existía. Eltiempo y el Cosmos aparecieron conjuntamente. Laeternidad de Dios no es un tipo de tiempo; al contrario,Dios subsiste eternamente fuera del tiempo. Hay que

hacer notar la semejanza de este argumento con lasteorías cosmológicas recientes del Big Bang, confir-madas teóricamente por el teorema de Hawking-Penrose de 1970 sobre la existencia de una singula-ridad al comienzo del Universo.

Las profecías sobre el fin de los días señalan que eltiempo en la teología cristiana resulta ser finito. Por elcontrario, se introduce un infinito actual claro: Dios oel Absoluto.

En cuanto al espacio, los astrónomos griegos (yAristóteles con ellos) sostenían que el Universo estabaformado por una serie de esferas en movimiento, concentro en la Tierra, que contenían los distintos objetosque se observaban en el Cielo: la Luna, el Sol, loscinco Planetas y las Estrellas Fijas. Por tanto, nuestrouniverso es acotado y finito. Respecto a la preguntaobvia de qué hay más allá de la última esfera,Aristóteles mantiene que “lo que está limitado, no loestá en referencia a algo que lo rodee” (Física,III.8.208a).

El primer argumento clásico contra la finitud delespacio aparece explícitamente en De Rerum Natura,del poeta Lucrecio (94-50 a. de C.), y es el siguiente:si el espacio fuera limitado, supongamos que alguienllega hasta el mismo borde y lanza un dardo; entonces,o bien el dardo atraviesa el borde (en cuyo caso no esrealmente el borde del espacio) o se para, en cuyo casose trata efectivamente de una frontera y hay algo másallá del borde3. Este argumento es similar al atribuidoal pitagórico Arquitas de Tarento (430-360 a. de C.)para probar que el Cosmos visible (limitado) existía enun vacío infinito: si alguien se encuentra al borde deluniverso y extiende un brazo hacia el exterior, lotenderá al vacío; si ahora se coloca un poco más afueray lo vuelve a tender, y repite el proceso indefinida-mente, resultará que el exterior del universo seríainfinito (incidentalmente, para Aristóteles este argu-

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2 San Agustín señaló que “Cristo murió una vez por nuestros pecados; y, alzándose entre los muertos, no murió más.” Por otro lado, la repetición incesante de los mismos acontecimientos apoyaría la pretensión de los astrólogos de poder predecir el futuro mediante el estudio de laposición de los astros en el firmamento, lo que también le parecía impío a San Agustín. La idea del tiempo cíclico fue sistemáticamente combatida por la Iglesia y así, por ejemplo, cuando en 1277 el obispo de París Etienne Tempier recopiló 219 creencias heréticas; la teoría deltiempo cíclico ocupaba el número 6 de la lista.3 El punto débil de la teoría de Aristóteles es que si el Cosmos es una esfera finita, tiene un borde, y el argumento de Lucrecio se puede aplicar. Ahora sabemos que se pueden concebir modelos cosmológicos finitos y sin borde, como puede ser la superficie de una hiperesfera, lo queharía más defendible la idea de Aristóteles.

mento sólo probaría que caso de existir el vacío seríapotencialmente infinito). La idea de un vacío infinitofue también mantenida por algunos teólogos medie-vales, que sostenían que Dios debía disponer de unespacio infinito en donde estar omnipresente.

Durante la Edad Media, el modelo cosmológicogriego (esencialmente formalizado por Ptolomeo) fueasumido sin discusión, salvo ligeras modificacionespara adaptarlo a las nuevas observaciones realizadas.La revolución astronómica llevada a cabo por N.Copérnico y J. Kepler4 en los siglos XVI y XVII,acabó con este modelo y planteó de nuevo la posibi-lidad de un espacio infinito. Tras el precedente deLucrecio, un inglés, Thomas Digges, publicó en 1576una obra de divulgación sobre la teoría de Copérnico ydescribió un Universo donde las estrellas eran otrossoles, esparcidos por un espacio infinito. GiordanoBruno (1548-1600) defendió apasionadamente la ideade un Universo infinito, tanto en el espacio como en eltiempo; en él existirían infinitos mundos, muchos deellos habitados por otros seres humanos (Del infinitoUniverso y Mundos, 1584). Sus teorías planteaban tre-mendos problemas teológicos y contradicciones conmuchas afirmaciones contenidas en la Biblia: laCreación había tenido lugar en un momento deter-minado del tiempo y el mundo no había existido eter-namente, como afirmaba Bruno. Sólo hubo una Caíday una Redención. ¿Cómo podían participar de estoshechos los habitantes de los otros mundos? ¿Habíasido Cristo crucificado en todos los mundos, o existíanseres humanos sin pecado original? En 1591, Brunofue detenido por la Inquisición y, tras nueve años deinterrogatorios y torturas, fue quemado en la Plazaromana de Campo di Fiori en 1600.

La rápida difusión y amplia popularidad de lasteorías de Copérnico y Kepler, a pesar de la oposiciónde la Iglesia, se debió en gran parte al trabajo del ini-ciador de la Revolución Científica que iba a cambiarsustancialmente las ideas sobre la Naturaleza y elUniverso: Galileo Galilei (1564-1642). Su descubri-miento del telescopio en 1609 y sus observaciones y

teorías sobre la Naturaleza se difundieron rápidamentepor toda Europa. A ello contribuyeron sin duda suslibros, dirigidos a un público muy amplio y quetuvieron un enorme éxito. Por ejemplo, su famosoDiálogo sobre los dos máximos Sistema del Mundo (serefiere al Ptolomeico y al Copernicano), publicado en1632, estaba escrito en italiano, en lugar de latín, queera la lengua científica por excelencia.

Si bien no contiene pruebas concluyentes delsistema copernicano (y alguna de las teorías que pro-pugna son completamente erróneas, como el capítulodedicado a las mareas), El Diálogo contribuyó decisi-vamente a demoler la cosmología aristotélica y señalólas pautas a seguir por la nueva Revolución Científicaen ciernes.

El éxito de El Diálogo fue inmenso en todaEuropa… y atrajo la atención de la Inquisición, queprohibió su venta y llamó a juicio a Galileo. En juniode 1633, reafirmando el dictamen de la Inquisición de1616 sobre la teoría copernicana, un tribunal de 7 car-denales declaró absurda, falsa en Filosofía y heréticala afirmación de que el Sol ocupa el centro delUniverso y que la Tierra no está inmóvil en el centrodel mundo. y obligó a Galileo, a rectractarse de suscreencias. Tras la abjuración, fue condenado a unaespecie de arresto domiciliario de por vida, muriendoen su hogar, cerca de Florencia, en 1642. A pesar de sureclusión y amargura, siguió trabajando incansable-mente, y en 1638 apareció su Discorsi e dimostrazionimatematiche in torno a due nove scienze attenanti allamecanica i movimenty locali, en el que hace un estudiosistemático y revolucionario sobre el movimiento delos proyectiles, formula la ley de composición demovimientos, la del movimiento uniformemente ace-lerado y aborda el estudio del péndulo.

La comprobación por parte de los astrónomos deque al aumentar la potencia de sus telescopios se des-cubrían más y más estrellas, cada vez más lejanas, hizoque fuera arraigando con fuerza la idea de un Universoinfinito. El mismo Galileo se inclinaba por esta opción,

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4 Kepler no solamente formuló las famosas 3 leyes del movimiento planetario (las dos primeras se incluyen en Nova Astronomia, en 1609, yla tercera en Harmonices Mundi en 1619). También escribió un texto sobre el cálculo del volumen de las barricas de vino (y de paso el decerca de 90 sólidos de revolución), innumerables horóscopos y hasta una novela de ciencia ficción: Somnium (publicada en 1634), en la quedescribe un viaje a la Luna, que resulta estar habitada. La cara orientada siempre hacia la tierra (Subvolva) está ocupada por un pueblo máso menos civilizado, mientras que el hemisferio opuesto (Privolva) sustenta una civilización nómada.

aunque nunca dio por zanjada la cuestión. La causa deestas dudas, que contrastan con la facilidad con la quemuchos de sus contemporáneos aceptaron la idea de unUniverso infinito, probablemente se debe a las propie-dades paradójicas que él mismo había descubierto delinfinito matemático (véase la Sección siguiente.)

Pragmático como era, en una carta que escribió en1649 a Fortunio Liceti, un Profesor de la Universidadde Padua, manifestó que no podía concebir un uni-verso finito y limitado ni un universo infinito e ili-mitado5. El hecho de que lo infinito no pudiera sercomprendido por el intelecto finito del hombre, leinducía a inclinarse por la segunda posibilidad: ¡eramejor sentirse desconcertado ante lo incomprensibleque verse incapaz de comprender lo finito!

El hombre encargado de desarrollar el programa deGalileo, Isaac Newton (1642-1727), creía, como G.Bruno, que el espacio era infinito y estaba ocupado porun Dios omnipresente. Su primer argumento en apoyode esta idea se encuentra en una carta escrita al clérigoRichard Bentley en 1692: Si el universo fuera finito—dice Newton— la gravedad determinaría que toda lamateria se concentrara finalmente en un punto. Por elcontrario, en un universo infinito cualquier astro expe-rimentaría fuerzas gravitatorias en todas direcciones.

El argumento de Newton se basa en su concepciónde un espacio infinito y estático. Hoy sabemos queesto no es así. Además, el Universo visible tiene unaestructura granulosa, no homogénea: las estrellas sedistribuyen en galaxias, muy distantes unas de otras.Los efectos gravitacionales del resto de las galaxiasson despreciables frente a los que originan las estrellasde la propia galaxia. Y sin embargo, las galaxias per-manecen estables a lo largo de muchos millones deaños, ya que su rotación impide el colapso que pre-decía Newton. Claro está que Newton no sabía de laexistencia de otras galaxias distintas de nuestra propiaVía Láctea, y las observaciones de los astrónomoscontemporáneos suyos parecían mostrar que lasestrellas se hallaban uniformemente distribuidas en elespacio, lo que servía de apoyo a su argumento.

Aunque nadie había encontrado un argumento con-cluyente que probara que el universo es infinito, lamayoría de los científicos de la época se inclinaban poresta idea. Sin embargo, el astrónomo real EdmondHalley (1656-1742) (que, por cierto, había financiadola primera edición de los Principia de Newton), creyóhaber encontrado un argumento en contra de la infi-nitud del Universo: Si lo fuera —argumentabaHalley—contendría infinitas estrellas, y no habríalugar en el cielo al que uno pudiera dirigir la miradasin que la línea de visión se encontrara con unaestrella. Por tanto, ¡el cielo en la noche debería apa-recer tan brillante como durante el día! En la actua-lidad este argumento se conoce como Paradoja deOlbers, por el astrónomo alemán H. Olbers, que laredescubrió en 1826. El mismo Olbers creyó haberencontrado una explicación: la luz de las estrellaslejanas podría ser absorbida por grandes masas demateria interestelar intermedias. Pero si esto sucediera,con el tiempo esta materia intermedia se calentaría,hasta hacerse tan brillante como las mismas estrellas.Se puede argumentar que, incluso en un universoinfinito con infinitas estrellas, éstas podrían estar asi-métricamente distribuidas y existir algunos sectores(infinitos) del cielo sin estrellas. Pero esta hipótesisparece poco natural (y contradice las observacionesastronómicas.) La hipótesis del Big Bang, amplia-mente aceptada en la actualidad, permite explicarfácilmente la paradoja: si se admite que el Universotuvo su origen en una gran explosión, hace unos15.000 millones de años, aunque el espacio fuerainfinito y con infinitas estrellas sólo podríamos per-cibir las que estuvieran situadas a menos de 15.000millones de años luz y, además, la luz emitida por lasmás lejanas habría sufrido un enorme desplazamientohacia el rojo (convirtiéndose de hecho en ondas deradio).

En el momento actual, aún no tenemos una res-puesta definitiva a la pregunta de si el espacio es finitoo infinito. A lo largo del siglo XX han ido apareciendoimportantes datos empíricos que parecían inclinar larespuesta en una dirección, para después corregirla ensentido contrario. Si se acepta la Teoría de la Rela-tividad, la respuesta dependerá de la curvatura del

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5 Más de un siglo después, el filósofo I. Kant (1724 1804) presentó una serie de argumentos contra la existencia tanto de una espacio o tiempo finitos como la de un espacio o tiempo infinitos, a fin de sustentar su teoría de que el tiempo y el espacio no son realidades objetivas, sinoque son creaciones de la mente humana.

espacio: si ésta es positiva, el Universo se cerrarásobre sí mismo y será finito; si la curvatura es negativao 0, el Universo será infinito. Por otro lado, la idea deun Universo en el que tiempo y espacio deben serfinitos y sin frontera es defendida por muchos cosmó-logos modernos, con S. Hawking a la cabeza (Cfr.[Ha; pág. 182 y sgs.])

2.2. Lo infinitamente pequeño.

En la Sección anterior hemos analizado algunosaspectos de la realidad que pueden interpretarse comoinfinitos. Nos preguntamos ahora por la existencia delo infinitamente pequeño en el mundo físico. Es claroque el espacio matemático euclídeo consta de infinitospuntos matemáticos. Pero cualquier fenómenoobservado o percibido se extiende necesariamente a lolargo de una cierta región del espacio y/o el tiempo.Por lo tanto, cuando nos preguntamos por la existenciade lo infinitamente pequeño en la naturaleza, real-mente lo que queremos saber es si el espacio y eltiempo son infinitamente divisibles.

Para Aristóteles la respuesta es afirmativa, y lopone claramente de manifiesto con su definición decontinuo: Lo que puede dividirse en partes que soninfinitamente divisibles (Física, VI. 232b). Notemos,

sin embargo, que esto no contradice su rechazo demagnitudes infinitas reales, ya que si bien un cuerpomaterial o un intervalo de tiempo pueden dividirseindefinidamente, como nadie puede realizar esas infi-nitas divisiones, no puede decirse que el conjunto departículas del objeto o de instantes de tiempo seainfinito realmente, sino sólo en sentido potencial6. Porel contrario, para Hilbert, “la divisibilidad infinita deun continuo es exclusivamente una operación del pen-samiento, una idea que la observación de la natu-raleza y la experimentación en la física y la químicarefutan” [Hi]

Como sabemos, la mayoría de las teorías sobre lanaturaleza de la materia que se han desarrollado a lolargo de la historia, se inclinan hacia la existencia deelementos o partículas básicas e indivisibles que com-pondrían, por agregación, todo lo existente: primero,los cuatro elementos clásicos de la Antigüedad griega(Aire, Tierra, Fuego y Agua), que al mezclarse endiversas proporciones, originarían todas las demás sus-tancias. Después, los Alquimistas agregaron al sistemanuevas sustancias “elementales”, como ciertas sales,esencias, etc.. Los primeros químicos encontraron unanueva unidad fundamental de cada sustancia: lamolécula. Posteriormente, se comprobó que las molé-culas podían a su vez descomponerse en unidades mássimples, llamadas átomos, de los que se pensó que

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6 Ya Anaxágoras (500 428 a.d.C.) había escrito: “No existe lo más pequeño entre lo pequeño ni lo más grande entre lo grande, sino siempre algo todavía más pequeño y algo todavía más grande”.

Figura 1

En un conjunto infinito, si uno pudiera concebir tal cosa,nos veríamos forzados a admitir que hay tantos cuadradoscomo números.

En otro lugar, Galileo constata que si se considerandos circunferencias concéntricas y se trazan radiosdesde el centro común, haciendo corresponder a cadapunto A de la circunferencia pequeña el único punto dela circunferencia grande el que el radio que pasa por Ala corta, se establece una correspondencia biunívocaentre los puntos de la circunferencia grande y los de lacircunferencia pequeña y por tanto, ambos conjuntos(infinitos) de puntos, tienen el mismo número de ele-mentos.

La conclusión que obtiene Galileo de estos hechoses que

“Esta es una de las dificultades que surgen cuandointentamos, con nuestra mente finita, discutir el infinito,asignándole las mismas propiedades que damos a lofinito y limitado. Creo que esto es un error, pues no sepuede decir de [dos] cantidades infinitas que una seamayor, menor o igual que otra…

En una carta escrita en 1692, I. Newton (1642-1727) coincide con Galileo al decir que “Los infinitos,cuando se consideran sin ninguna limitación o restric-ción, no son ni iguales, ni distintos, ni guardan ningu-na proporción uno respecto de otro”.

G. Leibniz, (1646-1716), el co-descubridor delCálculo, conocedor de los ejemplos de Galileo, dijo enuna ocasión que “Nada es más palpable que lo absur-do de la idea de un número infinito”, aunque parececontradecirse cuando en otro lugar escribe “Estoy tana favor de la realidad del infinito que, en lugar deadmitir que la Naturaleza lo abomina, como se dicevulgarmente, creo que la afecta por todas partes, paraexhibir mejor las perfecciones de su Autor.”

En general, la actitud de los matemáticos ante elproblema del infinito actual durante los 200 añossiguientes fue similar a la de Galileo: ignorarlo yseguir adelante, cuando no rechazar completamente suexistencia.

Mejor suerte tuvo la consideración de elementosinfinitamente pequeños en matemáticas. Primero, através de la consideración de indivisibles geométricos,esto es, la interpretación de las áreas planas como unainfinidad de líneas, o los volúmenes como formadospor una infinidad de secciones planas, de modo querecombinándolos adecuadamente se pudiera calcularel área o el volumen considerado. Por supuesto queestas consideraciones eran claramente inconsistentes ydaban origen a paradojas y contradicciones, pero enmanos de personas como J. Kepler (1571-1630) o B.Cavalieri (1598-1647) se convirtieron en métodosefectivos de cálculo de muchas áreas y volúmenes. Y,lo que es más importante, su aritmetización, es decir,la interpretación cuantitativa de esos indivisiblesmediante la asignación de reglas de cálculo efectivacon ellos, dio origen a la noción de infinitésimo, basedel desarrollo espectacular del Cálculo Diferencial porgenios como Newton o Leibniz, que constituyó laherramienta esencial para la matematización de lanaturaleza y la gran Revolución Científica comenzada

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Galileo Galilei

Figura 5

en el siglo XVII. De nuevo la noción de infinitésimoera lógicamente inconsistente y fue ampliamente criti-cada, pero funcionaba y su éxito fue espectacular. Noobstante, la acumulación de paradojas y contradiccio-nes por el uso indiscriminado de los métodos infinite-simales fue aumentando la inseguridad de los matemá-ticos en la utilización de los aborrecibles pequeñosceros, como los llama el historiador C. Boyer, y con-dujo a la refundación crítica del Cálculo en términosde la noción de límite. Pero un análisis más detalladode esta situación alargaría demasiado esta exposición,por lo que remitimos al lector interesado a [B1] o [Bo]y a las referencias que allí se citan, para volver a cen-trarnos en la evolución y desarrollo de los métodospara tratar el infinito actual en matemáticas.

3.3. El Infinito Actual en Matemáticas.

Como ya hemos dicho, la actitud predominante delos matemáticos posteriores a Galileo respecto al pro-blema del infinito fue un tanto hipócrita, pues la mayo-ría lo ignoraron, cuando no rechazaron enfáticamentesu existencia, aunque utilizaron implícitamente suspropiedades en muchos razonamientos.

Así, por ejemplo, el gran C. F. Gauss (1777-1855)escribe en una carta a uno de sus corresponsales en1831: “En lo que concierne a su demostración […]protesto contra el uso que se hace de una cantidadinfinita como una entidad real; esto nunca se permiteen matemáticas. El infinito es sólo una manera dehablar…”

En el mismo sentido se manifestó Cauchy quien,en su Cours d’Anayse, describe el infinito como “unacantidad variable, cuyo valor se incrementa sin límitey puede sobrepasar cualquier cantidad dada”, esdecir, el viejo infinito potencial de Aristóteles.Posturas similares eran las defendidas por la mayoríade los matemáticos contemporáneos.

Más radical se mostró L.Kronecker (1832-1891),para quien sólo los objetos matemáticos que podíanconstruirse con un número finito de etapas a partir delos naturales, tenían sentido (es, pues, el primer repre-sentante de la corriente intuicionista o constructivistaen Matemáticas). Al parecer, cuando Lindemannprobó la trascendencia de π en 1882, Kronecker le

dijo: “¿De qué sirve su bello trabajo sobre π? ¿Porqué estudiar estos problemas, si los números irracio-nales no existen?.

Las propiedades paradójicas de las magnitudes infi-nitas, explicitadas por Galileo, pero conocidas conseguridad mucho antes, se basan esencialmente en lasdos afirmaciones siguientes:

I.- Dos colecciones son del mismo tamaño si y sólosi sus elementos se pueden emparejar entre sí pormedio de una correspondencia biunívoca.

II.- Una colección tiene un tamaño mayor que cual-quiera de sus partes propias.

La primera afirmación parece indiscutible y es labase del proceso mismo de contar. En cuanto a lasegunda, es también un principio firmemente estable-cido; de hecho, figura como uno de los axiomas de LosElementos de Euclides, concretamente como la“noción común” nº 5, en la forma El todo es mayor quela parte. Recordemos que estas nociones comunescorresponden a axiomas generales o “verdades eviden-tes” no específicas de la Geometría. Es difícil rechazarcualquiera de las dos afirmaciones, y de ahí la dificul-tad de aceptar la existencia real de infinitos.

El matemático y teólogo checo B. Bolzano (1781-1848) fue el primero en aceptar explícitamente la exis-tencia de infinitos actuales y realizar los primerosintentos para su estudio y manejo. Tres años despuésde su muerte, en 1851, apareció su obra Paradoxiendes Unendlichen (Paradojas del infinito [Bol]), en la

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B. Bolzano

los bucles extraños en la teoría de conjuntos y la ló gicapor medio de una jerarquización exhaustiva del tipo deproposiciones que se puede utilizar en cada proceso.Desde luego, su aplicación para el desarrollo de lasmatemáti cas usuales provocaría enormes dificultades.Y siempre quedaría la pregunta funda mental: ¿es con-sistente el sistema desarrollado en los Principia? (esdecir, a salvo de contradicciones).

El otro intento de resolver las antinomias fue tratarde restringir la noción de conjunto y establecer cuida-dosamente sus reglas de uso, es decir, axiomatizar lateoría. El primero en abordar seriamente el problemafue E. Zermelo, de quien ya hemos hablado. En 1908publicó su sistema axiomático (que incluía el Axiomade Elección), desarrollado y mejorado posteriormentepor A. Fraenkel (1891-1965), dado origen a lo que seconoce como Axiomática de Zermelo-Fraenkel o ZF,que es la que se utiliza habitualmente. En la axiomáti-ca ZF y en todas sus variantes, hay un axioma del infi-nito que asume explícitamente la existencia de un con-junto infinito (tipo Dedekind). Este axioma es inde-pendiente del resto de los axiomas: pueden construirsemodelos del resto de los axiomas con infinitos elemen-tos, pero en los que ninguno de sus miembros es infi-nito. Mencionemos, sin embargo, que existen variantesde axiomáticas de la teoría de conjuntos sin axioma delinfinito, en las que la mayoría de la teoría elemental denúmeros y combinatoria puede desarrollarse, pero,obviamente, no la mayor parte del resto de la matemá-tica (es decir, la mayoría de la matemática actual). Estaes la razón por la que los llamados formalistas, comoHilbert o Robinson, que no creen en la existencia realde conjuntos infinitos, aceptan el axioma del infinitocomo una convención útil para obtener resultados.

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