Un poco de Geometría y Topología 25 octubre 2011 Vicente Muñoz La forma del Universo.
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Un poco de Geometría y Topología
25 octubre 2011Vicente Muñoz
La forma del Universo
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¿Cómo es nuestro universo?
Mirando a pequeña escala, parece ser rectilíneo con tres direcciones. Pero, ¿es sólo un efecto óptico del pequeño trozo de espacio al que podemos mirar?
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Pietro Vesconte, mapa de 1321 Foto actual de la Tierra
¿Cómo era y cómo es la Tierra?
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El mapa de nuestro universo
?
Representación local del universo (NASA)Lado = 500 millones años-luz
Forma real de nuestro universo
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La forma del Universo
• ¿Cómo representar un espacio de dimensión tres?
• ¿Cuántas posibles formas de espacios de tres dimensiones hay?
• ¿Qué propiedades de nuestro Universo nos pueden decir qué forma tiene?
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Planilandia: un universo de dimensión 2
Presunta ruta de Planito
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Planito cree vivir en una esfera
Segundo viaje
Primer viaje
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Planilandia, ¿la superficie de un flotador?
Segundo viaje
Primer viaje
toro
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Otras posibles formas
Superficie de género g = 3
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Topología: estudia la forma de los objetos (se permite deformarlos)
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¡Un topólogo no distingue un donut de una taza!
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Un universo con “puertas inter-espaciales”
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Topológicamente, es ...
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... pegar un asa
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Superficies (compactas, sin borde, orientables)
Las superficies se clasifican de acuerdo a su género g.
• g = 0. Esfera.
• g = 1. Toro (una esfera con un asa).
• g 2. Esfera con g asas.
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¿Cómo averigua Planito el género?
Característica de Euler-Poincaré
χ = vértices – aristas + caras
Se tiene χ = 2 – 2g , de donde se obtiene g
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Geometría: estudia las propiedades métricas de los objetos: longitudes, ángulos, …
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Curvatura: κ = (α + β + γ 180º) /área
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Geometrías isotrópicas
• Las propiedades métricas no dependen del punto de la superficie. Planito ve su universo igual en cualquier lugar.
• Las propiedades métricas no dependen de la dirección. Planito ve su universo igual en cualquier dirección.
La curvatura κ es constante.
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Geometrías Elípticas. κ > 0
α + β + γ > 180º
α γ
β
La esfera, g = 0
¿Qué ve Planito?
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Geometrías Euclídeas. κ = 0El plano Euclídeo
α
α + β + γ = 180º
β
γ
¡Pero no es compacta!
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¿Qué superficies tienen geometrías euclídeas?
El toro, g = 1
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¿Qué ve Planito?
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Geometrías Hiperbólicas. κ < 0Disco de Poincaré
α γ
β
α + β + γ < 180º
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¿Qué superficies tienen geometrías hiperbólicas?
Todas las superficies con g 2.
4 x90º
90º
90º 90º
90º
90º
Hexágono hiperbólico
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¿Qué ve Planito?
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Tipos de geometrías en superficies
• Geometrías elípticas. Esfera. g = 0.
• Geometrías euclídeas. Toro. g = 1.
• Geometrías hiperbólicas. g 2.
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El Universo (de dimensión tres)
• El Universo apareció hace 13.700 millones de años con una gran explosión (big-bang).
• Tiene al menos 94.000 millones de años-luz de diámetro.
• El Universo está en expansión. El ritmo de expansión lo mide la constante de Hubble H
• Es razonable esperar que sea:• Isotrópico. ρ = densidad de materia = constante
• De volumen finito (compacto)
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Topología de espacios de dimensión 3
• Clasificación topológica de los espacios de dimensión 3: problema no resuelto.
• Conjetura de Poincaré:
Si en un espacio de dimensión 3 (compacto) todos sus lazos se pueden recoger, entonces es la esfera 3-dimensional.
• Resuelta en 2004 por G. Perelman. Poincaré (1854-1912)
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Asas tridimensionales(Star-gate)
Agujero negro Agujero blanco
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Asas anudadas
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Geometrías isotrópicas
• No todo espacio de dimensión 3 admite una geometría isotrópica.
• No se conocen todos los espacios de dimensión 3 con geometrías isotrópicas.
• La mayoría de los que tienen geometría isotrópica son hiperbólicos.
• Geometrías Elípticas. κ > 0• Geometrías Euclídeas. κ = 0• Geometrías Hiperbólicas. κ < 0
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Modelo Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker
Tipo de geometría
Futuro del Universo
Densidad
Elíptico Big-crunch ρ > (3/8π) H2
Euclídeo
El ritmo de expansión tiende a cero
ρ = (3/8π) H2
Hiperbólico Big-rip ρ < (3/8π) H2
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El proyecto WMAP (Wilkinson Microwave Anisotropy Probe), 2001-2010
• Se buscan imágenes repetidas en el cosmos.
• Se utiliza la radiación CMB (Cosmic Microwave Background), que es la luz de hace 13.700 millones de años.
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Resultados (por el momento))
• El 23% es materia oscura, el 72% es energía oscura y solo el 5% son átomos.
• El universo se encuentra en expansión acelerada.
• A pesar de ello, la curvatura es muy posiblemente κ = 0.
• No se han encontrado imágenes repetidas en el cosmos, con lo que no se ha podido averiguar su forma (aún!).
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Referencias
• Abbott, E. A., Planilandia. Una novela de muchas dimensiones, J. de Olañeta, 1999.
• Muñoz, V., Deformando las formas. La topología, RBA, 2011.
• Weeks, J.R., The shape of space, CRC Press, 2001.
• http://map.gsfc.nasa.gov/