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FACULTAD DE CIENCIAS

Una perspectiva histórica de los métodosde Fourier

Trabajo fin de grado de Matemáticas

Mercedes López Ortega

Departamento de Análisis Matemático

Tutor: Dr. Antonio Cañada Villar

Junio, 2016

Índice general

1. Introducción (and summary) 3

2. El origen de los métodos de Fourier en relación con la ecuación de ondasy la ecuación del calor 13

3. Integral de Cauchy, Riemann y Lebesgue 23

3.1. Integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2. Integral de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3. Integral de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4. El espacio de funciones de cuadrado integrable 31

5. Otros temas relacionados con el Análisis de Fourier 37

5.1. Funciones continuas no derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2. Teoría de conjuntos de Cantor y unicidad de la representación de una fun-

ción en serie trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.3. Valores propios y funciones propias (de problemas de contorno tipo Sturm-Liouville) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.4. Origen histórico de la Transformada de Fourier (soluciones acotadas de laecuación del calor en Rnx(0;+1)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6. Apéndice 49

2 ÍNDICE GENERAL

Capítulo 1

Introducción (and summary)

El título de este trabajo es �Una perspectiva histórica de los métodos de Fourier�y estádestinado a ser un complemento de profundización y de divulgación de las Matemáticas.Por este motivo, y por la duración de dicho trabajo, tenemos que resaltar que el punto devista escogido es histórico y general, aunque la mayor parte de los resultados importantesvan acompañados de una cita donde se puede encontrar la demostración y más informaciónsobre el tema.

Las materias del grado en matemáticas que están relacionadas con este trabajo son:Análisis de Fourier, Análisis Funcional, Historia de las Matemáticas, Ecuaciones Diferen-ciales y Ecuaciones en Derivadas Parciales.

Pues bien, comenzando con nuestro estudio, es de gran curiosidad saber que el desar-rollo del Análisis de Fourier tiene una larga historia que involucra a un gran número depersonas, así como la investigación de muchos fenómenos físicos diferentes. Aunque la ideade emplear sumas trigonométricas para describir fenómenos periódicos, data del tiempo delos babilonios, quienes utilizaron estas ideas para eventos astronómicos, la historia mod-erna de esta materia comienza en el siglo XVIII en relación con el estudio de las pequeñasoscilaciones de medios elásticos y, como veremos, su in�uencia fue decisiva en el desarrollodel Análisis a lo largo del siglo XIX.

Podríamos decir que la idea básica de las series de Fourier es que toda función periódicade período T puede ser expresada como una suma trigonométrica de senos y cosenos delmismo período T. Pero, lo que Fourier nos legó no fue sólo eso. Las ideas expuestas porFourier en su libro de 1822, plantearon de manera inmediata innumerables interrogantesy han originado, a lo largo de dos siglos, gran cantidad de investigación, siendo muchaslas partes de la Matemática que se han desarrollado a partir de ellas. Algunos de estosproblemas e interrogantes son: el concepto de función, diferentes nociones de integral, suma

4 Capítulo 1. Introducción (and summary)

de series y, posteriormente, tipo de convergencia. Es realmente sorprendente la presencia eimportancia del tema en multitud de situaciones, por lo que puede usarse como motivadorde gran parte de los desarrollos más importantes que tuvieron lugar en este siglo, algunosya mencionados, y otros como el comienzo de la topología, los números trans�nitos o lateoría de conjuntos. Por ello, a la largo de este recorrido histórico sobre la teoría de seriestrigonométricas, hemos intentado exponer las conexiones e interrelaciones con muchostemas importantes que surgieron y/o se enriquecieron con estos estudios.

De esta forma, nuestro trabajo pretende ser una ventana a ese recorrido de años,matemáticos, interrogantes y descubrimientos que se fueron llevando a cabo durante dossiglos y que dieron lugar, como hemos dicho, no sólo a la teoría del análisis de Fourier,sino también a numerosas contribuciones a diferentes partes de las Matemáticas.

La organización original de los temas, para llevar a cabo este recorrido histórico, fuela siguiente:

- El origen de los métodos de Fourier en relación con la ecuación de ondas y la ecuacióndel calor.

- La integral de Cauchy, Riemann y Lebesgue.

- El espacio de funciones de cuadrado integrable.

- Funciones continuas no derivables.

- Teoría de conjuntos de Cantor.

- Unicidad de la representación de una función en serie trigonométrica.

- Operadores compactos y autoadjuntos en espacios de Hilbert.

- Valores propios y funciones propias. Dominios isoespectrales.

Aunque, una vez inmersos en el trabajo, y siguiendo un orden natural y cronológico delos acontecimientos, hemos considerado hacer una nueva distribución con el �n de conseguirun resultado más claro y organizado del tema, añadiendo un apartado �nal relacionadocon la Transformada de Fourier que veíamos interesante mencionar y que no estaba en laprimera propuesta. La organización �nal queda como sigue:

Capítulo 1. Introducción (and summary) 5

- El origen de los métodos de Fourier en relación con la ecuación de ondas y la ecuacióndel calor.

- La integral de Cauchy, Riemann y Lebesgue.

- El espacio de funciones de cuadrado integrable.

- Otros temas relacionados con el Análisis de Fourier.

� Funciones continuas no derivables.� Teoría de conjuntos de Cantor y unicidad de la representación de una función

en serie trigonométrica.

� Valores propios y funciones propias. Operadores compactos y autoadjuntos enespacios de Hilbert.

� Origen histórico de la Transformada de Fourier.

Seguidamente, nos proponemos hacer un pequeño resumen e introducción a los difer-entes temas mencionados.

En el primer capítulo comenzamos hablando de quién fue Fourier y cómo se desarrollósu vida, así como los estudios que le llevaron a crear dichos métodos, sin dejar de ladoel contexto histórico en el que se desarrollan los acontecimientos, y todos los trabajosprevios realizados por numerosos matemáticos, no menos importantes, que contribuyerona su creación. Por ello, se empieza hablando del origen de los métodos de Fourier a par-tir del estudio de la ecuación de ondas, que fue tratado previamente por importantesmatemáticos como D�Alembert, Euler y Daniel Bernouilli. Posteriormente, y basándoseen los estudios de Bernouilli, Fourier se interesó por la teoría de la transmisión del calory realizó sus estudios en este tema, proporcionando uno de sus logros más importantes:la expresión explícita de los conocidos como �coe�cientes de Fourier�que, hasta entonces,se desconocía. Aunque no aportó demostraciones sino sólo evidencia empírica de muchosproblemas resueltos, cosa que le produjo muchas disputas con los principales matemáticosde la época, el tiempo acabó dándole la razón. Por último, mencionamos la aportación deDirichlet, pues fue el primero en dar un conjunto de condiciones su�cientes para que la se-rie de Fourier converja, y terminamos el capítulo hablando de las importantes aplicacionesque tienen las series de Fourier hoy en día.

En la actualidad la teoría de series de Fourier puede presentarse usando los conceptosy métodos del Análisis Funcional, pues está íntimamente relacionada con la integral deLebesgue, los espacios de Hilbert (en concreto el espacio L2), la teoría de conjuntos deCantor y los operadores compactos y autoadjuntos, por ello los siguientes capítulos se


centrarán en profundizar un poco sobre estos temas. Esto nos permitirá comprender mejorlos métodos de Fourier y obtener una gran generalidad.

En el segundo capítulo nos dedicamos a hablar sobre las diferentes nociones de integralque se fueron creando a partir de las demandas que surgían al considerar distintos tiposde funciones. Comenzamos con la integral de Cauchy, seguidamente la de Riemann y�nalizamos con la de Lebesgue (la opinión generalizada es que esta última integral es laque debe explicarse hoy en día, al menos en Matemáticas y carreras cientí�cas con un altocontenido matemático), haciendo hincapié en las ventajas e inconvenientes de cada unade ellas y proporcionando unos grá�cos útiles para visualizar y comprender mejor algunasideas.

Continuamos con el tercer capítulo, donde nos adentramos en el espacio de funcionesde cuadrado integrable, comúnmente conocido como el espacio L2. De�nimos tambiénconceptos importantes como producto escalar, norma, espacio de Hilbert, base hilbertianaen L2... así como algunas propiedades de ellos. Finalmente se habla sobre los distintostipos de convergencia en L2 y las relaciones entre los mismos.

El cuarto capítulo, y último del trabajo, está dividido a su vez en cuatro secciones enlas que se tratan otros temas relacionados con el Análisis de Fourier como son, respec-tivamente: las funciones continuas no derivables, la teoría de conjuntos de Cantor y launicidad de representación de una función en serie trigonométrica, los valores propios yfunciones propias, y el origen histórico de la Transformada de Fourier. Temas que jueganun papel, no menos importante que los anteriores, en los métodos de Fourier y que hemosorganizado de esta forma para mayor claridad del lector.

Como comentario �nal, después de estos meses de trabajo y profundización en losdiversos temas que abarcamos sobre los métodos de Fourier, no nos queda otra que ase-gurar que se trata, sin duda, de una de las creaciones más grandes de la Ciencia que,a su vez, ha servido para el nacimiento y desarrollo de numerosos conceptos y técnicasmatemáticas. De hecho, su importancia y utilidad no se han ido apagando con los años,sino todo lo contrario. Lo cierto es que el mayor reconocimiento que pudo llevarse Fourieres el enorme impacto que ha tenido su trabajo en numerosos ámbitos y disciplinas comoMatemáticas, Física, Biología, Economía, Ingeniería, etc. Pues se encuentran manifestadosen todos aquellos procesos naturales de tipo oscilatorio, de difusión o periódicos. Entreellos podemos mencionar los siguientes: predicción de las mareas, el ciclo de las manchassolares, el comportamiento periódico del clima de la Tierra, la mejora de la calidad de lasimágenes de los objetos celestes tomadas desde el espacio, sismografía, oceanografía, físicade plasmas, física de semiconductores, acústica, confección de imágenes de Medicina (losTAC), estudio del ritmo cardíaco, análisis químicos, estudios de rayos X, etc.


Así que, nuestro principal objetivo ha sido profundizar en este maravilloso mundo conla intención de que sean más los curiosos que quieran adentrarse en él para conocer lagran cantidad de matemáticos, estudios, interrogantes y descubrimientos que han sidonecesarios para su creación y, a la vez, para el nacimiento y desarrollo de otros muchoscampos.


Summary

The title of this work is �An historical perspective about Fourier methods� and themain purpose is to complement some results studied in the Degree in Mathematics. Forthat reason and because of the length of the mentioned project, I have to mention that Ihave adopted an historical and general point of view. However, most of the relevant resultswill come with a note where evidence and information about the topic can be found.

The subjects from the Mathematics Degree related to this project are the following:Fourier Analysis, Functional Analysis, History of Mathematics, Di¤erential Equations andPartial Di¤erential Equations.

I start my Project talking about Fourier�s life:

Jean Baptiste Joseph Fourier was born on March 21st, 1768, in Auxerre, France.Since he was a child, he liked mathematics and he had already studied the six volumes

of �Cours de mathematique� of Bézout when he was 14 years old. He was a student ofLagrange and Laplace, and later, he taught at the Ecole Polytechnique.

But his life was also very close to politics. In fact, he went to jail several times andthen, he traveled with Napoleon Bonaparte to Egypt as a scienti�c advisor.

Fourier returned to Paris in 1801, where he worked as a professor of analysis at theEcole Polytechnique. However, Napoleon appointed him Prefect of the Department of Isère.A few years later, Fourier conducted important mathematical researches about the theoryof heat named �Théorie analytique de la chaleur�. It is undeniable that today this bookstands out as one of the most daring, innovative, and in�uential works of the nineteenthcentury in the �elld of mathematical physics. The methods that Fourier used to deal withheat problems were those of a true pioneer because he had to work with concepts thatwere not properly formulated yet. He worked with discontinuous functions when othersdealt with continuous ones, he used integral as an area when integral as an antiderivatewas popular, and he talked about the convergence of series of functions before there was ade�nition of convergence. So, his in�uence was crucial to the development of the Analysis.

It is really interesting to know that the development of the Fourier Analysis has awide history that involves many people, as well as researches about di¤erent physicalphenomena. However, the idea of using trigonometric sums to describe periodic phenomenadates from the Babylonian period, where the population used those ideas for astronomicalevents. The modern history of this subject starts on the eighteenth century with the studyof small oscillations of elastic mediums and, as I will explain in detail, its in�uence wascrucial to the development of the Analysis throughout the nineteenth century.


The basic idea of the Fourier series is that any periodic function of period T can beexpressed as a trigonometric sum of sines and cosines from the same period T. But, that isnot the sole legacy of Fourier. The ideas stated in his book published in 1822 set out count-less questions and, throughout two centuries, they resulted in numerous researches thathave led to develop many �elds of Mathematics. Some of those problems and questionsare: the concept of function, the di¤erent notions of integrals, series sums, and, subse-quently, the types of convergences. The relevance and presence of that subject in a lot ofsituations is really surprising, as it was used as a driver for some of the most importantdevelopments that took place during that century, some of them already mentioned here,and others like the beginning of topology, trans�nite numbers and the set theory. For thatreason, throughout this historical approach about the theory of trigonometric series, I havetried to show the connections and interrelations with a lot of subjects that were improvedor brought to light by these studies.

That allows us to create a project which represents a journey of two centuries through-out the years, mathematicians, questions and discoveries, not only based on the FourierAnalysis, but also on the numerous contributions to Mathematics�di¤erent �elds of study.

The original organization of the topics, according to a descriptive timeline, was thefollowing:

- The origin of the methods of Fourier in relation to the wave equation and heat equation.

- Cauchy, Riemann and Lebesgue integral.

- Space of square-integrable functions.

- Non-di¤erentiable continuous functions.

- Set Theory of Cantor.

- Uniqueness for trigonometric series.

- Compact and self-adjoint operators in Hilbert spaces.

- Eigenvalues and eigenfunctions. Isospectral domains.

Although, once into the project and following a logical and chronological order ofevents, I have considered to re-distribute the topics to provide a clearer and more organizedresult. I decided to add a �nal section concerning the Fourier transform, because I �nd itinteresting and it was not included in my �rst proposal. The �nal structure is the following:


- The origin of Fourier methods in relation to the wave equations and heat equations.

- Cauchy, Riemann and Lebesgue integral theorems.

- Space of square-integrable functions.

- Other topics regarding the Fourier Analysis.

� Non-di¤erentiable continuous functions.� Set Theory of Cantor and uniqueness for trigonometric series.� Eigenvalues and eigenfunctions. Compact and self-adjoint operators in Hilbert

spaces.

� Historical origins of Fourier transform.

Next, I will proceed to summarizing and presenting the above-mentioned topics.

The �rst chapter is about Fourier�s life, as well as the researches that led him to createthose methods, without forgetting the historical context of events and all the previousrelevant mathematicians�discoveries that contributed to them. For that reason, the �rsttopic is the origins of the methods of Fourier based on a research about wave equations,which was previously addressed by important mathematicians like D�Alembert, Euler andDaniel Bernouilli. Subsequently, using Bernouilli researches, Fourier got interested in theHeat Transfer Theory and he carried out his research about this topic, providing oneof his most important achievements: the explicit expression of the �Fourier Coe¢ cients�,previously unknown. Even though he only showed an empirical evidence of a lot of problemssolved, time proved that he was right. Finally, I mention the contribution of Dirichlet, whowas the �rst mathematician to provide a su¢ cient set of conditions to enable the Fourierseries to converge. The chapter �nishes with a description of the most relevant applicationsof Fourier series today.

Currently the theory of Fourier series can be shown by using methods and conceptsfrom the Functional Analysis, due to the fact that it is closely related to Lebesgue integral,Hilbert space (especially, space L2), the Set theory of Cantor and compact and self-adjointoperators. That is the reason why in the following chapters I will go into detail aboutthose topics. That will allow a better understanding of the Fourier methods and to obtaina general idea about them.

The second chapter is about the di¤erent types of integral that were created because ofthe requirements of the di¤erent types of functions. The chapter begins with the Cauchyintegral, followed by Riemann integral and the Lebesgue integral (the general opinion is


that this last integral is to be explained today, at least in mathematics and sciences careerswith a high mathematical content), emphasizing the advantages and disadvantages of eachof them and providing graphics to see and understand better some ideas.

The third chapter deals with the space of square-integrable functions, also known asspace L2. I detail the de�nition of several relevant concepts like scalar product, norm,Hilbert space, hilbertian basis in L2. . . as well as some of their characteristics. Finally, Iwill present the di¤erent kinds of convergences in L2 and the link between them.

The fourth chapter is the last one of this project and it is divided into four sectionsdealing with the Fourier Analysis in terms of: non-di¤erentiable continuous functions,the Set theory of Cantor and the uniqueness for trigonometric series, eigenvalues andeigenfunctions, compact and self-adjoint operators in Hilbert spaces and the historicalorigins of Fourier transform. The previously mentioned topics also play a relevant role inthe Fourier methods and I have organized them in order to ease the reading.

In conclusion, after many months of study and deep research about the di¤erent mat-ters that I detail about the Fourier methods, I am sure that it has been one of the greatestdiscoveries of Science, which has led to the creation and development of numerous conceptsand mathematical techniques. In fact, its relevance and utility have been increased for thelast years. The best acknowledgement that Fourier could never receive is the enormousimpact that his work has had in many disciplines and �elds like Mathematics, Physics,Biology, Economy, Engineering. . . They are used in all type of natural processes of oscil-lating or dissemination type and newspapers. I can mention the following: wave forecast,sunspots cycles, the periodical nature of climate in the Earth, seismography, oceanogra-phy, plasma physics, semiconductor physics, acoustics, CAT scan, cardiac rhythm study,chemical analysis, X-ray studies. . .

Finally, our main aim is to encourage curious people to learn more about this wonderfulworld, o¤ering a wide list of mathematicians, researches, questions and discoveries thathave been crucial for their creation and the development of other subjects.

Capítulo 2

El origen de los métodos deFourier en relación con la ecuaciónde ondas y la ecuación del calor

Comenzaremos nuestro recorrido por los métodos de Fourier conociendo un poco sobrequién fue Fourier y cómo se desarrolló su vida, así como los estudios que le llevaron acrear dichos métodos y todos los trabajos previos realizados por numerosos matemáticos,no menos importantes, que contribuyeron a su creación.

Podemos conseguir muchos textos que hablen sobre la biografía de nuestro matemáticoa estudiar, entre ellos hemos consultado [22], [25] y [3] para el siguiente desarrollo:

Jean Baptiste Joseph Fourier nació el 21 de marzo de 1768 en Auxerre, Francia, y en1789 entró en la Ecole Royale Militaire de Auxerre donde se sintió atraído fuertementepor las matemáticas. A los 14 años había estudiado los seis volúmenes del Cours de math-ematique de Bézout. En 1787 ingresó en la abadía Benedictina pero dos años después dejóel monasterio y se dirigió a París, donde presentó un trabajo sobre ecuaciones algebraicasen la Real Academia de Ciencias. Al siguiente año ocupó un puesto de profesor en elcolegio Benedictino en la Real Escuela Militar de Auxerre, hasta que en 1793 se involucróen política, uniéndose al Comité Revolucionario local y acabando en prisión a punto deenfrentarse a la guillotina. En 1795 fue admitido en la Ecole Normale de París, dondefue alumno de Lagrange y de Laplace. Más tarde, fue profesor en la Ecole Polytechnique,recién creada. A consecuencia de su arresto previo nuevamente fue a prisión, de dondepudo ser liberado gracias a las súplicas de Lagrange, Laplace, Monge, sus alumnos, y uncambio de clima político.

14Capítulo 2. El origen de los métodos de Fourier en relación con la ecuación de ondas y la

ecuación del calor

En 1798, Fourier se incorporó a la Armada de Napoleón como un consejero cientí�co enla invasión de Egipto. Allí creó el Instituto de El Cairo, siendo unos de los doce miembrosde la división matemática antes de ser elegido secretario del Instituto, cargo que ejerciódurante todo el período de la ocupación francesa. Volvió a París en 1801, retomandosu puesto de profesor de análisis en la Ecole Polytechnique. Sin embargo, Napoleón lonombró Prefecto del Departamento de Isère, cargo que Fourier no deseaba, pero que nopudo rechazar. Se mudó a Grenoble y fue allí donde Fourier realizó un importante trabajomatemático sobre la teoría del calor que provocó multitud de controversias. Él fue el quedescubrió las series matemáticas y el teorema integral que llevan su nombre.(Véase también[8] y [14]).

Durante sus últimos años en París, Fourier publicó una serie de trabajos tanto enmatemáticas puras como aplicada, hasta que murió el 16 de marzo de 1827 en dicha ciudadfrancesa, a consecuencia de una enfermedad contraída durante su estancia en Egipto.

Es preciso notar que los trabajos de Fourier proporcionaron un gran impulso paraposteriores investigaciones sobre series trigonométricas y la teoría de funciones de variablereal.

Pero la historia del Análisis de Fourier tiene más de 200 años y sus orígenes se encuen-tran unos 60 años antes del momento en que Jean Baptiste Joseph Fourier presentara laprimera versión de su trabajo sobre la teoría de la conducción del calor a la Academia deParís en 1807.

Para situarnos un poco en el contexto histórico de la época, haremos unas mencionesa la situación del momento que han sido extraídas de [3]:

En el año 1750 Fernando VI era rey de España, y Jorge II de Inglaterra. Las coloniasde América del Norte estaban en medio de las guerras con los nativos y los franceses yunos años después Carlos III creaba el virreinato del Río de la Plata, en 1776. Voltaire,Rousseau y Kant estaban escribiendo sus libros en Europa; Bach acababa de morir yMozart estaba a punto de nacer. Además, el cálculo de Leibnitz y Newton, publicado 75años antes, estaba permitiendo la creación de poderosas nuevas teorías sobre la mecánicaceleste y la mecánica del continuo. De hecho, el desarrollo del cálculo de los últimostiempos se había convertido en la principal herramienta para estudiar y modelizar laNaturaleza. En este aspecto, �la idea básica era representar la evolución de un fenómenonatural por medio de una ecuación diferencial que relacionaba las distintas magnitudesrelevantes en el fenómeno. Esta ecuación se obtenía a partir de un análisis del fenómenoa nivel in�nitesimal, utilizando un reducido número de leyes naturales que se habían idodescubriendo. Los fenómenos que podían describirse en términos de una sola variable

Capítulo 2. El origen de los métodos de Fourier en relación con la ecuación de ondas y laecuación del calor 15

venían así regidos por ecuaciones diferenciales ordinarias, que relacionaban la funciónincógnita con sus derivadas; cabe resaltar que a lo largo del siglo XVII y la primera mitaddel XVIII se habían desarrollado considerablemente los métodos de resolución de este tipode ecuaciones. Sin embargo, cuando el fenómeno estudiado dependía de dos o más variablessigni�cativas, su modelización venía dada por una ecuación en derivadas parciales, muchomás difícil de tratar�[7].

Uno de los primeros fenómenos estudiados de este tipo fue el problema de la cuerdavibrante (la ecuación de ondas), que consiguió la atención y el esfuerzo de numerosos físicosy matemáticos del momento.

El problema, en su versión más sencilla, podemos enunciarlo como sigue, [12]:

Supongamos que tenemos una cuerda �exible �jada en los extremos (0; 0)y (�; 0) (por conveniencia) de manera que quede tensa. Ahora tiramos de ellaformando una curva y = f(x) y, seguidamente, la soltamos. Suponiendo que losdesplazamientos de la cuerda son en el mismo plano y el vector del desplaza-miento es perpendicular al eje de abcisas. ¿Qué función u(x; t) describiría elmovimiento de dicha cuerda? Siendo x 2 [0; �], eje de abcisas, y el tiempot � 0; se pretende obtener u(x; t) a partir de f(x):

En 1747, D�Alembert, el famoso enciclopedista, se interesó por el problema y, bajodiversas hipótesis (fundamentalmente que las vibraciones sean �pequeñas�), demostró quela función u debe satisfacer lo siguiente [12]:

@2u(x; t)

@t2=@2u(x; t)

@x2; 0 < x < �; t > 0 (2.0.1)

u(x; 0) = f(x); 0 � x � �@u(x; 0)

@t= 0; 0 � x � �

u(0; t) = u(�; t) = 0; t � 0

Vemos que la primera condición es una ecuación en derivadas parciales de segundoorden (la Ecuación de Ondas), la segunda hace referencia a la posición inicial de la cuerda,la tercera signi�ca que la velocidad inicial de u es cero y la última expresa que la cuerdase mantiene �ja en sus extremos en cualquier tiempo.

Además, D�Alembert demostró que la solución a dicho problema venía dada por [13]:


ecuación del calor

u(x; t) =1

2

h~f(x+ t) + ~f(x� t)

i(2.0.2)

donde ~f es una extensión conveniente de la función f .Simpli�cando, podríamos decir que D�Alembert con�rmó que la posición futura de la

cuerda queda completamente determinada por su posición inicial, y lo vemos expresadoen el siguiente teorema [12]:

Teorema 2.0.1 Sea f 2 C2[0; �] tal que f(0) = f(�) = f 00(0+) = f 00(��) = 0: Entonces2.0.1 tiene una única solución u 2 C2() \ C1(�), donde = (0; �)x(0;+1). Además uviene dada por la fórmula 2.0.2, donde ~f es la extensión a R impar y 2��periódica de lafunción f:

La interpretación física es que la función 12~f(x+t) representa una onda (una solución de

la ecuación de ondas) que se desplaza hacia la izquierda con velocidad 1 y 12~f(x�t) otra que

se desplaza hacia la derecha con igual velocidad, asi que la solución es la superposición deambas. Por esto se dice que dicha fórmula se ha obtenido usando el �Método de propagaciónde las ondas�[12].

Unos años después, en 1749, Leonard Euler presentó el primero de los 15 trabajos quededicó a este problema. Su solución no era diferente técnicamente de la de D�Alembert,aunque sí en el tipo de funciones iniciales f que podían considerarse porque, aunque hoyen día el concepto de �función� es claro, antes no era así. Euler defendía que f podíavenir dada por expresiones diferentes, mientras que para D�Alembert tenía que tener unaexpresión analítica o fórmula concreta [22]. Aún así, para los matemáticos del siglo XVIII,la noción más aceptada fue la adoptada por el propio Euler en el Capítulo I de su famoso�Introductio in Analysin In�nitorum�, publicado en 1748, [7]:

�Una función de una cantidad variable es cualquier expresión analítica for-mada con la cantidad variable y con números o cantidades constantes.�

Realmente, las funciones admitidas por Euler como posición inicial de la cuerda seríanlo que hoy llamaríamos �funciones continuas, de clase C1 a trozos�. De hecho, las confronta-ciones más intensas entre Euler y D�Alembert se referían a la posibilidad de considerarcomo funciones válidas a las que tuvieran �picos�(como las poligonales a trozos), es decir,con derivada discontinua en algunos puntos.


Más tarde, Daniel Bernouilli, lo que hoy llamaríamos un físico matemático puesto queen sus trabajos primaban los razonamientos físicos, propuso otra forma diferente de obtenerla solución del problema. Básicamente lo que hizo Bernouilli fue retomar los argumentosde su padre Johann y propuso, en 1753, que la posición general de la cuerda debieraobtenerse por superposición (es decir, como combinación lineal, eventualmente in�nita) deondas más sencillas de la forma [7]:

un(x; t) = sen(nx) cos(nt); 8n 2 N (2.0.3)

Parece ser que Bernouilli usó también sus conocimientos musicales para llegar a estaidea, pues se basó en que el sonido que emite una cuerda vibrante es, en general, super-posición de armónicos (superposición de funciones un(x; t)).

Como se explica en [12] las funciones un(x; t) �representan, para n = 1 el tono fun-damental y para n > 1 sus armónicos, y desde el punto de vista musical se correspondencon los tonos puros�. De esta manera, �cualquier sonido que produjese la vibración dela cuerda debía ser superposición de tonos puros�. Por tanto, la solución debería poderrepresentarse como sigue:

u(x; t) =

1Xn=1

ansen(nx) cos(nt) (2.0.4)

siendo los coe�cientes an elegidos adecuadamente para que se cumpla 2.0.1 (aunqueD�Alembert no dio ninguna indicación sobre cómo calcular dichos coe�cientes).

Hay que notar que la idea de emplear sumas trigonométricas para describir fenómenosperiódicos no data de esta época, sino que ya los babilonios utilizaron ideas de este tipopara eventos astronómicos [25].

Volviendo al estudio de Bernouilli, su solución fue rechazada por Euler, ya que consid-eraba matemáticamente inaceptable que cualquier función arbitraria pudiera representarsepor medio de una suma trigonométrica. No obstante, reconoció la importancia de las ob-servaciones de Bernouilli en el aspecto físico del problema. De igual forma, D�Alembertcoincidió con Euler para rechazar la solución de Bernouilli, a�rmando que ni siquieracualquier función periódica podría representarse por una serie trigonométrica.

Lo cierto es que Bernouilli no estaba tan equivocado, de hecho en la actualidad con-tamos con el siguiente resultado:


ecuación del calor

Teorema 2.0.2 Sea f 2 C3[0; �]; tal que f(0) = f(�) = f 00(0+) = f 00(��) = 0; entonces2.0.1 tiene una única solución u 2 C2()\ C1(�); donde = (0; �)x(0;+1); siendo u dela forma 2.0.4 y los coe�cientes an como sigue [12]:

an =2

�

�Z0

f(�)sen(n�)d�; 8n 2 N

Más tarde, la invención de la máquina de vapor, base de la Revolución Industrial,despertó el interés por el desarrollo de una teoría matemática de la conductividad delcalor (posteriormente conocida como termodinámica). Varios matemáticos y físicos, comoLaplace, Lavoisier, Biot, et. realizaron investigaciones en este campo [7].

Joseph Fourier también se interesó en la teoría de la transmisión del calor, de hechose inspiró en el trabajo anteriormente desarrollado por Daniel Bernoulli en relación alproblema de la cuerda vibrante, y presentó en su memoria un método para el cálculoexplícito de las soluciones de las ecuaciones diferenciales que rigen el fenómeno de latransmisión del calor [13].

Concretamente, para desarrollar todo el estudio, Fourier consideró una varilla delgadade longitud �jada (por conveniencia tomamos �) y super�cie lateral aislada, cuyos extremosestán a 0o centígrados. ¿Cuál sería la temperatura de cualquier punto x de la varilla en eltiempo t, si la temperatura inicial viene dada por f(x) y suponiendo que la temperaturaen cada sección transversal es constante? [13]

Fourier demostró que, en condiciones físicas apropiadas de la varilla, la función u(x; t)debe cumplir:

@2u(x; t)

@x2=@u(x; t)

@t; 0 < x < �; 0 < t < T (2.0.5)

u(0; t) = u(�; t) = 0; 0 � t � Tu(x; 0) = f(x); 0 � x � �

La primera condición es una Ecuación en Derivadas Parciales de segundo orden (laEcuación del Calor), la segunda signi�ca que la temperatura en los extremos se mantienea 0o centígrados, mientras que la última relación representa la temperatura inicial de lavarilla [12].


Como bien hemos indicado antes, Fourier se basó en los estudios de Bernouilli y buscólas soluciones más sencillas que puede presentar la ecuación del calor, aquellas que sepueden expresar mediante la separación de variables: u(x; t) = X(x)P (t).

Imponiendo las condiciones para que cumpla 2.0.5 obtenemos dos problemas de ecua-ciones diferenciales ordinarias (igual ocurre si usamos la separación de variables para laecuación de ondas)[12]:

X 00(x) + �X(x) = 0; x 2 (0; �); X(0) = X(�) = 0 (2.0.6)

P 0(t) + �P (t) = 0; 0 < t < T ; � 2 R

Si � 2�n2 : n 2 N

el problema tiene solución no trivial pero, si además, � = n2 las

soluciones de las ecuaciones anteriores tienen estructura de espacio vectorial de dimensiónuno, la primera engendrada por la función sen(nx) y la segunda engendrada por la funciónexp(�n2t), [12].

Esto nos permite calcular in�nitas �soluciones elementales�de la ecuación del calor,aquellas que son de la forma anvn, siendo an 2 R y vn viene dada por:

vn(x; t) = exp(�n2t)sen(nx) (2.0.7)

Pero, en general, f no es de la forma dada (sólo lo es si es combinación lineal �nita defunciones de ese tipo). Entonces Fourier y Bernouilli se preguntaron si era posible obtenerla solución u para cualquier f dada, como superposición de las soluciones sencillas 2.0.7.Es decir, ¿se podrían elegir adecuadamente los coe�cientes an para que la única solucióndel problema 2.0.5 fuera [13]:

u(x; t) =

1Xn=1

an exp(�n2t)sen(nx) ? (2.0.8)

Fourier lo a�rmó y, de hecho, proporció una expresión explícita para los coe�cientesan, conocidos como �coe�cientes de Fourier�, a�rmando la validez de su expresión parafunciones �arbitrarias�. Esto sería, sin duda, uno de sus logros más importantes:

an =2

�

�Z0

f(x)sen(nx)dx (2.0.9)


ecuación del calor

(Podemos ver con detenimiento cómo obtuvo Fourier estos coe�cientes consultando[14]).

En el año 1811 la Academia Francesa convocó un concurso cuyo objeto era �propor-cionar una teoría matemática de las leyes de propagación del calor y comparar esta teoríacon experimentos.�

Fourier entregó toda su extensa memoria sobre el tema (es de gran interés y utilidadconsultar la memoria original de Fourier en [19]), la cual le convirtió en el ganador aunqueno fue publicada (tuvo que esperar a que él mismo fuera Secretario Perpetuo de la Acad-emia en 1824 para que su trabajo viera la luz). Hubo algunas controversias por su trabajo,entre ellas porque Fourier no hacía mención al trabajo de Boit, publicado en 1804 sobreel tema [2]. Pero el principal motivo para no publicarla fue por la falta de rigor, de hecho,en el informe del Jurado sobre la concesión del premio convocado por el Instituto, se lee[7]:

Este trabajo contiene las ecuaciones diferenciales correctas que gobiernan latransmisión del calor, tanto en el interior de los cuerpos como en su super�cie,y la novedad del tema junto con su importancia, ha motivado la concesióndel premio... Sin embargo, la forma como el autor obtiene sus ecuaciones... yel análisis de su solución deja algo que desear tanto en lo concerniente a lageneralidad [de la solución] como al rigor.

Realmente, Fourier no aportó demostraciones sino evidencia empírica de muchos prob-lemas resueltos [2], de tal forma que esto provocó una gran discusión entre numerosomatemáticos que perduraría en el tiempo hasta casi la muerte de Fourier, en 1830. Estasdiferencias se produjeron por el hecho de que grá�cos arbitrarios pudiesen ser representa-dos mediante una serie trigonométrica y debían considerarse, en consecuencia, como unafunción legítima (a�rmación que resultaba una auténtica sorpresa) y por discusiones sobrela convergencia.

Finalmente, el tiempo le dió la razón a Fourier, y lo vemos en el siguiente resultadoque tenemos hoy en día [13]:

Teorema 2.0.3 Sea f 2 C1[0; �]; tal que f(0) = f(�) = 0; entonces 2.0.5 tiene una únicasolución u 2 C1t () \ C2x() \ C(�); siendo = (o; �)x(0; T ]: Dicha solución viene dadapor 2.0.8 donde los coe�cientes an son:


an =2

�

�Z0

f(�)sen(n�)d�; 8n 2 N (2.0.10)

No obstante, debemos mencionar que fue Dirichlet el primero que dio un conjunto decondiciones su�cientes para que la serie de Fourier converja, que era otro de los problemasque se presentaron. La demostracién que propuso fue un re�namiento de la que bosquejóFourier al �nal de su libro, consiguiendo darle la razón a Fourier [25]. El Teorema es elsiguiente:

Teorema 2.0.4 Sea f(x) de�nida y acotada en �� x � �, con sólo un número �nito dediscontinuidades y un número �nito de máximos y mínimos en ese intervalo. De�namosf(x), para otros valores de x, por la condición de periodicidad f(x+2�) = f(x). Entoncesla serie de Fourier de f(x) converge a 1

2(f(x�) + f(x+)) en todo punto x y, por tanto,

converge a f(x) en todo punto de continuidad de la función. Así pues, si se rede�ne en todopunto de discontinuidad el valor de la función como el promedio de sus límites lateralesen él, f(x) = 1

2(f(x�)+ f(x+)) la serie de Fourier representa a la función en todo punto

[25].

Para conocer más sobre Dirichlet y los criterios de convergencia ver [18] (pág. 655-658)y [22] (pág. 429-431).

Vemos que muchas de las discusiones que se produjeron entre los matemáticos de laépoca fueron por los distintos tipos de convergencia (aún así la naturaleza de la con-vergencia de las series de Fourier tuvo mayor relevancia después de la introducción delconcepto de convergencia uniforme por Stokes y Seidel) así como por conceptos que hoyconsideramos básicos, como el concepto de función. Sin embargo, a principios de siglo XIXmuchas de estas cosas estaban aún en el aire, a pesar de los importantes avances que sehabían producido en matemáticas tras la introducción del cálculo diferencial e integral porNewton y Leibniz durante el siglo XVII [2].

Casi 20 años más tarde de la demostración de Dirichlet, en 1848, el matemático británi-co H. Wilbraham observó que, en puntos cercanos a una discontinuidad, las sumas par-ciales de las series de Fourier, presentan un comportamiento oscilatorio anómalo. El físico-Matemático J.W. Gibbs explicó dicho fenómeno basándose en la no convergencia uniformede la �Serie de Fourier�en las cercanías de puntos de discontinuidad [28].


ecuación del calor

Hoy en día son muchas las aplicaciones que tienen los métodos de Fourier: estudio delsonido y de la luz, acústica, teoría de números, física de plasmas, física de semiconductores,combinatoria, procesamiento de señales, oceanografía, sismografía, probabilidad, estadís-tica, óptica, propagación de ondas y desde luego cualquier fenómeno ondulatorio. Otrotipo de aplicaciones más curiosas son: cálculo de mareas, detección de �uctuaciones en losprecios, análisis sismográ�cos, etc. . . [13]. Además ha sido de gran importancia para laIngeniería de Telecomunicación, donde su aportación ha permitido desarrollar el AnálisisEspectral, lo cual ha dado pie a numerosas aplicaciones prácticas, como �ltros, modems,etc.

Capítulo 3

Integral de Cauchy, Riemann yLebesgue

El problema de las vibraciones de una cuerda libre en sus extremos, nos plantea lacuestión de si será posible desarrollar una función dada f , de�nida en [0; �], en una seriede la forma:

f(x) =b02+

1Xn=1

bn cos(nx);8x 2 [0; �] (3.0.1)

para coe�cientes bn adecuados.

Otros problemas de naturaleza periódica dan lugar a plantearse la cuestión de si sepodrá obtener, para una función f , de�nida sobre [��; �], un desarrollo de la forma:

f(x) =b02+

1Xn=1

(ansen(nx) + bn cos(nx)) ;8x 2 [��; �] (3.0.2)

Fourier obtuvo, de manera no muy rigurosa, las fórmulas para calcular los conocidos�coe�cientes de Fourier�. Para la expresión anterior los coe�cientes de Fourier son [18]:

an =1

�

�Z��

f(x)sen(nx)dx (3.0.3)

bn =1

�

�Z��

f(x) cos(nx)dx

24

Capítulo 3. Integral de Cauchy, Riemann y Lebesgue

Si las funciones eran continuas, era su�ciente el concepto de integral dado por Cauchypara la existencia de los anteriores coe�cientes, pero había otros casos en que el proble-ma se complicaba y hubo que desarrollar nuevos conceptos de integral, como veremos acontinuación.

3.1. Integral de Cauchy

Para la de�nición de la llamada integral de Cauchy (sólo para funciones continuas),Cauchy usó lo que hoy en día se conoce con el nombre de �sumas de Riemann�, es decir,[13]:

nXi=1

f(�i)(xi � xi�1) (3.1.4)

y pasando al límite cuando la norma de la partición (la mayor de las longitudes de lossubintervalos) tiende a cero, siendo x0 = �� < x1 < ::: < xn = � cualquier partición delintervalo [��; �] y xi�1 � �i � xi , con 1 � i � n:

(Un ejemplo grá�co, para n=5, podemos verlo en el grá�co 1 del Apéndice).

Cauchy demostró, aunque de manera no muy formal (ya que no expuso explícitamenteel concepto de continuidad uniforme), que las anteriores sumas tendían a un límite únicosi las longitudes de todos los subintervalos de la partición tendían a cero [13]. Dicho límiteera la integral de la función.

(Podemos encontrar información más completa de la integral de Cauchy en [23] pág.956-958).

3.2. Integral de Riemann

Otro matemático que se interesó en las series trigonométricas fue Riemann; su teoríade integración era capaz de tratar con una clase de funciones más amplia que la de lasfunciones continuas. Por ejemplo, es su�ciente que f : [a; b] �! R sea monótona para quesu integral de Riemann exista.

La idea básica es suponer la acotación de la función f tratada (no necesariamentecontinua) para proceder a la de�nición de integral de Riemann (aunque no toda funciónacotada es necesariamente integrable Riemann) y establecer condiciones generales para que

§3.2 Integral de Riemann

25

las sumas de Riemann 3.0.1 tengan límite único cuando las longitudes de los subintervalosde la partición tienden a cero. A diferencia de la integral de Cauchy, ésto le permitióintegrar algunas funciones con un número in�nito de discontinuidades [13].

Sin embargo, la integral de Riemann tiene algunas debilidades. De entre ellas, Lebesguehace notar que �no todas las funciones derivadas son integrables, en el sentido de Rie-mann�, por ejemplo las funciones derivables cuya derivada no es acotada [20].

Brevemente la integral de Riemann (utilizando las sumas de Darboux) consisteen:

Sea f : [a; b] ! R una función acotada, denotaremos G(f; a; b) a la región del planocomprendida entre la grá�ca y = f(x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b:Nuestro objetivo será calcular el área de dicha región (ver grá�co 2 en Apéndice).

Puesto que, en general, G(f; a; b) no puede descomponerse en triángulos o rectángulos,no hay una fórmula euclídea que nos permita calcular directamente su área.

En la integral de Riemann el área del conjunto G(f; a; b) se aproxima por rectángulosque se crean a partir de una partición del intervalo [a; b].

(Como ampliación podemos consultar [23], pág. 959-960).

Veamos algunos conceptos que necesitamos para la construcción de la integral de Rie-mann (de forma más extensa se puede consultar [4] pp.119-139):

i) Una partición de un intervalo [a; b] es un conjunto �nito de puntos de [a; b] que incluyea los extremos. Una partición P la representamos ordenando sus puntos de menor amayor, comenzando en a y terminando en b:

P = fxigni=0 � fa = x0 < x1 < x2 < ::: < xn�1 < xn = bg (3.2.5)

El conjunto de las particiones de [a; b] lo indicamos con P([a; b]). Una partición comola indicada divide el intervalo [a; b] en n subintervalos [xi�1;xi], cada uno de longitudxi � xi�1.

26


ii) Sea f una función acotada de�nida en [a; b], y sean

P 2 P([a; b]); P � fa = x0 < x1 < x2 < ::: < xn�1 < xn = bgMi = sup ff(x) : x 2 [xi�1; xi]g y mi = �{nf ff(x) : x 2 [xi�1; xi]g ; para i = 1; :::; n

Se de�nen:

la suma inferior de f asociada a P, como

S¯(f; P ) =

nXi=1

mi(xi � xi�1) (3.2.6)

y la suma superior de f asociada a P, como

�S(f; P ) =nXi=1

Mi(xi � xi�1): (3.2.7)

(Ver grá�cos 3 y 4 en Apéndice para apreciar visualmente quién es la suma inferior ysuperior de una función f arbitraria).

iii) Supongamos que f es una función no negativa y consideremos la región que delimitasu grá�ca con las rectas y = 0, x = a y x = b. Si el área de dicha región es A,entonces

S¯(f; P ) � A � �S(f; P ): (3.2.8)

(Ver grá�co 5 en Apéndice para visualizar la suma inferior, suma superior y área deuna función f arbitraria).

iv) Dada f acotada en [a; b], se de�ne su integral inferior (integral inferior de Darboux)en [a; b] como

bZa

f(x)dx = sup fS¯(f; P ) : P 2 P([a; b])g (3.2.9)

§3.3 Integral de Lebesgue 27

y su integral superior (integral superior de Darboux) en [a; b] como

bZa

f(x)dx = �{nf�S̄(f; P ) : P 2 P([a; b])

(3.2.10)

v) Una función f acotada en [a; b] es integrable-Riemann en [a; b] si se cumple que

bZa

f(x)dx =

bZa

f(x)dx (3.2.11)

En tal caso, al valor común de dichas integrales se le llama la integral (de Riemann) def en [a; b], y se escribe:

bZa

f(x)dx (3.2.12)

Pero la teoría de integración de Riemann no resolvía todos los problemas por com-pleto, por ejemplo el de la búsqueda de primitivas. Al parecer, fue Volterra el primeroen hacer notar la posibilidad de generalizar el concepto de integral más allá de la de�ni-ción dada por Riemann diciendo que �en algunos casos, puede suceder que la de�niciónordinaria de integral [en términos de una función primitiva] no esté incluida en aquellade Riemann...�. En palabras del propio Lebesgue: �podemos desear una de�nición de laintegral que comprenda como caso particular a la de Riemann y que permita resolver elproblema de las funciones primitivas�[20].

3.3. Integral de Lebesgue

Había tres problemas fundamentales en el ambiente de los matemáticos cuando surgióel nacimiento de la integral de Lebesgue [5]:

- El problema de la medida.

- El cálculo de primitivas.

- Convergencia de series trigonométricas.

28


Cabe notar que los trabajos de Lebesgue sobre la medida de un conjunto permitierondar una caracterización más precisa de las funciones que pueden integrarse según Riemann,y su teoría de integración extendió la teoría de Riemann a una clase más amplia de fun-ciones [20]. Además, los teoremas relacionados con el intercambio del lí¬mite y la integral,eran ahora válidos bajo condiciones más generales que las requeridas por la integral deRiemann. Por consiguiente, la integral de Lebesgue, junto con sus teoremas de convergen-cia, permitió un gran avance en el estudio de las series trigonométricas, fundamentales enel análisis de Fourier (que hoy día se describe en términos de la integral de Lebesgue) [20],el cual consiste en responder, en los términos más clásicos, dos preguntas estrechamenterelacionadas [5]:

A) Si f es una función acotada en un intervalo (�a; a), entonces ¿puede f expresarse comouna serie trigonométrica en los siguientes términos

f(x) =1

2a0 +

1Xn=1

�an cos(

n�x

a) + bnsen(

n�x

a)�

(3.3.13)

donde an = 1a

aR�af(x) cos(n�xa ) y bn =

1a

aR�af(x)sen(n�xa ) ?.

B) ¿Bajo qué condiciones es una función, representable como una serie trigonométrica,integrable término a término?

Es decir, si f(x) =1Pn=1

Un , ¿cuándo se puede hacer la siguiente operación?

aZ�a

f(x)dx =1Xn=1

aZ�a

Undx (3.3.14)

Vamos a introducir unos conceptos importantes sobre la medida de un con-junto cualquiera antes de tratar más profundamente el trabajo de Lebesgue(obtenido de [12]):

i) La medida de un intervalo arbitrario [a,b], [a,b), (a,b] ó (a,b) es �[a; b] = b� a. Comotodo conjunto abierto de R se expresa de manera única como una unión numerable

§3.3 Integral de Lebesgue 29

de intervalos abiertos disjuntos, entonces si G � R es abierto tal que G =Si2NIi, se

de�ne la medida de G como �(G) =1Pi=1�(Ii), suma que puede ser in�nita.

ii) Dado un subconjunto cualquiera E � R, se de�ne la medida exterior, ��(E), como��(E) = �{nf f�(G) : E � G; G abiertog :

iii) Sea ahora A � [a; b]. Diremos que A es medible si ��(A) + ��([a; b]nA) = b � a. Eneste caso, ��(A) es la medida de A y se indicará como �(A). No es difícil ver que lamedibilidad y la medida de A son independientes del intervalo elegido [a; b] tal queA � [a; b].

iv) Si A es tal que �(A) = 0, diremos que A es de medida nula. Cualquier subconjuntonumerable de [a; b] es de medida nula.

v) Una propiedad relativa a puntos de [a; b] diremos que se cumple casi por doquier (c.p.d.)en [a; b] si el conjunto de puntos de [a; b] donde dicha propiedad no se veri�ca es unconjunto de medida nula.

vi) Una función f : [a; b] �! R es medible si para cualquier � 2 R el conjunto

fx 2 [a; b] : f(x) > �g es medible. Si f; g : [a; b] �! R son funciones medibles también loson jf j; �f (8� 2 R) y f + g. Toda función continua casi por doquier es medible. Sif es medible y f = g c.p.d. en [a; b], entonces g es medible.

Breve introducción a la integral de Lebesgue para el caso de una variable real:

La integral de Lebesgue supone un cambio de perspectiva. El procedimiento para suconstrucción se inicia realizando una partición en el rango de los valores de la función f(eje de ordenadas), diferencia importante con la integral de Riemann donde la particiónse realizaba en el eje de abscisas.

Sea f : [a; b] �! R medible y acotada. Sean m = �{nf[a;b]f , M = sup[a;b] f y tomemosuna partición cualquiera del intervalo [m;M ], P , de�nida por P : m = y0 < y1 < ::: <yn =M (partición en el eje de ordenadas). De�namos Aj = fx 2 [a; b] : yj�1 � f(x) � yjg,1 � j � n(cada Aj es medible) [13].

30


Consideremos las sumas (ver grá�co 6 en Apéndice):

SP =nXj=1

yj�(Aj) (3.3.15)

sp =nXj=1

yj�1�(Aj)

Lebesgue probó que las dos cantidades [13]:

J = �{nfP2P ([m;M ])SP (3.3.16)

I = supP2P ([m;M ])

sp

coinciden si, como ya hemos convenido antes, f es medible y acotada (donde P([m;M ])

denota el conjunto de todas las particiones del intervalo [m;M ]). A este valor común se ledenomina integral de Legesgue de f en [a; b] y se de�ne como [13]:

bZa

f(x)dx (3.3.17)

(Podemos consultar [23] pág, 961, 1044-1050, para conocer más sobre la integral deLebesgue).

NOTAS:

Las funciones integrables-Riemann, son integrables (en el sentido de Lebesgue) y ambasintegrales coinciden. Sin embargo el recíproco no es cierto.

Cualquier función medible y acotada es integrable en el sentido de Lebesgue.Además, si una función es acotada, entonces f es integrable Riemann si y sólo si el

conjunto de puntos de [a; b] donde f no es continua tiene medida cero.La integral de Lebesgue puede también extenderse al caso de funciones no acotadas y

al caso en que la función considerada lo es de varias variables independientes.

Para �nalizar, es preciso decir que el conocimiento de la teoría de la integral deLebesgue es, hoy en día, imprescindible para poder entender y presentar adecuadamentela teoría de series de Fourier y, de hecho, es la que se considera actualmente como �integralde�nitiva�en muchos aspectos.

Capítulo 4

El espacio de funciones decuadrado integrable

Antes de hablar sobre el espacio L2, de�niremos algunos conceptos necesarios.Para llevar a cabo toda esta sección, nos basaremos en los trabajos de [9], [11], [16],

[21] y [26].

De�nición 4.0.1 Sea X un espacio vectorial sobre R, un producto escalar sobre X esuna aplicación h�; �i : X x X �! R tal que

i) hx; xi � 0; 8x 2 X

ii) hx; xi = 0 () x = 0

iii) hx; yi = hy; xi; 8x; y 2 X

iv) h�x+ �y; zi = �hx; zi+ �hy; zi; 8x; y; z 2 X; 8�; � 2 R:

De�nición 4.0.2 Un espacio vectorial X dotado de un producto escalar es un espacioprehilbertiano.

32 Capítulo 4. El espacio de funciones de cuadrado integrable

El espacio (X;<�; � >) es un espacio normado tomando como norma:

jjxjj =p< x; x >; 8x 2 X

De�nición 4.0.3 Sea X un espacio vectorial real. Una norma en X es una aplicación

jj � jj : X �! R que cumple las siguientes propiedades:

i) jjxjj � 0; 8x 2 X, siendo jjxjj = 0 , x = 0

ii) jjx+ yjj � jjxjj + jjyjj; 8x; y 2 X (desigualdad triangular)

iii) jj�xjj = j�j jjxjj; 8x 2 X, � 2 R

Además, podemos de�nir una distancia en X haciendo d(x; y) = jjx� yjj; 8x; y 2 X:

De�nición 4.0.4 Diremos que (X; jj � jj) es un espacio normado completo (espacio deBanach) si cualquier sucesión de Cauchy es convergente en X:

Propiedades:

i) El producto escalar es una aplicación continua de X x X en R:

ii) La norma es una aplicación continua de X en R:

iii) Ley del paralelogramo: jjx+ yjj2 + jjx� yjj2 = 2jjxjj2 + 2jjyjj2;8x; y 2 X:

iv) Un espacio normado (X; jj� jj) se dice que es separable si 9B � Xque sea denso ynumerable.

v) Si (X; jj� jj) es un espacio normado completo, diremos que (X;<�; � >) es un espaciode Hilbert real. Si, además (X; jj� jj) es separable, diremos que (X;<�; � >) es unespacio de Hilbert separable.

Capítulo 4. El espacio de funciones de cuadrado integrable 33

De�nición 4.0.5 Un espacio euclídeo X recibe el nombre de espacio de Hilbert si es unespacio prehilbertiano completo para la norma jj x jj = p< x; x > ,8x 2 X. Además, todosubespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert, es un espacio de Hilbert.

El espacio L2(I) se de�ne como el conjunto de las funciones de cuadrado integrable enun intervalo cerrado I = [a; b], es decir:

L2(I) =

8<:f : [a; b] �! R medible =bZa

jf(x)j2dx <1

9=; (4.0.1)

donde la existencia de dicha integral es en el sentido de Lebesgue.

De�nición 4.0.6 Dos funciones f; g 2 L2(a; b) se dice que pertenecen a la misma clase,o simplemente, que son iguales, si f(x) = g(x) 8x 2 [a; b], excepto en los valores de x quepertenecen a un conjunto de medida nula, es decir, si son iguales casi por doquier en [a; b]:

LLamando F (a; b) al conjunto de todas las funciones f(x) de�nidas en [a; b]; podemosdotar a L2(a; b) de estructura de espacio vectorial real de�niendo la suma y el productopor escalares:

8f; g 2 F (a; b); (f + g)(x) = f(x) + g(x); 8x 2 [a; b] (4.0.2)

8f 2 F (a; b); 8� 2 R; (�f)(x) = �f(x); 8x 2 [a; b]

En L2(a; b) se puede de�nir el producto escalar:

< f; g >=

bZa

f(x)g(x)dx; 8f; g 2 L2(a; b): (4.0.3)


Teorema 4.0.7 (de Riesz-Fischer). Con la norma derivada del producto escalar anterior,jjf jj =

p< f; f >;8f 2 L2(a; b); el espacio L2(a; b) es completo. Por tanto L2(a; b) es un

espacio de Hilbert separable de dimensión in�nita.

De�nición 4.0.8 Sea A � L2(a; b), diremos que f; g 2 A son ortogonales si hf; gi = 0 conf 6= g, si además de lo anterior hf; fi = 1; entonces diremos que f y g son ortonormales.

De�nición 4.0.9 Sea ffn;n 2 Ng un subconjunto ortonormal de L2(a; b) (esto es que f yg son ortonnormales 8f; g elementos del conjunto), diremos que dicho subconjunto es unabase si cualquier elemento f 2 L2(a; b); se expresa como [12]

f =1Xn=1

hf; fni fn (4.0.4)

Ejemplo: El siguiente conjunto es una base de L2(��; �)�1p2�;1p�cos(nx);

1p�sen(nx); n 2 N

�Si de�nimos ahora L2(S1); donde S1 hace referencia a la circunferencia unidad, obten-

emos un resultado muy interesante [21]:

Teorema 4.0.10 La familia de funciones de�nida por

en(x) = e2�inx = cos(2�nx) + isen(2�nx) (4.0.5)

forman una base ortonormal para L2(S1). En consecuencia, toda función f 2 L2(S1) puedeser expandida mediante una Serie de Fourier en la forma

f(x) =1X

n=�1f̂(n)en (4.0.6)

con coe�cientes

f̂(n) = (f; en) =

1Z0

f en =

1Z0

f(x)e�2�inxdx (4.0.7)

Capítulo 4. El espacio de funciones de cuadrado integrable 35

Convergencia en L2(a; b):

Primero recordaremos los principales tipos de convergencia y, seguidamente, la relaciónque existe entre ellos.

Una sucesión de funciones ffng � L2(a; b) converge uniformemente a f 2 L2(a; b) si:

8" > 0 9N" 2 N tal que 8n � N"; jfn(x)� f(x)j � "; 8x 2 [a; b]

Una sucesión de funciones ffng � L2(a; b) converge puntualmente (c.p.d.) a f 2L2(a; b) si:

8" > 0 9N";x 2 N tal que 8n � N";x; jfn(x)� f(x)j � "; c.p.d. en [a; b]

Una sucesión de funciones ffng � L2(a; b) converge a f 2 L2(a; b) en L2(a; b) si:

8" > 0 9N "2 N tal que 8n � N "; jjfn(x)� f(x)jj =

0@ bZa

jfn(x)� f(x)j2dx

1A1=2

� "

Relación entre las diferentes convergencias [12]:

Si ffng �! f uniformemente en [a; b] =) ffng �! f en L2(a; b) (el recíproco esfalso).

Si ffng �! f uniformemente en [a; b] =) ffng �! f c.p.d (el recíproco es falso).

Si ffng �! f en L2(a; b) ; ffng �! f c.p.d.

Si ffng �! f c.p.d ; ffng �! f en L2(a; b):

Capítulo 5

Otros temas relacionados con elAnálisis de Fourier

5.1. Funciones continuas no derivables

Hoy en día podríamos considerar obvios algunos conceptos como continuidad y deriv-abilidad, pero no siempre ha sido así. De hecho, durante mucho tiempo se creyó que lasfunciones continuas tenían que ser derivables excepto, quizás, en conjuntos aislados depuntos. Pero, después del trabajo de Fourier y las controversias que despertó sobre cómodebían ser las funciones para que hubiera convergencia de, lo que actualmente llamamos,�series de Fourier�, se empezaron a estudiar funciones �raras�, como las continuas que noson derivables en todos los puntos [12].

Antes de continuar, diremos que una función continua f : [a; b] �! R es no derivableen [a; b] si @f 0(x); 8x 2 [a; b].

La primera demostración de la existencia de una función continua no derivable enningún punto parece provenir del matemático checo Bernard Placidus Tohann NepomukBolzano, aunque él solamente a�rmaba la no existencia de la derivada en un conjunto densode puntos. Fue Bolzano quien, en 1830, inventó un procedimiento para la construcción defunciones continuas no derivables, pero su manuscrito �Functionenlehre�, donde aparecíadicha función, no fue publicado hasta un siglo después, en 1930, así que no recibió elreconocimiento [10].

La tesis de Johan Thim (véase [29]) contiene detalladamente la construcción de Bolzanoasí como el estudio de otras 17 funciones no derivables en ningún punto.

Posteriormente, en 1861, Riemann propuso el siguiente ejemplo de función continuacon in�nitos puntos donde no es derivable [17]:

38

Capítulo 5. Otros temas relacionados con el Análisis de Fourier

1Xn=1

sen(n2x)

n2(5.1.1)

Fue Gerver quien demostró que 5.1.1 es derivable en todos los múltiplos racionales de� de la forma (2p+1)�=(2q+1), donde p; q 2 Z y que no es derivable en ningún punto dela forma 2p�=(2q + 1) o (2p+ 1)�=2q.

Pero el ejemplo sorprendente fue dado más tarde por Weierstrass y que dejó atónitosa los miembros de la Real Academia de Ciencias de Berlín. Consistía en una función real,de varible real, continua en todo punto pero no derivable en ninguno. En el volumen 2 desu Mathematische Werke, publicado en 1895, aparece dicha función [10]:

1Xn=0

an cos(bn�x) (5.1.2)

siendo 0 < a < 1; ab > 1 + (3�=2) y b es un entero impar mayor que 1.Más tarde, en 1916, G. H. Hardy probó que la función de Weierstrass sigue siendo

continua y nunca derivable si además de la condición 0 < a < 1 se exige que ab � 1, conb > 1, pero sin pedirle que sea un entero impar.

Una vez visto que existen este tipo de funciones y que, a lo largo de la historia, diferentesmatemáticos han dado y probado ejemplos sobre ello, podríamos pensar que al ser �raras�deberían de ser pocas y difícil de encontrar. Pues bien, lejos de la intuición, lo primerono es así, pues resulta que la existencia de tales funciones constituye, desde el punto devista topológico, la regla y no la excepción [10]. En la actualidad, el Análisis Funcionalpermite probar que estas funciones son numerosas y son las que �usualmente cabe esperar�[12]. De hecho, el Teorema de Categoría de Baire nos asegura la abundancia de funcionescontinuas no derivables en ningún punto, aunque construirlas es, en general, un trabajomuy costoso. El comentario a dicho teorema podemos encontrarlo de manera muy simpleen [12]:

Sea X un espacio de Banach real, si M � X, diremos que M es de primeracategoría en X si y solamente siM es alguna unión numerable de subconjuntosMn de X tales que cada Mn veri�ca la propiedad intMn = ;; donde intMn

denota el interior de la clausura de Mn: Un subconjunto M de X se dice desegunda categoría en X; si M no es de primera categoría (�podemos intuirque los conjuntos de segunda categoría tienen más elementos que los de laprimera�).

§5.1 Funciones continuas no derivables 39

Supongamos que X = C([a; b];R) espacio de Banach con la norma siguiente

jjf jj = m�axx2[a;b]fjf(x)jg; 8f 2 X

SeaM = ff 2 X : 9x� 2 [0; 1) y 9f 0(x�+)g

Puede probarse que M es de primera categoría en X y, consecuentemente,XnM es de segunda categoría en X:

Por tanto, queda visto que las funciones continuas no derivables no sólo existen sinoque son �numerosas�.

40


5.2. Teoría de conjuntos de Cantor y unicidad de la repre-sentación de una función en serie trigonométrica

Los criterios de convergencia de la serie de Fourier proporcionan condiciones su�cientespara que:

f(x) =a02+

1Xn=1

(an cos(nx) + bnsen(nx)) (5.2.3)

pero, hasta entonces, los matemáticos no tenían claro si podía haber otras seriestrigonométricas con la misma suma.

¿Existirían dos series trigonométricas distintas con la misma suma? Es decir, ¿habríaalgún a

00 6= a0;a

0n 6= an y b

0n 6= bn para que fuera cierta la siguiente igualdad? [14]

f(x) =a02+

1Xn=1

(an cos(nx) + bnsen(nx)) =a00

2+

1Xn=1

(a0n cos(nx) + b

0nsen(nx));8x 2 R

(5.2.4)Esto era el conocido �problema de unicidad de la representación de una función en

serie trigonométrica�, que fue estudiado, entre otros, por Cantor.

Como ya sabemos, Cantor nació en San Petesburgo, Rusia, en 1845, en el seno deuna familia de músicos y comerciantes. Empezó sus estudios de matemáticas en Alemaniadonde recibió clases de Weierstrass, Kummer y Kronecker y, a los veintitrés años, recibióel título de Doctor por la Universidad de Berlín con una tesis sobre teoría de números[27]. Dos años después, empezó a trabajar en la Universidad de Halle am Saale y fue allídonde comenzó a indagar más sobre las series trigonométricas, los números reales, númerosirracionales como sucesión in�nita de números racionales... Lo cierto es que sus ideas noestaban muy bien vistas por las controversias que generaba, desde la antigüedad, la nocióndel in�nito y los conjuntos in�nitos completos. Recordemos que en esos años la religióntenía mucho poder y, como aseguraban muchos teólogos �el único in�nito en el acto sólopuede ser Dios�[24]. En un texto, el propio Cantor re�ejó su opinión al respecto:

¿quién osa negar a Dios el poder de conocer todos los números y, en par-ticular, los números in�nitos? ¿Debemos creer, a caso, que Dios puede sumarnúmeros hasta un cierto límite pero le está vedado ir más allá? [24]

§5.2 Teoría de conjuntos de Cantor y unicidad de la representación de una función en serietrigonométrica

41

Como es de esperar, Cantor prosiguió con sus estudios; para él los números trans�nitoseran necesarios para seguir avanzando en la teoría de conjuntos y en los números reales.De hecho, se le conoce sobre todo por la teoría de los conjuntos que llevan su nombre,aunque realmente no fue el primero en introducir dichos conjuntos, sino que el primerregistro publicado es de H. J. S. Smith, catedrático de la Universidad de Oxford en 1875[24].

Cantor escribió cinco artículos entre 1879 y 1884, que contienen el primer tratamientosistemático de la topología de la recta real y conjuntos derivados. De�nió conceptos como�punto de acumulación�, �conjunto cerrado�, �conjunto denso�, �conjunto perfecto� y�conjunto ternario�.

Pero nosotros nos centraremos, principalmente, en su trabajo relacionado con las seriestrigonométricas, puesto que parte de sus teorías se vieron motivadas por el estudio de lospuntos de convergencia o divergencia de dichas series.

Fue en la Universidad de Halle cuando Cantor, con 24 años, cambió sus investigaciones,pasó de la teoría de números al análisis. Este cambio de rumbo fue debido a Heine, unode sus mejores compañeros allí, quien le desa�ó a probar el problema de la unicidad dela representación de una función como serie trigonométrica [27] (problema planteado alcomienzo de este punto). En aquél momento, ésta era una cuestión a la que se enfrentabanmuchos matemáticos, entre ellos el propio Heine, Dirichlet, Lipschitz y Riemann [27].Cantor probó que sí que había unicidad, es decir, que no podía darse 5.2.4 a no ser quea00 = a0;a

0n = an y b

0n = bn;8n 2 N. Además, probó que en un conjunto �nito de puntos

se podría prescindir de la convergencia, pero hoy en día seguimos sin saber, con todageneralidad, de cuántos puntos se puede llegar a prescindir sin que afecte a la unicidad.Aún así, Cantor demostró que dicho conjunto de puntos podía tener in�nitos elementossiempre que el conjunto fuera de �orden �nito�(es decir, si algún derivado suyo es �nito)[12].

Más tarde se demostró que los conjuntos numerables (y algunos no numerables) sonválidos como conjuntos de puntos donde puede fallar la convergencia de la serie trigonométri-ca y siga habiendo unicidad [12].

Entre 1870 y 1872, Cantor publicó varios artículos que trataron las series trigonométri-cas y, durante muchísimos años, estuvo manteniendo correspondencia con Dedekind ySchwarz, a quienes les contaba sus ideas y compartían resultados [27].

Pero los trabajos de Cantor fueron más alla de lo que hemos citado, pues tambiénprobó que los números racionales son numerables, que los números algebraicos son numer-ables, que el conjunto de los números reales no era numerable, que en cierto sentido çasitodos"los números son trascendentes, que hay una correspondencia biunívoca entre puntosdel intervalo [0,1] y puntos del espacio p-dimensional, etc. [27]

42


Aunque, �nalmente, sus episodios de depresión fueron aumentando con el tiempo y leacabaron alejando del mundo matemático hasta su muerte, Hilbert describió la obra deCantor como [27]:

�el producto más bello del genio matemático y uno de los logros supremosde la actividad humana puramente intelectual�.

Para conocer más curiosidades sobre la vida de Cantor y sus estudios, ver [24] y [27].

§5.3 Valores propios y funciones propias (de problemas de contorno tipo Sturm-Liouville) 43

5.3. Valores propios y funciones propias (de problemas decontorno tipo Sturm-Liouville)

Anteriormente, hemos visto desarrollos en series de Fourier generales, pero recordemosque dicho desarrollo se crea partiendo de una base especí�ca, así que es obvio pensar quesi consideramos problemas diferentes a los vistos, obtengamos desarrollos distintos. Deahí viene la importancia de estudiar los problemas de contorno de "Sturm-Liouville", yaque éstos nos proporcionarán, de manera bastante general, bases del espacio L2(a; b). Perovayamos por partes y comencemos explicando a qué tipo de problemas nos referimos yqué son los valores y funciones propias.

Los valores propios y las funciones propias los encontramos en problemas conocidoscomo "problemas de Sturm-Liouville", que se introdujeron entre 1829 y 1837 por CharlesSturm (1803-1855) y Joseph Liouville (1809-1882), profesores de Mecánica en la Universi-dad de la Sorbona y de Matemáticas en el College de Francia, respectivamente.

Un problema de Sturm-Liouville no es más que un problema de contorno de la forma[12]

(p(t) x0(t))0 + (�� q(t)) x(t) = 0; t 2 [a; b] (5.3.5)

�1x(a) + �2x0(a) = 0

�1x(b) + �2x0(b) = 0

donde las dos expresiones últimas son las condiciones de contorno o condiciones enlos extremos y, siendo � 2 R; p 2 C1([a; b];R), p(t) > 0;8t 2 [a; b]; q 2 C([a; b];R);�1; �2; �1; �2 2 R tales que j�1j+j�2j> 0 y j�1j+j�2j> 0:

Decimos que � 2 R es valor propio de 5.3.5 si 5.3.5 tiene alguna solución no trivial(obsérvese que el problema siempre admite la solución trivial x(t) = 0), y las solucionesasociadas a cada valor propio son las llamadas funciones propias.

Además, Sturm y Liouville demostraron que [14]:

i) Cualquier valor propio de 5.3.5 es de multiplicidad 1.

ii) Cualquier par de funciones propias x e y, asociadas a valores propios distintos � y �;son ortogonales, es decir:

bZa

x(t)y(t)dt = 0

44


iii) El conjunto de valores propios de 5.3.5 es in�nito numerable y el sistema ortonormalde funciones propias asociado, es una base de L2(a; b):

iv) Sea g 2 C2[a; b] cualquier función satisfaciendo las condiciones de contorno de 5.3.5 y�n las funciones propias asociadas a cada valor propio, �n; se tiene que:

g(t) =1Xn=1

hg;�ni�n(t); 8t 2 [a; b]

donde la serie converge absoluta y uniformemente en [a; b]:

Pues bien, si estudiamos el siguiente problema, que hace referencia a las vibracionespequeñas de una cuerda de extremos libres [13]

@2u(x; t)

@t2=@2u(x; t)

@x2; 0 < x < �; t > 0 (5.3.6)

u(x; 0) = f(x); 0 � x � �@u(x; 0)

@t= 0; 0 � x � �

@u(0; t)

@x=@u(�; t)

@x; t � 0

buscando soluciones del tipo u(x; t) = X(x)P (t) y aplicando el método de separaciónde variables, obtenemos el siguiente problema de contorno de Sturm-Liouville:

X 00(x) + �X(x) = 0; x 2 (0; �) (5.3.7)

X 0(0) = X 0(�) = 0

cuyas funciones propias nos darán un desarrollo en serie de Fourier que no habíamosconsiderado anteriormente.

Igual ocurre con la ecuación del calor propuesta por Fourier [12]

@2u(x; t)

@x2=@u(x; t)

@t; 0 < x < �; 0 < t < T (5.3.8)

u(0; t) = u(�; t) = 0; 0 � t � Tu(x; 0) = f(x); 0 � x � �

§5.3 Valores propios y funciones propias (de problemas de contorno tipo Sturm-Liouville) 45

pues, al intentar resolverla usando el método de separación de variables, se obtiene elsiguiente problema de Sturm Liouville:

X 00(x) + �X(x) = 0; x 2 (0; �) (5.3.9)

X(0) = X(�) = 0

cuyas funciones propias nos proporcionarán un desarrollo en serie de Fourier diferente.

Incluso, considerando otras condiciones de contorno de tipo mixto, llegamos a distintosdesarrollos en serie. Por ejemplo [13]:

1. Si consideramos las condiciones de contorno X(0) = X(�) = 0 se obtendría la basenq2�sen(nx); n 2 N

oque da lugar al desarrollo en serie de Fourier

f(x) =

1Xn=1

ansen(nx);8x 2 [0; �] (5.3.10)

2. Si tomamos ahora las condiciones X 0(0) = X 0(�) = 0 obtendríamos la basen1p�;q

2� cos(nx); n 2 N

oque da lugar al desarrollo

f(x) =b02+

1Xn=1

bn cos(nx);8x 2 [0; �] (5.3.11)

Vemos pues, que la teoría de problemas de Sturm-Liouville nos proporciona diferentesbases del espacio L2(a; b):

Si � Rn es un abierto acotado, para construir bases del espacio L2() necesitamosversiones multidimensionales de los problemas de valores propios anteriores. Por ejempo,del tipo

�u = �u; en (5.3.12)

u = 0; en @

donde � es el operador laplaciano y @ denota la frontera de .Tanto los problemas de contorno del tipo Sturm-Liouville, como los ahora mencionados,

pueden presentarse hoy en día de manera uni�cada a través de la teoría de operadorescompactos y autoadjuntos en espacios de Hilbert (véase [9], [1] y [15]).

46


5.4. Origen histórico de la Transformada de Fourier (solu-ciones acotadas de la ecuación del calor en Rnx(0;+1))

Una de las herramientas más utilizadas de análisis en el campo cientí�co es la Transfor-mada de Fourier. Es muy útil en campos como la ingeniería biomédica, el procesamientode señales, las comunicaciones, el electromagnetismo, la acústica, los métodos numéricos,los radares, etc.[6]

A continuación vamos a ver una motivación muy interesante (de Fourier) sobre lanoción de transformada de Fourier a partir del problema de Cauchy para la ecuación delcalor (puede encontrarse más completa en [30]):

ut(x; t) = �xu(x; t); x 2 Rn; t > 0 (5.4.13)

u(x; 0) = '(x); x 2 Rn

donde ut hace referencia a la derivada parcial con respecto a t de la función u(x; t) y�x es el laplaciano con respecto a la variable x.

Para simpli�car el problema, nos centraremos en el caso particular cuando n=1 y '(x)es acotada, y buscaremos soluciones acotadas no triviales de la forma u(x; t) = X(x)T (t);obteniendo las siguientes ecuaciones diferenciales ordinarias:

X 00(x)� �X(x) = 0; x 2 R (5.4.14)

T 0(t)� �T (t) = 0; t > 0

Si calculamos los valores propios (los valores de � para los que la primera ecuación de5.4.14 tiene soluciones no triviales acotadas), obtenemos que � � 0; así que nos quedaremosen este caso. De esta forma, podemos escribir las ecuaciones anteriores como:

X 00(x) + �2X(x) = 0; x 2 R (5.4.15)

T 0(t) + �2T (t) = 0; t > 0

Lo que nos lleva a la funciónA(�)e��

2t+i�x (5.4.16)

que es una solución acotada de la ecuación del calor, siendo � 2 R y A(�) una constanteque depende de dicho �:

Si nos encontrásemos en la situación de que '(x); que aparece en 5.4.13, fuera del tipo'(x) = cei�x para �; c 2 R el problema estaría resuelto, pero por lo general no ocurreesto. Entonces el problema es si será posible calcular la única solución de 5.4.13 acotada

§5.4 Origen histórico de la Transformada de Fourier (soluciones acotadas de la ecuación del caloren Rnx(0;+1)) 47

teniendo en cuenta todas las soluciones acotadas anteriores. Parece lógico pensar en sumartodas esas soluciones, así que consideramos

u(x; t) =

1Z�1

A(�)e��2t+i�xd� (5.4.17)

donde A(�) debe ser elegido de manera que se cumpla lo siguiente:

u(x; 0) = '(x) =

1Z�1

A(�)ei�xd� (5.4.18)

Considerando ciertas condiciones que deben cumplir ' y A; (por ejemplo que '; A 2L1(R)) entonces obtenemos que A tiene que ser

A(�) =1

2�

1Z�1

'(y)e�i�ydy (5.4.19)

Sustituyendo esta última expresión en 5.4.17 y teniendo en cuenta que

1Z�1

e�(u�i�)2du =

1Z�1

e�u2du =

p�; 8� 2 R (5.4.20)

obtenemos la única solución acotada de 5.4.13

u(x; t) =

1Z�1

K(x; �; t)'(�)d�; t > 0 (5.4.21)

siendo K(x; �; t) = 1p4�te�(x��)

2=4t (recordemos que estamos en el caso n=1).

Pues bien, la expresión obtenida en 5.4.19 es lo que conocemos como la Transformadade Fourier [30].

48


Capítulo 6

Apéndice

50 Capítulo 6. Apéndice

Capítulo 6. Apéndice 51

52 Capítulo 6. Apéndice

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