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INSTITUCIN EDUCATIVA

JUAN HURTADOBeln de UmbraUNIDAD DE PRODUCCIN DE CONOCIMIENTO N 3 TRIGONOMETRA GRADO 10 Ao 2.010

Esp. Jorge Ivn Lugo C.

NOMBRE ____________________________GRADO ________

3.1. TTULO

APLICACIN DE

TRINGULOS

RECTNGULOS

Y

OBLICUNGULOS

3.2. PLANTEAMIENTOHistricamente los inicios de la trigonometra se encuentran en frica; los antiguos egipcios y babilonios fueron los primeros en plantear estudios rudimentarios en esta rea. Un estudio ms elaborado de la trigonometra se promovi en Grecia, en donde se estableca una estrecha relacin entre trigonometra y astronoma. El griego Hiparco de Nicea, conocido como el padre de la trigonometra, plante una tabla trigonomtrica, pero fue Ptolomeo, cuatro siglos ms tarde, quien en su libro el Almagesto incorpor una tabla primitiva de Senos basada en cuerdas usada en la descripcin de las posiciones de las estrellas.La trigonometra se aplic en campos de la navegacin y geodesia para determinar una distancia que no poda ser medida de forma directa. Loa astrnomos buscaban gran exactitud que les permitiera predecir eclipses, seguridad en la navegacin, conocer movimientos de los astros y elaborar calendarios. Tambin se encuentran notables aplicaciones en la fsica y en casi todas las ramas de la ingeniera.3.3. LOGROS Plantea y resuelve situaciones problema aplicando funciones trigonomtricas. Plantea y resuelve situaciones problema aplicando teoremas de Seno y Coseno.3.4. CONDUCTA DE ENTRADALa rama de la matemtica a la que se le da el nombre de trigonometra est dedicada, ante todo, a medidas y relaciones numricas que existen entre los lados y los ngulos de un tringulo y su aplicacin al clculo de sus diversos elementos. Por consiguiente, si el enunciado de un problema puede traducirse en un dibujo constituido por lneas rectas y ngulos, puede tratar de resolverse por los mtodos de la trigonometra plana. De esta manera, a partir de un conjunto suficiente de datos conocidos, pueden determinarse los distintos elementos de la figura, tales como las dimensiones de ngulos, reas, etc.

1. La altura de una montaa cuya cumbre y base eran inaccesibles, se determin del siguiente modo: se midi el ngulo de elevacin de la cumbre desde un punto situado a determinada distancia en una llanura horizontal y se vio que era 30; se repiti la medida desde un punto ms alejado, un kilmetro ms all de la montaa, y se comprob que el ngulo de elevacin era, en este caso, 25. Cul es la altura de la montaa?

2. Resuelva el siguiente planteamiento:

En la siguiente cruz X = 64 cm. Calcule el rea de la cruz.

x

3.5. ORIENTACIN TEMTICAAplicacin de Tringulos RectngulosLos valores de las funciones trigonomtricas fueron definidos en trminos de la razn entre las longitudes de los lados de un tringulo rectngulo. Consideremos un tringulo rectngulo con ngulos agudos ( y (, los lados opuestos a estos ngulos por a y b, respectivamente, y sea r la longitud de la hipotenusa del tringulo. El vrtice del ngulo ( en el origen de un sistema de coordenadas, cuyo eje positivo de las X es una extensin del lado de longitud b:

Y

a : Lado Opuesto a ngulo (b : Lado Adyacente a ngulo ( (b,a)

r : Hipotenusa: Radio ((: ngulo r

a

( X b

Las coordenadas del vrtice de ( son (b,a). Como el ngulo ( queda en posicin normal, se puede escribir:

El uso de las ecuaciones anteriores permiten plantear situaciones que pueden ser resueltas con tringulos rectngulos (es decir, determinar los lados y ngulos desconocidos). Para resolver un tringulo basta con conocer: un lado y un ngulo agudo o dos lados cualesquiera. Ejemplos Aplicados:

1. Un hombre est situado a 15 m del pie de un mstil de bandera, y el ngulo de elevacin (ngulo agudo formado por la visual y la horizontal que pasa por el punto de observacin) al tope del mstil es de 60. Hallar la altura del mstil.

2. Desde un cierto punto sobre el plano del pie de una montaa, el ngulo de elevacin al pico es de 45. En otro punto, situado a 2000 m ms lejos que el punto anterior, el ngulo de elevacin es de 30. Cul es la altura de la montaa?

3. Cierto canal de televisin sita una antena de 115 pies sobre un cerro. Los ngulos de elevacin de la punta y la base de la antena con respecto al suelo son 47 y 39 respectivamente, Cul es la altura del cerro?

4. Un pjaro est ubicado en la copa de un rbol y observa el extremo de la sombra que proyecta el rbol en el piso con un ngulo de depresin de 58. Si la sombra proyectada en el piso mide 8,8 metros, cul es la altura del rbol?.

5. Una persona sube por un camino que tiene una pendiente de 25 con respecto a la horizontal. Despus de caminar 750 m, a qu altura sobre el nivel inicial se encuentra la persona?

6. Una embarcacin parte desde un faro que tiene una altura de 50 m. Cuando se encuentra a 2 km sufre fallas y enva una seal al extremo superior del faro mediante un reflector. Cul es el ngulo de elevacin que forma el reflector de la embarcacin con la parte superior del faro?. Cul es el valor del ngulo de depresin que se forma en el extremo superior del faro?

3.6. TRABAJO INDIVIDUALPlantear y resolver las siguientes situaciones:1. El extremo inferior de una escalera apoyada contra una pared se encuentra a 10 m de la pared. Si alcanza justo hasta una ventana situada a 20 m del suelo, qu ngulo forma la escalera con el suelo?

2. Un observador ve un globo aerosttico con un ngulo de elevacin de 35. Si el observador se desplaza 500 m hacia la posicin del globo, el ngulo de elevacin es de 43. Cul es la altura del globo?

3. Desde la parte alta de una torre de 120 pies de altura, el ngulo de depresin de un objeto colocado en el plano horizontal de la base de la torre, es de 24. A qu distancia est el objeto del pie de la torre? A qu distancia del observador est el objeto?

4. Un avin se encuentra, en un momento dado, a 4000 m en la vertical de un barco. Se observa entonces desde el avin un iceberg con un ngulo de depresin de 22. Hallar la distancia del avin al iceberg.

5. Un hombre de pie, situado a 5 metros de la pared de una galera de arte, observa que el ngulo de elevacin de la parte superior de uno de los cuadros es 30 y el ngulo de elevacin de la parte inferior es 15, Cul es la altura del cuadro?

6. Un avin de reconocimiento que vuela a 1000 m ve dos botes delante de l. Si los ngulos de depresin son 31 y 42, respectivamente, hallar la distancia entre los botes.

7. En un cierto punto el ngulo de elevacin de la cumbre de una montaa es de 34 28; en un segundo punto, 500 m ms alejado, el ngulo de elevacin de la cumbre es de 31. Hallar la altura de la cumbre.

8. Un observador en el suelo ve hacia el este una cometa con un ngulo de elevacin de 36 y otra persona la ve hacia el oeste, con un ngulo de elevacin de 36. Si estos dos observadores estn separados 200 pies, a qu altura est la cometa?

9. Desde la azotea de un edificio se observa que los ngulos de elevacin y depresin a la parte superior e inferior de una torre, son 42 y 28, respectivamente. Si la altura del edificio es de 32 m, cul es la altura de la torre?

10. Desde el puente de un trasatlntico, 20 m arriba del nivel del agua, se observa una balsa con un ngulo de depresin de 21. Hallar la distancia del trasatlntico a la balsa.

11. Un buque navega 32 km al sur y despus 15 km al oeste. Determinar el rumbo que debe tomar para regresar a su punto de partida.

12. Una torre de telecomunicaciones de 150 m de altura, proyecta una sombra de 70 m. Cul es el ngulo de elevacin del sol en ese instante?3.7. TRABAJO GRUPAL

Renase con dos compaeros ms y resuelvan los siguientes problemas:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

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