Unida 1 Gu a 2 Teorema Del Binomio

UNIDAD 1 (2ª parte) Teorema de BinomioBIOMATEMATICAS I LICENCIATURA EN BIOTECNOLOGIA

Prof. Rolando Muñoz Garay 1

Guía 2: Teorema del Binomio

OBJETIVO : Desarrollar potencias de binomios

INTRODUCCION : Esta unidad consiste en encontrar una fórmula que permita obtener el desarrollo deun binomio con exponente n, donde n es un número natural o encontrar un término de él, sin necesidadde desarrollarlo completamente.

DESARROLLO: Sean a y b dos números reales y n natural :

( a + b )1 = a + b

( a + b )2 = a2 + 2 a b + b2

( a + b )3 = a3 + 3a2 b + 3 a b2 + b3

( a + b )4 = a4 +4 a3 b + 6 a2 b2 + 4 a b3 + b4

( a + b )5 = a5 +5a4 b +10 a3 b2 + 10 a2 b3 + 5 a b4 + b5

Se pueden observar las siguientes características :

1) El número de términos del desarrollo de ( a + b )n es (n + 1)

2) En primer término a aparece con exponente n y luego decrece hasta llegar a cero. Con el segundotérmino b, ocurre lo contrario.

3) Los coeficientes numéricos se obtienen del número combinatorio n

k

con k variando desde 0 a n.

Resumiendo :

( )a bn

ka bn n k k

k

n

+ =

−

=∑

0

Fórmula conocida como “Teorema del binomio”

Universidad Iberoamericana de Ciencias y TecnologíaGuía N° 4 Teorema del Binomio


EJERCICIOS RESUELTOS

1) 1) Calcular ( x + 6 )5

Solución :

( )x x x x x x x+ =

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅ +

⋅6

5

06

5

16

5

26

5

36

5

46

5

565 5 0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 5

= + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ +

= + + + + +

x x x x x

x x x x x

5 4 3 2

5 4 3 2

5 6 10 36 10 216 5 1296 7 776

30 360 2160 6 480 7 776

. .

. . .

2). 2). Encuentre los 3 primeros términos en el desarrollo de 1 3

10

x y−

Solución :

Tx y x1

10 0

10

10

01 3 1

=

−

=

Tx y x y x y2

9 1

9 9

10

11 3

101 3 30

=

−

= ⋅ ⋅

−=

−

Tx y x y x y3

8 2

8 2 8 2

10

21 3

451 9 405

=

−

= ⋅ ⋅ =

3). 3). El término central obtenido al desarrollar

ax

xa

+

10

Solución : El desarrollo tiene 11 términos, luego el central es el sexto :

Tax

xa6

5 510

5 =

= 252252. Note que el término es independiente de x, es decir, su

valor no depende de x

4). 4). Indique el valor de n para que los terceros términos de xx

n2 1

+

y

xx

n3

2

1+

sean iguales

Solución :

( ) ( )nx

x

nx

xn n

21

212 2

23 2

2

=

− −



x x x xn n2 4 2 3 6 4− − − −⋅ = ⋅

x x n nn n2 6 3 10 2 6 3 16− −= ⇒ − = − ⇒ n = 4

5) 5) Si el término independiente de x en el desarrollo de xx

n2 5

3−

es el

quinto, determine el valor de x

Solución:

Para que el quinto término sea independiente de x, su exponente debe ser0 :

T5 = ( )nx

xn

45

32 4

4

−

− Recuerde que el quinto término se obtiene cuando k toma el valor

4

Entonces : x2n-8 x-4 = x0

Entonces : x2n-12 = x0

Por lo tanto : 2n – 12 = 0

Finalmente x = 6



EJERCICIOS PROPUESTOS

I. I. Calcule el valor de n en las siguientes ecuaciones

1) n

255

= 2)

n n

2

1

3

=

+

3)

n n

n n

5 4

5 4

12

−

+

=

II. Desarrolle :

1) ( 2 x + y2 )3 2) ( )x y3 36

−

III. Determine :

1) El cuarto término de ( )x y−9

2) El quinto término de 3 2

6

x y−

3) El término central de ( )1 2 10− x

4) El término independiente de x en xx

291

−

IV. 1) Determine el valor de n para que los cuartos términos de

xx

n

−

12

3

y xx

n2

3

31+

sean iguales.

2) Demuestre que la suma de los coeficientes de x 32 y de x -17 en el desarrollo de xx

43

151−

es cero.

IV. Pruebe que n

k

=

n

k + 1y utilice esta propiedad para probar que el

coeficiente del término central de (1+x)2n es igual a la suma de loscoeficientes centrales de (1+x)2n-1

V. Si en el desarrollo de xx

2

10

1210

+

ael término independiente de x es 576.

Determine aa



SOLUCION A EJERCICIOS PROPUESTOS

I.1)11

2) 2

3) 9

II. Realiza tú el desarrollo pedido.

III.

1) − 154 3 3x y

2) 2160

2xy

3) - 252 x10

4) 84

IV. Determina y demuestra tu mismo.

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