Unidad 7: Exerga

Termodinmica y Mquinas Trmicas

Ricardo ALONSO 1

TERMODINMICA Y MQUINAS TRMICAS

EXERGA 7.1 Introduccin: Exerga o energa utilizable es la energa transformable en trabajo til. Anerga es la energa no transformable en trabajo til.

7.2 Calor utilizable o exerga del calor: Si se dispone de una fuente caliente a T1 mayor que la temperatura atmosfrica T0 a la que se encuentra la fuente fra, ser posible tomando Q1 de la fuente caliente obtener un trabajo W si se intercala una mquina trmica, entre ambas fuentes.

Q1

W

Q0

Figura 7.1

Qu = Q1 - T0 * 1

1

TQ

(7-2)

La ecuacin (7-2) nos indica que podemos descomponer una cierta cantidad de calor, proveniente de una fuente a temperatura T1 en dos partes: Qu: calor utilizable o exerga, que es la que tericamente podr transformarse en trabajo; Qnu: calor no utilizable o anerga, es la que ni an la mquina trmica perfecta puede transformar en trabajo, es energa no transformable. Por lo tanto se puede escribir:

Q1 = Qu + Qnu

Toda cantidad de calor se compone de exerga y anerga La distribucin exerga y anerga.de una cierta cantidad de calor depende de la temperatura de la fuente de la cual proviene. Si la temperatura T1 fuese infinita, todo el calor sera nicamente exerga. En cambio si la fuente estuviera a igual temperatura que la atmsfera T1 = T0, el calor que suministre ser totalmente anerga. La conclusin es que la energa trmica es de diferente calidad segn la temperatura de la fuente de que proviene.

Figura : 7-2

El rea encerrada entre las dos isotrmicas T1 y T0 representar el calor utilizable o exerga Qu = Q1- T0* S

T1

MT

T0

El trabajo ser: W = * Q1, para que L sea mximo se deber instalar una mquina trmica reversible, de acuerdo con el teorema

de Carnot: Wmx = R * Q1

El rendimiento de la mquina trmica reversible, vale:R = 1- 1

0

TT

Por lo tanto el mximo trabajo obtenible valdr: Wmx = [1-

1

0

TT ] * Q1 (7-1)

A este mximo trabajo que podra obtenerse de la cantidad de calor se lo denominar calor utilizable Qu exerga y vale:

Si en el diagrama entrpico consideramos que el fluido intermediario de la mquina trmica reversible recorre un ciclo de Carnot, el rea debajo de T1 representa el calor cedido por la fuente caliente Q1. La variacin de entropa durante la

isoterma T1 vale: S = 1

1

TQ

El calor no utilizable o anerga valdr:

Qnu = T0 * 1

1

TQ

= T0 * S

y estar representado por el rea debajo de la isotrmica a T0.

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En las expresiones planteadas Q1 y S tienen los signos que corresponden al fluido intermediario empleado en la mquina. Hasta el momento se ha considerado el caso del calor proveniente de una fuente que por definicin debe tener capacidad calorfica infinita, es decir que su temperatura no se altera cualquiera sea la cantidad de calor que se le entregue o se le quite. En la realidad nunca se dispondr de fuentes en estas condiciones, sino de cuerpos con capacidad calorfica limitada y los cuales al recibir o entregar calor varan su temperatura, por lo menos despus de ciertos valores en la cantidad de calor intercambiado. Veamos si se puede aplicar el concepto de exerga al caso de un cuerpo de capacidad calorfica limitada. Si se dispone de un cuerpo a una T1>T0 (que es la atmosfrica), al ponerlo en contacto con la atmsfera, ceder calor hasta lograr el equilibrio trmico, no habindose obtenido trabajo til. Si en cambio intercalamos una mquina trmica entre el cuerpo y la atmsfera, la mquina funcionar produciendo trabajo, recibiendo calor del cuerpo y entregando calor a la atmsfera. El cuerpo alcanzar el equilibrio trmico como en el proceso anterior, pero en este caso obteniendo un trabajo til. El mximo trabajo til, ser la exerga debida al desequilibrio trmico con la atmsfera.

Figura: 7-3

Si ahora el cuerpo se encuentra a una T1

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7.3 Exerga debido al desequilibrio mecnico: Si se dispone de un sistema sometido a una presin p1>p0 que es la que reina en la atmsfera, ser posible obtener trabajo mecnico haciendo evolucionar el sistema hasta que alcance la presin atmosfrica p0. Ser suficiente intercalar una mquina neumtica. El trabajo obtenido depender del tipo de transformacin que experimente el sistema y ser mximo si la misma es reversible. Para calcular esta exerga trazamos la transformacin en el diagrama de Clayperon.

Figura: 7-5 El trabajo til ser la diferencia entre el total que desarrolla el sistema y el de dilatacin. Su valor ser: Wut = W W dil Reemplazando los valores hallados en (7-8) y (7-9)

Wut = 0

1

*dVp - p0 (V0 - V1) (7-10)

Ejemplos: Supongamos un gas a p1

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Figura: 7-8

7.4 Exerga del vaco: Si se dispone de un volumen vaco, tambin podr obtenerse un trabajo til por accin de la atmsfera que se encuentra a p0, no es ms que el caso lmite del ejemplo de la figura 7-6; si debajo del pistn en el interior del cilindro se ha hecho vaco, en lugar de existir un gas a menor presin que la atmosfrica. En consecuencia un recinto con un volumen V1, corresponde asignar una exerga:

Wut = p0 * V1

Dado que en este caso todo el trabajo que realiza la atmsfera ser til ya que no existe sistema a comprimir que consuma parte de ese trabajo.

7.5 Concepto integral de exerga:

Se define exerga como el mximo trabajo til que es posible obtener de un sistema que no se encuentra en condiciones de equilibrio trmico y mecnico con la atmsfera cuando se lo lleva a dichos equilibrios

Figura: 7-9: Esquematizacin del concepto exerga

El sistema inicialmente en el estado 1(p1 y T0), se comprime en forma isotrmica hasta llegar al estado 0 (p0 y T0). Durante este proceso la atmsfera realizar un trabajo cuyo valor ser:

W atm = p0 (V1 V0) (7-11)

El sistema que se comprime utilizar un trabajo:

W = 0

1

*dVp (7-12)

que ser negativo pues es trabajo recibido por el sistema. En consecuencia el trabajo til obtenido ser:

Wut = p0 (V1 V0) + 0

1

*dVp que se puede escribir:

Wut = + 0

1

*dVp - p0 (V0 V1)

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7.6- Exerga de un sistema cerrado:

Figura: 7-10

El trabajo desarrollado por el sistema ser: W1-2-0 = W1-2 + W2-0 (7-13)

En la adiabtica 1-2 el trabajo ser igual a la disminucin de la energa interna: W1-2 = U1 U2 (7-14)

En la isoterma por el primer principio tendremos: W2-0 = Q2-0 (U0 U2) (7-15)

Reemplazando en (7-13) los valores hallados: W1-2-0 = U1 U2 + Q2-0 U0 + U2

W1-2-0 = U1 + Q2-0 U0 (7-16)

El calor intercambiado en la isotrmica dado que es reversible lo podemos expresar: Q2-0 = T0 (S0 S2)

y como S1=S2 por ser adiabtica reversible: Q2-0 = T0 (S0 S1) (7-17)

Reemplazando (7-17) en (7-16): W1-2-0 = U1 + T0 (S0 S1) U0 (7-18)

Este valor no es todo trabajo til, pues si el sistema ocupa en 0 un volumen V0 mayor del que ocupaba en 1, parte del mismo se consumir como trabajo de dilatacin, es decir:

W1-2-0 ut = W1-2-0 - Wdil (7-19) El trabajo de dilatacin ser:

Wdil = p0 (V0 V1) (7-20)

Reemplazando en (7-19) los valores hallados: W1-2-0 ut = U1 + T0 (S0 S1) U0 p0 (V0 V1)

que puede expresarse como:

W1-2-0 ut = (U1 - T0 S1 + p0 V1) (U0 - T0 S0 + p0 V0) (7-21)

Observando la (7-21), se puede ver que el trabajo calculado est dado por la diferencia de dos valores de una misma funcin potencial, a la que se denomina b.

Consideramos un sistema cerrado que se encuentra en estado 1 (p1 y T1) denominado vivo pues de dicho estado se puede obtener trabajo til, y se lo quiere llevar a un estado 0 con parmetros atmosfricos p0 y T0, denominado muerto, pues ya no es posible obtener trabajo til de dicho estado. El mximo trabajo til que se podr obtener pasando de 1 a 0 ser por un camino reversible. Uno fcil de concebir es el 1-2-0 de la figura 7-10, constituido por: a) Transformacin adiabtica reversible 1-2

hasta que el sistema alcance la T0 b) Transformacin isotrmica reversible 2-0

a igual temperatura con la atmsfera con la que intercambia calor.

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b = U T0 S + p0 V

b: es una funcin potencial, combinacin de tres funciones potenciales del sistema (U, S y V) y de dos parmetros que definen el estado de la atmsfera (p0 y T0) y se denomina primera funcin potencial de Gouy o Darrieus.

W1-2-0 ut = b b0

Si realizamos otro camino reversible como el 1-3-0 el mximo trabajo til ser igual, pues sino no se cumple el segundo principio de la Termodinmica, por lo que podemos escribir:

W1-2-0 ut = W1-3-0 ut = b b0

Luego como por cualquier camino reversible se obtendr siempre el mismo trabajo til, que es el mayor que se puede obtener para pasar de 1 a 0, y en consecuencia es el valor de la exerga del sistema cerrado que se encuentra en el estado 1.

Ex1 = b1 b0

y en general para un sistema cerrado en un estado cualquiera su exerga estar dado por:

Ex = b b0 (7-29)

7.6.1 Variacin de Exerga de un sistema cerrado: Para estudiar posibles variaciones de exerga de un sistema cerrado, diferenciando la (7-29) se obtiene:

dEx = db = dU T0 dS + p0 dV (7-37)

de la expresin del primer principio para un sistema cerrado, se obtiene: dU = Q W

que reemplazada en la (7-37) nos da: dEx = Q T0 dS (W - p0 dV ) (7-38)

Los dos primeros sumandos del segundo miembro de la (7-38) no son otra cosa que el calor utilizable elemental, ya que T0 dS es la anerga elemental, o sea:

Qu = Q T0 dS (7-39)

Por su parte p0 dV es el trabajo elemental de dilatacin, y el trabajo til elemental: Lut = W p0 dV (7-40)

Reemplazando en la (7-38): dEx = Qu + Wut (7-41)

Es decir que la exerga de un sistema se incrementar por suministro de calor utilizable o de trabajo til.

Casos particulares: 1) Proceso en que no se intercambia trabajo til Wut = 0, y se suministra calor al sistema Q > 0 Dado que el sistema recibi calor su entropa aumentar: dS > 0. Entonces: dEx = Q T0 dS = Qu

dEx < Q

El aumento de exerga del sistema ser igual solo al calor utilizable recibido, menor que el calor total de energa recibida. El calor es mezcla de exerga y anerga por eso slo crece la exerga del sistema en una fraccin del calor suministrado.

2) Proceso adiabtico reversible en que se suministra trabajo til al sistema. Por lo tanto Q = 0 y dS = 0, mientras: Wut < 0 Entonces: dEx = - Wut = |Wut|

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La exerga del sistema aumenta en un valor igual al del valor absoluto del trabajo suministrado. El trabajo es exerga pura.

3) Proceso adiabtico irreversible en que se suministra trabajo til al sistema. Por lo tanto Q = 0 y dS > 0, mientras: Wut < 0 Entonces: dEx = T0 dS Wut

dEx = |Wut| T0 dS

En este caso el aumento de exerga no es igual al del valor absoluto del trabajo suministrado, sino que ser menor, debido a que la irreversibilidad del proceso produce una destruccin de la exerga suministrada en forma de trabajo til que se transforma en anerga T0 dS.

7.7 Exerga de un sistema circulante: Es el mismo planteo que para el sistema cerrado, se trata de obtener del sistema el mximo trabajo til cuando se lo lleva al equilibrio trmico y mecnico con la atmsfera. Consideramos un sistema circulante que se encuentra en estado 1 (p1 y T1) denominado vivo pues de dicho estado se puede obtener trabajo til, y se lo quiere llevar a un estado 0 con parmetros atmosfricos p0 y T0, denominado muerto, pues ya no es posible obtener trabajo til de dicho estado. El mximo trabajo til que se podr obtener pasando de 1 a 0 ser por un camino reversible. Se elige el camino 1-2-0 de la figura 7-10, constituido por: a) Transformacin adiabtica reversible 1-2 hasta que el sistema alcance la T0. b) Transformacin isotrmica reversible 2-0 a igual temperatura con la atmsfera con la que

intercambia calor.

Figura: 7-10

Reemplazando todos los valores hallados en (7-46) Wc mx = h1 h2 + T0 (s0 s1) - h0 + h2

Simplificando y ordenando: Wc mx = (h1 T0 s1) (h0 T0 s0) (7-47)

La (8-47) es totalmente trabajo til y por lo tanto es el valor de la exerga del sistema circulante debida a los desequilibrios trmicos y mecnicos con la atmsfera. Tambin se observa que aparece una nueva funcin potencial del estado del sistema y de la atmsfera, que designaremos b y que se denomina segunda funcin potencial de Gouy o Darrieus

b = h T0 s y la (7-47) se puede escribir:

Exc1 = b1 b0 De modo que para un estado cualquiera:

Exc = b b0 (7-48)

El trabajo suponiendo constante las energas cintica y potencial del fluido en 1-2 ser: Wc1-2 = h1 h2 (7-42) por ser adiabtico

En 2-0 con la misma hiptesis: Wc2-0 = Q2-0 (h0 h2) (7-43)

El calor intercambiado en la isotrmica 2-0 ser: Q2-0 = T0 (s0 s2) = T0 (s0 s1) (7-44) Ya que s1 = s2 por ser isoentrpica la 1-2

Reemplazando en la (7-43): Wc2-0 = T0 (s0 s1) - h0 + h2 (7-45)

El trabajo mximo al pasar de 1 a 0 ser: Wc mx = Wc1-2 + Wc2-0 (7-46)

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La (7-48) no tiene en cuenta las energas cintica y potencial, las que tambin tericamente pueden transformarse totalmente en trabajo til, de modo que una expresin ms completa sera:

Exc = b b0 + 2

2w + g z (7-49)

Para la resolucin de los problemas tcnicos basta con usar la (7-48), ya que en los equipos no se producen variaciones apreciables de las energas cintica y potencial, aunque en casos muy particulares como en las toberas y difusores deben computarse.

7.7.1 Variacin de Exerga de un sistema circulante: Para estudiar posibles variaciones de exerga de un sistema circulante, diferenciando la (7-48) se obtiene:

dExc = db = dh T0 ds (7-50)

de la expresin del primer principio para un sistema circulante sin variaciones de energa potencial y cintica, se obtiene:

dh = Q Wc que reemplazada en la (7-50) nos da:

dExc = Q T0 ds Wc Aparece nuevamente el calor utilizable: Qu = Q T0 ds

Casos particulares: 1) Proceso en que no se intercambia trabajo Wu = 0, y se suministra calor al sistema Q > 0 Dado que el sistema recibi calor su entropa aumentar: ds > 0. Entonces: dExc = Q T0 ds = Qu < Q

O sea que slo parte del calor suministrado se traduce en un incremento de exerga del sistema, la otra parte T0 ds es anerga.

2) Proceso adiabtico reversible en que se suministra trabajo al sistema. Por lo tanto Q = 0 y ds = 0, mientras: Wuc < 0 Entonces: dExc = - Wuc = |Wuc|

La exerga del sistema aumenta en un valor igual al del valor absoluto del trabajo suministrado.

3) Proceso adiabtico irreversible en que se suministra trabajo al sistema. Por lo tanto Q = 0 y ds > 0, mientras: Wuc < 0 Entonces: dExc = T0 dS Wuc

dExc = |Wuc| T0 ds

En este caso el aumento de exerga no es igual al del valor absoluto del trabajo suministrado, sino que ser menor, debido a que la irreversibilidad del proceso produce una destruccin de la exerga suministrada en forma de trabajo que se transforma en anerga T0 dS.

7.8 Rendimiento exergtico o efectividad trmica: El rendimiento trmico de una mquina trmica se expresa como:

= 1Q

W (7-54)

Este cociente es una relacin de energas sin prestar atencin a que no son de la misma calidad. En efecto en la (7-54) el numerador es el trabajo generado por la mquina trmica, es exerga pura, pero el denominador, o sea la cantidad de calor entregada por la fuente caliente a la mquina trmica, es una mezcla de exerga y anerga. Por ello dicho rendimiento no puede considerarse unitario ni an en las mquinas trmicas reversibles.

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En cambio el rendimiento de un motor elctrico:

ME= eE

W (7-55)

ser un rendimiento energtico y exergtico, dado que tanto el trabajo que el motor produce, como la energa elctrica que consume son exergas puras.

En consecuencia tiene mucho ms sentido la determinacin del llamado rendimiento exergtico o efectividad trmica, que puede hacerse tanto para una mquina cualquiera como para un proceso. Se definir en forma general como rendimiento exergtico al cociente entre las exergas producidas sobre las exergas consumidas:

ex = consumidasproducidas

ExergasExergas

En el caso de una mquina trmica que funcione entre dos fuentes de calor el rendimiento exergtico ser:

ex = ..consEx

W (7-56)

La exerga que consumir la mquina trmica ser la diferencia entre la que suministra la fuente caliente(Qu1) y la que entrega a la fuente fra (Qu2), o sea:

Ex cons. = Qu1 - Qu2

Reemplazando en (7-56): ex = 21 uu QQ

W

(7-57)

Si lo aplicamos a un ciclo de Carnot para una mquina trmica reversible que funciona entre dos fuentes a las temperaturas T1 y T2 respectivamente, superiores a la T0 atmosfrica, tendremos:

Figura 7-11

Si consideramos ahora una mquina trmica que describe el ciclo de Carnot pero con irreversibilidades en la expansin y en la compresin adiabticas, por lo que en ambos casos la entropa del sistema debe aumentar.

W = (T1 T2) S;

Qu1 = (T1 T0) S;

Qu2 = (T2 T0) S;

Reemplazando en (7-57):

ex = [ ] STTTTSTT

)()()(

0201

21

ex = )()(

21

21

TTTT

= 1

El rendimiento resulta 1 porque la mquina trmica ideal, no destruye exerga, toda la exerga que consume la entrega como trabajo.

W

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Figura: 7-12

Reemplazando los valores hallados Ex cons. = (T1 T2) S - (T2 T0) (S1 + S2)

En consecuencia el rendimiento exergtico para la mquina trmica irreversible ser:

ex = )()()()()(

21021221

21221

SSTSSTSTTSSTSTT

++++

Por lo tanto:

ex < 1

Esto es debido a que hay una exerga que no fue transformada en trabajo, sino en anerga. El valor de S1 + S2 es la generacin de entropa debida a la irreversibilidad del ciclo. Cuanto ms irreversibles sean los procesos ocurridos en la mquina, mayor ser la generacin de entropa y mayor la destruccin de exerga y la anerga generada. El concepto de rendimiento exergtico es aplicable a cualquier proceso o equipo y es el valor que nos podr indicar entre procesos alternativos cual es que termodinmicamente es el ms conveniente. Ser aquel que tenga mayor valor de rendimiento exergtico y que por lo tanto provoque menor destruccin de exerga. En el caso de un compresor de gases, la exerga generada es el incremento de exerga del gas que circula por el aparato y la exerga consumida, el trabajo que requiere el compresor, en consecuencia el rendimiento exergtico ser:

ex = WcompExerg

De manera similar deber procederse para cualquier proceso determinando las exergas que se producen y las que se consumen y su cociente dar el rendimiento exergtico del proceso.

La cantidad de calor que entrega la fuente caliente ser: Q1 = T1 S (7-58) La cantidad de calor que recibir la fuente fra: Q2 = T2 (S + S1 + S2) (7-59) Por lo que el trabajo producido por la mquina trmica vale: W = Q1 - Q2 Reemplazando los valores hallados: W = (T1 - T2) S - T2 (S1 + S2)

La exerga proporcionada por la fuente caliente es: Qu1 = (T1 T0) S (7-60); y la que recibe la fuente fra: Qu2 = (T2 T0) (S+ S1 + S2) (7-61)

La exerga consumida por la mquina ser: Ex cons. = Qu1 Qu2