Unidad 1

Cálculo DiferencialACF-0901

UNIDAD 1

NÚMEROS REALESIng. Rodolfo Alcántara Rosales

MONOGRAFÍA DE:

“CÁLCULO DIFERENCIAL ”

CARRERA: TODAS LAS INGENIERÍAS

FECHA: 6 DE JULIO DE 2015

CONTENIDO

No.

UNIDADNOMBRE DE LA UNIDAD

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NÚMEROS REALES

1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales.1.3 Propiedades de los números reales.1.3.1 Tricotomía.1.3.2 Transitividad.1.3.3 Densidad.1.3.4 Axioma del supremo.1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y dedesigualdades cuadráticas con una incógnita.1.6 Valor absoluto y sus propiedades.1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

2 FUNCIONES

2.1 Concepto de variable, función, dominio, condominio y recorrido de una función.2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva2.3 Función real de variable real y surepresentación gráfica.2.4 Funciones algebraicas: función polinomial,racional e irracional.2.5 Funciones trascendentes: funcionestrigonométricas y funciones exponenciales.2.6 Función definida por más de una regla decorrespondencia. función valor absoluto.2.7 Operaciones con funciones: adición,multiplicación, composición.2.8 Función inversa. Función logarítmica.

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Funciones trigonométricas inversas.2.9 Funciones con dominio en los númerosnaturales y recorrido en los númerosreales: las sucesiones infinitas.2.10 Función implícita.

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LÍMITES Y CONTINUIDAD

3.1 Límite de una sucesión.3.2 Límite de una función de variable real.3.3 Cálculo de límites.3.4 Propiedades de los límites.3.5 Límites laterales.3.6 Límites infinitos y límites al infinito.3.7 Asíntotas.3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.3.9 Tipos de discontinuidades.

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DERIVADAS

4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de una función.4.2 La interpretación geométrica de la derivada.4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.4.4 Propiedades de la derivada.4.5 Regla de la cadena.4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.4.7 Derivadas de orden superior y regla L´Hôpital.4.8 Derivada de funciones implícitas.

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APLICACIONES DE LA DERIVADA

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del cálculo diferencial.5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos.Concavidades y puntos de inflexión.Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.5.4 Análisis de la variación de funciones5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.

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1.1 RECTA NUMÉRICA

1.2 Los números reales

Los números reales son el conjunto de números naturales, cardinales, enteros racionales e irracionales.

o Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar.

1, 2, 3,… o Los números cardinales son el conjunto de números naturales y el cero.

0, 1, 2, 3, 4, 5…

o Los números enteros consisten de los números naturales, sus opuestos y el cero.

…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…

Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero.

1, 2, 3, 5,347, 1, 702,445...

Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero.

-1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1,

El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es positivo ni negativo.

Los números racionales representan partes de un todo, un cociente que ha sido dividido en partes iguales.

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⅛, 7.4, -2.35, 8, -25

Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como

cociente de dos números enteros.

0.789, 3.1456, p

Figura 1. Esquema que muestra la composición de los números reales

1.3Propiedades de los números reales.

1.3.1 Tricotomía.

Dados a y b e R se cumple exactamente una de las siguientes a_rmaciones:

a = b:a > b:

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a < b:

1.3.2 Transitividad.

Dados a; b; c e R si

a < b

y

b < c

entonces

a < c

1.3.3 Densidad.

Dados a; b e R si a > b entonces existen un elemento x e R tal que a > x y x > b:

La propiedad de la densidad es consecuencia directa de la definición de NÚMERO REAL, el cual fue creado pensando en la necesidad de tener números suficientes para explicar el mundo real.

1.3.4 Axioma del supremo.

Sea A _ R tal que existe k e R con la propiedad de que k > a para toda a e R: Entonces existe un elemento s e R tal que cumple la propiedad anterior y además si k’ es otro número que cumple la propiedad entonces s < k’:

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ACTIVIDAD 1.

En las siguientes parejas de reales suponga que a > b; determine el orden y coloquelo en la columna de la derecha:

A) za; zb si z < 0B) 1/a, 1/bC) a, -bD) –a, bE) a, (a+b)/2F) b, (a+b)/2

ACTIVIDAD 2

Si a > b > 0; entonces la(s) afirmacion(es) verdadera(s) es (son) (anóte en la columna de la derecha F o V)

A) ab > bB) a2 + b2 > 2abC) a - b < bD) a + b > aE) (a/b) + (b/a) >2F) a2 - b2 > 0G) (a + b)(a2 - ab + b2) > 0

1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.

Resolver una desigualdad es encontrar el conjunto de todos los números reales que la hace verdadera. En contraste con una ecuación, cuyo conjunto solución, consta de un número o conjunto finito de números, el conjunto solución de u nadesigualdad consta de un intervalo completo de números, o en su caso, la unión de esos intervalos.

Intervalo

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Dados dos números a y b en R con a < b el intervalo definido por a y b es el conjunto de números x en R que están entre a y b.

Los puntos a y b pueden o no pertenecer al intervalo, por lo que se tienen los siguientes casos:

La noción de intervalo se puede extender para los casos que denotan el conjunto de las x que pertenecen a los reales y que son más grandes o mas chicas que un número dado, tal como se ilustra a continuación:

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ACTIVIDAD 3

En la siguiente tabla, coloque en la columna central el símbolo de desigualdad que corresponda y en la columna de la derecha, grafique el intervalo indicado:

1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y dedesigualdades cuadráticas con una incógnita.

Resolver una desigualdad (o inecuación) es encontrar los valores de la variable para los cules puede ser válida o no.

Ejemplo: Sea la desigualdad 2 + x < 9x + 6

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Para el caso de desigualdades de según orden, la solución se puede obtener de dos formas:

1. Factorizando.

2. Utilizando la fórmula general.

x2 – 4x + 3 £ 0

Factorizando (x-3)(x-1)

Números críticos x = 1, x = 3

Posibles soluciones

La solución está dada por los intervalos que cumplan que

,

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(signo negativo en la quinta columna).

Solución: [1, 3]

Ejemplo: x2 – x – 1 £ 0

Como no se puede factorizar, es decir, tiene raíces irracionales, entonces utilizamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticasNúmeros críticos

Posibles soluciones

La solución es:

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1.5 Valor absoluto y sus propiedades.

El valor absoluto de un número real x se denota por | x | y se define como:

Las propiedas del valor absoluto son:

1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.

Ejemplo: sea la desigualdad

Por propiedad:

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Solución: (-1, 8)

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-1( )

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