UNIDAD 1
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UNIDAD 1
CONCEPTOS BÁSICOS
“Potencias y raíces”
Dr. Daniel Tapia Sánchez
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En esta actividad aprenderás a:
• Reconocer la definición de potencia de base entera y de exponente entero.
• Reconocer la definición de raíz como una potencia de base entera y exponente racional.
• Aplicar las propiedades de la potenciación y radicación en la resolución de ejercicios.
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1.6 Potenciación1.6.1 Definición
1.6.2 Propiedades
1.6.3 Potencias de base 10
1.6.4 Signos de una potencia
1.7 Raíces1.7.1 Definición
1.7.2 Propiedades1.7.3 Racionalización
Estos son los temas que estudiaremos:
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1.6.1 Definición
Corresponde a una multiplicación reiterada de términos o números iguales. El término o número que se va multiplicando, se llama “base” y la cantidad de veces que se multiplica dicha base se llama “exponente”.
1.6. Potenciación
an =
a ∙
a ∙
a ∙
a ∙ … a ∙
∙ a
n veces
Ejemplo:73 =
7∙
7∙
7 =
(-6)2 =
(-6)∙ (-6)= 36
343
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-32 = (-3)2 ya que: -32 = - 3 ∙ 3 = -9 y
(-3)2 = (-3)·(-3) = 9
= 23
3 23
3ya que:
y = 23
3= 2∙2∙2
3 83
23
3= = 8
27 23 23 23
∙ ∙
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1.6.2 Propiedades
• Multiplicación de Potencias:
De igual base
Se conserva la base y se suman los exponentes.
an+man ∙
am =
Ejemplo:
5x+3x5x ∙
53x = = 54x
Libro, página 38
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De igual exponente:
Se multiplican las bases, conservando el exponente.
(a ∙ b)nan ∙
bn =
Ejemplo:
85 ∙ 42 ∙ 22 =
85 ∙ (4 ∙ 2)2 = 85 ∙ 82 = 87
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• División de Potencias:De igual base:Se conserva la base y se restan los exponentes.
an-man :
am =
Ejemplo:
923
96= = 917923-6
Resolver ejercicios 1, 2 y 5 de “EJERCICIOS P.S.U.”, libro, página 49.
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De igual exponente:
Se dividen las bases y se conserva el exponente.
(a : b)nan :
bn =
Ejemplo:
75 :
42
282 = 75 : (28:4)2 = 75 : 72 = 73
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• Potencia de Potencia:
Se multiplican los exponentes.
(an )m = am ∙ n
Ejemplo:
(210)4 = 210 ∙ 4= 2 40
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• Potencia de Exponente Negativo:
Se invierte la base y se eleva al exponente positivo.Potencia de exponente negativo y base entera:
1 a-n = a
n
(Con a, distinto de cero)
Ejemplo:
5-2 ∙ 15
3
2
= ∙ (5)2
5
2
1 = 25 1
∙ 25 = 1
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33=4 3
Potencia de exponente negativo y base fraccionaria:
a
b
-n
=b
a
n
(Con a, distinto de cero
y b distinto de cero)Ejemplo:
3
4
-3
=
3
4
3 =64
27
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• Potencias de exponente cero:
a0 = 1(para todo a, distinto de cero)
00 : indefinido
Ejemplo:
x
3- 4y
7 – (15-8)
= x
3- 4y
0
= 1
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1.6.3 Potencias de base 10• Con exponente positivo:
Libro, página 41
101 = 10
102 = 100
103 = 1000…
Ejemplo:
54.000.000 = 54 ∙ 1.000.000
= 54 ∙ 106
100 = 1
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4 ∙ 10 -5
• Con exponente negativo:
Ejemplo:
10
= 1 0,1
100
= 1 0,01
10-3 = 1
1.000
= 0,001…
10-1 =
10-2 =
0,00004 = 4
100.000=
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1.6.4 Signos de una potencia• Potencias con exponente par:
Las potencias con exponente par, son siempre positivas.
Ejemplo:
(-11) ∙ (-11) = 121
2) -3
5
4
= 81 625 5
(-3)
4
4=
1) (-11)2 =
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• Potencias con exponente impar:
En Las potencias con exponente impar, la potencia conserva el signo de la base.
Ejemplo:
1) (-12)3 = (-12) ∙ (-12) ∙ (-12) =
-1.728
2) -2
3
-5
= 3
-2
5
=(3)
5
(-2)=
5243-32
= 243 32
-
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316
1 3
4
-2
=2)
xx ba
= ab
645
Toda raíz corresponde a una potencia con exponente fraccionario.
1.7.Raíces
(Con b, distinto de cero)
Ejemplos:
1.7.1 Definición
=342=4
23
8 52
=1) 85
=2
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9∙3=3
1.7.2 Propiedades• Multiplicación de raíces de igual índice:
Al multiplicar raíces de igual índice, se multiplican las partes subradicales conservando el índice que tienen en común.
n∙ b
n= a∙ba
n
Ejemplo:
93
33
=∙ 3=327
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512:24
=
• División de raíces de igual índice:
Al dividir raíces de igual índice, se dividen las partes subradicales conservando el índice que tienen en común.
Ejemplo:
a:bn
an
bn
=:
45124 : 2 = 256= 4
4
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4162
• Composición y Descomposición de raíces:
Composición:
Se utiliza para ingresar un factor a una raíz.
a b = a ∙ bnnn
Ejemplo:
23 =4
3 ∙ 24 =4 4
81∙2 =
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Descomposición:
Se utiliza cuando un factor de la cantidad subradical tiene raíz exacta.
Ejemplo:
162 = 81 2 ∙ = 2981 2∙ =
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• Raíz de Raíz:
a =m
a
n m∙n
2 =5 4
25∙4
= 220
Ejemplo:
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1.7.3 RacionalizaciónCuando tenemos fracciones con raíces en el denominador conviene obtener fracciones equivalentes pero que no tengan raíces en el denominador. A este proceso se le llama racionalización.
Ejemplos:
1) Racionalizar
4
3=∙ 3
3
34 = ?
( )2
4 3
3= 4
33
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=3- 23
4+ 2
∙ 3 - 2
2) Racionalizar
=5 5
34
3∙
3
3
32
5334 =
5
35 5
4
3
275
45 2
3= ?
3) Racionalizar34 = ?+ 2
4( - 23 )
3 - 2
= 4( - 23 )
1