Unidad 1 Historia Matemáticas(00001)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD VICERRECTORA ACADMICA Y DE INVESTIGACIN Escuela Ciencias de la Educacin ECEDU Programa Licenciatura en Matemticas

Historia de las Matemticas

(2 Crditos)

.

Historia de las Matemticas

Unidad 1:

Surgimiento y consolidacin de las primeras ideas matemticas: de la

Prehistoria al Medioevo

Enfoque historiogrfico de las Matemticas y sus

perspectivas pedaggicas y didcticas.

La consolidacin de las ideas matemticas, su

avance en las civilizaciones Egipcia, Mesopotmica, Hind,

China y Romana.

El surgimiento de las Matemticas como ciencia

en el mundo griego.

Unidad 2:

Las Matemticas y la Educacin Matemtica del medioevo a la poca

actual.

Las matemticas del medioevo y el rencimiento

Las matemticas en la Ilustracin y la Modernidad.

Las matemticas en la actualidad y la

educacin matemtica en la poca actual.


Unidad 1. El surgimiento y consolidacin de las primeras

ideas matemticas: de la Prehistoria al Medioevo.

Captulo 1: Enfoque historiogrfico de las matemticas y sus perspectivas pedaggicas y didcticas. Leccin 1: Perspectiva o enfoque de la historia de las ciencias. Leccin 2: Enfoque o perspectiva interna de la historia de las matemticas Leccin 3: Enfoque o perspectiva externa de la historia de las matemticas Leccin 4: El enfoque o perspectiva desde la cual se aborda la historia de las matemticas en el presente curso Leccin 5: La importancia de la Historia de las Matemticas en la Formacin de Educadores y sus perspectivas pedaggicas y didcticas Capitulo 2: La consolidacin de las ideas matemticas, su avance en las civilizaciones egipcia, Mesopotmica, Hind, China y Romana. Leccin 1: Aspectos destacados del contexto socio-cultural de la poca de la prehistoria. Leccin 2: Las primeras nociones matemticas en la prehistoria. Leccin 3: Las primeras nociones de medicin en la prehistoria. Leccin 4: Las primeras nociones de aleatoriedad en la prehistoria. Leccin 5: Las primeras nociones de lo espacial de la prehistoria Captulo 3: El surgimiento de las matemticas como ciencia en el mundo griego. Leccin 1: Aspectos destacados del contexto socio-cultural, el sistema de notacin jeroglfica, las operaciones aritmticas, los problemas algebraicos y geomtricos en la cultura Egipcia.


Leccin 2: Operaciones fundamentales, la numeracin no posicional de la civilizacin Egipcia y aspectos desatacados del contexto socio-cultural de la civilizacin Griega. Leccin 3: La teora de las proporciones, razonamiento deductivo, la teora de los nmeros, el lgebra geomtrica, la aritmtica y las propiedades fundamentales, Leccin 4: Renacimiento y ocaso de la civilizacin griega, aspectos destacados del contexto socio-cultural de la civilizacin Romana y de las civilizaciones Prehispnicas Leccin 5: Las matemticas en la civilizacin Maya, las matemticas en la civilizacin Azteca y las matemticas en la civilizacin Inca.


Bibliografa

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UNIDAD 1:

El surgimiento y consolidacin de las primeras ideas matemticas: de la prehistoria al medioevo

Captulo 1:

Enfoque historiogrfico de las matemticas y sus perspectivas pedaggicas y didcticas

Leccin1: Perspectiva o enfoque de la historia de las ciencias

Las matemticas son el alfabeto

con el cual Dios ha escrito el Universo.

GALILEO GALILEI.

El conocimiento cientfico es una construccin social que ha surgido y se ha consolidado en el transcurso de la historia.

La historia de la ciencia permite establecer a travs de los tiempos tanto los filsofos como los cientficos han reflexionado y analizado en lo referente a la ciencia y el conocimiento y todo lo que ellas nos proporcionan esto nos permite identificaren la epistemologa los procesos de induccin y deduccin los cuales mediados con la utilidad de las ciencias, la utilidad y el alcance del lenguaje matemtico crean lo que se conoce como identidad disciplinar.

Pero el conocimiento cientfico por s slo no es importante su valor radica en el hecho de que se centre en todo aquello que se produce a la luz de lo normativo lo cual legaliza el contexto del conocimiento cientfico ya que este debe pasar la prueba de la verificacin al respecto Mario Bunge ( ) establece que la ciencia es aquella que pertenece a la vida social, en cuanto se la aplica al mejoramiento de nuestra vida natural y artificial a la manufactura de bienes materiales y culturales y a la produccin de nuevas ideas.

Plantear por qu es necesaria e importante a la vez la normatividad se descompone en dos niveles entre los cuales tenemos lo metodolgico y lo axiolgico complementado con aspectos tericos entre los que tenemos un cuerpo formado


por teoras, leyes y modelos. Al respecto y continuando con nuestro estudio vamos a referenciar que dentro del conocimiento cientfico hay un estilo y estructura que forman parte de la comunicacin cientfica importante dentro de la credibilidad dentro de los diferentes espacios para construccin de conocimiento.

Es muy importante que dentro de las funciones principales de las ciencias est tengamos la de constituirse en papel fundamental y notable de la vida del hombre a travs de los tiempos en razn a que conduce los caminos transformndose ms all de simples ancdotas para constituirse tal en ciencia de las dems ciencias, en tal caso Kuhn (1971; 20):

La ciencia es un producto humano.

De otro lado, tenemos lo referente con las pautas metodolgicas en las cuales en el ao 1993 tenemos las siguientes:

Metodologa de primer orden conformado por las tcnicas de investigacin. Metodologa de segundo orden conformado por la metodologa propiamente

dicha. Metodologa de tercer orden conformado por metafsica de la ciencia y la

metafsica.

Estas son tres visiones de las caractersticas de la ciencia desde una visin experimental las cuales abordan un nivel axiolgico entre los cuales se presentan fines individuales y colectivos, como manifestacin de la cooperacin como principio para la construccin de ciencia en la actualidad. Es decir que aporta.

Estas son tres visiones de las caractersticas de la ciencia desde una visin de leyes universales bien sea apoyados en lo formal o lo fctico con ese toque de fondo y forma en cuanto a la comunicacin cientfica. De otro lado estn aquellas que se relacionan con las pautas metodolgicas entre las cuales dentro del estudio que nos proponemos realizar es de anotar que en el descriptivismo historicista ha de centrarse en aquellas correlaciones que se presentan en los contextos histrico y cientficos motivado por las diferentes s modificaciones normativas de la ciencia.

De otro lado, est la reflexin como herramienta que ayuda dentro del proceso prctico experimental como contexto para la descripcin de todo aquello sucede en trminos.

Qu? Del cmo? Cmo se construye?

Qu? Del cmo? Cmo se construye?


Es decir qu aporta. En este contexto se hace fundamental la historia de la ciencia como herramienta dentro de la filosofa de la ciencia para explicar y comprender las situaciones particulares que se enmarcan dentro de aspectos generales dando ese toque falibilidad y generalidad al conocimiento cientfico apoyado en un aspecto cultural. Tanto prescriptivo y descriptivo lo vamos a legalizar de manera independiente desde una visin integral apoyados un contexto filosfico.

Con los referentes anteriores vamos a abordar a continuacin la historia de las matemticas desde el punto de vista de la historia la cual legaliza y facilita reconocer los diferentes puntos histricos a travs de los cuales es posible validar conceptos, procesos, teoremas, postulados entre otros que son la evidencia palpable de la evolucin de esta ciencia. Adems los argumentos se sustentan en lo formal apoyados en tanto en lo social como en lo cultural manifestados por aspectos particulares tales como:

Como las diferentes trasformaciones tales como la empleada por la cultura griega con ese toque filosfico y de otro lado est la visin del medievo dentro de la cual esta otro punto de vista igualmente valido al respecto de este planteamiento tenemos a Cantoral (2000) nos muestra que el pensamiento es una construccin social del pensamiento matemtico en el campo del anlisis.

Existen diferentes enfoques o perspectivas para abordar la historia de la ciencia; entre estos se destacan la perspectiva o enfoque interno y la perspectiva o enfoque externo.

Segn los planteamientos Bachelard (1938) y Brossseau(1983)segn los cuales en el campo de la didctica de las matemticas un obstculo epistemolgico es un conocimiento verdadero para una situacin pero falso para una nueva situacin, que provoca errores persistentes origen escapa al sujeto.

De otro lado esta Filloy y Rojano (1984)desde los cuales se analiza la historia de las matemticas con el objeto de realizar secuencias didcticas para el aula finalmente nos encontramos con lo expuesto pos Ives Chevallard (1985)quien explica las transformaciones que se tienen que realizar al saber para convertirse en objeto de conocimiento.

De otra parte, la perspectiva o enfoque externo, plantea o enfatiza que En la historia de las matemticas se presenta como un espacio dentro del cual se hace evidente y legal la epistemologa como oportunidad de construccin del conocimiento de las matemticas.

En el cierre tenemos que los docentes deben integrar la historia de las matemticas en los procesos pedaggicos ya que esta facilita el desarrollo curricular dando otra visin de la actividad matemtica desde el punto de vista socio-cultural y para los


estudiantes prepara el terreno para una nueva perspectiva de las matemticas dentro de la cual tenemos una actividad mucho ms humana y ms asequible. Vamos posteriormente a realizar en estudio en detalle delas perspectiva interna de las matemticas como labor necesaria y fundamental para reconocer sus diferentes facetas y puntos de vista.

Las matemticas como parte del conocimiento cientfico de la humanidad, se puede abordar en su mirada histrica desde estas dos perspectivas. A continuacin se precisar que comprende e implica el abordaje de la historia de las matemticas desde estos dos enfoques o perspectivas.

Referentes:

Iranzo Valeriano ( ) Filosofa de la ciencia e historia de la ciencia Universidad de Valencia, Cuadernos de filosofa.

Sierra Vsquez Modesto (1997) El papel de la historia de la matemtica en la enseanza Editorial L. Rico Universidad de Barcelona.

Leccin 2: Enfoque o perspectiva interna de la historia de las matemticas

La matemtica es la ciencia del orden y la medida, de bellas cadenas de razonamiento.

Renato Descartes

Las matemticas y la historia de las matemticas presentan componentes estructurales que forman parte integral de su cuerpo, de su orden y constituyen una manifestacin de su proceso evolutivo. En trminos generales dentro de la perspectiva internalista se encuentran procesos de produccin y validez del conocimiento con base en las ideas matemticas surgidas y transformadas; sus avances obedecen a los mismos procesos de evolucin y desarrollo que se presentan al interior de las mismas ciencias. A continuacin se precisar que comprende e implica el abordaje de la historia de las matemticas desde el enfoque externo.


Leccin 3: Enfoque o perspectiva externa de la historia de las matemticas

Las matemticas poseen no slo la verdad,

sino cierta belleza suprema. Una belleza fra y austera, como la de una escultura.

Betrand Rusell

La perspectiva externa de la Historia de las Matemticas, enmarcan las matemticas y su desarrollo como aspecto integral de la sociedad y de la cultura con el propsito de hacer mejor y de transformar la vida del hombre y de los diferentes pueblos en tal caso es posible decir con toda propiedad que es un fenmeno socio-cultural. Este proceso se genera de manera constante en razn a que tanto lo social como lo econmico son elementos dinamizadores que facilitan la evolucin de las ciencias como aspectos normativos de ella, haciendo validando todo desde lo histrico. La perspectiva externa facilita reconocer todos aquellos aspectos que se presentan en el entorno que rodean las matemticas y que generan ciertas situaciones a considerar de los diferentes espacios tanto sociales como acadmicos que dan validez a los diferentes descubrimientos y conocimientos .De un lado esta lo social y filosfico que siempre est presente generando espacios para la discusin los cuales son fundamentales para la interaccin entre las personas generado por aquel principio dentro del cual la ciencia en general es una construccin de tipo colectivo que debe pasar por verificacin.

Segn Barry Barnes, los factores externos dentro del conocimiento generan un cambio cientfico en lo referente a la percepcin e interpretacin en general.


Leccin 4: El enfoque o perspectiva desde la cual se aborda la historia de las

matemticas en el presente curso

Los encantos de esta ciencia sublime, las matemticas, slo se le revelan

a aquellos que tiene el valor de profundizar en ellas.

Carl Friedrich Gauss.

Teniendo como referente los dos enfoques o perspectivas antes abordados en relacin con la historia de las Matemticas, el presente curso se desarrolla desde la perspectiva externa. Es decir, se presenta el origen y transformacin del saber matemtica ubicando o situando el contexto socio cultural que condiciona su surgimiento y evolucin.

La perspectiva desde la cual se aborda la historia de las matemticas en este curso es la externa; en el sentido que se asume que las matemticas son parte de un proceso social y cultural desde el cual y en el cual, el conocimiento toma sentido.

Leccin 5: La importancia de la Historia de las Matemticas en la Formacin de Educadores y sus perspectivas pedaggicas y didcticas

A mi parecer, un cierto conocimiento

de la historia de la matemtica, debera formar parte indispensable del bagaje

de conocimientos del matemtico en general y del profesor de cualquier nivel, primario,

secundario o terciario, en particular. Y en el caso de este ltimo,

no solo con la intencin de que pueda utilizar como instrumento en su propia enseanza,

sino primariamente porque la historia le puede proporcionar una visin verdadera humana

de la ciencia y de la matemtica, de lo cual suele estar tambin el

matemtico muy necesitado.

Dr. Miguel de Guzmn.

Filloy y Rojano (1984), sustentan que la historia de las matemticas aporta a la construccin de secuencias didcticas pertinentes para el fomento y desarrollo del pensamiento matemtico.


La integracin de la historia de las matemticas en los procesos pedaggicos, facilitan el desarrollo curricular dando otra visin de la actividad matemtica desde el punto de vista socio-cultural y para los estudiantes prepara el terreno para una nueva perspectiva de las matemticas dentro de la cual se tiene una actividad mucho ms humana y ms asequible. Referencias bibliogrficos Collette Jean Paul (1973) Historia de las matemticas Siglo Veintiuno Editores. Iranzo,k Valeriano. (2005).l Filosofa de la ciencia e historia de la ciencia Universidad de Valencia, Cuadernos de filosofa Medina, Esteban. Internalismo y externalismo en la historia de las ciencias. La polmica internalista /externalista en la historia y la sociologa en la ciencia Ruz ngel. Internalismo y externalismo en la Historia de la Ciencia. Consultado 12 de diciembre en http://cimm.ucr.ac.cr/aruiz/libros/Historia%20y%20Filosofia/Parte8/Cap27/Parte05_27.htm. Sierra Vsquez, Modesto. (1997). El papel de la historia de la matemtica en la enseanza Editorial L. Rico. Universidad de Barcelona.

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Capitulo2:

La consolidacin de las ideas matemtica, su avance en las civilizaciones egipcia, Mesopotmica, Hind, China y Romana.

Leccin 1: Aspectos destacados del contexto socio-cultural de la poca de la prehistoria

Un matemtico, como un pintor o un poeta, es un fabricante de modelos.

Si sus modelos son ms duraderos que los de estos ltimos, es debido a que

estn hechos de ideas. Los modelos del matemtico, como los del pintor

o los del poeta deben ser hermosos. La belleza es la primera prueba;

no hay lugar permanente en el mundo para unas matemticas feas.

G.H.HARDY

El desarrollo del hombre desde los inicios de la humanidad se ha producido gracias a la interaccin con el entorno como aspecto facilitador de la trasformacin generada desde la prehistoria hasta nuestros das, en especial vamos en este caso a revisar lo referente en la poca de la prehistoria.

La aparicin del hombre del hombre sobre la tierra estableci el inicio del primer periodo prehistrico denominado Paleoltico en este los hombres empleaban instrumentos de piedra, los pueblos vivan al aire libre a veces se refugiaban en cuevas para protegerse del frio y de los animales. Al respecto se debe anotar que estos pueblos eran nmadas por lo cual cambiaban de sitio en sitio, tambin para alimentarse cazaban animales salvajes y recolectaban frutos silvestres, fabricaban armas y herramientas de piedra, madera y hueso.

Los hombres primitivos se vestan de pieles con los animales que cazaban, con el fuego los hombres primitivos calentaban las cuevas y ahuyentar los animales salvajes y fabricaban las mejores herramientas. Las primeras creencias religiosas surgieron gracias alza explicacin de fenmenos como resultado de los misterios inexplicables, por ejemplo:

La vida, la muerte, el crecimiento de las plantas, la lluvia, el sol entre otros.


Durante este esta etapa se empez a enterrar los muertos mediante la aplicacin de ceremonias para pedir abundancia de frutos como evidencia de este periodo estn la zona de Cantabria y Levante. Posteriormente tenemos el periodo Neoltico caracterizado por el calentamiento de la temperatura que facilit la aparicin de los primeros agricultores y ganadero, aprendieron a cultivar la tierra, los cuales producan sus alimentos.

Entre las primeras plantas cultivadas estn los cereales, para guardar las cosechas fabricaron vasijas de cermica, el primer animal que domesticaron fue el perro que despus fue compaero de cacera. Posteriormente las cabras, las ovejas, las vacas entre otros animales.

Gracias al desarrollo de la agricultura y la ganadera, el hombre primitivo se vuelve sedentario creando las aldeas, vivan en casa de barro y ramas, se vestan con telas que fabricaban. Empezaron a realizar instrumentos de piedra pulida para realizar el cultivo de la tierra entre los cuales estn: la azada, la hoz y el molino de mano y el hacha de filo entre otros.

Las aldeas surgieron al lado de los ros porque as tenan agua para los habitantes, para el riego de los cultivos y la pesca como fuentes de alimento, las casas estaban conformadas por:

.Zona de dormir .Cocina con vasijas .Despensa .Horno

Los seres humanos de este periodo crean en la existencia de espritus, se renda culto a los muertos por lo cual se enterraban con sus objetos, a finales del Neoltico empez la edad de los metales, entre las cuales se encuentran:

.Edad de cobre .Edad de bronce .Edad de hierro

En esta etapa naci la metalurgia por ejemplo fabricacin de hachas, puales, adornos y joyas como consecuencia de la diferencia de las armas entre los ms ricos surgen las clases sociales. La sociedad de esta poca es ms guerrera los ms avanzados sometan a los ms atrasados, por la necesidad de defenderse.

Continuando con nuestro estudio es destacar que esta etapa se caracteriza por un contenido socioeconmico caracterizado por el desarrollo de la ganadera y la agricultura el desarrollo tecnolgico tal como la cermica, tiles pulimentados, cestera entre otros. Esta etapa tiene diferentes fases con ciertas variaciones, por ejemplo:

Depredadores oportunistas en los paleolticos inferior y medio y en el paleoltico superior depredadores organizados.


En cuanto a lo referente al paleoltico superior tenemos grandes avances en sentido cultural por cuanto este se manifiesta en el desarrollo de la industria y cambios de conducta de sus habitantes gracias al surgimiento de nuevas reglas sociales.

En lo climatolgico encontramos las glaciaciones en sus inicios y hacia el final de esta etapa clima clido como el actual, el tercer aspecto a considerar es lo referente con los elementos antropolgicos y tecnolgicas entre los cual se tiene la aparicin del Homo Sapiens como dinamizador de los diferentes avances.

Los procesos tecnolgicos se refieren al cambio de mentalidad en lo referente a la creatividad, practica con una conciencia reflexiva y valoracin por el espacio y el tiempo como herramientas para el desarrollo de los problemas que se plantearon en el momento gracias a las nuevas formas de conducta manifestadas en la aparicin de adornos corporales, del arte, mejor estructuracin de y organizacin de la caza, la conservacin de los alimentos y del hbitat. Los aspectos antes mencionados sean presentados de manera progresiva en funcin de las necesidades sociales y medioambientales que se generan gracias a diferentes factores pero con relacin ya que gracias a la generacin de unos se producen los otros.

El desarrollo intelectual ms notable de esta poca est dado por lo que se conoce Pensamiento simblico que gnero conductas complejas y simblicas generando mayor capacidad de adaptacin con el medio y a la vez la nueva dinmica que proporciona el lenguaje por lo cual es posible encontrar avances de tipo cognitivo y cultural que para nuestro caso se ve reflejado en conceptos y criterios matemticos ms elaborados.

Hasta el momento tenemos las siguientes generalidades: 1. La aparicin de una conducta moderna reflejada en la flexibilidad. 2. La produccin laminar( nuevas herramientas) 3. El uso de nuevas materias primas. 4. La creacin de objetos simblicos ( adornos y pinturas)

Aquello considerado en nuestro caso como moderno tiene su centro de trabajo en lo referente con lo referente a lo simblico definido como la manifestacin de un proceso cognitivo que permite que determinados objetos y pinturas(elementos simblicos)sonidos y gestos (lenguaje),la representacin de ciertas ideas y abstracciones o creencias, que la sociedad ha generado gracias a ciertas necesidades que se presentan en la medida que las sociedades crecen y se desarrollan facilitando la estructuracin de sistemas de numeracin y otros aspectos notables de vital importancia para el desarrollo de la matemtica y de la misma sociedad.


Para Gamble(2001) con referente a todo lo social se tiene considera la creacin y el mantenimiento de estructuras ms complejas, creacin de redes de comunicacin ms complejas, de intercambio y de apoyo permanente, desarrollo en lo referente con los usos del territorio, su hbitat, estructuras ms durables, ms complejas y durables. El simbolismo Rivera (1998,2002 y2005) lo evala desde las primeras manifestaciones arqueolgicas del simbolismo humano como creacin de adornos elementales decorativos con matiz (diferenciado) como manifestacin desarrollo de lo individual y lo personal.

Cuando los grupos alcanzaban un mnimo de desarrollo econmico y social encontramos una necesidad imperativa de establecer y reconocer unas distinciones sociales en lo referente con lo tecnolgico, artstico, religioso, poltico entre otros es as como aparecen las individualidades manifestadas en elementos simblicos, con el propsito de mostrar las diferencias. Con Baena y Carrin (2006) encontramos que los procesos de subsistencia van cambiando a medida que cambian las conductas espaciales y temporales con el propsito de mejorar y conservar los recursos alimenticios.

De otro lado se produce ms saber cuento mayor sean la cantidad de cambios para establecer un determinado yacimiento dentro de cualquier contexto, en tal caso es importante establecer que el paleoltico superior industrial est enmarcado por la tecnologa de corte y perspectiva tradicional y otro conductual de tipo moderno y simblico con conducta reflexivo y reflexivo. Vamos en el prximo espacio a considerar todo lo referente con el desarrollo especifico de las matemticas en esta poca con el propsito de reconocer los procesos, los conjuntos numricos y las operaciones entre otros.

Leccin 2: Las primeras nociones matemticas en la prehistoria.

El matemtico, que se encuentra bajo su diluvio de smbolos, y trabaja, al parecer,

con verdades puramente formales, puede an alcanzar resultados de infinita

importancia para nuestra descripcin del universo fsico.

KARL PEARSON.

Las nociones, conceptos y aspectos generales de las matemticas primitivas tuvieron su origen en todo lo referente con las transacciones y operaciones de intercambio dentro de las diferentes civilizaciones y tribus facilitando la creacin y generacin de los diferentes sistemas de numeracin con lo cual las matemticas se convierten en una ciencia de tipo social y econmico. Por tal razn es necesario que aborde este aspecto desde todo tipo de tiempos y etapas tal que debemos hacer un seguimiento riguroso de este de manera integral.


La comprensin completa de un fenmeno se logra con ayuda de reconocer las ideas iniciales de un mundo cambiante en razn a que se presentan nuevas necesidades para lo cual es importante la exploracin de las diferentes sociedades humanas tanto del pasado como del presente, es as como en este caso debemos revisar los primeros documentos tales como piedras, utensilios, papiros, tablillas entre otros. Al principio relacionado con aspectos de tipo general pero posteriormente relacionada con todo lo referente a la ciencia y la investigacin dando origen a ciertos parmetros dentro de los cuales se estn la autonoma, la metodologa entre otros como verdadero facilitadores del estudio de las ciencias y en nuestro caso de las matemticas y de la historia de las matemticas como fenmeno social.

Es as como dentro de las primeras actividades del hombre en la prehistoria es posible mencionar la conservacin del fuego, la creacin de trampas para cazar animales, la construccin de casas y tumbas, situaciones facilitadas y por la intervencin de las matemticas gracias a la dinmica y a la toma de conciencia con referencia a la historia que ella proporciona. Para aquella poca es de notar que los hombres realizaban clculo de distancias con las partes de su cuerpo y sus pasos, el grabado de escenas en las cavernas, la observacin del movimiento de los astros y las direcciones espaciales, es as como se originan los conceptos bsicos de nmero, medida y orden. Operaciones tales como le trueque, que fue la besa del comercio durante un periodo largo, es una actividad que se relaciona con una funcin, uno de los conceptos ms importantes de la matemtica, pasando esta etapa los procesos se hicieron mucho ms elaborados entre los cuales se tienen: Las nuevas tcnicas agrcolas y pastoriles, la cermica, la carpintera, la industria textil, la minera y la metalurgia, el trueque de bienes u objetos, la navegacin ,el transporte ,las normas que rigen la organizacin familiar social y econmica exigen la necesidad de contar ,medir y ordenar. Facilitando el desarrollo de la aritmtica supuestamente originada en la necesidad de jerarquizacin de los integrantes de la tribu, establecer una relacin entre las fuerzas propias y la de los vecinos.

Es as como se hace importante que los estudiantes redescubran tanto los porqus tanto a nivel histrico y lgicos que dan origen a los conceptos antes mencionados, haciendo lo que se conoce como la historia del arte que facilita realizar un estudio real y proporcionar una ptica clara y concreta con lo referente a los descubrimientos y avances logrados gracias necesidades que se presentan en la humanidad. Por tal motivo es de anotar que en ciertas excavaciones arqueolgicas realizadas se han encontrado la existencia de una industria perfeccionada y


actividades sociales propias de una sociedad tanto organizada como en desarrollo, generada por dos situaciones particulares:

1. En lenguaje articulado en el que hay un sistema de nmeros. 2. Utensilios y construcciones en los que intervienen relaciones espaciales.

Es de esta forma como el hombre observando la naturaleza establece los fenmenos cuantitativos un rbol y un bosque, una piedra y un montn de piedras, un lobo y una manada de lobos entre otros, con lo cual se establece claramente la diferente entre la unidad y la pluralidad. Apoyados en diferentes variaciones de operar como el baco, los cuanta ganados (cuerdas de ganado), el rosario entre otros. Con esto se establece una relacin de correspondencia, tal que el objeto observado es punto de apoyo que asocia cada objeto con un nmero, pero esta coleccin vara de acuerdo segn las tribus y grupos primitivos. Una consecuencia del lenguaje articulado se refleja en el cambio de vida del hombre primitivo que se convierte en productor, comerciante, para este proceso este requiere de tener un sistema de numeracin dentro del cual se tiene en cuenta la cantidad de objetos en coherencia con los objetos producidos. Es all donde se establece una relacin entre el elemento numrico con el proceso de numeracin, situacin que se origina progresivamente el nmero cardinal desde la visin cuantitativa y el numero cardinal. Esto se genera gracias a las siguientes relaciones que se establecen en el hombre primitivo: 1. La naturaleza de los objetos que se van contar no desempea ningn papel en la numeracin. 2. El orden que los elementos son observados no influye en el resultado final. 3. El ltimo elemento contado corresponde de hecho, en la medida en que el resultado de la cuenta. Una vez comprendida perfectamente la nocin de agrupamiento es natural para que el hombre primitivo establezca un smbolo particular lo cual permite realizar una combinacin que da origen a los sistemas de numeracin propiamente dicho. Este es originado en la naturaleza de las diferentes actividades de los pueblos primitivos, por ejemplo: Las tribus que posean grandes rebaos domesticas o que practicaban una agricultura diversificada y desarrollada sintieron muy pronto la necesidad de elaborar un sistema que les permitiese utilizar nmeros grandes y que facilitara la invencin de calendarios.


Esta labor y tarea se present al aadir unidad tras unidad, continuado por principio de repeticin en la numeracin de los objetos contados tales que: 1 2 3 4 5 6.. a oa ua oa-oa oa-ua ua-ua Desde los primeros inicios el hombre primitivo se ayudaba con los dedos de la mano para contar hasta diez, posteriormente una segunda persona cuenta desde diez hasta veinte y as respectivamente, este sistema es conocido como sistema aditivo no posicional. El hombre dentro de los niveles ms elementales de su desarrollo tiene el sentido de nmero el cual permite tener la posibilidad de agrupar cantidades y generar diferentes categoras para lograr la construccin de sistemas de numeracin en un sentido ms amplio y real. En esta perspectiva y nivel de desarrollo encontramos la adicin con pocos smbolos y nmeros empleados que escriben casi siempre como la suma de dos inferiores, tales como: 1+4,2+3,1+1+1+2,1+1+1+1, entre otros esta operacin se hace por descomposicin y clculos largos y extensos. En el caso de la resta se aplica como criterio el principio siguiente: 6 =7-1 La multiplicacin se realiz gracias al proceso de desdoblamiento empleado por ciertos grupos de esta poca segn la cual:

10=2*5=2*(2+2+1) Para esta poca fue muy difcil la divisin desde el punto de vista prctico parece que las fracciones aparecen dentro de las civilizaciones babilnica y egipcia. A la vez debemos mencionar que el desarrollo de la matemtica fue posibilitado gracias a la influencia de la astronoma, ya que dentro de estos pueblos era comn el conocimiento de ciertos aspectos relacionados con el sol, la luna y las estrellas de otro lado tenemos que era de vital importancia que todos los pueblos agrcolas llevaran cuentas de las noches y los das apoyados en las estaciones. Facilitado porque estos pueblos contaban casi todos con un calendario con el propsito de diferenciar los aspectos que varan dentro de la vegetacin tanto los tiempos tiles y convenientes, para corroborar es de anotar que la influencia de la religin es notable dentro de las acciones diarias, generndose un soporte religioso que posiblemente permiti el origen del concepto de nmero. Segn Seidenberg (1962) el origen ritual de la cuenta se impone por hechos observables y evidentes,


apoyado en una sucesin de palabras acompaada de una actividad familiar en que las palabras son empleadas para contar, con lo cual se concluye:

1. Los nombres participantes en un ritual eran de carcter numrico, tales que la seriacin es ritual y la cuenta es un mito.

2. Cuentas elevadas pudieron producirse a partir de grandes procesiones de participantes, la base estaba determinada por el nmero de personas en un ritual.

No se sabe con seguridad pero muy probablemente el desarrollo de las matemticas debe ser el producto de la influencia de las prcticas religiosas en particular el concepto de nmero, que reflejan su contexto religioso ligada al hombre primitivo. Sin embargo, las palabras para expresar ideas numricas aparecieron muy lentamente, es muy probable que los signos para representarlos, simplemente porque es mucho ms fcil cortar muescas en el palo que establecer una frase bien modulada para identificar un nmero concreto. Situaciones claras de evidencias las encontramos en un registro numrico encontrado en Swazilandia al sur de frica; conformado por un peron de un babuino, con 29 muescas bien marcadas, y data de unos 35000aos a. de c. .Hacia el ao 30000 a. de c. aparecieron en Europa las primeras pinturas rupestre, ao en el cual tambin se encontr un hueso de lobo con 55incisiones bastante profundas distribuidas en series, la primera con 25 y la segunda con 30 y en cada serie, muescas distribuidas en grupos de 5 posiblemente por el nmero de dedos. Otro referente histrico es el hueso de Ishango que tiene 3filas de incisiones, una de las columnas tiene 11, 13, 17 y 19 incisiones este es de aproximadamente 6500 aos se cree que es el registro ms antiguo de nmeros primos. En la siguiente leccin vamos tratar en detalle lo referente con la medicin y las diferentes prcticas por los hombres durante la etapa de la prehistoria.

Leccin 3: Las primeras nociones de medicin en la prehistoria

El inters del hombre prehistrico por el diseo

y las relaciones espaciales puede haber surgido de su sentido esttico,

para disfrutar la belleza de la forma, motivo que tambin anima frecuentemente al matemtico actual. Nos gustara pensar

que por lo menos algunos de los gemetras primitivos realizaban su trabajo slo por el

puro placer de hacer matemticas y no como una ayuda prctica para la medicin,

pero hay otras alternativas.


Una de ellas es la de que la geometra,

lo mismo que la numeracin, tuviera su origen en ciertas prcticas rituales primitivas. ()

Nosotros slo podemos hacer conjeturas acerca de qu fue lo que impuls a los hombres

de la Edad de Piedra a contar, a medir y a dibujar esquemas geomtricos,

pero lo que s est claro es que los orgenes de la matemtica son ms antiguos

que las civilizaciones ms antiguas.

CARL BOYER

Desde los inicios de la humanidad la geometra es la ciencia ha facilitado la vida del hombre en las diferentes pocas pero en el caso de la humanidad facilit la creacin de las primeras aldeas y comunidades adaptando los diferentes espacios para una vida cmoda y un mximo de aprovechamiento en todos los recursos. Es como se hace necesario que para reconocer la comprensin de un fenmeno es importante revisar los orgenes e ideas iniciales comprendiendo los aspectos abordados por los hombres del pasado y de las sociedades para reconocer sus dinmicas y aportes de gran valor para poder llegar al nivel que tenemos en la geometra de nuestra poca.

Es as como la historia se convierte en importante en la medida en que la aparicin de los primeros documentos entre los que tenemos piedras, tablillas entre otros como ejemplo de los inicios de la geometra como aquella necesidad por la medicin del tamao de los campos o trazado de ngulos en las esquinas de las construcciones de su hbitat este geometra de naturaleza es carcter emprico. Despus de este proceso nos encontramos con una etapa mucho ms elaborada, general pero interrelacionada de manera continua con aquellas circunstancias de la evolucin.

A este trabajo y desarrollo siempre se ha conectado y correlacionado la historia del arte o de la ciencia como parte elemental de su estudio ya que se convierten en puntos de partida para los alcances logrados, adems es valioso realizar un homenaje de reconocimiento a los descubrimientos que han beneficiado a la humanidad.

Desde los primeros pobladores de la tierra se ha presentado esa conciencia inherente por el medio en que vive y tiene que procurar por su supervivencia mediante la realizacin de y estructuracin de la industria y las actividades sociales propias de todo conglomerado humano.

Progresivamente el hombre primitivo como creador de la geometra llega al reconocimiento de las formas de las figuras geomtricas existentes en la naturaleza a travs de procesos de atraccin y de elaboracin de estas formas que se reflejan


en el espacio creado por el hombre en todo tipo de realizaciones especialmente en la arquitectura facilitado por la aparicin del lenguaje articulado y la construccin de relaciones espaciales. La aparicin de clculos de manera rudimentaria crea el espacio para la medicin de longitudes, reas y volmenes su unidad de medicin empleadas eran las partes del cuerpo humano tales como: el dedo, el pie, el pulgar, la mano y el antebrazo entre otros.

Los volmenes son posibles con ayuda de los cestos y las conchas de tamao similar, las construcciones de las casa fue posible gracias a las reglas de las lneas y ngulos rectos, la geometra de esta poca es de carcter emprico y dirigida especialmente a un fin, razn por la cual no se tienen convenciones en los documentos y materiales encontrados. Ejemplos de ello se encuentran pinturas y dibujos que revelan el inters por las relaciones espaciales de los pueblos primitivos es as como encontramos una gran cantidad de figuras en sitios tales como vasos, cestos, muros de cavernas entre otros las cuales son ricas las aplicaciones de semejanzas y la alfarera, la cestera y los tejidos son muestras de congruencias y simetras en la poca del Neoltico.

El desarrollo de la geometra se puede haber dado como consecuencia de las necesidades practicas dentro de las cuales se pueden contar la construccin y de la agrimensura como sentido esttico de diseo y orden. Tal vez la necesidad de contar con silos primitivos para acumular alimentos independizndose en cierta manera de la naturaleza o de la construccin de los templos para adorar a los dioses y de esta manera impulsar al hombre primitivo a realizar construcciones gracias a ciertos conceptos desarrollados hasta ese momento.

Considerando que los pueblos primitivos eran de tipo agrcola es de anotar que gener la necesidad de contar los das y las noches, as como las distintas ecuaciones por lo cual fue importante la adopcin del calendario lunar, acompaado de unidades de tiempo. Es importante mencionar como aspecto notable dentro del estudio de la geometra primitiva lo siguiente:

Esta se centr bsicamente a algunas reglas para medir longitudes y volmenes, simetras manifestadas en los dibujos de tipo colorido y algunos pueblos con la creacin de calendario lunar.

A principios del siglo XX DArcy Thompson desarrollo una ciencia de las formas en este caso tendramos dentro del estudio de la geometra primitiva lo siguiente:

Que el rbol debe sus curvas al material que est hecho y la accin de la gravedad, el ngulo que toman las ramas saliendo del tronco se asemeja a una curva logartmica, sus hojas se disponen segn una serie predeterminada de nmeros y su mxima altura est determinada por leyes de la semejanza y la similitud, todo resulta de la fuerza.


Leccin 4: Las primeras nociones de aleatoriedad en la prehistoria.

Las matemticas no solamente poseen

la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fra y austera,

como la de la escultura, sin atractivo para la parte ms

dbil de nuestra naturaleza.

BERTRAND RUSSELL

La aleatoriedad tiene sus inicios 3500 a. de c. aplicada para definir los ndices de fertilidad a partir del cual se fijan los impuestos, con la variacin del clima se cre el concepto de incertidumbre. En sus inicios era practicada con objetos de hueso, los cuales son considerados como los precursores de los dados, su origen posiblemente se encuentra en Isla de Cerdea donde se han encontrado monumentos prehistricos pertenecientes a los Nuragas, los primeros habitantes de la Isla; estos monumentos constan de bloques de basalto superpuestos sin mortero y en cuyas paredes se encontraban grabados toscos signos que han sido interpretados con mucha veracidad como muescas de servan para llevar la cuenta del ganado y la caza.

Su aparicin se dio de improvisto mediante un proceso largo se desarroll y evoluciono mediante gracias a la aplicacin de hechos tan simples como la recoleccin de datos hasta la diversidad e interpretacin de datos se dan hoy en da. Es as desde los inicios de la humanidad esta ciencia est acompaando al hombre, situacin que se conoce gracias a los cronistas manifestado mediante datos escritos en los restos arqueolgicos tales como pieles, rocas, palos de madera y paredes de las cuevas pues ya se utilizaban representaciones grficas y otro tipo smbolos para contar los habitantes de una tribu, cuantos bienes y cuantos animales tenan entre otros.

Otro tipo de evidencia encontrada son las tablillas en arcilla en las cuales se recopilaban datos referentes con la produccin agrcola sobre los gneros vendidos o cambiados mediante el trueque.

En el siglo XXXI a. de c mucho antes de la construccin de las pirmides se realizaban no solo censos de poblacin como se habl anteriormente sino tambin lo referente con los renta del pas. En los libros bblicos de Nmeros y Crnicas incluyen, en algunas partes trabajos de estadstica.


Ms adelante continuo su desarrollo con otras aplicaciones en diferentes campos mediante la creacin de reglas y criterios generados gracias a una gran cantidad de necesidades que se dieron en las diferentes sociedades como por ejemplo lo referente con los impuestos, tasas de mortalidad, registros de nacimiento entre otros.

Leccin 5: Las primeras nociones de lo espacial de la prehistoria

Cmo puede ser que la Matemtica,

siendo al fin y al cabo un producto del pensamiento humano independiente

de la experiencia, est tan admirablemente adaptada a los objetos de la realidad?

ALBERT EINSTEIN.

Desde los inicios de la humanidad el hombre se ha visto interesado por el estudio no solo de la geometra sino lo referente con las relaciones espaciales como aspecto de ayuda para realizar sus construcciones y ayudar a sus trabajos dentro del campo del arte. Es as como dentro del proceso de evolucin humana y hominizacin hasta el ser humano moderno y parece que la gran mayora de la evolucin humana est referenciada por seales con influencias en el arte.

Durante el paleoltico inferior los Neandertales ya habitaban Europa con grandes conocimientos en el fuego y los utensilios demostrando sentido de esttica que trasciende ms all de lo funcionalidad. Lo ms evidente con las piezas bifaces es la simetra, supuestamente es posible la prctica de canibalismo como aspecto de supervivencia para tratarlo desde el punto de vista ritual.

Hasta hace realmente muy poco encontramos en el norte de frica por ejemplo Gettar en Argelia y Alemania por ejemplo fragmentos seos de la pata de un elefante grabado con cortes en Bilzinsleben yacimiento de 412000aosaproximadamente, induciendo a lo contrario. Otros hallazgos son la Sima de los huesos en la Sierra de Atapuerca, por lo que parece son acumulaciones consciente de cadveres para fines religiosos, adicional a este tenemos un bifaz tallado bautizado como Excalibur sugiere que es un yacimiento del Pleistoceno Medio con lo cual se ayudaba con el futuro desarrollo del arte.

Otras manifestaciones se encuentran en el revolucionario descubrimiento de estatuillas que, a pesar de su tosquedad, han sido interpretadas como figuras


femeninas: La Venus de Berejat Ram (Altos del Goln) y la Venus de Tan-Tan (Marruecos), ambas son dudosas y habra que esperar que las investigaciones se consoliden para determinar todo lo referente con sus procedencia y significacin. En el Paleoltico Medio habit el hombre de Neandertal, especie de humana con grandes creencias religiosas, formas lingsticas rudimentarias, creencias religiosas, primeras formas del arte tales como:

Fsiles, minerales cristalizados entre otros con lo cual realizaba cierto tipo de adornos tales como los que se encuentran en Lunel-Viel-Launay (Francia) y las cuevas de Las Grajas (Archidona y Mlaga) y Pech de Lze una costilla de bvido grabado grabada detallable.

Mas all de Europa es de destacar es importante destacar los hallazgos de dos placas de cobre con grabados abstractos con un patrn en concreto en la caverna de Blombos (Repblica Sudafricana)con una edad aproximada de 70.000 aos, este hallazgo esta correlacionado con otros materiales de la misma naturaleza que se ha comprobado, se usaba un pigmento de adorne corporal hallazgos que proceden tanto de lugares de habitacin, como rituales ;sin embargo es la primera vez que se encuentran una especie de lpices que tiene algn tipo de decoracin. Adicionalmente a ello se encuentra una serie de conchas perforadas como adorno, lo cual no sea comprobado.

Pero el verdadero creador de las artes plsticas es el ser humano moderno, Homo sapiens sapiens, que coloniz Europa hace unos 40.000 aos y cuya presencia en este continente coincide con lo que llamamos Paleoltico Superior. Suele decirse que el arte paleoltico es arte rupestre porque casi todos los hallazgos proceden de las excavaciones de cuevas o de las propias paredes de las mismas.

Pero no todo el arte es rupestre ya que se ha comprobado que perduro mucho tiempo despus en otros perodos histricos, porque no todo el arte procede de las cuevas. No hay arquitectura solo han hallado hasta nosotros esculturas y dibujos en piedra o hueso, estos dibujos con caractersticas tales como:

La pintura: Se usaban uno o dos colores que se obtenan con pigmentos minerales (manganeso para el negro, ocre para el rojo o el amarillo...) u orgnicos (carbn, para el negro), con un aglutinante orgnico (resina o grasa); se podan simular realces ms claros raspando la roca. Los colores se untaban directamente con los dedos, tambin se poda escupir la pintura sobre la roca (como un aerosol bucal); en ocasiones, se usaron lpices (ramas quemadas con las que se tiznaba la pared y bolas de colorante mineral aglutinadas con resina) o pinceles rudimentarios (escobillas y estropajos de fibras vegetales o animales). A veces se aprovechaban bultos y hendiduras de la pared para dar la sensacin de volumen.


El grabado: Es un dibujo a base de finas incisiones o cortes, sobre el hueso o la roca, hechas con utensilios afilados de slex llamados buriles. El grabado aparece desde los primeros tiempos del arte, como un equivalente del dibujo, pero se desarrolla sobre todo durante el final del Auriaciense y durante el Gravetiense (de este periodo se destacan las plaquetas grabadas en El Parpall, Valencia), para casi desaparecer durante el Solutrense. El grabado vuelve a ganar importancia en el Magdaleniense con la mayor variedad de estilos, temas, combinaciones y soportes que jams se haba visto. El relieve: Es un grabado cuyas incisiones son tan profundas que la figura se convierte en una escultura que sobresale de la roca o del hueso del soporte (como los bisontes esculpidos en la Fourneau du Diable; o el famoso pez de Gorge de l'Enfer, ambas en Dordoa, Francia). El relieve slo aparece al final del Paleoltico Europeo, es decir, el en Magdaleniense, y, casi siempre, asociados a santuarios exteriores: aquellas cuevas poco profundas iluminadas por luz natural. Las estatuillas: son pequeas esculturas exentas de piedra o de hueso, talladas por todos los lados. Casi siempre son figuritas femeninas llamadas Venus paleolticas (Venus de Brassempouy, en Francia). Las estatuillas son el tipo de arte paleoltico ms extendido de Europa, con importantes escuelas, no slo en el rea francesa, sino tambin en Europa Central y del Este (como se ver ms adelante). Las estatuillas femeninas y de animales son muy antiguas, pero en Francia y en Espaa, al parecer, la estatuaria animal es propia de la ltima fase del Paleoltico Superior. A menudo, las estatuillas aparecen adornando instrumentos de uso prctico, como bastones perforados y propulsores. Las temticas preferidas en esta etapa son los animales entre los cuales se tienen toros, bisontes, caballos, ciervos, osos y cabras entre otros. De otro lado no se puede olvidar la imagen tan comn aquella imagen monotemtica y con tendencia animalista, con lo cual se comprueba una vez la preferencia faunista, sin embargo hay otros tipos de escenas elaboradas con tendencias intrigantes por la mezcla especial con diferentes tipos de figuras dadas la naturaleza integrando diferentes espacios y caractersticas. De otro lado se encuentran numerosos signos enigmticos identificables con forma de manos, rganos sexuales masculinos y femeninos y otros incluidos dentro de un grupo que se conoce como idiomorfo gracias a sus diferentes caractersticas que permiten determinar lo referente a todo lo espacial en la vida del hombre y de la cultura de la prehistoria. Con ello queda demostrado que desde los inicios de humanidad el hombre ha reconocido la importancia de todo lo espacial no solo para su supervivencia sino como manifestacin cultural, social y poltica entre otras. De otro vamos a bordar lo siguiente:


1. La figura masculina: a veces aparecen hombres de rasgos grotescos y rganos sexuales muy detallados que, en cambio, tienen la cara desdibujada. En algunas ocasiones, se les aaden rasgos de animales (cuernos, crines, colas, pieles), antepasados mgicos de naturaleza hbrida (el ttem de la tribu), o magos disfrazados y enmascarados para las ceremonias 2. La figura femenina: es mucho ms abundante, son las llamadas venus paleolticas: mujeres desnudas, con atributos sexuales muy marcados. De nuevo, la cara suelen estar desdibujada; distinguimos dos tipos, el modelo antiguo es el de una mujer obesa, es decir, esteatopigia, cuya silueta puede inscribirse en un rombo, por lo que suelen llamarse Venus losngicas y son propias del Auriaciense y del Gravetiense. El segundo tipo es el de mujeres estilizadas que aparecen en la ltima fase del Paleoltico europeo, el Magdaleniense. De cualquier modo, quiz fueran representaciones de la madre naturaleza, diosas de la fecundidad o, cosa ms difcil de comprobar, ideales de belleza de aquella poca. Las figuras suelen ser realistas, con uno o dos colores y modelado de volmenes; pero no forman escenas, estn yuxtapuestas (colocadas unas junto a otras, o unas sobre otras) y, salvo excepciones, no hay sensacin de movimiento, ni paisaje. Estamos pues ante un arte descriptivo, no narrativo. Pero manifestaciones notables dentro de nuestro estudio de lo espacial por lo cual se conservan algunos ejemplos excepcionales de escenas concretas de tipo narrativo, por ejemplo en Lascaux, en Les Trois Frres (ambas en Francia) o en la Cueva de Los Casares (Guadalajara, Espaa).En ninguno de los casos parecen representaciones de escenas concretas sino por el contrario rituales genricos manifestado por hechiceros o espritus totmicos. Realizados con motivos estticos, de carcter religioso o mgico pero an no est comprobado, sin embargo a continuacin vamos a presentar algunas de las teoras hasta el momento: 1. El totemismo: Esta teora surge en la primera mitad del siglo XX, al comparar ciertos antroplogos las costumbres de los pueblos primitivos actuales con las obras rupestres paleolticas. El animal-ttem establece, por un lado, un vnculo espiritual entre el ser humano y la naturaleza y, por otro, es un factor de cohesin del grupo, ya que los individuos se sienten identificados con el smbolo que representa a su comunidad. En efecto, ciertas figuras representaran los espritus del antepasado mtico de la tribu, el citado animal-ttem, una mezcla de hombre y animal. Estara por tanto asociado al culto a los ancestros y a la reencarnacin del humano en animal en otra vida. 2. El chamanismo: Ante la imposibilidad de explicar todas las representaciones conocidas ciertos antroplogos extrapolaron tambin las ideas animistas, segn las cuales todas las cosas vivas poseen un espritu sobrenatural que las anima. Esta interpretacin es compatible con el totemismo y a veces se confunden. Los intermediarios entre el mudo anmico y sobrenatural y el mundo material seran los


brujos o chamanes y utilizaran las cuevas pintadas como santuarios prohibidos a los no iniciados, lugares sagrados en los que se celebraban rituales minoritarios, reservados a unos pocos elegidos (retiros, ayunos, meditaciones, sueos premonitorios...) 3. La fecundidad y magia propiciatoria: De acuerdo con esta teora las representaciones serviran para pedir a los espritus que la caza fuera abundante, que los animales procreasen y que se pudieran abatir todas las piezas necesarias. Esta teora justificara que los animales representados fueran hembras preadas y tambin que haya animales heridos por lanzas. Las venus seran diosas de la fecundidad que traeran la abundancia (por eso se las representara obesas) y las figuras masculinas seran los hechiceros en plena ceremonia. Las manos seran la firma de los participantes en las ceremonias, y aquellos que pasaban a pertenecer a la categora de cazadores adultos. Asimismo, la representacin de animales peligrosos "no comestibles" era una forma de controlarlos, y alejarlos de las presas que el ser humano anhelaba. De nuevo, vuelven a considerarse los planteamientos mgico-propiciatorios. Pero igualmente se han relanzado las ideas sobre el chamanismo y el totemismo, incluyndolos dentro de un mismo hilo conductor, aunque sin llegar a considerarlos nunca exactamente iguales. 4. El dualismo de la naturaleza: La teora ms ambiciosa (propuesta por el francs Andr Leroi-Gourhan) parte de un paradigma estructuralista, rechazando la extrapolacin antropolgica con tribus primitivas actuales (sin embargo l era antroplogo y no pudo evitar apoyarse en esta disciplina). Su intencin es abarcar toda la estructura de la sociedad paleoltica de Europa occidental, entendindola de un modo holstico, como un sistema en el que todo est interconectado, desde la superestructura ideolgica, hasta la infraestructura econmica, pasando por todos los estadios intermedios. Adems, Leroi-Gouhan introdujo sistemas de anlisis estadstico y modelos complejos para descifrar la organizacin interna de los conjuntos artsticos con su contexto externo. De este modo, llega a obtener un panorama supuestamente completo y supuestamente vlido para todo el arte paleoltico. Como la manifestacin de una serie de religiones que comparten una tradicin comn en la que los animales, los signos abstractos y smbolos sexuales masculinos o femeninos representaran a las dos fuerzas opuestas de la naturaleza en conflicto y renovacin constante. A esto se aade la idea de Annette Laming-Emperaire que sostiene que tales fuerzas son lo masculino y lo femenino: La mujer sera el bisonte y el toro, mientras que el hombre sera el caballo. Del mismo modo, las armas representaran al hombre y las heridas y la sangre a la mujer. Tambin el papel de uno y otro sera opuesto: la mujer, una venus obesa generadora, y el hombre grotesco, cazador y destructor. Segn Henri Delporte, el hecho de que las representaciones masculinas y femeninas estn, generalmente, en relacin de oposicin, no quiere decir que sean reflejo de creencias meramente sexuales, esto es, ritos y mitos de fecundidad. Se trata ms bien de una cosmogona explicada a travs de una oposicin. En cualquier caso, no se pretende decir que


una nica religin dominase todo el Paleoltico superior, sino que todas ellas comparten el mismo sistema, la misma estructura bsica. 5. Simbolismo: En las ltimas dcadas se intenta determinar si la organizacin, tanto de elementos figurativos como abstractos, su estructura y su ritmo, responden a algn cdigo de comunicacin de conocimientos o de registro de acontecimientos. Por ejemplo, si se trata de la representacin de una cosmogona, de alguna especie de calendario primitivo en el que se reflejen hechos repetitivos fundamentales, aspectos estacionales, etc. De la combinacin de formas representadas simples y complejas, del modo en que se relacionan, se pretende obtener una forma de lenguaje mitogrfico, pictogrfico o ideogrfico en el que cada animal y cada smbolo tengan un significado diferente, segn el modo en que se asocien y el contexto en el que aparezcan. Algunos defensores de este paradigma llegan demasiado lejos en sus conclusiones, superando lo estrictamente cientfico. 6. En realidad todas las teoras son manifestaciones evidentes del trabajo realizado por el hombre primitivo no solo dentro del arte sino de la vida de las sociedades primitivas.

Captulo 3:

El surgimiento de las matemticas como ciencia el mundo griego

Leccin 1: Aspectos destacados del contexto socio-cultural, el sistema de notacin jeroglfica, las operaciones aritmticas, los problemas algebraicos

y geomtricos en la cultura Egipcia.

Las leyes de la matemtica no son meramente

invenciones o creaciones humanas. Simplemente son: existen independientemente

del intelecto humano. Lo ms que puede hacer un hombre de

inteligencia aguda es descubrir que esas leyes estn all y llegar a conocerlas.

Maurits Cornelis Escher

Los aportes de la civilizacin Egipcia son notables en todos los niveles desarroll de las matemticas ya dentro de ello se crearon una gran cantidad de propiedades, teoremas, propiedades y operaciones que aun en nuestra poca tienen vigencia y


son motivo de estudio de manera detallada como punto como punto de partida para la realizacin de estudios mucho ms profundos razn.

Estos avances se dieron a diferentes variables que se mencionaran muchos ms adelante y de manera concienzuda.

Esta civilizacin posiblemente se origin como consecuencia de la agrupacin de nmero de pequeas comunidades urbanas y rurales que se unieron de manera progresiva en dos reinos tanto el alto y el Bajo Egipto, establecido en el nordeste de frica aislado de otros pases por su posicin geogrfica ya que sus lmites son los siguientes:

Por el oeste el desierto de Libia, por el este el desierto de Arabia, por el norte el Mediterrneo y por el sur el macizo de Etiopia Y el desierto de Nubia.

La influencia del rio Nilo (recorre de norte a sur) hace que esta tierra sea un polo de desarrollo, porque este da vida a todo el valle que recorre convirtiendo en nuestro caso a Egipto como un pas fluvial lo cual se pone de manifiesto en las pinturas y obras encontradas hasta el da de hoy bsicamente en las tumbas donde observa la importancia del rio tales como el transporte, pesca entre otros. Adicional a ello se adicionan a la sociedad las supersticiones, la religin con dioses relacionados con los fenmenos naturales con trascendencia ms all de la vida.

La escritura surge hacia el ao 3000 dentro de esta civilizacin podemos diferenciar los siguientes tipos de escritura:

1 .Escritura jeroglfica Asociada a los monumentos, se realiza en relieve y con una interpretacin muy difcil (se lee en diferentes direcciones).

2. Escritura hiertica Escritura cursiva, ms usada dentro de la vida comn y aparece en los textos.

3. Escritura demtica Ms rpida, ms popular aparece mucha ms tarde.

Estos pueblos son de origen Camita por lo tanto son hombres altos y rasgos negroides, organizados en nomos o cantones independientes dirigidos por reyes o sacerdotes. Entre ellos eran comunes las luchas constituyendo dos zonas:

.Reino de Butto En el norte de Egipto, dedicado a la agricultura y al comercio

.Reino de Nejeb En el sur de Egipto, dedicado a la ganadera y es el pueblo ms belicoso.

Dentro de la cronologa de Egipto encontramos los siguientes aspectos generales:


La organizacin poltica y social alcanzada por esta civilizacin son manifestaciones de la influencia lograda por tanto por la religin y el arte, sin embargo esta era una monarqua absoluta dirigida por el Faran (considerado como dios)rodeado por una serie de personajes que le ayudan a gobernar relacionados con la nobleza y con tareas administrativas. Una escala ms abajo se encuentra los nobles conformados por agricultores, comerciantes y artesanos.

El clero el cual hace negocios de intercambio con el Faran de tierras y riquezas por mantener su carcter divino y finalmente estaban los esclavos, se de anotar que en esta sociedad se ayudaban unos con otros aun sin tener en cuenta las clases sociales es por tal razn que tuvo notable desarrollo y un nivel alto en las ciencias en general.

Luego de estos referentes en el contexto socio-cultural vamos a entrar en detalle dentro de esta tarea que es todo lo referente al estudio de las matemticas de esta civilizacin considerada como una de las ms importantes dentro de la poca de la antigedad. Es as como a continuacin vamos a hablar de los sistemas de numeracin jeroglficos, hiertico y sus diferentes aplicaciones:

Sistema de numeracin jeroglfica

Este es un sistema numrico con base diez no posicional de principio aditivo dentro del cual estn ciertos smbolos especficos entre los cuales estn:

Por ejemplo para representar en sistema de numeracin Egipcio 23145 equivale a:

El sistema de numeracin egipcio no haba smbolo para representar el cero, este era muy simple y primitivo.

Sistema de numeracin hiertico

La numeracin en este sistema es tambin decimal, pero el principio de repeticin del anterior es reemplazado por signos especiales, estos signos representan los nmeros de 1a 10,asi como potencias de 10,tal que :

Ejemplo de cmo los egipcios escriban 2765 en hiertico:

De otro lado la aritmtica se funda en dos principios operacionales, uno se refiere a la capacidad de multiplicar, tal que la multiplicacin de dos enteros se realiza, mediante operaciones sucesivas de desdoblamiento, que dependen del hecho que cualquier nmero se puede expresar como una suma de potencias de 2.En este caso vamos a multiplicar los nmeros 24*37, dado que 24=16+8 debemos sumar los mltiplos de 37: 1 37


2 74

4 148

+ {8 296}+

+ { 16 592}+

{ 24 888}

Por lo tanto 24*37=888

De otro lado se tiene la divisin para efectuar la divisin 847/ 33, se busca por quien se va multiplicar:

847=528+319

=528+264+55

=528+264+33+22 por lo tanto tendremos que:

847/33 =25 residuo 22

Este proceso de desdoblamiento empleado para la multiplicacin y divisin elimina la necesidad de tablas, facilitando le empleo del baco, la realizacin de clculos rpidos con nmeros enteros facilitando diferentes transacciones comerciales. El caso de las fracciones fue un poco ms elaborado porque requera de reducir todas las fracciones en trminos de 2/3 a sumas de fracciones de unitarias a fin de simplificar las operaciones, tal que:

En el papiro de Ahmes

2/7=1/7+1/7

=1/14+1/14+1/7=1/28+1/28+1/14+1/7=1/28+ (1/28+1/14+1/7)=1/28+1/4

De acuerdo con los procesos logrados se cuentan con las siguientes:

Regla de la fraccin 2/3

Los dos tercios de cualquier fraccin impar son iguales a 2 veces el denominador de la fraccin 6 veces el denominador de la fraccin.

Regla de la fraccin 1/3


El tercio de cualquier fraccin impar es igual a 4 veces el denominador de la fraccin ms 12 veces el denominador de la fraccin.

Reduccin de fracciones 2/n

Donde n es un nmero primo, es ms difcil ya que la descomposicin en sumas de 2 o 3son poco frecuentes.

Multiplicacin y divisin de fracciones unitarias

Se aplica el mtodo de desdoblamiento dentro del cual se invierten las operaciones, para el caso de la divisin de la divisin se invierte y el divisor debe ser doblado sucesivamente.

El lgebra en la civilizacin Egipcia se centra 110 problemas contenidos en los papiros de Rhind y de Mosc relacionados en la vida cotidiana gracias a que esta se caracteriz porque la matemtica de esta civilizacin se fundament en lo prctico. Unos referenciados al reparto de conjuntos de panes, grano y animales o animales; otros referente a la fermentacin del pan y de cerveza; otros referentes a la comida de animales y sal almacenamiento de los productos alimenticios.

Estos problemas se resuelven con ayuda de ecuaciones lineales de la forma:

X+ax=b x+ax+cx=b

Por general esta solucin se realiza por el mtodo de conocido como falsa posicin, es decir:

En particular el caso de:

x +x/7=24 la asignarle un valor a x que al comprobar se tiene x=7reemplazando se tiene 7+7/7=8; sin embargo 3*8=24.

Los egipcios emplearon muy poca algebra simblica es as como el papiro de Rhind encontramos smbolos para la adicin que era un par de piernas andando en la direccin de la escritura y la sustraccin un par de piernas invertidas. En este proceso lograron reconocer y aplicar las progresiones aritmticas y geomtricas, en este caso tenemos una muestra de ello:

Distribuir 100hogazas de pan entre 5 personas, de manera que 1/7 del total de las tres primeras sea igual al total de las dos ltimas Cul es la diferencia?

Tomando 5 como la diferencia y 1 como primer trmino, la primera aproximacin resulta ser:


1,6 ,12 ,17 ,23(suma 60)

Se debe sumar los 2/3 de 60,40 la sumar a cada trmino los 2/3 de el tenemos:

1 2/3,10(2/3+1/6) ,20 ,29 1/6,381/3 cuya suma es 100.

Continuando con nuestro estudio vamos a estudiar lo referente con el estudio de la geometra como un conocimiento notable y destacado en la vida y sus diferentes aplicaciones, por lo tanto todo lo referente en este caso se centra en expresiones para realizar la medicin de reas de figuras planas y cierto volmenes, trasformaciones de semejanzas de rectngulos con ayuda de tringulos issceles trapecios issceles, clculo de volmenes de cilindros y prismas en general. El rea de un crculo se obtiene aplicando un cuadrado cuyo lado s igual a 8/9 de la longitud del dimetro, los egipcios utilizaban una regla relativa a la circunferencia:

La razn entre el rea del circulo y la circunferencia es la misma que el rea del cuadrado circunscrito al crculo y su permetro, cuyo valor es mayor que pi.

Por lo que se conoce de acuerdo con los papiros tambin los gemetras conocieron las semejanzas y proporcionalidad, las pirmides cuadradas y sus propiedades, la pendiente de los lados de una pirmide entre otros.

Como manifestacin material de todo el desarrollo alcanzado por la geometra egipcia la encontramos en las pirmides:

El primer aspecto que hay que destacar en las pirmides egipcias, son sus colosales dimensiones. La monumentalidad de las pirmides de Gizeh resulta asombrosa no slo por su gigantesco tamao, sino tambin por la forma en que estn construidas, por los materiales utilizados, etc. Resulta espectacular cmo estn distribuidas las cmaras en los interiores, sobre todo en la de Keops, que es la que posee mayores dimensiones, y adems los revestimientos exteriores en piedra pulida, muy diferentes a la apariencia rstica que presentan en la actualidad. Hoy se piensa que esta pirmide est formada por 2 300 000 bloques de piedra que pesan toneladas, la mayor altura es de 146.59metros entre otros.

La construccin de las pirmides fue todo un reto para los egipcios; sin embargo, los arquitectos lograron resolverlo mediante tecnologas y recursos muy primarios, propios de una cultura que dispona de un repertorio muy reducido de herramientas, siendo la dificultad mayor elevar los grandes bloques de piedra hasta alturas superiores a los 100 metros.


Leccin 2: Operaciones fundamentales, la numeracin no posicional de la civilizacin Egipcia y aspectos desatacados del contexto socio-cultural de la

civilizacin Griega

La matemtica es la emanacin esencial

del espritu humano, una cosa que debe ser valorada en s

misma y para s misma, como el arte o la poesa.

Oswald Veblen Enlace

La matemtica egipcia se destaca por los desarrollos alcanzados con nmeros enteros y decimales, para ello utilizaban 7 smbolos bsicos para la representacin de unidades, decenas, centenas entre otras, otro referente son las operaciones aritmticas de otros valores inferiores. Para caso de la representacin va seguido de un sustantivo se escribe primero el smbolo y luego el nmero.

Evidencias de ello se pueden ver en los escritos hacia 1800a.de c. los cuales muestran un sistema de numeracin decimal con distintos smbolos para sucesivas potencias de 10(1, 10,100,1000,)muy parecido al empleado por los romanos. Los nmeros se representaban escribiendo el smbolo del 1 tantas veces como unidades tena el nmero dado, el smbolo del 10tantas veces como decenas haba en el nmero, y as sucesivamente, para sum

Unidad 1 Historia Matemáticas(00001)

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