UNIDAD 1 Introduccioacuten a la Modelacioacuten de Sistemas

11 Conceptos preliminares

111 Sistemas Concepto de Sistema Se define sistema como un conjunto de partes operativamente

interrelacionadas del que interesa considerar fundamentalmente su comportamiento global

Sistema Dinaacutemico Un sistema puede ser considerado como un proceso que responde ante unas entradas para producir unas salidas

Existen unos liacutemites que separan el sistema del medio ambiente en el que estaacute incluido Los liacutemites del sistema deben escogerse de tal manera que se incluyan en su interior aqueacutellos elementos necesarios para generar el comportamiento que muestra el sistema

La seleccioacuten de elementos pasa por estimar cuales son los que interactuacutean para producir el comportamiento a investigar (elementos interiores) excluyendo los que son irrelevantes (elementos

exteriores)

Existe una regla para determinar el liacutemite de un sistema que dice que las relaciones causa-efecto entre el medio y el sistema son unidireccionales mientras que los elementos en el interior del

sistema estaacuten relacionados por medio de bucles de realimentacioacuten que determinan una fuerte interaccioacuten entre ellos

El comportamiento de intereacutes del sistema se genera en el interior de los liacutemites y no viene determinado por el exterior

Utilizando el concepto de liacutemite se puede hacer una clasificacioacuten de los elementos que forman un sistema en

elementos exoacutegenos susceptibles de ser modificados desde el exterior elementos endoacutegenos cuyo comportamiento viene determinado por la estructura del sistema

112 Sentildeales

Las sentildeales son el medio a traveacutes del cual el sistema interactuacutea con su entorno En la figura 11 se

visualiza esta interaccioacuten El sistema estaacute representado por un rectaacutengulo lo que da a entender que

tiene sus fronteras definidas en forma precisa este sistema recibe del entorno unas Sentildeales de

Entrada representadas por flechas y entrega a su entorno unas Sentildeales de Salida tambieacuten

representadas por flechas

En las aplicaciones tiacutepicas de ingenieriacutea las sentildeales de entrada y salida son variables (fiacutesicas o

abstractas) que cambian en el tiempo como por ejemplo fuerzas velocidades temperaturas etc

Cuando un sistema recibe una uacutenica sentildeal de entrada y produce una uacutenica sentildeal de salida se dice

que es un sistema SISO (del ingleacutes Single Input Single Output) mientras que si recibe varias

entradas y produce varias salidas se dice que es un sistema MIMO (del ingleacutes Multiple Input Multiple

Output) Tambieacuten existen las denominaciones MISO para sistemas de varias entradas y una soacutela

salida y SIMO para el caso con una entrada y varias salidas eacuteste uacutelimo poco frecuente

SENtildeALES DETERMINIacuteSTICAS

Son aquellas que sus valores son conocidos de antemano o pueden ser predichos exactamente es decir su evolucioacuten es perfectamente predecible por un modelo matemaacutetico o dicho de otra manera los proacuteximos valores de una sentildeal pueden ser determinados si son conocidos Todas las condiciones anteriores de la sentildeal y por lo tanto esta puede ser representada completamente por las ecuaciones que la definen Estas sentildeales pueden subdividirse en perioacutedicas o aperioacutedicas

112 Sentildeales

Las sentildeales son el medio a traveacutes del cual el sistema interactuacutea con su entorno En la figura 11 se

visualiza esta interaccioacuten El sistema estaacute representado por un rectaacutengulo lo que da a entender que

tiene sus fronteras definidas en forma precisa este sistema recibe del entorno unas Sentildeales de

Entrada representadas por flechas y entrega a su entorno unas Sentildeales de Salida tambieacuten

representadas por flechas

En las aplicaciones tiacutepicas de ingenieriacutea las sentildeales de entrada y salida son variables (fiacutesicas o

abstractas) que cambian en el tiempo como por ejemplo fuerzas velocidades temperaturas etc

Cuando un sistema recibe una uacutenica sentildeal de entrada y produce una uacutenica sentildeal de salida se dice

que es un sistema SISO (del ingleacutes Single Input Single Output) mientras que si recibe varias

entradas y produce varias salidas se dice que es un sistema MIMO (del ingleacutes Multiple Input Multiple

Output) Tambieacuten existen las denominaciones MISO para sistemas de varias entradas y una soacutela

salida y SIMO para el caso con una entrada y varias salidas eacuteste uacutelimo poco frecuente

SENtildeALES DETERMINIacuteSTICAS

Son aquellas que sus valores son conocidos de antemano o pueden ser predichos exactamente es decir su evolucioacuten es perfectamente predecible por un modelo matemaacutetico o dicho de otra manera los proacuteximos valores de una sentildeal pueden ser determinados si son conocidos Todas las condiciones anteriores de la sentildeal y por lo tanto esta puede ser representada completamente por las ecuaciones que la definen Estas sentildeales pueden subdividirse en perioacutedicas o aperioacutedicas

SENtildeALES PERIOacuteDICAS

Se dice que una sentildeal es perioacutedica si cumple con la siguiente condicioacuten x(n) = x(n + N) para toda n en donde N es el periodo de una sentildeal discreta y su valor maacutes pequentildeo seraacute el periacuteodo fundamental Asiacute mismo su frecuencia f deberaacute ser un nuacutemero racional SENOIDALES- Son aquellas sentildeales definidas por la funcioacuten x(n) = sen wn ARMOacuteNICAS- Son aquellas sentildeales perioacutedicas no SENOIDALES en la que pueden ser descompuestas en una serie de componentes de diferentes amplitudes y frecuencias con la particularidad de que que sus frecuencias son muacuteltiplos enteros de la frecuencia original para lo cual a la primera frecuencia se le denomina primera armoacutenica o fundamental mientras que a las siguientes se le denominan 2a- 3a- etc armoacutenicas PSEUDOALEATORIAS-

SENtildeALES APERIOacuteDICAS

Cualquier sentildeal determinantica que no sea perioacutedica seraacute aperioacutedica

SENtildeALES ALEATORIAS

Son aquellas sentildeales en las que existe incertidumbre acerca de los valores que puede tomar en los siguientes instantes y pueden ser descritas solamente desde un punto de vista estadiacutestico Las sentildeales aleatorias son maacutes difiacuteciles de manejar que las determinanticas Una realizacioacuten de un proceso aleatorio difiere de las otras en su descripcioacuten temporal pero sin embargo poseen las mismas propiedades estadiacutesticas Las sentildeales aleatorias se caracterizan por sus propiedades estadiacutesticas y espectrales Estas sentildeales pueden subdividirse en Estacionarias y No Estacionarias

SENtildeALES ESTACIONARIAS-

Las sentildeales estacionarias son constantes en sus paraacutemetros estadiacutesticos sobre tiempo Si uno observa una sentildeal estacionaria durante unos momentos y despueacutes de una hora se vuelve a observar esencialmente se veriacutea igual y su distribucioacuten de amplitud y su desviacioacuten estaacutendar seriacutean casi lo mismo

SENtildeALES NO ESTACIONARIAS

Estas no son estacionarias y se dividen en continuas y transitorias

SENtildeALES CONTINUAS

Sentildeales

SENtildeALES TRANSITORIAS

Sentildeales que empiezan y terminan al nivel cero y duran una cantidad de tiempo finito pueden ser breves o bastantes largos

113 Modelos

Todo el mundo emplea instintivamente modelos cuando toma decisiones sobre determinados

aspectos de la realidad -En el proceso de toma de decisioacuten se elige una entre varias acciones posibles teniendo en cuenta el efecto que cada accioacuten vaya a producir

-La relacioacuten que liga las posibles acciones con sus efectos es el modelo del sistema Por lo tanto en el proceso de toma de decisiones se estaacute empleando un modelo del sistema

La relacioacuten que liga las acciones Ui(entradas) con los efectos Yj(salidas) seguacuten Y = R(U)constituye la representacioacuten formal de un modelo

Clases de modelos 1 Modelo Mental

Basado en el conocimiento que se tiene sobre un aspecto de la realidad adquirido a traveacutes de la experiencia e intuicioacuten del cual se extraen aquellas caracteriacutesticas esenciales para representar el aspecto considerado

2 Modelo Formal Basado en las hipoacutetesis empleadas en los modelos mentales estableciendo a partir de ellas las relaciones formales que definen el comportamiento del aspecto de la realidad en cuestioacuten Utiliza la

capacidad del computador que aunque no es capaz de establecer las relaciones por si mismo si estaacute capacitado para desarrollar las consecuencias dinaacutemicas de las interacciones del sistema que

representa el modelo Esto es algo que les estaacute negado a los modelos mentales ya que se tiende a pensar en teacuterminos de relaciones causa-efecto unidireccionales olvidando las estructuras de realimentacioacuten que

ciertamente existen

Un modelo formal (o matemaacutetico) es maacutes expliacutecito que un modelo mental Su implementacioacuten en el computador produce el modelo computarizado

114 Construccioacuten de los Modelos Matemaacuteticos Normas baacutesica para la construccioacuten de un modelo 1-Para la construccioacuten con eacutexito de un modelo es necesaria la descripcioacuten expliacutecita del comportamiento dinaacutemico formada por el modo de referencia (graacuteficos) las hipoacutetesis acerca de sus

causas y los mecanismos baacutesicos 2-Las hipoacutetesis dinaacutemicas se obtienen a traveacutes de una exploracioacuten combinada del comportamiento

histoacuterico del sistema con estructuras simples de comportamiento conocido 3-Los liacutemites del sistema se deben elegir los suficientemente amplios para acoger los procesos que generen el comportamiento dinaacutemico

4-El objetivo del modelo no es predecir sino ensayar las hipoacutetesis dinaacutemicas 5 El modelo inicial debe contener uacutenicamente los mecanismos baacutesicos que generen el modo de referencia

6-Para reducir la complejidad del modelo debe procederse a restring ir el nuacutemero de detalles Hay dos puntos de vista a la hora de establecer un modelo matemaacutetico de un sistema

I Conductista La construccioacuten del modelo se realiza a partir del procesamiento de datos histoacutericos de la evolucioacuten del sistema Se trata de ajustar un modelo previamente elaborado a los datos disponibles

No se pretende establecer la estructura interna del sistema sino que se supone una estructura interna a priori que reproduzca el comportamiento observado del sistema

II Estructuralista La construccioacuten del modelo se realiza siguiendo un anaacutelisis cuidadoso y detenido de los distintos

elementos que intervienen en el sistema observado De aquiacute se extrae la loacutegica interna del modelo que conduce a la obtencioacuten de la estructura realizaacutendose posteriormente un ajuste de los paraacutemetros libres del modelo con los datos histoacutericos

Fases en la construccioacuten de modelos 1 Fase de Conceptualizacioacuten

2 Fase de Formulacioacuten 3 Fase de Evaluacioacuten

La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto

fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver

bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema

Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de

un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo

bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)

La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia

bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo

-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo

El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas

bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras

de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad

115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos

En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas

ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14

Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno

puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales

Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos

El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el

pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas

dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el

valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico

mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos

La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten

entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar

requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes

diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias

Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos

propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son

1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor

que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas

2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas

pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales

Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo

113 Modelos

Todo el mundo emplea instintivamente modelos cuando toma decisiones sobre determinados

aspectos de la realidad -En el proceso de toma de decisioacuten se elige una entre varias acciones posibles teniendo en cuenta el efecto que cada accioacuten vaya a producir

-La relacioacuten que liga las posibles acciones con sus efectos es el modelo del sistema Por lo tanto en el proceso de toma de decisiones se estaacute empleando un modelo del sistema

La relacioacuten que liga las acciones Ui(entradas) con los efectos Yj(salidas) seguacuten Y = R(U)constituye la representacioacuten formal de un modelo

Clases de modelos 1 Modelo Mental

Basado en el conocimiento que se tiene sobre un aspecto de la realidad adquirido a traveacutes de la experiencia e intuicioacuten del cual se extraen aquellas caracteriacutesticas esenciales para representar el aspecto considerado

2 Modelo Formal Basado en las hipoacutetesis empleadas en los modelos mentales estableciendo a partir de ellas las relaciones formales que definen el comportamiento del aspecto de la realidad en cuestioacuten Utiliza la

capacidad del computador que aunque no es capaz de establecer las relaciones por si mismo si estaacute capacitado para desarrollar las consecuencias dinaacutemicas de las interacciones del sistema que

representa el modelo Esto es algo que les estaacute negado a los modelos mentales ya que se tiende a pensar en teacuterminos de relaciones causa-efecto unidireccionales olvidando las estructuras de realimentacioacuten que

ciertamente existen

Un modelo formal (o matemaacutetico) es maacutes expliacutecito que un modelo mental Su implementacioacuten en el computador produce el modelo computarizado

114 Construccioacuten de los Modelos Matemaacuteticos Normas baacutesica para la construccioacuten de un modelo 1-Para la construccioacuten con eacutexito de un modelo es necesaria la descripcioacuten expliacutecita del comportamiento dinaacutemico formada por el modo de referencia (graacuteficos) las hipoacutetesis acerca de sus

causas y los mecanismos baacutesicos 2-Las hipoacutetesis dinaacutemicas se obtienen a traveacutes de una exploracioacuten combinada del comportamiento

histoacuterico del sistema con estructuras simples de comportamiento conocido 3-Los liacutemites del sistema se deben elegir los suficientemente amplios para acoger los procesos que generen el comportamiento dinaacutemico

4-El objetivo del modelo no es predecir sino ensayar las hipoacutetesis dinaacutemicas 5 El modelo inicial debe contener uacutenicamente los mecanismos baacutesicos que generen el modo de referencia

6-Para reducir la complejidad del modelo debe procederse a restring ir el nuacutemero de detalles Hay dos puntos de vista a la hora de establecer un modelo matemaacutetico de un sistema

I Conductista La construccioacuten del modelo se realiza a partir del procesamiento de datos histoacutericos de la evolucioacuten del sistema Se trata de ajustar un modelo previamente elaborado a los datos disponibles

No se pretende establecer la estructura interna del sistema sino que se supone una estructura interna a priori que reproduzca el comportamiento observado del sistema

II Estructuralista La construccioacuten del modelo se realiza siguiendo un anaacutelisis cuidadoso y detenido de los distintos

elementos que intervienen en el sistema observado De aquiacute se extrae la loacutegica interna del modelo que conduce a la obtencioacuten de la estructura realizaacutendose posteriormente un ajuste de los paraacutemetros libres del modelo con los datos histoacutericos

Fases en la construccioacuten de modelos 1 Fase de Conceptualizacioacuten

2 Fase de Formulacioacuten 3 Fase de Evaluacioacuten

La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto

fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver

bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema

Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de

un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo

bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)

La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia

bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo

-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo

El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas

bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras

de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad

115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos

En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas

ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14

Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno

puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales

Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos

El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el

pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas

dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el

valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico

mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos

La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten

entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar

requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes

diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias

Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos

propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son

1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor

que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas

2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas

pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales

Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo

114 Construccioacuten de los Modelos Matemaacuteticos Normas baacutesica para la construccioacuten de un modelo 1-Para la construccioacuten con eacutexito de un modelo es necesaria la descripcioacuten expliacutecita del comportamiento dinaacutemico formada por el modo de referencia (graacuteficos) las hipoacutetesis acerca de sus

causas y los mecanismos baacutesicos 2-Las hipoacutetesis dinaacutemicas se obtienen a traveacutes de una exploracioacuten combinada del comportamiento

histoacuterico del sistema con estructuras simples de comportamiento conocido 3-Los liacutemites del sistema se deben elegir los suficientemente amplios para acoger los procesos que generen el comportamiento dinaacutemico

4-El objetivo del modelo no es predecir sino ensayar las hipoacutetesis dinaacutemicas 5 El modelo inicial debe contener uacutenicamente los mecanismos baacutesicos que generen el modo de referencia

6-Para reducir la complejidad del modelo debe procederse a restring ir el nuacutemero de detalles Hay dos puntos de vista a la hora de establecer un modelo matemaacutetico de un sistema

I Conductista La construccioacuten del modelo se realiza a partir del procesamiento de datos histoacutericos de la evolucioacuten del sistema Se trata de ajustar un modelo previamente elaborado a los datos disponibles

No se pretende establecer la estructura interna del sistema sino que se supone una estructura interna a priori que reproduzca el comportamiento observado del sistema

II Estructuralista La construccioacuten del modelo se realiza siguiendo un anaacutelisis cuidadoso y detenido de los distintos

elementos que intervienen en el sistema observado De aquiacute se extrae la loacutegica interna del modelo que conduce a la obtencioacuten de la estructura realizaacutendose posteriormente un ajuste de los paraacutemetros libres del modelo con los datos histoacutericos

Fases en la construccioacuten de modelos 1 Fase de Conceptualizacioacuten

2 Fase de Formulacioacuten 3 Fase de Evaluacioacuten

La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto

fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver

bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema

Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de

un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo

bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)

La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia

bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo

-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo

El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas

bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras

de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad

115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos

En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas

ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14

Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno

puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales

Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos

El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el

pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas

dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el

valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico

mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos

La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten

entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar

requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes

diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias

Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos

propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son

1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor

que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas

2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas

pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales

Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo

La Fase de Conceptualizacioacuten consiste en la obtencioacuten de una comprensioacuten mental de un cierto

fenoacutemeno del mundo real bullObtencioacuten de informacioacuten a traveacutes de la opinioacuten de expertos y la literatura al respecto bullDefinicioacuten de aspectos del problema a resolver

bullParticularizacioacuten del comportamiento dinaacutemico del sistema mediante la estructura maacutes simple que lo genere bullIdentificacioacuten de elementos del sistema lo que llevaraacute a establecer los liacutemites del sistema

Fase de Formulacioacuten trata de representar los elementos manejados en la fase anterior por medio de

un lenguaje formal bullEstablecimiento de diagramas formales bullCaacutelculo de ecuaciones dinaacutemicas del modelo

bullImplementacioacuten en computador utilizando un lenguaje apropiado que procese el conjunto de ecuaciones dinaacutemicas (SIMULINK MODELICAhellip)

La Fase de Evaluacioacuten consiste en el anaacutelisis del modelo asiacute como su sometimiento a criterios de aceptabilidad bullEnsayos mediante simulacioacuten de las hipoacutetesis sobre las que se asienta el modelo y su consistencia

bullAnaacutelisis de sensibilidad para estudiar la dependencia de las conclusiones extraiacutedas del modelo con las variaciones de los paraacutemetros que aparecen en el mismo

-El criterio de aceptabilidad seraacute evaluacioacuten generalizada que tendraacute en cuenta no solo las discrepancias prediccioacuten-observacioacuten sino todos los aspectos cuantitativos y cualitativos del modelo

El proceso de construccioacuten de un modelo no es lineal pasaacutendose en sucesivas etapas por modelos progresivamente mejorados de acuerdo con un cierto criterio de aceptabilidad -Por lo tanto el proceso de modelado consta de dos etapas

bullEtapa Inicial bullEtapa de Perfeccionamiento -Las sucesivas etapas consistiraacuten en una eliminacioacuten progresiva de las hipoacutetesis maacutes simplificadoras

de manera que el modelo se aproxime cada vez maacutes a la realidad

115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos

En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas

ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14

Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno

puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales

Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos

El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el

pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas

dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el

valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico

mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos

La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten

entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar

requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes

diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias

Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos

propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son

1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor

que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas

2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas

pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales

Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo

115 Clasificacioacuten de los Modelos Matemaacuteticos

En el aacutembito de este curso se emplearaacuten modelos de tipo matemaacutetico es decir nuestros modelos seraacuten ecuaciones y el anaacutelisis de los sistemas asi modelados estaraacute ligado a la solucioacuten de dichas

ecuaciones Las siguientes definiciones ayudaraacuten a puntualizar queacute tipo de modelos matemaacuteticos son los que se pretenden estudiar seguacuten se observa en la figura 14

Modelos Causales y No Causales El estado de un sistema causal depende soacutelo de las condiciones presentes y pasadas pero no de las futuras es decir hay una relacioacuten de causalidad Los sistemas fiacutesicos son causales pero uno

puede concebir modelos de ciertos sistemas que no lo sean En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas causales

Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos

El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el

pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas

dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el

valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico

mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos

La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten

entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar

requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes

diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias

Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos

propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son

1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor

que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas

2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas

pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales

Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo

Modelos Estaacuteticos y Dinaacutemicos

El estado de un sistema estaacutetico depende soacutelo de las condiciones presentes y no de las pasadas En contraposicioacuten el estado de un sistema dinaacutemico depende de lo que haya sucedido en el

pasado generalmente debido a que en el sistema hay alguacuten tipo de almacenamiento de energiacutea Los sistemas dinaacutemicos tambieacuten se conocen como sistemas con memoria Los modelos de sistemas dinaacutemicos son ecuaciones diferenciales o de diferencia En el curso se estudiaraacuten soacutelo sistemas

dinaacutemicos Modelos Estocaacutesticos y Determinanticos En ocasiones se sabe que existen variables que afectan el sistema pero no es posible predecir el

valor que eacutestas puedan tomar una de las alternativas para hacer frente a estos casos consiste en considerar que esa variable es aleatoria y buscar teacutecnicas basadas en la teoriacutea de probabilidades para analizar el sistema Un modelo que incluya variables aleatorias es un modelo estocaacutestico

mientras que modelos exentos de aleatoriedad se denominan modelos determinanticos Eacutestos uacuteltimos seraacuten los que se estudien en este curso Modelos de Paraacutemetros Concentrados y Distribuidos

La mayoriacutea de los fenoacutemenos fiacutesicos ocurren en una regioacuten del espacio pero en muchas ocasiones es posible representar ese fenoacutemeno como algo puntual por ejemplo para estudiar la atraccioacuten

entre el sol y la tierra es posible representar toda la masa de cada uno de esos cuerpos concentrada en un uacutenico punto (su centro de gravedad) Sin embargo otros fenoacutemenos como la trasmisioacuten de ondas electromagneacuteticas o las olas en el mar

requieren una representacioacuten que considere queacute estaacute sucediendo en cada punto del espacio en este caso se necesitan un modelo de paraacutemetros distribuidos en el espacio en contraposicioacuten de los modelos de paraacutemetros concentrados Los modelos de paraacutemetros distribuidos implican ecuacioacutenes

diferenciales con derivadas parciales y no seraacuten estudiados en este curso por su parte los modelos de paraacutemetros concentrados requieren ecuaciones con derivadas o ecuaciones de diferencia ordinarias

Modelos Lineales y No Lineales La linealidad es una propiedad que pueden tener o no las funciones realmente se trata de dos

propiedades agrupadas bajo un mismo nombre Dada una funcioacuten estaacutes propiedades son

1 Proporcionalidad Es igual calcular la funcioacuten en un argumento amplificad por un factor

que calcularla sobre el argumento y luego amplificar el resultado por ese mismo factor

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales al duplicar las entradas se duplican las salidas

2 Superposicioacuten Es igual calcular la funcioacuten en la suma de dos argumentos que calcularla por sepradao en cado uno de los argumentos y sumar los resultados

En teacuterminos praacutecticos esto significa que en los modelos lineales de varias entradas las salidas

pueden conocerse calculando por separado el efecto de cada entrada y sumando los resultados En este curso se estudiaraacuten los modelos lineales y tan soacutelo en el capiacutetulo se mencionaraacuten algunos comportamientos especiales que pueden ocurrir en los sistemas no lineales

Modelos Variantes e Invariantes en el Tiempo

Un modelo se dice invariante en el tiempo cuando las propiedades del sistema modelado se

consideran constantes en el tiempo En caso contrario se dice variante en el tiempo Noacutetese que la variacioacuten se refiere a las propuiedades (paraacutemetros) del sistema no de las sentildeales que le afectan

(variables) En la mayor parte de este curso se consideraraacuten sistemas invariantes en el tiempo sin embargo la representacioacuten en variables de estado que se aborda en el capiacutetulo permite el estudio de sistemas variantes en el tiempo

Modelos Contiacutenuos y Discretos Para describir el comportamiento de sistema dinaacutemicos es posible definir la variable tiempo en dos formas distintas

Tiempo contiacutenuo Se considera que el tiempo es una variable contiacutenua que puede tomar cualquie r valor real

aunque generalmente se restringe a los valores positivos ( ) Las variables resultan ser

descritas por funciones que van de los reales positivos a los reales ( ) Tiempo discreto

Se considera que el tiempo es una variable discreta es decir que soacutelo toma valores en ciertos puntos de la recta real Usualmente estos instantes estaacuten espaciados de forma regular en un intervalo En este curso se considera ademaacutes en unidades de tiempo adecuadas que

pueden ser antildeos diacuteas microsegundos etc De esta forma es una variable entera generalmente

positiva ( ) Las variables resultan ser descritas por funciones que van de los enteros

positivos a los reales ( ) es decir son sucesiones

En este curso se consideraraacuten ambos tipos de modelos pero en forma independiente es decir no se consideraraacuten sistemas hiacutebridos que tengan una parte descrita en forma contiacutenua i otra en forma discreta Estos sistemas son de amplio intereacutes en las aplicaciones de Control Digital y en

Tratamiento Digital de Sentildeales (particularmente el efecto del periodo del tiempo discreto resulta ser importante) pero no son tratados en este curso pstricks)

116 Sistemas lineales y no lineales variantes e invariantes en el tiempo

Modelos matemaacuteticos causales dinaacutemicos determinanticos de paraacutemetros concentrados

lineales invariantes en el tiempo para dos casos diferentes tiempo continuoacute y tiempo discreto

el modelo empleado corresponde a una ecuacioacuten diferencial ordinaria de coeficientes constantes

(11)

Por su parte un sistema discreto de una uacutenica entrada y una uacutenica salida como el de la figura 16

tendraacute por modelo una ecuacioacuten de diferencias finitas ordinaria de coeficientes constantes

(12

)

La condicioacuten de las ecuaciones (11) y (12) aseguran modelos causales En efcto odemos

suponer una ecuacioacuten de diferencias que viole esta condicioacuten por ejemplo es

obvio que para cualquier la salida del sistema depende de una condicioacuten futura de la entrada (por

ejemplo para se tiene ) lo que viola la condicioacuten de causalidad

Otro tipo de ecuaciones diferenciales que se emplearaacuten relacionan vectores de variables mediante

matrices Para el caso contiacutenuo se muestra un ejemplo en (13) y para el caso discreto en (14)

(13)

(14)

12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos

Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el

comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea

sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia

aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para

obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea

La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se

han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han

identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un

fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es

arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno

fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles

interpretaciones

De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen

un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos

Resistencia

El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma

Inductancia

El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la

forma

Capacitancia

El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de

la forma

Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas

tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos

fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables

para describir otros fenoacutemenos

Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer

analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como

Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los

sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero

tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los

sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)

Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos

Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico

Traslacional

Mecaacutenico

Rotacional

Hidrauacutelic

o

(Tanque

s)

Teacutermico

Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de

Temperatura

Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad

Angular

Nivel de

liacutequido

Flujo de Calor

Resistencia Conduc-

tancia

Resistencia Amortigua-

miento

viscoso

Amortigua-

miento

Viscoso

Rotacional

Resisten

cia

Hidrauacutelic

a

Resistencia

Teacutermica

Inductancia Capacitan-

cia

Inductancia Masa de

Inercia

Momento de

Inercia

Aacuterea de

Tanque

Capacitan-

cia

Inductancia Capacitan-

cia

Resorte Resorte

torsional

Capacitancia

Teacutermica

Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia

Sistema Esfuerzo Flujo

Eleacutectrico Tensioacuten

Eleacutectrica Corriente

Eleacutectrica

Mecaacutenico

Traslacional

Fuerza Velocidad

Mecaacutenico

Rotacional

Torque Velocidad

Angular

Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de

Flujo

Volumeacutetrico

Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de

diferencia de

entropia

Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de

Cambio de

Volumen

Quiacutemico A Potencial

Quiacutemico Variacioacuten de

flujo molar

Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de

flujo maacutesico

Magneacutetico Fuerza

Magnetomotriz

Flujo

magneacutetico

121 Circuitos Eleacutectricos

1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace

que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces

adyacentes 5 Simplificar el grafo

122 Sistemas traslacionales

1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa

unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo

12 Modelado de Sistemas Fiacutesicos

Los modelos matemaacuteticos de las ecuaciones (11) y (12) pueden ser uacutetiles para represntar el

comportamiento de diversos tipos de sistemas en aacutereas de la fiacutesica ingenieriacutea biologiacutea economiacutea

sociologiacutea etc Por lo tanto las teacutecnicas de anaacutelisis que se explicaraacuten en el curso son de amplia

aplicabilidad No obstante centramos aqui nuestra atencioacuten en los fundamentos necesarios para

obtener modelos contiacutenuos de cierto tipo de sistemas frecuentes en la ingenieriacutea

La tabla 12 resume las Variables y Paraacutemetros de algunos de estos sistemas Para cada caso se

han identificado dos variables que permiten analizar algunos fenoacutemenos estas variables se han

identificado como Esfuerzo y Flujo y pueden interpretarse como las variables que causan un

fenoacutemeno y la forma en que eacuteste fenoacutemeno se manifiesta dicha interpretacioacuten sin embargo es

arbitraria y corresponde tan soacutelo a la metaacutefora que se haya empleado para entender el fenoacutemeno

fiacutesico Para resaltar este hecho en la tabla 12 se presentan los sistemas eleacutectricos con dos posibles

interpretaciones

De todos los posibles fenoacutemenos fiacutesicos existentes en la tabla 12 se presentan aquellos que tienen

un modelo matemaacutetico que corresponde a uno de los siguientes casos

Resistencia

El Esfuerzo es directamente proporcional al Flujo resultando en una ecuacioacuten de la forma

Inductancia

El Esfuerzo es directamente proporcional a la variacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de la

forma

Capacitancia

El Esfuerzo es directamente proporcional a la acumulacioacuten del Flujo resultando en una ecuacioacuten de

la forma

Noacutetese que las variables de Esfuerzo y Flujo que aparecen en la tabla 12 han sido seleccionadas

tomando como uacutenico criterio el que permitan escribir los modelos matemaacuteticos de ciertos fenoacutemenos

fiacutesicos de acuerdo con alguno de los tres casos anteriores podriacutean seleccionarse otras variables

para describir otros fenoacutemenos

Dado que las descripciones matemaacuteticas de estos fenoacutemenos son semejantes es posible establecer

analogiacuteas entre los tipos de sistemas que dependeran de las variables seleccionadas como

Esfuerzo y Flujo por ejemplo seraacute posible establecer una analogiacutea entre los resorte lineales de los

sistemas traslacionales y las inductancias de los sistemas eleacutectricos (columnas 2 y 4 tabla 12) pero

tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los

sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)

Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos

Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico

Traslacional

Mecaacutenico

Rotacional

Hidrauacutelic

o

(Tanque

s)

Teacutermico

Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de

Temperatura

Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad

Angular

Nivel de

liacutequido

Flujo de Calor

Resistencia Conduc-

tancia

Resistencia Amortigua-

miento

viscoso

Amortigua-

miento

Viscoso

Rotacional

Resisten

cia

Hidrauacutelic

a

Resistencia

Teacutermica

Inductancia Capacitan-

cia

Inductancia Masa de

Inercia

Momento de

Inercia

Aacuterea de

Tanque

Capacitan-

cia

Inductancia Capacitan-

cia

Resorte Resorte

torsional

Capacitancia

Teacutermica

Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia

Sistema Esfuerzo Flujo

Eleacutectrico Tensioacuten

Eleacutectrica Corriente

Eleacutectrica

Mecaacutenico

Traslacional

Fuerza Velocidad

Mecaacutenico

Rotacional

Torque Velocidad

Angular

Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de

Flujo

Volumeacutetrico

Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de

diferencia de

entropia

Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de

Cambio de

Volumen

Quiacutemico A Potencial

Quiacutemico Variacioacuten de

flujo molar

Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de

flujo maacutesico

Magneacutetico Fuerza

Magnetomotriz

Flujo

magneacutetico

121 Circuitos Eleacutectricos

1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace

que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces

adyacentes 5 Simplificar el grafo

122 Sistemas traslacionales

1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa

unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo

tambieacuten puede establecerse una analogiacutea entre el mismo tipo de resorte y las capacitancias de los

sistemas eleacutectricos (columnas 3 y 4 tabla 12)

Tabla 12 Variables y Paraacutemetros de Sistemas Fiacutesicos

Eleacutectrico A Eleacutectrico B Mecaacutenico

Traslacional

Mecaacutenico

Rotacional

Hidrauacutelic

o

(Tanque

s)

Teacutermico

Esfuerzo Corriente Tensioacuten Fuerza Torque Caudal Diferencia de

Temperatura

Flujo Tensioacuten Corriente Velocidad Velocidad

Angular

Nivel de

liacutequido

Flujo de Calor

Resistencia Conduc-

tancia

Resistencia Amortigua-

miento

viscoso

Amortigua-

miento

Viscoso

Rotacional

Resisten

cia

Hidrauacutelic

a

Resistencia

Teacutermica

Inductancia Capacitan-

cia

Inductancia Masa de

Inercia

Momento de

Inercia

Aacuterea de

Tanque

Capacitan-

cia

Inductancia Capacitan-

cia

Resorte Resorte

torsional

Capacitancia

Teacutermica

Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia

Sistema Esfuerzo Flujo

Eleacutectrico Tensioacuten

Eleacutectrica Corriente

Eleacutectrica

Mecaacutenico

Traslacional

Fuerza Velocidad

Mecaacutenico

Rotacional

Torque Velocidad

Angular

Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de

Flujo

Volumeacutetrico

Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de

diferencia de

entropia

Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de

Cambio de

Volumen

Quiacutemico A Potencial

Quiacutemico Variacioacuten de

flujo molar

Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de

flujo maacutesico

Magneacutetico Fuerza

Magnetomotriz

Flujo

magneacutetico

121 Circuitos Eleacutectricos

1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace

que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces

adyacentes 5 Simplificar el grafo

122 Sistemas traslacionales

1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa

unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo

Tabla 14 Variables Fiacutesicas empleadas en los grafos de enlaces de potencia

Sistema Esfuerzo Flujo

Eleacutectrico Tensioacuten

Eleacutectrica Corriente

Eleacutectrica

Mecaacutenico

Traslacional

Fuerza Velocidad

Mecaacutenico

Rotacional

Torque Velocidad

Angular

Hidrauacutelico Presioacuten Variacioacuten de

Flujo

Volumeacutetrico

Teacutermico A Temperatura Variacioacuten de

diferencia de

entropia

Teacutermico B Presioacuten Variacioacuten de

Cambio de

Volumen

Quiacutemico A Potencial

Quiacutemico Variacioacuten de

flujo molar

Quiacutemico B Entalpiacutea Variacioacuten de

flujo maacutesico

Magneacutetico Fuerza

Magnetomotriz

Flujo

magneacutetico

121 Circuitos Eleacutectricos

1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace

que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces

adyacentes 5 Simplificar el grafo

122 Sistemas traslacionales

1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa

unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo

Magneacutetico Fuerza

Magnetomotriz

Flujo

magneacutetico

121 Circuitos Eleacutectricos

1 Crear una unioacuten tipo 0 por cada nodo del circuito 2 Para cada elemento del circuito crear una unioacuten tipo 1 adicionarle a esa unioacuten un enlace

que represente al elemento y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 0 correspondientes a los nodos entre los que estaacute conectado el elemento

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Si hay un nodo de referencia eliminar la unioacuten tipo 0 correspondiente y los enlaces

adyacentes 5 Simplificar el grafo

122 Sistemas traslacionales

1 Crear una unioacuten tipo 1 para cada velocidad diferente (absolutas y relativas) 2 Para cada fenoacutemeno que genere una fuerza crear una unioacuten tipo 0 adicionarle a esa

unioacuten un enlace que represente al fenoacutemeno y enlazarla unioacuten con las dos uniones tipo 1 correspondientes considerar las inercias

3 Asignar las direcciones de potencia a los enlaces 4 Eliminar la unioacuten tipo 1 correspondiente a velocidad cero 5 Simplificar el grafo