Unidad 1. Limites y continuidad.pdf

UNIDAD 1: LMITES Y CONTINUIDAD

Matemticas II CCSS. 2 de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martn Fernndez Pgina 1

UNIDAD 1: LMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD

NDICE DE LA UNIDAD

1.- INTRODUCCIN. .................................................................................. 1

2.- LMITE DE UNA FUNCIN EN UN PUNTO. LMITES LATE RALES. .. 1

3.- LMITES EN EL INFINITO. ....................... ............................................. 5

4.- LGEBRA DE LMITES. INDETERMINACIONES. ........ ....................... 6

5.- ASNTOTAS. .................................... ..................................................... 9

6.- CONTINUIDAD. DISCONTINUIDADES. ................ ............................... 11

7.- ACTIVIDADES. .................................. ................................................... 14

8.- SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES. ................ ............................... 20

1.- INTRODUCCIN.

La unidad que vamos a comenzar, junto con la de Derivadas e Integrales, forman el ncleo temtico de Anlisis matemtico , una amplia y compleja rama de la Matemtica moderna que ocup gran parte del trabajo de cientficos desde el siglo XVII, tan ilustres como Wallis, Barrow, Newton o Leibnitz. A estos dos ltimos se les considera los padres del Anlisis moderno y se deben muchos de los avances futuros que se dieron.

Esta rama de la matemtica fue ya iniciada en tus estudios en 1 de Bachillerato,

por lo que debes repasar los siguientes contenidos previos : Concepto de funcin. Operaciones con funciones, composicin y funcin inversa. Caractersticas de las funciones: Dominio, recorrido, cortes con los ejes, asntotas,

simetras, monotona, extremos, curvatura, puntos de inflexin y periodicidad. Funciones elementales. Caractersticas grficas de las mismas. Para ello, se proponen las actividades de la 1 a la 7. 2.- LMITE DE UNA FUNCIN EN UN PUNTO. LMITES LATE RALES.

A lo largo del bloque de Anlisis del curso pasado, se vio la idea intuitiva de lmite

de una funcin en un punto. Veamos un ejemplo que ilustre la situacin: Ejemplo 1: Consideremos la funcin ( ) 12 += xxf y veamos qu ocurre con las imgenes de valores del dominio cercanos, por ejemplo, al valor 1 La siguiente grfica corresponde a los valores en los que hemos evaluado la funcin:



Como podemos observar en la grfica, es evidente que a medida que nos acercamos al valor de la abscisa x=1, sus correspondientes imgenes, se van aproximando cada vez ms a la ordenada y=2. Adems, es interesante observar tambin que esto ocurre tanto por valores menores (por la derecha) como por valores mayores (por la izquierda) de la abscisa x=1.

De esta idea de acercamiento a un valor de la ordenada (y) a medida que nos aproximamos a una abscisa (x) concreta por la izquierda o derecha, se deriva la definicin cientfica de lmite que, a continuacin formalizaremos. Definicin 1: Sea ( )xf una funcin definida en un entorno reducido de ax = . Se dice que el lmite de

( )xf cuando x tiende hacia a es l, o que converge a l, si: ( ) lxfaxsi/00 , es decir, si podemos hacer que ( )xf se aproxime a l tanto como queramos sin ms que tomar valores de x suficientemente prximos al valor ax = . Lo escribiremos ( ) lxfLm

ax=

Nota 1: Hemos de tener en cuenta que la definicin de lmite no depende del valor de la funcin en ax = , es decir, no tiene porqu cumplirse que ( ) lxf = , de hecho, ni siquiera tiene que estar definida la funcin en ax = . La idea de lmite analiza lo que ocurre con las imgenes cuando nos acercamos, sin llegar a alcanzar (en principio) el valor ax = .

En determinadas funciones, como por ejemplo las definidas a trozos, los valores que toma alrededor de un punto, dependen si nos acercamos por la izquierda o por la derecha y el comportamiento puede ser muy distinto en ambas direcciones.

Por ello, adems de las definiciones de lmite, conviene llevar a cabo definiciones

que tengan en cuenta dicha circunstancia. Nos referimos a las definiciones de lmites laterales que vamos ver a continuacin. Definicin 2: Sea ( )xf una funcin definida en un entorno reducido a la izquierda de

ax = . Se dice que el lmite de ( )xf cuando x tiende hacia a por la izquierda, si: ( )



Definicin 3: Sea ( )xf una funcin definida en un entorno reducido a la izquierda de ax = . Se dice que el lmite de ( )xf cuando x tiende hacia a por la derecha es l si:

( )



1 1 2 3

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Definicin 4: Sea ( )xf una funcin definida en un entorno reducido de ax = . Se dice que el lmite de ( )xf cuando x tiende hacia a es ms infinito, o que diverge a ms infinito, si: ( ) MxfaxsiM >> /00 , es decir, si podemos hacer que ( )xf tome valores positivos tan grandes como queramos sin ms que tomar valores de x suficientemente prximos al valor ax = . Lo escribiremos

( ) +=

xfLmax

Definicin 5: Sea ( )xf una funcin definida en un entorno reducido de ax = . Se dice que el lmite de ( )xf cuando x tiende hacia a es menos infinito, o que diverge a m enos infinito, si: ( ) NxfaxsiN



3.- LMITES EN EL INFINITO. En este punto del tema vamos a definir los conceptos de lmites en el infinito.

Conviene tener en cuenta, antes de empezar, que ya no son lmites puntuales como en el apartado anterior y, por tanto, no tiene sentido hablar de lmites laterales.

Definicin 6: Se dice que el lmite de ( )xf cuando x tiende a ms infinito es l, o que converge a l, si:

( ) >> lxfMxsiM /00 , es decir, si podemos hacer que ( )xf se aproxime a l tanto como queramos sin ms que tomar valores de x suficientemente grandes. Lo escribiremos ( ) lxfLm

x=

+

Definicin 7: Se dice que el lmite de ( )xf cuando x tiende a menos infinito es l, o que converge a l, si:

( ) >> /00 , es decir, si podemos hacer que ( )xf sea tan grande como queramos sin ms que tomar valores de x suficientemente grandes. Lo escribiremos ( ) +=

+xfLm

x

Definicin 9: Se dice que el lmite de ( )xf cuando x tiende a ms infinito es menos infinito, o que dive rge a menos infinito, si: ( ) NxfMxsiNM /00 , es decir, si podemos hacer que ( )xf sea tan pequeo como queramos sin ms que tomar valores de x suficientemente grandes. Lo escribiremos ( ) =

+xfLm

x.

Definicin 10: Se dice que el lmite de ( )xf cuando x tiende a menos infinito es ms infinito, o que dive rge a ms infinito, si: ( ) MxfNxsiNM >



Definicin 11: Se dice que el lmite de ( )xf cuando x tiende a menos infinito es menos infinito, o que diverge a menos infinito, si: ( ) NxfMxsiNM



Proposicin 6: (Potencia de base positiva)

a) 0 aconaa bb b) ( )

=

0?

0

00

0

bsiIND

bsi

bsib

c)

( )

=++

1?

100

1

asiIND

asi

asi

a d)

( )

=+

+0?

00

0

bsiIND

bsi

bsib

f) +++ g) 0+

Segn acabamos de ver, existen en total 7 indeterminaciones que son:

1,0,,

00

,0, 00 y , de las que, entre el curso pasado y este,

abordaremos los mtodos de resolucin de las 4 prim eras . No obstante, veamos antes algunas actividades de repaso de los casos no indeterminados. Proponemos la actividad 12 Nota 4: El lmite en el infinito de un polinomio coincide con el lmite en el infinito de su monomio lder, es decir, ( ) nnxnnnnx xaLmaxaxaxaLm =+++ 0111 ....... .

Durante las siguientes notas repasaremos los mtodos de resolucin de las

indeterminaciones y

00

, . El otro caso que abordaremos: 0 se resuelve

transformndolo en un cociente. Por simplificar la escritura, en el clculo de lmites se suele permitir la escritura de

expresiones que no existen en el campo numrico, como por ejemplo 70

3 + . Estas

expresiones las escribiremos entre corchetes entendiendo que se trata de una aproximacin en el lmite y no de una operacin en la que no tienen cabida.

Nota 5: (Resolucin de la indeterminacin 00

)

Este tipo de indeterminaciones aparece normalmente en expresiones del tipo: ( )( )xgxf

Lmax

siendo ( ) ( )xgyxf expresiones polinmicas o, eventualmente, expresiones con radicales, una de ellas o ambas. En el caso de las polinmicas, basta simplificar los factores del tipo ax mediante factorizacin. Si hay radicales, hay que transformarlos en expresiones sin radicales antes de llevar a cabo lo anterior. Esto se consigue multiplicando numerador y denominador por la expresin conjugada conveniente.



Ejemplo 5: Veamos un ejemplo de cada tipo:

a) ( )( )( )( )

( )( ) 3

8122

12222

00

282

222

2

2=

=

++=

=+

x

xLm

xxxx

Lmxx

xLm

xx

IND

x

b) ( )

( )( )

444

24)1(

24)24(

24)(00

24 0

2

0

2

0=

+++=

+++++=

=+

x

xxxLm

xx

xxxLm

x

xxLm

xx

IND

x

Nota 6: (Resolucin de la indeterminacin

)

Para resolver este tipo de indeterminaciones, utilizaremos que el lmite de un polinomio en el infinito coincide con el de su monomio lder (Nota 4). En el caso concreto de los polinomios el resultado es:

11 1 0

11 1 0

............

0

n nn n n

m mxm m m

si n m

a x a x a x a aLm si n m

b x b x b x b b

si n m

>+ + + = =+ + +



Aunque forma parte de la unidad siguiente, un eficaz y muy utilizado resultado en el clculo de lmites es la llamada Regla de LHpital o Reglas de LHpital (porque son varias). Como ya se vio en el curso pasado el clculo de derivadas, podemos utilizar dicha regla en lo que sigue. Veamos su enunciado. Proposicin 7: (Regla de LHpital): Sean ( ) ( )xgyxf funciones derivables en un

entorno reducido de ax = tales que ( )( )xgxf

Lmax

presenta la indeterminacin

bieno00

.

Si existe ( )( )xgxf

Lmax '

'

, entonces tambin existe ( )( )xgxf

Lmax

y coincide con el anterior. El

resultado tambin es vlido para lmites en el infinito.

En la prctica, esto supone que en la mayora de las situaciones en las que se nos presenten indeterminaciones de tipo cociente, podemos derivar numerador y denominador y ver si el lmite resultante existe, ya que, en tal caso, coincidir con el anterior.

Ejemplo 8: Veamos como ejemplo la resolucin de los lmites ya hechos anteriormente en la unidad:

a) 2 '

22 2

2 8 0 4 8 82 0 2 1 3 3

L H

x x

x xLm Lm

x x x = = = = + +

b)4 2 3 2' ' '

4 3 2

3 2 5 12 4 36 4 72 72 34 7 16 48 96 96 4

L H L H L H

x x x x

x x x x x xLm Lm Lm Lm

x x x x+ + + + + + + = = = = = = =

Proponemos como actividad la resolucin de los lmites de la actividad 13

utilizando la Regla de LHpital. 5.- ASNTOTAS.

El estudio de las asntotas de una funcin, que abordaremos a continuacin, est ntimamente relacionado tanto con el concepto de lmite como con la representacin grfica de funciones que trataremos en unidades futuras. Se trata de un aspecto fundamental a la hora de representar funciones y analizar su comportamiento por lo que habr que prestarle especial atencin. Veamos su definicin y clculo. Definicin 12: Llamamos asntota de una funcin a toda recta vertical, horizontal u oblicua a la que se acerca indefinidamente la grfica de la funcin para puntos indefinidamente alejados del origen de coordenadas. Proposicin 8: (Determinacin de asntotas) a) Verticales : ( )xf tiene una asntota vertical en ax = cuando alguno de sus lmites laterales en ax = es infinito, es decir, cuando ( ) =

xfLm

ax.

b) Horizontales : ( )xf tiene una asntota horizontal en by = cuando alguno de sus lmites en el infinito es finito, es decir, cuando ( ) bxfLm

x=

.



c) Oblicuas : ( )xf tiene una asntota oblicua en nmxy += cuando:

( )xxf

Lmmx

= es finito y no nulo

( )( )mxxfLmn

x=

es finito

Ejemplo 9: Sin ms que observar su grfica, podemos ver que la 1 funcin de la actividad 6 tiene una asntota horizontal en 0=y mientras que la 2 funcin de dicha actividad tiene dos asntotas verticales en 11 == xenyx y una oblicua en xy = Nota 8: Antes de continuar hagamos algunas aclaraciones sobre el nmero de asntotas que puede tener una funcin: Una funcin puede tener infinitas asntotas verticales y el acercamiento a ellas puede

ser por la izquierda, por la derecha o por ambas direcciones. Adems, los puntos en los que se encuentran las asntotas suelen ser valores en los que no est definida la funcin.

Una funcin puede tener, como mximo dos asntotas entre horizontales y oblicuas. No puede haber simultneamente asntotas horizontales y oblicuas en + ni en .

Lo que s puede darse es que haya una horizontal en un lado y una oblicua en otro. En resumen, s puede haber simultneamente horizontal y oblicua pero no en el mismo lado.

Ejemplo 10: Vamos a determinar las asntotas de las siguientes funcin ( )12

=x

xxf

Verticales: Sin ms que mirar el denominador, observamos que la funcin no est definida para 11 == xparanix . Son pues, estos puntos, los candidatos a presentar asntotas verticales. Veamos si, en efecto, la tienen:

2 21 1

1 1m mientras que m , as pues, tiene una A.V. en 1

1 0 1 0x xx x

L L xx x ++

= = = = + =

2 21 1


1 0 1 0x xx x

L L xx x + +

= = = = + = Horizontales: Veamos los lmites en el infinito:

2

2

10

m = =0, as pues, tiene una AH en y 0 en + y en -11 1 01

x x

x xL Lmx

x

= = =

Oblicuas: No puede tener ya que tiene horizontales en ambos lados.



Ejemplo 11: Vamos a determinar las asntotas de las siguientes funcin ( )2

2x

f xx

=+

Verticales: Sin ms que mirar el denominador, observamos que la funcin no est definida para 2x = . Es pues, este punto, el candidato a presentar asntota vertical. Veamos si, en efecto, la tiene:

2 2

2 2


2 0 2 0x xx x

L L xx x + +

= = = = + = + + Horizontales: Veamos los lmites en el infinito:

2

2

1 1m = = , as pues, no tiene A.H.

1 22 0x xx

L Lmx

x x

= = + +

Oblicuas: Veamos los lmites correspondientes a las oblicuas:

( )2

2

2

1 12 122 1 01

x x x x

xf x xxm Lm Lm Lm Lm

x x x xx

+= = = = = = = + + +

( )( )2 2 2 2 2 2 2

222 2 2 1 01

x x x x x

x x x x xn Lm f x mx Lm x Lm Lm Lm

x x xx

= = = = = = = + + + + +

As pues, presenta una A.O. en 2y x= Nota 1: A la vista de los ejemplos anteriores conviene tener en cuenta las siguientes observaciones sobre las asntotas en el caso de funciones racionales: Presentan asntotas verticales en las races del denominador (salvo cuando dicha raz

lo es tambin del numerador). Presentan asntotas horizontales cuando el grado del numerador es menor o igual que

el del denominador. Presentan asntotas oblicuas cuando el grado del numerador es una unidad ms que

el del denominador.

Proponemos la actividad 14 6.- CONTINUIDAD. DISCONTINUIDADES.

En el curso pasado vimos una definicin grfica intuitiva del concepto de continuidad que deca, como ya vimos en la nota 2, algo as que una funcin era continua en un punto si se poda trazar alrededor del punto sin levantar el lpiz del papel. Esto, desde el punto de vista matemtico se formaliza con la siguiente definicin.

Definicin 13: Sea ( )f x una funcin definida en un entorno de x a= . Se dice que ( )f x es continua en x a= si ( ) ( )

x aLmf x f a

= . En caso de que no sea continua, diremos que es

discontinua o que presenta una discontinuidad en x a= .



Nota 9: La definicin anterior lleva implcita algunas condiciones derivadas de la existencia del lmite puntual. Para que la funcin sea continua han de cumplirse: Que ( )f a . Que ( ) ( )

x a x aLmf x y Lmf x

, que ambos sean finitos y que coincidan.

Finalmente que dicho valor comn coincida con ( )f a . Definicin 14: Sea ( )f x una funcin definida en un entorno de x a= . Se dice que ( )f x es continua por la izquierda en x a= si ( ) ( )

x aLmf x f a

= .

Definicin 15: Sea ( )f x una funcin definida en un entorno de x a= . Se dice que ( )f x es continua por la derecha en x a= si ( ) ( )

x aLmf x f a

+= .

Nota 10: En vista de lo anterior, es evidente que una funcin es continua en un punto si y solo si lo es por la izquierda y por la derecha. Definicin 16: Una funcin se dice que es continua en un intervalo si lo es en cada uno de los puntos del intervalo, considerando continuidad lateral en los extremos incluidos en el mismo. Nota 11: Las funciones elementales : polinmicas, valor absoluto, racionales, races, exponenciales, logartmica, trigonomtricas y las inversas de las trigonomtricas son continuas en sus respectivos dominios. Proposicin 9: La composicin de funciones continuas es continua en su dominio correspondiente. Nota 12: Como consecuencia de la proposicin 9 tenemos, por ejemplo, los siguientes resultados: a) El valor absoluto de una funcin continua es continua en su dominio correspondiente. b) La raz de una funcin continua es continua en su dominio correspondiente.

Como es evidente, no todas las funciones son continuas en todos sus puntos y no siempre por el mismo motivo. Clasifiquemos las discontinuidades. Definicin 17: Sea ( )f x una funcin discontinua en x a= . Diremos que es una discontinuidad: a) Evitable si ( )f a o bien si ( ) ( )

x af a Lmf x

1 1

1



b) De 1 especie con salto finito si los dos lmites laterales existen y son finitos pero no coinciden. Al valor absoluto de la diferencia de dichos lmites lo llamaremos salto . c) De 1 especie con salto infinito si los dos lmites laterales existen pero, al menos uno de ellos es infinito. d) De 2 especie cuando no existe alguno de los lmites laterales.

Ejemplo 12: Consideremos la funcin ( ) 22 3 2

5 2 0

3 0

x si x

f x x si x

si x

+ < =



Es evidente que la funcin es continua de partida en { }1, 2 por ser funciones elementales continuas en el dominio en el que estn definidas. Veamos qu ocurre en estos dos puntos:

1x = ( )1 1f = ( )3

12 1

xLm x

+ = As pues, no es continua en 1x = (salto infinito)

1

1 11 0x

Lmx+ +

= = + +

2x = ( )2 no existef

2

1 11 3x

Lmx

=+

As pues, no es continua en 2x = (evitable)

3 12

13 3

3x

xLm

+

= =

Resumiendo: f es continua en { }- 1, 2 , presentando una discontinuidad de salto infinito en 1x = y una evitable en 2x =

Ejemplo 14: Determina el valor de a para que sea continua: ( ) 22 1

2 1

x a si xf x

x ax si x

+ =

+ >

Para que sea continua, debe serlo en x=1, luego han de coincidir los siguientes lmites:

( )

( )1

2

1

2 21

2 322 3

x

x

Lm x a aa a a

Lm x ax a

+

+ = +

+ = = + =

Proponemos la actividad 15. 7.- ACTIVIDADES.

ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORA Actividad 1: Halla las funciones inversas de las siguientes: a) ( ) 13 = xxf b) ( ) 45 += xxg Actividad 2: El radio de un crculo mide 10 cm. Expresa el rea del rectngulo inscrito en el mismo en funcin de la medida x, de la base. Cul es el dominio de la funcin obtenida?

Actividad 3: Dadas las funciones: ( ) ( ) 1223 =

+= xxgy

xx

xf , obtn:

a) ( )( )xgf b) ( )xf 1 c) ( )xg 1

Matemticas II CCSS. 2 de Bachillerato B

Actividad 4: Determina el dominio de las siguientes funciones:

a) ( )65

122 +

+=xx

xxf

d) ( )432

=

xx

xj

Actividad 5: Analiza todas las caractersticas que conozcas de las funciones cuyas grficas se adjuntan: a)

Actividad 6: Representa grficamente las funciones:

a) ( )



4 3 2 1 1 2 3 4 5

8

7

6

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

y

Actividad 10: Calcula los lmites laterales de las funciones en los puntos indicados:

a) ( ) 332

322=



ACTIVIDADES DE DESARROLLO Actividad 16: Determina razonadamente las asntotas de las siguientes funciones:

a) ( )2

2

44

xf x

x+=

b) ( )3

2

23

x xg x

x x+=

Actividad 17: Estudia las asntotas verticales de las siguientes funciones:

a) ( ) ( )2 4f x Ln x= b) ( )1xg x e=

Actividad 18: Obtn las asntotas de la funcin 3

2 1x

yx

=

.

Actividad 19: Calcula a y b para que la funcin: ( ) 3axf xx b

=+

tenga como asntotas:

2 2y y x= = Actividad 20: (S) Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

a) ( ) 1ln 1

xe si xf x

x si x

Actividad 24: Halla los valores de a y b para que sea continua: ( )2

3

3 0

0 2

1 2

x si x

f x ax b si x

x si x

+

a) Justifica que la funcin T es continua en todo su dominio. b) Por mucho que se entrene un deportista, ser capaz de hacer la prueba en menos de 1 minuto? Y en menos de 2?

ACTIVIDADES DE SELECTIVIDAD Actividad 27: (2004) La temperatura T, en grados centgrados, que adquiere una pieza sometida a un proceso viene dada en funcin del tiempo t, en horas, por la expresin:

( ) 240 10 0 4T t t t con t= a) Represente grficamente la funcin T y determine la temperatura mxima que alcanza la pieza. b) Qu temperatura tendr la pieza transcurrida 1 hora? Volver a tener esa misma temperatura en algn otro instante? Actividad 28: (2005) El beneficio, en millones de euros, de una empresa en funcin del tiempo t, en aos, viene dado por: ( ) 2 12 31 4 7f t t t t= + a) Represente la grfica de la funcin f. b) Para qu valor de t alcanza la empresa su beneficio mximo y a cunto asciende? Para qu valor de t alcanza su beneficio mnimo y cul es ste? Actividad 29: (2005) El valor, en miles de euros, de las existencias de una empresa en funcin del tiempo t, en aos, viene dado por la funcin: ( ) 24 60 15 1 8f t t t t= + . a) Cul ser el valor de las existencias para 2t = ? Y para 4t = ? b) Cul es el valor mximo de las existencias? En qu instante se alcanza? c) En qu instante el valor de las existencias es de 185 miles de euros? Actividad 30: (2006) El beneficio esperado de una empresa, en millones de euros, en los prximos ocho aos viene dado por la funcin B definida por:

( )2 7 0 5

10 5 8

t t si tB t

si t

+ =

, donde t indica el tiempo transcurrido en aos.



a) Represente grficamente la funcin B y explique cmo es la evolucin del beneficio esperado durante esos 8 aos. b) Calcule cundo el beneficio esperado es de 11,25 millones de euros. Actividad 31: (2007) El beneficio obtenido por una empresa, en miles de euros, viene

dado por la funcin: ( )25 40 60 0 6

515 6 10

2

x x si xf x x

si x

+ =

<

, donde x representa el

gasto en publicidad, en miles de euros. a) Represente la funcin f. b) Calcule el gasto en publicidad a partir del cual la empresa no tiene prdidas. c) Para qu gastos en publicidad se producen beneficios nulos? d) Calcule el gasto en publicidad que produce mximo beneficio. Cul es ese beneficio mximo? Actividad 32: (2009) Un almacenista de fruta ha estimado que el beneficio que le produce cada kilogramo (Kg) de fresas depende del precio de venta de acuerdo con la funcin

( ) 2 4 3B x x x= + , siendo ( )B x el beneficio por Kg y x el precio de cada Kg, ambos expresados en euros. a) Entre qu precios se producen beneficios para el almacenista? b) Qu precio maximiza los beneficios? c) Si tiene en el almacn 10000 Kg de fresas, cul ser el beneficio total mximo que podr obtener? Actividad 33: (2010) En una empresa han hecho un estudio sobre la rentabilidad de su inversin en publicidad, y han llegado a la conclusin de que el beneficio obtenido, en miles de euros, viene dado por la expresin: ( ) 20,5 4 6B x x x= + , siendo x la inversin en publicidad, en miles de euros, con x en el intervalo [ ]0,10 . a) Para qu valores de la inversin la empresa tiene prdidas? b) Cunto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible? c) Cul es el beneficio si no invierte nada en publicidad? Hay algn otro valor de la inversin para el cual se obtiene el mismo beneficio? Actividad 34: (2010) El gerente de una empresa sabe que los beneficios de la misma,

( )f x , dependen de la inversin, s, segn la funcin: ( ) 2 11 10f x x x= + (x es la cantidad invertida, en millones de euros). a) Determine los valores de la inversin para los que la funcin beneficio es no negativa. b) Halle el valor de la inversin para el cual el beneficio es mximo. A cunto asciende ste? c) Entre qu valores ha de estar comprendida la inversin para que el beneficio sea creciente, sabiendo que ste es no negativo?



Actividad 35: (2010) Sea la funcin: ( )2

2

2 3 1

6 5 1

x ax si xf x

ax x si x

+ = + >

a) Calcule el valor de a para que la funcin f sea continua en 1x = . b) Para 1a = , represente su grfica y, a la vista de ella, indique su monotona y las coordenadas de sus extremos locales. Actividad 36: (2011) Tras un test realizado a un nuevo modelo de automvil, se ha observado que el consumo de gasolina, ( )c x , expresado en litros, viene dado por la funcin ( ) 27,5 0,05 0,00025c x x x= + , siendo x la velocidad en Km/h y 25 175x a) Determine el consumo de gasolina a las velocidades de 50 Km/h y 150 Km/h. b) Estudie el crecimiento y decrecimiento de la funcin ( )c x . c) A qu velocidades de ese intervalo se obtiene el mnimo consumo y el mximo consumo y cules son estos? Actividad 37: (2011) Un banco lanza al mercado un plan de inversin cuya rentabilidad

( )R x , en miles de euros, viene dada en funcin de la cantidad, x que se invierte, tambin en miles de euros, por la siguiente expresin: ( ) 20,001 0,4 3,5 10R x x x con x= + + . a) Calcula la rentabilidad para una inversin de 100000 euros. b) Deduce y razona qu cantidad habra que invertir para obtener la mxima rentabilidad. c) Qu rentabilidad mxima se obtendra? Actividad 38: (2012) Se estima que el beneficio de una empresa, en millones de euros,

para los prximos 10 aos, viene dado por la funcin ( )2 0 6

2 6 10

at t si tB t

t si t

=

< , siendo

t el tiempo transcurrido en aos. a) Calcule el valor del parmetro a para que B sea una funcin continua. b) Para 8a = , represente su grfica e indique en qu perodos de tiempo la funcin crecer o decrecer. c) Para 8a = , indique en qu momento se obtiene el mximo beneficio en los primeros 6 aos y a cunto asciende su valor. 8.- SOLUCIONES DE LAS ACTIVIDADES.

Actividad 1: a) ( ) 31 1+= xxf b) ( )5

41 += xxg

Actividad 2: ( ) ( ) [ ]20,0,400 2 == ADomsiendoxxxA

Actividad 3: a) ( )( )3222

+=

xx

xgf b) ( )1321

+=

xx

xf c) ( )2

11 += xxg



Actividad 4:

a) ( ) { }3,2=fDom b) ( ) ( ] [ )+= ,44, gDom c) ( )

=31

,2hDom

d) ( ) ( )+

= ,44,23

jDom e) ( ) ( ) ( )+= ,22, kDom Actividad 5: a) 1) Dominio y recorrido: ( ) ( ) [ ]3,3Im == ieiDom . 2) Puntos de corte con los ejes y signo: El nico punto de corte con los ejes es ( )0,0 .

( ) ( )( ) ( )0,0

,00

xxi

xxi

3) Continuidad: i es continua en todo . 4) Asntotas: i tiene una asntota horizontal en 0=y . 5) Simetras: i es impar. 6) Periodicidad: i no es peridica. 7) Monotona:

( )( ) ( )+

,11,:

1,1:

enedecrecientnteestrictameesi

encreciententeestrictameesi

8) Extremos relativos: i presenta un mximo relativo en ( )3,1 y un mnimo relativo en ( )3,1 .

9) Acotacin y extremos absolutos: i est acotada, presentando un mximo absoluto en ( )3,1 y un mnimo absoluto en ( )3,1 .

10) Curvatura: ( ) ( )( ) ( )3,03,:

,30,3:

+

encncavaesi

enconvexaesi

11) Puntos de inflexin: i tiene tres puntos de inflexin en

( )

233

,30,0,2

33,3 y .

b) 1) Dominio y recorrido: ( ) { } ( ) == pepDom Im1,1 . 2) Puntos de corte con los ejes y signo: El nico punto de corte con los ejes es ( )0,0 .

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1,01,0

,10,10

xxp

xxp

3) Continuidad: p es continua en { }1,1 , presentando discontinuidades de salto infinito para 11 == xyx

4) Asntotas: p tiene dos asntotas verticales en 11 == xyx , y una oblicua en xy = . 5) Simetras: p es impar. 6) Periodicidad: p no es peridica. 7) Monotona:

( ) ( )( ) ( ) ( )3,11,11,3:

,33,:

+

enedecrecientnteestrictameesp

encreciententeestrictameesp


8) Extremos relativos: p presenta un mnimo relativo en

relativo en

2

33,3 .

9) Acotacin y extremos absolutos10) Curvatura:

( )( )1,:

0,1:

encncavaesp

enconvexaesp

11) Puntos de inflexin: p tiene un punto de inflexin en

Actividad 6: a) Actividad 7: a)

Actividad 8: a) -3 b) 3/2 c) 0 d) 0 e) 1 Actividad 9: a) -4/3 b) -29 Actividad 10: a) ( ) ( );4

33==

+ xfLmxfLm

xx

Actividad 11: a) + b) + c)


CCSS. 2 de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martn Fernndez

presenta un mnimo relativo en

3,3

.

Acotacin y extremos absolutos: p no est acotada inferior ni superiormente.

( )) ( )1,0

,1

+

tiene un punto de inflexin en ( )0,0 .

b)

b) c)

3 b) 3/2 c) 0 d) 0 e) 1 f) g) 2 h) 1

c) -3 d)

6= b) ( ) ;311

=+

LmxfLmxx

+

d) e) + f)


Pgina 22

233

y un mximo

no est acotada inferior ni superiormente.

c)

g) 2 h) 1 i)

( ) 3=+

xfLm


Actividad 12: a) + b) c) f) g) + h) + k) 0 l) + k) 0 Actividad 13:

a) 41

b) 32

c) 0

Actividad 14: a) + b) 0 c) 0 Actividad 15: a) 0 b) 1 Actividad 16: a) 2 , 2 , 1x x y= = = Actividad 17: a) 2 ; 2x x= = Actividad 18: 1 , 1 ,x x y x= = = Actividad 19: 2 2a y b= = Actividad 20: a) { } es continua en 1 , presentando en 1 un sf x =b) { } es continua en 0 , presentando en 0 un sf x = Actividad 21: Debe ser 9 10a y b= = Actividad 22: La funcin es continua en

presentando una discontinuidad de salto finito para 2x = .

( )

xLm f x

+=

( ) 0xLm f x

=


CCSS. 2 de Bachillerato B. Prof.: Santiago Martn Fernndez

d) + e) +

+ i) +

j) 0

0 l) + m)

0

d) 32

e) 0 f) 32

c) 0 d) 3/2

b) 1 c) 0

b) 3 , 2 6x y x= = +

b) 0x =

1 , 1 ,x x y x= = =

es continua en 1 , presentando en 1 un salto finitof x =

es continua en 0 , presentando en 0 un salto infinitof x =

9 10a y b= =

La funcin es continua en { }2 , presentando una discontinuidad de salto finito para


Pgina 23

g) 3 h) 0



Actividad 23: a) Caso1: si 8a = , es continua en Caso 2: si 8a , es continua en { }2 , presentando en 2x = una discontinuidad de salto finito. b) Caso 1: si 1/ 2a = , es continua en Caso 2: si 1/ 2a , es continua en { }0 , presentando en 0x = una discontinuidad de salto finito. Actividad 24: 2 3a y b= = Actividad 25:

a) 15 millones de individuos. b) 1 milln de individuos. Actividad 26: a) Basta hacer los lmites. b) No. Tampoco Actividad 27: a) La temperatura mxima es 40C

b) Al cabo de una hora, la temperatura ser de 30C y s volver a tener esa temperatura a las 3 horas.

Actividad 28: a)

b) Alcanza el mximo para 6t = y asciende a 5 millones de euros. El beneficio mnimo se alcanza para 4t = y es de 1 milln de euros.

Actividad 29: a) 89000 y 161000 respectivamente. b) 210000 y se alcanza al cabo de 7 aos y medio. c) Al cabo de 5 aos.



Actividad 30: a) El beneficio aumenta en los 3,5 primeros aos, luego

comienza a disminuir hasta el 5 ao y se mantiene constante hasta el 8 ao.

b) A los 2 aos y medio y a los 4 aos y medio.

Actividad 31: a) b) A partir de 2000

c) Para 2000 y 6000

d) Para 4000 , dan 20000 de beneficio.

Actividad 32: a) Entre 1 y 3 . b) 2 c) 10000 Actividad 33: a) Para inversiones entre 2000 y 6000 . b) 10000 . c) 6000 . Actividad 34: a) Para inversiones de entre 1 y 10 millones de euros. b) El beneficio mximo es de 20250000 y se obtiene con una inversin de 5500000 . c) Entre 1000000 y 5500000 . Actividad 35: a) 1a = b) Creciente en ( ) ( ), 1 3, + y decreciente en ( )1,3 . Tiene un mximo relativo en

( )1,4A y un mnimo relativo en ( )3, 4B .



Actividad 36: a) El consumo es de 5,625 litros en ambos casos. b) Creciente en ( )100,175 y decreciente en ( )25,100 . c) El mnimo consumo es de 5 litros y se alcanza a la velocidad de 100 Km/h y el mximo es de 6,40625 y se alcanza para 35 Km/h y para 175 Km/h. Actividad 37: a) 33500 b) 10000 c) 43500 Actividad 38: a) 8a = b) c) El mximo beneficio se alcanza el 4 ao y asciende a 16 millones de euros. NOTA IMPORTANTE: Las actividades de la 27 a la 38 s on de Selectividad. En las dos pginas web siguientes se encuentran las soluciones de todos lo s exmenes de forma detallada:

http://emestrada.wordpress.com/category/matematicas -aplicadas-a-las-ccss-ii/ http://www.iesayala.com/selectividadmatematicas/

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