UNIDAD 1 OPTIMIZACION

FUNDACIÓN UNIVERSITARIA TECNOLÓGICO COMFENALCO

UNIDAD 1. CONCEPTOS BÁSICOS.


“La optimización es la búsqueda de un grupo de variablesmanipulables con la finalidad de maximizar o minimizar unacaracterística de un sistema. Desde la óptica de Ingeniería,la optimización es posible cuando hemos modelado lacaracterística deseable del sistema, también denominadafunción objetivo. La mayoría de los problemas deoptimización tienen una estructura que es similar, lo quepermite darles un tratamiento generalizado”1.

1. Optimización en IQ, UDEC.


1º Categoría. Una función objetivo a minimizar o maximizar. Esta función objetivo,

dentro del problema de optimización, recibe el nombre de modeloeconómico.

2a Categoría Un conjunto de restricciones de igualdad (ecuaciones), que

corresponden a identidades matemáticas impuestas por el diseño,el equipo o el modelo matemático del sistema.

Elementos de un problema de Optimización.Elementos de un problema de Optimización.


3º Categoría Un conjunto de restricciones de desigualdad (inecuaciones), quecorresponden a limitaciones físicas (o de operación) impuestas porel diseño, el equipo o el modelo matemático del sistema.

Elementos de un problema de Optimización.Elementos de un problema de Optimización.

Notación MatemáticaNotación Matemática.

minimizar : f ( x⃗)

sujeto a :h( x⃗)=0

: g ( x⃗)⩾0

Función objetivo

Vector de restriccionesindependientes de igualdad.

Vector de restriccionesindependientes de desigualdad.


Ejemplos de aplicación de optimización en la IndustriaQuímica y de Procesos:

1. Determinación de los mejores lugares para la ubicación de laplanta.2. Itinerario para la distribución del crudo y de los productos.3. Dimensionamiento de tubería y distribución.4. Diseño de plantas enteras y de equipos.5. Organigrama de mantenimiento y reemplazo de equipos.6. Planificación y análisis de operaciones existentes.7. Evaluación de datos de planta para construir un modelo delproceso.8. Control de sistemas dinámicos.


Un ejemplo típico, es la elección del diámetro económico de una tubería. Esbien sabido que a mayor diámetro mayor es el costo fijo (contiene másmaterial) pero disminuyen los costos operativos (potencia de bombeo).

A menores diámetros, disminuyen los costos fijos pero aumentan losoperativos. La solución óptima será aquella que minimice la suma de amboscostos, es decir el costo total. En algunos nomogramas se puede hallar estediámetro económico sabiendo el gasto de fluido y su densidad.


Técnicas convencionales de Optimización:

● Métodos Analíticos: Cálculo diferencial y variacional.

● Métodos Gráficos: Limitado a 1 ó 2 variables, modeloeconómico, análisis de gráficas.

● Métodos Numéricos: Muchas variables, métodos iterativos.

● Métodos Experimentales: No hay forma específica de lafunción, se busca el optimo haciendo cambios sobre elsistema.


Requisitos para la aplicación de la teoría deoptimización a problemas concretos de ingeniería

1. Definir los límites del sistema.

2. Elegir un criterio cuantitativo para medir el desempeño del sistema, índiceque permita identificar el mejor diseño.Factor económico: Capital total, costo anual, retorno sobre la inversión,relación costo-beneficio, etc.Factor tecnológico: Tiempo de producción mínimo, velocidad de producciónmáxima, utilización de energía mínima.

3. Seleccionar las variables del sistema que servirán para caracterizar y/oidentificar a las alternativas candidatas.Variables independientes del sistema.Parámetros del sistema.


Requisitos para la aplicación de la teoría deoptimización a problemas concretos de ingeniería

4. Definir un modelo matemático que exprese la forma en que las variablesestán relacionadas.Modelo matemático: Es una representación matemática de los aspectosesenciales de un sistema y que presenta conocimiento del mismo en unamanera útil (Eykhoff, 1974).

Aspectos a considerar en el modelado:a) Ecuaciones de balances de materia y de energía.b) Relaciones de diseño.c) Ecuaciones que describen el fenómeno físico.d) Inecuaciones que definen los rangos de operación permitidos,especifican los requerimientos


● Definición del objetivo: Se formula en términos de maximizar o minimizar unavariable o característica del sistema, o una variable de naturaleza económicapara la operación de sistema. En términos matemáticos, se le llama funciónobjetivo.

● Restricciones Impuestas al problema por agentes externos: Soncaracterísticas que no pueden ser controladas por el optimizador. - Producción limitada por empresa. - Calidad determinada por disposiciones legales. - Perdidas de calor y Temperaturas limitadas por el clima. - Tamaños de rellenos y empaques limitados por proveedores.

● Selección de sistema o configuración del mismo: Forma de un recipientepara almacenar un producto ó diferentes configuraciones para sistemas deintercambio de calor.

● Análisis de las variables de sistema: Asociar varibles de caracterización –Temperatura, Flujo, Presión, etc – a cada corriente de entrada y salida.


Construcción del modelo matemático del sistema: Conjunto de balances demateria y energía, económicos y restricciones.

Verificación y Simplificación: Eliminación de variables no relevantes,eliminación de algunas restricciones, dividir el problema en etapas.

Método de Solución: Aplicación de técnicas analíticas o numéricas,dependiendo de las características del problema.

Análisis de la solución: Examinar la solución para juzgar la factibilidad deaplicación.


Modelar significa simular. Esto es, que la "caja negra" que representa alsistema debe dar resultados acordes a él. En otras palabras, cuandoestimulamos al modelo con una señal, esperamos que los resultados delmismo sean similares a los que daría el sistema real.

Los principales problemas que se plantean son:

a) Encontrar la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas no lineales(que usualmente se efectúa mediante un método iterativo).

b) Encontrar la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias yen derivadas parciales mediante ecuaciones discretizadas en diferenciasfinitas que aproximan a las soluciones de las ecuaciones diferencialescontinuas.


Formas matemáticas para un modelo


Se quiere diseñar un proceso de extracción líquido-líquido para recuperarun soluto valioso. Las variables de operación se indican en el siguientediagrama.

Wy

1

Unidad de extracción

Qx

f

W

Qx

1


El flujo de alimentación Q es de 1000 lb/h, con una concentración de soluto de0,2 lb de soluto por lb de solvente. Esta corriente se va a poner en contacto conun solvente de lavado W. Se desea detectar la cantidad de solvente de lavadoque debe usarse para maximizar la siguiente función objetivo:

max [Q (x f −x1)−λW ]Donde Q(X

f-X

1) - W representa la cantidad de soluto extraido y es la

relación del costo unitario de solvente de lavado al valor unitario del soluto.Usando una valor de , determine la cantidad óptima de solvente delavado.

Se desarrolla primero la modelación del sistema. Debido a la forma de lafunción objetivo las ecuaciones requeridas son las de balance de materia yrelación termodinámica. El balance de energía no tiene ingerencia, ya que laoperación se realiza a temperatura constante no existe fuente o suministro decalor, ( por simplicidad se ignoran los calores de disolución).

λ λ

λ=0,05


Bajo la simplificación que los solventes son totalmente inmiscibles, se hace unbalance total:

Balance parcial de soluto:

Relación termodinámica ( equilibrio entre x1 y y

1 ):

Qent=Q sal=QW ent=W sal=W

Q x f =Q x1+W y1

Φ(x , y)=0

Aquí se plantea unproblema de optimizaciónde una variable (x

1 ) y se

debe elegir el método quemás convenga.


Se propone el siguiente caso; a partir de agua de mar con una concentración desal del 3,5 % (p/p) se quiere obtener un concentrado del 7 %, partiendo de unflujo de 100.000 lb/h en un sistema de evaporación de dos efectos. Se dispone devapor de agua a 250 ºF y el agua de mar entrará al 110 ºF. Para evitar lasformación de depósitos salinos que ensuciarían la superficie de transmisión decalor, la temperatura en la última etapa debe mantenerse a 115 ºF


Se propone el siguiente caso; a partir de agua de mar con una concentración desal del 3,5 % (p/p) se quiere obtener un concentrado del 7 %, partiendo de unflujo de 100.000 lb/h en un sistema de evaporación de dos efectos. Se dispone devapor de agua a 250 ºF y el agua de mar entrará al 110 ºF. Para evitar lasformación de depósitos salinos que ensuciarían la superficie de transmisión decalor, la temperatura en la última etapa debe mantenerse a 115 ºF.

Li−1=Li+V i

V i−1λ+Li−1C p(T i−1−T i)=V iλ

Ai=V i−1λi−1

U (T i−1−T i)

Ecuaciones del modelopara la etapa i-esima !

B. de MateriaB. de Energía.

Ec. de diseño..


Se propone el siguiente caso; a partir de agua de mar con una concentración desal del 3,5 % (p/p) se quiere obtener un concentrado del 7 %, partiendo de unflujo de 100.000 lb/h en un sistema de evaporación de dos efectos. Se dispone devapor de agua a 250 ºF y el agua de mar entrará al 110 ºF. Para evitar lasformación de depósitos salinos que ensuciarían la superficie de transmisión decalor, la temperatura en la última etapa debe mantenerse a 115 ºF.

Li−1=Li+V i

V i−1λ+Li−1C p(T i−1−T i)=V iλ

Ai=V i−1λi−1

U (T i−1−T i)

B. de Materia.B. de Energía.

Ec. de diseño.

Cp=1 BTUlb ºF

λ=1000 BTUlb

U=100 BTU

h pie2 ºF

Constantes:

Ecuaciones del modelopara la etapa i-esima !


En este tipo de sistemas,se debe determinar que área(A)de intercambio de calor hacen mínimo el consumo devapor (V).

Pueden usarse métodos analíticos, numéricos ó gráficos.

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