Programacin No LinealInvestigacin de Operaciones Son tcnicas de investigacin de operaciones para la solucin de problemas llamados de programacin no lineal o curvilneas. Son relaciones no lineales en que las restricciones y las funcin objetivo pueden tomar cualquier forma matemtica. La mejor forma de resolver problemas de programacin no lineal, consiste en transformarlos en una forma que permita la aplicacin de la programacin lineal; la transformacin requerida para cambiar un problema a una forma en la que resulte aceptable el Mtodo Smplex.Programacin No LinealInvestigacin de OperacionesExisten procedimientos de clculo para la programacin no lineal como son: Cuando la funcin objetivo se escribe como la suma de una forma lineal ms una forma cuadrtica se le llama Programacin Cuadrtica. Cuando los problemas de programacin no lineal se obtienen del modelo general de programacin lineal, imponiendo el requerimiento adicional de que las variables solo pueden aceptar valores enteros, y se le llama Programacin en Enteros.Programacin No LinealInvestigacin de Operaciones La Programacin Dinmica: se refiere a los problemas de programacin en los que ocurren cambios con el transcurso del tiempo. El mtodo de clculo comprende relaciones de recurrencia, en la que el tiempo no tiene importancia.Programacin No LinealInvestigacin de Operaciones El Mtodo del Gradiente: es un proceso iterativo en el que nos movemos de una posible solucin a otra, a fin de mejorar el valor de la funcin objetivo. No garantiza que cada solucin sucesiva este mas cercana a la solucin ptima y puede requerir un nmero infinito de repeticiones para su convergencia. Este mtodo puede usarse cuando la funcin objetivo y las restricciones no contengan linealidad.Programacin No LinealInvestigacin de Operaciones La figura 13.5 muestra lo que ocurre con este problema si los nicos cambios que se hacen al modelo son que la segunda y tercera restricciones funcionales se sustituyen por la restriccin no lineal 9x12+ 5x22 216. La solucin optima sigue siendo (x1, x2) = (2, 6). Todava se encuentra sobre la frontera de la regin factible en un vrtice (FEV). Programacin No LinealInvestigacin de OperacionesProgramacin No LinealInvestigacin de Operaciones Si las restricciones lineales se conservan sin cambio, pero que la funcin objetivo se hace no lineal. La figura indica que la solucin optima es x1=8/3, x2=5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la regin factible. (El valor optimo de Z es Z=857 tiene en comn con la regin factible solo este punto, mientras que el lugar geomtrico de los puntos con Z mas grande no toca la regin factible en ningn punto).Programacin No LinealInvestigacin de OperacionesProgramacin No LinealInvestigacin de Operaciones Si Z=54x1 9x12+ 78x2 13x22 Entonces la figura 13.7 ilustra que la solucin optima es (x1, x2) = (3, 3), que se encuentra dentro de la frontera de la regin factible. Programacin No LinealInvestigacin de OperacionesProgramacin No LinealInvestigacin de Operaciones Si TBA Airlines es una compaa regional pequea que se especializa en vuelos cortos en aviones pequeos. La compaa ha tenido buen desempeo y la administracin decidi ampliar sus operaciones. Despus de un anlisis representaron en la siguiente tabla las consideraciones para tomar la decisin. Investigacin de OperacionesProgramacin EnteraConcepto Avin Pequeo Avin Grande Capital DisponibleIngreso neto anual por avin$1 milln $ 5 millonesCosto de compra por avin$ 5 millones $50 millones $100 millonesCantidad mximade compra2 Sin mximoInvestigacin de OperacionesProgramacin EnteraL S z 5 + =0 , 02100 50 5> >ss +L SSL SMaximizarInvestigacin de Operaciones Con L=1.8 en el problema de TBA Airlines, la historia es diferente. Redondear a L=2 requerira invertir $10 millones ms de capital de lo que dispone, lo cual es inaceptable para la administracin de TBA. Por lo tanto, se abandona la programacin lineal y se adopta la programacin entera para analizar este problema.Investigacin de Operaciones La formulacin de programacin entera de este problema es exactamente la misma que la programacin lineal, salvo por una diferencia crucial se agregan restricciones que requieren que las variables de decisin tengan valores enteros.L S z 5 + =L SL SSL S,0 , 02100 50 5> >ss +Maximizarson enterosInvestigacin de Operaciones La regin factible coincide con la de PL, sin embargo las nicas soluciones factibles para la programacin entera que estn en la regin sombreada, es decir (0,0), (1,0),(2,0),(0,1),(1,1),(2,1) y (0,2)Investigacin de OperacionesInvestigacin de OperacionesLa resolucin de las mismas se clasifican de dos maneras:1. Algoritmos directos: algoritmos de gradiantes2. Algoritmos indirectos: programacion cuadratica, separable y estocastica.Investigacin de OperacionesProgramacin No Lineal Hay problemas donde resolver $f(x) = 0 es muy difcil Alternativa: mtodos numricos y/o iterativos: Busqueda directa Metodo de Newton Metodo de GradianteInvestigacin de OperacionesProgramacin No Lineal Si se utilizan K unidades de capital y Lunidades de trabajo, una compaa puede producir KL unidades de un bien manufacturado. Se puede conseguir el capital a 4 UM/unidad y el trabajo a 1 UM/unidad. Se dispone de un total de 8 UM para contratar capital y trabajo. Cmo puede la compaa maximizar la cantidad de bienes que se pueden fabricar?Investigacin de OperacionesProgramacin No LinealSeaK = unidades de capital contratadas yL = unidades de trabajo compradasentonces K y L deben satisfacer Por lo tanto, la compaa quiere resolver el siguiente problema de maximizacin restringido:z= KLmximoSujeto a:4kK+ L=< 8K , L >= 0Investigacin de OperacionesProgramacin No LinealInvestigacin de OperacionesLos mximos y mnimos son utilizados en los casos que no hay restricciones,para el caso de restricciones de igualdad y de desigualdad se utilizan losmtodos anteriormente mencionados que son: Restricciones de Igualdad Jacobiano y Lagrangiano Restricciones de Desigualdad Karush-Kuhn-TuckerInvestigacin de OperacionesOptimizacin ClsicaSon un mtodo para trabajar con funciones de varias variablesque nos interesa maximizar o minimizar, y est sujeta a ciertasrestricciones. Este mtodo reduce el problema restringido enn variables en uno sin restricciones de n + 1 variables cuyasecuaciones pueden ser resueltas.Investigacin de OperacionesMultiplicadores de LagrangeInvestigacin de OperacionesMultiplicadores de LagrangeSea F(x,y) la funcin objetivo.Supongamos que (x,y) estn condicionadas por la ecuacin g(x,y)=K.F y g son funciones suaves.Si F tiene un extremo (mximo o mnimo) sujetoa g(x,y)=Ken el punto(x0,y0) entonces existeun escalar tal que:Fx (x0,y0) = gx (x0,y0)Fy (x0,y0) = gy (x0,y0)gx (x0,y0) = k.Investigacin de OperacionesEste procedimiento define al mtodo lagrangiano, o deLaGrange, para identificar los puntos estacionarios deproblemas de optimizacin con restricciones deigualdad. El procedimiento se puede desarrollarformalmente como sigue. SeaL(X, )=F(X)- g(X)A la funcin L se le llama funcin LaGrange, y a losparmetros se les llama multiplicadores de LaGrange.Multiplicadores de LagrangeInvestigacin de OperacionesLas ecuacionesExpresan las condiciones necesarias para determinar los puntos estacionarios de F(x) sujetos a g(x) = 0.Multiplicadores de LagrangeSon condiciones necesarias y suficientes para identificar puntos estacionarios no lineal restringiendo, sujeto a restricciones de desigualdad. El desarrollo se basa en el mtodo de Lagrange.En el problema:Maximar z = f(x) sujeta ag(X)