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PRINCIPIOS DE ELECTROTECNIA

E0283Electrotecnia y Mquinas ElctricasIng. Julieta VernieriIng. Juan Trepat

SISTEMA DE UNIDADES

Sistema Internacional S.I. (mksa) Longitud: metro (m) Masa: kilogramo (kg) Tiempo: segundo (s) Corriente elctrica: Ampere (A)

El resto son unidades derivadas de estas unidades fundamentales

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MAGNITUDESELECTROMAGNTICAS

UNIDADES ELECTROMAGNTICAS (S. I.)

Nombre Smbolo Nombre SmboloIntensidad de Corriente I/i Ampere ATensin U/u Volt V (WPotencia P/p Watt W (J/s)Energa W Joule J (Nm)Fuerza F Newton N(kg m /s2)Carga q Coulomb C (A s)Fuerza electromotriz e (f.e.m.) Volt VFuerza Magnetomotriz (f.m.m) Ampere-vuelta A-vueltaflujo magntico Weber WbCampo de induccin magntica o densidad de flujo magntico

B Tesla T (Wb/m2)

Resistencia R Ohm (V/A)Inductancia L Henrio H (Wb/A)Inductancia Mutua M Henrio H (Wb/A)Capacidad C Faradio F (C/V) 3

4ELECTROESTTICA Campo elctrico, ley de Coulomb Diferencias de potencial Potencia y energa elctrica Corriente estacionaria ( C.C.) Ley de Ohm Resistencia, Capacidad

MAGNETISMO Campo de Induccin magntica / flujo magntico Campo magntico Ley de Biot y Savart Ley de Ampere Ley de Faraday Inductancia propia, inductancia mutua

5LEY DE COULOMB Y CAMPO ELCTRICO

LEY DE COULOMB: Fuerza elctrica entre cargas

puntuales

CAMPO ELCTRICO: Campo elctrico (campo

vectorial): fuerza por unidad de carga de prueba

donde 0 se denomina permitividad del vaco, siendo: 0 = 8,854 10

-12 F/m .

[N/C]F

E ;pq

=

6LEY DE GAUSS Y CAMPO ELCTRICO

LEY DE GAUSS: El flujo del campo elctrico a

travs de una superficie cerrada es proporcional a la magnitud de la carga encerrada en el interior de dicha superficie.

Para los materiales lineales isotrpicos y homogneos es posible definir una constante que se denomina permitividad del medio, y se expresa en relacin a la del vaco a travs de la permitividad relativa r(adimensional) siendo: = r 0 , de manera que la ley de Gauss puede expresarse como:

, ( )

0

.C

enc total libre ligada

S

QE dS

+

=

,.C

enc libre

S

QE dS

=

7LEY DE GAUSS Y CAMPO ELCTRICO

.

AEA E

C

enc

S

QE dS

=

= =

La ley de Gauss permite calcular el campo elctrico en geometras de alta simetra como por ejemplo el campo entre dos placas conductoras planas e infinitas.

8ENERGA POTENCIAL y POTENCIAL ELECTROSTTICO La energa acumulada en la carga durante el trabajo realizado contra las

fuerzas elctricas para transportar la carga q desde el infinito hasta el punto P:

La energa por unidad de carga es lo que se denomina potencial elctrico o potencial electrosttico, U.

El potencial en el punto P ser:

El potencial elctrico es una magnitud escalar y la unidad es el Volt o Voltio, [V].

P P

[J]W = F.dl E.dl ;P pq

=

P

[V] = E.dl ;PU

9DIFERENCIA DE POTENCIAL o TENSIN ELCTRICA El trabajo necesario para mover una carga dentro de un campo elctrico se

acumula en la carga en forma de energa potencial electrosttica. Al mover una carga positiva en contra de la direccin del campo la carga

estar acumulando energa potencial, si se mueve a favor del campo la estarperdiendo.

La diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera (entre B y A) dentro de un campo elctrico es el trabajo por unidad de carga necesario para mover esa carga desde un punto (A) al otro (B)

]V[;.UUUU ===B

A

BAAB ldE

El potencial no depende del camino recorrido sino de los puntos inicial y final

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Diferencia de POTENCIAL Entonces lo que resulta prctico es conocer las diferencias de

potencial electrosttico U El potencial elctrico es una magnitud escalar y la unidad es el Volt

o Voltio, [V]. Cuando movemos una carga de prueba (positiva) en contra del

campo aumentar su potencial, si se mueve a favor, lo disminuye.

Dado que el campo electrosttico es un campo conservativo se comprueba que el trabajo contra las fuerzas de este campo en un recorrido cerrado (punto A y B coincidentes) es nulo:

]V[0.U == ldE

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CORRIENTE ELCTRICA en los CONDUCTORES Cuando un campo elctrico se aplica en una regin donde hay

cargas que pueden moverse libremente, estas cargas se movern. Si se trata de un material conductor, sus cargas libres sern

aceleradas por la fuerza del campo hasta chocar con los iones fijos de la estructura molecular, describiendo un camino errtico con una velocidad promedio, llamada velocidad de arrastre o velocidad de deriva vd.

La velocidad de arrastre vd es proporcional al campo aplicado Een una cantidad que depende del material y se llama movilidad delos portadores :

Las unidades de son metro cuadrado sobre volt segundo [m2/Vs]d .Ev =

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CORRIENTE ELCTRICA Las cargas en movimiento conforman corrientes Se define a la corriente ( I ) como la variacin de la carga

por unidad de tiempo.

que no es otra cosa que el flujo de cargas elctricas que por unidad de tiempo atraviesan un rea transversal S

t 0

dq qI= limdt t

=

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CORRIENTE ELCTRICA

Siendo: dq el diferencial de carga que atraviesa un rea transversal A en un

diferencial de tiempo dt es la densidad volumtrica de carga el diferencial de volumen

La corriente es una magnitud escalar, pero est relacionada con lo que se define densidad de corriente por unidad de rea que es una magnitud vectorial

2A/mI= J.dS [ ]S

d

d

J

dq .dI=dt dt

=

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CORRIENTE DIRECTA O CONTINUA La corriente directa (CD) o corriente continua (CC) es aquella

cuyas cargas elctricas fluyen siempre en el mismo sentido en un circuito elctrico cerrado.

Una corriente positiva implica cargas positivas movindose del polo o borne positivo hacia el polo negativo de una fuente de fuerza electromotriz (FEM), tal como ocurre en las bateras, las dnamos o en cualquier otra fuente generadora de ese tipo de corriente elctrica

Si vd es la velocidad de arrastre o velocidad de deriva, la corriente continua o directa que atraviesa un rea transversal S, a esa velocidad, es:

d

dqI= . .S.dt

ne v=Siendo n el nmero de portadores libres por unidad de volumen y e la carga de cada portador

1515

LEY DE OHM - RESISTENCIASFsico y matemtico alemn Georg Simon Ohm (1789 - 1854)

NOTA: La Ley de Ohm no es una ley fsica universal: slo la cumplen determinados materiales en determinadas circunstancias

En ciertos materiales se cumple que la relacin entre la tensin aplicada en [V] y la corriente en [A] es una constante que se conoce como RESISTENCIA (R) y se mide en ohms u ohmios ():

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17

LEY DE OHM MICROSCPICA Hemos visto que al aplicar un campo elctrico en un medio conductor los

electrones son acelerados hasta chocar con los iones (+), describiendo un camino errtico con una velocidad promedio vd, la cual resulta proporcional al campo.

A su vez hemos deducido que la densidad de corriente por unidad de superficie es proporcional a dicha velocidad de arrastre:

Por tanto reemplazando vd, en esta ltima expresin obtenemos una relacin entre J y E:

donde es la conductividad del medio, es una propiedad del material y se la expresa en [Siemens/m], [1/m]. Para E expresado en [V/m] y J en [A/m2], las unidades de resultan [A/Vm]=[1/ m]

17

J . . .E En e = =

dJ = . .n e v

d .Ev =

J E=

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CLCULO DE RESISTENCIAS

Por definicin Conductor rectilneo de

seccin S uniforme. La corriente se

distribuye uniformemente

E y J son uniformes

..

..

a

b

S

E dlU E l El l l

RI J S ES S SJ dS

= = = = = =

UR

I=

19

VARIACION DE LA RESISTENCIA CON LA TEMPERATURA

20

Coeficiente de temperatura y resistividad elctrica de diversos materiales a 20 C.

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Capacidad y Capacitor o Condensador Capacitor o Condensador: es un elemento capaz de acumular carga y, por lo tanto,

es capaz de almacenar energa elctrica dentro de su campo elctrico. Se define la capacidad de un condensador como la relacin entre la carga acumulada

en sus placas y la diferencia de potencial aplicada:

La capacidad tiene como unidad en el S.I. el Faradio [F], que constituye una medida de cunta carga puede almacenar un condensador dada una diferencia de potencial entre sus electrodos.

En general, la capacidad depende nicamente de la geometra del condensador y de la permitividad () del material aislante entre electrodos.

La cada tensin entre bornes de un capacitor ser:

ABU

Q

U

QC ==

+===

tt

dtIC

UdtICC

QU

0

0 .1

.1

El campo elctrico para el caso de placas planas y paralelas es aproximadamente uniforme y aplicando la ley de Gauss:

Ejemplo CONDENSADOR placas planas y paralelas

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=== E;

AEA enc

Q

Q A A AC=

U Ed dd

= = =

Energa electrosttica almacenada en un capacitor es igual a:

ENERGA ELECTROSTTICA

24

C

Q

2

1CU

2

1QU

2

1W

22

e ===

dvvol

E2

1W 2e =

Campo de Induccin MagnticaLey de Biot y Savart:

La presencia de corrientes elctricas genera un campo llamado de Induccin Magntica B tambin llamado Densidad de Flujo Magntico.

Segn la Ley de Biot y Savart:

Se define al flujo magntico como:

Se verifica que para una superficie cerrada el flujo magntico neto es siempre nulo:

No existen monopolos magnticos

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]T[;.

4 20

=

r

rldiB

pi

= SdB

.

0. = SdB

Ley de Faraday Segn la Ley de Faraday, la variacin del flujo magntico en un

circuito induce en el mismo una fuerza electromotriz o f.e.m.:

es el flujo concatenado total, en este caso es N veces el flujo que atraviesa una sola espira () del bobinado de N espiras.

El signo negativo (ley de Lenz) indica que la fem inducida se opone al cambio que la produce.

Otra deduccin que surge de la ley de Faraday es que en todo conductor que se mueve en un campo de induccin magntica, con una velocidad v, se inducir sobre dicho conductor una f.e.m. igual a:

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d Nd

dt dt

= =

mefBvdl

l

...0

==

Ley de Ampere

La Ley de Ampere Indica que la circulacin del vector campo magntico, B, a lo largo de una lnea cerrada es igual al producto de la permeabilidad magntica, , por la intensidad elctrica encerrada por dicha circulacin (suma algebraica de las intensidades de corriente que atraviesan la superficie delimitada por esa lnea cerrada)

27

enc

c

IldB =

.

Clculo del Campo de Induccin Magntica Conductor infinito Conductor de longitud infinita transportando una corriente

uniforme, aplicamos ley de Ampere

28

I2BB. 0pi === rdlldBcc

rpi

2

IB 0=

Clculo del Campo de Induccin Magntica - Espira Circular En el eje de una espira circular. No es aplicable

la ley de Ampre, aplicamos Biot y Savart

En el centro de la espira circular

29

=2

0 .

4 r

rldIB

pi

a2

IB 0

=

( )3222

0

2

IB

az

a

+=

Clculo del Campo de Induccin Magntica- Solenoide En la situacin ideal de un solenoide

formado por un nmero grande de espiras apretadas, cuya longitud es grande comparada con su dimetro, el campo en el interior es casi uniforme y paralelo al eje y en el exterior es muy pequeo. En estas condiciones es aplicable la ley de Ampre, para determinar el campo magntico en el interior del solenoide.

30

NI. =c

ldB

L

NIB

=

Clculo del Campo de Induccin Magntica- Toroide

Si tomamos un solenoide, lo curvamos y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide.

Aplicamos la ley de Ampre para una circulacin dentro del toroide

31

NI. =c

ldB

Cada espira del toroide atraviesa una vez el camino cerrado (la circunferencia de color azul de la figura) la intensidad ser Ni, siendo N el nmero de espiras e i la intensidad que circula por cada espira.

Para un radio medio R: El campo magntico est completamente confinado en

el interior del toroide.

rpi

2

NIB=

R2

NIB

pi

=

Inductancia e Inductor o Bobina

Las inductancias o inductores permiten almacenar energa, pero, a diferencia del capacitor, la almacenan en forma de campo magntico.

Cuando circula una corriente por un conductor alrededor de este se establece un campo de induccin magntica o densidad de flujo magntico B.

La magnitud de este campo es proporcional a la intensidad de la corriente que lo recorre.

Inductancia e Inductor o Bobina Dado una superficie, se puede calcular qu cantidad de campo magntico

atraviesa esta superficie mediante el flujo magntico .

Se puede definir la inductancia (L) de un conductor que delimita una superficie (tal como lo hace una espira, por ejemplo):

Donde I es la corriente continua que circula en el conductor y el flujo magntico que atraviesa la superficie delimitada.

La cada tensin entre bornes de una inductanciaser (por Ley de Faraday): ( . )d d L I

Udt dt

= =

.sc

B dS =

Inductancia propia e inductancia mutua Se define al parmetro Inductancia propia L que se mide en Henry (H),

como el cociente entre el flujo magntico y la corriente que lo produce y con la cual el flujo se concatena:

Se define al parmetro Inductancia Mutua M12 entre el circuito 1 y el circuito 2, como el cociente entre el flujo magntico producido por la corriente que circula por el circuito 1, y que atraviesa el rea delimitida por el circuito 2, dividido por la corriente que lo produjo. Se demuestra fcilmente que M12= M21

34

]H[;I

L

=

]H[;2

1212

IM

=

ENERGA MAGNTICA

Una bobina es capaz de almacenar energa magntica en su campo magntico

Suponiendo al material lineal tambin se puede calcular la energa como almacenada en el campo magntico con una densidad volumtrica de energa magntica:

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2LI2

1=mW

dvvol

B

2

1W

2

m =

Campo Magntico H Se define al campo magntico H que se mide en [A/m] a

partir del campo B y la curva de magnetizacin del material

B=(H)H Siendo la permeabilidad magntica del material (r 0)

y tiene unidades de Henry sobre metro [H/m] En los materiales ferromagnticos esta relacin entre B

y H no es lineal por tanto no es una constante sino que cambia con H, por eso se la expresa como (H) aunque lo ms comn es expresar la relacin B-H a travs de una curva grfica

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Ley de Ampere Segn la Ley de Ampere:

En presencia de materialmagntico

Mientras que la ley de Ampere para H no se ve modificada. Haya ono haya material magntico la ley de Ampere para H es:

Si en la circulacin de H se encierra N veces a la corriente entonces deber tenerse en cuenta tal como sigue:

A estos Amperes vuelta se los llama fuerza magneto motriz f.m.m37

enc

c

IldB 0. =

enc

c

IldH =

.

)(. 0 magencc

IIldB +=

mmfNIldH encc

... ==

Comportamiento de Resistencia, Capacidad e Inductancia para campos estacionarios (corriente continua)

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I

UR =

dt

UCd

dt

dQI

dtIC

UdtICC

QU

tt

).(

.1

.1

0

0

==

+===

Si aplicamos una tensin constante a una capacidad, la corriente de estado estacionario es nula.

RIU .=

U

QC =

I

N

IL

=

=

dt

ILd

dt

dU

ILN

).(

.

=

=

==

Si por la inductancia circula una corriente constante no habrfem inducida, no habrcada de tensin.

Una inductancia en continua es un cortocircuito (cada de tensin nula)

una capacidad en continua es un circuito abierto (corriente nula)

Una resistencia en continua es una cada de tensin proporcional a la corriente.

40

La potencia P puesta en juego al circular una corriente , y asociada a una cada de potencial, se mide en watts [W] y es:

La energa W involucrada ser la integral en el tiempo de la potencia, y se mide en Joules [J]:

POTENCIA y ENERGA

P.dt= U.I.dt; [J]= W

U.I ; [W]=P

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EFECTO JOULE

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PRDIDAS POR EFECTO JOULE

En los materiales hmicos la tensin es:

Por tanto la potencia es:

Esta potencia se disipa en forma de calor en dicha resistencia

22 UP=U I =R.I =

R

U R.I =

Carga de un capacitor La corriente de carga de un capacitor es por definicin: Dado que la carga se relaciona con la capacidad y la tensin

la corriente en el capacitor ser:

Esto implica que si yo hipotticamente aplicara en bornes de uncapacitor un cambio brusco o escaln de tensin, dU/dt , la corriente hipotticamente alcanzara un valor infinito.

En la prctica las corrientes no sern infinitas pero esto debe alertarme y saber que si intento imponer un cambio brusco de tensin en el capacitor aparecer instantneamente una corriente muy muy alta y por ende peligrosa.

43

dQI

dt=

Q CU=

dQ dUI C

dt dt= =

Potencia en un capacitor en continua La potencia puesta en juego en un capacitor ser:

Dado que no existe fuente de potencia que pueda suministrar una potencia infinita, en el capacitor nunca podr aparecer un cambio brusco o escaln de tensin, dU/dt .

Es decir un capacitor, durante los transitorios se comportar de manera tal que impedir saltos bruscos de tensin.

Alcanzado un estado estacionario donde U ya no cambia entonces no hay potencia en un capacitor, pues tampoco hay corriente.

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dUP U.I U.C

dt= =

En un CAPACITOR LA TENSIN NUNCA PODR DAR SALTOS ABRUPTOS

Interrupcin de corriente por un inductor

La tensin en bornes de un inductor es por definicin:

Esto implica que si yo interrumpiera abruptamente la corriente que circula por un inductor dI/dt , la tensin hipotticamente alcanzara un valor infinito.

En la prctica no ser infinita pero s muy alta, por eso debo tener presente que una interrupcin brusca de corriente en un inductor producir sobretensiones que tendern a producir un arco de corriente de manera tal que la corriente se contina a travs del arco que se establece entre los contactos de un interruptor.

45

dt

dILU =

Potencia en un inductor en continua La potencia puesta en juego en un inductor ser:

Dado que no existe fuente de potencia que pueda suministrar una potencia infinita, en el inductor nunca podr aparecer un cambio brusco o escaln de corriente, dI/dt .

Es decir un inductor, durante los transitorios se comportar de manera tal que intentar continuar la misma corriente que haba antes del cambio (por ejemplo apertura o cierre de un interruptor), es decir evitar saltos bruscos de corriente.

Alcanzado un estado estacionario donde I ya no cambia entonces no hay potencia en un inductor, pues tampoco hay cada de tensin entre sus bornes.

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dIP U.I L .I

dt= =

En una INDUCTANCIA LA CORRIENTE NUNCA PODR DAR SALTOS ABRUPTOS

Potencia en un inductor La potencia en un inductor ser:

Recordando la expresin para la tensin:

Entonces la potencia ser:

Como no existe fuente capaz de suministrar una potencia infinita, los cambios de I en un inductor no pueden ser bruscos, dI/dt no puede ser un escaln, no es posible interrumpir abruptamente la corriente en un inductor. Si as se hiciere aparecer una dI/dt tan elevada que implicar una U elevada la cual ser suficiente para establecer un arco que restablecer la corriente mientras dure el arco.

47

dt

dILU =

UIP =

dt

dIL.IP =

48