Unidad 2. En el mundo de las fracciones

Introduccin En la unidad 2 conocers el significado, manejo y aplicacin de nmeros racionales,

conocidos como fracciones. Aprenders las tcnicas para simplificar y convertir fracciones,

esto te ser de gran utilidad para llevar a cabo las operaciones aritmticas con ellas de

manera ms sencilla. De la misma manera como desarrollamos las operaciones aritmticas

con nmeros enteros es posible realizarlas con fracciones, en esta unidad, conocers las

tcnicas que se aplican en cada una de ellas. Al final de la unidad conocers el significado y

clasificacin de los nmeros decimales, los cuales se obtienen al realizar la divisin que

expresan las fracciones.

Propsito

Al trmino de la unidad el estudiante ser competente para:

Resolver ejercicios con la utilizacin de operaciones aritmticas de nmeros

racionales (fracciones) positiva y negativa, con ello podr resolver problemas de

aplicacin de la vida diaria.

Los objetivos particulares de esta unidad son:

1. Comprender la importancia y utilidad de las fracciones.

2. Comprender el fundamento de las operaciones aritmticas con fracciones.

3. Comprender la utilidad de los nmeros decimales.

1

2.1 Nmeros primos

Mltiplos de un nmero: Un nmero es mltiplo de otro si se obtiene multiplicando este

ltimo por un nmero natural. Por ejemplo, si multiplicamos 9x2 nos da 18. Decimos entonces

que 18 es mltiplo de 9.

Divisor de un nmero: Un nmero es divisor de otro si cuando dividimos el segundo entre el

primero, el resto de la divisin es 0. Por ejemplo, decimos que 5 es divisor de 10 porque al

dividir 10 entre 5 la divisin es exacta; da 2 y queda de resto 0.

Para calcular todos los divisores de un nmero lo dividimos entre los nmeros naturales

menores e iguales que l. Los nmeros que hacen que la divisin sea exacta son sus

divisores.

En este sentido existe otra condicin importante ya que cualquier nmero puede

ser dividido entre 1 dando como resultado su propio valor, tambin cualquier nmero

puede ser dividido entre s mismo dando como resultado el nmero 1.

Los nmeros que pueden ser divididos entre varios nmeros de manera que se obtienen

resultados exactos, es decir, que tienen varios divisores o mltiplos, a esos nmeros se les

llama Nmeros Compuestos.

Propiedades de los mltiplos:

1. Todo nmero distinto de 0 es mltiplo de s mismo y de la unidad.

2. La suma de varios mltiplos de un nmero es otro mltiplo de dicho nmero.

3. La diferencia de dos mltiplos de un nmero es otro mltiplo de dicho nmero.

4. Si un nmero es mltiplo de otro, y ste lo es de un tercero, el primero es mltiplo del

tercero.

5. Si un nmero es mltiplo de otro, todos los mltiplos del primero lo son tambin del

segundo.

Propiedades de los divisores:

1. Todo nmero distinto de 0 es divisor de s mismo.

2. La unidad es divisor de cualquier nmero.

3. Si un nmero es divisor de otros dos, tambin lo es de su suma y de su diferencia.

4. Si un nmero es divisor de otro, tambin lo es de cualquier mltiplo del primero.

5. Si un nmero es divisor de otro, y ste lo es de un tercero, el primero lo es del tercero. Nmero primo: solo tiene dos divisores, l mismo y la unidad. Nmero compuesto: tiene ms

de dos divisores.

Para obtener todos los divisores de un nmero lo dividimos entre los nmeros naturales

menores e iguales que l, y aquellos nmeros con los que se obtenga una divisin exacta

sern sus divisores.

Si los nmeros son muy grandes existe una manera ms sencilla de hacerlo, y consiste en

descomponer el nmero en producto de nmeros primos, y expresar sus divisores mediante la

combinacin de esos nmeros (llamados factores).

Descomponemos en factores primos el nmero 36.

2.2 Mnimo comn mltiplo

Como lo mencionamos anteriormente es posible que un nmero tenga varios mltiplos,

por ejemplo:

48 =2x3x8

=3x16 =6x8 =12x4 =2x2x2x2x3

=24x3

Todas estas combinaciones nos dan como resultado

48, resulta de gran utilidad descomponer los nmeros

en sus factores primos, esto da lugar al Teorema

Fundamental de la Aritmtica:

Todo nmero compuesto se puede descomponer de

manera nica, como producto de nmeros

primos. Cmo encontrar factores primos?

Puede ocurrir que un mismo nmero primo sea factor de dos cantidades diferentes, entonces

se dice que tienen un Factor Comn, en algunos procedimientos matemticos resulta de

utilidad encontrar el Mnimo Comn Mltiplo (m.c.m.) de dos o ms cantidades. Cmo

encontrar el m.c.m.?

El mnimo comn mltiplo (m.c.m.) de dos o ms nmeros es el menor mltiplo comn distinto

de cero.

El mnimo comn mltiplo se aplica, por ejemplo, para sumar fracciones de distinto

denominador, lo cual se estudiar en la unidad 3 de este curso.

2.3 Mximo comn divisor

En una ocasin un hombre posea cuatro terrenos y deseaba fraccionarlos de manera que

todos fueran del mismo tamao y adems tuvieran la extensin ms grande posible, para ello

busco el mtodo para encontrar esa "medida mgica", entonces encontr que determinando

el Mximo Comn Divisor (M.C.D.) lograra su objetivo.

El mximo comn divisor (m.c.d.) de dos o ms nmeros es el mayor de los divisores

comunes.

Para hallar el mximo comn divisor de dos o ms nmeros, por ejemplo, m.c.d. (12, 18), se

siguen estos pasos:

10

1. Se descompone cada nmero en producto de factores primos.

2. El producto de estos factores comunes elevados al menor exponente es el mximo

comn divisor de los nmeros dados.

Da clic en el siguiente enlace para ver el ejemplo. Ejemplo para encontrar el M.C.D.

Se pretende encontrar el rea mxima en que pueden ser fraccionados cuatro terrenos, de

tal manera que todas las fracciones sean iguales, los terrenos miden 350m2, 1050m2,

1750m2y 2450m2.

Para ello:

1. Se obtienen los factores de cada una de las cantidades

Pasa el cursor sobre los factores obtenidos para observar cmo se obtuvieron.

2. Se obtiene el producto de los factores comunes

2 x 52 x 7 = 350

3. El mximo comn divisor de los terrenos es: 350 De esta manera el propietario obtendr:

Del primer terreno obtiene (350/230) = 1 terreno

Del segundo terreno obtiene (1050 / 3) = 3 terrenos

11

Del tercer terreno obtiene (1750 / 350) = 5 terrenos

Del cuarto terreno obtiene (2450 / 350) = 7 terrenos Terminando de estudiar el ejemplo, da clic en el siguiente enlace para realizar una actividad

de aprendizaje.

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

Instrucciones: Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la opcin correcta. El Mnimo Comn Mltiplo de 25, 60 y 190 es 5,700?

Cierto.

Falso.

El Mnimo Comn Mltiplo de 36, 48 y 360 es 360?

Cierto.

Falso.

El Mximo Comn Divisor de 24, 280 y 360 es 8?

Cierto.

Falso.

12

El Mximo Comn Divisor de 1350, 1700 y 3650 es 50?

Cierto.

Falso.

2.4 En el mundo de las fracciones

En la unidad uno conocimos los nmeros enteros naturales y los enteros negativos que

forman a los nmeros enteros (Z), estos junto con los fraccionarios que veremos en esta

unidad forman lo que se conoce como nmeros Racionales (Q).

Como ya hemos visto, podemos resolver problemas de la vida diaria mediante la aplicacin de

las operaciones aritmticas con nmeros enteros, pero Qu ocurre cuando tenemos un solo

producto que debe ser distribuido entre varias personas?

Un da Lucia y sus tres compaeros de clase se reunieron para realizar el trabajo de Ciencias

Naturales que deban entregar, ya se haca tarde todos tenan hambre, as que decidieron

pedir una enorme pizza, entonces Lucia se pregunt cmo podremos dividir la pizza para

que a todos nos toque la misma cantidad?, entonces record que existan las fracciones.

Podemos entender una fraccin como un entero que se divide en cualquier cantidad de pates

iguales, dando lugar a la expresin:

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El Denominador nos indica el nmero de partes iguales en que se divide el entero, mientras

que el Numerador nos indica cuantas partes hemos tomado del entero, as por ejemplo, la

pizza viene dividida en 8 partes por lo que cada parte ser igual a un octavo.

Cuando expresamos la fraccin significa que tomamos 3 de las 4 partes en que se

ha dividido el entero.

Da clic en los siguientes enlaces para ver:

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Clasificacin de las fracciones

Las fracciones se clasifican en:

Fracciones propias Fracciones impropias Fracciones Mixtas Fracciones equivalentes

Fracciones Propias

Son las que el NUMERADOR es MENOR que el DENOMINADOR.

Por ejemplo:

Fracciones Impropias

Son las que el NUMERADOR es MAYOR o IGUAL que el DENOMINADOR.

Por ejemplo:

Fracciones Mixtas

Son las que estn formadas por una parte ENTERA y una FRACCIONARIA.

Por ejemplo:

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Simplificacin de fracciones

Cuando se resuelve ejercicios con fracciones es importante reducirlas hasta su expresin

mnima, para lo cual se pueden simplificar. Una propiedad muy til es que cuando

multiplicamos o dividimos los dos elementos de una fraccin (numerador y denominador) por

la misma cantidad su valor no se altera ya que se obtiene una fraccin equivalente.

Para llevar a cabo la simplificacin se debe dividir el numerador y el denominador entre la

misma cantidad, de tal manera que se obtenga un resultado exacto para ambas divisiones, si

alguno de los elementos no es divisible entre esa cantidad se deber probar con otra, la

manera ms sencilla de realizarla es dividiendo entre los nmeros primos iniciando con el 2.

Ejemplo de simplificacin de fracciones

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Despus de revisar la clasificacin de fracciones y los procedimientos para su simplificacin,

realiza unos ejercicios para reforzar lo visto en este primer tema. Para ello da clic en el

siguiente enlace:

Actividad de aprendizaje (Se desarrolla en plataforma)

Instrucciones: Realiza las siguientes conversiones de fracciones y selecciona la opcin

correcta (te recomendamos tener lpiz y papel para que realices tus clculos).

Convierte la fraccin impropia a fraccin

mixta.

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Convierte la fraccin impropia a fraccin mixta.

Convierte la fraccin mixta a fraccin impropia.

18

Convierte la fraccin mixta a fraccin impropia.

Simplifica la fraccin propia

2.5 Operaciones con fracciones

Una vez que comprendimos los tipos de fracciones analicemos que operaciones se pueden hacer con ellas.

2.5.1 Suma y Resta 2.5.2 Multiplicacin

2.5.3 Divisin 2.5.4 Potencias

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2.5.1 Suma y Resta Para realizar la suma o resta con fracciones, primero se debe encontrar el mnimo comn

mltiplo de los denominadores, este valor ser el denominador de la operacin una vez

completada. El m.c.m. se divide entre cada denominador y su resultado se multiplica por el

respectivo numerador, los resultados de las multiplicaciones se suman o restan, segn se

requiera, y se obtiene el resultado final.

Por ejemplo: Realizar la siguiente suma de fracciones

Primero obtenemos los factores de cada denominador:

De acuerdo al procedimiento del mnimo comn mltiplo seleccionamos todos los factores

diferentes, los que se repiten se toman con el exponente ms alto.

m.c.m.=

Dividimos el m.c.m. encontrado entre cada denominador y el resultado lo multiplicamos por el

numerador.

20

Si aplicas una resta, solo se cambian los signos y realizas las operaciones correspondientes.

En este caso el 101 es un nmero primo por lo que no es posible simplificar la fraccin, pero

podemos convertirla a una fraccin mixta.

Cuando los denominadores son iguales, se hace la suma directamente con los numeradores,

por ejemplo:

2.5.2 Multiplicacin La multiplicacin de fracciones es la operacin ms sencilla de realizar, ya que solo se debe

multiplicar los numeradores y denominadores, en caso de que exista alguna fraccin mixta se

debe convertir a fraccin impropia y posteriormente realizar los productos.

Por ejemplo, realizar la siguiente multiplicacin de fracciones:

Primero convertimos la fraccin mixta en fraccin impropia:

Ahora realizamos las multiplicaciones y simplificamos:

21

Cuando realizamos la multiplicacin de un entero por una fraccin, por ejemplo:

Es equivalente a realizar la multiplicacin de:

Por lo que la operacin nos queda como:

2.5.3 Divisin

Para hacer la divisin de fracciones se realizan los siguientes pasos:

Se multiplica el numerador de la primera fraccin por el denominador de la segunda.

El resultado se convierte en el numerador del cociente.

Repetimos la operacin con el denominador de la primera fraccin y el numerador de la

segunda, el resultado ahora ser el denominador del cociente.

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Matemticamente podemos expresar la operacin como:

Ahora ya podemos resolver la duda de Lucia; si la pizza tiene 8 partes iguales y ella junto con

sus amigos son 4 tenemos la operacin:

Como sabemos

Recuerdas el problema de Lucia a cada invitado le corresponde dos partes de pizza.

2.5.4 Potencias

23

Propiedades

3. Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes.

4. Divisin de potencias con la misma base:

Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes.

24

5. Potencia de una potencia: Es la potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes.

2.6 Operaciones combinadas La realizacin de operaciones combinadas implica resolver multiplicaciones, divisiones, sumas

y restas en el orden correcto, para ello debemos recordar la jerarqua de las operaciones y

sobre todo observar los smbolos de agrupacin como parntesis, llaves o corchetes.

Ejemplo:

Resolver la siguiente operacin con fracciones:

Primero realizamos las operaciones de los parntesis:

Por lo tanto la operacin nos queda como: Multiplicamos por las cantidades de afuera de los parntesis

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Simplificamos segundo trmino antes de hacer la ltima operacin

Resolvemos la suma y obtenemos el resultado final

2.7 Nmeros decimales

"Cuenta la leyenda que un hombre fue llamado a la presencia del rey, pero este respondi,

"soy muy viejo y solo podr recorrer cada da la mitad de la distancia que nos separe", as que

se puso en marcha y llego a la mitad del camino, al da siguiente recorri la otra mitad, al da

siguiente de nuevo recorri la mitad del camino, Cundo crees que llego a la presencia del

rey?"

La respuesta es que el hombre nunca llegar ante la presencia del rey, ya que siempre tendr

una fraccin del camino por recorrer.

Con este ejemplo podemos observar que existe una cantidad infinita de nmeros entre un

entero y otro, por ejemplo, si consideramos que al hombre lo separa un kilmetro del rey

tendr que recorrer:

26

Nota: Las fracciones de recorrido de cada

da se multiplican por para el siguiente

da ya que representa la mitad del recorrido

faltante para el siguiente da. Ejemplo:

De tal manera que nunca llegara a su presencia porque tendr otro da para recorrer una

distancia por pequea que sta sea.

Definicin de nmero decimal

Un nmero decimal se define como el cociente

que se obtiene de una fraccin.

Es aquel que se puede expresar mediante una fraccin decimal.

Consta de dos partes: entera y decimal.

En el nmero 2.5444 2 es la parte entera y 5444 es la parte decimal.

Da clic en los siguientes enlaces para leer sobre:

27

Clasificacin de los nmeros decimales

Los nmeros decimales se clasifican en:

Da clic en cada recuadro para ver su definicin.

Para conocer ms acerca del nmero pi da clic en el enlace siguiente:

http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/chavezalejandro_mattje/trabajofinal/paginas/l

ahistoriadelnumeropi.htm

Ajuste de nmeros decimales

Redondeo Existen dos tcnicas para redondear los nmeros decimales, la primera se llama Redondeo y

consiste en tomar la cantidad deseada de decimales y si el siguiente decimal es mayor que 5

la cifra anterior se convierte al siguiente nmero.

Por ejemplo:

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El nmero Pi lo redondeamos con 4 decimales, como la quinta decimal es 9 la cuarta decimal

se convierte en 6 y utilizamos el nmero como 3.1416

Si la unidad decimal es mayor o igual que 5, aumentamos en una unidad la unidad decimal

anterior; en caso contrario, la dejamos como est.

Truncamiento

La otra tcnica se conoce como Truncamiento y consiste en tomar directamente la cantidad

de cifras que se desea sin ajustar ninguna, en el caso del nmero Pi se utilizara como 3.1415

Volviendo al caso del hombre y el rey podemos convertir a decimal las fracciones que debe

recorrer cada da.

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Primer da

Segundo da

Tercer da

Cuarto da

Quinto da

Sexto da

Sptimo da

Octavo da

Noveno da

Decimo da

0.5 kilometro

0.25 kilometro

0.125 kilometro

0.0625 kilometro

0.03125 kilometro

0.015625 kilometro

0.0078125 kilometro

0.00390625 kilometro

0.001953125 kilometro

0.0009765625 kilometro

Con esto puedes confirmar que despus del nmero 0 existe una cantidad infinita de cifras

antes de llegar al siguiente entero, en este caso, el nmero 1.

Para repasar lo visto en este tema, realiza la actividad que se propone; para ello da clic en el

siguiente enlace:

Actividad de aprendizaje

Lee con atencin cada uno de los ejercicios que se presentarn a continuacin, completando

en los espacios correspondientes los datos que se te solicitan:

Ejercicio 1

30

Ejercicio 2

31

Resumen de la Unidad

EVALUACIN DE LA UNIDAD 2 (Cuestionario en plataforma)

Instrucciones:

Responde el siguiente cuestionario, eligiendo la opcin que consideres correcta.