UNIDAD 2 semejanza. Escalas Proporcionalidad y · Se definen la proporcionalidad directa e inversa...

38

UNIDAD

n esta Unidad se presentan las relaciones mtricas entre elementosgeomtricos que nos permitirn definir la semejanza y su principal apli-cacin en el dibujo tcnico: la construccin de planos a escala.

Se parte de los conceptos de magnitud y cantidad manejados cotidianamen-te. Se definen la proporcionalidad directa e inversa entre magnitudes y basn-dose en el teorema de Thales, se exponen las construcciones grficas de pro-porcionalidad entre segmentos, de construccin de figuras semejantes y laescala.

Para facilitar la comprensin del concepto de proporcionalidad, adems derealizar las construcciones y actividades, se propone memorizar los conceptosbsicos y buscar personalmente ejemplos cotidianos de aplicacin, que reforza-rn lo aprendido.

Los objetivos que nos proponemos alcanzar con esta Unidad son:

1. Comprender el concepto de proporcionalidad y su aplicacin en el arte.

2. Ser capaz de construir escalas grficas y de utilizarlas para confeccionarplanos o para leer medidas en ellos.

3. Ser capaz de construir un polgono semejante a otro.

Proporcionalidad ysemejanza. Escalas2

E

39

1. PROPORCIONALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.1. Magnitud, cantidad y medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.2. Razn y proporcin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3. Proporcionalidad directa e inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2. PROPORCIONALIDAD ENTRE SEGMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1. Teorema de Thales. Extensin de la proporcionalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2. Construccin de la cuarta y la tercera proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442.3. Divisin de un segmento en partes proporcionales a otros segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.4. Construccin de dos segmentos conocida su suma o su diferencia y su razn . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3. SEMEJANZA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.1. Figuras semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2. Criterios de semejanza de tringulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.3. Definicin y determinacin de una semejanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4. Construccin de una figura semejante a otra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4. ESCALAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1. Representacin de objetos y espacios. Planos a escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2. Utilizacin de escalas grficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.3. Construccin de escalas grficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5. LA PROPORCIN EN EL ARTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.1. Seccin urea de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.2. El nmero de oro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.3. Construccin del segmento ureo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.4. Figuras gnomnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.5. Rectngulos dinmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 585.6. Descomposicin armnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

N D I C E D E C O N T E N I D O S

Razn Proporcin

Teorema de Thales

Construcciones basadas enproporcionalidad de segmentos

Escala

Proporcionalidad entre segmentos

Razn de semejanza

Proporcionalidad

Semejanza

Seccin urea

Figuras gonomnicas

40

1. Proporcionalidad

1.1. Magnitud, cantidad y medidaHabitualmente se efectan comparaciones entre objetos, personas,... que se

expresan mediante frases como: Andrea es ms alta que Daniel, En este coche elconductor tiene mayor ngulo de visin que en aquel, Mi saln es ms pequeo queel tuyo. En estas frases se comparan magnitudes: longitud, amplitud y superficie.

A menudo es necesario expresarse con mayor exactitud: Pablo corre los 200metros en 21 segundos, Cuando llegue al cruce, gire a la derecha en ngulo recto,Es una parcela de 2500 metros cuadrados. Se informa as sobre la medida del ele-mento geomtrico, en este caso un segmento, un ngulo, un polgono.

Analcese con detalle una medida concreta, por ejemplo: 7250 m o su equivalen-te 7 Km 200 m 50 cm. La magnitud que se mide es la longitud, ya que el metro es suunidad de medida y se expresa mediante un nmero real, el que le corresponde alcomparar dicha longitud con la unidad de medida.

1.2. Razn y proporcinRazn es el cociente de dos cantidades de la misma magnitud y es, por tanto,

un nmero sin unidades. La expresin la altura del cuerpo humano es ocho vecesla de la cabeza (canon de Leonardo da Vinci), compara dos cantidades de la mismamagnitud mediante su razn.

En la Ilust. 1 aparecen dos personas cuyas medidas responden al canon deLeonardo. Entre las medidas de altura de sus cuerpos p, p y de sus cabezas c, c

podemos establecer las razones , que tienen el mismo valor 8. Pues bien, la

igualdad recibe el nombre de proporcin.pc

pc

= ''

pc

pc

''

PROPORCIONALIDAD Y SEMEJANZA. ESCALAS

2UNIDAD

p

cc

p

p/ c es una razn

p/ c

p/ c = p/ c

es una razn

es una proporcin

Ilustracin 1

41

Proporcin es la igualdad de dos razones y en ella p es el primer trmino, c elsegundo, p el tercero y c el cuarto. Se llaman extremos de la proporcin al primer ycuarto trminos y medios al segundo y tercero.

1.3. Proporcionalidad directa e inversa

El aumento o disminucin de una magnitud puede estar relacionado con el deotra. En la Ilust. 2 aparece una urbanizacin y dentro de ella dos parcelas, cuyasreas son p, p en las que se han construido casas que ocupan en planta superficiesc, c que son las mayores que les permite la norma urbanstica que fija en 2/5 la ocu-pacin mxima en planta.

Se dice que el rea de las parcelas es directamente proporcional a la ocupadapor la casa porque cuanto mayor es la primera mayor es la segunda y porque se

puede establecer la proporcin .

En las parcelas p, p de una urbanizacin, que tienen igual tamao y distintaforma, estn construidas casas cuyas plantas son rectngulos distintos pero de igualrea. Como sus reas son a b = a b, se observa que cuando la fachada prin-cipal a es mayor la profundidad b debe ser menor.

Se dice que la longitud de la fachada principal es inversamente proporcional a laprofundidad de la casa porque cuanto menor es la primera mayor es la segunda y

por que se puede establecer la proporcin .

En general, se dir que dos magnitudes M y M son directamente proporcionalescuando entre sus cantidades exista una correspondencia biunvoca tal que con dos

cualquiera de M (a, b) y otras dos de M (a, b) se pueda formar la proporcin: ab

ab

=

=

aa

bb

pp

cc' '

=

a

ab

b

p p p p

pc

c

ccc

Ilustracin 2

42

Anlogamente dos magnitudes M y M son inversamente proporcionales cuandoentre sus cantidades exista una correspondencia biunvoca tal que con dos cualquie-

ra de M (a, b) y otras dos de M (a, b) se pueda formar la proporcin: .

Aplicacin

Aplicacin

ab a

b

= 1''


2UNIDAD

La proporcionalidad existente entre la amplitud del ngulo central y la longi-tud del arco por el abarcado, permite medir este ltimo en funcin de aquel.

Efectivamente, sean , dos ngulos centrales y c, clos arcos correspondientes, dicha proporcionalidad permiteafirmar que / =c / c. Si se toman los valores del ngulocompleto = 360 y la circunferencia c = 2r, el valor de unarco c que se desee medir se obtendr midiendo el ngulo y sustituyndolo en la proporcin /360 = c /2r de la quese obtiene el valor del arco: c = (360/ 2r)

c

c

r

Construir un rectngulo quetenga igual rea que el de ladosa, b dado, conocido uno de suslados b.

A partir del lado b del rec-tngulo dado se transporta b.Se traza la diagonal ED quecorta a la prolongacin del ladoBA en F. Se completa el rectn-gulo BEGF mediante dos arcosde centros E,F y radios BF, BE.

Al prolongar los lados CD yAD se obtiene el rectngulo bus-cado.

La semejanza de los trin-gulos sombreados permite esta-

blecer la proporcin , o bien , que permite afirmar:

Las longitudes de los lados de los rectngulos que tienen igual rea soninversamente proporcionales.

aa b

b

''

= 1aa

bb

''

=

b

b

a

b b

a

b

a

b

A

B C E

D

GF

43

2. Proporcionalidad entre segmentos

2.1. Teorema de Thales. Extensin de laproporcionalidad

El teorema de Thales dice: Al cortar dos rectas cualesquiera por un sistema deparalelas, los segmentos determinados sobre una de ellas son proporcionales a losdeterminados sobre la otra. As en la Ilust. 3 podemos establecer proporciones del

tipo , .ab

ab

=

a ba

a ba

+ = + ''

r

r

a

b

t

a

b

Ilustracin 3

En la Ilust. 3 se puede trazar laparalela s a la recta r , segn eldetalle de la figura adjunta.

Aplicando el teorema de Thalesen las rectas r y t cortadas por

las paralelas r y s, .a ba

nm

+ =

a

b

s

t

a

b

m n

r

r

Expresin que comparada con la anterior dar , es decir:

los segmentos de paralelas n_, m

_interceptados entre r y r son proporcionales a

los determinados sobre r ( a+b___

, a_

) y sobre r (a+b___

, a_).

nm

a ba

= +' ''

44

2.2. Construccin de la cuarta y la terceraproporcional

En toda proporcin entre segmentos existen cuatro trminos a_

, b_

, c_

, d_

que sellaman primero, segundo, tercero y cuarto trminos de la proporcin:

Pues bien, conocidos los tres segmentos a_

, b_

, c_

(as ordenados), se llama cuar-to proporcional a ellos al segmento d

_que verifica dicha proporcin. Su construc-

cin es una aplicacin del teorema de Thales.

Sean los segmentos a_

, b_

, c_

cuyo cuarto proporcional se desea construir. (Ilust.4, izquierda)

Se trazan dos rectas concurrentes en el punto O. Sobre una de ellas, a partir deO, se transportan los segmentos a

_ y b

_consecutivamente y sobre la otra recta,

tambin a partir de O, se transporta el segmento c_

.

Se traza la recta AC y su paralela BD, obtenindose el segmento CD__

= d_, cuarto

proporcional de a_

, b_

, c_

.

En la figura de la derecha se dibuja una construccin similar, en la que se trans-portan los segmentos con origen comn.

Tercero proporcional a dos segmentos a_

y b_

dados (en este orden) es un seg-

mento d_

que verifica la proporcin . Su construccin es la misma que la de la

cuarta proporcional haciendo c_

= b_

(Ilust. 5).

ab

bd

=

ab

cd

=


2UNIDAD

a

b

c

O OC CD Dc

cd d

A A

B

Ba

a

b

b

Ilustracin 4

45

Aplicacin

Aplicacin

a

b

O C Db d

A

B

a

b

Ilustracin 5

29,8 cm

15 cm

9 cm

21 cmx

x

15

9

29,8

ESCALA 1:10

Tenemos una fotografa de 15 9cmcm y deseamos ampliarla, al mxi-mo tamao posible, en un papel forma-to A4 (29,8 21 cmcm).

Debemos encontrar el rectngulocuyos lados, 29,8 cm y x, son directa-mente proporcionales a las medidas dela fotografa.

El lado x se obtiene construyendola cuarta proporcional de los segmen-tos 15 cm, 9 cm, 29,8 cm.

a

b

a

b

S

b

ESCALA 1:1000

a

a

b

El rectngulo de lados a, b es un solarque el ayuntamiento quiere expropiar,indemnizando a su dueo con otro de lamisma forma y rea, resultado de dividiruna parcela municipal lindera de fondo a.

Los lados a, a y b, b de los rectngu-los equivalentes (de igual rea) son inver-

samente proporcionales,por tanto .

As, se obtendr el lado b como cuartaproporcional a los segmentos a, a, b (eneste orden).

aa

bb

''

=

46

2.3. Divisin de un segmento en partesproporcionales a otros segmentos

Sea el segmento AB__

que se desea dividir en partes proporcionales a los segmen-

tos m_

, n_, p

_(Ilust. 6).

Se traza una recta secante que pase por el punto A y se transportan sobre ella,consecutivamente a partir de A, los segmentos m

_, n

_, p

_. Se traza la recta CB y sus

paralelas por los puntos de divisin entre m_

, n_, p

_, las cuales dividen al segmento AB

__

en tres partes m_ , n

_, p

_ proporcionales a los segmentos m

_, n

_, p

_.

2.4. Construccin de dos segmentos cono-cida su suma o su diferencia y su razn


2UNIDAD

m

n

p

AA BB m n p

m

n

pC

Ilustracin 6

ds

q

q3q

3q

3q

3q

2q

2q

A AB B

a b/ = 3 a b/ = 3/ 2

q

a

a

b b

s

d D

B

C

C

B

C

Ilustracin 7

47

Sea la suma y la razn de los segmentos a_

y b_

que se desea

obtener, siendo n un nmero real genrico. En la Ilust. 7 izquierda n = 3.

Se elige un segmento q_

cualquiera y se construye 3q_

.

Construido se transportan 3q_

y q_

consecutivamente, sobre una semi-

rrecta con origen en el punto A. Se traza por C la paralela a BB que corta a AB__

en

el punto C y determina los segmentos y buscados.

Sea la diferencia y la razn de los segmentos a_

y b_

busca-

dos. En la Ilust. 7 derecha se toma n = 3 / 2.

Se elige un segmento q_

cualquiera y se construyen 3q y 2q_

.

Construido se transportan 3q y 2q_

sobre dos semirrectas paralelas

con origen en los puntos A y B. Se traza la recta CB que corta a la recta AB en el

punto D y determina los segmentos y buscados.

3. Semejanza

3.1. Figuras semejantes

Figuras semejantes son aquellas que, teniendo la misma forma, pueden diferiren tamao. Las figuras semejantes de igual tamao reciben el nombre de figurascongruentes.

Dos figuras son semejantes cuando los ngulos correspondientes soniguales y los segmentos correspondientes son proporcionales.

s a b= + n a b= /

BD b=AD a=

AB d=

n a b= /

CB b=AC a=

AB s=

d a b=

A

B

C

D

E

A

B

CD

E

A

B

C D

E

Ilustracin 8

48

Los polgonos de la Ilust. 8 son semejantes, ya que los ngulos interiores de susvrtices correspondientes son iguales y los segmentos correspondientes son propor-cionales. Los polgonos ABCDE y ABCD que tienen sus vrtices ordenados en elmismo sentido son figuras semejantes directas. Al contrario, los polgonos ABCDE yABCDE son figuras semejantes inversas, pues sus vrtices estn ordenados ensentido contrario.

3.2. Criterios de semejanza de tringulos

Dos tringulos ABC y ABC sern semejantes si sus tres lados son proporciona-les y si los ngulos correspondientes son iguales; sin embargo, no es necesario quese cumplan todas las condiciones para poderlo afirmar, sino unas mnimas que reci-ben el nombre de criterios (Ilust. 9):

Primer criterio: Dos tringulos son semejantes si tienen un ngulo igual yproporcionales los lados que lo forman.

Segundo criterio: Dos tringulos son semejantes si tienen iguales dos ngulos.

Tercer criterio: Dos tringulos son semejantes si sus tres lados son propor-cionales.

Los criterios segundo y tercero permiten afirmar que, para que dos tringulossean semejantes, es suficiente que sus ngulos sean iguales o sus lados proporcio-nales. Lo mismo puede afirmarse de las figuras geomtricas en general ya que cual-quiera de ellas puede ser dividida en tringulos, operacin que se llama triangula-cin, incluso en el caso de que aparezcan arcos de circunferencia, ya que stos que-dan determinados mediante tres puntos.


2UNIDAD

A

BC

n x b n x c

A

B

C

A

B

C

n x cn x b

n x a

A

Ba

cb

C

Primero

Tercero

Segundo

Ilustracin 9

49

Efectuada una triangulacin (Ilust. 10) de los pentgonos ABCDE y ABCDE, ycomprobada la igualdad de todos los ngulos correspondientes de cada tringulo, sepuede afirmar que son semejantes, pues lo son cada uno de los tringulos en que sehan dividido. Anlogamente, se puede deducir su semejanza, comprobando nica-mente la proporcionalidad entre los lados de dichos tringulos.

3.3. Definicin y determinacin de unasemejanza

Una semejanza es una correspondencia biunvoca entre puntos del plano (y portanto, entre puntos de dos figuras situadas en l) establecida de tal modo que: losngulos correspondientes son iguales y los segmentos correspondientes sonproporcionales.

La semejanza se llama directa si se conserva el sentido de los puntos de la figura(del plano) e inversa en el caso contrario.

ab

cd

e

f

g

A

B

C

D

E

A

B

C

DEn x a

n x b

n x c

n x d

n x e

n x f

n x g

Ilustracin 10

(1)Semejanza

directa

(2)Semejanza

inversa

(1)(2)

A B

C

D

E

A A

B

C

D D

E E

C

B

Ilustracin 11 Animacin

50

La razn constante entre segmentos correspondientes (semejantes) se llamarazn de semejanza. La semejanza cuya razn es la unidad es una congruencia.

Una semejanza est determinada dando dos segmentos orientados y el tipo desemejanza: directa o inversa.

En la Ilust. 11 se realiza la construccin de un pentgono ABCDE semejante alABCDE dado, con su diagonal en posicin vertical. Se ha determinado una semejan-za en el plano tomando como par de segmentos orientados la diagonal AD

__y su hom-

loga AD___

colocada en la posicin deseada. El pentgono semejante ser ABCDE sise trata de una semejanza directa y ABCDE si es inversa.

3.4. Construccin de una figura semejante aotra

Las dos condiciones que deben cumplir las figuras semejantes diferencian losdos procedimientos de construccin de una figura semejante a otra dada que se vana tratar: el mtodo de coordenadas y el mtodo de copia de ngulos.

Sea el hexgono ABCDEF cuya figura semejante directa se desea obtener porel mtodo de coordenadas, conocida la razn de semejanza 2/3 y situando su ladoAB en la recta r (Ilust. 12).

Se traza un sistema de referencia en la figura original, formado por dos ejes per-pendiculares y lneas de referencia (trazo discontinuo) que definan las coordenadasde todos sus puntos.


2UNIDAD

A B

C

DE

F

O P Q R

S S

O

P

QR

A

B

C

D

E

F

r

Ilustracin 12

51

Se traza un sistema de referencia anlogo, pero con su eje horizontal situado en

la recta r. Se determina una nueva coordenada como cuarta propor-cional de los segmentos 3 u

_, OB

__, 2 u

_, donde u

_es un segmento cualquiera.

Obtenidas las nuevas coordenadas, se levantan lneas de referencia, cuyas intersec-

ciones determinan los puntos de la figura semejante.

Sea el pentgono ABCDE cuya figura semejante directa se desea obtener por elmtodo de copia de ngulos. El lado AB, homlogo de AB, est determinado porsu longitud, el ngulo de 30 que forma con la horizontal y la posicin de A (Ilust. 13).

Construido el ngulo de 30 a partir de la semirrecta horizontal de origen A, setransporta AB

__, quedando determinado el lado AB.

Se triangula la figura original. Se construye el tringulo ABD copiando los ngu-los BAD y DBA, obteniendo D en la interseccin de los lados AD y BD de los ngu-los copiados. Anlogamente se construyen los tringulos DBC y ADE, obteniendolos vrtices C y E que completan el pentgono semejante.

4. Escalas

4.1. Representacin de objetos y espacios.Planos a escala

La necesidad de representar en el papel edificios, puentes, montaas y valles,joyas,... mediante un procedimiento que permita pasar del espacio al plano, ha dadolugar a los sistemas de proyeccin. Estos permiten obtener imgenes, que son pro-yecciones sobre un plano horizontal de dichos objetos o espacios, a tamao real.Excepto en algn caso, stas no tienen el tamao adecuado, por lo cual debemosrealizar una figura semejante de mayor o menor tamao que se llama plano.

O B OB' ' = 2 3

A B

C

D

E

A

B

D

C

E

AB

Ilustracin 13

52

El plano es, pues, semejante a la proyeccin del objeto, pero carece de una posi-cin definida respecto a ella. A la razn de semejanza entre el plano y la proyeccinse le llama escala.

Sea, por ejemplo, un bolgrafo que se quiere representar (Ilust. 14).

Se coloca el bolgrafo con sus dimensiones mayores paralelas al plano de pro-yeccin, de modo que se vea la mayor cantidad de detalles y se realiza la proyec-cin obteniendo un dibujo de tamao real, es decir, a escala 1/ 1. Si se desea obte-ner una figura semejante (dibujar un plano) con razn de semejanza 1/3 (escala), seobtendrn las nuevas medidas de la proyeccin del objeto como cuarta proporcional

de los segmentos u_, cada medida real, y 1/3 u

_, siendo u

_un segmento cualquiera.

A continuacin se dibujar la figura semejante con las medidas proporcionales obte-nidas y manteniendo los ngulos iguales.

Es ms prctico obtener las medidas de la proyeccin (del objeto real) median-te una regla graduada en centmetros, construir una regla semejante a ella con lamisma razn (escala) del plano que se desea obtener y dibujarlo midiendo con dicharegla. Esta regla se llama escala grfica.

4.2. Utilizacin de escalas grficasLa reduccin a 1:3 de la regla graduada obtenida en el apartado anterior no es

una verdadera escala grfica, si no la que figura en la Ilust. 15. En ella aparecen divi-siones a ambos lados del origen 0.


2UNIDAD

Regla graduada en cm

0

0

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

8

8

9

9

10

10

11

11

12

12

13

13

cm

cm

ESCALA 1:3

Longitudes reales

Longitudes en el plano

u

1/3xu

Ilustracin 14

53

Se llama escala a las divisiones a la derecha de 0, iluminadas con nmeros ente-ros cuyas unidades figuran en la regla. Se llama contraescala a la divisin decimalde una parte entera situada a la izquierda de 0.

Para medir una longitud hacemos coincidir un extremo de sta con una divisinentera de la escala, obteniendo la parte entera de la lectura con sus unidades y seaverigua con que divisin de la contraescala coincide el otro extremo, sta ser laparte decimal de la lectura.

En la Ilust. 16 se compara la escala grfica 1:3 con una regla graduada:

Se observa que 1cm de la regla graduada se corresponde con 3 cm de laescala grfica, esta es la razn entre las medidas del dibujo y la realidad,entre lo que realmente mide cada divisin y lo que representa.

Las escalas grficas se construyen con divisiones decimales, as pues, sepuede ver que la divisin 10 cm de la escala se corresponde con 3,33 cm dela regla graduada.

Por ello, si se desea construir la escala 1: 3, se llevar un segmento de 3,3 cmcuyos extremos se iluminarn con un 0 y un 10, escribiendo al lado la unidad cm.Esta es la razn dibujo/realidad de la escala grfica, ahora se debe hacer operativala regla construyendo la escala y la contraescala, para ello se utiliza la construccin:divisin de un segmento en diez partes iguales.

0 5 10 2015 cm

12,7 cm

Ilustracin 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 cm

0 10 cm

3,3 cm

ESCALA 1:3

Medida real

Ilustracin 16

54

4.3. Construccin de escalas grficas

A continuacin se detallan los pasos necesarios para construir una escala grfi-ca, tomando como ejemplo la escala 1: 40 (Ilust. 17).

1. Trazado de la primera divisin entera de la escala. La razn dibujo/realidad (esca-la) se escribe como 1/e (1: 40). En cualquier caso, se elegir el menor de losnmeros 1, 10, 100, 1000 que sea mayor o igual que e (100 $ 40), este nme-

ro ser 10 K (10 2). De la proporcin se

obtiene la longitud real x cm (2,5 cm) de la primera divisin entera, cuyos

extremos se iluminarn con los nmeros 0 y 10 K cm (0 y 100 cm).

2. Eleccin de la unidad de longitud de la escala. Se debe elegir entre las unidades

ms convenientes y por tanto entre los nmeros 10 K cm, 10 K - 2 m, 10 K - 5 Km

(elegimos entre 102 cm, 1m, 10 - 3 Km).

3. Construccin de la escala y la contraescala. La escala se construye trans-portando segmentos iguales a la primera divisin a continuacin de sta(subdividindolos si es adecuado). Para la contraescala se transporta otrosegmento igual (de 2,5 cm), pero a la izquierda del origen 0 y se divide endiez partes iguales. Tambin puede dividirse la contraescala en dos o cincopartes si as resultara ms fcil de leer.

En la tabla adjunta se recogen los resultados de cada uno de los tres pasos parala construccin de varias escalas grficas y destacados en negrita los de la 1: 40.

110e

cmcm

x cmcmK

= =

140

cmcm

x cmcm102


2UNIDAD

0 1 2 3

2,5 cm

Medida real

m

Ilustracin 17

55

5. La proporcin en el arte

5.1. Seccin urea de un segmentoMedio proporcional a dos segmentos a

_y c

_dados es un segmento b

_que verifica

la proporcin .

Seccin urea de un segmento es la divisin de ste en dos, tales que la partemayor es media proporcional entre ste y la parte menor. La parte mayor recibe elnombre de segmento ureo.

En la Ilustracin 18 se ha efectuado la divisin urea del segmento m_

en otros

dos n_

y m - n___

, de modo que se cumple la proporcin .mn

nm n

=

ab

bc

=

Escala 1:e 10 k $ ex = 10 k /e cm

Longitud real de la primeradivisin entera de la escala

10 k cm, 10 k - 2 m, 10 k - 5 kmNmero y unidad de la primera

divisin entera

10:1 (1:0,1) 1 10 cm 1 cm5:1 (1:0,2) 1 5 cm 1 cm2:1 (1:0,5) 1 2 cm 1 cm

1:5 10 2 cm 10 cm

1:25 100 4 cm 100 cm 1 m

1:40 100 2,5 cm 1 m

1:100 100 1 cm 1 m

1:200 1000 5 cm 10 m

1:5000 10000 2 cm 100 m

1:100000 100000 1 cm 1 km

1:750000 1000000 1,33 cm 10 km

m

n

n

2n-m

m-n

m+n

m-n

m

m

Ilustracin 18

56


2UNIDAD

Se puede crear otra razn mediante resta de numeradores y denominadores, de

modo que , y en la proporcin formada por los dos ltimos

trminos se observa que la parte menor m - n___

es seccin urea de la parte

mayor n_.

Como tambin se pueden anteponer razones mediante suma, se observa en la

seccin urea efectuada que:

m__

es parte urea de m - n___

.

n_

es parte urea de m__

.

m - n___

es parte urea de n_.

5.2. El nmero de oroEn la Ilustracin 18, al ser m

__parte urea de m - n

___se tiene la proporcin ,

dividiendo el numerador y denominador del segundo miembro entre n_

ser

El nmero de oro est presente de manera constante en numerosas mani-festaciones de la naturaleza y en las artes. En el Partenn, el templo ms impor-tante de la Grecia clsica, el nmero de oro es el mdulo que rige las propor-ciones (Ilust. 19).

mn

mnmn

mn

x x xx

=+

= = +1

1. Haciendo se obtiene la ecuacin cuyaa raz positiva

es el llamado nmero de oro 1,618x = + =5 12

....

mn

m nm

= +

mn

nm n

m nn m

=

= 2

La seccin area de la altura a del Partenn en b y c, y las sucesivas secciones de stas, son la medida de las alturas de sus elementos arquitectnicos.a/b = b/c = c/d = d/e = e/f = f/g =

de

fg

a

bc

Ilustracin 19

En las estatuas griegas clsicas de la poca de Fidias, en los hombres perfecta-mente proporcionados y en los cnones de Durero y de Leonardo, el ombligo dividesu altura segn la seccin urea (Ilust. 20).

5.3. Construccin del segmento ureo

Sea m__

el segmento [Ilust. 21].

En su extremo B se levanta otro segmento perpendicular de igual longitud. Sumediatriz determina el centro O de la circunferencia de dimetro m

__, que es tangen-

te en B al segmento de partida.

La secante trazada desde A que pasa por O determina n_, segmento ureo de m

__,

as como m + n____

, cuya parte urea es el segmento m__

.

En este dibujo Leonardo da Vinci realiza un estudio de las proporciones del cuerpo humano a partir de los textos de Vitruvio, arquitecto de la antigua Roma.

El cuadrado est centrado en los genitales y el crculo en el ombligo.

La razn entre el lado del cuadrado (altura del hombre) y el radio del crculo (altura del ombligo) es el nmero de oro .

Ilustracin 20

AA

O

m+n

m

m/2

m/2

BB

mn

Ilustracin 21

57

58

5.4. Figuras gnomnicasUn gnomon es una figura que aadida a otra la transforma en una semejante.

En la Ilust. 22 se recogen (en rojo) tres figuras susceptibles de crecimientoo decrecimiento continuo mediante adiccin o sustraccin de sus respectivosgnomones:

El rectngulo cuyo mdulo (razn entre sus lados) es 2 tiene como gnomnaditivo otro igual a l y como sustractivo el obtenido mediante la paralelamedia a su lado menor.

El rectngulo cuyo mdulo es recibe el nombre de ureo y tiene como gno-mn aditivo un cuadrado de lado igual al mayor del rectngulo. El gnomnsustractivo es el cuadrado de lado igual al menor del rectngulo ureo.

El tringulo issceles de ngulo en el vrtice 36 recibe el nombre de sublimey tiene como gnomn aditivo otro tringulo issceles de ngulo en la base 36e igual lado. El gnomn sustractivo es otro tringulo issceles de ngulo enla base 36 y base igual al lado del sublime.

5.5. Rectngulos dinmicosRectngulos dinmicos son aquellos en los que la razn entre el lado mayor y el

menor (mdulo) es un nmero inconmensurable (irracional) (Ilust. 23 derecha). Sellaman estticos aquellos rectngulos que tienen por mdulo un nmero entero ofraccionario (Ilust. 23 izquierda).


2UNIDAD

Ilustracin 22

59

El cuadrado, como el rectngulo 4, es a la vez esttico y dinmico. Partiendodel cuadrado, mediante un arco de radio su diagonal, se construye el rectngulo demdulo 3 ; mediante otro arco, de radio la diagonal del rectngulo 3, el de mdu-lo 4 y as sucesivamente.

4/3

3/2

4/2

5/2

1 2

3

4

5

Ilustracin 24

Ilustracin 23 Animacin

60

Las plantas y alzados de muchos edificios antiguos y modernos estn formadospor composiciones de rectngulos. En particular, los edificios egipcios y griegos delperiodo clsico estn diseados siguiendo trazados que utilizan rectngulos dinmi-cos y sus subdivisiones armnicas, que son figuras semejantes entre s y/o a la departida. Al tratarse de nmeros inconmensurables los griegos realizaban estas des-composiciones grficamente (Ilust. 24).

5.6. Descomposicin armnicaSe puede descomponer armnicamente un rectngulo trazando las diagonales y

sus perpendiculares por los vrtices, que son a su vez, diagonales de rectngulossemejantes al de partida. Un rectngulo n puede descomponerse en n rectngu-los n iguales de este modo (Ilust. 25 derecha).

Un procedimiento similar se utiliza para descomponer armnicamente el rectn-gulo ABCD de mdulo 2 (Ilust. 25 izquierda).

Se trazan las mediatrices de AD y BC y con centro en los puntos medios F, Gdos semicircunferencias de dimetros AD y BC. Las diagonales AC y BD cortan a lassemicircunferencias en los puntos H, I, J, K, que unidos de dos en dos forman lasparalelas que dividen al rectngulo en 9 rectngulos semejantes de mdulo 2 .

Se puede descomponer armnicamente un rectngulo trazando desde losvrtices de un mismo lado dos perpendiculares cuyos extremos compartan un puntodel lado opuesto, que son a su vez, diagonales de rectngulos semejantes entre s(Ilust. 26).


2UNIDAD

Ilustracin 25

F

G

A B

CD

H I

K J

Mdulo 5

Ilustracin 26

61

Sea el rectngulo ABCD de mdulo 5 (Ilust. 26)

Se trazan las mediatrices de AB y CD y con centro en los puntos medios F, Gdos semicircunferencias de dimetros AB y CD. Los lados AB y CD cortan a las semi-circunferencias en los puntos H, I, J, K, que definen un cuadrado. Los rectngulosAHKD y HBCK son ureos.

Recuerda

U Razn es el cociente de dos cantidades de la misma magnitud y por tanto, un nmerosin unidades.

U Razn de dos segmentos es el cociente de sus longitudes.

U Medida de una cantidad es la razn entre sta y la unidad de medida de la magnitudconsiderada.

U Medida de un segmento es la razn entre su longitud y la de otro segmento tomadocomo unidad.

U Proporcin es la igualdad de dos razones.

U Los segmentos interceptados sobre dos rectas secantes por una serie de rectas para-lelas son proporcionales (Thales).

U Cuarto proporcional a tres segmentos a_, b

_, c

_, es un segmento d

_ que verifica la propor-

cin: a_

/ b_

= c_

/ d_.

U Tercero proporcional a dos segmentos a_, b

_, es un segmento d

_que verifica la propor-

cin: a_

/ b_

= b_

/ d_.

U Una semejanza es una correspondencia biunvoca entre puntos del plano tal que los ngu-los correspondientes son iguales y los segmentos correspondientes son proporcionales.

U Razn de semejanza es la razn entre los segmentos correspondientes de dos figurassemejantes.

U Escala es la razn de semejanza entre las proyecciones de objetos sobre el plano y susdibujos reducidos ampliados.

U Seccin urea de un segmento es la divisin de ste en dos, tales que la parte mayores media proporcional entre ste y la parte menor.

62


2UNIDAD

Actividades

1. Obtener el segmento cuarta proporcio-nal de los segmentos a

_, b_

, c_

.

a

b

c

2. La figura de mayor tamao es la proyec-cin de un alfiler de cabeza redonda, laotra figura es un dibujo reducido a escalade dicha proyeccin.

Averiguar la escala empleada.

3. Determinar grficamente los lados a,b, c, de un tringulo, conociendo supermetro p = a + b + c y sabiendo quees semejante al tringulo de lados a,b, c.

a

bc

p

4. Dibujar la escala grfica 1:50.000.

5. Construir dos segmentos a_

y b_

cuya suma sea el segmento s_

y cuya

razn ab= 3

4.

6. Definida una semejanza directamediante el segmento AB

__y su seme-

jante AB___

, construir el cuadrilteroABCD semejante al ABCD.

A

BC

DA

B

7. Construir el rectngulo de mdulo 5cuyo lado menor es el segmento a ydescomponerlo armnicamente en 5rectngulos iguales, con regla y comps.

a

63
GT9: GT10: -GT9: Es una pequea cantidad de una magnitud que se toma como referencia para medir otras cantidades de la misma magnitud.-GT10: Es el cociente de dos cantidades de la misma magnitud y, por tanto, un nmero sin unidades.-GT11: Es la igualdad de dos razones.GT11: GT12: GT13: -GT12: Son aquellas que teniendo la misma forma pueden diferir en tamao.-GT13: Son las figuras semejantes de igual tamao.GT14: -GT14: Es la descomposicin de un polgono en tringulos. Tambin se llama as a la disposicin de una malla de tringulos cuyos vrtices sean puntos significativos de una figura geomtrica, un plano topogrfico,...-GT15: Es una correspondencia biunvoca entre puntos del plano, establecida de tal modo que: los ngulos correspondientes son iguales y los segmentos correspondientes son proporcionales.GT15: -GT16: Representacin grfica bidimensional de un objeto que se obtiene reduciendo o ampliando proporcionalmente algunas de sus proyecciones.GT16: GT17: -GT17: Es la razn de semejanza entre el plano y la proyeccin de un objeto.-GT18: Es una regla graduada de modo que con ella se puedan leer, directamente sobre el plano, las medidas reales de un objeto.GT18: -GT19: Es la divisin decimal de una parte entera de la escala grfica, situada a la izquierda del 0.gt1: gt2: -gt2: Es el valor numrico de la razones de una proporcin urea. Es el nmero irracional 1,618... y su smbolo es .-gt1: Seccin urea de un segmento es la divisin de ste en dos, tales que la parte mayor es media proporcional entre ste y la parte menor.-gt3: Un gnomon es una figura que aadida a otra la transforma en una semejante.-gt4: Es aquel en el que el lado menor es seccin urea del mayor.GT19: gt3: gt4: SG7: SG8: SG9: SG10: SG11: SG12: sg1: -SG7: -SG8: -SG10: -SG11: -SG9: -SG12: -sg1: Inicio: ndice: Siguiente: Anterior: Imprimir: Ampliar: Reducir: Buscar: ilustracion3: animacion3:

UNIDAD 2 semejanza. Escalas Proporcionalidad y · Se definen la proporcionalidad directa e inversa...

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