3. Conduccin de calor en estado estable, varias dimensiones Existe una gran variedad de problemas de conduccin en estado estable donde latransferencia de calor se lleva a cabo en ms de una dimensin. Tal es el caso degasoducto s u oleoductos cuyas lneas de transmisin estn enterradas, ensuperficies extendidas de espesor considerable, en la interseccin de paredes dehornos y chimeneas, etc. En todos esos casos la temperatura depende de ms deuna coordenada.Hay en general varias tcnicas o mtodos para resolver un problema deconduccin en estado estable donde la temperatura es funcin de dos y hasta detres coordenadas. ormalmente estos mtodos se clasifican, de acuerdo con sunaturale!a, en analticos, numricos, grficos y analgicos. "e esta clasificacin,los mtodos numricos son los de ms amplia aplicacin cuando se tienengeometras o condiciones de frontera irregulares, y ello gracias a lossorprendentes progresos en la computacin.En este captulo se describen esos mtodos y se presta especial atencin a losproblemas en los #ue la conduccin de calor se reali!a en dos dimensiones, esdecir, evitaremos las comple$idades inherentes e innecesarias a #ue dan lugar loscasos tridimensionales.%in embargo, la metodologa #ue se presenta puede extenderse a stos.3.1. Mtodo analticoEl mtodo analtico para resolver problemas de conduccin de calor en dos y tresdimensiones se limita en la prctica a geometras relativamente sencillas y es, enesencia, igual al descrito ntes con relacin a la transferencia de calor en una soladimensin.Empero,la temperatura entalescircunstancias depende dems deuna variable independiente, por lo #ue la distribucin de sta ahora se especificacon una ecuacin diferencial parcial y sus condiciones de frontera. ulla y stasconstituyen el modelo matemtico para predecir la distribucin de la temperaturaen el material, as como los diferentes flu$os de calor en el sistema.'ara desarrollar esta ecuacin considrese un volumen de control de dimensionesLlx, Lly ( .) dentro de un material como se muestra en el es#uema de la figura*.+. 'uesto #ue la temperatura puede variar en las tres direcciones, deben tenerseen cuenta todos los posibles flu$os de calor mediante un balance de energa.En estas condiciones,&l dividir entre x, y yz y hacer #ue x, y yz tiendan a cero, se obtiene, porel teorema del valor medio,,on la ley de -ourier de conduccin de calor se tiene #ue #./0 - kaTlax, q; =-kaT/dy,yq"z0-kaTlaz,ysi sesupone#uelageneracindecalorq'"ylaconductividadtrmica del material son constantes, 1a anterior se denominaecuacin de Poisson,la cual, en caso de #ue lageneracininternadecalorq'"seaigual acero, sereducealaecuacindeLaplace; es decir,-igura *.+. 2olumen de control.Esta ecuacin, con sus seis condiciones de frontera,constituye el modelomatemtico para determinar la distribucin de temperatura T(x, y, z) en un sistemasin generacin interna de calor.'ara ilustrar la aplicacin del mtodo analtico, considrese una barra de seccintransversal rectangularcomoladel es#uemadelafigura*.3,dondesedeseaobtener una solucin para la distribucin de temperatura T(x, y)1as condicionesde frontera, isotrmicas en este caso, se especifican en la misma figura.'araobtener lasolucinanaltica,defnasepor convenienciaunatemperaturaadimensional como'or tanto, el modelo matemtico #ueda definido por la ecuacin diferencial y sus condiciones de fronteraFigura *.3. %eccin transversal de una barra.y!(x, L) 0 + 4*.+567bsrvese #ue ladefinicin de 8ha dado como resultado #ue tres de lascondiciones defronterasean homogneas.&un cuando la solucinanaltica deeste con$unto de ecuaciones 4de la *.9 a la *.+56 puede obtenerse por medio devarias tcnicas matemticas, a#u seemplearel"#$odo de sepa%acinde&a%ia'lesporsuampliousonosloenel readetransferenciadecalor.Estaseparacindevariablesselograsi suponemos#uelasolucin!(x,y)puedeexpresarse como el producto de dos funciones ((x) y )(y), cada una de las cualesdependesolamentedeunavariableindependiente. "ichoconotraspalabras,supngase una solucin de la forma&l diferenciar y sustituir esta expresin en la ecuacin *.9 se obtieneEn virtud de #ue cada miembro de la expresin puede variarseindependientemente, la igualdad slo ser vlida para todos los valores dex y dey siambos miembros son e#uivalentes a la misma constante: por e$emplo, a* 4alcuadrado por conveniencia6, con lo #ue ahora se tienen dos ecuacionesdiferenciales ordinarias.;na de ellas es%ila constante a* es positiva, la solucin generalde la ecuacin *.+* es de laforma&plicando las condiciones de frontera se obtiene #ue ,