Unidad 3: Análisis en Flujo Laminar

INTRODUCCION

Cuando estudiamos las propiedades de un flujo, vemos que estas dependen de la posición de la materia que estudiamos respecto a unos ejes de referencia y del tiempo.B=B(x, y, z, t)Dependiendo de que las propiedades, y en particular la velocidad, varían en cada eje de referencia, y si varía con el tiempo o no, podemos clasificar los fluidos como:

Flujo uniforme. En donde las propiedades son independientes del tiempo, y de la posición. Es decir en determinado flujo, en cualquier sección perpendicular a él, todas las propiedades son constantes. (También se denominan de dimensionalidad 0).

Flujo unidimensional. En donde las propiedades varían en una dirección. Es decir para una sección perpendicular al flujo, se mantienen constante todas las propiedades, pero estas pueden variar de módulo en cuales quiera otra sección perpendicular al fluido.

Flujo bidimensional. En donde las propiedades varían en dos direcciones. Es la clave del flujo laminar.

Flujo tridimensional. En donde las propiedades varían en tres direcciones. Es el caso del flujo turbulento.

Si además las propiedades varían con el tiempo se denominaran flujos transitorios, y si no flujos permanentes o estacionarios.

Regímenes de flujo.

Flujo irrotacional no viscoso o ideal. En este tipo de flujo los efectos de la viscosidad son despreciables, algunos flujos se pueden modelizar siguiendo este modelo simple.

Flujo laminar. En donde existe un movimiento continuo del fluido en capas o láminas.

Flujo turbulento. En donde existe un movimiento tridimensional al azar.

Flujo Laminar

Es uno de los dos tipos principales de flujo en fluido. Se llama flujo laminar o corriente laminar, al movimiento de un fluido cuando éste es ordenado, estratificado, suave. En un flujo laminar el fluido se mueve en láminas paralelas sin entremezclarse y cada partícula de fluido sigue una trayectoria suave, llamada línea de corriente. En flujos laminares el mecanismo de transporte lateral es exclusivamente molecular.

El flujo laminar es típico de fluidos a velocidades bajas o viscosidades altas, mientras fluidos de viscosidad baja, velocidad alta o grandes caudales suelen ser turbulentos. El número de Reynolds es un parámetro adimensional importante en las ecuaciones que describen en que condiciones el flujo será laminar o turbulento. En el caso de fluido que se mueve en un tubo de sección circular, el flujo persistente será laminar por debajo de un número de Reynolds crítico de aproximadamente 2040.1 Para números de Reynolds más altos el flujo turbulento puede sostenerse de forma indefinida. Sin embargo, el número de Reynolds que delimita flujo turbulento y laminar depende de la geometría del sistema y además la transición de flujo laminar a turbulento es en general sensible a ruido e imperfecciones en el sistema. El perfil laminar de velocidades en una tubería tiene forma de una parábola, donde la velocidad máxima se encuentra en el eje del tubo y la velocidad es igual a cero en la pared del tubo. En este caso, la pérdida de energía es proporcional a la velocidad media, mucho menor que en el caso de flujo turbulento

Características

Las partículas se desplazan siguiendo trayectorias paralelas, formando así en conjunto capas o láminas de ahí su nombre,  el fluido se mueve sin que haya mezcla significativa de partículas de fluido vecinas.  Este flujo  se rige por la ley que relaciona la  tensión cortante con la velocidad de deformación angular

La viscosidad del fluido es la magnitud física predominante y su acción amortigua cualquier tendencia a ser turbulento.

El flujo puede depender del tiempo de forma significativa, como indica la salida de una sonda de velocidad que se observa en la figura a), o puede ser estable como en b)

v(t)

 t

                                                    (a) flujo inestable

v(t)

t

                                                    (b) flujo estable

                                                                                 

La razón por la que un flujo puede ser laminar o turbulento tiene que ver con lo que pasa  a partir de una pequeña alteración del flujo, una perturbación de los componentes de velocidad. Dicha alteración puede aumentar o disminuir. Cuando la perturbación en un flujo laminar aumenta, cuando el flujo es inestable, este puede cambiar a turbulento y si dicha perturbación disminuye el flujo continua laminar.

Existen tres parámetros físicos que describen las condiciones de flujo, estos son:

        Escala de longitud del campo de flujo. Si es bastante grande , una perturbación del flujo podría aumentar y el flujo podría volverse turbulento.

        Escala de velocidad. Si es bastante grande podría se turbulento el flujo.

        Viscosidad cinemática. Si es pequeña el flujo puede ser turbulento.

Los parámetros se combinan en un parámetro llamado número de Reynolds

Re = VL/

V = Velocidad

L = Longitud

 = Viscosidad cinemática

Un flujo puede ser también laminar y turbulento intermitentemente, esto puede ocurrir cuando Re se aproxima a un número de Re crítico, por ejemplo e un tubo el Re crítico es 2000, puesto que Re menores que este son todos para flujos laminares.

                                                     Flujo intermitente

Flujo en tuberías:

El límite superior para el régimen de flujo laminar, viene dado por el número de Reynolds con un valor de 2000.

Volumen elemental del fluido

Al considerar dicho volumen elemental como una masa de fluido infinitesimal sobre la que actúan fuerzas aplicamos la segunda ley de Newton.

Como el perfil de velocidad no varía en dirección x, el flujo de momento que entra es igual al que sale y la resultante de la fuerza es cero; esto es debido a que no existe

aceleración del elemento de masa, la fuerza resultante debe ser cero también. Se tiene:

pr2 - ( p + dp )r2 - 2r dx +  r2 dx + sen  = 0

Simplificando:

 = -r d/2dx (p + h)

Esfuerzo cortante

 y sabiendo que sen  = dh/dx, se obtiene el perfil de velocidad, conocido  como flujo de Poisenuille:

u(r) = 1/4   (d(p + h)/dx) (r2 –ro2)

Pérdida de carga:

Esta dada por la fórmula de Hagen – Poiseuille:

hf = (64/vD/) L/D v2/2g

f = 64/R

Flujo en canales abiertosEn canales abiertos los valores del número de Reynolds que determinan el flujo laminar son menores de 2000, también puede existir flujo laminar  con R mayores de 10000.

R = 4 Rh V/

Rh = radio hidráulico

Distribución vertical de la velocidad:

En canales abiertos de profundidad media ym, la distribución de velocidad puede expresarse:

 = g S/ (y ym – 1/2y2)

La velocidad media  V:

V = (1/3)g S ym2

Entre placas paralelas:

La placa superior se mueve con velocidad constante u, considerando un volumen elemental con profundidad unitaria en la dirección z, al sumar las fuerzas en dirección x, se obtiene:

P dy  - ( p + dp ) dy -  dx + ( + d) dx + dx dy sen  = 0

Dividiendo entre dx  dy, se obtiene:

 =  du/dy

Esfuerzo cortante

Integrando y realizando diferentes operaciones, obtenemos el perfil parabólico de velocidades para flujo laminar entre placas paralelas, así:

u(r) = (1/2)    d/dx (p + h) (y2 –ay) + U/a y

Entre cilindros giratorios:

             Variables básicas de flujo               Elemento entre los cilindros

Este tipo de flujo tiene aplicación en el campo de la lubricación, donde el fluido puede ser aceite, y el cilindro interior un eje giratorio.

Las ecuaciones obtenidas son válidas para Re menores de 1700.

Suponiendo cilindros verticales, la presión no varía con , con un elemento de forma cilíndrica delgada, tenemos:

2rL  x  r – ( + d ) 2 (r + dr)x (r + dr) = 0

Simplificando:

 (r) = A/2 r + B/r

A=(2r22 - r1

2))*2r22 - 1r1

2

B= r12 r2

2 ( 1 - 2)/( r22 - r1

2)      

Distribución de velocidad

3.1 ECUACIÓN GENERAL DEL BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO. CONDICIONES DE FRONTERA USUALES

La cantidad de movimiento o momento lineal se refiere a objetos en movimientos y es una magnitud vectorial que desempeña un papel muy importante en la segunda ley de Newton.Ecuación general de Balance de Cantidad de movimiento 

Entrada – Salida + Generación – Consumo = Acumulación 

La cantidad de movimiento sirve, por ejemplo, para diferenciar dos cuerpos que tengan la misma velocidad, pero distinta masa. El de mayor masa, a la misma velocidad, tendrá mayor cantidad de movimiento.

El balance de cantidad de movimiento puede aplicarse solamente cuando las líneas de corriente del sistema son líneas rectas es decir, para el flujo rectilíneo.

Para el flujo rectilíneo en estado estacionario, el balance de cantidad de movimiento es:

Velocidad de entrada de - cantidad

de movimiento

Velocidad de salida de

+cantidad de movimiento

Suma de las fuerzas

=que actúan

sobre el sistema

0

Fuerzas de interés son: Presión (que actúa sobre la superficie) y gravedad (que actúan sobre el volumen)En general, el procedimiento a seguir para plantear y resolver problemas de flujo viscoso es el siguiente: En las interfaces sólido-fluido, la velocidad del fluido es igual a la velocidad con que se mueve la superficie misma; es decir, que se supone que el fluido esta adherido a la superficie sólida con la que se halla en contacto

Diagrama esquemático del experimento de una película descendente, con indicación de los efectos finales. En la región de longitud L la distribución de velocidad está totalmente desarrollada.

En las interfaces líquido-gas, la densidad de flujo de cantidad de movimiento, y por consiguiente, el gradiente de velocidad en la fase líquida, es extraordinariamente pequeño, y en la mayor parte de los cálculos puede suponerse igual a cero.

En las interfaces líquido-líquido, tanto la densidad de flujo de cantidad de movimiento como la velocidad son continuas a través de la interface; es decir, que son iguales a ambos lados de la interface.

El movimiento se transfiere de dos maneras

 1. Viscoso: es una transferencia perpendicular al movimiento del fluido.

2. Cinético: es una transferencia paralela al movimiento del fluido.

3.2 BALANCE MICROSCÓPICO DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO 1-D. CONDICIONES DE FRONTERAS TÍPICAS

Los balances microscópicos permiten detallar la cantidad conservativa en cuestión, en términos de gradientes espaciales y temporales. Matemáticamente, y en el caso más general, los balances microscópicos conducen a ecuaciones diferenciales parciales en tres variables espaciales y el tiempo. Esos balances son también llamados "ecuaciones de cambio" o "ecuaciones de variación". En general, estas ecuaciones pueden suponer problemas matemáticos bastante complejos e interesantes. En compensación, permiten obtener enormes cantidades de información; Si se resuelven correctamente, conducen a una descripción completísima de un sistema en términos de perfiles geométricos y temporales de velocidad, presión, temperatura y concentración.

Los balances macroscópicos, expresan los intercambios de masa, energía o momentum con sus alrededores, como las "sumas" de ciertas funciones de flujo sobre la superficie del volumen de control. Solo se ocupan de los efectos globales sobre todo el sistema, y por eso son descripciones más gruesas y menos detalladas de los sistemas. Matemáticamente son más simples. En general, los balances macroscópicos conducen a ecuaciones diferenciales ordinarias con el tiempo como única variable. Si se trata de sistemas de flujo en estado estacionario, la complejidad se reduce a ecuaciones algebráicas. Dependiendo de la geometría, pueden involucrar integrales de área o volumen en múltiples variables espaciales. Los balances macroscópicos se llaman también " ecuaciones de diseño".

La integración o solución de los balances microscópicos, conducen a los balances macroscópicos. Por ejemplo, cuando el balance microscópico de energía mecánica se integra sobre un volumen de control de interés en ingeniería, se obtiene la ecuación de diseño conocida como "Ecuación de Bernoulli".La importancia de los balances es enorme. Se puede decir que son lo que marca la diferencia entre conocimiento de ingeniería bien fundamentado del empirismo bárbaro.Por un lado, tienen una importancia epistemológica, pues permiten entender qué es lo que sucede (relaciones entrada - salida y causa - efecto), qué magnitudes físicas intervienen en los fenómenos y su peso específico en operaciones y procesos. Esta comprensión permite proponer mejoras o entender escenarios de lo que sucedería si las condiciones cambiasen.

3.3 OBTENCIÓN DE PERFILES DE VELOCIDAD Y ESFUERZO CORTANTE EN UN FLUIDO CONTENIDO ENTRE PLACAS PLANAS

3.4 OBTENCIÓN DE PERFILES DE VELOCIDAD EN UN FLUIDO QUE SE TRANSPORTA POR EL INTERIOR DE UN TUBO

3.5 PROBLEMAS DIVERSOS DE TRANSPORTE DE UN FLUIDO EN REGIMEN LAMINAR TANTO CON FLUIDOS NEWTONIANOS COMO NO NEWTONIANOS...

3.6 INTRODUCCIÓN AL ESTADO DINAMICO3.7 DEDUCCION DE LAS ECUACIONES DE VARIACION: ECUACION DE CONTINUIDAD, BALANCES MICROSCOPICOS DE MOMENTUM, ECUACIONES DE NAVIER- STOKES. LEY DE NEWTON GENERALIZADA