Unidad 3 c2-control/DISCRETIZACION DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIA

27/03/2013

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DISCRETIZACIÓN DE FUNCIONES DE TRANSFERENCIAS

Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz

Se mostrarán distintos procedimientos

para obtener sistemas en tiempo

discreto que se comporten

aproximadamente igual que un sistema

en tiempo continuo dado. Esta

operación suele denominarse

discretización. El problema no tiene

solución exacta en general, aunque las

diferentes técnicas que se describirán

son de frecuente aplicación, si el

período de muestreo es pequeño.


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Están basadas en la idea de reconstruir la entrada con un retenedor. Resulta entonces una simulación exacta (invariante) para aquellas formas de la entrada que el retenedor reconstruya exactamente. Para discretizar la función de transferencia con este método, después del muestreador se coloca el retenedor, este puede ser unitario, de orden cero (ZOH) o primer orden (FOH), según corresponda.

A continuación se muestra cuatro procedimientos para obtener la discretización con estos métodos.


• Para discretizar por este método el

retenedor es unitario (Gh(s)=1), o

sea la función de transferencia es

muestreada directamente por los

trenes de impulso del muestreador,

en este caso la respuesta al

impulso permanece invariante.

También, se puede considerar como

discretizador la función de

transferencia con la Transformada Z

de forma directa.


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Delta de Kronecker o

Función Impulso

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata

De la figura

Discretizando, aplicamos la

Transformada Z, y conociendo

que Z[δ0(k)]=1, se obtiene,

Finalizando:


)]([)(

)()( sGZ

zU

zXzG

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1. G(z) preserva la respuesta al impulso de

G(s).

2. Si G(s) es estable G(z) también lo es.

3. No preserva la respuesta en frecuencia.

4. Las frecuencias transformadas en G(z) que

son múltiplos de la frecuencia de muestreo

pueden ocasionar aliasing.

5. Si G(s) es una función complicada se

requiere de expandir la función en

fracciones parciales.

6. Los polos en s se transforman mediante e Ts

=z . Pero no así los ceros, que dependen de

las fracciones parciales.


• Ejemplo: Obtenga la función de

transferencia impulso donde G(s) es:

• Solución : De la tabla de transformada se

puede obtener directamente esta forma:

Por lo tanto


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Para este método el retenedor empleado es

de orden cero (ZOH); este permite

conservar la respuesta al escalón de su

equivalente analógico.

Para encontrar la discretización se

sustituye el ZOH por su función de

transferencia continua y se discretiza

el conjunto de retenedor - planta. Una

forma alternativa, es igualar la

respuesta ante un escalón del sistema

analógico con la del discreto.




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• De la figura anterior:

• Discretizando se aplica la Transformada

Z, y se obtiene

• Finalmente


)(.)()(

)(

)(.)(1

)]([)(

1

*

zUs

sGZz

s

sGZzX

sUZsGs

eZsXZzX

Ts

1. Conserva la ganancia estática.

2. No preserva las respuestas al impulso y en frecuencia.

3. Preserva la respuesta al escalón.


5. Requiere G(s) sea expandida en fracciones parciales.

6. Los polos en s se transforman mediante e Ts =z. Pero no así los ceros, que dependen de las fracciones parciales.


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• Ejemplo: Obtenga la

Transformada Z de:

• Solución:


• En este método el retenedor empleado es el

de primer orden (FOH). Para lograr la

discretización se sustituye el FOH por su

función de transferencia continua y se

discretiza el conjunto de retenedor-planta.



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• De la gráfica anterior

• Discretizando aplicando la Transformada Z, se

obtiene,

• Finalmente



2. No preserva las respuestas al

impulso, escalón ni frecuencia.

3. Si G(s) es estable G(z) también lo

es.

4. Requiere G(s) sea expandida en

fracciones parciales.

5. Los polos en s se transforman mediante e Ts =z. Pero no así los

ceros, que dependen de las fracciones

parciales.


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Este método el retenedor empleado es el triangular, este permite conservar la respuesta a la rampa de su equivalente analógico. Para encontrar la discretización se iguala la respuesta ante una rampa del sistema analógico con la del discreto.

Sea la respuesta ante una rampa de una planta analógica:

Entonces la respuesta ante una rampa del sistema digital equivalente sería


)(1

)(2

sGs

sY

)()1(

)(2

zGz

TzzY

Igualando la respuesta en el tiempo

en los dos casos anteriores, se

obtiene:

Despejando G(z) obtenemos la función

de transferencia:


)()1(

)(1

22zG

z

TzsG

s

21

21

2

2 )()1()()1()(

s

sGZ

Tz

z

s

sGZ

Tz

zzG

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2. No preserva las respuestas al impulso, escalón ni frecuencia.

3. Preserva la respuesta a la rampa.


5. Requiere G(s) sea expandida en fracciones parciales.

6. Los polos en s se transforman mediante e Ts =z. Pero no así los ceros, que dependen de las fracciones parciales.


• 1) Obtenga la función de

transferencia impulso donde

G(s) es:

Solución :


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Continuando


Este método se basa en sustituir en G(s), la variable s, por una función racional en z. Son sencillas y flexibles de aplicar, en casi cualquier situación.

Los casos analizados serán:

1. Puede verse como una derivación (backward rule) o como una integración rectangular.

2. Puede verse como una derivación adelantada, no causal (forward rule) o como una integración rectangular retrasada.

3. Puede verse como una integración trapezoidal. Es la transformación bilineal. Se conoce también como regla de Tustin.


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Este método también se conoce como

aproximación de derivada como una

diferencia en atraso, reemplazando

la derivada de una función por:


Tomando la transformada

de Laplace de esta expresión

• Despejando a s:

• Y como z = esT , entonces:

• Por consiguiente


)(zG

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Como se puede

apreciar, esta

transformada

comprime la

región estable

del plano s en

una zona reducida


del plano z, lo cual ocasiona que la zona de

altas frecuencias del plano s no sean

mapeadas a la zona de altas frecuencias del

plano z.


Características de este método:

1. Los sistemas analógicos estables

siempre se convertirán en

equivalentes digitales estables. Si

G(s) es estable G(z) también lo es.

2. De hecho, algunos sistemas

analógicos inestables se

convertirán en digitales estables.

3. No requiere factorización de la

función de transferencia.


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Este método también se conoce como

aproximación de derivada como una

diferencia en adelanto o método de

Euler. Esta es una técnica que

aproxima la derivada de una función

de la siguiente forma:


Tomando la transformada de Laplace de

la ecuación anterior se obtiene

Despejando a s se obtiene

Y como z = esT , entonces:

Por consiguiente


T

zs

sGzG 1)()(

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Como se puede ver,

esta transformada

traslada el origen

del plano s a z= -

1, lo que ocasiona

que una función

estable en el plano

s, pueda comportarse

como inestable en el

plano z.



1. Algunos sistemas analógicos estables se convertirán en sistemas digitales inestables.

2. Los sistemas analógicos inestables también serán digitales inestables bajo esta conversión.

3. Una desventaja es que el contorno de frecuencia en el plano z no sigue el círculo unidad. Por lo tanto, la discretización por medio de diferencias hacia delante no es la mejor.

4. No requiere factorización de la función de transferencia.


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Este método aproxima numéricamente las

integrales, a diferencia de los dos

métodos anteriores donde lo que se

aproxima es la derivada. Se determina una

aproximación numérica para,

Debe recordarse que la integral definida de

una función, no es más que el área bajo

la curva


tf

o

dttxty )()(

Se aproximará el área bajo la curva

mediante una sumatoria de las áreas

individuales de una serie de

trapecios.

Entonces el área del trapecio k-ésimo

será:

De lo anterior, la integral de x(t)

se podría aproximar de la siguiente

forma


k

n

k

n

TnxnTxT

nTAkTyty11

))1(()(2

)()()(

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Ahora haciendo:


)])1(()([2

))1(()(

))1(()(2

))1((

)])1(()([2

))1(()(2

)(

1

1

1

1

TnxnTxT

TkykTy

TnxnTxT

Tky

TnxnTxT

TnxnTxT

kTy

k

n

k

n

Como:

Nos queda:

Tomando la transformada de Laplace de

la anterior expresión

Con lo que

Sabiendo que:

igualamos ambas expresiones


ssX

sY 1

)(

)(

)()(2

)()( 11 zXzzXT

zYzsY

1

1

1

1

2)(

)(

z

zT

zX

sY

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Obteniendo

Despejando a s:

Finalmente se obtiene:


1

1

1

1

2

1

z

zT

s

1

12

1

121

1

z

z

Tz

z

Ts

1

12)()(z

z

Ts

sGzG

Como se puede

apreciar en la

siguiente

figura, esta

transformada

comprime la

región estable

del plano s

dentro del

círculo

unitario del

plano z.


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1. Todos los sistemas analógicos estables se convertirán en equivalentes digitales estables.

2. Además, el eje jw del plano s se convierte en el círculo unidad del plano z.

3. No requiere factorización de la función de transferencia.

4. Preserva tanto la respuesta al impulso como la respuesta en frecuencia.

5. Crea una distorsión en la zona de altas frecuencias



No MÉTODO Ganancia

Simulaciones Invariantes

1.1 Respuesta invariante G(z)=Z[G(s)]

al impulso Ajustada

1.2 Repuesta invariante 𝐺 𝑧 =

𝑧−1

𝑧𝑍

𝐺(𝑠)

𝑠

al escalón

Igual

1.3 Repuesta de 𝐺 𝑧 =

𝑧−1 2

𝑧2 𝑍(𝑇𝑠+1)𝐺(𝑠)

𝑇𝑠2

Primer orden

Igual

1.4 Repuesta de 𝐺 𝑧 =

𝑧−1 2

𝑇𝑧𝑍

𝐺(𝑠)

𝑠2

Primer orden

Igual

II Discretización por aproximación

2.1 Diferencias finitas 𝑠 =

𝑧−1

𝑇

hacia adelante Igual

2.2 Diferencias finitas 𝑠 =

𝑧−1

𝑇𝑧

hacia atrás Igual

2.3 Transformación Bilinea 𝑠 =2

𝑇

𝑧−1

𝑧+1 Igual

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La integral es Igual a:

Al sustituir esT por z se obtiene

Al cambiara la notación de p por la

variable compleja s se obtiene:


• Si X(s) tiene polos s1, s2…sm ; y

s=sj es un polo simple se halla el

residuo:

• Si el polo s=si es un polo de orden

múltiple con orden ni se halla el

residuo:


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• Ejemplo 1: Obtenga la X(z) empleando

la Integral de convolución en el

semiplano izquierdo de:

• Solución: Observe que X(s) tiene 2

polos simples.

Un polo simple en -1 y un simple en -3.


)3)(1(

1)(

sssX


TT

TssTss

TssTss

ez

z

ez

zzX

ez

z

sez

z

szX

ez

z

ss

s

ez

z

ss

szX

3

31

31

)2(

1

)2(

1)(

)1(

1lim

)3(

1lim)(

)3)(1(

)3(lim

)3)(1(

)1(lim)(

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Cuya solución se desarrolla:


))((2)(

))((

)()(

2

1)(

3

3

3

3

TT

TT

TT

TT

ezez

eezzX

ezez

ezzezzzX

• Ejemplo 2: Obtenga la X(z) empleando la Integral de

convolución en el semiplano

izquierdo de:

• Solución: Observe que X(s) tiene 3 polos.

Un polo simple en -1 y un polo

múltiple de orden 2 en cero.


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La solución de la ecuación es:


)(zX

)(zX

• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.

• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto

• BIBLIOGRAFÍA WEB

• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición

• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering. Primera Edición.

• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición

• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición

• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.

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