1. UNIDAD 3.- DECISIONES BAJO CERTIDUMBRE Facilitadora: Ing. Alix Indriago Objetivo especfico 3.1- Alternativas de decisin relacionadas con funciones lineales matemticas

2. Que es un modelo matemtico? Es producto de la abstraccin de un sistema real, eliminando las complejidades y haciendo suposiciones pertinentes; se aplica una tcnica matemtica y se obtiene una representacin simblica del mismo. Variables de decisin y parmetros: Son incgnitas que deben ser determinadas a partir de la solucin del modelo. Los parmetros representan los valores conocidos del sistema o que se pueden controlar. Las variables de decisin se representan por: X1, X2, X3,, Xn Xi, i = 1, 2, 3,, n. Funcin objetivo: Es una relacin matemtica entre las variables de decisin, parmetros y una magnitud que representa el objetivo o producto del sistema. Es la medicin de la efectividad del Modelo formulado en funcin de las variables. Determina lo que se va optimizar (Maximizar o Minimizar). La solucin PTIMA se obtiene cuando el valor de la funcin objetivo es ptimo (valor mximo o mnimo), para un conjunto de valores factibles de las variables, es decir, hay que reemplazar las variables obtenidas X1, X2, X3,, Xn; en la Funcin Objetivo Z = f (C1X1, C2X2, C3X3,, CnXn) sujeto a las restricciones del modelo matemtico. Restricciones: Son relaciones entre las variables de decisin y los recursos disponibles. Las restricciones del modelo limitan el valor de las variables de decisin. Se generan cuando los recursos disponibles son 3. En el Modelo se incluye, adicionalmente de las restricciones, la Restriccin de No Negatividad de las Variables de decisin, o sea: Xi = 0. Ejemplo: Si una de las variables de decisin representa el nmero de obreros de un taller, el valor de esa variable no puede ser negativo. La programacin lineal es la interrelacin de los componentes de un sistema, en trminos matemticos, ya sea en forma de ecuaciones o inecuaciones lineales llamado Modelo de Programacin Lineal. Es una tcnica utilizada para desarrollar modelos matemticos, diseada para optimizar el uso de los recursos limitados en una empresa u organizacin. El Modelo de Programacin Lineal, es una representacin simblica de la realidad que se estudia, o del problema que se va a solucionar. Se forma con expresiones de lgicas matemticas, conteniendo trminos que significan contribuciones: a la utilidad (con mximo) o al costo (con mnimo) en la Funcin Objetivo del modelo. Y al consumo de recursos disponibles (con desigualdades = = e igualdades =) en las restricciones. A continuacin se desarrollarn Modelos Matemticos de Programacin Lineal de: Maximizacin y Minimizacin, los cuales estarn indicados en la Funcin Objetivo del Modelo. Modelo de Maximizacin Cuando se desea maximizar o incrementar las: Utilidades, produccin, ventas, b eneficios, rentabilidad, publicida d, entre otros Modelo de Minimizacin Cuando se desea minimizar o disminuir los: Costos, prdidas, paradas, des perdicios, distancias, tiempos inoperativos, entre otros. 4. Modelo Matemtico de Programacin Lineal con dos variables y una restriccin) Ejemplo 1: Una fbrica produce dos tipos de productos: P1 (producto 1) y P2 (producto 2), los costos de produccin de ambos productos son Bs. 3 para el producto 1 y Bs.5 para el producto 2. El tiempo total de produccin est restringido a 500 horas; y los tiempos de produccin son de 8 horas/unidad para el producto P1 y de 4 horas/unidad para el producto P2. Formular el Modelo matemtico que permita determinar la cantidad de productos P1 y P2 a producir, y que optimice el Costo total de produccin de los dos productos. Representar el problema de forma grfica o esquemtica. Productos P1 P2 Proceso 8 HRA/UNIDAD 4 HRA/UNIDAD Costo de produccin Bs. 3 Bs. 5 Disponibilida d de tiempo 500 hras. 5. Definicin de Variables Se desea formular un modelo matemtico para determinar la cantidad que debe producirse por cada producto (P1 y P2), por lo tanto tendremos dos variables, representados por: X1 , X2 Siendo: x1 = Cantidad a producirse del producto P1, x2 = Cantidad a producirse del producto P2 Funcin Objetivo Como se tiene informacin de Costos de produccin de los productos P1 y P2, el objetivo ser minimizarlos: Costo total de produccin de P1 = (Costo unitario del producto P1) * (Cantidad a producirse del producto P1) Costo total de produccin de P1 = (Bs. 3 Unidad) * (X1 Unidades) Costo total de produccin de P1 = 3 X1 Bs. Costo total de produccin de P2 = (Costo unitario del producto P2) * (Cantidad a producirse del producto P2) Costo total de produccin de P2 = (Bs. 5 Unidad) * (X2 Unidades) Costo total de produccin de P2 = 5 X2 Bs. Luego la Funcin Objetivo ser Minimizar "C" igual al Costo total de produccin del producto P1 ms el Costo total de produccin del producto P2. Matemticamente la Funcin Objetivo es: 6. Definicin de Restricciones El tipo de recurso en el problema es el tiempo (puede ser horas hombre u horas mquina). Formulamos la restriccin, colocando en el lado izquierdo de la inecuacin el consumo unitario de los productos P1 y P2, y en el lado derecho la cantidad disponible del recurso (500 horas). 8 hr/Unid X1 4 hr/Unid X2 Horas disponibles(t unitario prod P1) (Cant. prod. P1) + (t unitario prod. P2) (Cant. prod. P2) 500 Matemticamente la restriccin es: Condicin de No negatividad: 0 y 0; i= 1, 2 Modelo matemtico de Programacin Lineal del Problema (modelo con dos variables y una restriccin, estando listo para aplicar un mtodo de solucin: Minimizar : C = 3 5 Sujeto a: Funcin objetivo Restriccin No negatividad , 0; 7. Modelo Matemtico de Programacin Lineal con dos variables y dos restricciones) Ejemplo 2: Un empresario tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio, y quiere fabricar dos modelos de bicicletas: bicicletas de paseo y bicicletas de montaa, para venderlas en el mercado mercado a Bs. 200 y Bs. 150 respectivamente cada modelo, a fin de obtener el mximo beneficio. Para la bicicleta de paseo emplear 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para la bicicleta de montaa usar 2 kg de ambos metales. Formular el modelo matemtico de programacin lineal, que permita determinar la cantidad ptima de bicicletas a producir, para obtener el mayor beneficio econmico. Proceso 1 Proceso 2 Bicicleta paseo Bicicleta de montaa 1kg/unid 3kg/unid 2kg/unid 2kg/unid Acero Aluminio 80 kg 120 kg Disponibilidad Precio de venta Bs. 200 Precio de venta Bs. 150 8. Definicin de Variables Se desea determinar la cantidad de bicicletas a producir por cada modelo (paseo y montaa), por lo tanto tendremos dos variables, representados por: X1 , X2 Siendo: x1 = Cantidad de bicicletas de paseo a fabricar x2 = Cantidad de bicicletas montaeras a fabricar Funcin Objetivo El objetivo del problema es maximizar los beneficios econmicos totales (Z) de los modelos de bicicletas que fabricar el empresario. Precio de venta de la bicicleta de paseo = Bs. 200 Precio de venta de la bicicleta de montaa = Bs. 150 Beneficio econmico = Precio de venta unitario x cantidad a fabricar Beneficio econmico total de bicicleta de paseo = 200 x1 Beneficio econmico total de bicicleta de montaa = 150 x2 Luego la Funcin objetivo ser: Maximizar: Z = 200 x1 + 150 x2 Definicin de Restricciones Elaboramos una tabla de materia prima consumida (Acero y Aluminio) por cada modelo de bicicleta (paseo y montaa) y su disponibilidad: Modelo de bicicleta Acero Aluminio Paseo 1 kg. 3 kg. Montaa 2 kg. 2 kg. Disponibilidad de materia prima 80 kg. 120 kg. 9. Restriccin del consumo de Acero en la fabricacin de bicicletas: 1 X1 + 2 X2 < 80 Restriccin del consumo de Aluminio en la fabricacin de bicicletas: 3 X1 + 2 X2 < 120 Condicin de no negatividad: La produccin de cada modelo de las bicicletas pueden ser cero (0) o mayor que cero, o sea: X1, X2 = 0 Modelo de bicicleta Acero Aluminio Paseo 1 kg. 3 kg. Montaa 2 kg. 2 kg. Disponibilidad de materia prima 80 kg. 120 kg. Consumo unitario Disponibilidad Modelo matemtico de Programacin Lineal del Problema (modelo con dos variables y dos restricciones, estando listo para aplicar un mtodo de solucin: Minimizar : Z = 200 150 Sujeto a: 1 2 803 2 120 , 0 Mtodo de: Igualacin, reduccin, sustitucin, mtodo de Gauss, matriz inversa, cramer. 10. Caso de Toma de Decisiones Ejemplo 3: Empleando los datos del Ejemplo 2), si el empresario por restriccin econmica decide hacer solo un modelo de bicicleta. Cul modelo debe elegir? Por qu? Las alternativas de fabricacin se desarrollan en las restricciones del Modelo matemtico; y la toma de decisiones se determina evaluando en la Funcin objetivo las alternativas obtenidas. La decisin a tomar, por restriccin econmica, es producir un solo modelo de bicicleta que genere mayor beneficio al empresario. Luego desarrollamos las alternativas evaluando en las restricciones del modelo: Alternativa 1: Slo producir bicicletas de paseo Alternativa 2: Slo producir bicicletas de montaa Restricciones Sujeto a: 1 2 80 3 2 120 , 0 3 2 (0) 120 Sustituir 1 2 (0) 80 1= 80 = 40 Min (80, 40) mnimo de los valores obtenidos, es decir, = 40 Alternativa 1 Minimizar : Z = 200 150 Sustituir Z = 200 (40) 150 (0) Z = 8.000 11. Z = 6.000 Restricciones Sujeto a: 1 2 80 3 2 120 , 0 3(0) 2 120 Sustituir 1(0) 2 80 2= 40 2 = 60 Min (40, 60) mnimo de los valores obtenidos, es decir, 2 = 40 Alternativa 2 Minimizar : Z = 200 150 Sustituir Z = 200 (0) 150 (40) Toma de decisiones: Como la Funcin objetivo es MAXIMIZAR el beneficio econmico, generado por las ventas, tomamos la decisin de fabricar solo bicicletas de paseo, por ser el modelo que va generar mayor ganancia, equivalente a Bs/ 8.000. Observacin: Con ello se demostr la importancia de formular un modelo matemtico adecuado, ya que un error en la formulacin del Modelo, nos puede llevar a tomar una decisin equivocada que puede generar graves consecuencias para la