Unidad III.- Estadística descriptivadescriptiva

Ricardo Ruiz de Adana Pérez

Conceptos de estadística

• N Población .- Conjunto de individuos u objetos sobre los cuales se desea conocer el comportamiento de las características de interés. Se utiliza la letra N para designar el numero de elementos de la población.elementos de la población.

• n Muestra .- Subconjunto o parte de la población sobre los que realizamos realmente las mediciones con la idea de obtener conclusiones que se generalizan a la población. Se utiliza la letra n para designar el numero de elementos de la muestra (p. ej., n = 56).

Conceptos de estadística• Variable .- Característica que deseamos

conocer de un población.• Datos .- Valores de las variables que

medimos.medimos.• Muestreo .- Técnicas estadísticas que

permiten proporcionar una muestra representativa de la población y conocer el numero de elementos que tenemos que estudiar.

Conceptos de estadística• Parámetro .- Medida que resume los datos obtenidos

sobre el conjunto de la población. Ejem: Media (µ), Desviación típica (σ)

• Estadístico .- Medida que resume los datos obtenidos sobre los elementos de una muestra. obtenidos sobre los elementos de una muestra. Ejem: Media (X), Desviación típica (S)

• Estimador .- Cuando un estadístico se utiliza para aproximarnos al valor de un parámetro, se le llama Estimador.

Población Conjunto de individuos u objetos sobre el que se desea conocer

una/s característica/s

InferenciaMuestreo

MuestraSubconjunto de individuos u objetos realmente estudiados

InferenciaMuestreo

Tipo de variables• Cualitativas.

– Miden una característica o “cualidad” que no se pueden representar numéricamente. (sexo, estado civil, profesión, nivel de estudios).

– Si solo tiene dos posibles valores se denominan – Si solo tiene dos posibles valores se denominan dicotómicas.

Tipo de variables cualitativas

• Nominal: Los datos se ajustan a categorías que no tienen relación de orden entre sí (el sexo, la profesión el estado civil, presencia o no de una patología).

• Ordinal: Existe una jerarquía, una relación de orden entre las categorías (nivel de estudios, grado de satisfacción: mucho, normal, poco).

Tipo de variables• Cuantitativas.

– Son aquellas cuyos valores pueden ser expresados numéricamente y esta numeración no es una simple codificación, sino que existe una correspondencia entre el valor de la variable y la correspondencia entre el valor de la variable y la representación numérica de la misma.

Tipo de variables cuantitativas• Discretas: entre dos valores consecutivos no

podemos encontrar ningún otro valor (nº finito de valores: números naturales/enteros). Ej.: nª de hijos.

• Continuas: entre dos valores consecutivos • Continuas: entre dos valores consecutivos hay un número infinito de valores (números reales). Ej.: peso, talla.

�Una variable cuantitativa debiera ser recogida como norma como cuantitativa, ya que aporta más información. Posteriormente pueden hacerse las categorizaciones o recodificaciones deseadas recodificaciones deseadas

Descripción variables cualitativas

a)Frecuencia absoluta (fa) (Fa): número de veces que se ha observado el valor de cada categoría de la variable.

b)Frecuencia relativa (fr) (Fr): es la frecuencia b)Frecuencia relativa (fr) (Fr): es la frecuencia absoluta dividida por el número de casos estudiados (n) (N). Es sinónimo de probabilidad, y se expresa como proporción (x 100) o tanto por uno.

fr = fa / n Porcentaje = fr x 100

• EJEMPLO .- En un servicio de traumatología con objeto de realizar una correcta planificación, interesa saber la localización de la patología en una muestra de 186 pacientes atendidos durante los últimos seis meses n=186

• La variable de interés es la zona afectada, es una variable cualitativa dividida en 5 modalidades (rodilla, cadera, tobillo, cráneo, otras).cadera, tobillo, cráneo, otras).ZONA AFECTADA fa fr %RODILLA 30 0.161 16.1CADERA 28 0.151 15.1TOBILLO 41 0.220 22.0CRÁNEO 34 0.183 18.3OTRAS 53 0.285 28.5TOTAL Σfa=186 Σfr=1

Medidas descriptivas variables cuantitativas

� TENDENCIA CENTRAL

-MEDIA -MEDIANA -MODA

� DISPERSIÓN

-RANGO O AMPLITUD -VARIANZA -DESVIACIÓN ESTÁNDAR -COEFICIENTE DE VARIACIÓN -PERCENTILES

� FORMA

-COEFICIENTE DE ASIMETRÍA -COEFICIENTE DE KURTOSIS

Media aritmética• Aquel valor que es “promedio” de todos los valores

de la variable, representa el centro de gravedad de la distribución.

• La media aritmética de los datos es la suma de los valores de una variable dividido por el número total valores de una variable dividido por el número total de datos. X=Σxi/n

• Debe distinguirse entre la media obtenida en una muestra (X) o (M) y la autentica media poblacional (µ).

• Ejem.:La media aritmética de los datos siguientes: 2, 4, 6, 8, 9. es:X=Σxi/n =(2+4+6+8+9)/5 =29/5 = 5.8

Media aritmética

• Es una buena medida de tendencia central porque fluctúa menos entre varias muestras de la misma población que la mediana o la moda.moda.

• Sus inconvenientes: – Resulta poco representativa cuando existen

valores extremos. En estos casos se recomienda usar la MEDIANA que aporta información mas fiable.

– No se debería utilizar en variables cualitativas nominales ni ordinales.

Mediana

• La mediana de un conjunto de n datos ordenados es el valor central.

• La mediana divide a un conjunto de datos ordenados en dos partes iguales datos ordenados en dos partes iguales en cuanto al numero de datos.

• EJEMPLO.- Calcular la mediana de los conjuntos de datos siguientes : – 2, 4, 6, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20.

• El conjunto de datos anterior tiene un número impar de datos y el número total de datos es 11 por lo tanto la mediana es el valor central es decir el sexto Md=10.

– 3, 6, 8, 12, 17, 28, 32, 34. • El conjunto de datos anterior consta de 8 datos es par

por lo tanto la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales Md=(12+17)/2=14.5.

Moda• Es aquel valor de la variable que mas

frecuentemente se repite en la serie estadística.

• Según la moda, las distribuciones de las variables se pueden clasificar en las variables se pueden clasificar en unimodales y multimodales (bimodales, trimodales, etc).

• En el caso particular de las variables continuas se habla de intervalo modal.

Medidas de dispersión

• Aportan información de la variabilidad de los valores de la variable.

Rango, amplitud o recorrido

• Es la diferencia entre el valor máximo y el valor mínimo de los datos observados.– Rango=Máximo-Mínimo – Rango=Máximo-Mínimo

• Nos informa sobre la amplitud del recorrido observado de la variable.

Rango o amplitud o recorrido

• EJEMPLO.- La medida de la presión arterial sistólica en mm de mercurio, sobre un grupo de pacientes arroja los siguientes resultados:

• 120,135, 160, 100, 155, 115, 165, 125, 130.• Calcular el Rango.• Máximo=165; Mínimo=100; Rango=165-

100=65.• Esto nos indica que en un intervalo de 65 mm

de mercurio están todos los valores medidos.

Desviación media

• Es la media aritmética de las diferencias en valores absolutos de todos los datos respecto a la media todos los datos respecto a la media aritmética . – DM=Σ(xi-X)/n

Desviación media

• EJEMPLO.- Las tallas en cm de un grupo de personas se detallan a continuación: 180, 165, 160, 175.

• Calcular la desviación media.– X=(180+165+160+175)/4 =170.– X=(180+165+160+175)/4 =170.– Dm= Σ (Xi-X)/n =[ (180-170)+(165-170)+(160-170)+(175-

170)]/4– Dm= (10+5+10+5)/4 =7.5.

• Se utilizan valores absolutos, ya que si no fuera así, las diferencias se contrarrestarían y seria cero

Varianza• Otra manera de eliminar la anulación del

resultado en la formula Σ(xi-X)/n es elevando (xi-X) al cuadrado. Σ(xi-X)2/n.

• En caso de que nos refiramos a la varianza poblacional la representaremos por: poblacional la representaremos por: σ2= Σ(xi- µ)2/N

• La varianza muestral la representaremos por: S2= Σ(xi-X)2/n-1

Varianza

• La varianza representa unidades cuadráticas, por tanto NO es adecuada cuando se quiere expresar la dispersión cuando se quiere expresar la dispersión en unidades originales

Desviación típica o estándar

• La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza.

2óó =

2SS =

Desviación típica o estándar

• El objetivo de la desviación estándar es volver a unidades originales.

• Son las medidas de dispersión más informativas, pues se basan en todas las observaciones, teniendo pues se basan en todas las observaciones, teniendo en cuenta el valor de cada una.

• Están muy influidas por valores extremos. En estos casos, aportan mejor información los percentiles.

• Se utilizan ampliamente a causa de las propiedades de la curva normal de Gaus, y por la importancia de la varianza en la estadística inferencial

Propiedades de la curva normalen la distribución de una variable

en una población

• Una variable con distribución normal:

• µ ± 1σ incluye el 68% de las observaciones.

• µ ± 2σ incluye el 95 % de los datos (exactamente es 1,96 en vez de 2, como se verá en temas posteriores).

µ ± 3σ incluye prácticamente el 100%.

Propiedades de la curva normalen la distribución de una variable

en una muestra• También en una muestra que se distribuya

normalmente se cumplen las siguientes propiedades:normalmente se cumplen las siguientes propiedades:

– X ± 1 S incluye el 68% de las observaciones.– X ± 2 S incluye el 95 % de los datos (exactamente es 1,96

en vez de 2, como se verá en temas posteriores).– X ± 3 S incluye prácticamente el 100%.

Ejemplo

• En una población con media de 40 años y desviación estándar de 10 años, aunque no sepamos su distribución, podemos afirmar que:

• -Entre 30 y 50 años (40±1 x 10) se encuentra • -Entre 30 y 50 años (40±1 x 10) se encuentra aproximadamente el 68% de la población,

• -Entre 20 y 60 (40±2 x 10) años se encuentra aproximadamente el 95% de la población, y

• -Entre 10 y 70 (40±3 x 10) años se encuentra prácticamente toda la población.

Resumen• Para las variables cuantitativas, la

información obtenida de una muestra se resume mediante:– Tamaño de la muestra.– La media aritmética.– La media aritmética.– La desviación típica.

• Para las variables cualitativas, la información obtenida de una muestra se resume mediante:– Tamaño de la muestra.– Frecuencia relativa.

Percentiles: medida de posición • El percentil es el valor que deja por debajo de sí un

determinado porcentaje de las observaciones, estando estas ordenadas de menor a mayor, es decir, el percentil 20 corresponde al valor que deja por debajo al 20% de los datos.

• A los percentiles 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 se les • A los percentiles 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 se les llama DECILES.

• A los percentiles 25, 50, 75 se les llama CUARTILES.• La mediana es el percentil 50• A la distancia entre los cuartiles 25 y 75 se le llama

INTERVALO INTERQUARTÍLICO.

Resumen

• Los valores muy alejados de la media tienen mucho peso en los cálculos tanto de la media como de la desviación estándar. A estos valores "extraños" se les suele llamar valores valores "extraños" se les suele llamar valores extremos "Outliers“.

• Una de las formas que hay para definir cuando un valor es un extremo, es considerarlo cuando está alejado más de 3 S de la media, es decir, por fuera del intervalo X± 3 S

Resumen

• Cuando la distribución contiene valoresextremos se recomienda utilizar, para resumirlos datos de la misma, la mediana y elintervalo interquartílico.intervalo interquartílico.

Representaciones gráficas

• Diagrama de barras• Histograma• Sectores circulares (tarta)• Polígono de frecuencias• Polígono de frecuencias• Diagrama de dispersión• Diagrama de cajas

Diagrama de barras• En el eje de las x se colocan

los valores de las variables y en el eje de las y las frecuencias absolutas o relativas.

• Adecuado para variables 1500

2000

2500

• Adecuado para variables cualitativas.

• Cuando se utiliza el diagrama de barras para comparar dos variables cualitativas de dos poblaciones diferentes, se debe utilizar las frecuencias relativas.

0

500

1000

grupo A Grupo B Grupo C Grupo D

Distribución de sujetos de estudio por grupos

Histograma

• Es un diagrama de barras en el que las barras están unidas

• Es la representación gráfica más utilizada• En el eje de las x se colocan los valores de las variables

y en el de las y las frecuencias absolutas o relativas• Es el más adecuado para variables cuantitativas y • Es el más adecuado para variables cuantitativas y

cualitativas ordinales.

Histograma

• Números de metástasis en los sujetos incluidos en el estudio

200

número de metástasiss

4.03.02.01.00.0

100

0

Desv. típ. = 1.08

Media = 1.5

N = 393.00

Sectores circulares (tarta)

• Se trata de un círculo en el que a cada clase o categoría de la variable se le asigna un sector proporcional a su frecuencia absoluta o relativa. frecuencia absoluta o relativa.

• No resulta adecuada cuando las variables tiene muchas categorías ( Ideal para 3 – 5 categorías)

Sectores circulares (tarta)

hombre

mujermujer

Distribución de sexos en un estudio

Polígono de frecuencias

• Se realiza a partir del histograma, buscando el punto medio (marca de clase) de la parte superior de los intervalos de clase. clase.

Polígono de frecuencias

200

100

número de metástasiss

43210Omitido

Fre

cuen

cia

100

0

Diagrama de dispersión

• Nos permite comprobar gráficamente si existe correlación entre dos variables cuantitativas. Se confrontan en el eje horizontal una variable (x) y en el vertical horizontal una variable (x) y en el vertical la otra (y).

Diagrama de dispersión

•

Diagrama de dispersión entre la talla y el peso de una muestra de individuos

Diagrama de caja y bigotes

• Supone un resumen de cinco parámetros importantes de las variables cuantitativas: la mediana (valor central de la serie), el primer y el tercer cuartil (los cuartiles delimitan los borde de la caja), los valores mínimo máximo no de la caja), los valores mínimo máximo no atípicos (delimitan los bigotes)

• Valores atípicos: Q1-1,5*RIC o Q3+1,5*RIC (amplitud recorrido intercuartilico)

• Valores extremos: Q1-3*RIC o Q3+3RIC

Diagrama de caja

Descripción de la edad en los sujetos de estudio

Medidas de forma

• Coeficiente de asimetría

• Coeficiente de curtosis• Coeficiente de curtosis

Medidas de forma

• Coeficiente de asimetría.- Nos informa si las colas de la curva asociadas a los datos son mas alargadas hacia alguno de los lados

• Si V= 0 curva simétrica• Si V= 0 curva simétrica• Si V< 0 curva asimetría hacia la izquierda• Si V> 0 curva asimetría a la derecha

Medidas de forma

• Coeficiente de curtosis.- Nos informa del grado de apuntamiento de la curva

• Si Ѓ = 0 curva mesocurtica• Si Ѓ < 0 planicurtica (aplanada)• Si Ѓ < 0 planicurtica (aplanada)• Si Ѓ > 0 leptocurtica (estilizada)