UNIDAD 3 - gc.scalahed.com operacio… · Unidad 3 92 3.1. Definición de modelo de programación...

UNIDAD 3

PROGRAMACIÓN LINEAL

lineal.

de problemas de mezclas, planeación de la producción, de dieta y de asignación.

Investigación de operaciones

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Introducción

Como se mencionó en la unidad 1, a partir de la Segunda Guerra Mundial se inician las primeras aplicaciones de los modelos matemáticos a la solución de problemas prácticos como: la

asignación óptima de alimentos y pertrechos militares para las tropas, la util ización ef iciente del radar en los sistemas de defensa, el mejor aprovechamiento de la capacidad instalada en las fábricas de armamento, y muchas otras aplicaciones de logística, distribución y asignación de recursos.

Posteriormente, ya en la posguerra, la Industria del Acero en Inglaterra, las líneas aéreas en Estados Unidos, las empresas de construcción que desarrollaban grandes y complejos proyectos, encontraron en los procedimientos de la investigación de operaciones (I. O.), una poderosa herramienta que permitía hacer más ef iciente la ejecución de sus tareas.

Dentro de las muchas técnicas que contempla la I. de O., se puede incluir la programación l ineal. Su propósito fundamental es determinar los valores de las variables asociadas al problema, para que una función objetivo alcance su valor óptimo.

En esta unidad, analizaremos los elementos constitutivos de un modelo de programación lineal, sus distintas y amplísimas posibilidades de aplicación a situaciones prácticas, así como la forma matemática que adoptan en su planteamiento. Asimismo, se construirán modelos asociados a:

Problemas de mezclas.Planeación de la producción.Problemas de dieta.Problemas de asignación.

Unidad 3

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3.1. Definición de modelo deprogramación lineal

Un proceso productivo, en su forma más general, puede ser analizado como un conjunto secuenciado de actividades que tienen como propósito combinar y transformar ciertos insumos, para obtener uno o varios tipos de productos terminados.

Recordemos que la forma en que se establece la secuencia de las actividades, generalmente está dada por las condiciones tecnológicas del proceso productivo. A continuación se presenta un diagrama de la situación que se describe:

Figura 3.1. Diagrama de un proceso productivo.

Además de los insumos (materia prima, mano de obra, energía, etc.), se requieren también de ciertos activos f ijos como: instalaciones f ísicas, maquinaria, almacenes y equipos en general. Estos activos determinan cierta capacidad instalada que no puede ser modif icada de manera instantánea, a menos que se hagan inversiones y ampliaciones, las cuales usualmente requieren de una inversión adicional y de tiempo suficiente para poderlas efectuar.

Ante las limitaciones de capacidad instalada y muchas otras restricciones dentro de las cuales opera una empresa (como restricciones legales, f iscales, ecológicas, sociales, etc.), el propietario o responsable de la


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operación de la empresa buscará obtener el mayor provecho de los recursos con los que dispone, esto es, buscará alcanzar niveles de producción con los que maximice su beneficio.

Es importante mencionar que en la práctica los procesos productivos pueden ser muy complejos, con una gran diversidad de productos y con la combinación de muchos insumos. Sin embargo, la complejidad de dichos procesos no inf luye para que éstos puedan ser analizados desde la perspectiva de la I. O.

Supongamos que una empresa produce n productos (donde n puede ser cualquier número entero positivo) por medio de un proceso productivo que consta de m etapas (donde m también debe ser un número entero y positivo). Si partimos del supuesto que la demanda es i limitada y, por lo tanto, el fabricante vende todo lo que produce, así como que cada uno de los productos que elabora, tiene su propia contribución a las uti lidades: c1, c2, ..., cn, ¿cuánto debe fabricar de cada producto para que los ingresos sean máximos?

Si representamos por: x1, x2, ..., xn las cantidades por producir para cada uno de los n productos distintos, entonces la función de ingresos del fabricante está dada por:

Z = c1 x1 + c2 x2 + ... + cn xn

El análisis de transformación lo podemos realizar a partir del diagrama siguiente:

Figura 3.2. Diagrama de bloques del proceso.

Unidad 3

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El producto 1 al pasar por la etapa 1 consume a11 unidades del recurso 1; al pasar por la etapa 2 requiere de a12 unidades del recurso 2 y así sucesivamente, el producto 1 al pasar por la etapa m-ésima requiere a1 m unidades del recurso m-ésimo.

De forma similar, el producto 2 al pasar por la etapa 1 consume a21 unidades del recurso 1, al pasar por la etapa 2 requiere de a22 unidades del recurso 2 y así sucesivamente, el producto 1 al pasar por la etapa m-ésima requiere a2 m unidades del recurso m-ésimo.

En general, el término ai j representa la cantidad del recurso j-ésimo que requiere en la etapa j-ésima del proceso, cada unidad de producto i-ésimo, donde:

1 i n y 1 j m

Como los recursos son limitados, las restricciones serán válidas tanto para las personas como para las empresas. Si denotamos por: b1, b2, ..., bm las disponibilidades máximas de cada uno de los recursos de las m etapas del proceso productivo, entonces debemos reconocer que el número de unidades producidas de cada tipo de bien deberá estar limitado por la disponibilidad máxima de los recursos que se requieren para la producción total. Esta condición expresada matemáticamente toma la forma de un conjunto de m desigualdades con n variables:

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn b1

a21 x1 + a22 x2 + ... + a2n xn b 2

am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn bm

Una restricción adicional al conjunto de desigualdades es la condición de no negatividad. Esto signif ica que las variables xi con i = 1, 2, ..., n, siempre deberán tomar un valor positivo o cero; es decir: xi 0, con i = 1, 2, ... n.


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Reuniendo los tres elementos descritos anteriormente:

a = la función objetivo que se desea optimizar.b = el conjunto de restricciones a las que está sujeta la función

objetivo. c = la condición de no negatividad.

El planteamiento matemático del problema general de la programación l ineal es:

Z c x c x c x

a x a x a x b

a x a x

n n

n n

m x

...

.

á 1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 ...

...

, , ,

a x b

a x a x a x b

x x x

n n

m m mn n m

n

2 2

1 1 2 2

1 20 0 0

Observa que al referirse la función objetivo a ingresos, lo que se busca es su maximización y si el planteamiento del problema incluyera costos como función objetivo, entonces se buscaría su minimización. Esto quiere decir que en un modelo de programación l ineal se puede buscar tanto la maximización, como la minimización de la función objetivo.

Un hecho también importante es que en el planteamiento general del problema de programación l ineal las restricciones pueden estar combinadas. Para un mismo problema, algunas de ellas pueden ser de la forma , otras de la forma y otras como igualdades estrictas =.

Un ejemplo sería:

Z c x c x c x

a x a x a x b

a x a x

n n

n n

m n

...

.

í 1 1 2 2

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 ...

...

, , ,

a x b

a x a x a x b

x x x

n n

m m mn n m

n

2 2

1 1 2 2

1 20 0 0

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Finalmente, diremos que un modelo de programación lineal es aquel que para su solución necesita estar planteado de una manera similar a la que se describe en los dos casos anteriores; consta de un propósito de optimización (maximizar o minimizar), una función objetivo, un conjunto de restricciones más la condición de no negatividad.

3.2. Usos y aplicaciones de la programación lineal

Son muchas y muy variadas las posibles aplicaciones de la programación lineal. En esta sección se mostrarán algunas de ellas, específ icamente, los modelos que surgen como respuesta a situaciones problemáticas como:

Problemas de mezclas.Planeación de la producción.El problema de dieta.Problemas de asignación.

3.2.1. Modelo para mezcla de productos

Este tipo de modelos se identif ican con situaciones como la siguiente: Se desea obtener cierto producto que es elaborado a partir de una mezcla de n ingredientes; por ejemplo, el cemento se obtiene a parti r de la mezcla de sil icato tricálcico, aluminato tircálcico, sil icato dicálcico y yeso.

Un fabricante que actúe racionalmente tratará de mezclar sustancias que tengan un alto contenido de los ingredientes requeridos; sin embargo, buscará que los costos de cada una de estas sustancias sean lo más reducidos.

Mediante la programación lineal podemos construir un modelo representativo de la situación antes descrita y que nos permita obtener una solución que cumpla con todas las condiciones que se necesitan imponer y que a la vez sea óptima.


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Ejemplo 1

Un ingeniero desea obtener un tipo particular de bronce. Las especif icaciones técnicas de este material requieren que tenga 30% de estaño y 70% de cobre.

Para hacer el metal se requiere mezclar cualesquiera de tres aleaciones. Cada una de ellas con distintas proporciones de estaño y cobre, y también con distintos precios, como se muestra en la tabla siguiente:

El propósito es obtener una mezcla a partir de estas tres aleaciones que cumpla con los requerimientos técnicos en cuanto a porcentajes de estaño y cobre y que, además, se obtenga a costo mínimo.

Si denotamos por x1 la cantidad en kg de la aleación número 1; x2 la cantidad en kg de la aleación 2 y, f inalmente, x3 como la cantidad en kg de la aleación número 3, entonces el costo mínimo de producción de la mezcla está dada por la expresión:

Z x x xmín 5 10 71 2 3

Por lo que a las restricciones se ref iere, tenemos: La mezcla a partes iguales de las tres aleaciones está dada por x1 + x2 + x3; entonces, la cantidad de estaño de la mezcla está dada por 0 10 0 50 0 801 2 3. . .x x x ; a su vez, la cantidad de cobre contenida en esa mezcla es igual a 0 90 0 50 0 201 2 3. . .x x x .

Como la cantidad de estaño debe ser 30% del total de la mezcla, entonces esta restricción se expresa matemáticamente como:

Unidad 3

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0 10 0 50 0 800 301 2 3

1 2 3

. . ..

x x xx x x

Por un razonamiento similar, la mezcla también debe cumplir la restricción en cuanto a la proporción que debe contener de cobre:

0 90 0 50 0 200 701 2 3

1 2 3

. . ..

x x xx x x

Tomando estas dos igualdades y simplif icando términos, las restricciones adoptan la forma:

0 20 0 20 0 50 0

0 20 0 20 0 50 01 2 3

1 2 3

. . .

. . .

x x x

x x x

Puesto que las variables: x1, x2 y x3 representan proporciones a mezclar de cada una de las aleaciones, entonces se espera que estas variables tomen valores positivos o iguales a cero. Alguna de estas variables sería cero, para el caso en el que una de las aleaciones no se incluyera en la mezcla. Por lo anterior, podemos decir que las variables cumplen con las restricciones de no negatividad, esto es: x1, x2, x3 0. Reuniendo las expresiones desarrolladas, el problema planteado es:

íZ x x x

x xm n

: . .

5 10 7

0 20 0 201 2 3

1 2 s. a. 0 50 0

0 20 0 20 0 50 03

1 2 3

.

. . .

x

x x x

x x x1 2 3 0, ,

Ejercicio 1

Obtener el modelo de programación l ineal asociado a los siguientes problemas.

1. Un ingeniero metalúrgico desea fabricar una tonelada de acero con una mezcla 20% de carbón y 80% de f ierro. Para esto, él puede obtener material ferroso de cualquiera de tres minas, sólo que de cada una de ellas se puede extraer material con características propias de la mina de la que se obtiene:


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Si el costo de extracción por kg para cada una de las minas es de $ 30, $ 40 y $ 25 respectivamente, ¿qué cantidad se debe extraer de cada mina, de tal forma que el acero producido cumpla con las especif icaciones y su costo sea mínimo?

2. Un ingeniero químico desea obtener dos litros de ácido clorhídrico con una concentración de 20%. Por la peligrosidad del producto, en el laboratorio sólo se tiene ácido clorhídrico en solución acuosa a 10%, 40%, 50% y a 70%. Si el precio por l itro de cada una de estas soluciones es de $ 20, $ 15, $ 45 y $ 100, respectivamente, ¿qué combinación de soluciones es la que cumple con las especif icaciones de concentración y minimiza el costo de elaboración?

Nota: Supongamos que la disponibilidad de las cuatro soluciones es il imitada.

3.2.2. Modelo para planeación de producción

Todo proceso productivo enfrenta el problema de lograr el máximo aprovechamiento de los recursos con los que se cuenta. Sin embargo, la mano de obra es limitada, y lo mismo sucede con la capacidad instalada, la materia prima y todo lo demás que se requiere para alcanzar el nivel de producción deseado.

Determinar el plan de producción óptimo equivale a encontrar la combinación y los volúmenes a producir de cada uno de los bienes, de tal forma que se garantice la obtención de mejores ganancias. Con el propósito de ampliar estas ideas, a continuación se presenta un ejemplo:

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Ejemplo 2

La fábrica de chocolates La Azteca elabora dos tipos de productos; el chocolate dulce y el amargo. Para producir una tonelada de chocolate amargo necesita 700 horas de mano de obra. Para hacer la misma cantidad de chocolate dulce requieren sólo 500 horas.

Debido a recientes ajustes que se han hecho en la plantil la de personal, sólo se puede disponer de 60 000 horas de mano de obra al mes; además, se sabe que será necesario producir cuando menos 8 toneladas mensuales de chocolate, independientemente de la proporción en cuanto a los sabores que se produzcan. Es importante tomar en consideración que la demanda de chocolate dulce es el doble de la del chocolate amargo, por lo tanto, este criterio deberá ser tomado en cuenta cuando se diseñe el esquema de producción.

Si cada tonelada de chocolate amargo deja una util idad de $ 1 000 y cada tonelada de chocolate dulce de $ 1 500, ¿cuántas toneladas de cada sabor de chocolate se deben producir, si se espera que la uti lidad sea máxima?

Denotemos con la letra x el número de toneladas que se desean producir del chocolate dulce, y con la letra y el número de toneladas de chocolate sabor amargo. La función objetivo, misma que describe la uti lidad del fabricante y que deseamos sea máxima, está dada por:

Z x ymáx 1000 1500

Por lo que a las restricciones se ref iere, éstas se pueden expresar de la manera siguiente:

La producción mínima debe ser de 8 toneladas; por lo tanto, la suma de las dos cantidades a producir debe ser mayor o igual que 8; donde:

x + y 8

La especif icación de la demanda nos dice que la cantidad de chocolate dulce debe ser el doble que la del chocolate amargo; por lo tanto:

x – 2y = 0


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Finalmente, la restricción en cuanto al número de horas disponibles de mano de obra está dada por:

700x + 500y 60 000

Reuniendo la función objetivo y las restricciones, el problema planteado toma la forma:

Z x y

x y

x y

x y

x y

máx

1000 1500

8

2 0

700 500 60 000

0 0,

Ejercicio 2

1. Una compañía líder en la fabricación de aparatos eléctricos tiene una planta de ensamblado en el Estado de México donde produce televisores de 14, 20, 27 y 29 pulgadas. Para esto cuenta con una línea automatizada que ensamblan las partes más pequeñas. Esta línea puede trabajar hasta 5 000 horas a la semana.

Además, cuenta con una plantil la de personal operativo de 4 800 horas a la semana de trabajo efectivo. En la tabla siguiente se muestran la uti lidad, el tiempo de mano de obra requerido en el proceso y el tiempo consumido en la línea automatizada de ensamble. Todo esto de acuerdo con el tamaño de televisor que se esté fabricando.

Una restricción adicional es que la empresa no debe producir más de 3 000 televisores a la semana.

¿Cuántas televisiones de cada uno de los modelos debe producir la compañía, de tal forma que la uti l idad sea máxima?

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2. Un taller mecánico cuenta con dos tornos que puede util izar hasta 12 horas al día. Dichas máquinas las emplea en la fabricación de tornil los y brocas con ciertas características y especif icaciones especiales. El benef icio por cada 100 tornil los es de $ 230 y por cada 100 brocas $ 450. Además, se sabe que producir 100 tornillos requiere un tiempo máquina de 25 minutos, mientras que producir 100 brocas consume 50 minutos de tiempo máquina.

Si la demanda por tornillos es de cuando menos 15 000 al día y la de brocas de al menos 8 000 al día, ¿cuál es la combinación de tornil los y brocas a producir, que hace que el beneficio del taller sea máximo? Nota. Partimos del supuesto de que la disponibil idad de materia prima es i limitada.

3.2.3. Modelo para problemas de alimentación

Una de las primeras aplicaciones de la programación lineal fue el problema de la dieta. De hecho, este modelo fue planteado tiempo antes de que existiera un método de solución para este tipo de problemas.

El modelo de dieta, como su nombre lo indica, se ref iere a encontrar una mezcla de alimentos de tal forma que al combinarlos se cumpla con ciertos requisitos nutricionales y al mismo tiempo dicha mezcla se obtenga a costo mínimo.

Con el f in de expresar más claramente estas ideas, abordemos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 3

En un hospital mil itar se desea determinar la mezcla nutricional más económica que satisfaga las necesidades básicas para mantener la buena salud de los soldados. En la tabla anexa se muestran cinco alimentos distintos y se i lustra su contenido en vitaminas, grasas y carbohidratos. A su vez, en la última columna se registra el precio por ki logramo de cada alimento.


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Los requerimientos semanales máximos de grasa son de 50 gramos y el mínimo 20 gramos, el requerimiento semanal máximo de vitaminas es de 40 gramos y el mínimo de 15 gramos, f inalmente, para los carbohidratos es de 30 gramos a la semana como mínimo y 60 gramos como máximo.

Definamos como variables de decisión:

x1=cantidad de carne roja que se debe incluir en la dieta. x2=cantidad de carne blanca a incluir. x3=cantidad de verduras. x4=cantidad de leguminosas por semana a incluir en la mezcla. x5=cantidad de cereales a incluir por semana.

El objetivo es minimizar los costos de la dieta dada por:

Zmín=12x1+8x2+3x3+6x4+3x5

Las restricciones en cuanto a los contenidos nutricionales están dadas por:

Requerimientos máximos y mínimos de grasas:

30x1+10x2+8x3+12x4+5x5 < 50 30x1+10x2+8x3+12x4+5x5 > 20

Requerimientos máximos y mínimos de vitaminas:

25x1+20x2+25x3+22x4+10x5 < 40 25x1+20x2+25x3+22x4+10x5 > 15

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Requerimientos máximos y mínimos de carbohidratos:

10x1+15x2+30x3+32x4+15x5 < 60 10x1+15x2+30x3+32x4+15x5 > 30

Finalmente, uniendo cada una de las desigualdades con la función objetivo y sabiendo que las variables no pueden tomar valores negativos, obtenemos como modelo:

Zmín=12x1+8x2+3x3+6x4+3x5

30x1+10x2+8x3+12x4+5x5 < 50 30x1+10x2+8x3+12x4+5x5 > 20 25x1+20x2+25x3+22x4+10x5 < 40 25x1+20x2+25x3+22x4+10x5 > 15 10x1+15x2+30x3+32x4+15x5 < 60 10x1+15x2+30x3+32x4+15x5 > 30 xi > 0 i=1, 2, ..., 5

Ejercicio 3

1. Un ganadero está interesado en preparar una mezcla de maíz, sorgo y alfalfa que le permita, a un costo mínimo, alimentar adecuadamente a sus animales. Él conoce los precios por kilogramo y los contenidos nutricionales también por kilogramo, éstos se muestran en la siguiente tabla:

Los requerimientos mínimos de su ganado son, por lo menos 140 unidades de grasa y 150 unidades de carbohidratos por kilogramo de alimento mezclado. ¿Cuál es la mezcla óptima?


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3.2.4. Otras aplicaciones de la programación lineal

Ejemplo 4

Una compañía produce dos tipos de pintura. Para ello requiere de tres ingredientes básicos, mismos que por el momento les l lamaremos: P1, P2 y P3. Los costos y cantidades de los tres ingredientes necesarios para la fabricación de los dos tipos de pintura se muestran en la tabla siguiente:

El litro de pintura para exteriores tiene una util idad de $ 25 por litro, mientras que la pintura para exteriores de $ 30. Si se cuenta inicialmente con $ 15 000 para comprar los tres ingredientes necesarios para la elaboración de las pinturas, ¿qué cantidades se deben comprar de cada uno si se desea maximizar la uti lidad?

Definamos las variables:

x1= la cantidad producida en litros de pintura para interiores. x2= la cantidad producida en litros de pintura para exteriores.

La uti l idad total queda representada por la expresión:

Zmáx=25x1+30x2

y lo que se desea es que ésta sea máxima

Producir x1 litros de pintura para interiores requiere 5x

1 kg de ingrediente

P1, y producir x

2 litros de pintura para exteriores requiere 2x

2 kg del

mismo ingrediente, por tanto, los requerimientos de P1 están dados por:

5x1+2x2=y1

Unidad 3

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Por un razonamiento similar al anterior, para la materia prima P2 se obtiene la expresión:

7x1+8x2=y2

Finalmente, para la materia prima P3 se tiene:

2x1+3x2=y3

Dado que los costos de P1, P2 y P3 son, respectivamente, $ 150, $ 250 y $ 100, entonces la cantidad que se necesita inicialmente para adquirir la materia prima es:

150y1+250y2+100y3

Esta cantidad no puede exceder los $ 15 000 con los que se cuenta inicialmente:

150y1+250y2+100y3 < 15 000

Si sustituimos y1, y

2 y y

3 para expresar la desigualdad en términos sólo

de las x, y simplif icamos los términos semejantes, entonces se obtiene la desigualdad:

2 700x1+2 600x2 < 15 000

Reuniendo todas las expresiones relacionadas con el problema, el planteamiento adopta la forma:

Zmáx=25x1+30x2

2 700x1+2 600x2 < 15 000 x1, x2 > 0


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Ejemplo 5

Una empresa dedicada a la venta de equipo de cómputo está interesada en saber si requiere invertir su dinero en la compra de computadoras personales o en equipos periféricos como impresoras, escáners, etcétera.

En la siguiente tabla se muestra el costo de cada producto, así como el margen de uti lidad que se obtiene con su venta:

Si el propietario de la tienda dispone de $ 200 000 iniciales para invertir, ¿cuál es la combinación en cuanto a la compra de equipo que maximiza sus ganancias? Para su decisión, el propietario de la tienda debe recordar que la demanda por impresoras es el doble que la de computadoras, y la de escáners es igual a la mitad de la demanda de computadoras.

Definamos las variables:

x = cantidad de computadoras personales que se deben comprar. y = cantidad de impresoras que se deben comprar. z = cantidad de escáners que se deben comprar.

La ganancia del negocio está dada por la expresión:

Zmáx=2 000x+600y+800z

Por lo que a las restricciones se ref iere, podemos escribir:

10 000x+1 500y+2 000z < 200 000

Además, en cuanto a la composición de la demanda:

y = 2x 2z = x

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Por lo que el planteamiento f inal del problema adopta la forma:

Z x y z

x y zm xá

s.a.:

2 000 600 800

10 000 1500 2 000 200 000

2 0

2 0

0

x y

x z

x y z, ,

Ejemplo 6

La demanda de trabajadores de tiempo completo en una empresa de comida rápida es variable y depende del día de la semana. Por experiencia, el gerente sabe que los días de mayor demanda son los f ines de semana. En la tabla siguiente se muestran las necesidades mínimas de la empresa para cada uno de los días de la semana.

El gerente quiere contratar el menor número de personas posible, sabiendo que una política de la empresa es que el personal debe laborar 5 días consecutivos y descansar dos, esto es, si una persona trabaja de lunes a viernes debe descansar sábado y domingo. Formula la situación descrita como un modelo de programación lineal.

xi representa el número de trabajadores que empiezan a laborar el día i-ésimo. Específ icamente, lunes = 1, martes = 2, ..., domingo = 7.


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Si se desea contratar al menor número de personas posible, la función objetivo toma la forma:

Zmín=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7

Por lo que a las restricciones se ref iere, para el día lunes se tiene:

x1+x4+x5+x6+x7 > 11

Esto quiere decir que el día lunes descansan los que trabajaron de martes a sábado y los que laboraron de miércoles a domingo. Para el día martes descansan los que trabajan de miércoles a domingo y de jueves a lunes, esto es:

x1+x2+x5+x6+x7 > 13

Continuando este mismo razonamiento para el resto de los días de la semana se tiene:

Z x x x x x x x

x x x x xm ní

s. a:

1 2 3 4 5 6 7

1 4 5 6 7 11

x x x x x

x x x x x1 2 5 6 7

1 2 3 6 7

13

15

x x x x x

x x x x x1 2 3 4 7

1 2 3 4 5

12

220

252 3 4 5 6

3 4 5 6

x x x x x

x x x x xx

x ii

7 24

0 1 2 3 7 , , , ...,

Ejercicio 4

1. Una fábrica de electrónica fabrica dos tipos de focos, uno de tipo incandescente y el otro f luorescente. El costo de producción de cada foco f luorescente es de $ 3 mientras que cada foco incandescente cuesta

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$ 1. Si la fábrica tiene capacidad para producir como máximo 1 000 focos, cuenta en este momento con un capital hasta de $ 2 000 para producir el lote, y cada foco incandescente se vende en $ 4 mientras que el f luorescente en $ 5, ¿cuál deberá de ser el plan de producción, de tal forma que la ganancia sea máxima?

2. Una empresa dedicada a la importación y comercialización de raquetas y pelotas de tenis, cuenta con un capital de $ 450 000. El costo por raqueta es de $ 2 000 más 18% de impuestos. A su vez, el costo de cada pelota es de $ 50 más un impuesto de 45%. Si el precio de venta de cada raqueta es de $ 3 200 y el de cada pelota de $ 110, ¿cuál es la combinación de pelotas y raquetas a importar, de tal forma que la uti lidad del comerciante se maximice? Nota. Una restricción adicional es que la importación de raquetas está restringida a 100, mientras que el de las pelotas es i limitado.

3. Una cadena de tiendas departamentales desea contratar el menor número posible de mujeres para el puesto de cajeras. Sabiendo que sólo tienen un día de descanso a la semana, los requerimientos mínimos de cajeras por día son los siguientes:

Si las cajeras pueden trabajar sólo 6 días consecutivos, formula esta situación como un modelo de programación l ineal.


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Ejercicios propuestos

1. Un taller metal-mecánico fábrica cinco tipos distintos de refacciones. En todos los casos, el proceso consiste en modelar las piezas para después fundirlas en hierro. Posteriormente, pasan al departamento de acabado donde los bordes son pulidos, se les hacen los orif icios y se aplica da el terminado f inal. Las horas de trabajo necesarias (tanto en fundición como en acabado) por cada 100 unidades de cada uno de los distintos tipos de refacción, aparecen en la tabla siguiente:

Observa en la última f i la de la tabla las uti l idades por cada 100 unidades de producto. Si la capacidad disponible tanto de fundición como de acabado son respectivamente 700 y 1 000 horas de fuerza de trabajo por mes, plantea el modelo de programación l ineal que permita maximizar las util idades obtenidas por el taller.

2. Un hombre de negocios dispone de $ 1 000 000 para inverti r en tres proyectos distintos. Por un lado puede invertir (parte o todo su dinero) comprando Cetes con un rendimiento de 22% anual; como segunda opción, puede invertir en la Bolsa Mexicana de Valores donde su ganancia mínima esperada sería de 35% anual; la tercera opción, que es la más conservadora, consiste en dejar su dinero en el banco donde obtendría un rendimiento anual de 18%. De acuerdo con la legislación f inanciera actual, la inversión mínima que una persona puede hacer en Cetes es de $ 500 000, mientras que para invertir en la Bolsa Mexicana de Valores se requiere tener por lo menos un peso ahorrado en el banco, por cada 3 que se inviertan en el mercado accionario. Empleando programación lineal encuentra la cantidad asignada a cada proyecto, de tal forma que se optimice la uti l idad del inversionista.

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112

3. Una tienda fabrica 2 tipos de pinturas, una para interiores y la otra para exteriores. La pintura para interiores deja una util idad de $ 3 por l itro mientras que la de exteriores $ 5 por l itro. Producir las pinturas requiere de 4 materias primas que les llamamos: m1, m2, m3 y m4. En la tabla siguiente se resumen las cantidades necesarias y la disponibil idad de cada una de esas materias primas:

Lo anterior signif ica que se necesitan 3 l itros de m1, 2 de m2, 4 de m3, 2 de m4 y 1 de m5 para producir un litro de pintura para exteriores. De manera similar, 2 l itros de m1, 3 de m2, 7 de m3, 1 de m4 y 4 de m5, para producir un litro de pintura para interiores. Si se dispone de 50 litros de materias primas, ¿cuál es la combinación a producir, de tal forma que las ganancias sean máximas?

4. La estación central de policía divide la jornada de 24 horas. en periodos de guardia de 4 horas cada uno. En la siguiente tabla se muestra el número mínimo de policías que deben estar en guardia para cada turno:


113

Una restricción adicional es que los of iciales no pueden cubrir dos guardias consecutivas.

Formula la situación anterior como un modelo de programación lineal.

Autoevaluación

Halla el modelo de programación lineal asociado con los siguientes problemas:

1. Un ingeniero químico quiere obtener 100 l itros de ácido clorhídrico a 32%, pero en el laboratorio sólo tiene ácido clorhídrico en solución acuosa a 10%, 45%, 50% y a 67%. El precio por cada litro es de $ 20, $ 15, $ 45 y $ 100, respectivamente; ¿cual es la combinación que minimiza los costos? Nota. Se tiene una cantidad ilimitada de los ácidos.

2. Halla el modelo del ejercicio 1 con la siguiente restricción. Las cantidades de cada uno de los ácidos fuente son 200, 180, 50 y 20, respectivamente.

3. Una fábrica de jabones tiene 4 productos de l impieza, l1, l2, l3 y l4. Los costos de producción son $ 3, $ 4, $ 7 y $ 5, respectivamente. La fábrica tiene capacidad para producir como máximo 1 000 unidades de sus productos sin importar el tipo. Se cuenta con un capital de $ 2 000 para producir el lote. Los precios de comercialización de los productos son; $ 4, $ 8, $ 12 y $ 7, respectivamente; ¿cuál es la combinación que optimiza la ganancia?

4. Replantea el modelo si la empresa af irma que la suma de l1 y l2 debe ser mayor a la suma de los otros dos limpiadores y que por lo menos debemos producir 150 l impiadores de cada tipo.

5. Un ganadero desea preparar alimento para su ganado combinando maíz, sorgo y alfalfa. En la siguiente tabla se muestran los precios por ki logramo, además de la cantidad de nutrientes por ki lo.

Unidad 3

114

El alimento debe contener por lo menos 150 unidades de carbohidratos por ki lo de alimento combinado como máximo 140 unidades de grasa del alimento combinado, el alimento no puede contener menos de 30% de maíz del alimento combinado y la alfalfa debe ser como máximo el doble de la cantidad de maíz y sorgo juntos. El ganadero desea hallar la combinación que minimice los costos, pero que cumpla los requerimientos antes citados. Formula el problema como un modelo de programación l ineal.

6. Un hospital divide la jornada de trabajo de 24 horas en guardias de 6 horas. Los doctores deben turnarse para cubrir los requerimientos mínimos de demanda del hospital pues un doctor no puede cubrir dos guardias consecutivas. En la tabla siguiente se muestra el número mínimo de doctores que debe haber por guardia.

Periodo Número mínimo de doctores 12 a.m.-6 a.m. 5

6 a.m.-12 p.m. 4 12 p.m.-6 p.m. 2

6 p.m.-12 a.m. 6

Encuentra el modelo de programación lineal que sea representativo de este problema.


115

Respuestas a los ejercicios

Ejercicio 1

1. Las variables de decisión son:

x1 = material usado de la mina 1 en kilos.



s. a.:

Z x x x

x x xmín 30 40 25

10001 2 3

1 2 3

0 05 0 90 0 50 800

0 95 0 10 0 501 2 3

1 2 3

. . .

. . .

x x x

x x x 200

0 1 2 3 x ii , ,

2. Las variables de decisión son:

x1 = ácido a 10% en l itros.



x4 = ácido a 70% en litros.

s. a.:

íZ x x x x

x x x xm n 20 15 45 100

21 2 3 4

1 2 3 4

0 10 0 40 0 50 0 70 0 400

01 2 3 4. . . . .x x x x

x ii 1 2 3 4, , ,

Ejercicio 2

1. x1=número de televisores de 14” que se deben producir. x2 = número de televisores de 20” que se deben producir. x3 = número de televisores de 27” que se deben producir. x4 = número de televisores de 29” que se deben producir.

Unidad 3

116

Z x x x x

x x x xm xá

s. a.:

500 1 000 1800 2 000

31 2 3 4

1 2 3 4 0000

5 6 8 10 4 800

0 1 0 151 2 3 4

1

x x x x

x x. . 22 3 4

1 2 3 4

0 25 0 35 5 000

0

. .

, , ,

x x

x x x x

2. x1=cantidad producida de tornil los. x2=cantidad producida de brocas.

Z x x

x x

x

m xá

s. a.:

230 450

25 50 7201 2

1 2

1 1150

80

3002

1 2

1

x

x x

x , x2 0

Ejercicio 3

1. M=cantidad de maíz en kilogramos. S=cantidad de sorgo en kilogramos. A=cantidad de alfalfa en kilogramos.

Z M S A

M S AM S A

m ní

s. a.:

8 5 3

50 40 20140

700 60 50150

0

M S AM S A

M S A , ,


117

Ejercicio 4

1. x = cantidad de focos incandescentes.

y = cantidad de focos f luorescentes.

Z x y

x y

x y

máx

s. a:

3 2

1 000

3 2 000

x y, 0

2. x = cantidad de raquetas. y = cantidad de pelotas.

Z x y

x

x y

máx

s. a.:

840 37 5

100

2 360 72 5

.

. 4450 000

0 x y,

3. xi= número de cajeras que empiezan a laborar el día i-ésimo.

Z x x x x x x x

x x x x x xmín

s. a.:

1 2 3 4 5 6 7

1 3 4 5 6 7 15

x x x x x x

x x x x x1 2 4 5 6 7

1 2 3 5

16

66 7

1 2 3 4 6 7

1 2

16

16

x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x x x3 4 5 7

1 2 3 4 5 6

12

18

x x x x x x

x ii

2 3 4 5 6 7 20

0 1 2 3 7, , , ...,

Unidad 3

118

Respuestas a los ejercicios propuestos

1.

Z x x x x x

x x x xm xá

s. a.:

30 20 40 25 10

2 3 31 2 3 4 5

1 2 3 4 xx

x x x x x

x x

5

1 2 3 4 5

1 2

700

3 2 2 1000

, , x x x3 4 5 0, ,

2. x1=dinero invertido en Cetes. x2=cantidad invertida en la bolsa de valores. x3=cantidad invertida en el banco.

Z x x x

x x xm x . . .á

s. a.:

0 22 0 35 0 18

1 000 0001 2 3

1 2 3

x

x x

x x x

1

2 3

1 2 3

500 000

3 0

, , 0

3.

y1=litros producidos de pintura para interiores. y2=litros producidos de pintura para exteriores.

Z y y

y y

y y

m xá

s. a.:

3 5

3 2 50

2 3 50

1 2

1 2

1 2

4 7 80

2 50

4

1 2

1 2

1

y y

y y

y y22

1 2

60

0 y y,


119

4. xi =oficiales que empiezan la guardia al i-ésimo periodo i= 1, 2, 3, 4, 5, 6

Z x x x x x x

x x x

x

mín

s. a.:

1 2 3 4 5 6

1 3 5

2

8

x x

x x x

x x x

4 6

3 5 1

4 6 2

7

6

6

x x x

x x x

x ii

5 1 3

6 2 4

5

4

0 11 2 3 6, , , ...,

Unidad 3

120

Respuestas a la autoevaluación

1. xi = cantidad en l itros del ácido i-ésimo.

Z x x x x

x x x xm ní

s. a.:

20 15 45 100

1001 2 3 4

1 2 3 4

0 10 0 45 0 50 0 67 32

0 11 2 3 4. . . .

,

x x x x

x ii 22 4, ...,

2 20 15 45 100

1001 2 3 4

1 2 3 4

. m nZ x x x x

x x x xí

s. a.:

0 10 0 45 0 50 0 67 32

201 2 3 4

1

. . . .x x x x

x 00

180

502

3

x

x

x

x ii

4 20

0 1 2 4, , ...,

3 4 5 2

10001 2 3 4

1 2 3 4

. m xZ l l l l

l l l lá

s. a.:

3 4 7 5 2 000

01 2 3 4

1 2 3 4

l l l l

l l l l, , ,

4 4 5 2

10001 2 3 4

1 2 3 4

. m xZ l l l l

l l l lá

s. a.:

3 4 7 5 2 000

01 2 3 4

1 2 3 4

l l l l

l l l l

l11

2

3

4

150

150

150

150

l

l

l

l l l l1 2 3 4 0, , ,


121

5 8 5 3

50 40 20140

. m nZ M S A

M S AM S A

í

s. a.:

70 60 50150

0 30

2 2 0

M S AM S AM

M S AA M S

.

M S A, , 0

6

5

4

1 2 3 4

1 3

2 4

. m nZ x x x x

x x

x x

í

s. a.:

x x

x x

x ii

3 1

4 2

2

6

0 1 2 3 4, , ,

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