03/06/2013

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DISEÑO DE

CONTROLADORES DIGITALES

Existen dos formas generales de diseñar el control de sistemas en tiempo discreto:

Indirecto: consiste en diseñar el controlador digital en el dominio de tiempo continuo, utilizando las técnicas analógicas y luego transformando el resultado del dominio continuo al dominio discreto.

Directo: se diseña el controlador digital en el dominio discreto directamente, utilizando una función de transferencia del proceso a controlar. Se utilizan técnicas de diseño en el dominio .

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La estrategia de diseño es definir las características de la respuesta del sistema en el tiempo o en frecuencia; como el sobre paso máximo, el tiempo de asentamiento, el tiempo de levantamiento márgenes de fase o magnitud, etc. Estas características determinan la ubicación de los polos de la función de transferencia z de lazo cerrado. Entonces se determina el periodo de muestreo teniendo en cuenta el teorema de y los criterios de elección para que se obtenga la función de transferencia deseada.

El periodo de muestreo es un aspecto crítico en la discretización de compensadores continuos. Como norma general, cabe anotar que interesa es un periodo de muestreo lo mas pequeño posible, siempre que no condicione al sistema a dos aspectos importantes: su implementación y los errores de cuantificación. Los criterios se basan en los siguientes aspectos:

75 a 25ientoestablecim de tiempo:

20 a 10ntolevantamie subida, de tiempo:

banda de ancho 40 a 20 N

2 B

r

s

r

ss

r

r

r

rs

Bs

s

Nt

NtT

Nt

NtT

BWBWN

T

LAZO CERRADO

LAZO ABIERTO

ganancia de cruce de frecuencia :80 a 04

2Tg

g

ggs

NN

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OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición. DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto BIBLIOGRAFÍA WEB ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición PARASKEVOPOLUS,P. Modern Control Engineering. Primera Edición. CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.

DISEÑO DIRECTO: BASADO EN LA RESPUESTA EN EL TIEMPO

0

* )()()(k

kTtkTxtx

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Para el sistema mostrado la ecuación característica es:

La cual es la misma que la encontrada en el lugar geométrico de las raíces en tiempo continuo (plano )

0)()(1 zHzG

CONDICIONES DE ÁNGULO Y MAGNITUD: en muchos sistemas en tiempo discreto, la ecuación característica puede tener cualquiera de las dos siguientes formas

y

Para combinar esta dos formas en una, definamos la ecuación característica

Donde:

o

0)()(1 zHzG 0)(1 zGH

0)(1 zF

)()()( zHzGzF )()( zGHzF

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Observe que es la función de transferencia de lazo abierto. La ecuación característica se puede escribir de esta manera también:

Dado que es una cantidad compleja se puede hallar la magnitud y el ángulo de dicha cantidad, de esta manera:

1)(zF

1)(zF0,1,2,...N ),12(180 )( NzF

Los valores de que satisfacen tanto las condiciones de ángulo como de magnitud se encuentran en las raíces de la ecuación característica, es decir en los polos de la lazo cerrado.

Una gráfica de los puntos en el plano complejo que satisface solamente la condición de ángulo es el lugar geométrico de las raíces. Las raíces de la ecuación característica que corresponden a un valor dado de la ganancia pueden localizarse en el lugar geométrico de las raíces mediante la condición de magnitud.

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Ahora se investigará los efectos de la ganancia y el periodo de muestreo sobre la estabilidad relativa de un sistema de lazo cerrado.

Suponga el sistema de control siguiente

)(* sG D ZOH1

1s

+ _

Controlador digital Gh(s) Gp(s)

r(t) c(t)

Donde el controlador digital es de tipo integral, es decir

Se dibujará el lugar de las raíces para tres valores del periodo de muestreo (T=0.5 seg, T=1 seg y T=2 seg), también se hallará el valor crítico de la ganancia para cada uno de los casos. Finalmente localizaremos los polos en lazo cerrado correspondiente a para cada uno de los tres casos.

11)( 1 z

Kzz

KzGD

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En primera medida obtenemos la de .

De esta manera:

La función de transferencia pulso de la trayectoria directa es

La ecuación característica

Es decir

0))(1(

)1(1 T

T

ezzeKz

0)(1 zG

T

T

phD eze

zKzsGsGZzGzG 1

1)()()()(

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Para un periodo de muestreo T=0.5 seg

Observe ve que tiene polos z=1 y z=o,6065 y un cero en z=0

)6065,0)(1(3935,0)(zz

KzzG

)()(

zBzAK

Entonces:

Diferenciando la ecuación en función de z obtenemos

De allí que:

Con esto se obtiene: z=0.7788 y z=-0.7788

zzzK3935,0

)6065,0)(1(

6065,0

03935,0

6065,0

2

2

2

zz

zdzdK

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Al reemplazar en la ecuación de se obtiene un valor de , en tanto que al reemplazar el valor de obtenemos un valor de

Como resultó positivo entonces, el valor es un punto de ruptura de salida real y el valor es un punto de ruptura de entrada real.

Para hallar el valor crítico de la ganancia se obtiene mediante la condición de la magnitud de la función de transferencia pulso de la trayectoria directa, así:

Kezzez

T

T 1))(1(

)1(

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Para el caso de T=0.5 se obtiene

La ganancia crítica ocurre en z=-1, con este valor se obtiene:

Con lo que K=8.165

Con un K=2 se obtienen dos polos complejos conjugados en lazo cerrado que son

)6065,0)(1(3935,01zz

zK

)6065,01)(11()1(3935,01

K

6623.04098.0y 6623.04098.0 21 jzjz

Gráfica del lugar de las raíces con un T=0.5 seg

Sistemas de Control en Tiempo Discreto - Katsuhiko Ogata