Unidad 4 - gc.scalahed.com
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Una ecuación es la cosa másseria e importante en matemáticas. O. L odge Unidad 4 Ecuaciones fraccionarias de primer grado Objetivos elementales de la aritmética. de la ecuación. denominador. problema.
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Una ecuación es la cosa más seria e importante en matemáticas.
O. Lodge
Unidad 4Ec ua c io ne s fra c c io na ria s d e primer grado
Objetivos
elementales de la aritmética.
de la ecuación.
denominador.
problema.
ÁLGEBRA
125
Introducción
E n la unidad 3 estudiamos cómo resolver problemas que involucran en su planteamiento
ecuaciones enteras de primer grado. Asimismo, aprendimos cómo encontrar la solución
de este tipo de ecuaciones. Las ecuaciones son el modelo matemático de las situaciones
físicas, lo cual significa que una ecuación describe en el lenguaje de las matemáticas lo que está pasando en el mundo real. Para llevar a cabo esta tarea resultan insuficientes las ecuaciones enteras de primer grado, pues no todos los fenómenos se pueden representar a través de ellas. Por tal motivo, en esta unidad y en las siguientes estudiaremos otro tipo de ecuaciones, que nos servirán para resolver una gama más amplia de problemas que los estudiados hasta ahora.
Una ecuación fraccionaria de primer grado se distingue de una ecuación entera de primer grado en que sus coeficientes y término independiente pueden ser números racionales llamados también
fraccionarios.
Ejemplos:
1. x4
52
es una ecuación fraccionaria de primer grado debido a que el exponente de x
es 1. Observa que el coeficiente de la variable x es una fracción y el término independiente también.
2. El tercio de un número es 15.
Al número lo llamamos: x
El tercio del número es 15: x3
15
La ecuación que representa este enunciado es una ecuación fraccionaria de primer grado.
3. Una alberca se llena en x horas. Si en 2 horas se ha llenado las 45
partes, ¿en cuánto
tiempo se llena completamente?
Tiempo en el que se llena la alberca x
En 1 hora se llena 1x
En 2 horas se llena 2x
que son las 45
partes
por lo tanto la ecuación a resolver es 2 4
5x
4. El tercio de un número más su mitad es 8.
Al número lo llamamos: x
El tercio del número más su mitad es 8: x x3 2
8
La ecuación que representa este enunciado es una ecuación fraccionaria de primer grado.
¿Qué di ferencia hay entre una
ecuación entera de pr imer grado
y una ecuación fraccionar ia de pr imer grado?
Unidad 4
126
5. Cuatro jóvenes han ido a jugar beisbol. Al primero de ellos le fueron lanzadas la mitad
de las pelotas, al segundo le lanzaron 8, al tercero le lanzaron la tercera parte del número original
de pelotas y al cuarto le lanzaron las últimas 2 pelotas. ¿Cuántas pelotas había en total?
Al número total de pelotas le llamamos: z
Al primer jugador le fue lanzada la mitad: z2
Al segundo le lanzaron 8 pelotas: 8
Al tercer jugador le fue lanzada la tercera parte: z3
Al cuarto jugador le lanzaron "las últimas" 2: 2
A los jugadores les fueron lanzadas todas las pelotas: z z
z2
83
2
Reduciendo términos semejantes: 56
10z
z
Por lo tanto, la ecuación es 56
10z
z . Observa que los coeficientes son fracciones y el
exponente de la variable es 1; por lo tanto, ésta es una ecuación fraccionaria de primer grado.
6. En una orquesta estudiantil, la tercera parte de sus integrantes son varones: 5 varones
tienen ojos negros y corresponden a la mitad del número de varones. ¿Cuántos integrantes tiene
la orquesta?
Al número de miembros de la orquesta lo llamamos: x
Entonces el número de varones es: x3
La mitad del número de varones con ojos negros es 5: 12 3
5x
Por lo tanto, la ecuación es x6
5 . Una ecuación fraccionaria de primer grado.
Para resolver estas ecuaciones nos enfrentamos a un problema:
La siguiente propiedad nos da la respuesta.
Propiedad de multiplicación de una igualdad
Sean a, b y c números reales. Si a = b, entonces ac= bc.
Ejemplos:
7. Si ambos miembros de x2
9 se multiplican por 2, se obtiene 22
2 9x
( ) , que es: x= 18.
8. Si ambos miembros de 45
79
x se multiplican por
52
, se obtiene 52
45
52
79
x,
que es 23518
x .
¿Cómo despejar la var iable cuando forma par te de una fracción?
ÁLGEBRA
127
9. Si ambos miembros de 23
54
43
5x x
se multiplican por MCM(3,4)= 12, se obtiene:
1223
1254
1243
12 5x x
( ) , que es: 8 –15x= 16x+ 60.
10. Si ambos miembros de 6
7x
se multiplican por x , se obtiene: 6= 7x.
11. Si ambos miembros de 4
56
11x se multiplican por 5x, se obtiene: 4
611
5( )x , que es
43011
x . Si además se multiplican ambos miembros por 11 se obtiene: 44= 30x.
4.1. Solución de ecuaciones fraccionarias usando varias operaciones
Empecemos por resolver los problemas de los ejemplos del 1 al 5.
12. Solución del ejemplo 1. x4
52
Ec. a resolver.
Multiplicando por MCM(2,4) = 4 ambos miembros de la ecuación: x = (2)(5)
Efectuando las operaciones, obtenemos que: x = 10
Comprueba este resultado.
13. Solución del ejemplo 2. x3
15 Ec. a resolver.
Multiplicando por 3 ambos miembros de la ecuación: x = (3)(15)
Efectuando las operaciones, obtenemos que: x = 45
Por lo tanto, el número cuyo tercio es 15, es 45. Comprueba este resultado.
14. Solución del ejemplo 4. x x3 2
8 Ec. a resolver.
Multiplicando por MCM (2,3) = 6 ambos miembros de la ecuación: 2x+ 3 x = 48
Efectuando las operaciones: 5x = 48
Dividiendo entre 5 ambos miembros de la ecuación: 55
485
x
Despejando x: x485
Por lo tanto, el número cuyo tercio más su doble es 8, es 48/5. Comprueba este
resultado.
15. Solución de ejemplo 5. 56
10z
z Ec. a resolver.
Restando 10 en ambos miembros de la ecuación: 56
10z
z
Multiplicando por 6 ambos miembros de la ecuación: 5z = 6(z–10)
Unidad 4
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Multiplicando: 5z = 6 z–60
Restando 6 z en ambos miembros de la ecuación: –z = –60
Multiplicando por –1 ambos miembros de la ecuación para despejar z: z = 60
Por lo tanto, había 60 pelotas.
Comprobación: 5 60
610 50 10 60
( )
16. Solución del ejemplo 6. x6
5 Ec. a resolver.
Multiplicando por 6 ambos miembros de la ecuación: x= 30
Por lo tanto, la orquesta tiene 30 integrantes. Comprueba este resultado.
Ejercicio 1
1. Encuentra un número que aumentado en sus 58
sea igual a su triple disminuido en 9.
2. Después de vender 47
del total de metros de una pieza de tela quedan 6512 m. ¿Cuántos metros
tenía la pieza de tela?
3. 19
de la suma de 3 múltiplos consecutivos de 3 es igual a 6. ¿Cuáles son los números?
4. Mariano tiene $2.00 más que Cecilia. Si Cecilia gastara $6.50 tendría $4.00 menos que los 23
de lo que tiene Mariano. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?
5. Encuentra tres números consecutivos tales que si el mayor se divide por 15, el mediano por 20
y el menor por 5, la suma de las fracciones es 10.
6. Si a un número se le aumentan dos unidades y se toma su recíproco, el resultado es 75
. ¿Cuál
es el número?
Ecuaciones de este tipo pueden tener la forma a
bx cd
ex f en donde:
a, b, c, d, e, f bx+ c 0 y ex+ f 0,
pero no es el único caso. A continuación te mostraremos cómo resolver
algunos ejemplos en donde aparece la variable en el denominador en
diferentes formas:
Ejemplos:
17. Resolver 5
2 31
2x x.
Lo primero que debemos señalar es que 2x–3 0 y x+ 2 0, lo que significa que los valores 32
y –2 están prohibidos para x.
¿Cómo se resuelve una ecuación cuya var iable se encuentra en el denominador de ambos miembros?
ÁLGEBRA
129
Un valor prohibido para la variable x es el valor tal que, al sustituirlo en la ecuación produce una indeterminación. En este ejemplo, el denominador del miembro derecho de la ecuación se hace 0 si x es igual a –2 (recuerda que la división por 0 es indeterminada), por lo tanto –2 es un valor
prohibido. Lo mismo ocurre con el denominador del lado izquierdo si x es igual a 32
.
Multiplicando ambos lados de la ecuación por el MCM (2x–3, x+ 2) que es (2x–3)(x+ 2),
obtenemos: 5(x+ 2)= 2 x–3. Esta es una ecuación equivalente a la original. Procedamos a resolverla
como lo hemos hecho en los ejercicios anteriores.
Efectuando las operaciones, tenemos: 5 x+ 10 = 2x–3
Restando 2x+ 10 3 x = –13
Dividiendo entre 3 para despejar x: x133
Como esta solución no es ninguna de las prohibidas decimos que la ecuación 5
2 31
2x x
sí tiene solución y es x133
. Comprueba este resultado.
18. Resolver 3
3 134
52 3 1
58
xx x( )
. Empecemos por determinar los valores prohibidos
para x. Para que 3x+ 1= 0, x debe tomar el valor de 13
. Por lo tanto, x13
.
El MCM (8, 3x+ 1,4,2(3x+ 1)) es igual a: 8(3x+ 1)
Multiplicando ambos miembros de la ecuación por 8(3x+ 1):
8 3 13
3 134
8 3 15
2 3 158
( ) ( )( )
xx
xx
x
Efectuando operaciones, obtenemos: 8 3 1 3
3 18 3 1 3
48 3 1 5
2 3 18 3 1 5
8( ) ( )( ) ( )( )
( )( )( )x x
xx x
xx
24 6 3 1 20 5 3 1 24 18 6 20 15 5x x x x x x( ) ( )
6 6 15 15x x
Reduciendo términos semejantes: 21 x= 21
Dividiendo entre 21 para despejar x: x = 1
Como x= 1 no es una restricción, concluimos que es la única solución de la ecuación.
Comprueba este resultado.
19. Resolver x
x x2 112
53 . Determinemos los valores prohibidos de x; estos son:
12 y 3.
El MCM (2x + 1, 2, x – 3) = 2 (2x + 1) (x – 3). Multiplicando ambos miembros de la ecuación por el MCM.
Unidad 4
130
2 2 1 32 1
12
53
2 2 1 3x xx
x xx x
Efectuando operaciones, tenemos: 2 3 2 1 3 5 2 2 1x x x x x
2 6 2 6 3 20 102 2x x x x x x
Reduciendo términos del lado derecho:2 6 2 25 132 2x x x x
Los términos cuadráticos 2x2 en ambos lados de la ecuación se eliminan mutuamente, quedando:
6 25 13x x
Resolviendo para x, tenemos:6 25 13x x
19x = –13
x1319
Ejercicio 2
Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones:
1. 2 3
534x
2. 7
4 632x x
3. 2 9
5 1 1213
31 12
xx x( )
4. 1
418
2 324
3 1z z z
5. 6 5
48 2 3
2 110 7
2
2a a aa
a
6. 2
6 813
39 12
xx
xx
x
ÁLGEBRA
131
4.2. Problemas de razones y proporciones
En esta sección resolveremos problemas cuyo planteamiento requiere los conceptos de
razón y proporción. Es importante que los recuerdes.
Ejemplos:
20. El modelo de un avión para armar está hecho a una escala de 3 cm por cada 4 m. Si el
ala del modelo a escala mide 2.5 cm, ¿cuánto mide el ala del avión real?
Convertimos todos los datos a la misma unidad: 4 m= 400 cm
A la longitud del ala del avión real la llamamos: x
Por cada 3 cm en el modelo a escala hay 400 cm en el avión real, entonces la razón es:
3400
El ala del modelo a escala mide 2.5 cm, entonces la razón es: 2 5.x
La proporción es: 3
4002 5.x
Ec. a resolver.
Multiplicando por MCM (400, x)= 400 x: 3x = 1 000
Despejando x: x1000
3333
13
Por lo tanto, el ala del avión mide 33313
cm= 313
m. Comprueba este resultado.
21. Si se invierte una cantidad de $5 689.00 en cierto banco se obtiene un rédito de $472.20
en medio año, considerando que el tiempo y la tasa de interés son los mismos. ¿Cuánto se obtendrá
de rédito si la cantidad invertida es $3 587.50?
Los números con decimales los multiplicamos por 10 para convertirlos en números
enteros.
Al rédito de $3 587.50 lo llamamos: x
$5 689.00 da un rédito de $472.20, entonces la razón es: 5689472 2
5689 10472 2 10
568904722.
( )( )( . )( )
$3 587.50 da un rédito de x, entonces la razón es: 3587 5 35875
10
.
x xEl tiempo y los intereses son los mismos, entonces la proporción es:
568904722
3587510x
Ec. a resolver.
Multiplicando por MCM (10x, 4 722)= 23 610x: 284 450 x= 84 700 875
Unidad 4
132
Dividiendo entre 284 450 para despejar x: x = 297.7706978
Por lo tanto, los réditos de una inversión de $3 587.5 son aproximadamente de $297.77.
Comprueba este resultado.
22. En un plano de un edificio se mide una distancia de 2.7 cm. ¿Cuál será la longitud real
si se señala que la escala es 1:1 500?
A la longitud real la llamamos: x
La escala es de 1:1 500, entonces la razón es: 1
1500La distancia de 2.7 cm en el plano corresponde a la longitud real x, entonces la razón es:
2 7 2 7 10
1027
10. .
x x x
La proporción es: 1
150027
10xMultiplicando por MCM (1 500, 10 x)= 1 500 x: x= 4 050
Por lo tanto, la distancia real es de 4 050 cm = 40.50 m. Comprueba este resultado.
Ejercicio 3
Resuelve las siguientes proporciones.
1. Un ciempiés recorre 3 km en 212
h, a una velocidad constante. ¿Cuántos kilómetros recorrerá
en 314
h?
2. Una inversión de $4 583.00 produjo un rendimiento de $549.96. Si otra inversión, en el
mismo tiempo y con la misma tasa de interés, produjo $832.464, ¿cuál fue el capital en la segunda
inversión?
3. ¿Cuál es el rédito en el inciso anterior?
4. La razón entre la altura de un hombre y el largo de su fémur es aproximadamente de 11 a 3; si
un hombre tiene un fémur de una longitud de 51 cm, ¿cuál es aproximadamente su altura?
5. En la maqueta de un centro comercial la escala es 2 cm por 150 m. Si se sabe que la distancia de
la entrada principal del centro comercial a la sección de los cines es de 57 m, ¿cuál es la distancia
correspondiente en la maqueta?
ÁLGEBRA
133
4.3. Problemas de porcentajes
En esta sección resolveremos problemas cuyo planteamiento requiere los conceptos de razón
y porcentaje.
Empecemos por recordar que un porcentaje de n% es una razón de n a 100, lo que significa
que se puede expresar como una fracción o como un decimal.
Ejemplos:
23. Juan ha hecho 58
de su tarea, determina el porcentaje de tarea que lleva hecho.
Al porcentaje de la tarea realizada lo llamamos: x %
Entonces la razón correspondiente es: x
100
Juan ha hecho 58
de su tarea, entonces la proporción es: x
10058
Ec. a resolver.
Multiplicando por MCM (100,8)= 200: 2 x= 125
Dividiendo entre 2 para despejar x: x125
262 5.
Por lo tanto, Juan ha hecho el 62.5% de su tarea. Comprueba este resultado.
Nota que siempre que hablamos de porcentaje la cantidad del denominador es 100. En
algunos casos, como podemos ver en este ejemplo, el 100 no aparece explícitamente porque la
razón original ya ha sido simplificada. Para ilustrar esta idea buscaremos una fracción equivalente
a 58
que tenga 100 como denominador. Para lograrlo podemos proceder como sigue:
58
581
58
100
10062 5100
.
Aquí está el 62.5% que obtuvimos en el ejemplo.
24. En 1993 los accidentes de tránsito en México causaron un 12% menos muertes que en
1992, lo cual equivalió a salvar 8 130 vidas. Con base en estos datos, ¿cuántas personas murieron
a causa de accidentes de tránsito en 1993?
Al número de personas accidentadas en 1993 lo llamamos: x
El 12% de esas personas salvaron la vida: 12% x x x12100
325
En 1993 se salvaron 8 130 vidas, entonces: 325
x = 8 130 Ec. a resolver.
Multiplicando por 25: 3x= 203 250
Dividiendo entre 3, para despejar x: x= 67 750
Unidad 4
134
Por lo tanto, el número de personas accidentadas fue de 67 750. El número de personas
muertas 67 750–8 130= 59 620. Comprueba este resultado.
25. Suponiendo que una casa se deprecia anualmente a razón de 3.8% del valor que tenía
al principio de cada año, y que al final del segundo año valga $490 000.00, hallar el valor inicial.
Al valor inicial lo llamamos: x
El valor después del primer año es: x x x x x x x3 83 8100
0 038 0 962. %.
. .
Después del segundo año: 0 962 0 038 0 962 0 962 0 036556 0 925444. ( . )( . ) . . .x x x x x
Al final del segundo año la casa vale $490 000.00: 0 925444 490000. x
Dividiendo entre 0.925444, para despejar x: x= 529 475.5815
Por lo tanto, el valor inicial de la casa era aproximadamente de $529 475.60. Comprueba
este resultado.
Ejercicio 4
1. ¿Cuánto pagas por un artículo cuyo precio sin impuesto es $538.30, si tiene un descuento de
13%, tomando en cuenta que el impuesto es del 10% y se carga después del descuento?
2. Una escultura que adorna la entrada a una ciudad pesa 1 480 kilogramos. Si el 91.63% del peso
es hierro y el 7.33% del peso es bronce, ¿cuántos kilogramos de cada metal contiene la escultura?
3. Si al autor de un libro se le paga el 12% del precio de venta de éste, ¿cuántos ejemplares deberá
vender para que se abone la cantidad de $3 204.00, si cada libro cuesta $150?
4. 3.5 kilogramos de masa para pastel contiene 1.2% de esencia de naranja por kilogramo. H ay
una segunda masa que contiene 2% de dicha esencia por kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de esta
última masa habrá que agregar a la primera para obtener una masa de 9.33kg que contenga 1.7%
de esencia de naranja por kilogramo?
5. Un equipo de cómputo se deprecia a razón 2.5% del valor que tenía al principio de cada semestre.
Si su valor inicial es de $48 500.00, ¿cuál será su valor después de 112 años.
ÁLGEBRA
135
4.4. Otro tipo de problemas
4.4.1. Regla de tres directa
El método de la regla de tres para resolver ecuaciones consiste en encontrar el cuarto término
de una proporción cuando se conocen los tres restantes. Este procedimiento es sencillo y rápido,
pero tiende a aplicarse irreflexivamente; en los ejemplos que siguen primero elaboraremos una
tabla con los datos del problema y luego encontraremos la solución. Posteriormente aplicaremos el
esquema tradicional de "la regla de tres" para resolver de esta otra forma el problema. Por supuesto,
los dos resultados deben coincidir.
La regla de tres se presta para mecanizar los procedimientos de solución, por eso es tan
popular. Esto, lejos de ser nocivo, es una gran ayuda, siempre y cuando se sepa lo que se está
haciendo y por qué se procede así.
Ejemplos:
26. Si un hombre levanta un peso de 87 kg, ¿cuánto peso podrán levantar en conjunto tres
hombres con la misma fuerza que el primero?
Elaboremos una tabla:
Número de hombres Peso que levantan Lenguaje natural
1 87 Un hombre levanta un peso de 87kg.
z (87)(z)= 87z z hombres levantan un peso de 87z kg.
Como nos interesa saber el peso que son capaces de levantar 3 hombres, hacemos z= 3 y
concluimos que 3 hombres levantan (87)(3)= 261 kg.
Esquema tradicional de regla de 3:
Al peso que levantan los 3 hombres juntos lo llamamos: x
Si 1 hombre levanta 87 kg, 3 hombres ¿cuánto peso levantarán?
1 87
x
x87
31
3 871
261( )( )
kg
3 x
Por lo tanto, los tres hombres juntos levantan 261 kg.
entreHombres Peso
Unidad 4
136
Ejercicio 5
1. Ocho calculadoras cuestan $5 400.00. ¿Cuántas calculadoras puedes adquirir con $ 3 375.00?
2. Una grúa de tipo A es capaz de levantar 234
de tonelada. Una grúa de tipo B levanta 35
del peso que es capaz de levantar la primera. ¿Cuántas toneladas pueden levantar al mismo tiempo 3 grúas del tipo A y 7 grúas del tipo B?
3. Un carro hace 120 kilómetros de camino en una hora. ¿Cuánto tiempo necesita para recorrer
450 kilómetros?
4. Ocho lápices cuestan lo mismo que 2 cuadernos y 5 cuadernos cuestan lo mismo que un estilógrafo cuyo precio es de $84.00. ¿Cuánto cuesta un lápiz? ¿Cuánto cuesta un cuaderno?
5. Una pulgada cúbica tiene 16.386 centímetros cúbicos, 538 de pulgada cúbica, ¿cuántos centímetros
cúbicos tendrá?
4.4.2. Regla de tres inversa
27. Un automóvil recorre el camino entre dos ciudades en 3 horas con una velocidad de
60Km/h. ¿Cuánto tiempo tardará en realizar el mismo recorrido si lo hace a una velocidad de 100
Km/h?
tiempo (h) velocidad (Km/h)
3 60
x 100
A mayor velocidad menor tiempo de recorrido, por lo que para resolver este problema se
aplica la regla de tres inversa.
La ecuación a resolver es: 100x = (3) (60)
x180100
1 8.
es decir 1 hora 48 minutos
28. 15 hombres pueden efectuar un trabajo en 24 días. ¿Cuántos hombres serán necesarios
para efectuar el trabajo en 37 días?
Siempre es conveniente que antes de resolver un problema intuyas la solución. Esto no significa
que debas predecir el resultado preciso, sino que con base en tu sentido común tengas una idea de
ÁLGEBRA
137
15 hombres en 24 días hacen todo
el trabajo.
1 hombre en 24 días hace .
1 hombre en 1 día hace .
115
1(15)(24)
x hombres en 1 día hacen .
x hombres en 37 días hacen .
x(15)(24)
37x(15)(24)
x15 24
3715 24
x
115
115 24
cómo debe ser la respuesta. Por ejemplo, en este problema es conveniente saber al menos que el número de hombres necesario para efectuar el trabajo en 37 días debe ser menos de 15.
Observa que los datos indican que: si 15 hombres hacen el trabajo en 24 días, entonces un solo hombre, en cuánto tiempo lo hará? Esto puede confundirse fácilmente con una regla de tres directa.
Número de hombres Número de días 15 24 x 37
Si procedemos irreflexivamente obtenemos x15 37
24= 23.125, lo cual es un absurdo.
La regla de tres directa sólo funciona cuando los incrementos o decrementos van a la par, es decir a medida que aumenta a aumenta b, o a medida que disminuye a disminuye b. Observa que este problema no es el caso, ya que entre más hombres trabajen se requerirán menos días para terminar el trabajo. Es decir, cuando una de las cantidades aumenta y la otra disminuye o viceversa, entonces se aplica la regla de tres inversa.
Regresemos al inicio y resolvamos con cuidado. Representemos por 1 (la unidad) el trabajo completo, entonces podemos formar una tabla como sigue:
Número de hombres Número de días Trabajo efectuado Lenguaje natural
15 24 1
1 24
1 1
Número de hombres Número de días Trabajo efectuado Lenguaje natural
x 1
x 37
La ecuación a resolver es: 37
15 241
x( )( )
Multiplicando por 36037
para despejar x: x36037
9 73.
Como no tiene sentido hablar de 9.73 hombres, redondeamos la cantidad y decimos que
en la práctica el resultado es x= 10 hombres.
Unidad 4
138
Ejercicio 6
1. Una compañía constructora ha observado que 12 de sus empleados construyen una pared en 9 horas. ¿Cuántos empleados se necesitan para que construyan una pared igual en 6 horas?
2. Retoma el problema del ejercicio anterior y da una respuesta práctica a la pregunta de ¿cuántos empleados se necesitan para que construyan una pared igual en 7 horas?
3. Mariana es capaz de armar un rompecabezas de 300 piezas en 2.5 h y su primo puede hacerlo en 2.8 h. Si arman juntos un rompecabezas, ¿cuánto tiempo se tardarán?
4. I rma y Eduardo tienen que hacer un proyecto para la escuela. I rma puede hacer 3
17 en 2 horas,
y Eduardo puede hacer 523
en 1.5 horas. Si trabajan juntos,¿cuánto tiempo les llevará hacer el
proyecto aproximadamente?
5. A puede desempeñar un trabajo en 60 h, y A y B trabajando juntos pueden hacerlo en 35 h. ¿Cuánto tiempo demora B si lo hace solo?
4.4.3. Problemas con datos implícitos
Cuando resuelvas un problema debes poner mucha atención en los datos, pues es posible
que exista información que no aparece de manera explícita en el enunciado. Los siguientes ejemplos
son de este tipo; antes de leer las soluciones trata de resolverlos por tu cuenta.
Ejemplos:
29. Los 4 jugadores (una versión del problema de los 7 jugadores).
4 jugadores convinieron en que quien perdiera debía pagar a cada uno de los otros 3 tanto
dinero como tuviera cada uno de éstos. Por ejemplo, si el jugador A tenía 3 pesos y el jugador B
tenía 2 pesos, el perdedor debía pagarle a A 3 pesos y a B 2 pesos.
Jugaron 4 partidas y en cada una perdió un jugador distinto, lo cual significa que todos
perdieron una vez.
Al terminar, cada uno contó su dinero y resultó que todos tenían la misma cantidad: 12.80
pesos.
¿Con cuánto dinero empezó cada uno el juego?
La clave para resolver este problema consiste en observar que la cantidad global de dinero no
sufre ninguna alteración. La suma del dinero de todos los jugadores no cambia durante las partidas,
ÁLGEBRA
139
lo que se modifica es el dinero en el bolsillo de cada jugador.
Por lo tanto, la suma total de dinero es 4(12.80) pesos = 51.20 pesos.
Empezaremos por considerar al primer jugador que perdió.
A la cantidad de dinero que tenía el primer jugador antes de iniciar el juego la llamamos x.
La cantidad total de los otros 3 jugadores es: 51.20 –x
Después de la primera partida, la perdida por él, le quedó: x –(51.20–x)= 2x–51.20
Como en la segunda partida él no perdió, duplicó su dinero: 2(2x–51.20)
Como en la tercera partida él no perdió, duplicó su dinero: 2 2 (2x–51.20)
Como en la cuarta partida él no perdió, duplicó su dinero: 2 2 2 (2x–51.20)
Al final todos tenían 12.80 pesos: 23(2x–51.20)= 12.8
Distribuyendo: 16x–409.6= 12.8
Sumando 409.6 y dividiendo entre 16 para despejar x: x= 26.4
Por lo tanto el primer jugador que perdió al comenzar las partidas tenía 26.40 pesos.
Sigamos con el caso del segundo jugador que perdió.
A la cantidad de dinero que tenía el segundo jugador antes de iniciar el juego la llamamos y.
Después de la primera partida, que él no perdió, duplicó su dinero: 2 y
La cantidad global de los otros 3 jugadores es: 51.20 –2y
En la segunda partida, la que él perdió, tuvo que pagar: 51.20 –2y
Le quedó: 2 y–(51.20–2 y)
Como en la tercera partida él no perdió, duplicó su dinero: 2 (2 y–(51.20–2 y))
Como en la cuarta partida él no perdió, duplicó su dinero: 22 (2y–(51.20–2y))
Al final todos tenían 12.80 pesos: 22 (2y–(51.20 –2 y))= 12.8
Distribuyendo: 16 y–204.8= 12.8
Sumando 204.8 y dividiendo entre 16: y= 13.6
Por lo tanto, el jugador que perdió la segunda partida inició el juego con 13.60 pesos.
El procedimiento para encontrar la cantidad de dinero con la que iniciaron los jugadores
que perdieron en tercero y cuarto lugar, es análogo.
4.4.4. Problemas sobre el reloj
Para un observador curioso es suficiente tener frente a sí un
reloj de manecillas para plantearse un sinfín de preguntas. Se desconoce
quién fue el pionero en plantear problemas de este tipo, pero lo cierto
es que desencadenó una serie de interrogantes que se identifican
como: problemas del reloj . Veamos unos ejemplos.
Unidad 4
140
Ejemplos:
30. ¿A qué hora entre las 4 y las 5, las manecillas del reloj están superpuestas?
A la cantidad de minutos recorrida por el minutero la llamamos: x
Entonces la cantidad de minutos recorrida por el horario es: x
12Como nos interesa encontrar la posición entre las 4 y las 5, empezamos con el minutero
en el 12 y el horario en el 4.
Si el minutero está en el 12 y recorrió x minutos, entonces el horario recorrió a partir del
20, x
12 minutos y con respecto al 12: 20
12x minutos.
Para que las manecillas estén superpuestas es necesario que recorran la misma cantidad de
minutos a partir del 12: x= 2012x Ec. a resolver.
Restando x
12: x–
x12
= 20
Sumando las fracciones: 12
1220
x x
Multiplicando por 12: 12 x–x= 240
Efectuando operaciones: 11x= 240
Dividiendo entre 11 para despejar x: x 21 81.
Convirtiendo el decimal a fracción: x 21911
Por lo tanto, el minutero debe recorrer 21911
minutos para que las manecillas queden
superpuestas entre las 4 y las 5, aproximadamente a las 4 horas con 21.8 minutos. Comprueba en
un reloj de manecillas este resultado.
4.4.5. Problemas de móviles
Ejemplos:
31. Un hombre manejó su automóvil 287.5 km durante 234 horas. Si la primera parte del
viaje fue a una velocidad de 80 km/h y el resto fue a una velocidad de 110 km/h, ¿cuánto tiempo
duró manejando a 110 km/h?
Recordemos que vdt
.
A la distancia y al tiempo que duró manejando a una velocidad de 80 km/h los llamamos
respectivamente: d1 y t1
A la distancia y al tiempo que duró manejando a una velocidad de 110 km/h los llamamos respectivamente: d2 y t2
ÁLGEBRA
141
La distancia total recorrida es 287.5 km: d1 + d2 = 287.5
Despejando d2 tenemos que: d2 = 287.5 – d1 (1)
El tiempo total es 234
2.75 h: t1 + t2 = 2.75
Despejando t2 tenemos que: t2 = 2.75 – t1 (2)
Velocidad por tiempo es igual a distancia: (80)(t1) = d1 (3)
y (110)(t2 ) = d2
Consideremos la ecuación (110)(t2) = d2 y sustituyamos d2 por (1) y t2 por (2):
(110)( 2.75 – t1)= 287.5 – d1
Efectuando operaciones: 302.5 – 110 t1 = 285.5 – d1
Reduciendo términos semejantes: –110 t1= –15 – d1
Sustituyendo d1 por (3): –110 t1= –15 – 80 t1 Ec. a resolver.
Sumando 80 t1: –30 t1 = –15
Dividiendo entre –30 para despejar t1: t1 = 12
= 0.5
Sustituyendo el valor de t1 en (2): t2 = 2.75 –.5= 2.25
Por lo tanto, el tiempo que el automovilista duró manejando a 110 km/h fue 214
horas.
Comprueba este resultado.
Unidad 4
142
Ejercicios resueltos
1. Resolver 2
417
41
xx
xx
. La única restricción es x= 4.
Efectuando operaciones en el segundo miembro: 17
41
17 1 4
418 4
4x
x
x x
xx
x
( )( )
Entonces la ecuación 2
417
41
xx
xx
es equivalente a: 2
418 4
4x
xx
x
Multiplicando ambos lados de la ecuación por x – 4, obtenemos: 2 x= 18 x–4
Restando 18 x: –16 x= –4
Dividiendo entre –16 para despejar x: x416
14
Comprobación:
214
14
4
12154
42 15
215
1714
14
( )( )
41
174154
14 174 15
11715
1515
215
( )( )( )( )
2. La suma de la quinta y la tercera parte de un número equivale al cuádruple del número,
aumentado en 18. ¿Cuál es el número?
Al número lo llamamos: x
La suma de la quinta y la tercera parte del número es: x x5 3
El cuádruple del número aumentado en 18 es: 4 x+ 18
La ecuación a resolver es: x x5 3
= 4x+ 18
Restando 4x: x x5 3
–4x= 18
Multiplicando por MCM (3,5)= 15: 3x+ 5x–60 x= 270
reduciendo términos semejantes: –52x= 270
Dividiendo entre 52 para despejar x: x27052
13526
Por lo tanto, el número es 13526
5526
. Comprueba este resultado.
ÁLGEBRA
143
3. Se tienen 3 números consecutivos tales que la diferencia entre 25
del mediano y los 4
15 del menor
exceden en 3 a 320
del mayor. H allar los números.
Al menor de los números lo llamamos: x
Entonces los números mediano y mayor son respectivamente: x+ 1 y x+ 2
La diferencia entre 25
del mediano y los 4
15 del menor es:
25
(x+ 1)– 4
15x
La ecuación a resolver es: 25
(x+ 1)– 4
15x= 3+
320
(x+ 2)
Multiplicando por MCM (5, 15, 20)= 60: 24(x+ 1)–16x= 180+ 9(x+ 2)
Distribuyendo: 24 x+ 24–16x= 180+ 9x+ 18
reduciendo términos semejantes: 8x+ 24= 9x+ 198
despejando x: 24 –198= x
x= –174
Por lo tanto, los números son: –174, –174+ 1= –173 y –174+ 2 = –172. Comprueba este
resultado.
4. La suma de dos números es 104 y si el mayor se divide por el menor el cociente es 2 y el
residuo 5. H allar los números.
Al número menor lo llamamos: x
Entonces el número mayor es: 104 –x
El cociente del mayor entre el menor es: 104 x
x
Por el algoritmo de la división: 2x + 5 = 104 – x
Agrupando términos semejantes: 2x + x = 104 – 5
Sumando x–5: 3 x = 104 – 5 = 99
Dividiendo entre 3 para despejar x: x = 33
Por lo tanto, los números son: 33 y 104 –33= 71. Comprueba este resultado.
5. Dos hermanos tienen 21 y 7 años respectivamente. ¿Dentro de cuántos años la edad del mayor
será 225
de la del menor?
Al número de años que se necesitan lo llamamos: x
Dentro de x años el hermano mayor y el menor tendrán, respectivamente: 21+ x y 7+ x
2104
5x x
Unidad 4
144
La ecuación a resolver es: 21+ x= 225 (7+ x)
Convirtiendo 225
a fracción impropia: 21125
x (7+ x)
Distribuyendo: 21845
125
x x
Agrupando términos semejantes: 21845
125
x x
Restando: 215
75
x
Multiplicando por 57
para despejar x: x= 3
Por lo tanto, dentro de 3 años la edad del mayor será 225
de la del menor. Comprueba este
resultado.
6. El número de unidades de un número de 2 cifras excede en 2 a la cifra de las decenas. Si el número
se divide por la suma de sus cifras más 3 el cociente es 4, ¿cuál es el número?
A la cifra de la unidades la llamamos: x
Entonces la cifra de las decenas es: x–2
El número es: 10(x–2)+ x= 11 x–20
La suma de sus cifras más 3 es: x+ (x–2)+ 3= 2 x+ 1
El cociente del número entre la suma de sus cifras más 3 es: 11 20
2 1xx
La ecuación a resolver es: 11 20
2 14
xx
Multiplicando por 2 x+ 1: 11x–20= 8 x+ 4
Reduciendo términos semejantes: 3x= 24
Dividiendo entre 3 para despejar x: x= 8
Por lo tanto, las unidades son 8 y las decenas 8–2= 6, entonces el número es 68.
7. Un comerciante aumenta a su mercancía el 27% del precio de costo. Si en la factura del cliente
descuenta el 15%, ¿cuál es el porcentaje de su ganancia?
A la cantidad que representa el costo la llamamos: x
El precio de venta es: x+ 27% x
La cantidad en la factura del cliente es: (x+ 27 % x)–15%(x+ 27% x)
Escribiendo los porcentajes como fracciones: x x x x27
10015
10027
100
ÁLGEBRA
145
Reduciendo la expresión x x27
100: x x
x xx
27100
100 27
100
127
100
Sustituyendo x x27
100 por
127100
x tenemos: 127100
15100
127100
127100
1 905
10 000x x x x
Reduciendo: 127100
1 90510 000
12 700 1 90510 000
10 79510 000
x xx x x
Reduciendo la fracción: 10 79510 000
2 1592 000
xx
La ganancia es lo que el cliente pagó menos el costo: 21592000
21592000
20002000
1592000
x x x x x
El porcentaje que representa 159
2000x sobre x es (aplicando la regla de tres directa):
Porcentaje Cantidad
100 x La proporción es: z
x
x100
1592000
z 159
2000x
Simplificando y multiplicando por 100 para despejar z:
z1592000
100159 100
200015920
7 95( )( )( )
.
Por lo tanto, el comerciante tuvo una ganancia del 7.95%.
8. La biblioteca de cierta universidad de Estados Unidos tiene un sistema muy peculiar para
mantener al día la devolución de los libros. El primer día de retraso cobra 1.50 pesos, el segundo
día cobra 1.50 + 4%(1.50) pesos, el tercer día cobra [1.50 + 4%(1.50)]+ 6%[(1.50 + 4%(1.50)]
pesos y así sucesivamente: el n–ésimo día de retraso cobrará la cantidad (en pesos) del día anterior
((n–1) –ésimo) más el (2 n)% sobre esa misma cantidad. Si un estudiante se ha retrasado 5 días,
¿cuánto debe pagar de multa?
A la cantidad que representa la multa por 5 días de retraso la llamamos: x
La multa por n días de retraso es: multa (n–1)–ésimo día más (2n)%((n–1)–ésimo día).
La ecuación por resolver es: x= multa del cuarto día + 10%(multa del cuarto día).
La multa del cuarto día es: multa del tercer día + 8%(multa del tercer día).
La multa del tercer día es: multa del segundo día + 6%(multa del segundo día).
La multa del segundo día es: multa del primer día + 4%(multa del primer día).
Unidad 4
146
Entonces, la multa del segundo día: = 1.50 + 4%(1.50)= 1.56 pesos.
La multa del tercer día: = 1.56 + 6%(1.56)= 1.6536 pesos.
La multa del cuarto día: = 1.6536 + 8%(1.6536) 1.7859 pesos.
La multa del quinto día: = 1.7859 + 10%(1.7859) 1.9645 pesos.
Por lo tanto, redondeando cantidades: x 1.96 pesos.
9. Un comerciante de productos lácteos cambió con su vecino, el carnicero, 5 quesos con un valor
de $67.50 cada uno por carne de res con un valor de $38.70 kg. ¿Cuál es la cantidad máxima de
kilogramos (exactos) de carne que puede intercambiar y cuánto debe recibir en efectivo para que
el intercambio sea exacto?
El valor en pesos de los 5 quesos es: $(5)(67.50)= $337.50.
A la cantidad máxima de kilogramos exactos de carne que puede intercambiar con sus 5
quesos la llamamos: x
Kilogramos de carne Valor en pesos Lenguaje natural
1 38.70 1kg de carne cuesta $38.70.
a (38.70)a a kg de carne cuestan $(38.70)a.
Ecuación a resolver: 38.70 a= 337.50
Dividiendo entre 38.70: a337 5038 70
3375
3878
279387
..
Por lo tanto, x= 8 (la parte entera de la fracción).
El comerciante de productos lácteos recibe: 8 kg de carne con un valor de $309.60.
Sustituyendo a por 8 en la tabla: (38.7)(8)= 309.6
Entonces el carnicero debe entregarle, además de la carne, dinero en efectivo.
A la cantidad que el carnicero debe dar al vendedor de productos lácteos la llamamos: z
La ecuación a resolver es: 309.6 + z= 337.50
Restando 309.6 para despejar x: z= 27.9
Por lo tanto, el comerciante de lácteos recibe 8 kg de carne de res y $27.90 en efectivo.
10. Un coreógrafo cuenta con 8 trabajadores y 10 días para terminar el escenario de una obra
teatral. Si la obra debe presentarse tres días antes de lo previsto, ¿cuántos trabajadores necesitará
para terminar el trabajo a tiempo?
En primer lugar observamos que la relación entre las variables tiempo y número de hombres
es inversa, es decir, si aumenta el número de trabajadores disminuye el tiempo para realizar dicho
trabajo. Es por esto que debemos aplicar la regla de tres inversa.
ÁLGEBRA
147
Llamemos x al número de trabajadores y establecemos que:
(10)(8) = (10 –3)(x)
(10)(8) = (7)x
Despejando x:
10 8
7x
Finalmente: x807
11 4286.
Como el número de trabajadores debe ser un número entero, concluimos que x = 12 es el
número necesario de trabajadores para terminar a tiempo el trabajo.
Unidad 4
148
Ejercicios propuestos
1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 54
5 87x .
b) 3 68
34
112
z
c) 1 323
114
0 2 1 2. . ( . )x x x
d) 3 1
47
12
5 32
8 5x x
.
e) 1
37 4552
3 14
x x.
f) x
xxx5
212 5
2. En un juego de mesa los jugadores inician con 130 puntos y cada vez que pierden una partida se
les descuenta el 15% de los puntos que tengan en ese momento. Si la única forma de perder puntos
es perdiendo un juego, después de 2 juegos perdidos, ¿cuántos puntos le quedan a un jugador?
3. 35
de un número, más su mitad, es igual a siete veces el número más 57
. ¿Cuál es el número?
4. Si el perímetro de una circunferencia de radio 5 u se divide por el lado de un cuadrado, el
resultado es igual al recíproco de la mitad del lado del cuadrado menos 1. ¿Cuál es el perímetro del
cuadrado?
5. Al adquirir una computadora, cuyo precio era de 3 500 pesos, Alberto se da cuenta de que tiene
un descuento del 13% sobre el precio, con un impuesto del 10%; pero al llegar a la caja tiene la
fortuna de ser el cliente 100 del día, por lo que recibe un descuento adicional del 18% sobre el
precio que marca su nota. ¿Cuánto ha pagado Alberto por su computadora?
ÁLGEBRA
149
6. Si la comida corrida en cierto restaurante cuesta 2
5 del valor de la especialidad de la casa, ¿cuánto
gastarán Marta y sus 4 amigas si han decidido ordenar la comida corrida sabiendo que la especialidad
de la casa cuesta $87.50 el platillo? (Las bebidas son cortesía de la casa).
7. Un jardinero puede podar el césped de un jardín en 6 h utilizando una potente segadora. Su
ayudante puede hacer el mismo trabajo en 8.4 h utilizando una podadora más modesta. Si trabajan
juntos, ¿en cuánto tiempo terminan de podar todo el jardín?
8. En un matrimonio de químicos ha surgido un penoso desacuerdo. Él preparó 3 l de agua de
naranja con una concentración de azúcar al 10%, y ella preparó 10 l de agua de la misma fruta, pero
con una concentración al 6%. Él dice que el agua de ella es desabrida y ella opina que el agua de
él es demasiado dulce. Para no discutir, han decidido mezclar las dos preparaciones de tal manera
que el agua tenga una concentración de azúcar al 8%. ¿Cuántos litros del agua preparada por ella
habrán de vertirse en los 3 l del agua preparada por él para obtener la concentración deseada?
9. Dos ciclistas salen en direcciones opuestas desde un mismo punto de partida en una pista circular
de 1.6 km y se encuentran al cabo de 6 min. Si fueran en la misma dirección, el ciclista más rápido
obtendría 1
2 vuelta de ventaja en 15 min. Encuentra la rapidez de cada ciclista en km/h.
10. ¿A qué hora entre las 11 y las 12 las manecillas del reloj forman un ángulo de 180°?
Unidad 4
150
Autoevaluación
1. La edad de Jaime es el triple de la edad de su hijo y hace 8 años la edad del hijo era 17
de la del
padre. ¿Cuántos años tiene el padre y cuántos años tiene el hijo?
a) El hijo 10 años y el padre 30.
b) El hijo 12 años y el padre 36.
c) El hijo 11 años y el padre 33.
d) El hijo 16 años y el padre 48.
e) El hijo 9 años y el padre 27.
2. Un triángulo rectángulo está apoyado sobre uno de sus catetos y se sabe que la longitud de su
base es 312
su altura. Si su perímetro es 15 cm, ¿cuánto mide su altura?
a) 30
53 3cm
b) 10
53 3cm
c) 30
53 9cm
d) 15
14( )53 9
cm
e) 15 53 914
cm
3. Una inversión de $5 778.50 produce $462.28 de réditos en un año. ¿Cuánto producirán $7 588.80
en un año a la misma tasa de interés?
a) $607.104
b) $706.104
c) $60.7104
d) $637.40
e) $662.28
4. ¿Aproximadamente qué porcentaje de alcohol tendrá una solución obtenida al mezclar 800
mililitros al 29% con 660 mililitros al 52%?
ÁLGEBRA
151
a) 544%
b) 39.39%
c) .3885%
d) 41%
e) 3.886%
5. Seis hombres pueden pintar una casa en 8 días con una jornada de 6 h. ¿Cuántos días requerirán
5 hombres trabajando 7 horas diarias para pintar la misma casa?
a) 7 días.
b) 8 días.
c) 8835 días.
d) 757 días.
e) 867 días.
6. Seis atletas consumen 135 l en 130 días, de cierta bebida que contiene proteínas y sales que
ayudan a optimizar su condición física. Si el número de atletas es 8, ¿cuántos litros de esta bebida
consumirán en 25 días?
a) 30 113 litros.
b) 34 213 litros.
c) 38 413 litros.
d) 34 813
litros.
7. Un grupo de reposteros elabora en 1 hora un promedio de 115
4kg de masa para pasteles. ¿Cuántos
kilogramos de masa podrán preparar en 756
h?
a) 205 1012
b) 225 524
c) 205 524
d) 230 148
Unidad 4
152
8. César y Óscar se alternan para repartir el periódico por su vecindario, César termina su trabajo
en 3
4h y Óscar tan sólo en
1
2h . Si repartieran los periódicos entre los dos, ¿en cuánto tiempo
terminarían?
a) 18 minutos
b) 13 minutos
c) 15 minutos
d) 21 minutos
ÁLGEBRA
153
Respuestas a los ejercicios
1. 7211
2. 917
6m
3. 15, 18 y 21
4. Mariano $13.50 y Cecilia $11.50.
5. 31, 32 y 33
6. 97
1. x4027
2. x225
3. x4633
4. z= 3
5. a32
6. x13
1. 39
10 km
2. $6 937.20
3. 12%
4. 187 cm= 1.87 m
5. 0.76 cm
Ej. 1
Ej. 2
Ej. 3
Unidad 4
154
1. $ 515.1531
2. H ierro: 1 356.124 kg y de bronce: 108.484 kg
3. 178 libros.
4. 5 83. kg
5. Aproximadamente $ 44 952.68.
1. 5 calculadoras.
2. 19.8 toneladas.
3. 334 h
4. 1 cuaderno: $16.80 y 1 lápiz: $4.20.
5. 88.07475 cm3
1. 18 empleados.
2. 16 empleados.
3. 1.32 h
4. 4.28 h
5. B tarda 84 h
1.a) x= 4.62
b) z29
c) x1025
24
d) x577
Ej. 4
Ej. 5
Ej. 6
Ejercicios propuestos
ÁLGEBRA
155
kmh
kmh
e) x = – 6.3433
f) x = –15
2. 93.925 puntos.
3. El número es: 50413
4. El perímetro es: 45
5 1u
5. 2 746.59 pesos.
6. $175.00
7. 3.5 h
8. 3 l
9. 9.6 y 6.4
10. El minutero debe recorrer 273
11 minutos. La hora aproximada es 11 horas con
27.3 minutos.
1. b)2. c)3. a)4. b)5. c)6. d)7. b)
8. a)
Autoevaluación
