UNIDAD 4 Geometría transformativa Transformaciones y ... 4 Geometría transformativa Unidad 4 Tarea...

PROFESIONES EN MATEMÁTICASPROFESIONES EN MATEMÁTICAS

UNIDAD 4

Geometría transformativa

Unidad 4 Tarea de rendimiento

Contratista Los contratistas se dedican a la

construcción, reparación y desmantelamiento de

estructuras como edifi cios, puentes y carreteras. Los

contratistas usan las matemáticas cuando tienen

que averiguar y poner en práctica las normas de

construcción, para medidas, modelos a escala y

administrar los recursos fi nancieros.

Si te interesa la profesión de contratista, debes

estudiar las siguientes materias de matemáticas:

• Matemáticas para negocios

• Geometría

• Álgebra

• Trigonometría

Investiga otras profesiones que requieran el uso de

las matemáticas para negocios y la construcción a

escala.

Al fi nal de la unidad, descubre

cómo usan las matemáticas los

contratistas.

Transformaciones y congruencia

8.G.1.1, 8.G.1.2, 8.G.1.3

Transformaciones y semejanzas

8.G.1.3, 8.G.1.4

MÓDULO 999999999999999999999999MÓDULO 999

MÓDULO 1010101010MÓDULO 1010

273

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

• Im

age

Cred

its:

Unidad 4

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

• Im

age

Cred

its: ©

Digi

tal V

ision

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ty Im

ages

Un vistazo al vocabularioUNIDAD 4

V D I L A T A C I Ó N D R Y S V Ñ

G U N A F C G L E R Z O I N B F L

M S Ó M R I D D X Z T B Ó Y Q A H

E A I P B G T X U A U I Q M N Y J

H W X L T Y H P C P C G D I Ñ Q K

M J E I Q C B I G A R Q G W Z R Y

E N L A K H Ó B L K S N R O E V P

F T F C G N A S N H E X O D M G F

Y H E I G P A T U G T D U D B G I

Y E R Ó W R O L A X H C G Q K R G

B W N N T U S M Ñ Q C T A H H U K

C W G N Ñ P I R I I Z B H F V I N

P A B T U E U G Ó T U Y H Q X A S

C H P O R Ñ E N J K S J X G D R Q

B J T P I I L L A Z S D N M W K N

Usa la sopa de letras para darle un vistazo al vocabulario clave de esta

unidad. Ordena las letras encerradas en círculos dentro de las palabras

halladas para contestar la pregunta que aparece al fi nal de la página.

• Valor de entrada de una transformación. (Lección 9.1)

• Transformación que refleja una figura sobre una recta. (Lección 9.2)

• Transformación que desplaza una figura a lo largo de una recta. (Lección 9.1)

• Transformación que gira una figura alrededor de un punto dado. (Lección 9.3)

• Producto de hacer una figura más grande mediante la dilatación. (Lección 10.1)

• Producto de hacer una figura más pequeña mediante la dilatación. (Lección 10.1)

• Reproducción a escala que cambia el tamaño pero no la forma de la figura. (Lección 10.1)

P: ¿Qué forman dos cuadrados?

R: Un !

Un vistazo al vocabulario274

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ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

PREGUNTA ESENCIAL?

APRENDEEN LÍNEA

my.hrw.com

Vídeo de la vida real

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my.hrw.com Matemáticas al instante

Obtén comentarios y ayuda al instante a medida que trabajas en las prácticas.

Entrenador personal en matemáticas

Explora interactivamente los conceptos clave para ver cómo funcionan las

matemáticas.

Matemáticas en acción

Las versiones digitales de todas las páginas del

libro del estudiante están disponibles en línea.

Escanea con tu celular para entrar directamente en la edición en línea del Vídeo

tutorial y más.

¿Cómo puedes usar transformaciones y congruencia para resolver problemas de la vida real?

9Transformaciones y congruencia

Cuando los integrantes de una banda de música ocupan sus posiciones y desfilan por una cancha, están representando una traslación. A medida que desfilan, mantienen el tamaño y la orientación. Las traslaciones son un tipo de transformación.

LECCIÓN 9.1

Propiedades de las traslaciones

8.G.1.1, 8.G.1.3

LECCIÓN 9.2

Propiedades de las reflexiones

8.G.1.1, 8.G.1.3

LECCIÓN 9.3

Propiedades de las rotaciones

8.G.1.1, 8.G.1.3

LECCIÓN 9.4

Representaciones algebraicas de las transformaciones

8.G.1.3

LECCIÓN 9.5

Figuras congruentes8.G.1.2

MÓDULO

275

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

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ublis

hing

Com

pany

• Im

age

Cred

its:

© G

rego

ry K

. Sco

tt/G

etty

Imag

es

¿Estás listolisto?

my.hrw.com


Evaluación eintervención en línea

KJ

L

10170

2016030150

40140

50130

60120

70110

80100

9010080110

7012060

13050

140

40

150

30

160

20

170

10

H

F

GZY

X

TS

R

Completa estos ejercicios para repasar las destrezas

que necesitarás en este módulo.

Operaciones con enterosEJEMPLO -3 - (-6) = -3 + 6

= | -3 | - | 6 |

= 3

Calcula cada diferencia.

1. 5 - (-9) 2. -6 - 8 3. 2 - 9 4. -10 - (-6)

5. 3 - (-11) 6. 12 - 7 7. -4 - 11 8. 0 - (-12)

Medir ángulosEJEMPLO

Usa un transportador para medir cada ángulo.

9.

10.

11.

m∠ JKL = 70°

Coloca el punto central del transportador en el vértice del ángulo.

Alinea un rayo con la base del transportador.

Lee la medida del ángulo donde el otro rayo cruza el semicírculo.

Para restar un entero, suma su opuesto.Los signos son diferentes, entonces calcula la diferencia de los valores absolutos: 6 - 3 = 3.Usa el signo del número con el mayor valor absoluto.

Unidad 4276

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lin H

arco

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hing

Com

pany

Práctica de vocabulario

Lectura con propósitoFolleto Haz un folleto antes de comenzar a leer para

ayudarte a aprender los conceptos de este módulo.

Escribe las ideas principales de las lecciones. Luego,

a medida que vayas leyendo, escribe los detalles

importantes que apoyen la idea principal, como el

vocabulario y las fórmulas. Repasa el folleto una vez

terminado para hacer las tareas y estudiar para los

exámenes.

VocabularioPalabras de repaso

cuadrilátero (quadrilateral)

✔ paralelogramo

(parallelogram)

plano cartesiano (coordinate

plane)

✔ rombo (rhombus)

✔ trapecio (trapezoid)

Palabras nuevas

eje de rotación (center

of rotation)

congruente (congruent)

imagen (image)

línea de reflexión (line of

reflection)

preimagen (preimage)

reflexión (reflection)

rotación (rotation)

transformación

(transformation)

traslación (translation)

Visualiza el vocabularioUsa las palabras con ✔ para completar el organizador gráfico.

Escribe solo una palabra por óvalo.

Comprende el vocabularioEmpareja el término de la izquierda con la expresión correcta de la derecha.

1. transformación A. Función que describe un cambio en la posición,

tamaño o forma de una figura.

2. reflexión B. Función que desplaza una figura a lo largo de una

recta.

3. traslación C. Transformación que refleja una figura sobre

una recta.

Cuadrilátero con

todos los lados

congruentes y

lados opuestos

paralelos.

Cuadrilátero con

lados opuestos

paralelos y

congruentes.

Cuadrilátero

con dos lados

paralelos.

Tipos de cuadriláteros

277Módulo 9

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

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ublis

hing

Com

pany

y

x

-2

42-4

4

2

O

A B

CA′ B′

C′

Figura 1

Figura 2

Figura 3

A′B′

C′

A′B′

C′

my.hrw.com

Desglosar los estándaresComprender los estándares y las palabras de vocabulario te ayudará a saber exactamente lo que se espera que aprendas en este módulo.

Lo que significa para tiIdentificarás una rotación, una reflexión, una traslación y una secuencia

de transformaciones y comprenderás que la imagen tiene la misma forma

y tamaño que la preimagen.

Lo que significa para tiPuedes usar una representación algebraica para trasladar, reflejar o rotar

una figura bidimensional.

MÓDULO 9

La figura muestra el triángulo

ABC y su imagen después de

tres transformaciones distintas.

Identifica y describe la traslación,

la reflexión y la rotación del

triángulo ABC.

La Figura 1 es una traslación 4

unidades hacia abajo. La Figura 2

es una reflexión sobre el eje y.

La Figura 3 es una rotación

de 180°.

El rectángulo RSTU con vértices (-4, -1), (-1, 1), (-1, -3) y (-4, -3)

se refleja sobre el eje y. Halla las coordenadas de la imagen.

La regla para reflejar sobre el eje y es cambiar el signo de la

coordenada x.

CoordenadasReflejo sobre el

eje y (-x, y)Coordenadas de

la imagen

(-4, 1), (-1, 1),

(-1, -3), (-4, -3)

(-(-4), 1), (-(-1), 1),

(- (-1), -3), (-(-4), -3)

(4, -1), (1, 1),

(1, -3), (4, -3)

Las coordenadas de la imagen son (4, 1), (1, 1), (1, -3) y (4, -3).

8.G.1.2

Comprender que una figura

bidimensional es congruente

a otra si la segunda se puede

obtener a partir de la primera

mediante una serie de rotaciones,

reflexiones y traslaciones; dadas

dos figuras congruentes, describir

una secuencia que muestre la

congruencia entre ellas.

8.G.1.3

Describir los efectos de las

dilataciones, traslaciones,

rotaciones y reflexiones en

figuras bidimensionales usando

coordenadas.

DESGLOSAR EL EJEMPLO 8.G.1.2


Visita my.hrw.com

para ver todos los

Estándares

comunes de

Florida

desglosados.

Unidad 4278

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

¿Cómo puedes describir las propiedades de orientación y congruencia de las traslaciones?

?

ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1

y

x

2 4

2

O

4

6

8

10

6 8 10

A

A′BC

PREGUNTA ESENCIAL

L E C C I Ó N

9.1Propiedades de las traslaciones

Explorar las traslacionesAprendiste que una función es una regla que asigna a cada entrada exactamente

una salida. Una transformación es una función que describe un cambio en

la posición, tamaño o forma de una figura. La entrada de una transformación

es la preimagen y la salida de una transformación es la imagen.

Una traslación es una transformación que desplaza una figura a lo largo de

una línea recta.

El triángulo que aparece en la cuadrícula es la preimagen (entrada).

La flecha muestra el movimiento de la traslación y cómo el punto A

es trasladado al punto A′.

Traza el triángulo ABC en una hoja de papel y recórtalo.

Desliza el triángulo a lo largo de la flecha para representar la

traslación que convierte el punto A en el punto A′.

La imagen de la traslación es el triángulo producido por la

traslación. Dibuja la imagen de la traslación.

Los vértices de la imagen se rotulan usando la notación

prima. La imagen de A es, por ejemplo, A′. Rotula las

imágenes de los puntos B y C.

Describe el movimiento que representa la traslación.

Desplázate unidades a la derecha y

unidades hacia abajo.

Comprueba que el movimiento que describiste en la parte E es el mismo

movimiento que convierte el punto A en A′, el punto B en B ′ y el punto C en C ′.

Reflexiona1. ¿Qué efecto tiene la traslación sobre la orientación del triángulo?

A

B

C

D

E

F

8.G.1.1

Verify experimentally the properties of … translations. Also 8.G.1.1a, 8.G.1.1b, 8.G.1.1c, 8.G.1.3

8.G.1.1

279Lección 9.1

© H

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ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

• Im

age

Cred

its: ©

Bra

nd X

Pict

ures

/Ala

my

Imag

es

y

x

2

-2

-4

-6

-2 2 6-4-6

4

6

O

AP

T R

Propiedades de las traslacionesUsa el trapecio TRAP para investigar las propiedades

de las traslaciones.

Traza el trapecio en un hoja de papel

y recórtalo.

Coloca el trapecio encima del trapecio de la

cuadrícula. Luego, traslada el trapecio 5 unidades

a la izquierda y 3 unidades hacia arriba. Dibuja la

imagen de la traslación trazando el trapecio en

la nueva ubicación. Rotula los vértices de la

imagen T ′, R ′, A′ y P ′.

Usa una regla para medir los lados del trapecio

TRAP en centímetros.

TR = RA = AP = TP =

Usa una regla para medir los lados del trapecio T ′R ′A′P ′ en centímetros.

T ′R ′ = R ′A′ = A′P ′ = T ′P ′ =

¿Qué observas sobre las longitudes de los lados correspondientes de las

dos figuras?

Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio TRAP.

m∠T = m∠R = m∠A = m∠P =

Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio T ′R ′A′P ′.

m∠T ′ = m∠R ′ = m∠A′ = m∠P ′ =

¿Qué observas sobre las medidas de los ángulos correspondientes de las

dos figuras?

¿Qué lados del trapecio TRAP son paralelos? ¿Cómo lo sabes?

¿Qué lados del trapecio T ′R ′A′P ′ son paralelos?

¿Qué observas?

A

B

C

D

E

F

G

H

I

ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 2 8.G.1.1

Unidad 4280

© H

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Com

pany

O

y

x

-5

5-5

5

X

Y

Z

X′

Y′

Z′

O

y

xX

Z

X′

Y′

Z′

Y

-5

5-5

5

Matemáticas al instante

my.hrw.com

Reflexiona2. Haz una conjetura Usa los resultados de las partes E , H e I para hacer

una conjetura sobre las traslaciones.

3. Dos figuras son congruentes cuando tienen el mismo tamaño y la misma

forma. ¿Qué puedes decir sobre las traslaciones y la congruencia?

Representar gráficamente las traslacionesPara trasladar una figura en el plano cartesiano, traslada cada uno de los vértices.

Luego, conecta los vértices para formar la imagen.

La figura muestra el triángulo XYZ. Representa la imagen del triángulo después de

una traslación de 4 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba.

Traslada el punto X.

Cuenta 4 unidades a la derecha

y 1 unidad hacia arriba y marca

el punto X ′.

Traslada el punto Y.

Cuenta 4 unidades a la derecha

y 1 unidad hacia arriba y marca

el punto Y ′.

Traslada el punto Z.

Cuenta 4 unidades a la

derecha y 1 unidad hacia arriba y

marca el punto Z ′.

Une X ′, Y ′ y Z ′ para formar el

triángulo X ′Y ′Z ′.

EJEMPLO 1

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

¿Es congruente la imagen con la preimagen? ¿Cómo lo sabes?

Charlamatemática

Prácticas matemáticas

8.G.1.3

Cada vértice se desplaza 4 unidades a la derecha y 1 unidad hacia arriba.

281Lección 9.1

© H

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ton

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lin H

arco

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Com

pany

y

x5

4

-5

-4

OW X

YZ

Entrenador personal

en matemáticas


my.hrw.com

y

x6

4

-6

-4

O

A B

CD

4. La figura muestra el paralelogramo

ABCD. Representa la imagen del

paralelogramo después de una

traslación de 5 unidades a la

izquierda y 2 unidades hacia abajo.

ES TU TURNO

1. Vocabulario Una es un cambio en la posición, el

tamaño o la forma de una figura.

2. Vocabulario Cuando realizas la transformación de una figura en el plano

cartesiano, la entrada de la transformación se llama ,

y la salida de la transformación se llama .

3. Joni traslada un triángulo rectángulo 2 unidades hacia abajo y 4 unidades a

la derecha. ¿Cómo cambia la orientación de la imagen del triángulo en comparación

con la orientación de la preimagen? (Actividad para explorar 1)

4. Rashid dibujó el rectángulo PQRS en un plano cartesiano. Luego, trasladó el

rectángulo 3 unidades hacia arriba y 3 unidades a la izquierda, y rotuló la imagen

P ′Q ′R ′S ′. ¿Qué comparación hay entre los rectángulos PQRS y P ′Q ′R ′S ′?

(Actividad para explorar 2)

5. La figura muestra el trapecio WXYZ. Representa la imagen del

trapecio después de una traslación de 4 unidades hacia arriba y 2

unidades a la izquierda. (Ejemplo 1)

Práctica con supervisión

6. ¿Cuáles son las propiedades de las traslaciones?

ÉNFASIS EN LA PREGUNTA ESENCIAL??

Unidad 4282

© H

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my.hrw.com



y

x

-4

6-6

6

O

D

E

F

D′

y

x

-6

6-6

6

O

PQ

R

S

y

x

-6

6-6

6

O

AB

CD

y

x

-6

6-6

6

O

Nombre Clase Fecha

Práctica independiente9.1

7. La figura muestra el triángulo DEF.

a. Representa la imagen del triángulo después de una

traslación que convierta el punto D en el punto D ′.

b. ¿Cómo describirías esa traslación?

c. Qué comparación hay entre la imagen del triángulo DEF y

la preimagen?

8. a. Representa en la cuadrícula de coordenadas el cuadrilátero

KLMN con vértices K(-3, 2), L(2, 2), M(0, -3) y N(-4, 0).

b. Representa en la misma cuadrícula de coordenadas la

imagen del cuadrilátero KLMN después de una traslación

de 3 unidades a la derecha y 4 unidades hacia arriba.

c. ¿Qué lado de la imagen es congruente con el lado _

LM ?

Escribe otros tres pares de lados congruentes.

Dibuja la imagen de la figura después de cada traslación.

9. 4 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia

abajo

10. 5 unidades a la derecha y 3 unidades hacia

arriba

8.G.1.1, 8.G.1.3

283Lección 9.1

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

y

x

-6

6-6

6

O

y

x

-6

6-6

6

O

P′ Q′

R′S′

-4

-4 -2 2

2

4

4

11. La figura muestra el ascenso de un globo aerostático. ¿Cómo

describirías la traslación?

12. Razonamiento crítico ¿Es posible que la orientación de una

figura cambie después de su traslación? Explícalo.

13. a. Varios pasos Representa en la cuadrícula de coordenadas

el triángulo XYZ con los vértices X(-2, -5), Y(2, -2)

y Z(4, -4).

b. Representa y rotula en la misma cuadrícula de coordenadas

el triángulo X ′Y ′Z ′, la imagen del triángulo XYZ después de

una traslación de 3 unidades a la izquierda y 6 unidades

hacia arriba.

c. Representa y rotula ahora el triángulo X ′′Y ′′Z ′′, la imagen

del triángulo X ′Y ′Z ′ después de una traslación de 1 unidad

a la izquierda y 2 unidades hacia abajo.

d. Analiza las relaciones ¿Cómo describirías la traslación

que convierte el triángulo XYZ en el triángulo X ′′Y ′′Z ′′?

14. Razonamiento crítico La figura muestra el rectángulo P ′Q ′R ′S ′,

la imagen del rectángulo PQRS después de una traslación de

5 unidades a la derecha y 7 unidades hacia arriba. Representa y

rotula la preimagen PQRS.

15. Comunica ideas matemáticas Explica por qué la imagen de

una figura después de una traslación es congruente con su

preimagen.

ENFOQUE EN ALTA CAPACIDAD DE RAZONAMIENTO

Unidad 4284

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

¿Cómo se pueden describir las propiedades de la orientación y la congruencia de las reflexiones?

?


x

y

BC

A

-6

6

-6

6O

PREGUNTA ESENCIAL

Explorar las reflexionesUna reflexión es una transformación que refleja una figura sobre una recta.

La recta se llama eje de reflexión. Cada punto y su imagen están a la misma

distancia del eje de reflexión.

El triángulo que aparece en la cuadrícula es la preimagen. Vas a

estudiar las reflexiones sobre los ejes x y y.

Traza el triángulo ABC y los ejes x y y en una hoja de papel.

Dobla la hoja por el eje x y traza la imagen del triángulo en el

lado opuesto del eje x. Desdobla la hoja y rotula los vértices

de la imagen como A′, B′ y C′.

¿Cuál es el eje de reflexión de esta transformación?

Calcula la distancia perpendicular de los puntos al eje

de reflexión.

Punto A Punto B Punto C

Calcula la distancia perpendicular de los puntos al eje de reflexión.

Punto A’ Punto B ′ Punto C ′

¿Qué observas sobre las distancias que calculaste en y ?

Reflexiona1. Dobla la hoja que usaste en A por el eje y y traza la imagen del

triángulo ABC en el lado opuesto. Rotula los vértices de la imagen

como A′′, B′′ y C′′. ¿Cuál es el eje de reflexión de esta transformación?

2. ¿Qué diferencias hay entre los nuevos triángulos y las preimágenes?

A

B

C

D

E

F D E

L E C C I Ó N

9.2Propiedades de las reflexiones

8.G.1.1

Verify experimentally the properties of … reflections… . Also 8.G.1.1a, 8.G.1.1b, 8.G.1.1c, 8.G.1.3

8.G.1.1

285Lección 9.2

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

• Im

age

Cred

its: ©

Gett

y Im

ages

/

Phot

odisc

x

y

-6

6

-4

6

TR

P

A

O

Propiedades de las reflexionesUsa el trapecio TRAP para investigar las propiedades de las

reflexiones.

Traza el trapecio en un hoja de papel y recórtalo.

Coloca tu trapecio encima del trapecio de la cuadrícula.

Luego, refleja el trapecio sobre el eje y. Dibuja la imagen

de la reflexión trazando el trapecio en la nueva ubicación.

Rotula los vértices de la imagen T ′, R ′, A′ y P ′.

Usa una regla para medir los lados del trapecio TRAP en

centímetros.

TR = RA = AP = TP =

Usa una regla para medir los lados del trapecio T ′R ′A′P ′ en centímetros.

T ′R ′ = R ′A′ = A′P ′ = T ′P ′ =


dos figuras?


m∠T = m∠R = m∠A = m∠P =

Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio T ′R ′A′P ′.

m∠T ′ = m∠R ′ = m∠A′ = m∠P ′ =


dos figuras?

¿Qué lados del trapecio TRAP son paralelos?

¿Qué lados del trapecio T ′R ′A′P ′ son paralelos?

¿Qué observas?

A

B

C

D

E

F

G

H

I

ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 2 8.G.1.1

Unidad 4286

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Mis notas


my.hrw.com

1

5

5

3

31

x

y

-6

6

-6

X

Y

Z

X'

Z'

Y'

O

x

y

-6

6

-6

6

X

X'

Y'

Z

Y

Z'

O

Reflexiona3. Haz una conjetura Usa los resultados de las partes , e para

hacer una conjetura sobre las reflexiones.

E H I

Representar las reflexiones gráficamentePara reflejar una figura sobre el eje de reflexión, refleja cada uno de los vértices. Luego,

conecta los vértices para formar la imagen. Recuerda que todos los puntos y sus

imágenes están a la misma distancia del eje de reflexión.

La figura muestra el triángulo XYZ. Representa la imagen del triángulo después de

una reflexión sobre el eje x.

Refleja el punto X.

El punto X está 3 unidades

debajo del eje x. Cuenta

3 unidades arriba del eje x y

marca el punto X ′.

Refleja el punto Y.

El punto Y está 1 unidad

debajo del eje x. Cuenta

1 unidad arriba del eje x y

marca el punto Y ′.

Refleja el punto Z.

El punto Z está 5 unidades debajo

del eje x. Cuenta 5 unidades

arriba del eje x y marca el

punto Z ′.

Une X ′, Y ′ y Z ′ para formar el

triángulo X ′Y ′Z ′.

EJEMPLO 1

PASO 1

PASO 2

PASO 3

PASO 4

¿Qué puedes decir sobre las reflexiones y la

congruencia?

Charlamatemática


8.G.1.3

Cada vértice de la imagen está a la misma distancia del eje x que el vértice correspondiente de la preimagen.

287Lección 9.2

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

x

y

-6

6

-6

6

DE

C

BA

O

Entrenador personal

en matemáticas


my.hrw.com

x

y

-6

6

-6

6

D C

BA

O

1. Vocabulario Una reflexión es una transformación que refleja una figura sobre

una recta llamada .

2. La figura muestra el trapecio ABCD. (Actividades para explorar 1 y 2 y Ejemplo 1)

a. Representa en la gráfica la imagen del trapecio después

de una reflexión sobre el eje x. Rotula los vértices de la

imagen.

b. ¿En qué se parecen el trapecio ABCD y el trapecio

A’B’C’D’ ?

c. ¿Qué pasa si…? Supongamos que reflejaste el

trapecio ABCD sobre el eje y. ¿Qué comparación hay

entre la orientación de la imagen del trapecio con la

orientación de la preimagen?


4. La figura muestra el pentágono ABCDE.

Representa la imagen del pentágono

después de una reflexión sobre el eje y.

ES TU TURNO

3. ¿Cuáles son las propiedades de las reflexiones?


Unidad 4288

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

my.hrw.com



x

y

-6 -4 -2

2

4

6

-4

-2

-6

2 4 6O

A

C D

B

x

y

-6

6

-6

6W

X

Y

Z

O

Nombre Clase Fecha

La gráfica muestra cuatro triángulos rectángulos.

Usa la gráfica para los Ejercicios 4 a 7.

4. ¿Qué dos triángulos son reflexiones el uno del

otro sobre el eje x?

5. ¿Qué par de triángulos tienen el eje y como eje

de reflección?

6. ¿Qué triángulo es una traslación del triángulo C ?

¿Cómo describirías la traslación?

7. ¿Qué triángulos son congruentes? ¿Cómo lo

sabes?

8. a. Representa en la cuadrícula de

coordenadas el cuadrilátero WXYZ con

vértices en W(-2, -2), X(3, 1), Y(5, -1)

y Z(4, -6).

b. Representa en la misma cuadrícula de

coordenadas el cuadrilátero W′X′Y′Z′, la

imagen del cuadrilátero WXYZ después de

una reflexión sobre el eje x.

c. ¿Qué lado de la imagen es congruente con

el lado _

YZ ?

Escribe otros tres pares de ángulos

congruentes.

d. ¿Qué ángulo de la imagen es congruente

con ∠X?

Escribe otros tres pares de ángulos

congruentes.

Práctica independiente9.28.G.1.1, 8.G.1.3

289Lección 9.2

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

x

y

-5

5

-5

5O

x

D E

F

y

-6 -4 -2

-2

2

4

6

-4

-6

2 4 6O

9. Razonamiento crítico ¿Es posible que la imagen de un punto después de una

reflexión sea el mismo punto que la preimagen? Explícalo.

10. a. Representa la imagen de la figura que se muestra después de

una reflexión sobre el eje y.

b. En la misma cuadrícula de coordenadas, representa la imagen

de la figura que dibujaste en la parte a después de una

reflexión sobre el eje x.

c. Haz una conjetura ¿Qué otra secuencia de transformaciones

produciría la misma imagen final a partir de la preimagen?

Comprueba tu respuesta realizando las transformaciones.

Luego, haz una conjetura que generalice lo que

averiguaste.

11. a. Representa en la cuadrícula de coordenadas el triángulo

DEF con los vértices D(2, 6), E(5, 6) y F(5, 1).

b. Luego, representa el triángulo D ′E ′F ′, la imagen del

triángulo DEF después de una reflexión sobre el eje y.

c. Representa en la misma cuadrícula de coordenadas

el triángulo D′′ E′′ F′′, la imagen del triángulo D ′E ′F ′ después de una traslación de 7 unidades hacia

abajo y 2 unidades a la derecha.

d. Analiza las relaciones Calcula una secuencia de

transformaciones diferente que transforme el triángulo

DEF en el triángulo D ′′E ′′F ′′.


Unidad 4290

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

?


A B

C

5-5

5

-5

x

y

PREGUNTA ESENCIAL

L E C C I Ó N

9.3Propiedades de las rotaciones

Explorar las rotacionesUna rotación es una transformación que gira una figura alrededor de

un punto llamado centro de rotación. La imagen tiene el mismo

tamaño y forma que la preimagen.

El triángulo que aparece en la cuadrícula es la.

Vas a usar el origen como centro de rotación.

Traza el triángulo ABC en una hoja de papel y recórtalo.

Rota el triángulo sobre el origen 90° en el sentido contrario de las

manecillas del reloj. El lado del triángulo que estaba sobre el eje x

debe quedar ahora sobre el eje y.

Dibuja la imagen de la rotación. Rotula las imágenes de los

puntos A, B y C como A′, B′ y C′.

Describe el movimiento que produce la rotación.

Rota alrededor del origen

grados .

Comprueba que el movimiento que describiste en D es el mismo

movimiento que aplica el punto A sobre el punto A′, el punto B sobre punto B′

y el punto C sobre el punto C′.

Reflexiona1. Comunica ideas matemáticas ¿Qué efecto produce la rotación sobre el

tamaño y la orientación del triángulo?

2. Rota el triángulo ABC alrededor del origen 90° en el sentido de las manecillas

del reloj. Dibuja el resultado en la cuadrícula de coordenadas anterior. Rotula

los vértices de la imagen como A′′, B′′ y C′′.

A

B

C

D

E

¿Cómo puedes describir las propiedades de la orientación y la congruencia de las rotaciones?

8.G.1.1

Verify experimentally the properties of rotations... . Also 8.G.1.1a, 8.G.1.1b, 8.G.1.1c, 8.G.1.3

8.G.1.1

291Lección 9.3

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

• Im

age

Cred

its: ©

IKO/

Foto

lia

O 6

6

-6

-6

x

y

T

R A

P


Propiedades de las rotacionesUsa el trapecio TRAP para investigar las propiedades de las rotaciones.

Traza el trapecio en un hoja de papel. Incluye

las partes de los ejes x y y que bordean el tercer

cuadrante. Recorta el dibujo trazado.

Coloca el trapecio y los ejes encima de los de la

figura. Luego, usa los ejes para rotar el trapecio

sobre el origen 180° en sentido contrario a las

manecillas del reloj. Dibuja la imagen de la rotación

del trapecio en la nueva ubicación. Rotula los

vértices de la imagen T′, R′, A′ y P′.

Usa una regla para medir los lados del trapecio TRAP

en centímetros.

TR = RA =

AP = TP =

Usa una regla para medir los lados del trapecio

T′R′A′P′ en centímetros.

T′R′ = R′A′ =

A′P′ = T′P′ =


dos figuras?


m∠T = m∠R = m∠A = m∠P =

Usa un transportador para medir los ángulos del trapecio T′R′A′P′.

m∠T′ = m∠R′ = m∠A′ = m∠P′ =


dos figuras?

¿Qué lados del trapecio TRAP son paralelos?

¿Qué lados del trapecio T′R′A′P′ son paralelos?

¿Qué observas?

A

B

C

D

E

F

G

H

I

8.G.1.1

Unidad 4292

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany


my.hrw.com

A

B C

52-5 -2

5

2

-5

-2

x

y

B′

C′

A′

A

B C

52-5 -2

5

2

-5

-2

x

y

B′

C′

A′


my.hrw.com

Reflexiona3. Haz una conjetura Usa los resultados de las partes E , H e I para hacer

una conjetura sobre las rotaciones.

4. Coloca tu dibujo trazado en su posición original. Luego, realiza una rotación alrededor

del origen de 180° en el sentido de las manecillas del reloj. Compara los resultados.

Representar las rotaciones gráficamentePara rotar una figura en el plano cartesiano, rota cada uno de los vértices. Luego,

conecta los vértices para formar la imagen.

La figura muestra el triángulo ABC. Representa

la imagen del triángulo después de una rotación

de 90° en el sentido de las manecillas del reloj.

Rota la figura desde el eje y al eje x

en el sentido de las manecillas del

reloj. El punto A estará todavía en

(0, 0).

El punto B está 2 unidades a la

izquierda del eje y, entonces el

punto B′ está 2 unidades sobre

el eje x.

El punto C está 2 unidades a la

derecha del eje y, entonces el

punto C′ está 2 unidades debajo

del eje x.

Conecta A′, B′ y C′ para formar el

triángulo A′B′C′.

Reflexiona5. ¿Es la imagen congruente con la

preimagen? ¿Cómo lo sabes?

EJEMPLO 1

PASO 1

PASO 2

¿Qué efecto tiene la rotación en la orientación del

triángulo?

Charlamatemática


8.G.1.3

293Lección 9.3

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Entrenador personal

en matemáticas


my.hrw.com

5-5-5

5

-5

x

y

A

B C

D

O 5-5

4

-4

x

y

EF

G

A

B

C

DO 5-5

4

-4

x

y


Representa en la gráfica la imagen del

cuadrilátero ABCD después de cada rotación.

6. 180°

7. 270° en el sentido de las manecillas del reloj

8. Halla las coordenadas del punto C después

de una rotación de 90° en el sentido

contrario de las manecillas del reloj seguido

de una rotación de 180°.

ES TU TURNO

1. Vocabulario Una rotación es una transformación que ocurre cuando una figura

gira alrededor de un dado llamado centro de rotación.

Siobhan rota un triángulo rectángulo alrededor del origen 90° en el sentido

contrario de las manecillas del reloj.

2. ¿Qué diferencia hay entre la orientación de la imagen del triángulo y la

orientación de la preimagen? (Actividad para explorar 1)

3. ¿Es congruente la imagen del triángulo con la preimagen? (Actividad para explorar 2)

Dibuja la imagen de la figura después de una rotación alrededor del origen. (Ejemplo 1)

4. 90° en el sentido contrario de las manecillas del

reloj

5. 180°

6. ¿Cuáles son las propiedades de las rotaciones?


Unidad 4294

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

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ublis

hing

Com

pany

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AB

C'

C

5-5-5

5

-5

xO

y

B'

A'

3-3

3

-3

x

y

O

-2

-5 5

2

Nombre Clase Fecha

7. La cuadrícula muestra el triángulo ABC y una rotación del

triángulo alrededor del origen.

a. ¿Cómo describirías la rotación?

b. ¿Cuáles son las coordenadas de la imagen?

, ,

8. La cuadrícula muestra una figura y su imagen después de una

transformación.

a. ¿Cómo describirías esto como rotación?

b. ¿Puedes describir esto como una transformación distinta

a la de una rotación? Explícalo.

9. ¿Qué tipo de rotación mantendrá la orientación de la figura en

forma de H de la cuadrícula?

10. Un punto con coordenadas (-2, -3) rota alrededor del origen

90° en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las

coordenadas de su imagen?

Completa la tabla con rotaciones de 180° o menos. Incluye la

dirección de rotación para las rotaciones menores de 180°.

Figura en el cuadrante Imagen en el cuadrante Rotación

I IV

III I

IV III

11.

12.

13.

Práctica independiente9.38.G.1.1, 8.G.1.3

295Lección 9.3

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Área de trabajo

5-5

-5

5

x

y

CA

B

D

AB

C

5-5

5

-5

xO

y

A B C

Dibuja la imagen de la figura después de la rotación dada alrededor del origen.

14. 180° 15. 270° en el sentido contrario de las manecillas del

reloj

16. ¿Hay una rotación en la cual la orientación de la imagen siempre es igual a la de

la preimagen? Si la hay, ¿cuál es?

17. Resolución de problemas Lucas juega un juego que consiste en rotar una

figura para que quepa en un espacio. Cada vez que presiona un botón, la figura

rota 90 grados en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuántas veces tiene que

presionar el botón para que cada figura vuelva a su orientación original?

Figura A

Figura B

Figura C

18. Haz una conjetura El triángulo ABC se refleja sobre el eje y para formar la

imagen A′B′C′. El triángulo A′B′C′ se refleja luego sobre el eje x para formar la

imagen A′′B′′C′′. ¿Qué tipo de rotación se puede usar para describir la relación

entre el triángulo A′′B′′C′′ y el triángulo ABC?

19. Comunica ideas matemáticas El punto A está en el eje y. Describe todas las

ubicaciones posibles de la imagen A′ después de rotaciones de 90°, 180° y 270°. Incluye el origen como posible ubicación de A.


Unidad 4296

© H

ough

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Miff

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arco

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Com

pany

?


my.hrw.com

x

y

X

X ′

Y ′

Z ′

Y

Z 7

-3

3

O

PREGUNTA ESENCIAL¿Cómo pueds describir el efecto de una traslación, rotación o reflexión sobre las coordenadas usando una representación algebraica?

L E C C I Ó N

9.4Representaciones algebraicas de las transformaciones

Representaciones algebraicas de las traslacionesLas reglas que aparecen en la tabla describen cómo cambian las coordenadas cuando

una figura se traslada hacia arriba, hacia abajo, a la derecha y a la izquierda en el plano

cartesiano.

Traslaciones

A la derecha a unidades Suma a a la coordenada x: (x, y) → (x + a, y)

A la izquierda a unidades Resta a de la coordenada x: (x, y) → (x - a, y)

Hacia arriba b unidades Suma b a la coordenada y: (x, y) → (x, y + b)

Hacia abajo b unidades Resta b de la coordenada y: (x, y) → (x, y - b)

El triángulo XYZ tiene vértices X(0, 0), Y(2, 3) y Z(4, −1). Calcula los vértices del

triángulo X’Y’Z’ después de una traslación de 3 unidades a la derecha y 1 unidad

hacia abajo. Luego, representa en la gráfica el triángulo y su imagen.

Aplica la regla para calcular los vértices de la imagen.

Vértices del △XYZ Regla: (x + 3, y - 1) Vértices del △X′Y′Z′

X(0, 0) (0 + 3, 0 - 1) X′(3, -1)

Y(2, 3) (2 + 3, 3 - 1) Y′(5, 2)

Z(4, -1) (4 + 3, -1 - 1) Z′(7, -2)

Representa gráficamente el triángulo XYZ y su imagen.

EJEMPLO 1

PASO 1

PASO 2

Cuando trasladas una figura a la derecha o a la

izquierda, ¿qué coordenada cambias?

Charlamatemática


8.G.1.3

Describe the effect of dilations, translations, rotations, and reflections on two-dimensional figures using coordinates.

8.G.1.3

Suma 3 a la coordenada x de cada vértice y resta 1 de la coordenada y de cada vértice.

297Lección 9.4

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany


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Mis notas

x

y

R ′S ′

T ′ U ′

R S

TU

-5

3

5O

-5

Entrenador personal

en matemáticas


my.hrw.com

Representaciones algebraicas de las reflexionesLos signos de las coordenadas de una figura cambian cuando la figura se refleja sobre

los ejes x y y. La tabla muestra las reglas para cambiar los signos de las coordenadas

después de una reflexión.

Reflexiones

Sobre el eje x Multiplica cada coordenada y por -1: (x, y) → (x, -y)

Sobre el eje y Multiplica cada coordenada x por -1: (x, y) → (-x, y)

El rectángulo RSTU tiene vértices R(-4, -1), S(-1, -1), T(-1, -3) y U(-4, -3).

Calcula los vértices del rectángulo R′S′T′U′ después de una reflexión alrededor del

eje y. Luego, representa en la gráfica el rectángulo y su imagen.


Vértices de RSTU Regla: (-1 · x, y) Vértices de R′S′T′U′

R(-4, -1) (-1 · (-4), - 1) R′(4, -1)

S(-1, -1) (-1 · (-1), - 1) S′(1, -1)

T(-1, -3) (-1 · (-1), - 3) T′(1, -3)

U(-4, -3) (-1 · (-4), - 3) U′(4, -3)

Representa gráficamente el rectángulo RSTU y su imagen.

EJEMPLO 2

PASO 1

PASO 2

1. Un rectángulo tiene vértices en (0, -2), (0, 3), (3, -2) y (3, 3). ¿Cuáles son las

coordenadas de los vértices de la imagen después de la traslación

(x, y) → (x - 6, y - 3)? Describe la traslación.

ES TU TURNO

8.G.1.3

Multiplica por −1 la coordenada x de cada vértice.

Unidad 4298

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

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ublis

hing

Com

pany

x

y

A′

B′

C′

D′

A

BC

D-4 -2

2

4

2 4

-2

-4

my.hrw.com


Entrenador personal

en matemáticas


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2. El triángulo ABC tiene vértices A(-2, 6), B(0, 5) y C(3, -1). Calcula los vértices

del triángulo A’B’C’ después de una reflexión sobre el eje x.

ES TU TURNO

Representaciones algebraicas de las rotacionesCuando se hace una rotación de los puntos alrededor del origen, las coordenadas de la

imagen se pueden calcular usando las siguientes reglas.

Rotaciones

90° en el sentido de las manecillas del reloj

Multiplica cada coordenada x por -1; luego, intercambia las coordenadas x y y: (x, y) → (y, -x)

90° en el sentido contrario de las manecillas del reloj

Multiplica cada coordenada y por -1; luego, intercambia las coordenadas x y y: (x, y) → (-y, x)

180° Multiplica ambas coordenadas por -1: (x, y) → (-x, -y)

El cuadrilátero ABCD tiene vértices A(-4, 2), B(-3, 4), C(2, 3) y D(0, 0). Calcula los

vértices del cuadrilátero A’B’C’D’ después de una rotación de 90° en el sentido de las

manecillas del reloj. Luego, representa en la gráfica el cuadrilátero y su imagen.


Vértices de ABCD Regla: (y, -x) Vértices de A′B′C′D′

A(-4, 2) (2, -1 · (-4)) A′(2, 4)

B(-3, 4) (4, -1 · (-3)) B′(4, 3)

C(2, 3) (3, -1 · 2) C′(3, -2)

D(0, 0) (0, -1 · 0) D′(0, 0)

Representa gráficamente el cuadrilátero y su imagen.

EJEMPLO 3

PASO 1

PASO 2

8.G.1.3

Multiplica la coordenada x de cada vértice por −1 y luego intercambia las coordenadas x y y.

299Lección 9.4

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

x

y

-3

3

-7

7O

X

Y

Z

x

y

-5

5

5O

-3

Entrenador personal

en matemáticas


my.hrw.com

4. Un triángulo tiene vértices en J(-2, -4), K(1, 5) y L(2, 2). ¿Cuáles son las

coordenadas de los vértices de la imagen después de una rotación del

triángulo de 90° en el sentido contrario de las manecillas del reloj?

ES TU TURNO

1. El triángulo XYZ tiene vértices en X(-3, -2), Y(-1, 0) y Z(1, -6).

Calcula los vértices del triángulo X’Y’Z’ después de una traslación

de 6 unidades a la derecha. Luego, representa gráficamente el

triángulo y su imagen. (Ejemplo 1)

2. Describe lo que les pasa a las coordenadas x y y después de que un

punto se refleja alrededor del eje x. (Ejemplo 2)

3. Usa la regla (x, y) → (y, -x) para representar la imagen del triángulo

de la derecha. Luego, describe la transformación. (Ejemplo 3)

4. ¿Cómo cambian las coordenadas x y y cuando una figura se

traslada a la derecha a unidades y hacia abajo b unidades?


Reflexiona3. Comunica ideas matemáticas ¿Cómo calcularías los vértices de una imagen

si se rota una figura 270° en el sentido de las manecillas del reloj? Explica.


Unidad 4300

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

my.hrw.com



x

y

-4 -2

2

4

2 4O

-2

-4

M N

OP

M′ N′

O′P′

x

y

-4 -2

2

4

2 4O

-2

-4

A

B

D

C

A′ D′

B′ C′

x

y

-6

6

-6

6O

A B

CD

Nombre Clase Fecha

Escribe una regla algebraica para describir cada transformación. Luego, describe

la transformación.

5. 6.

7. El triángulo XYZ tiene vértices en X(6, -2.3), Y(7.5, 5) y Z(8, 4). Cuando se

traslada, X’ tiene las coordenadas (2.8, -1.3). Escribe una regla para describir la

transformación. Luego, calcula las coordenadas de Y’ y Z’.

8. El punto L tiene las coordenadas (3, -5). Las coordenadas del punto L’ después

de una reflexión son (-3, -5). Sin representar gráficamente, indica sobre qué eje

se reflejó el punto L. Explica la respuesta.

9. Usa la regla (x, y) → (x - 2, y - 4) para representar la imagen

del rectángulo. Luego, describe la transformación.

10. El paralelogramo ABCD tiene vértices A ( -2, -5 1 _

2 ) , B ( -4, -5

1 _

2 ) ,

C(-3, -2) y D(-1, -2). Calcula los vértices del paralelogramo

A′B′C′D′ después de una traslación de 2 1 _

2 unidades hacia abajo.

Práctica independiente9.48.G.1.3

301Lección 9.4

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

y

x

-5

5

5O

-5

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAx

y

Área de trabajo

11. Alexandra dibujó el logotipo de la derecha en papel cuadriculado de media

pulgada. Escribe una regla que describa la traslación que usó Alexandra para

crear la sombra de la letra A.

12. La cometa KLMN tiene vértices K(1, 3), L(2, 4), M(3, 3) y N(2, 0). Después de

rotar la cometa, K’ tiene las coordenadas (-3, 1). Describe la rotación e

incluye una regla en la descripción. Luego, calcula las coordenadas de L ’ , M’ y N’.

13. Haz una conjetura Representa en la gráfica el triángulo con vértices (-3, 4), (3, 4)

y (-5, -5). Usa la transformación (y, x) para representar su imagen.

a. ¿Qué vértice de la imagen tiene las mismas coordenadas que un

vértice de la figura original? Explica por qué esto es verdad.

b. ¿Cuál es la ecuación de una recta que pasa por el origen y este punto?

c. Describe la transformación del triángulo.

14. Razonamiento crítico Mitchell dice que el punto (0, 0) no cambia cuando se

refleja sobre el eje x o y ni cuando se rota alrededor del origen. ¿Estás de acuerdo

con Mitchell? Explica por qué.

15. Analiza las relaciones El triángulo ABC tiene vértices A(-2, -2), B(-3, 1)

y C(1, 1) y se traslada a través de (x, y) → (x - 1, y + 3). Luego, su imagen, el

triángulo A’B’C’ se traslada a través de (x, y) → (x + 4, y - 1), que da como

resultado A’’B’’C’’.

a. Calcula las coordenadas de los vértices del triángulo A″B″C″.

b. Escribe la regla de una traslación que convierta el triángulo ABC en el

triángulo A″B″C″.


Unidad 4302

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

?

ACTIVIDAD PARA EXPLORAR

O

5

x

y

-6 6

-5

PREGUNTA ESENCIAL¿Cuál es la conexión entre las transformaciones y las figuras que tienen la misma forma y tamaño?

L E C C I Ó N

9.5 Figuras congruentes

Combinar transformacionesAplica la serie de transformaciones indicadas al triángulo. Cada

transformación se le aplica a la imagen de la transformación

anterior, no a la figura original. Rotula cada imagen con la letra

de la transformación aplicada.

Reflexión sobre el eje x.

(x, y) → (x - 3, y)

Reflexión sobre el eje y.

(x, y) → (x, y + 4)

Rotación de 90 ° en sentido de las manecillas del reloj

alrededor del origen.

Compara el tamaño y la forma de la imagen final con los de la figura original.

Reflexiona1. ¿Qué transformación o transformaciones cambian la orientación de las figuras?

¿Cuáles no las cambian?

2. Haz una conjetura Dos figuras tienen el mismo tamaño y la misma forma.

¿Qué indica esto sobre las figuras?

A

B

C

D

E

F

8.G.1.2

8.G.1.2

Understand that a two-dimensional figure is congruent to another if the second can be obtained from the first by a sequence of rotations, reflections, and translations; given two congruent figures, describe a sequence that exhibits the congruence between them.

303Lección 9.5

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany


my.hrw.com

O

5

x

y

-5 5

-2

B A

-2

O

6

4

2

x

y

-6 -4 -2 642

-6

-4

B

C

Figuras congruentesRecuerda que los segmentos y sus imágenes tienen las mismas medidas y los mismos

ángulos y que sus imágenes tienen las medidas bajo una traslación, reflexión o

rotación. Se dice que dos figuras son congruentes si una de ellas se puede obtener a

partir de la otra mediante una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones. Las

figuras congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño.

Cuando te dicen que dos figuras son congruentes debe haber una secuencia de

traslaciones, reflexiones y/o rotaciones que transforma una de las figuras en la otra.

Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la figura A en

la figura B.

Para transformar la figura A en la figura B necesitas reflejarla sobre el eje x

y trasladarla una unidad a la izquierda. Una secuencia de transformaciones que

logrará esto es (x, y) → (-x, y) y (x, y) → (x - 1, y).

Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la figura B en la

figura C.

Cualquier secuencia de transformaciones que cambie la figura B en la figura C

necesitará incluir una rotación. Una rotación de 90° en sentido contrario a las

manecillas del reloj alrededor del origen dará como resultado la figura denotada

como figura C.

Sin embargo, la figura rotada estaría 2 unidades por debajo y 1 unidad hacia

la izquierda de donde está la figura C. Necesitarías trasladar la figura rotada

2 unidades hacia arriba y 1 unidad hacia la derecha.

EJEMPLO 1

A

B

¿Cómo sabes que la secuencia de transformaciones en las

Partes B y C debe incluir una rotación?

Charlamatemática


8.G.1.2

Unidad 4304

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Mis notas

my.hrw.com


Entrenador personal

en matemáticas

-2

O

6

4

2

x

y

-6 -4 -2 642

-6

-4

D

E

-2

O

4

2

x

y

-4 -2 42

-4

A

B

La secuencia de transformaciones es una rotación de 90° en sentido contrario a

las manecillas del reloj alrededor del origen, (x, y) → (-y, x), seguida por (x, y) →

(x + 1, y + 2).

Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la figura D en

la figura E.

Una secuencia de transformaciones que cambie la figura D en la figura E necesitará

incluir una rotación. Una rotación de 90° en sentido de las manecillas del reloj

alrededor del origen dará como resultado la figura denotada como figura E.

Sin embargo, la figura rotada estará 6 unidades por encima de donde está la

figura E. Necesitarías trasladar la figura rotada 6 unidades hacia abajo.

La secuencia de transformaciones es una rotación de 90° en sentido de las

manecillas del reloj sobre el origen, (x, y) → (y, -x), seguida por (x, y) → (x, y - 6).

C

3. Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la figura A

en la figura B.

ES TU TURNO

305Lección 9.5

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

-2

O

6

4

2

x

y

-6 -4 -2 642

-6

-4

-2

O

4

2

x

y

-2 642

A B

C


1. Aplica las series de transformaciones indicadas al triángulo.

Cada transformación se le aplica a la imagen de la transformación

anterior, no a la figura original. Rotula cada imagen con la letra de

la transformación aplicada. (Actividad para explorar)

a. Reflexión sobre el eje y

b. Rotación de 90° en sentido de las manecillas del reloj

alrededor del origen

c. (x, y) → (x - 2, y)

d. Rotación de 90° en sentido contrario a las manecillas del

reloj alrededor del origen

e. (x, y) → (x - 7, y - 2)

Identifica una secuencia de transformaciones que transformará la

figura A en la figura C. (Ejemplo 1)

2. ¿Qué transformación se usó para transformar la figura A en la figura B?

3. ¿Qué transformación se usó para transformar la figura B en la figura C?

4. ¿Qué secuencia de transformaciones se usó para transformar la figura

A en la figura C? Expresa las transformaciones algebraicamente.

5. Vocabulario ¿Qué significa que dos figuras sean congruentes?

6. Después de una secuencia de traslaciones, reflexiones y rotaciones, ¿qué se

puede decir sobre la primera figura y la figura final?


Unidad 4306

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

my.hrw.com



-2

O

6

4

2

x

y

-6 -4 -2 642

-6

-4

A-2

O

6

4

2

x

y

-6 -4 -2 642

-6

-4

A

-2

O

6

4

2

x

y

-6 -4 -2 642

-6

-4

A

-2

O

6

4

2

x

y

-6 -4 -2 642

-6

-4

A

Nombre Clase Fecha


Para cada figura A dada, grafica las figuras B y C usando la secuencia de transformaciones dada.

Indica si las figuras A y C tienen igual o diferente orientación.

7.

Figura B: traslación de 1 unidad hacia la

derecha y 3 unidades hacia arriba

Figura C: rotación de 90° en sentido de las

manecillas del reloj alrededor del origen

8.

Figura B: reflexión alrededor del eje y

Figura C: rotación de 180° alrededor del origen

9.

Figura B: reflexión alrededor del eje y

Figura C: traslación de 2 unidades hacia abajo

10.

Figura B: traslación de 2 unidades hacia arriba

Figura C: rotación de 180° alrededor del origen

8.G.1.2

307Lección 9.5

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Área de trabajo

-2

O

6

4

2

x

y

-6 -4 -2 642

-6

-4

A

D

Terreno A

Terreno B

x

y11. Representa problemas de la vida real Un planificador urbano

quiere colocar la biblioteca nueva del pueblo en el terreno A.

El alcalde pensó que sería mejor colocarla en el terreno B. ¿Qué

transformaciones se le aplicaron al edificio del terreno A para

reubicarlo en el terreno B? ¿Cambio el alcalde el tamaño o la

orientación de la biblioteca?

12. Persevera en la resolución de problemas Halla una secuencia de

tres transformaciones que se pueda usar para obtener la figura D

a partir de la figura A. Grafica las figuras B y C creadas por las

transformaciones.

13. Contraejemplos La propiedades conmutativas de la adición y la multiplicación

establecen que el orden de dos números que se suman o se multiplican no altera

la suma o el producto. ¿Son conmutativas las traslaciones y las rotaciones? Si no

lo son, da un contraejemplo.

14. Representaciones múltiples Describe una posible secuencia de transformaciones

para cada representación.

a. (x, y) → (-x - 2, y + 1)

a. (x, y) → (y, -x - 3)


Unidad 4308

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

my.hrw.com


Entrenador personal

en matemáticas

para seguir?¿Listo¿Listo

C

A

B

5-5

5

-5

x

y

O

HK

IJ

5-5-5

x

y

PRUEBA DEL MÓDULO

9.1–9.3 Propiedades de las traslaciones, reflexiones y rotaciones

1. Representa gráficamente la imagen del

triángulo ABC después de una traslación de

6 unidades a la derecha y 4 unidades hacia

abajo. Rotula los vértices de la imagen A′, B′ y C′.

2. Representa, en la misma cuadrícula de

coordenadas, la imagen del triángulo ABC

después de una reflexión sobre el eje y. Rotula

los vértices de la imagen A′′, B′′ y C′′.

3. Representa gráficamente la imagen del

trapecio HIJK después de una rotación de

180° alrededor del origen. Rotula los vértices

de la imagen H′I′J′K′.

9.4 Representaciones algebraicas de las transformaciones

4. Un triángulo tiene vértices en (2, 3), (−2, 2)

y (−3, 5). ¿Cuáles son las coordenadas de

los vértices de la imagen después de la

traslación (x, y) → (x + 4, y − 3)? Describe

la transformación.

9.5 Figuras congruentes5. Vocabulario Las traslaciones, reflexiones y rotaciones producen una figura

que es con la figura original.

6. Usa la cuadrícula de coordenadas para el Ejercicio 3. Refleja H′I′J′K′ sobre el eje

y, luego rótalo 180̊ alrededor del origen. Rotula la figura nueva H′I′J′K′.

7. ¿Cómo puedes usar las transformaciones para resolver problemas de la vida

real?

PREGUNTA ESENCIAL

309Módulo 9

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

my.hrw.com



MÓDULO 9 REPASO MIXTO

Respuesta seleccionada

1. ¿Cuál sería la orientación de la figura

L después de una traslación de 8

unidades a la derecha y 3 unidades

hacia arriba?

A C

B D

2. La figura A se refleja sobre el eje y y luego se

traslada 6 unidades hacia abajo. ¿Qué secuencia

describe estas transformaciones?

A (x, y) → (x, -y) y (x, y) → (x, y - 6)

B (x, y) → (-x, y) y (x, y) → (x, y - 6)

C (x, y) → (x, -y) y (x, y) → (x - 6, y)

D (x, y) → (-x, y) y (x, y) → (x - 6, y)

3. ¿En qué cuadrante se encontrará el triángulo

después de una rotación de 90° alrededor del

origen en sentido contrario de las manecillas

del reloj?

O 42-2

-2

-4

x

y

A I B II C III D IV

4. ¿Qué número racional es mayor que -31_3 pero

menor que - 4 _ 5 ?

A -0.4 C -0.19

B - 9_7 D - 22__

5

5. ¿Cuál de las siguientes opciones no es verdad

para un trapecio que se ha reflejado sobre el

eje x?

A El trapecio nuevo tiene el mismo tamaño

que el trapecio original.

B El trapecio nuevo tiene la misma forma que

el trapecio original.

C El trapecio nuevo tiene la misma

orientación que el trapecio original.

D Las coordenadas x del trapecio nuevo

son las mismas que las coordenadas x del

trapecio original.

6. Un triángulo con coordenadas (6, 4), (2, −1) y

(−3, 5) se traslada 4 unidades a la izquierda y se

rota 180° alrededor del origen. ¿Cuáles son las


A (2, 4), (−2, −1), (−7, 5)

B (4, 6), (−1, 2), (5, −3)

C (4, −2), (−1, 2), (5, 7)

D (−2, −4), (2, 1), (7, −5)

Minitarea

7. Un rectángulo con vértices (3, -2), (3, -4), (7, -2),

(7, -4) se refleja sobre el eje x y luego se rota 90̊

en sentido contrario a las manecillas del reloj.

a. ¿En qué cuadrante se halla la imagen?

b. ¿Cuáles son los vértices de la imagen?

c. ¿Qué otras transformaciones produce la

misma imagen?

Preparación para la evaluación PARCC

C

D

D

C

B

B

310 Unidad 4

© H

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pany

PREGUNTA ESENCIAL?

APRENDEEN LÍNEA

my.hrw.com

Vídeo de la vida real

my.hrw.com

¿Cómo puedes usar las dilataciones y las semejanzas para resolver problemas de la vida real?

Transformaciones y semejanzas

MÓDULO 10

my.hrw.com Matemáticas al instante

Obtén comentarios y ayuda al instante a medida que trabajas en las prácticas.


Explora interactivamente los conceptos clave para ver cómo funcionan las

matemáticas.


Las versiones digitales de todas las páginas del

libro del estudiante están disponibles en línea.

Escanea con tu celular para entrar directamente en la edición en línea del Vídeo

tutorial y más.

Para hacer un mural, el artista hace primero un dibujo más pequeño para ver la forma que tendrá. Luego, la imagen se amplía en el lienzo del mural mediante un factor de escala. A esta ampliación se le llama dilatación.

LECCIÓN 10.1

Propiedades de las dilataciones

8.G.1.3, 8.G.1.4

LECCIÓN 10.2

Representaciones algebraicas de las dilataciones

8.G.1.3

LECCIÓN 10.3

Figuras semejantes8.G.1.4

311

© H

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arco

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Com

pany

¿Estás listolisto?

my.hrw.com



5O

5

10

10

A

Completa estos ejercicios para repasar las destrezas que

necesitarás en este módulo.

Simplificar razonesEJEMPLO

35 __

21 =

35 ÷ 7 _____

21 ÷ 7

= 5 _ 3

Escribe las razones en su mínima expresión.

1. 6

__ 15

2. 8

__ 20

3. 30

__ 18

4. 36

__ 30

Multiplicar con fracciones y decimalesEJEMPLO 2

3 _

5 × 20

= 13 × 20

______ 5 × 1

= 13 × 20

______ 5 × 1

= 52

6 8

× 4 . 5 _____

3 4 0

+ 2 7 2

________ 3 0 6 . 0

Multiplica.

5. 60 × 25

___ 100

6. 3.5 × 40 7. 4.4 × 44 8. 24 × 8

_ 9

Representar pares ordenados (primer cuadrante)EJEMPLO

Marca los puntos en la cuadrícula de coordenadas anterior.

9. B (9, 0) 10. C (2, 7) 11. D (0, 4.5) 12. E (6, 2.5)

4

1

Para escribir una razón en su mínima expresión, calcula el máximo común divisor del numerador y denominador.Divide el numerador y denominador entre el MCD.

Marca el punto A(4, 3.5).Comienza en el origen.Mueve 4 unidades a la derecha. Luego, mueve 3.5 unidades hacia arriba. Marca el punto A(4, 3.5)

Escribe los números como fracciones y multiplica.

Simplifica.

Multiplica como lo harías con números enteros.

Coloca el punto decimal en la respuesta según el total de lugares decimales en los dos factores.

Unidad 4312

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ublis

hing

Com

pany

Práctica de vocabulario

Lectura con propósitoPlegado de términos clave Haz un plegado de

términos clave antes de comenzar a leer para ayudarte

a aprender el vocabulario de este módulo. Escribe las

palabras de vocabulario resaltadas en un lado de la

solapa. Luego, escribe la definición de cada palabra en

el otro lado. Usa el plegado de términos clave para ver

si aprendiste las definiciones de este módulo.

Visualiza el vocabularioUsa las palabras con ✔ para completar el organizador gráfico.

Escribe solo una palabra por rectángulo.

Comprende el vocabularioCompleta las oraciones con las palabras de repaso.

1. Una figura más grande que la original, producida a través de una dilatación,

se llama .

2. Una figura más pequeña que la original, producida a través de una dilatación,

se llama .

Repasar el plano

cartesiano

Las cuatro regiones

del plano cartesiano.

El eje horizontal

del plano cartesiano.

El punto donde se

intersecan los ejes para

formar el plano

cartesiano.

El eje vertical del

plano cartesiano.

VocabularioPalabras de repaso

✔ cuadrante (quadrants)

✔ eje x (x-axis)

✔ eje y (y-axis)

escala (scale)

imagen (image)


✔ origen (origen)

plano cartesiano (coordinate

plane)

razón (ratio)

Palabras nuevas ampliación

(enlargement)

centro de dilatación (center of

dilation)

dilatación (dilation)

factor de escala (scale factor)

reducción (reduction)

semejante (similar)

313Módulo 10

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ough

ton

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arco

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Com

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4

4

D

A

B

C

-4

-4

x

y

A'

B'

C'

D'

xO

y

-4-6 -2

2

4

-4

-2

4 62A

B

my.hrw.com

Desglosar los estándaresComprender los estándares y las palabras de vocabulario te ayudará a saber exactamente lo que se espera que aprendas en este módulo.

MÓDULO 10

Lo que significa para tiUsarás una representación algebraica para describir una dilatación.

Lo que significa para tiDescribirás una secuencia de transformaciones entre dos figuras

semejantes.

El cuadrado azul ABCD es

la preimagen. Escribe dos

representaciones algebraicas, una

para la dilatación al cuadrado verde

y otra para la dilatación al cuadrado

morado.

Las coordenadas de los vértices de

la preimagen se multiplican por

2 para obtener el cuadrado verde.

Cuadrado verde: (x, y) → (2x, 2y)

Las coordenadas de los vértices de

la preimagen se multiplican por 1 _ 2 para obtener el cuadrado morado.

Cuadrado morado: (x, y) → ( 1 _ 2 x, 1 _

2 y )

Identifica una secuencia de

dos transformaciones que

transformarán la figura A en la

figura B.

Dilata por un factor de escala

de 1 _

2 .

Luego, traslada 3 hacia la

derecha y 2 hacia arriba.

8.G.1.3

Describir los efectos de las

dilataciones, traslaciones,

rotaciones y reflexiones en

figuras bidimensionales usando

coordenadas.

8.G.1.4

Comprender que una figura

bidimensional es semejante a otra

si la segunda se puede obtener a

partir de la primera mediante una

serie de rotaciones, reflexiones,

traslaciones y dilataciones; dadas

dos figuras bidimensionales

semejantes, describir una

secuencia que muestre la

semejanza entre ellas.



Visita my.hrw.com

para ver todos los

Estándares

comunes de

Florida

desglosados.

Unidad 4314

© H

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ton

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Com

pany

¿Cómo puedes describir las propiedades de las dilataciones??

Centro dedilatación R'

T'S'

T

R

C

S


Explorar las dilatacionesLas misiones espaciales que llevaron a 12 astronautas a la Luna fueron

controladas desde el Centro Espacial Johnson en Houston. Los

modelos de la derecha son reproducciones a pequeña escala del

cohete Saturno V que propulsó los vuelos a la Luna. Cada

reproducción es una transformación llamada dilatación.

A diferencia de las transformaciones que has estudiado,

traslaciones, rotaciones y reflexiones, las dilataciones cambian

el tamaño (pero no la forma) de la figura.

Cada dilatación tiene un punto fijo llamado centro de dilatación

situado en el lugar de intersección de las rectas que conectan las

partes correspondientes de las figuras.

El triángulo R′S′T′ es una dilatación del triángulo RST.

El punto C es el centro de dilatación.

Usa una regla para medir los segmentos _ CR , _ CR′ , _ CS , _ CS′ , _ CT y _ CT ′ al milímetro

más cercano. Anota las medidas y las razones en la tabla.

Escribe una conjetura basándote en las razones de la tabla.

Mide y anota las longitudes de los lados correspondientes de los triángulos.

Escribe una conjetura basándote en las razones de la tabla.

Mide los ángulos correspondientes y describe los resultados.

A

CR′ CR CR′

___ CR CS′ CS CS′

___ CS CT′ CT CT′

___ CT

B

C

R′S′ RS R′S′

___ RS S′T′ ST S′T′

___ ST R′T′ RT R′T ′

___ RT

D

E

PREGUNTA ESENCIAL

L E C C I Ó N

10.1Propiedades de las dilataciones

8.G.1.4

Understand that a two-dimensional figure is similar to another if the second can be obtained from the first by a sequence of … dilations; … Also 8.G.1.3

8.G.1.4

315

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Com

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Lección 10.1

ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1 (continuación)

x

y

-6

6

-6

6O

CD

A'

B'

C'D'

A

B


Reflexiona1. Dos figuras con la misma forma, pero diferentes tamaños, son semejantes.

¿Son semejantes los triángulos RST y R′S′T′? ¿Por qué?

2. Compara la orientación de una figura con la orientación de su dilatación.

Explorar las dilataciones en un plano cartesiano En esta actividad vas a explorar cómo las coordenadas de

una figura en un plano cartesiano son afectadas por una

dilatación.

Completa la tabla. Anota las coordenadas x y y de los puntos

de las dos figuras y las razones de las coordenadas x y las

coordenadas y.

Escribe una conjetura sobre las razones de las coordenadas de la imagen de

una dilatación a las coordenadas de la figura original.

A

Vértice x y Vértice x y

Razón de lascoordenadas x

(A′B′C′D′ ÷ ABCD)

Razón de lascoordenadas y

(A′B′C′D′ ÷ ABCD)

A′ A

B′ B

C ′ C

D′ D

B

8.G.1.3

316

© H

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Com

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Unidad 4

y

x

2 4

2

O

4

6

8

10

6 8 10

A

A'

B'C'

BC


my.hrw.com

Reflexiona3. En la Actividad para explorar 1, el triángulo R′S′T ′ era más grande que el

triángulo RST. ¿En qué se diferencia la relación entre el cuadrilátero

A′B′C′D′ y el cuadrilátero ABCD?

Calcular un factor de escalaComo has visto en las dos actividades, una dilatación puede producir una figura más

grande (una ampliación) o una figura más pequeña (una reducción). El factor de escala describe cuánto se amplía o se reduce una figura. El factor de escala

es la razón entre la longitud de la imagen a la longitud correspondiente de la

figura original.

En la Actividad para explorar 1, las longitudes de los lados del triángulo R′S′T ′ eran el

doble de las longitudes del triángulo RST, por lo que el factor de escala era 2. En la

Actividad para explorar 2, las longitudes de los lados del cuadrilátero A′B′C′D′ eran la

mitad de las del cuadrilátero ABCD, por lo que el factor de escala era 0.5

Una tienda de materiales de arte vende diversos

tamaños de triángulos para dibujar. Todos son

dilataciones de un único triángulo básico. En la

cuadrícula se muestran el triángulo básico y una de

sus dilataciones. Calcula el factor de escala de

la dilatación.

Usa las coordenadas para calcular las

longitudes de los lados de cada triángulo.

Triángulo ABC: AC = 2 CB = 3

Triángulo A′B′C ′: A′C ′ = 4 C ′B′ = 6

Calcula las razones de los lados correspondientes.

A′C ′

___ AC = 4 _ 2

= 2 C ′B′

___ CB = 6 _ 3

= 2

El factor de escala de la dilatación es 2.

Reflexiona4. ¿Es la dilatación una ampliación o una reducción? ¿Cómo lo sabes?

EJEMPLO EJEMPLO 1

PASO 1

PASO 2

¿Qué diferencia hay entre las dilataciones y las otras transformaciones que has

estudiado?

Charlamatemática


8.G.1.4

Como el factor de escala es el mismo para todos los lados correspondientes, puedes anotar solamente dos pares de longitudes de lado. Usa un par para comprobar el otro.

317

© H

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pany

Lección 10.1

A'

B'

C'

5-5

5

-5

xO

y

C

BA

y

x

2 4

2

O

4

6

8

10

6 8 10

D

G

E

D'

G'

E'

F'

F

Entrenador personal

en matemáticas


my.hrw.com


Usa los triángulos ABC y A′B′C ′ para los Ejercicios 1 a 5. (Actividades para explorar 1 y 2, Ejemplo 1)

1. Para cada par de vértices correspondientes, calcula la razón de las

coordenadas x y la razón de las coordenadas y.

razón de las coordenadas x =

razón de las coordenadas y =

2. Sé que el triángulo A′B′C ′ es una dilatación del triángulo ABC

porque las razones de las coordenadas x correspondientes

son y las razones de las coordenadas y

correspondientes son .

3. La razón de las longitudes de los lados correspondientes del triángulo

A′B′C ′ y del triángulo ABC es .

4. Los ángulos correspondientes del triángulo ABC y del triángulo A′B′C ′

son .

5. El factor de escala de la dilatación es .

6. ¿Cómo puedes calcular el factor de escala de una dilatación?


5. Calcula el factor de escala

de la dilatación.

ES TU TURNO

¿Qué factores de escala producen ampliaciones? ¿Qué factores de escala producen reducciones?

Charlamatemática


318

© H

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Unidad 4

my.hrw.com



Nombre Clase Fecha


En los Ejercicios 7 a 11, indica si una de las

figuras es una dilatación de la otra. Explica el

razonamiento.

7. El cuadrilátero MNPQ tiene longitudes de

lado de 15 mm, 24 mm, 21 mm y 18 mm. El

cuadrilátero M′N′P′Q′ tiene longitudes de lado

de 5 mm, 8 mm, 7 mm y 4 mm.

8. El triángulo RST tiene ángulos que miden 38° y

75°. El triángulo R′S′T ′ tiene ángulos que miden

67° y 38°. Los lados son proporcionales.

9. Dos triángulos, el Triángulo 1 y el Triángulo 2,

son semejantes.

10. El cuadrilátero MNPQ tiene la misma forma

pero tamaño distinto que el cuadrilátero

M′N′P′Q.

11. En un plano cartesiano, las coordenadas del

triángulo UVW son U(20, -12), V(8, 6) y

W(-24, -4). Las coordenadas del triángulo

U ′V ′W ′ son U′(15, -9), V ′(6, 4.5) y W ′(-18, -3).

Completa la tabla escribiendo “igual” o “cambiada” para comparar la imagen con

la figura original según el tipo de transformación.

Imagen comparada con la figura original

Orientación Tamaño Forma

12. Traslación

13. Reflexión

14. Rotación

15. Dilatación

16. Describe la imagen de una dilatación con un factor de escala de 1.

8.G.1.3, 8.G.1.4

319

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Lección 10.1

Área de trabajo

A'

C'D'

B'

5-5

5

-5

xO

y

AB

CD

x

y

2

4

6

8

2 4 6 8O

A

B

C

A'

B'C'

Identifica el factor de escala de cada dilatación.

17. 18.

19. Razonamiento crítico Explica cómo puedes calcular el centro de dilatación de

un triángulo y su dilatación.

20. Haz una conjetura

a. Un cuadrado situado en un plano cartesiano tiene vértices en (−2, 2), (2, 2),

(2, −2) y (−2, −2). La dilatación del cuadrado tiene vértices en (−4, 4), (4, 4),

(4, −4) y (−4, −4). Calcula el factor de escala y el perímetro de cada

cuadrado.

b. Un cuadrado situado en un plano cartesiano tiene vértices en (−3, 3), (3, 3),

(3, −3) y (−3, −3). La dilatación del cuadrado tiene vértices en (−6, 6), (6, 6),

(6, −6) y (−6, −6). Calcula el factor de escala y el perímetro de cada

cuadrado.

c. Haz una conjetura sobre la relación del factor de escala al perímetro del

cuadrado y su imagen.


320

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Unidad 4

?

x

y

-7

7

-7

7O


PREGUNTA ESENCIAL¿Cómo puedes describir el efecto de una dilatación sobre las coordenadas usando una representación algebraica?

L E C C I Ó N

10.2Representaciones algebraicas de dilataciones

Representar ampliaciones Cuando una dilatación en un plano cartesiano tiene el origen como el

centro de dilatación, puedes calcular puntos en la imagen dilatada

multiplicando las coordenadas x y y de la figura original por el factor de

escala. Para un factor de escala k, la representación algebraica de la

dilatación es (x, y) → (kx, ky). Para las ampliaciones, k > 1.

La figura que aparece en la cuadrícula es la preimagen. El centro de

dilatación es el origen.

Enumera las coordenadas de los vértices de la preimagen en la primera

columna de la tabla.

¿Cuál es el factor de escala de la dilatación?

Aplica la dilatación a la preimagen y escribe las coordenadas de los

vértices de la imagen en la segunda columna de la tabla.

Traza la imagen después de la dilatación en la cuadrícula de coordenadas.

A

B

C

D

Preimagen(x, y)

Imagen(3x, 3y)

(2, 2) (6, 6)

¿Qué efecto tendría la dilatación (x, y) → (4x, 4y)

sobre el radio de un círculo?

Charlamatemática


8.G.1.3

Describe the effect of dilations, … on two-dimensional figures using coordinates.

8.G.1.3

321Lección 10.2

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

x

y

-4

5

-5

4O

ACTIVIDAD PARA EXPLORAR 1 (continuación)


Reflexiona1. ¿Qué efecto tiene la dilatación sobre la longitud de los segmentos de recta?

2. ¿Qué efecto tiene la dilatación sobre las medidas de los ángulos?

Representar reduccionesPara los factores de escala entre 0 y 1, la imagen es más pequeña que la

preimagen. A esto se le llama reducción.

La flecha que se muestra es la preimagen. El centro de dilatación es el origen.

Enumera las coordenadas

de los vértices de la

preimagen en la primera


¿Cuál es el factor de

escala de la dilatación?

Aplica la dilatación a la

preimagen y escribe las

coordenadas de los vértices

de la imagen en la segunda


Traza la imagen después

de la dilatación en la

cuadrícula de coordenadas.

Reflexiona3. ¿Qué efecto tiene la dilatación sobre la longitud de los segmentos de recta?

4. ¿Qué efecto tendría sobre la preimagen una dilatación con un factor de

escala de 1?

A

B

C

D

Preimagen(x, y)

Imagen

( x, y) 1 _ 2

1 _ 2

8.G.1.3

322 Unidad 4

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

x

y

2

4

6

8

2 4 6 8OA

A'

B

B'C

C'

x

y

2

4

6

8

2 4 6 8OA B

C


my.hrw.com

x

y

2

4

6

8

2 4 6 8O

X

YZ

my.hrw.com


Entrenador personal

en matemáticas

Centro de dilatación afuera de la imagenEl centro de dilatación puede estar adentro o afuera de la preimagen y de la imagen

dilatada. El centro de dilatación puede estar en cualquier lugar del plano cartesiano

siempre y cuando las rectas que conectan a los pares de vértices correspondientes que

hay entre la preimagen y la dilatada se intersequen en el centro de dilatación.

Representa la imagen del ▵ABC después de una dilatación que tiene como origen

su centro y un factor de escala de 3. ¿Cuáles son los vértices de la imagen?

Multiplica cada coordenada de los

vértices del ▵ABC por 3 para calcular

los vértices de la imagen dilatada.

▵ABC (x, y) → (3x, 3y) ▵A′B′C′

A(1, 1) → A′(1 · 3, 1 · 3) → A′(3, 3)

B(3, 1) → B′(3 · 3, 1 · 3) → B′(9, 3)

C(1, 3) → C′(1 · 3, 3 · 3) → C′(3, 9)

Los vértices de la imagen dilatada

son A′(3, 3), B′(9, 3) y C′(3, 9).

Representa la imagen dilatada.

EJEMPLO 1

PASO 1

PASO 2

5. Representa la imagen del ▵XYZ después de

una dilatación con un factor de escala

de 1 _ 3 y el origen como su centro. Luego,

escribe una regla algebraica para describir

la dilatación.

ES TU TURNO

Describe cómo puedes comprobar gráficamente que

has dibujado la imagen del triángulo correctamente.

Charlamatemática


8.G.1.3

323Lección 10.2

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

x

y

2

4

6

8

2 4 6 8O

F G

I H

x

y

-3

3

-3

3O


1. La cuadrícula muestra una preimagen con forma de diamante. Escribe las

coordenadas de los vértices de la preimagen en la primera columna de la

tabla. Luego, aplica la dilatación (x, y) → ( 3 _ 2 x, 3 _

2 y ) y escribe las coordenadas de

los vértices de la imagen en la segunda columna. Traza la imagen de la figura

después de la dilatación. (Actividades para explorar 1 y 2)

Representa en las gráficas la imagen de cada figura después de una dilatación

que tiene como origen su centro y con el factor de escala dado. Luego,

escribe una regla algebraica para describir la dilatación. (Ejemplo 1)

Preimagen Imagen

(2, 0) (3, 0)

2. factor de escala de 1.5 3. factor de escala de

1

_

3

x

y

2

4

6

8

2 4 6 8O

B

C

A

4. ¿Qué efecto tiene sobre la figura una dilatación de (x, y) → (kx, ky) cuando

0 < k < 1? ¿Qué efecto tiene sobre la figura cuando k > 1?


324 Unidad 4

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

my.hrw.com



x

y

-6

6

-6

6

C'

D'

A'

B'

C

D

A

B

Nombre Clase Fecha


5. El cuadrado azul es la preimagen. Escribe

dos representaciones algebraicas, una para

la dilatación al cuadrado verde y una para la

dilatación al cuadrado morado.

6. Razonamiento crítico Un triángulo tiene

vértices A(-5, -4), B(2, 6) y C(4, -3). El centro

de dilatación es el origen y (x, y)→(3x, 3y).

¿Cuáles son los vértices de la imagen dilatada?

7. Razonamiento crítico M′N′O′P′ tiene vértices

en M′(3, 4), N′(6, 4), O′(6, 7) y P′(3, 7). El centro

de dilatación es el origen. MNOP tiene vértices

en M(4.5, 6), N(9, 6), O′(9, 10.5) y P′(4.5, 10.5).

¿Cuál es la representación algebraica de esta

dilatación?

8. Razonamiento crítico A un polígono se le

aplica una dilatación con centro en (0, 0) y

un factor de escala de k. ¿Qué dilatación le

puedes aplicar a la imagen para convertirla en

la preimagen?

9. Representar problemas de la vida real En

la escala del plano para una casa nueva, de

pulgada equivale a 1 pie. El plano es la

preimagen y la casa es la imagen dilatada. El

plano se traza en un plano cartesiano.

a. ¿Cuál es el factor de escala en términos de

pulgadas a pulgadas?

b. ¿Cuántas pulgadas en la casa real

representan 1 pulgada en el plano?

¿Cuántos pies?

c. Escribe la representación algebraica de la

dilatación del plano a la casa.

d. Una habitación rectangular tiene las

coordenadas Q(2, 2), R(7, 2), S(7, 5) y

T(2, 5) en el plano. El propietario quiere

hacer la habitación un 25% más grande.

¿Cuáles son las coordenadas de la nueva

habitación?

e. ¿Cuáles son las dimensiones de la nueva

habitación, en pulgadas, en el plano?

¿Cuáles serán las dimensiones de la nueva

habitación, en pies, en la nueva casa?

1 _ 4

8.G.1.3

325Lección 10.2

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Área de trabajo

xO

y

-4

4

-4

4

xO

y

-4

4

-4

4

10. Escribe una representación algebraica de la dilatación que se muestra.

11. Critica el razonamiento El decorado para una obra de teatro escolar necesita

una reproducción de un edificio histórico pintado en el telón de fondo que mida

20 pies de largo y 16 pies de alto. El edificio real mide 400 pies de largo y 320

pies de alto. Un operario del teatro escribe (x, y) → para representar la

dilatación. ¿Es correcto el cálculo del operario si la reproducción pintada debe

cubrir todo el telón de fondo? Explícalo.

12. Comunica ideas matemáticas Explica lo que las transformaciones algebraicas

hacen a cada figura.

a. (x, y) → (y, -x)

b. (x, y) → (-x, -y)

c. (x, y) → (x, 2y)

d. (x, y) → ( 2 _ 3

x, y)

e. (x, y) → (0.5x, 1.5y)

13. Comunica ideas matemáticas El triángulo ABC tiene coordenadas

A(1, 5), B(-2, 1) y C(-2, 4). Traza los triángulos ABC y A′B′C′ para la dilatación

(x, y) → (-2x, -2y). ¿Qué efecto tiene un factor de escala negativo?


( 1 __ 12

x, 1 __ 12

y )

326 Unidad 4

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

?

ACTIVIDAD PARA EXPLORAR

y

xO 7

7

-7

-7

PREGUNTA ESENCIAL¿Cuál es la conexión entre transformaciones y figuras semejantes?

L E C C I Ó N

10.3 Figuras semejantes

Combinar transformaciones con dilatacionesCuando se crea una animación, las figuras deben ser trasladadas,

reflejadas, rotadas y algunas veces dilatadas. Como ejemplo de esto,

aplica al rectángulo la secuencia de transformaciones indicada.

Cada transformación se le aplica a la imagen de la transformación

anterior, no a la figura original. Rotula cada imagen con la letra de la

transformación aplicada.

(x, y) → (x + 7, y - 2)

(x, y) → (x, -y)

rotación de 90° en el sentido de las manecillas del

reloj alrededor del origen

(x, y) → (x + 5, y + 3)

(x, y) → (3x, 3y)

Enumera las coordenadas de los vértices del

rectángulo E.

Compara los siguientes atributos del rectángulo E a

los de la figura original.

Forma

Tamaño

Medidas de los ángulos

A

B

C

D

E

F

G

8.G.1.4

Understand that a … figure is similar to another if the second can be obtained … by a sequence of rotations, reflections, translations, and dilations; given two similar … figures, describe a sequence that exhibits the similarity between them.

8.G.1.4

327

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

• Im

age

Cred

its: ©

TWPh

oto/

Corb

is

Lección 10.3

Mis notas


my.hrw.com

A

B

y

xO 42 86

6

8

2

4

-2

-2

Reflexiona1. ¿Qué transformación representa la dilatación? ¿Cómo lo sabes?

2. Una secuencia de transformaciones que contiene una sola dilatación se le aplica

a una figura. ¿Son congruentes la figura original y su imagen final? Explica.

ACTIVIDAD PARA EXPLORAR (continuación)

Figuras semejantesDos figuras son semejantes si una de ellas se puede obtener a partir de la otra por una

secuencia de traslaciones, reflexiones, rotaciones y dilataciones. Las figuras semejantes

tienen la misma forma pero pueden tener tamaños diferentes.

Cuando te dicen que dos figuras son semejantes, debe haber una secuencia

de traslaciones, reflexiones, rotaciones y/o dilataciones que puede transformar

una figura en la otra.

Identifica una secuencia de transformaciones que transformen la figura A en la

figura B. Indica si las figuras son tanto congruentes como semejantes.

Ambas figuras son cuadrados con la misma orientación por lo que no requieren

reflexiones o rotaciones. La figura B tiene lados el doble de largo que los de

la figura A, entonces necesita una dilatación con un factor de escala de 2. La

figura B se mueve hacia la derecha y hacia arriba de la figura A, por lo que es

necesaria una traslación. Una secuencia de transformaciones que logrará esto

es una dilatación por un factor de escala de 2 centrada en el origen, seguida por

la traslación (x, y) → (x + 4, y + 6). Las figuras no son congruentes, pero sí son

semejantes.

EJEMPLO 1

A

8.G.1.4

Unidad 4328

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

C

y

xO 4

8

-4

D

my.hrw.com


Entrenador personal

en matemáticas

Identifica una secuencia de transformaciones que transformen la figura C en la

figura D. Incluye una reflexión. Indica si las figuras son tanto congruentes como

semejantes.

La orientación de la figura D está invertida con respecto a la de la figura C, de

modo que se necesita una reflexión sobre el eje x. La figura D tiene lados que

miden la mitad de los de la figura C, por lo que se necesita una dilatación con

un factor de escala de 1 __

2 . La figura D se mueve arriba de la figura C, así que

es necesaria una traslación. Una secuencia de transformaciones que logre

esto es una dilatación por un factor de escala de 1 __

2 centrada en el origen,

seguida por la reflexión (x, y) → (-x , y), seguida por la traslación

(x, y) → (x, y + 5). Las figuras no son congruentes, pero sí son semejantes.

Identifica una secuencia de transformaciones que transformen la figura C en la

figura D. Incluye una rotación.

La orientación de la figura D está invertida con respecto a la de la figura C,

entonces es necesaria una rotación de 180°. La figura D tiene lados que miden la

mitad de los de la figura C, por lo que se necesita una dilatación con un factor de

escala de 1 __

2 . La figura D se mueve arriba de la figura C, de modo que es necesaria

una traslación. Una secuencia de transformaciones que logre esto es una rotación

de 180° respecto al origen, seguida por una dilatación por un factor de escala de

1 __

2 centrada en el origen, seguida por la traslación (x, y) → (x, y + 5).

B

C

3. Vuelve a ver la Actividad para explorar. Comienza con la figura original. Crea

una secuencia nueva de transformaciones que produzcan la figura E, la imagen

final. Las transformaciones no necesitan producir las imágenes en el mismo

orden en el cual aparecieron originalmente.

ES TU TURNO

Una figura y su imagen tienen tamaños y orientaciones diferentes. ¿Qué sabes sobre la secuencia de transformaciones

que generó la imagen?

Charlamatemática


329Lección 10.3

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

y

xO 642 8

6

4

2

8

-2-4-6-8

-2

-4

-6

-8

A

B

D

y

xO 642 8

6

4

2

8

-2-4-6-8

-2

-4

-6

-8

C


1. Aplícale al cuadrado la secuencia de

transformaciones indicada. Aplica cada

transformación a la imagen de la transformación

anterior. Rotula cada imagen con la letra de la

transformación aplicada.

(Actividad para explorar)

(x, y) → (-x, y)

Rota el cuadrado 180° alrededor del origen.

(x, y) → (x - 5, y - 6)

(x, y) → ( 1 _ 2

x, 1

_ 2

y )

Identifica una secuencia de dos transformaciones

que transformen la figura A en la figura

dada. (Ejemplo 1)

2. figura B

3. figura C

4. figura D

A

B

C

D

5. Si dos figuras son semejantes, pero no congruentes, ¿qué sabes sobre la secuencia

de transformaciones usadas para crear una figura a partir de la otra?


Unidad 4330

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

my.hrw.com



Café de Jan


6. Para un negocio nuevo, una diseñadora crea un dibujo de una señal triangular

sobre papel cuadriculado en centímetros. El dibujo tiene lados que miden 6 cm,

8 cm y 10 cm y ángulos que miden 37°, 53° y 90°. Para crear la señal real que se

muestra, el dibujo debe dilatarse usando un factor de escala de 40.

a. Calcula las longitudes de los lados de la señal real.

b. Calcula las medidas de los ángulos de la señal real.

c. El dibujo tiene la hipotenusa en la parte inferior. Al dueño del negocio le

gustaría que estuviera en la parte superior. Describe dos transformaciones

que logren esto.

d. El cateto más corto del dibujo actualmente está a la izquierda. El dueño del

negocio quiere que permanezca allí después de mover la hipotenusa a la

parte superior. ¿Qué transformación en la parte c logrará esto?

En los Ejercicios 7 al 10 se describe la transformación de una figura en su imagen.

Describe las transformaciones que transformarán la imagen de vuelta a la figura

original. Luego, escríbelas algebraicamente.

7. La figura se refleja sobre el eje x y se dilata por un factor de escala de 3.

8. La figura se dilata por un factor de escala de 0.5 y se traslada 6 unidades a la

izquierda y 3 unidades hacia arriba.

9. La figura se dilata por un factor de escala de 5 y se rota 90° en el sentido de las

manecillas del reloj.

Nombre Clase Fecha

8.G.1.4

331Lección 10.3

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Áraea de trabajo

y

xO 5

5

-5

-5

y = x

10. La figura se refleja sobre el eje y y se dilata por un factor de escala de 4.

11. Saca conclusiones Una figura experimenta una secuencia de transformaciones

que incluye dilataciones. La figura y su imagen final son congruentes. Explica

cómo puede suceder esto.

12. Varios pasos Al igual que las figuras

geométricas, las gráficas se pueden

transformar mediante traslaciones,

reflexiones, rotaciones y dilataciones.

A la derecha se representa la ecuación

y = x. Describe cómo cambia la gráfica

a través de cada una de las siguientes

transformaciones.

a. una dilatación por un factor de escala

de 4 que produce la gráfica de la

ecuación y = 4x

b. una traslación que produce la gráfica de la ecuación y = x - 3.

c. una reflexión sobre el eje y.

13. Justifica tu razonamiento La gráfica de la recta y = x se dilata por un factor de

escala de 3 y luego se traslada 5 unidades hacia arriba. ¿Es esto igual a trasladar

la gráfica 5 unidades hacia arriba y luego dilatarla por un factor de escala de 3?

Explica. ¿Qué relación tienen las gráficas nuevas?


Unidad 4332

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

my.hrw.com


Entrenador personal

en matemáticas

para seguir?¿Listo¿Listo

O

4

2

2-2

-2

x

y

4

-4

-4 O 4

4

2

2-2

-2

-4

-4

x

y

PRUEBA DEL MÓDULO

10.1 Propiedades de las dilatacionesDetermina si una figura es una dilatación de la otra. Justifica la respuesta.

1. El triángulo XYZ tiene ángulos que miden 54° y 29°. El triángulo X’Y′Z′ tiene

ángulos que miden 29° y 92°.

2. El cuadrilátero DEFG tiene lados que miden 16 m, 28 m, 24 m y 20 m. El

cuadrilátero D′E′F′G′ tiene lados que miden 20 m, 35 m, 30 m y 25 m.

10.2 Representaciones algebraicas de dilatacionesDilata las figuras con el origen como centro de dilatación.

3. (x, y) → (0.8x, 0.8y) 4. (x, y) → (2.5x, 2.5y)

10.3 Figuras semejantes

5. Describe qué le sucede a una figura cuando se le aplica una secuencia de

transformaciones dadas: (x, y) → (-x, y); (x, y) → (0.5x, 0.5y); (x, y) → (x - 2, y + 2)

6. ¿Cómo puedes usar las dilataciones para resolver problemas de la vida real?

PREGUNTA ESENCIAL

333

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Módulo 10

my.hrw.com



O-6 6

-6

6

x

y

O 4

4

2

2-2

-2

-4

-4

x

y


1. Un rectángulo tiene vértices en (6, 4), (2, 4),

(6, -2) y (2, -2). ¿Cuáles son las coordenadas

de los vértices de la imagen después de una

dilatación con el origen como centro y un

factor de escala de 1.5?

A (9, 6), (3, 6), (9, –3), (3, –3)

B (3, 2), (1, 2), (3, –1), (1, –1)

C (12, 8), (4, 8), (12, –4), (4, –4)

D (15, 10), (5, 10), (15, –5), (5, –5)

2. ¿Cuál representa la dilatación mostrada si la

figura negra es la preimagen?

A (x, y) → (1.5x, 1.5y)

B (x, y) → (2.5x, 2.5y)

C (x, y) → (3x, 3y)

D (x, y) → (6x, 6y)

3. Identifica la secuencia de transformaciones que

reflejará una figura sobre el eje x y luego una

dilatación por un factor de escala de 3?

A (x, y) → (-x, y); (x, y) → (3x, 3y)

B (x, y) → (-x, y); (x, y) → (x, 3y)

C (x, y) → (x, -y); (x, y) → (3x, y)

D (x, y) → (x, -y); (x, y) → (3x, 3y)

4. Resuelve -a + 7 = 2a - 8.

A a = -3 C a = 5

B a = - 1 _ 3

D a = 15

5. ¿Qué ecuación no representa una recta con

una intersección con el eje x en 3?

A y = -2x + 6 C y = 2 _ 3

x - 2

B y = - 1 _ 3

x + 1 D y = 3x - 1

Minitarea

6. El cuadrado experimenta la dilatación

(x,y) → (0.25x, 0.25y).

a. Representa la imagen en la cuadrícula.

¿Cuáles son las coordenadas?

b. ¿Cuál es la longitud de un lado de la

imagen?

c. ¿Cuál es el perímetro y el área de la

preimagen?

d. ¿Cuál es el perímetro y el área de la

imagen?

MÓDULO 10 REPASO MIXTO


A

B

D

C

D

334

© H

ough

ton

Miff

lin H

arco

urt P

ublis

hing

Com

pany

Unidad 4

O-3-5 3 5

5

-5

3

-3

x

yC

A B

O-5 -3 3

5

-5

-3

x

yY

X

Z

Y′

X′

Z′

O-3

-3

-5

-5

5

5

3

3

x

yC

A B

UNIDAD 4

Repaso de la Guía de estudioVocabulario clavecentro de una rotación (center

of rotation)

congruente (congruent)

imagen (image)

línea de refl exión (line of

refl ection)


refl exión (refl ection)

rotación (rotation)

transformación

( transformation)

traslación (translation)

Transformaciones y congruencia

¿Cómo puedes usar las transformaciones y la congruencia para resolver

problemas de la vida real?

EJEMPLO Traslada el triángulo XYZ 4 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia

abajo. Representa gráficamente la imagen y rotula los vértices.

MÓDULO 999

? PREGUNTA ESENCIAL

Traslada los vértices restando 4 de cada

coordenada x y 2 de cada coordenada y.

Los nuevos vértices son X′(-1, 1), Y′(0, 3) y

Z′(1, -3).

Conecta los vértices para dibujar el triángulo

X′Y′Z′.

EJERCICIOSHaz las transformaciones indicadas. (Lecciones 9.1, 9.2, 9.3)

1. Reflexión sobre el eje x 2. Traslación 5 unidades a la derecha

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335Unidad 4

O-3 3 5

5

3

-3

-5

x

yC

A BO-3-5

-5

5

5

3

3

-3

x

yC

A B

O

6

-6

x

y

-6 6

xO

y

-5 -3

3

5

-5

-3

3 5

3. Rotación de 90° en sentido contrario a las

manecillas del reloj sobre el origen

4. Traslación 4 unidades a la derecha y 4

unidades hacia abajo

5. El cuadrilátero ABCD con vértices A(4, 4),

B(5, 1), C(5, -1) y D(4, -2) se traslada

2 unidades a la izquierda y 3 unidades

hacia abajo. Representa gráficamente la

preimagen y la imagen. (Lección 9.4)

6. El triángulo ABC con vértices A(1, 2), B(1, 4)

y C(3, 3) se traslada mediante (x, y) →

(x -4, y) y el resultado se refleja en (x, y)

→ (x, -y). Representa gráficamente la

preimagen y la imagen. (Lección 9.5)

7. El triángulo RST tiene vértices en (-8, 2), (-4, 0) y (-12, 8). Calcula los

vértices después de que el triángulo se refleja sobre el eje y. (Lección 9.4)

8. El triángulo XYZ tiene vértices en (3, 7), (9, 14) y (12, -1). Calcula los

vértices después de que el triángulo se rota 180° sobre el origen. (Lección 9.4)

9. El triángulo MNP tiene sus vértices en (-1,-4), (-2, -5) y (-3, -3).

Calcula los vértices después de reflejar el triángulo según (x, y) → (x, -y)

y trasladarlo de (x, y) →(x + 6, y). (Lección 9.5)

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Unidad 4336

O-3

-3

-5

3

x

y

CA

B

B′

A′

C′

O-4-8

-4

-8

4

8

4 8

x

y

DF

E

E′

F′

D′

Vocabulario claveampliación (enlargement)

centro de dilatación (center

of dilation)

dilatación (dilation)

factor de escala (scale factor)

reducción (reduction)

semejante (similar)

Transformaciones y semejanza

¿Cómo puedes usar las dilataciones, semejanza y proporcionalidad para

resolver problemas de la vida real?

EJEMPLO Dilata el triángulo ABC con el origen como centro de dilatación y un

factor de escala de 1 _ 2

. Representa gráficamente la imagen dilatada.

MÓDULO 1010

? PREGUNTA ESENCIAL

Multiplica cada una de las coordenadas de

los vértices de ABC por 1 _ 2 para calcular los

vértices de la imagen dilatada.

A(5, -1) → A′ ( 5 · 1 _ 2

, -1 · 1 _ 2

) → A′ ( 2 1 _ 2

, - 1 _ 2

)

B(4, -5) → B′ ( 4 · 1 _ 2

, -5 · 1 _ 2

) → B′ ( 2, -2 1 _ 2

)

C(2, 0) → C′ ( 2 · 1 _ 2

, 0 · 1 _ 2

) → C′(1, 0)

EJERCICIOS

1. Calcula la razón de las coordenadas x y la razón de las coordenadas y de

cada par de vértices correspondientes. (Lección 10.1)

Razón de coordenadas x:

Razón de coordenadas y:

¿Cuál es el factor de

escala de la dilatación?

2. El rectángulo WXYZ tiene vértices en (-2, -1), (-2, 1), (2, -1) y (2, 1). Primero se

dilata en (x, y) → (2x, 2y) y luego se traslada en (x, y) → (x, y + 3). (Lección 10.3)

a. ¿Cuáles son los vértices de la imagen?

b. ¿Son congruentes la imagen y la preimagen? ¿Son semejantes? Explica.

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337Unidad 4

L′

4

42

x

yM′

N′

O′

L

O

M

N6

6

y

x

10

-10

-10 10

Z

X

Y-3

-5

-2

5

3

2 4 7

x

y

A B

CD

L′

4

42

x

yM′

N′

O′

L

O

M

N6

6

Unidad 4 Tareas de rendimiento

Dilata las siguientes figuras con el origen como centro de dilatación.

Escribe los vértices de las figuras dilatadas y luego represéntalas

gráficamente. (Lección 10.2)

3. (x, y) → ( 1 _ 4 x, 1 _

4 y )

4. (x, y) → (2x, 2y)

1. Contratista Fernando va a ampliar el patio

de juego de su perro. El patio original tiene una cerca representada por el

rectángulo LMNO en el plano cartesiano. Fernando llama a un contratista

para que le construya una cerca nueva que encierre un área 6 veces mayor

que la actual. Ésta debe mantener la misma forma. El contratista construye

la cerca representada por el rectángulo L′M′N′O′.

a. ¿Aumentó el contratista el área por la cantidad que quería Fernando?

Explícalo.

b. ¿Mantiene la cerca nueva la misma forma que la cerca vieja? ¿Cómo los sabes?

2. Un triángulo situado en el plano cartesiano representa la vela de un velero

con vértices en (0, 0), (5, 0) y (5, 4). El triángulo se dilata por un factor de escala

de 1.5 con el origen como centro de dilatación. Calcula las coordenadas del

triángulo dilatado. ¿Son semejantes los triángulos? Explícalo.

PROFESIONES EN MATEMÁTICAS

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Unidad 4338

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1. ¿Cuál sería la orientación de la siguiente figura

después de una reflexión sobre el eje x?

A

B

C

D

2. Un triángulo con coordenadas (4, 2), (0, -3)

y (-5, 3) se traslada 5 unidades a la derecha

y se rota 180° sobre el origen. ¿Cuáles son las


A (9, 2), (-1, -2), (5, -7)

B (-10, 3), (-1, 2), (-5, -3)

C (2, -1), (-3, -5), (3, -10)

D (-9, -2), (-5, 3), (0, -3)

3. El cuadrilátero LMNP tiene lados que miden 16,

28, 12 y 32. ¿Cuáles podrían ser las longitudes

de los lados de una dilatación de LMNP?

A 24, 40, 18, 90

B 32, 60, 24, 65

C 20, 35, 15, 40

D 40, 70, 30, 75

4. ¿Qué ecuación está representada por la

siguiente tabla?

x -1 0 1 2

y 1 -2 -5 -8

A y = x + 2

B y = -x

C y = 3x + 6

D y = -3x - 2

5. ¿Cuál de los siguientes enunciados no es

verdadero respecto a un trapecio que ha sido

trasladado 8 unidades hacia abajo?

A El trapecio nuevo tiene el mismo tamaño

que el trapecio original.

B El trapecio nuevo tiene la misma forma que

el trapecio original.

C El trapecio nuevo tiene la misma

orientación que el trapecio original.

D Las coordenadas y del trapecio nuevo

son las mismas que las coordenadas y del

trapecio original.

6. ¿Qué opción representa una reducción?

A (x, y) → (0.9x, 0.9y)

B (x, y) → (1.4x, 1.4y)

C (x, y) → (0.7x, 0.3y)

D (x, y) → (2.5x, 2.5y)

7. ¿Cuál de las siguientes es la solución de

4(x + 1) = 2(3x - 2)?

A x = - 4

B x = - 1

C x = 0

D x = 4

UNIDAD 4 REPASO MIXTO


B

D

D

A

D

D

C

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339Unidad 4

PistaPistaAsegúrate de leer todas las opciones

antes de tomar una decisión. Prueba

las opciones en las incógnitas del

problema si no estás seguro de la

respuesta.

xO

y

-5 -3

3

5

-5

-3

3 5

8. Un rectángulo tiene vértices en (8, 6), (4, 6),

(8, -4) y (4, -4). ¿Cuáles son las coordenadas

después de una dilatación desde el origen por

un factor de escala de 1.5?

A (9, 6), (3, 6), (9, -3), (3, -3)

B (10, 8), (5, 8), (10, -5), (5, -5)

C (16, 12), (8, 12), (16, -8), (8, -8)

D (12, 9), (6, 9), (12, -6), (6, -6)

9. Dos manzanas más cuatro plátanos cuestan

$2.00. Una manzana cuesta el doble de un

plátano. Usando las ecuaciones 2a + 4b = 2.00

y a = 2b, donde a es el costo de una manzana y

b es el costo de un plátano, ¿cuánto son a y b?

A a = $0.25; b = $0.25

B a = $0.25; b = $0.50

C a = $0.50; b = $0.25

D a = $0.50; b = $0.50

10. ¿Qué enunciado es falso?

A Ningún entero es irracional.

B Todos los números enteros son enteros.

C Ningún número real es racional.

D Todos los enteros mayores que o iguales a 0

son números enteros.

11. Considera el sistema de ecuaciones 3x + 4y = 2

y 2x - 4y = 8. ¿Cuál es la solución?

A x = -1, y = -2

B x = 1, y = 2

C x = -2, y = 1

D x = 2, y = -1

12. Un triángulo con vértices en (-2, -3), (-4, 0)

y (0, 0) es congruente a un segundo triángulo

ubicado en el cuadrante I con dos de sus

vértices en (3, 2) y (1, 5).

a. Representa gráficamente los dos triángulos

en el mismo plano de coordenadas.

b. ¿Cuáles son las coordenadas del tercer

vértice del segundo triángulo?

13. Tamiko piensa hacer una pared de piedra con

forma de triángulo, cuyos vértices están en

(-1, -2), (2, 2) y (-2, 2) en una cuadrícula de

coordenadas. Quiere agregarle una segunda

pared, con la misma forma para encerrar la

primera pared con el origen como el centro de

dilatación. Los vértices de la segunda pared son

(-3, -6), (6, 6) y (-6, 6).

a. ¿Qué factor de escala usó Tamiko para la

segunda pared?

b. Son semejantes las dos paredes? Explica.

D

C

C

D

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Unidad 4340

UNIDAD 4 Geometría transformativa Transformaciones y ... 4 Geometría transformativa Unidad 4 Tarea...

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