Unidad 4 Lección 4 -...

Unidad 4 – Lección 4.1

Antiderivadas y La Integral Indefinida

03/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20

Actividades 4.1

• Referencia del Texto: Sección 4.9 Antiderivadas, Ver ejemplos

1 al 7

• Ejercicios de Práctica: Páginas 332-333: Impares 1 – 29

• Asignación 4.1: Página 333; 32

• Referencias del Web:

Khan Academy - Integrales Definidas e Indefinidas – Antiderivadas

e Integrales Indefinidas, Integrales indefinidas de x elevada a una

potencia, Antiderivadas de 𝑥−1; Antiderivadas Trigonométricas y

Exponenciales Básicas.

Paul’s Online Note – Indefinite Integrals

Visual Calc - Antiderivatives / Indefinite Integrals; Tutorial sobre

antiderivadas y el integral indefinido. Table of Elementary Indefinite

Integrals. Ejercicios de práctica (Drill) usa Java.

eMathLab – Indefinite Integrals

Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014 2 de 20

https://es.khanacademy.org/math/calculus/integral-calculus/indefinite_integrals/v/antiderivatives-and-indefinite-integrals

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/CalcI/IndefiniteIntegrals.aspx

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/4/antider.1/index.html



http://emathlab.com/Calculus/indefiniteIntegrals.php

Antiderivada

• Una función F es la antiderivada de f sobre un

intervalo I si F’(x) = f(x) para todo x en I.

• Ejemplo:

• es una antiderivada de

• Otras son:

• En general, si F es una función antiderivada de f

sobre un intervalo I, cualquier otra antiderivada de f

será de la forma F(x) + c donde c es una constante.

Prof. José G. Rodríguez Ahumada03/03/2014

5)( 2 xxxF

12)( xxf

1)( 2

1 xxxF xxxF 2

2 )( xxxF 2

3 )(

3 de 20

Integral indefinida

• La integral indefinida de f(x) se define como el

conjunto de todas las antiderivadas F de f(x).

donde c es una constante.

• Ejemplos:


cxFdxxf )()(

dxx 12 xx 2c

dxx cos xsin c

dxx3

4

4x c

4 de 20

Ejemplo 1

1. Determine las antiderivadas de f(x) = sin x

• Como

2. Determine

• Como


cxdxx cos sinxxdx

dsin)(cos

cxdxx tan sec2xx

dx

d 2sec)(tan

dxx sin

dxx sec2

5 de 20

Otras antiderivadas ..

• Recuerde:


dx x

1 dxxecx tans cx sec

dxxx cotcsc cx csc

dx

x21

1cx 1tan

dxx21

1cx 1sin

dxe xcex

dx a x ca

a x

ln

cx ||ln

6 de 20

Reglas básicas de antiderivadas


ckxdxk

xndx xn1

n 1 c , n 1

dx 5 cx 5

dxx 3c

x

4

4

Ejemplos:

dx cx

Ejemplos:

dxx 21

cx

2

3

23

cx

3

2 23

cxx

3

2

dx cx

7 de 20

Reglas básicas de antiderivadas …

• Ejemplos:


dxfcdxcf (x) (x)

dx5cosx dxx cos5 cx sin5

dx 3- x dxx 3 cx

ln3 c

x

ln

3

dxx26 cx

36

3

dxx26 cx 32

8 de 20

Reglas básicas de antiderivadas …

• Ejemplos:


dxgdxfdxf (x) (x) g(x)](x)[

dxxx 122

dxxdxdxx 122

3

3x

22

2x x

cxxx 23

31

c

dx

x

21

cx

x

2

12

2

1

dxxdx 2

1

2 1

cxx 4

dxxdx 2

1

2 1

321 cccc

9 de 20

Ejercicio #1

1.

2.

3.


dxxx 121 53

dxx 4 3

dxxdxxdx 53 12

cxxx 64 24

1

dxx 43

cx

4

7

47

cxx

7

4 4 3

dx

x

61 xdxdx

x

16 ||ln6 x c

cx

7

4 4

7

10 de 20

Ejercicio #2


dxx cos

dxx sin

dxx sec2cx tan

dxxx tan sec cx sec

dxxx cot csc cx csc

dxx csc2cx cot

cx sin

cx cos

dx x

1

dxe xcex

dx a x ca

a x

ln

cx ||ln

dx

x21

1cx 1tan

dxx21

1cx 1sin

11 de 20

Ejemplo 2

• Encuentre la antiderivada de

• Solución:


x

xxxxf

52sin4)(

x

x

x

xxxf

2152

sin4)( 2142sin4

xxx

dxxxx 2sin4 214

dxxdxxdxx

2142 sin4

dxxdxxdxx

2142 sin4

cxx

x 21

5 21

52cos4

cxxx 25

2cos4 5

12 de 20

Ejercicio #3


2ex dx

2ex c

1

5 1 x 2 dx

1

5sin1 x c

6

1 x 2 dx

6tan1 x c

dx

x

1

1

2cx 1cos

dx 37xc

x

7ln

37

dx

x

1

1

2cx 1sin

dx

x

1

11

2

Observe que hay otra solución ...

¡Estas dos son equivalentes!

13 de 20

Ejercicio #4

Encuentre


dxxex sec73 2

dxxdxex sec73 2

cxex tan73

dxx

x

23

dx

xx

x 23

dxxx 2

1

2

1

23

dxxdxx 2 3 2

1

2

1

cxx

2

12

2

33

2

1

2

3

cxxx 42

14 de 20

Ejemplo 3

• Encuentre f si si 𝑓(1) = 3

• Solución: f es una antiderivada de f’(x).


21

105)('

xxf x

dxx

xf x

21

105)( de dasAntideriva

dxx

dxx

21

105

dxx

x

21

110

5ln

5cx

x

1cos105ln

5

cxxfx

1cos105ln

5)(

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Solución del Ejemplo 3 …

• Si f(1) = 3


c )1(cos105ln

53 1

)1(

c 05ln

53

5ln

53c

5ln

53cos10

5ln

5)( 1 xxf

x

cxxfx

1cos105ln

5)(

16 de 20

Ejemplo 4

Encuentre 𝑓 si 𝑓(0) = 2, 𝑓’(0) = 1,

Solución:

Si f’(0) = 1,

entonces c = 1:


34064)( xxxf

dxxxxf 34064)(' dxxxdxdx 34064

cxx

x 4

402

6442

cxxx 42 1034

1)0(4)0(3)0(101 24

14310)(' 24 xxxxf

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Solución del Ejemplo 4…

• Si f(0) = 2, entonces:


dxxxxxf 14310)( 24

dxdxxdxxdxx 14310 24

cxxxx

2

43

35

10235

cxxxx 235 22

222)( 235 xxxxxf

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Fórmulas de Integración de funciones

trigonométicas

• Recuerde:


tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos 𝑥 + 𝑐

cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln sin 𝑥 + 𝑐

sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝑐

cos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐

sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐

csc 𝑥 𝑑𝑢 = −ln 𝑐sc 𝑥 + 𝑐𝑜t 𝑥 + 𝑐

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Resumen de Fórmulas de Integración


dxx sec2cx tan

dxx csc2cx cot dx

x

1 dxe x ce x

cx ||ln

dxx21

1cx 1sin

dxx cos

dxx sin dxxx tan sec cx sec

dxxx cot csc cx csccx sin

cx cos

dxa x ca

a x

ln

dx

x21

1cx 1tan tan 𝑥 𝑑𝑥 = − ln cos 𝑥 + 𝑐

cot 𝑥 𝑑𝑥 = ln sin 𝑥 + 𝑐

sec 𝑥 𝑑𝑥 = ln sec 𝑥 + tan 𝑥 + 𝑐

csc 𝑥 𝑑𝑥 = −ln 𝑐sc 𝑥 + 𝑐𝑜t 𝑥 + 𝑐

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