UNIDAD 4 MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS. · Paso de locales a globales de cada matriz de rigidez de...
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Unidad IV. - Método de las Rigideces Estructuras I
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UNIDAD 4
MÉTODO DE LOS DESPLAZAMIENTOS.
(RIGIDECES)
Para el estudio de este método tendremos que realizar una consideración de la
convención de signos hasta ahora adoptada en este curso, siguiendo la notación que los
textos adoptan para ello. Esta modificación responderá al hecho de que en las estructuras
más generales los elementos que las componen (vigas en el caso de los pórticos y barras en
el caso de los reticulados) pueden ocupar cualquier posición y que, en consecuencia, para
formular el problema en el espacio es conveniente adoptar una convención diferente a la
que utilizamos hasta ahora. En esta nueva convención utilizaremos un sistema de
“coordenadas globales” para definir la estructura y un sistema de “coordenadas locales”
referido a cada barra.
En la medida que los métodos de los desplazamientos utilizan como incógnitas los
desplazamientos y plantean condiciones de equilibrio de fuerzas y momentos es necesario
poder despejar los momentos y fuerzas en función de los desplazamientos.
CONSIDERACIONES PARA LA APLICACIÓN DEL MÉTODO.
La estructura debe ser Hiperestática o de Vínculos Superabundantes.
Se relaciona las tensiones con las deformaciones elásticas (Leyes de Hooke).
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Una hipótesis muy común dentro del cálculo estructural es considerar a los
elementos de un pórtico plano como si fueran axialmente rígidos A = ∞. Esta
hipótesis da buenos resultados con edificios de pequeña altura, al trabajar con ésta
hipótesis se reduce notablemente el número de grados de libertad.
Se hallarán los desplazamientos en función de la dirección las redundantes, a través
de las cargas dadas, para la obtención de la matriz de desplazamientos [D].
Hallar el grado de indeterminación cinemática de la estructura, aplicando la
ecuación:
GIC = N° θ + N° Δ Donde: θ= es el número de rotaciones rígidas que se generan en la estructura interna. Δ= es el número de desplazamientos que se pueden generan en una estructura.
1.- Analizar bien la estructura. Predimensionar. Fijar modo físico de trabajo (articulado,
empotrado, torsión, plana o espacial, etc.)
2.- Se elige un Sistema Equivalente con las Redundantes como incógnitas a analizar.
3.- Calcular cargas y reacciones en los extremos de cada elemento, como parte del Sistema
de Condición Cero.
4.- Para cada redundante se determina el valor de las Rigideces por condición unitaria
según la deformación que ésta genere, previo cálculo de las matrices de transformación y su
traspuesta de cada barra.
5.- Paso de locales a globales de cada matriz de rigidez de las barras, previo calculo en
locales de las mismas.
6.- Ecuación matricial global. F = K . Δ
7.-. Determinada la matriz de Desplazamiento (D) pueden obtenerse por superposición las
Acciones o Esfuerzos correspondientes en cada elemento de la Estructura, a través:
𝑷𝒕 = 𝑷𝑬 + 𝑷° ∗ 𝑫 De donde:
𝑷𝒕 = Matriz de acción o cargas totales aplicadas al sistema general.
𝑷𝑬 = Matriz de acciones o cargas aplicadas sobre las redundantes en la condición cero
(Reacciones o Momentos por Empotramientos).
𝑷° = Matriz de acciones o cargas determinadas en la Condición Unitaria.
𝑫 = Matriz del Desplazamiento inducida por las cargas externas.
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Veremos cómo funciona el método de deformación. Este método al igual que los
otros métodos manuales desprecian las deformaciones producidas en las barras por efecto
de la directa, en relación a las producidas por flexión. O dicho de otra manera aceptan la
hipótesis que las barras son indeformables longitudinalmente. Esta hipótesis en general no
produce diferencias importantes con otros métodos que no la realizan y permite disminuir
considerablemente el número de incógnitas que deben considerarse para definir el
desplazamiento de la estructura. De acuerdo a ello, en cualquier pórtico deben ser
consideradas como incógnitas los ángulos de giro de todos los nudos que no están
empotrados. En cambio los desplazamientos que deben considerarse dependen de las
características de la estructura. Utilizando la hipótesis que las barras son indeformables
longitudinalmente se puede determinar cuántos desplazamientos de nudos es necesario
incorporar como incógnitas. Cuando no es necesario determinar ningún desplazamiento se
dice que la estructura es de nudos fijos, o “estructura no desplazable”.
Cuando deben considerarse desplazamientos se dice que la estructura es de nudos
desplazables. Este es el caso de la figura da continuación en el que es necesario considerar
un desplazamiento ∆ como incógnita. En este ejemplo deberán considerarse tres incógnitas
θB , θC y ∆.
RIGIDEZ (AXIAL). (K11, K21): La rigidez axial de un elemento es el momento
necesario en un extremo para producir una deformación unitaria en ese extremo,
permaneciendo el otro fijo.
LEY DE HOOKE
𝐸.𝐴
𝐿 −
𝐸.𝐴𝐿
𝐸.𝐴
𝐿 −
𝐸.𝐴𝐿
1 1
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RIGIDEZ ANGULAR. (K11, K21): Se denomina al momento necesario en el
extremo apoyado y/o empotrado para producir una rotación unitaria en este extremo,
permaneciendo el otro fijo.
Extremos Empotrados Empotrado-Articulado
K11 4𝐸𝐼
𝐿 θij
2𝐸𝐼
𝐿 θij
K31 3𝐸𝐼
𝐿
K21 K41
6𝐸𝐼
𝐿2 −6𝐸𝐼
𝐿2 3𝐸𝐼
𝐿2 −3𝐸𝐼
𝐿2
RIGIDEZ LINEAL. (K11, K21): La rigidez lineal de un elemento es el momento
necesario en el extremo empotrado para producir un desplazamiento unitario en ese
extremo, permaneciendo el otro fijo.
Extremos Empotrados Empotrado-Articulado
6𝐸𝐼
𝐿2 3𝐸𝐼
𝐿2
1 ψij 6𝐸𝐼
𝐿2
1 ψij
12𝐸𝐼
𝐿3 −12𝐸𝐼
𝐿3 3𝐸𝐼
𝐿3 - 3𝐸𝐼
𝐿3
Δ
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RIGIDEZ DE BARRAS ELEMENTALES
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MBC 2 T/m MCB
6m
MCB = - q.L2/12 = -2(6)
2/12
MBC = - 6
RB
V = RC
V = q.L/12 RB
V;RC
V = + 6
MBC = + 6
EJEMPLO 1.-
Determinar la matriz de rigidez de la
estructura, hasta hallar los momentos de
flexión generados por las condiciones dadas.
2 T/m
4 T C
B 6 T.m 3m
D
3m
A
6m D1 = K1 D2 = K2
B C
D3 = K3
D
A
B C
RB
V RC
V
MBC = + q.L2/12 = +2(6)
2/12
MBC = + 6
AE = ∞ EI = Ctte
Solución:
1.- Grado de Indeterminación Cinemática.
GIC = θ + Δ
GIC = 2 + 1 = 3 Redundantes
2.- Sistema Equivalente
Escogencia de las Redundantes.-
Se determina el sentido de los Desplazamientos y
Rotaciones y se plantea el número de
indeterminación (D) o rigideces (K).
3.- Condición Cero.
Empotramientos Perfectos (ME)
Se elige la condición de empotrados a fin de
determinar los momentos y esfuerzos producidos por
las cargas externas a lo largo del elemento de la
estructura según la condición de su vinculación.
Ver Tabla de Empotramientos
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Para D1 ≠ 0
K11 K21
K31
Coeficientes de Rigidez (K)
K11 = 4𝐸𝐼
𝐿+
4𝐸𝐼
𝐿 =
4𝐸𝐼
6+
4𝐸𝐼
6 K11 = +1.333
K21 = 2𝐸𝐼
𝐿 =
2𝐸𝐼
6 = K21 = +0.333
K31 = 6𝐸𝐼
𝐿2 = +6𝐸𝐼
62 = K31 = +0.167
MBC = + 6
Momentos Por Rigideces (M° )
(Trabajos Producidos)
MAB = 2𝐸𝐼
𝐿=
2𝐸𝐼
6 = MAB = +0.333
MBA = 4𝐸𝐼
𝐿=
4𝐸𝐼
6 = MBA= +0.667
MBC = 4𝐸𝐼
𝐿=
4𝐸𝐼
6 = MBC = +0.667
MCB = 2𝐸𝐼
𝐿=
2𝐸𝐼
6 = MCB = +0.333
MCD = MDC = 0 MCD = MDC = 0
MBC = + 6
Para D2 ≠ 0
K12 K22
K32
Coeficientes de Rigidez (K)
K12 = 2𝐸𝐼
𝐿 =
2𝐸𝐼
6 = K12 = +0.333
K22 = 4𝐸𝐼
𝐿+
4𝐸𝐼
𝐿 =
4𝐸𝐼
6+
4𝐸𝐼
3 K22 = +2.000
K32 = 6𝐸𝐼
𝐿2 = +6𝐸𝐼
32 = K32 = +0.667
MBC = + 6
Momentos Por Rigideces (M° )
MAB = MAB = 0 MAB = 0
MBC = 2𝐸𝐼
𝐿=
2𝐸𝐼
6 = MBC = +0.333
MCB = 4𝐸𝐼
𝐿=
4𝐸𝐼
6 = MCB = +0.667
MCD = 4𝐸𝐼
𝐿=
4𝐸𝐼
3 = MCD = +1.333
MDC = 2𝐸𝐼
𝐿=
2𝐸𝐼
3 = MDC = +0.667
MBC = + 6
Rigidez Angular (θ)
MBC = + 6
B C
D
A
B C
D
A
2.- Sistema Complementario (Condición Unitaria)
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Para D3 = 1
K13 Δ K23
K33
Coeficientes de Rigidez (K)
K13 = 6𝐸𝐼
𝐿2 = 6𝐸𝐼
62 = K13 = +0.167
K23 = 6𝐸𝐼
𝐿2 = 6𝐸𝐼
32 = K13 = +0.667
K33 = 12𝐸𝐼
𝐿3 +12𝐸𝐼
𝐿3 = 12𝐸𝐼
63 + 12𝐸𝐼
33 K33 = +0.500
MBC = + 6
Momentos Por Rigideces (M° )
MAB = MAB = 6𝐸𝐼
𝐿2 = 6𝐸𝐼
62 MAB = + 0.167
MBC = MCB = 0 MBC = MCB = 0
MCD = MDC = 6𝐸𝐼
𝐿2 = 6𝐸𝐼
32 MCD =MDC + 0.667
MBC = + 6
Rigidez Lineal (Δ )
MBC = + 6
Generación de la Matriz de Rigidez (K)
𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 𝑫 = 𝑲 −𝟏 ∗ 𝑭
De donde: 𝐹 = 𝑞 − 𝑄 q = Cargas Reales Externas Aplicadas sobre las redundantes (D)
Q = Cargas/ Fuerzas correspondientes de la Condición Cero (ME, R)
𝐹 = +6 − +6
0 − −6
+4 − 0 ; 𝐹 =
+0+6+4
Aplicando la matriz de Rigidez 𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 :
+0+6+4
=
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
∗
𝐷1
𝐷2
𝐷3
B C
D
A
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5.50 5.90
0.50
5.90
0.87 5.42
:
+0+6+4
= +1.333 +0.333 +0.167+0.333 +2.000 +0.667+0.167 +0.667 +0.500
∗
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷1
𝐷2
𝐷3
= − 1.107+0.708+7.425
Matriz de Acción de Esfuerzos Solicitados (M)
𝑴 = 𝑴𝑬 + 𝑴° ∗ 𝑫
Determinación de los Momentos de Flexión:
Resolviendo Obtenemos:
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐵𝐶
𝑀𝐶𝐵
𝑀𝐶𝐷
𝑀𝐷𝐶
=
+0.87+0.50+5.50−5.90+5.90+5.42
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐵𝐶
𝑀𝐶𝐵
𝑀𝐶𝐷
𝑀𝐷𝐶
=
0 0+6−6 0 0
+
+0.333 0 +0.167+0.667 0 +0.167+0.667+0.333
00
+0.333+0.667+1.333+0.667
00
+0.667+0.667
∗ − 1.107+0.708+7.425
0.50 B C
5.90
5.50 5.90
5.42
D
A 0.87
Diagrama de Momentos
+
+
+ -
-
- -
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EJEMPLO 2.-
E
3m
4 T
C
2m 3 T.m
2 T B D
4m
A
3m 3m
D4=K4
D2=K2
D1=K1
D3=K3
A = ∞ I = 2Io
A = ∞ I = Io
A = ∞ I = ∞
A = ∞ I = ∞
Solución:
1.- Grado de Indeterminación Cinemática.
GIC = θ + Δ
GIC = 2 + 2 = 4 Redundantes
2.- Sistema Equivalente
Escogencia de las Redundantes.-
2.- Condición Cero.
No hay cargas aplicadas a los elementos para la
determinación de momentos de Empotramientos (ME)
Aplicando el Método de las Rigideces.
Determine la Matriz [K] y la Matriz de
Acción para hallar los Momentos de
Flexión que permita realizar su diagrama de
Momentos.
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RIGIDECES ANGULARES
Para D1≠ 0 Para D2≠ 0
K41 K42
K11 K21 K22
K31 K32 K12
Para D1 ≠ 0
Coeficientes de Rigidez (K)
K11 = 4𝐸𝐼
𝐿+
4𝐸𝐼
𝐿 ;
4𝐸2𝐼
4+
4𝐸𝐼
13 = K11 = +3.109
K21 = 2𝐸𝐼
𝐿 =
2𝐸𝐼
13= K21 = +0.555
K31 = 6𝐸𝐼
𝐿2 - 6𝐸𝐼
𝐿2 = 6𝐸2𝐼
42 − 6𝐸𝐼
132 K31 = +0.288
K41 = - 6𝐸𝐼
𝐿2 = − 6𝐸𝐼
132 K41 = - 0.462
MBC = + 6
Para D2 ≠ 0
Coeficientes de Rigidez (K)
K12 = 2𝐸𝐼
𝐿 ;
2𝐸𝐼
13 = K12 = +0.555
K22 = 4𝐸𝐼
𝐿 =
4𝐸𝐼
13= K22 = +1.109
K32 = - 6𝐸𝐼
𝐿2 = − 6𝐸𝐼
132 K32 = - 0.462
K42 = 6𝐸𝐼
𝐿2 = 6𝐸𝐼
132 K42 = + 0.462
MBC = + 6
Momentos por Rigidez (M°)
MAB = 2𝐸𝐼
𝐿 ;
2𝐸2𝐼
4 = MAB = +1
MBA = 4𝐸𝐼
𝐿 =
4𝐸2𝐼
4 = MBA = +2
MBC = 4𝐸𝐼
𝐿 =
4𝐸𝐼
13 MBC = +1.109
MCB = 2𝐸𝐼
𝐿 =
2𝐸𝐼
13 MCB = +0.555
MCD = 0
MDC = 0
MDE = 0
MED = 0
MBC = + 6
Momentos por Rigidez (M°)
MAB = 0
MBA = 0
MBC = 2𝐸𝐼
𝐿 =
2𝐸𝐼
13 MCB = +0.555
MCB = 4𝐸𝐼
𝐿 =
4𝐸𝐼
13 MBC = +1.109
MCD = 0
MDC = 0
MDE = 0
MED = 0
MBC = + 6
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RIGIDECES LINEALES
Para D3 = 1 Para D4 = 1
K43 K44
K13 K23 K24
K33 K34 K14
Para D3 = 1
Coeficientes de Rigidez (K)
K13 = 6𝐸𝐼
𝐿2 − 6𝐸𝐼
𝐿2 ; 6𝐸2𝐼
42 − 6𝐸𝐼
132 = K13 = +0.288
K23 = −6𝐸𝐼
𝐿2 − 6𝐸𝐼
𝐿2 = −6𝐸𝐼
132 K23 = - 0.288
K33 = 12𝐸𝐼
𝐿3 + 12𝐸𝐼
𝐿3 = 12𝐸2𝐼
43 + 12𝐸𝐼
133 K33 = +0.631
K43 = - 12𝐸𝐼
𝐿3 = − 12𝐸𝐼
133 K43 = - 0.256
MBC = + 6
Para D4 ≠= 1
Coeficientes de Rigidez (K)
K14 = −6𝐸𝐼
𝐿2 + 6𝐸𝐼
𝐿2 ; − 6𝐸2𝐼
42 + 6𝐸𝐼
132 =
K14 = -0.288
K24 = 6𝐸𝐼
𝐿2 = 6𝐸𝐼
132 = K24 = +0.462
K34 = - 12𝐸𝐼
𝐿3 - 12𝐸𝐼
𝐿3 = − 12𝐸2𝐼
43 - 12𝐸𝐼
133 K34 = - 0.768
K44 = 12𝐸𝐼
𝐿3 = 12𝐸𝐼
133 K44 = + 0.256
MBC = + 6
Momentos por Rigidez (M°)
MAB = 6𝐸𝐼
𝐿2 ; 6𝐸2𝐼
42 = MAB = +0.750
MBA = MAB MBA = +0.750
MBC = −6𝐸𝐼
𝐿2 = −
6𝐸𝐼
13 MBC = -0.462
MCB = MBC MCB = -0.462
MCD = 0
MDC = 0
MDE = 0
MED = 0
MBC = + 6
Momentos por Rigidez (M°)
MAB = - 6𝐸𝐼
𝐿2 ; −6𝐸2𝐼
42 = MAB = -0.750
MBA = MAB MBA = -0.750
MBC = 6𝐸𝐼
𝐿2 =
6𝐸𝐼
13 MBC = +0.462
MCB = MBC MCB = +0.462
MCD = 0
MDC = 0
MDE = 0
MED = 0
MBC = + 6
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: Matriz de Rigidez
𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 𝑫 = 𝑲 −𝟏 ∗ 𝑭
De donde: 𝐹 = 𝑞 − 𝑄
; 𝐹 =
+3+0+2+4
+3+0+2+4
=
+3.109 +0.555 +0.288 −0.288+0.555 +1.109 −0.288 +0.462+0.288−0.462
−0.462+0.462
+0.631−0.256
−0.768+0.256
∗
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
=
+0.5941+0.1333+7.2034+3.456
Matriz de Acción de Esfuerzos Solicitados (M)
𝑴 = 𝑴𝑬 + 𝑴° ∗ 𝑫
Determinación de los Momentos de Flexión:
Resolviendo Obtenemos:
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐵𝐶
𝑀𝐶𝐵
=
+3.40+4.02−1.00−1.25
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐵𝐶
𝑀𝐶𝐵
=
0000
+
+1 0 +0.750 −0.750+2 0 +0.750 −0.750
+1.109+0.555
+0.555+1.109
−0.462−0.462
+0.462+0.462
∗
+0.5941+0.1333+7.2034+3.456
E
1.00 C
1.25
4.02 B D
A 3.40
Diagrama de Momentos
-
+
+ + -
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Aplicando el Método de las Rigideces.
Determine la Matriz [K] y la Matriz de
Acción para hallar los Momentos de
Flexión que permita realizar su diagrama de
Momentos.
MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTOS ME
BARRA BC
MBC = + w.L2/12 = +(3).(5)
2/12 = +6.25T.m
MCB = - w.L2/12 = - (3).(5)
2/12 = -6.25T.m
RBV
= + w.L/2 = +(3).(5)/2 = +7.50T.m
RCV
= + w.L/2 = +(3).(5)/2 = +7.50T.m
BARRA EF
MFE = - w.L2/8 = -(2).(3)
2/8 = -2.25T.m
REV
= + 3/8w.L = +2.25T.m
RFV
= + 5/8w.L = +3.75T.m
MBC = + 6
EJEMPLO 3.-
2T/m
E F
3T/m Io
2Io 2m
2T
Io C
B
2Io 2Io
4m
E F
A D D3 D4
5m 3m B C
D1
D2
3- Condición Cero 2T/m
E F MFE
A D
3T/m REV RF
V
MBC
MCB
B C
RBV RC
V RE
V
RBV
MBC
RCV
B MC
C
RB RC
NODO B NODO C
Solución:
1- Forma Resistente Abierta
GIC = Nº θ + NºΔ
GIC = 2 + 2 = 4 Redundantes
2- Escogencia de las Redundantes
+ ΣFV
= 0
-7.5 + RBY = 0
RBY = +7.50 T
+ ΣFV
= 0
-7.5 -2.25 + RCY = 0
RCY = +9.75 T
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Rigidez Lineal (Δ )
MBC = + 6
Coeficientes de Rigidez (K)
K11 = 12𝐸2𝐼
43−
3𝐸2𝐼
43+
3𝐸2𝐼
23 = K11 = +1.03125
K21 = 0 K21 = 0
K31 = +6𝐸2𝐼
𝐿2 = +
12𝐸𝐼
42 K31 = +0.750
K41 = −3𝐸2𝐼
22 +3𝐸2𝐼
42 K41 = -1.125
MBC = + 6
Momentos Por Rigideces (M° )
MAB = MBA = 6𝐸2𝐼
𝐿2 = 12𝐸𝐼
42
MAB = MBA + 0.750
MBC = MCB = 0 MBC = MCB = 0
MCD = 3𝐸2𝐼
𝐿2 = 6𝐸𝐼
42 MCD = + 0.375
MCE = −3𝐸2𝐼
𝐿2 = −6𝐸𝐼
22 MCE = -1.50
MFE = 0
MBC = + 6
Coeficientes
de Rigidez (K)
K12 = 0 K12 = 0
K22 = 12𝐸𝐼
53 −3𝐸𝐼
33 K22 = 0.2071
K32 = +6𝐸𝐼
52 K32 = +0.240
K42 = +6𝐸𝐼
52 K42 = +0.240
MBC = + 6
Momentos Por Rigideces (M° )
MAB = MBA = 0
MAB = MBA = 0
MBC = MCB = +6𝐸𝐼
52 MBC = MCB = +0.240
MFE = −3𝐸𝐼
32 MFE = - 0.333
MCE = 0 MCE = 0
MBC = + 6
4- Condición Unitaria
Para D1 = 1
E F
1
K31
K41 B K11 B’ C C’ K21
A D
Para D2 = 1
E F
K32 E’ K42 B K12 C K22
C’
A D 1
D’
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E F
K33 K43
K23
K13
A D
Coeficientes de Rigidez (K)
K13 = +6𝐸2𝐼
42 = 12𝐸𝐼
42 K13 = +0.750
K23 = + 6𝐸𝐼
52 K23 = +0.240
K33 = 4𝐸2𝐼
4+
4𝐸𝐼
5 K33 = +2.800
K43 = 2𝐸𝐼
5 K43 = +0.400
MBC = + 6
Momentos Por Rigideces (M° )
(Trabajos Producidos)
MAB = 2𝐸2𝐼
𝐿=
4𝐸𝐼
4 = MAB = +1.00
MBA = 4𝐸2𝐼
𝐿=
8𝐸𝐼
4 = MBA= +2.00
MBC = 4𝐸𝐼
𝐿=
4𝐸𝐼
5 = MBC = +0.80
MCB = 2𝐸𝐼
𝐿=
2𝐸𝐼
5 = MCB = +0.40
MCD = MCE = MFE = 0 MCD = MCE = MFE = 0
MBC = + 6
Para θC ≠ 0
K34 K44
K24
K14
Coeficientes de Rigidez (K)
K14 = −3𝐸2𝐼
22 +3𝐸2𝐼
42 K14 = -1.125
K24 = 6𝐸𝐼
52 K24 = +0.240
K34 = 2𝐸𝐼
5 K34 = +0.400
K44 = 4𝐸𝐼
5+
3𝐸2𝐼
2+
3𝐸2𝐼
4 K44 = +5.300
MBC = + 6
Momentos Por Rigideces (M°)
MAB = MAB = 0 MAB = 0
MBC = 2𝐸𝐼
𝐿=
2𝐸𝐼
5 = MBC = +0.400
MCB = 4𝐸𝐼
𝐿=
4𝐸𝐼
5 = MCB = +0.800
MCE = 3𝐸2𝐼
𝐿=
6𝐸𝐼
2 = MCE = +3.00
MDC = 3𝐸2𝐼
𝐿=
6𝐸𝐼
4 = MDC = +1.500
MFE = 0
MBC = + 6
Rigidez Angular (θ)
MBC = + 6
Para θB ≠ 0
B C
E F
B C
D
A
Unidad IV. - Método de las Rigideces Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 71
Generación de la Matriz de Rigidez (K)
𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 𝑫 = 𝑲 −𝟏 ∗ 𝑭
De donde: 𝐹 = 𝑞 − 𝑄 q = Cargas Reales Externas Aplicadas sobre las redundantes (D)
Q = Cargas/ Fuerzas correspondientes de la Condición Cero (ME, R)
𝐹 =
2 − 0 0 − −9.75
0 − +6.25
0 − (−6.25) ; 𝑞 =
2000
Aplicando la matriz de Rigidez 𝑭 = 𝑲 ∗ 𝑫 :
+2+9.75−6.25+6.25
=
𝐾11 𝐾12 𝐾13
𝐾21 𝐾22 𝐾23
𝐾31 𝐾32 𝐾33
𝐾14
𝐾24
𝐾34
𝐾41 𝐾42 𝐾43 𝐾44
∗
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
:
Matriz de Acción de Esfuerzos Solicitados (M)
𝑴 = 𝑴𝑬 + 𝑴° ∗ 𝑫
Determinación de los Momentos de Flexión:
+2+9.75−6.25+6.25
=
+1.0313 0 +0.7500 +0.207 +0.240
+0.750 +0.240 +2.800 −1.125+0.240+0.400
−1.125 +0.240 +0.400 +5.300
∗
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
𝐷1
𝐷2
𝐷3
𝐷4
=
+11.5822+57.1330−10.4945+1.8424
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐵𝐶
𝑀𝐶𝐵
𝑀𝐶𝐸
𝑀𝐶𝐷
𝑀𝐹𝐸
=
0 0
+6.25−6.25
0 0
−2.25
+
+0.750 0 +1.000+0.750 0 +2.000
00
−1.500+0.375
0
+0.240+0.240
00
−0.333
+0.800+0.400
000
00
+0.400+0.800+3.000+1.500
0
∗
+11.5822+57.1330−10.4945+1.8424
Unidad IV. - Método de las Rigideces Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 72
Resolviendo Obtenemos:
𝑀𝐴𝐵
𝑀𝐵𝐴
𝑀𝐵𝐶
𝑀𝐶𝐵
𝑀𝐶𝐸
𝑀𝐶𝐷
𝑀𝐹𝐸
=
−1.80−12.30+12.30+4.74−11.84+7.10−21.28
E F
4.74
21.28
B C
12.30 11.84
12.30 7.10
1.80
A D
DIAGRAMA DE MOMENTO FLECTOR (M)
+
+
+
- -
-
-
-
Unidad IV. - Método de las Rigideces Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 73
MOMENTOS POR EMPOTRAMIENTOS
ELEMENTOS DOBLEMENTE EMPOTRADOS
q 𝑅𝐴𝑉 =
𝑞 .𝐿
2 𝑀𝐴𝐵
𝐸 = 𝑞 .𝐿2
12
𝑅𝐵𝑉 =
𝑞 .𝐿
2 𝑀𝐵𝐴
𝐸 = −𝑞 .𝐿2
12
A L B
P 𝑅𝐴𝑉 =
𝑃.𝑏2
𝐿2 (3𝐿 − 2𝑏) 𝑀𝐴𝐵𝐸 =
𝑃.𝑎𝑏2
𝐿2
a b
𝑅𝐵𝑉 =
𝑃.𝑎2
𝐿2 3𝐿 − 2𝑎 𝑀𝐵𝐴𝐸 = −
𝑃.𝑎2𝑏
𝐿2
A L B
P 𝑅𝐴𝑉 =
𝑃
2 𝑀𝐴𝐵
𝐸 = 𝑃.𝐿
8
L/2 L/2
𝑅𝐵𝑉 =
𝑃
2 𝑀𝐵𝐴
𝐸 = − 𝑃.𝐿
8
A L B
M 𝑅𝐴𝑉 =
3
2.𝑀
𝐿 𝑀𝐴𝐵
𝐸 = 𝑀
4
L/2 L/2
𝑅𝐵𝑉 = −
3
2.𝑀
𝐿 𝑀𝐵𝐴
𝐸 = 𝑀
4
A L B
q 𝑅𝐴𝑉 =
3
20 𝑞. 𝐿 𝑀𝐴𝐵
𝐸 = 1
30 𝑞 .𝐿2
𝑅𝐵𝑉 =
7
20 𝑞. 𝐿 𝑀𝐵𝐴
𝐸 = − 1
20 𝑞 .𝐿2
A L B
TIPO DE CARGA REACCIONES DE LOS APOYOS MOMENTOS DE LOS APOYOS
Unidad IV. - Método de las Rigideces Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 74
MOMENTOS POR EMPOTRAMIENTOS
ELEMENTOS EMPOTRADOS-ARTICULADOS
q 𝑅𝐴𝑉 =
5
8 𝑞. 𝐿 𝑀𝐴𝐵
𝐸 = 𝑞 .𝐿2
8
𝑅𝐵𝑉 =
3
8 𝑞. 𝐿
A L B
P 𝑅𝐴𝑉 =
𝑃.𝑏
2𝐿3 3𝐿2 − 𝑏2 𝑀𝐴𝐵𝐸 =
𝑃.𝑎𝑏
2𝐿2 (𝑏 + 𝐿)
a b
𝑅𝐵𝑉 =
𝑃.𝑎2
2𝐿3 2𝐿 + 𝑏
A L B
P 𝑅𝐴𝑉 =
11
16𝑃 𝑀𝐴𝐵
𝐸 = 3
16𝑃𝐿
L/2 L/2
𝑅𝐵𝑉 =
5
16𝑃
A L B
M 𝑅𝐴𝑉 =
9
8.𝑀
𝐿 𝑀𝐴𝐵
𝐸 = 𝑀
8
L/2 L/2
𝑅𝐵𝑉 = −
9
8.𝑀
𝐿
A L B
q 𝑅𝐴𝑉 =
9
40 𝑞. 𝐿 𝑀𝐴𝐵
𝐸 = 7
120 𝑞 .𝐿2
𝑅𝐵𝑉 =
11
40 𝑞. 𝐿
A L B
TIPO DE CARGA REACCIONES DE LOS APOYOS MOMENTOS DE LOS APOYOS
Unidad IV. - Método de las Rigideces Estructuras I
UNELLEZ - INGENIERÍA CIVIL 75
Ejercicios Propuestos 3 t/m
A D E
4m 3m
8 t 8 t/m
2 t/m B C C 1m
2 t/m B
4m 3m
D
4m A
4m
5 T/m 3 T/m
B C
B C E 2,5m 5 t.m 2m
2 T/m A
D 2,5m 2 T 4m
A
3m 3m E D F
4m 4m
1.- Hallar la indeterminación Cinemática de la
estructura. Aplicando el Método de la Rigidez,
determine los momentos flectores y
posteriormente grafique el diagrama de
Momentos.
2.- Aplique el Método de las Rigideces para
determinar la Matriz [K] y determine los
Momentos de Flexión. Dibuje su diagrama de
Momentos.
A = ∞ I = 2 Io
A = ∞ I = 4Io
A = ∞ I = 4Io
A = ∞ I = Io
A = ∞ I = Io
A = ∞ I = ∞
A = ∞ I = Io/2
A = ∞ I = 2Io
A = ∞ I = Io/2
A = ∞ I = Io
A = ∞ I = 2Io
A = ∞ I = 3Io
A = ∞ I = Io
A = ∞ I = 2Io
3.- Aplique el Método de los Desplazamientos
para determinar la Matriz de Rigidez. Halle los
momentos de flexión y Dibuje su respectivo
diagrama.
4.- Para cada condición unitaria, determine la
Matriz de Rigidez [K] y calcule los momentos
de flexión a través del Método de los
Desplazamientos. Dibuje diagrama de
Momentos.
A = ∞ I = 2 Io