UNIDAD 4. PARALELISMO · TEOREMA: En un plano, si dos rectas son paralelas entonces toda secante a...

UNIDAD 4. PARALELISMO

RECTAS PARALELAS

Se dice que dos rectas L1 y L2 son paralelas si

son coplanares y no tienen ningún punto en

común. Se denota por L1 L2 o L2 L1 . Dos

segmentos (semirrectas) son paralelos si

pertenecen a rectas paralelas.

TEOREMA: (1er Criterio de paralelismo) Si

en un mismo plano, dos rectas son

perpendiculares a una tercera entonces ellas

son paralelas.

Dm: Sean L1, L2 y L3 rectas coplanares tales

que L1 L3 y L2 L3. Si L1 y L2 no fueran

paralelas entonces tendrían un punto común A,

por el cual pasarían dos perpendiculares a L3, y

esto contradice que por un punto exterior a

una recta pasa solamente una perpendicular a

ella. Luego L1 L2 .

NOTA: Si las tres

rectas no son

coplanares, entonces

dos perpendiculares a

una tercera en lugar de

ser paralelas son

secantes o cruzadas.

Por ejemplo en el

espacio se tiene, DC BC y EC BC sursur sur sur

, sin

embargo DC y ECsursur

son secantes, también

AB BC y EC BC sursur sursuur

pero AB y ECsursuur

son

cruzadas.

EXISTENCIA DE UNA PARALELA

TEOREMA: Por un punto exterior a una recta,

pasa por lo menos una paralela a dicha recta.

Dm: Consideremos el plano determinado por

una recta L1 y un punto A exterior a L1. Por A

tracemos la recta L2 L1 y después por A

tracemos la recta L3 L2, resulta L3 L1 (s a

3a). Por lo tanto por A pasa por lo menos una

recta paralela a L1.

POSTULADO DE EUCLIDES

AXIOMA: Por un punto exterior a una recta

solamente pasa una paralela a dicha recta.

Este postulado garantiza la unicidad de la

paralela a una recta por un punto exterior a

ella, es decir, si por un punto A exterior a una

recta L, pasan las rectas L1 y L2 , con L1 L y

L2 L, entonces L1 y L2 deben coincidir.

TEOREMA: En un plano, si dos rectas son

paralelas entonces toda secante a una de ellas

también es secante a la otra.

Dm: Ejercicio

TEOREMA: (Criterio de perpendicularidad) En

un plano, si dos rectas son paralelas entonces

toda perpendicular a una de ellas es

perpendicular a la otra.

Dm: Sean L1 L2 y L3 L1, entonces L3

también será secante a L2. Sea A el punto

común entre L3 y L2. Tracemos por A la recta

L4 L3 y como L1 L3 entonces L4 L1 (s a

3ª). En suma, por A se tienen L2 L1 y L4 L1

L3

L1

L2

A

B C

A

E

D

Unidad cuatro paralelismo, Página 1 de 43

entonces por el postulado de Euclides L2 y L4

deben coincidir y en definitiva L3 L2 .

TEOREMA: En un plano, dos rectas

respectivamente perpendiculares a dos rectas

secantes, son secantes. (Ejercicio)

TRANSITIVIDAD

TEOREMA: (2o Criterio de paralelismo) Dos

rectas paralelas a una tercera son paralelas,

es decir, la relación de paralelismo es

transitiva.

Dm: Sean L1 L2 y L2 L3 . Si L1 y L3 no

fueran paralelas, entonces tendrían un punto

en común A, y por él estarían pasando dos

paralelas a L2 , lo cual contradice el postulado

de Euclides, luego L1 L3.

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS

Y UNA TRANSVERSAL A ELLAS

TRANSVERSAL: Es una recta secante a dos

rectas coplanares, pero en puntos distintos.

Si T es una transversal a L1 y L2 (secante a L1

en A y a L2 en B), entonces se forman cuatro

ángulos internos: (1, 2, 3 y 4), y cuatro

ángulos externos: (5, 6, 7 y 8), que se

clasifican en:

ÁNGULOS ALTERNOS INTERNOS: Son

dos ángulos internos de distinto vértice

situados en distinto semiplano con respecto a

la transversal: 1 y 4 ; 2 y 3.

ÁNGULOS ALTERNOS EXTERNOS: Son dos

ángulos externos de distinto vértice situados

en distinto semiplano con respecto a la

transversal: 5 y 8 ; 6 y 7.

ÁNGULOS CORRESPONDIENTES: Son dos

ángulos de distinto vértice, uno interno y otro

externo y situados en un mismo semiplano con

respecto a la transversal: 5 y 3 ; 1 y 7;

6 y 4 ; 2 y 8.

ÁNGULOS COLATERALES INTERNOS: Son

dos ángulos internos de distinto vértice y

situados en un mismo semiplano con respecto a


ÁNGULOS COLATERALES EXTERNOS: Son

dos ángulos externos de distinto vértice y

situados en un mismo semiplano con respecto a


PROPIEDADES DE LOS ÁNGULOS ENTRE

DOS PARALELAS Y UNA TRANSVERSAL

TEOREMA: Entre dos paralelas y una

transversal se forman ángulos alternos

internos congruentes.

Dm: Sean L1 L2 y T una transversal, secante

a L1 en A, a L2 en B. Tracemos por el punto

medio C de AB la recta L3 L1 en D y si L1L2

entonces L3 L2 en un punto E.

L1

L2

T

A

B

1 2

6 5

4 3

7 8


B

L

A

C D

Por RHA, se tiene DACEBC, luego

DACEBC (sHs) y por lo tanto los ángulos

alternos internos entre paralelas resultan

congruentes.

COROLARIO: Entre dos paralelas y una

transversal se forman pares de ángulos:

1. Alternos internos congruentes.

2. Alternos externos congruentes.

3. Correspondientes congruentes.

4. Colaterales internos suplementarios.

5. Colaterales externos suplementarios.

Dm: Ejercicio.

TEOREMA: (3er Criterio de paralelismo) Si

entre dos rectas y una transversal, se forma

algún par de ángulos alternos internos

congruentes entonces las dos rectas son

paralelas.

Dm: Sea T una transversal a las rectas L1 y L2,

secante a L1 en A, a L2 en B. Supongamos que

los ángulos alternos internos CAB y DBA,

(CL1 y DL2) son congruentes,

Tracemos por A la recta L3 L2 entonces para

E sobre L3 en el semiplano opuesto de D

respecto a T, resulta EABDBA, (por ser

Alt.Int. entre L3 L2) . Luego CABEAB,

y por lo tanto AC coincide con AE y las

rectas L1 y L3 coinciden. En definitiva L1 L2 .

COROLARIO: Si entre dos rectas y una

transversal se forma algún par de ángulos

alternos externos congruentes, o

correspondientes congruentes, o colaterales

internos (externos) suplementarios entonces

las dos rectas son paralelas. (Ejercicio)

TEOREMA: Dos ángulos agudos (obtusos) con

sus lados respectivamente paralelos son

congruentes. (Ejercicio)

COROLARIO: Dos ángulos, uno agudo y otro

obtuso, con sus lados respectivamente

paralelos son suplementarios. (Ejercicio)

TEOREMA: En un plano, dos ángulos agudos

(obtusos) con sus lados respectivamente

perpendiculares son congruentes. (Ejercicio)

COROLARIO: En un plano, dos ángulos, uno

agudo y otro obtuso, con sus lados

respectivamente perpendiculares son

suplementarios. (Ejercicio).

DISTANCIA ENTRE PARALELAS

TEOREMA: Dadas dos rectas paralelas

entonces la distancia de cualquier punto, (de

una de ellas), a la otra es una constante.

Dm: Supongamos que L1 L2. Tomemos

A,BL1. Tracemos 2AC L , 2BD L y AD ,

(C,DL2 ). Luego CDABAD (Alt.Int.

L1L2) y como AC BD (s a 3a) resulta

CADBDA (Alt.Int. ACBD). Entonces

por ALA, ACDDBA y por lo tanto AC=BD

(LsHs).

TEOREMA: (4o Criterio de paralelismo) Si

dos puntos A y B, en el mismo semiplano con

respecto a una recta L, equidistan de ella

entonces la recta AB es paralela a L.

Dm: Sean A y B puntos

en el mismo semiplano con

respecto a una recta L,

C

A

B E

D L1

L2

T L3


B C

E A D

tales que AC=BD, AC L , BD L , con C,

DL.

Como AC BD (s a 3a), entonces

CADBDA (Alt.Int. AC BD ) y por LAL,

CADBDA, luego ACDDBA (sHs) y

como ACD es recto entonces DBA también

lo es y por lo tanto BD ABsuur

, y como BD L ,

luego AB L (s a 3a).

SUMA DE ÁNGULOS EN EL TRIÁNGULO

TEOREMA: La suma de los ángulos interiores

de un triángulo mide 180°.

Dm: En un ABC, por

A tracemos DEsur

BC y

resultan

DABABC y

EACACB, (Alt.

Int. entre DEsur

BC ) .

Como DAB+BAC+CAE=180°, reemplazando

se obtiene que: A +B +C = 180°.

COROLARIOS:

1. En todo triángulo equilátero cada ángulo

interior mide 60°.

2. En todo triángulo rectángulo los ángulos

agudos son complementarios.

3. En todo triángulo, cada ángulo exterior es

congruente con la suma de los dos ángulos

interiores no adyacentes a él.

4. En todo triángulo, la suma de sus ángulos

exteriores mide 360°.

5. En todo polígono convexo de n lados, los n

ángulos interiores suman 180°(n2).

6. En todo polígono convexo de n lados, los n

ángulos exteriores suman 360°.

7. En todo triángulo rectángulo 60º-30º la

hipotenusa es el doble del cateto menor.

Dm: Ejercicio

BASE MEDIA EN UN TRIÁNGULO

BASE MEDIA: En un triángulo se llama

base media al segmento que une los puntos

medios de dos lados. Cada triángulo tiene tres

bases medias.

TEOREMA: (5o Criterio de paralelismo) La

base media de un triángulo es paralela al

tercer lado y mide la mitad de dicho lado.

Dm:

En un ABC, sea

DE la base media

prolongada hasta F

tal que DE=EF y

tracemosFC .

Por LAL, se obtiene

que AED CEF, luego AD = CF (LsHs) y

también DAE FCE (sHs) y como son

alternos internos entre AB y FC , resulta

AB FCsursuur

P . Además, como AD=DB entonces DB =

FC.

Tracemos DC y se obtiene que BDCFCD,

(Alt.Int. AB FCsursuur

P ) y por LAL, BDCFCD

luego BCD FDC (sHs) y DF = BC (LsHs).

Como BCD FDC y son alternos internos

entonces DE BCsur sur

P . Además DE = ½DF = ½BC.

TEOREMA: Si por el punto medio de un lado

de un triángulo se traza una paralela a un

C

E

A

D F

B


segundo lado, entonces se obtiene la base

media con respecto a dicho lado.

Dm: (Ejercicio)

MEDIANA RELATIVA A LA HIPOTENUSA

TEOREMA: En todo triángulo rectángulo la

mediana relativa a la hipotenusa es congruente

con la mitad de la hipotenusa.

Dm: En el ABC rectángulo en A, sea AM la

mediana sobre la hipotenusa BC , (BM=MC).

Tracemos MH AB , HAB ,

luego MH CAP , (s a 3a), y H

punto medio de AB, ( por el

punto medio M). Entonces en

el MAB se tiene que MH es

altura y mediana y por lo

tanto el MAB es isósceles

con MA=MB. En definitiva

AM=½BC.

TEOREMA: Si en un triángulo un lado es el

doble de su respectiva mediana, entonces el

triángulo es rectángulo. (Ejercicio)

PUNTOS NOTABLES EN EL TRIÁNGULO

BARICENTRO

TEOREMA: Las tres medianas de un triángulo

concurren en un punto que se llama

BARICENTRO, el cual está, sobre cada

mediana, a dos terceras partes de mediana

desde el vértice o a una tercera parte de

mediana desde su pie.

Dm: En el ABC tracemos

las medianas BE y CD que

se cortan en G, (D y E

puntos medios de

AB y AC ). Tracemos DE y resulta DE BC y

DE=½BC.

Sean P y Q los puntos medios de BG y CG

respectivamente. Tracemos PQ , entonces en

el GBC resulta PQ BC y PQ=½BC, luego DE

PQ y DE=PQ. También GPQGED y

GQPGDE (Alt.Int.DE PQ ), y por ALA,

GPQGED, luego GP=GE y GQ=GD. En

definitiva GE=BE/3 y GD=CD/3.

De un modo similar se demuestra que las

medianas AM y BE se cortan en un punto G’

tal que G’M=AM/3 y G’E=BE/3, entonces los

puntos G y G’ coinciden y por lo tanto las tres

medianas concurren en el punto G, el cual está

sobre cada mediana, situado a una tercera

parte de mediana desde el pie o a dos

terceras partes de mediana desde el vértice.

CIRCUNCENTRO

TEOREMA: Las tres mediatrices de un

triángulo concurren en un punto que se llama

CIRCUNCENTRO, el cual equidista de los tres

vértices y es el centro de la circunferencia

circunscrita al triángulo:

Dm: En el ABC sea J el punto de

intersección de las mediatrices de los lados

M

A H B

C

E

B C

D

G

P Q

A

A

B C N

M J


AB y BC , luego JA=JB y JB=JC (mediatriz es

LG), entonces JA=JC y por lo tanto J también

está sobre la mediatriz de AC . En definitiva

las tres mediatrices concurren en el punto J,

el cual equidista de los tres vértices del

triángulo.

ORTOCENTRO

LEMA: Si por cada vértice de un triángulo se

traza la paralela al lado opuesto, entonces se

forma un triángulo cuyos lados tienen por

puntos medios los vértices del triángulo dado.

(Ejercicio)

TEOREMA: Las tres alturas de un triángulo


ORTOCENTRO.

Dm: En el ABC, tracemos por los vértices A,

B y C las paralelas a sus lados opuestos, y se

obtiene el DEF en el cual A, B y C son los

puntos medios de sus lados.

Las mediatrices del DEF son las alturas del

ABC y como dichas mediatrices concurren

entonces las alturas del ABC concurren.

INCENTRO

TEOREMA: Las tres bisectrices interiores de

un triángulo concurren en un punto que se

llama INCENTRO, el cual equidista de los

lados del triángulo y es el centro de la

circunferencia inscrita en el triángulo.

Dm: En el ABC sea I el punto de corte de las

bisectrices de los A y B interiores.

Tracemos ID AB , IE BC , IF AC , (D, E

y F sobre AB , BC y CA ). Luego IF=ID e

ID=IE (bisectriz es LG), entonces IF=IE y por

lo tanto I también está sobre la bisectriz del

C interior. En definitiva las tres bisectrices

interiores concurren en el punto I, el cual

equidista de los tres lados del triángulo.

EXINCENTRO

TEOREMA: En todo triángulo, la bisectriz de

un ángulo interior y las bisectrices de los dos

ángulos exteriores no adyacentes a él,


EXINCENTRO, el cual equidista de los lados

del triángulo y es el centro de una

circunferencia exinscrita al triángulo. El

triángulo tiene tres exincentros. (Ejercicio).

A D F

C

E

B R

P

Q

H

E C B

D

F

I

A


CONSTRUCCIONES GEOMÉTRICAS

1. Trazar la paralela a una recta dada, por un

punto exterior dado, por medio de:

a. Perpendiculares a una tercera.

b. Alternos internos congruentes.

c. Correspondientes congruentes.

d. Puntos equidistantes.

2. Trazar la bisectriz de un ángulo con

vértice inaccesible.

3. Construir un triángulo rectángulo

conocidos un cateto y su ángulo opuesto.

4. Construir un triángulo conocidos un lado,

su ángulo opuesto y la altura relativa a

otro de los lados.

5. Construir un triángulo conocidos dos de

sus ángulos y la altura relativa al lado

común de dichos ángulos.


la mediana relativa a otro lado y el ángulo

desde el que parte dicha mediana.

7. Construir un triángulo conocidos dos de

sus ángulos y la bisectriz de uno de ellos.


un ángulo no opuesto a él y la bisectriz de

dicho ángulo.

9. Encontrar el circuncentro de un triángulo

dado y trazar la circunferencia

circunscrita.

10. Encontrar el ortocentro de un triángulo

dado.

11. Encontrar el incentro de un triángulo dado

y trazar la circunferencia inscrita.

12. Encontrar los exincentros de un triángulo

dado y trazar las circunferencias

exinscritas.

13. Encontrar el baricentro de un triángulo

dado.

14. Construir un triángulo conocidas las tres

medianas.

A

B C


CRUCIGRAMA PARALELISMO

(ELABORÓ: Carlos Alberto Ríos Villa)

1 2

3

4

5 6 7 8

9 10

11

12

13

14 15

16

17

18

19

20

21 22 23

24

25 26

27

28

29

30 31


HORIZONTALES

1 Así es la distancia en toda su extensión entre dos rectas paralelas.

4 En un mismo plano si Dos rectas son perpendiculares a una tercera entonces éstas serán paralelas

6 Este punto, siempre interior al triángulo equidista de los tres lados.

7 En un triángulo, En este punto concurren la bisectriz de un ángulo interior y las bisectrices de los ángulos exteriores no adyacentes al primero.

8 El mismo teorema de la base media pero simplificando

10 Dos ángulos agudos u obtusos son iguales si sus lados son así.

12 Este teorema nos permite deducir que al trazar por el punto medio de uno de los lados de un triángulo una paralela a otro lado, dicha paralela cortará al tercer lado en su punto medio.

14 así son los ángulos 1 y 7 3 y 5 6 y 4 ó 2 y 8 pero además solo si L1 y L2 son paralelas estos ángulos son iguales

17 lo son Los ángulos 5 y 8 ó 6 y 7 pero además solo si l1 y l2 son paralelas estos ángulos son iguales

19

Estas rectas parece que no se entendieran, pues lo único que tienen en común es que están en el mismo plano, pero a pesar de ello cada una puede estar en planos distintos, O sea que solo existe un plano que las contiene a ambas, que... que... como así, y... echo que checho ?????.

20 Aunque ni siquiera se toquen, Si así son respectivamente los lados de dos ángulos podemos sacar conclusiones muy interesantes y útiles.

21 También esta propiedad se cumple entre dos paralelas y una tercera paralela a cualquiera de ellas

22 El teorema fundamental de triángulo, pero escrito simplificadamente

23 El teorema de la base media, pero con la hipótesis y la tesis invertidas y escrito simplificadamente.

24 El quinto postulado de Euclides garantiza que por un punto exterior a una recta solo hay una paralela a ésta.

26 Este punto que puede ser interior (¿en qué caso?), exterior (¿en qué caso?) o estar sobre uno de los lados (¿en qué caso?) del triángulo, equidista de los tres vértices de éste.

27 Reciproco del teorema fundamental del triángulo, simplificándolo.

28 Podemos asegurar que si se tienen dos rectas paralelas, una secante a una de ellas también es??????

29 Este teorema nos prueba que en un triángulo éste ángulo mide lo mismo que la suma de los interiores no adyacentes a él.

30 Este punto esta sobre cada mediana a dos tercios del vértice y a uno del lado de la respectiva mediana.

31 Lo son los ángulos 1 y 4 ó 2 y 3, pero además solo si l1 y l2 son paralelas estos ángulos son iguales

VERTICALES

2 El teorema fundamental del triángulo y el del triángulo isósceles me permiten concluir que en este triángulo cada ángulo interior mide 60°

3 Los ángulos 1 y 3 ó 2 y 4 además solo si L1 y L2 son paralelas estos ángulos son suplementarios

5 Por fin podemos usar este teorema que casi todos nos sabíamos, que dice que los ángulos interiores de un triángulo suman 180°

9

En el triángulo rectángulo este segmento mide la mitad de la hipotenusa, del que se concluye también que el punto medio de la hipotenusa equidista de los tres vértices, en otras palabras es el circuncentro, además divide el triángulo en dos triángulos isósceles, no necesariamente congruentes (¿Cuándo lo serán?), pero iso, además si el triángulo es 60-30 uno de ellos es equilátero. ¡Vaya segmentico!

11 Estos, nos permiten probar que dos rectas son paralelas

13 El teorema fundamental del triángulo nos permite concluir que los ángulos agudos de un triángulo rectángulo siempre serán así.

15 nos dice que por un punto exterior a una recta pasa una y solo una paralela a ella

16 los ángulos 5, 6, 7 y 8

18 Lo son los ángulos 5 y 7 ó 6 y 8 pero además solo si l1 y l2 son paralelas estos ángulos son suplementarios.

25 es necesario saber si L1 y L2 lo son, púes, solo en éste caso resultan ángulos congruentes o suplementarios


UNIDAD 4

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

Para afrontar la solucion de los ejercicios correspondientes a esta unidad debes tener

presente nuevamente la importancia de la gráfica con sus correspondientes datos de tal

forma que puedas determinar fácilmente lo que es hipótesis y lo que es la tesis. En la

solucion de los ejercicios es necesario recordar los siguientes aspectos:

1. Primer y segundo criterio de paralelismo

2. Criterio de perpendicularidad

3. ángulos formados por dos rectas y una transversal a ellas

4. propiedades de los ángulos entre dos paralelas y una transversal

5. Teoremas y corolarios sobrela base media en el triangulo

6. Teoremas y corolarios sobre la mediana relativa a la hipotenusa

7. Teoremas sobre los puntos notables en el triangulo

Se hace recomendable la realización de un resumen sobre dicho tema.


1. En un XOY se traza su bisectriz . Por un punto A sobre el lado se traza la paralela a

, que corta a en B. Probar que el AOB es isósceles.

GRAFICA 32

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( ) ( )

4 ( )

2. En un ABC se trazan las bisectrices del B y del C que se cortan en un punto I. Por I se

traza , D sobre y E sobre . Probar que:

a. DBI y ECI son isósceles.

b. Perímetro ADE = AB + AC.

GRAFICA 33

D-I-E

( )

( )

AFIRMACION RAZON

1

2

3

OZ OX

OY OZ

DE ll BC AB AC


4

5 ( ) ( )

6 ( ) ( )

7 ( )

8 ( )

9 ( )

10 ( )

11

12 ( )

13 ⏟ + ⏟ ( ) ( )

14

3. En un ABC se prolongan los lados y , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar que

.

GRAFICA 34

B'C'

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5 ( )

6

7 ( ) ( )

BA CA

B'C'll BC


4. Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso, tienen sus lados respectivamente paralelos,

entonces sus bisectrices son perpendiculares.

GRAFICA 35

AFIRMACION RAZON

1

2 AOP

3

4

5

6

7 ( )

8

9 ( ) ( ) ( )

10 ( )

11

12 ( ) ( )

13

14

5. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso tienen sus lados respectivamente perpendiculares,

entonces sus bisectrices son paralelas.

GRAFICA 36


AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 Tracemos

5

6

7 ( ) ( )

( ) ( )

8

9 90 ( ) ( ) ( ) en ( )

10 2 ( )

11

12 ( )

13 ( ) ( )

14 ( )

15

16

6. Probar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo isósceles, es paralela a

la base.

GRAFICA 37

AFIRMACION RAZON

1

2 =90

3

4

5 ( )

6

7 ( ) ( )

8

9 ( )


10 ( )

11

12 de ( ) ( )

13 =180

14 ( ) ( )

15 ( ) ( )

16 ( )

17

7. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos opuestos son rectos, entonces las bisectrices de los

otros dos ángulos son paralelas.

GRAFICA 38

Podemos observar fácilmente que el ejercicio planteado es similar al ejercicio 5 de dicha

unidad, veamos que la gráfica 36 cobija los mismos elementos (realízalo)

8. En ABC, isósceles de base , se toma un punto cualquiera P sobre , y por los puntos

medios M y N de los segmentos y se trazan y , E sobre y F sobre

. Demostrar que EPF = A.

GRAFICA 39

AFIRMACION RAZON

1

2

3

BC BC

BP PC ME BC NF BC AB

AC


4 ( )

5 ( )

6 6. ( )

7 ( )

8

9 ( ) ( ) ( )

10

11 ( ) ( )

12

9. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la mediana relativas a la hipotenusa forman un ángulo de

20°, hallar sus ángulos agudos.

GRAFICA 40

AFIRMACION RAZON

1

2 20

3 ( )

4

5

6

7

8 ( )

9

10 ( )

11 ( )

12

13

14


10. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 30° entonces la mediana y la altura relativas a la

hipotenusa, dividen al ángulo recto en tres ángulos iguales.

GRAFICA 41

Si tenemos presente lo visto al solucionar el ejercicio 9 tenemos que el ADC Isosceles con

ahora si realizamos la suma de los angulos

interiores en el obtenemos que , por lo tanto si realizamos la suma de los

angulos interiores en el obtenemos que y como el recto en A

entonces CAB=90 , con los datos de CAD , obtenemos que necesariamente

DEA=30 Con la explicación anterior realiza la demostración utilizando afirmación-razon.

11. Probar que en todo triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es bisectriz del ángulo

formado por la mediana y la altura relativas a la hipotenusa. Construir un triángulo rectángulo

dadas las longitudes de la altura y la bisectriz que parten del vértice del ángulo recto.

Recordemos que la línea más corta desde un punto a una recta es un segmento perpendicular por lo

tanto

GRAFICA 42

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( )

4

5

6 ( ) ( )

7 ( ) ( )


8 ( ) ( )

9 ( )

12. Demostrar que las tres alturas de un triángulo dividen a sus ángulos en ángulos iguales dos a dos.

GRAFICA 43

Podemos observar fácilmente que al trazar las alturas sobre el ortocentro se forman tres

pares de ángulos congruentes por ser opuestos por el vértice y sobre el pie de cada altura

se forman ángulos congruentes de medida de 90 , al realizar la suma de los angulos

interiores igual a 180 podemos obtener la congruencia de los ángulos pedidos (realízalo con

afirmación razón).

13. En un ABC, B=72° y C=30°. Hallar los ángulos que forman:

a. Las alturas de dos en dos.

b. Las bisectrices de dos en dos.

GRAFICA 44

El siguiente ejercicio es fácil de determinar si tomamos los triángulos formados por cada

altura y los ángulos conocidos, aplicando el teorema fundamental de la suma de los ángulos

interiores por ejemplo en el

g=


14. En un ABD se tiene que B=2D. Se traza la altura y se prolonga hasta E con

BE=BH. Se traza la recta que corta a en F. Demostrar que: FHD=FDH y

FAH=AHF.

GRAFICA 45

con

AFIRMACION RAZON

1

2

3 ( )

4

5 2

6

7 ( )

8

9 ( )

10

11 ( )

12 ( ) ( )

AH AB

EH AD


15. En un ABC, isósceles de base , se prolonga tal que CD=AB y se prolonga tal que

BE=BC/2. Se traza la recta , con H punto medio de y F sobre . Probar que:

a. ADB= 1/2 ABC

b. EA=HD

c. FA=FD=FH

d. Si BAC=58°, calcular el valor del AFH y del ADB.

GRAFICA 46

B-C-D ,

a.

b.

c.

d. si

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4 ( )

5

6

( ) ( ) ( )

7

( ) ( ) ( )

8 ( ) ( )

9

10

11

12 ( ) ( )

13

14

15

16

17 si

BC BC AB

EHF BC AD


18

16. En un ABC, rectángulo en A, se prolonga en una longitud igual a AD. Por D se traza

con H sobre y cortando a la recta en I. Probar que .

GRAFICA 47

AFIRMACION RAZON

1

2

3

4

5

17. ¿En un triángulo isósceles podrá ocurrir que las bisectrices de los ángulos iguales sean

perpendiculares? ¿Por qué?

GRAFICA 48

Determina la hipótesis, la tesis y realízalo por

medio de la afirmación – razón

Si las bisectrices de los ángulos de la base son al mismo tiempo alturas entonces

necesariamente podemos demostrar que son medianas y nos lleva a que también sean

mediatrices; por lo tanto el triángulo isósceles tiene que ser equilátero.

CA

DH BC BC AB CG DB


EJERCICIOS UNIDAD 4 – PARALELISMO

1. En un ABC se traza la bisectriz del A. Por cualquier punto E sobre el lado se traza

la paralela a , que corta a la prolongación de en F. Demostrar que el AEF es isósceles.

Grafica 37

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y la

tesis

2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ∢ CAD CFG

02 ∢ DAB=∢CAD

03 ∢DAB=∢AEF

04 ∢CFG=∢AEF

05 Δ AEF isósceles

AD AB

AD CA


2. En un ABC se trazan las bisectrices de los ángulos exteriores B y C, y la del A interior, que

concurren en I. Por I se traza, D y E respectivamente sobre las prolongaciones de y . Probar

que DE = BD + CE

Grafica 38

1. De acuerdo a la gráfica y al

enunciado del problema determina

la hipótesis y la tesis

2. Dada las afirmaciones determina

la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ∢ PBY = YAB

02 ∢ACX = ∢XCQ

03 ∢PBY= , ∢YAB=

∢ACX= , ∢XCQ=

04 ∢ = , =

05 ∢ =∢ ∧ ∢ =

06 Δ BDI, ΔCEI isósceles

07 BD =DI, CE=EI

08 DE=DI+IE

09 DE=BD+CE


3. Probar que si dos ángulos agudos tienen sus lados respectivamente paralelos, entonces sus

bisectrices son paralelas.

Grafica 39




2. Dada las afirmaciones determina

la razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ∢ YCX= ∢ BPX =2𝜶=θ

02 ∢AOB= ∢XPB= β=θ

03 𝜶 =

=β

04 Θ ext al Δ POM

05 Θ=β+ ∢ OMP

β=β+∢OMP

β = ∢OMP

06 ∢ BCP=𝜶=β=∢OMP

07 ∢BCP∧∢OMP A.I

08 CB ∥OM


4. Probar que dos ángulos agudos con sus lados respectivamente perpendiculares, tienen sus bisectrices

perpendiculares.

Grafica 40




2. Dada las afirmaciones

determina la razón de cada paso.

Por teorema dos ángulos con lados respectivamente perpendiculares son congruentes implica ∢

O ∢β ⇒𝜶=β

AFIRMACION RAZON

01 𝜶+90°+∢OQP= 80°

02 ∢ OQP ∢BQG

03 β + ∢BGQ+ ∢BQG= 80°

04 𝜶=β=90°-∢ OQP

05 90°-∢ OQP+∢BGQ+∢BQG= 80°

06 ∢BQG= 80°-90°

07


5. En un ABC, isósceles de base , se toman sobre los lados iguales, las longitudes iguales y

. Demostrar que .

Grafica 41

1.De acuerdo a la gráfica y al enunciado del

problema determina la hipótesis y la tesis

2 .Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 AB=AC

02 BM=CN

03 AB-BM=AC-CN

AM AN

04

05 ∢AMN ∢ANM

06 + + =180°

2 + =180°

07 ∢AMN+∢ANM+ =180°

∢AMN+ =180°

08 ∢B=∢AMN

09 ∢B∧∢AMN correspondientes

10 ∥

BC BM

CN MN ll BC


6. Dado un punto P sobre una recta se toman de longitudes iguales, en un mismo

semiplano con respecto a la recta y con igual inclinación con respecto a ella. Probar que

.

Grafica 42



2 .Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 θ+𝜶=180°

02 ΔPMN isósceles

03 PMN PNM = β

04 2β + = 80°

05 2θ + = β +

06 θ = β

07 θ = β Alternos internos

08 MN ∥ AB

AB PM y PN

AB

MN ll AB


7. En un cuadrilátero convexo ABCD, tal que AB=AD, BC=DC y AB < BC, los lados opuestos

prolongados se cortan en M y N. Probar que .

Grafica 43

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado del


2. Dada las afirmaciones determina la razón

de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ∢ CDB=∢CBD

02 Δ ACB ΔACD

03 ∢ABC ∢ADC

04 ∢ABM ∢ADN

05 AB=AD

06 ∢MAB ∢NAD

07 ΔMAB NAD

08 MB = ND

09 BC = CD

10 MB + BC = ND + DC

MC NC

11 ΔMCN isósceles

12 ∢CNM=∢CMN

13 ∢CNM+C = C + CDB=180° Por qué?

14 ∢CNM=∢CDB⇒NM∥ DB

MN ll BD


8. Probar que en todo cuadrilátero convexo la suma de las diagonales es mayor que la suma de cada

par de lados opuestos.

Grafica 44




de cada paso.

Este ejercicio puede ser resuelto por desigualdad triangular

01 DO + OA AD

02 BO + OC BC

03

(DO + BO + (OA + OC AD + BC

04 DB + AC AD + DO + BC

05 De igual forma

DB + AC AB + DC


9. Dado un cuadrilátero no convexo BADC con el D interior mayor que un llano, probar que el

ADC (exterior) es igual a A + B + C (interiores).

Grafica 45




de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 =∢A+β

02 =∢C+β

03 + =∢A+β +C+β

04 ∢ACD=∢A+(β +β )+ C

05 ∢ACD=∢A+B+ C

10. Probar que en un triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa divide al ángulo recto en

dos ángulos iguales a los ángulos agudos del triángulo.

Grafica 46


problema determina la hipótesis y la tesis.


de cada paso.


AFIRMACION RAZON

01 𝜶+β=90° ΔABC recto en A

02 ω+𝜶=90° ΔABC recto en D

03 Θ+β=90° ΔADC recto en D

04 𝜶+β= Θ+β ①=③

05 𝜶=Θ De ④

06 𝜶+β=ω+𝜶 ①=②

07 β=ω De ⑥

11. Si el ángulo entre las bisectrices de los ángulos de la base de un triángulo isósceles es igual al

ángulo opuesto a la base, ¿ cuánto mide cada uno de los ángulos del triángulo ?.

Grafica 47



2. Dada las afirmaciones determina la

razón de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 ∢ABC=∢ACB= 𝜶

02

∢ =

∢ = ∢ = =𝜶

∢ACN=∢MCB

03 Θ+ω= 80°

04 ω +2𝜶=180°

05 Θ+ 𝜶=180°


06 (180°-4𝜶)+(180°-2𝜶)=180°

07 360°-180°=6𝜶

08 𝜶=30°

09 Θ= 0°

12. Sobre los lados y de un ángulo recto, se toman los puntos A y B. Se trazan las rectas

, (M sobre , N sobre ), que forme cada una un ángulo de 30° con un lado del

ángulo recto y que se corten en D. Demostrar que el AND y el BMD son isósceles.

Grafica 48




de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 30°+90°+ω=180°

ω =60°

02 ω =30°+𝜶

𝜶=30°

03 ΔNDA Isósceles

04 𝜶=β

05 ΔBDM Isósceles

OX OY

AM y BN OY OX


13. Calcular los ángulos agudos de un triángulo rectángulo, si la bisectriz del ángulo recto es

congruente con el cateto menor. Construir un triángulo rectángulo que cumpla esta propiedad,

conociendo únicamente la medida de la altura sobre la hipotenusa.

Grafica 49



2. Realiza el problema identificando los

triángulos formados y el teorema fundamental

AFIRMACION RAZON

01 AD bisectriz =

02 2ω+45°=130°

03 ω = °

04 𝜶+ω=180°

05 β+ω=90°


14. En un ABC se designan los ángulos por 2a, 2b y 2c. La bisectriz forma con , dos ángulos

adyacentes m y n, (m > n).

a. Probar que m - n = 2 b - 2 c

b. Se traza la altura sobre . Probar que HAE = b – c

PARTE A

1. De acuerdo a la gráfica y al enunciado

del problema determina la hipótesis y la

tesis.

2. Realiza el problema identificando

los triángulos formados y el

teorema fundamental

Grafica 50

a+m+2c=180 restando

a+n+2b=180

0 (m-n)+(2c-2b)=0

PARTE B



la hipótesis y la tesis.

2. Realiza el problema identificando

los triángulos formados y el

teorema fundamental

Grafica 51

Θ+ω= ⇒ -θ=ω

90°-θ=2b ΔACH

90°-ω- =2c ΔAHB

90°-θ-90°+ω+ =2b-2c

ω+ -θ=2b-2c

ω

2ω=2b-2c

ω=b-c

AE BC

AH BC

m-n=2b-2c


15. AH relativa a BC , HD AB y HE AC .

Probar que:

a. DE=AH.

b. (M punto medio de BC ) AB DE

Grafica 52


problema determina la hipótesis y la

tesis.


de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 CA AB ∧ HD AB ⇒ CA∥HD

02 AB AC ∧ HE AC ⇒ HD∥EA

03 ADHE rectángulo ⇒ Por qué?

04 AH=ED ⇒ Por qué?

05 ∢EAH=∢HAD ∢A.I.P

∢EAH=∢AHD

06 AH=AH

07 ΔEAH ΔDAH

08 EA=HD ∧ EH=DA

09 ∢EAD=∢AEH=90°

10 ΔAEH ΔEAD

11 AH ED

12 B = ∢EHC =

13 ∢C=∢AHB=β

14 𝜶+β=90° ΔABC

15 AHC = 90° =𝜶+ ∢EHA ∢EHA =β


16 ∢AHB = 90° =β+ ∢AHD ∢ AHD =𝜶

17 ΔEHD ΔADH

18 ∢EDH ∢AHD=𝜶

19 ∢AJE=∢HJD= 80°-2𝜶

20 ∢MAB=∢MBA=𝜶 por qué?

21 ∢ACM=∢CAM=β por qué?

22 ∢AIJ+∢IJM+∢IAJ= 80°

23 ∢AIJ+(AJE +( ∢MAB-∢HAB = 80°

24 ∢AIJ+(180°-2𝜶)+(𝜶+β = 80°

25 ∢AIJ=180°-180°+2𝜶-𝜶+β

26 ∢IAJ=𝜶+β=90°

27 AM ED

16. En un ABC, rectángulo en A, el B es igual a 2/5 del ángulo recto, calcular los ángulos que la

hipotenusa forma con su mediana y con la bisectriz del ángulo recto.

Grafica 53




de cada paso.

∢B=

(∢CAB ⇒ ∢B= °

𝜶+ °+ °= 80° ΔABE

𝜶+ω= 80°

ΔAEC isósceles ∢C= ∢CAE

∢C+ ∢B+90°= 80° ⇒ ∢CAE= ∢C= °

⇒ θ= ∢CAE-CAD

Θ= °-45

𝜶=99°

ω=81°

θ=9°


17. En un ABC, rectángulo en A, se construye MAB=B, con M sobre . Pruebe que AM=BM=CM.

Grafica 54




de cada paso.

AFIRMACION RAZON

01 𝜶+β=90° ΔABC

02 Θ+β=90° ΔABC

03 𝜶+β=β+θ ①=②

04 𝜶=θ De ③

05 ΔAMC isósceles De ④

06 AM = MC De ⑤

07 AM = MB ΔABC isósceles

08 AM = MB = MC

BC


18. En un ABC, rectángulo en A, AB < AC, se traza la altura y se toma D sobre la hipotenusa

con HD=HB. Desde C se traza . Demostrar que es la bisectriz del ACE.

Grafica 55

Determinar la hipótesis y la tesis

Determinar la razón en cada afirmación

AFIRMACION RAZON

01 AH mediana

02 AH altura

03 ΔABC isósceles

04 = β

05 β = ω

06 = ω

07 + θ = 90°

08 ω + = 90°

09 + θ = ω +

10 θ =

11 CB bisectriz del ∢ACE

AH

CE AD BC


EJERCICIOS SOBRE PARALELAS

GEOMETRÍA C.A.V.A.

EJERCICIOS UNIDAD 4. PARALELISMO

1. En un XOY se traza su bisectriz OZ

. Por

un punto A sobre el lado OX

se traza la

paralela a OY

, que corta a OZ

en B. Probar

que el AOB es isósceles.

2. En un ABC se traza la bisectriz AD del

A. Por cualquier punto E sobre el lado AB

se traza la paralela a AD , que corta a la

prolongación de CA en F. Demostrar que el

AEF es isósceles.

3. En un ABC se trazan las bisectrices del B

y del C que se cortan en un punto I. Por I

se traza DE ll BC , D sobre AB y E sobre

AC . Probar que:

a. DBI y ECI son isósceles.

b. Perímetro ADE = AB + AC.

4. En un ABC se trazan las bisectrices de los

ángulos exteriores B y C, y la del A

interior, que concurren en I. Por I se traza

DE ll BC , D y E respectivamente sobre las

prolongaciones de AB y AC . Probar que DE

= BD + CE

5. En un ABC se prolongan los lados BA y

CA , tales que AB'=AB y AC'=AC. Probar

que B'C'll BC .

6. Probar que si dos ángulos agudos tienen sus

lados respectivamente paralelos, entonces

sus bisectrices son paralelas.

7. Probar que si dos ángulos, uno agudo y otro

obtuso, tienen sus lados respectivamente

paralelos, entonces sus bisectrices son

perpendiculares.

8. Probar que dos ángulos agudos con sus lados

respectivamente perpendiculares, tienen sus

bisectrices perpendiculares.

9. Si dos ángulos, uno agudo y otro obtuso

tienen sus lados respectivamente

perpendiculares, entonces sus bisectrices

son paralelas.

10. En un ABC, isósceles de base BC , se

toman sobre los lados iguales, las longitudes

iguales BM y CN . Demostrar que MN ll BC .

11. Probar que la recta que une los pies de las

alturas iguales de un triángulo isósceles, es

paralela a la base.

12. Dado un punto P sobre una recta AB

se

toman PM y PN de longitudes iguales, en un

mismo semiplano con respecto a la recta AB

y con igual inclinación con respecto a ella.

Probar que MN ll AB .

13. Si en un cuadrilátero convexo dos ángulos

opuestos son rectos, entonces las bisectrices

de los otros dos ángulos son paralelas.

14. En un cuadrilátero convexo ABCD, tal que

AB=AD, BC=DC y AB < BC, los lados

opuestos prolongados se cortan en M y N.

Probar que MN ll BD .

15. Probar que en todo cuadrilátero convexo la

suma de las diagonales es mayor que la suma

de cada par de lados opuestos.

16. Dado un cuadrilátero no convexo BADC con el

D interior mayor que un llano, probar que el

ADC (exterior) es igual a A + B + C

(interiores).

17. En ABC, isósceles de base BC , se toma un

punto cualquiera P sobre BC , y por los puntos

medios M y N de los segmentos BP y PC se

trazan ME BC y NF BC , E sobre AB y F

sobre AC . Demostrar que EPF = A.

18. Probar que en un triángulo rectángulo la

altura relativa a la hipotenusa divide al ángulo

recto en dos ángulos iguales a los ángulos

agudos del triángulo.

19. Si en un triángulo rectángulo, la altura y la

mediana relativas a la hipotenusa forman un

ángulo de 20°, hallar sus ángulos agudos.

20. Si el ángulo entre las bisectrices de los

ángulos de la base de un triángulo isósceles


GEOMETRÍA C.A.V.A.

es igual al ángulo opuesto a la base, ¿ cuánto

mide cada uno de los ángulos del triángulo ?.

21. Si un triángulo rectángulo tiene un ángulo de

30° entonces la mediana y la altura relativas

a la hipotenusa, dividen al ángulo recto en

tres ángulos iguales.

22. Sobre los lados OX

y OY

de un ángulo

recto, se toman los puntos A y B. Se trazan

las rectas AM y BN

, (M sobre OY

, N sobre

OX

), que forme cada una un ángulo de 30°

con un lado del ángulo recto y que se corten

en D. Demostrar que el AND y el BMD son

isósceles.

23. Probar que en todo triángulo rectángulo la

bisectriz del ángulo recto es bisectriz del

ángulo formado por la mediana y la altura

relativas a la hipotenusa. Construir un

triángulo rectángulo dadas las longitudes de

la altura y la bisectriz que parten del vértice

del ángulo recto.

24. Calcular los ángulos agudos de un triángulo

rectángulo, si la bisectriz del ángulo recto es

congruente con el cateto menor. Construir

un triángulo rectángulo que cumpla esta

propiedad, conociendo únicamente la medida

de la altura sobre la hipotenusa.

25. Demostrar que las tres alturas de un

triángulo dividen a sus ángulos en ángulos

iguales dos a dos.

26. En un ABC se designan los ángulos por 2a,

2b y 2c. La bisectriz AE forma con BC , dos

ángulos adyacentes m y n, (m > n).

a. Probar que m - n = 2 b - 2 c

b. Se traza la altura AH sobre BC .

Probar que HAE = b – c

27. En un ABC, B=72° y C=30°. Hallar los

ángulos que forman:

a. Las alturas de dos en dos.

b. Las bisectrices de dos en dos.

28. En un ABC, rectángulo en A, se trazan la

altura AH relativa a BC , HD AB y

HE AC . Probar que:

a. DE=AH.

b. AM DE (M punto medio de BC )

29. En un ABC, rectángulo en A, el B es igual

a 2/5 del ángulo recto, calcular los ángulos

que la hipotenusa forma con su mediana y con

la bisectriz del ángulo recto.

30. En un ABD se tiene que B=2D. Se

traza la altura AH y se prolonga AB hasta E

con BE=BH. Se traza la recta EH

que corta

a AD en F. Demostrar que: FHD=FDH y

FAH=AHF.

31. En un ABC, rectángulo en A, AH es la altura

relativa a BC , HD AB , HE AC y AM

mediana. Prolongando EH y AM se cortan

en F. Se traza BF . Probar que:

a. AHB=BFA

b. BF ll DE

c. Las rectas AH

, BF

y MN

concurren,

(N punto medio de AB )

32. En un ABC, isósceles de base BC , se

prolonga BC tal que CD=AB y se prolonga AB

tal que BE=BC/2. Se traza la recta EHF

,

con H punto medio de BC y F sobre AD .

Probar que:

a. ADB= 1/2 ABC

b. EA=HD

c. FA=FD=FH

d. Si BAC=58°, calcular el valor del

AFH y del ADB.

33. En un ABC, rectángulo en A, se construye

MAB=B, con M sobre BC . Pruebe que

AM=BM=CM.

34. En un ABC, rectángulo en A, se prolonga

CA en una longitud igual a AD. Por D se

traza DH BC con H sobre BC y cortando a

la recta AB

en G. Probar que CG DB .

35. En un ABC, rectángulo en A, AB < AC, se

traza la altura AH y se toma D sobre la

hipotenusa con HD=HB. Desde C se traza


EJERCICIOS SOBRE PARALELAS

GEOMETRÍA C.A.V.A.

CE AD . Demostrar que BC es la bisectriz

del ACE.

36. ¿ En un triángulo isósceles podrá ocurrir que

las bisectrices de los ángulos iguales sean

perpendiculares ?. ¿ Porqué ?.

37. Encontrar con regla y compás los puntos del

plano que están a una distancia dada de dos

rectas secantes dadas.


TALLER N°5- PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

1. En un triángulo ABC se trazan las bisectrices de los ángulos exteriores B y C, las

cuales concurren en un punto I. Por I se traza , estando D y E sobre las

prolongaciones de AB y AC respectivamente. Probar que CEBDDE

2. En un triángulo ABC se traza AD con B-D-C y tal que D equidiste de AB y AC; se

traza la mediatriz de AD que corta a AC en G; demuestre que DG es paralelo a

AB.

3. Dado un triángulo ABC , trazar las bisectrices BE y CD de los ángulos B y

C respectivamente; con BCDE , se prolonga DE hasta F tal que BCEF .

Demostrar que: BE y CF son paralelas

4. En un se toman A y B sobre DE y CE respectivamente, tales que: DA=BC

y DB = CA, DB y AC se cortan en E. Demuestre que .

5. En un los puntos medios de los lados son respectivamente

, se traza la altura . Demostrar que y .

6. En el , la bisectriz del ángulo interseca a en , y la mediatriz de

interseca a en . Demuestre que .

7. Sobre el lado OX del ángulo XOY se toma un punto A. Desde A se traza la AH

perpendicular a OY y la bisectriz del ángulo HAO corta al lado OY en C. En C se

levanta una perpendicular que corta a OX en B. Probar que el triángulo ABC es

isósceles.

8. Se da un y se toma un punto D en el semiplano opuesto a A respecto a BC tal

que AB =CD y AC=BD, se trazan AF y DE con C - F - E - B tal que

. Demuestre que .

9. Considere un . Sean y puntos de y respectivamente, tales que

y . Pruebe que .

10. Se dan A – E – B y C – F – D sobre dos rectas distintas. Se trazan EF y las

bisectrices de y que se cortan en G. Probar que si es recto

entonces .


11. En un ABC se prolongan los lados y hasta B’ y C’ tales que y

. Probar que .

12. Demostrar que las bisectrices de dos ángulos colaterales internos son

perpendiculares.

13. Se prolonga el cateto CA de un triángulo ABC rectángulo en A, en una longitud

AD=AC. Se traza que corta AB en G. Demostrar que .

14. Desde un punto D de la base AC de un triángulo isósceles, se traza DH

perpendicular a BC, demostrar que

15. Demostrar que en un triángulo rectángulo la bisectriz del ángulo recto es también

bisectriz del ángulo formado por la mediana y la altura que parten del ángulo

recto.

16. Encontrar la medida de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo si la

bisectriz del ángulo recto tiene la misma medida del cateto menor. Encontrar la

medida de los ángulos que forma la bisectriz con la hipotenusa.

17. Se da en un triángulo rectángulo BAC, se trazan la bisectriz AD del y los

segmentos DE, DQ y DR perpendiculares a BC, AB y AC respectivamente.

Demuestre que BD=DE.

18. En un triángulo ABC rectángulo en A, con , se traza la altura AH sobre la

hipotenusa y se toman dos segmentos HD y HB sobre la hipotenusa tales que

HD=HB, se traza CE perpendicular a la prolongación de AD. Demostrar que BC es

bisectriz del .

19. Demostrar que la recta que une los pies de las alturas iguales de un triángulo

isósceles es paralela a la base.

20. En un ABC , se trazan las medianas AM y BN , por N se traza una

paralela a BC y por C una paralela a ;BN estas dos paralelas se cortan en P.

Sea D el punto medio de NP demostrar que .

B'C'll BC


UNIDAD 4. PARALELISMO · TEOREMA: En un plano, si dos rectas son paralelas entonces toda secante a...

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