Unidad 5 de Albebra Casi Terminada
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INSTITUTO TECNOLOGICO DE CERRO AZUL
CARRERA:INGENIERÍA PETROLERA
MATERIA:ALGEBRA LINEAL
GRUPO: 4
TRABAJO: UNIDAD 5: Transformaciones lineales
PRESENTA:CRUZ SANTIAGO JESUS ROBERTO
CATEDRATICO:ING. GERARDO REYES FIGUEROA
CERRO AZUL, VER.
INTRODUCCION
Desde el punto de vista de la algebra lineal, las transformaciones más importantes
son aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas también son
llamadas como transformaciones lineales o mapeos lineales. Transformación lineal
es una parte esencial en la álgebra lineal. Transformaciones lineales entre dos
espacios vectoriales U y V relaciona el mapeo T: U → V que satisface estas
condiciones:
1). T (U1 + U2) = T (U1) + T (U2), donde U1 y U2 son vectores en U 2). T (Au) = A
T (u), donde A es cualquier cifra escalar
La primera condición se conoce como la aditividad mientras que la segunda se
conoce como homogeneidad. Puede ser definido como una función entre dos
espacios vectoriales, la cual conserva operaciones de multiplicación escalar y
suma. De acuerdo con la álgebra abstracta, son homomorfismo de espacios
vectoriales .
Toda transformación que conserva combinaciones lineales es una transformación
lineal. Otra propiedad evidente es que cualquier transformación lineal mapas 0 a 0:
T (0) = 0. . Este sigue, por ejemplo, el hecho de que
T (x) = T (x + 0) = T (x) + T (0) Para alguna x 2 V, la cual sólo puede ocurrir si T (0)
= 0.
Representar una transformación lineal en términos de una matriz es una manera
ingeniosa, ya que permitirá cálculos concretos en naturaleza. En otras palabras,
se puede decir que una matriz puede dar el modelo básico de estas
transformaciones. Por ejemplo, si Q es una matriz de m-by-n, en ese caso, la regla
T (Au) = A T (u) representa la transformación Rn → Rm.
La transformación Id: V → V definida por Id(x) = x se llama transformación de la
identidad. Esta transformación es claramente lineal.
Propiedades generales de transformaciones lineales
Suponga que V es un espacio vectorial dimensional finito sobre F, y W es otro
espacio vectorial (no necesariamente de dimensión finita) sobre F. Dado una base
de V, existe una transformación lineal única T: V → W tomando cualquier valor
que deseamos en la base dada de V, y, además, sus valores sobre la base de V
determinan únicamente la transformación lineal.
Además, sea V y W espacios vectoriales sobre F. Entonces, cada transformación
lineal T: V → W es determinado únicamente por sus valores sobre una base de V.
Por otra parte, si v1. . . vn es una base de V y w1, . . . ,wn son vectores arbitrarios
en W, entonces existe una transformación lineal única T: V → W tal que T (vi) = wi
para cada i. En otras palabras, hay una transformación lineal única con los valores
dados en una base.
Otra propiedad de transformación lineal establece que si V y W son espacios
vectoriales sobre F, entonces cualquier combinación lineal de transformaciones
lineales con dominio V y objetivo W también es lineal. Así, el conjunto L (V, W) de
todas las transformaciones lineales T: V → W es un espacio vectorial sobre F.
Para concluir, hay dos espacios fundamentales asociados con una transformación
lineal: su núcleo ker (T) y su imagen im (T). El núcleo y la imagen de una
transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y espacio de la columna
de cualquier matriz que representa T.
DESARROLLO
5.1 INTRODUCCIÓN A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES.
Introducción a las transformaciones lineales
La transformación lineal es una función utilizada para la asignación de un espacio
vectorial a otro espacio vectorial con la ayuda de los escalares, la cual satisface la
expresión f(a*x+b*y) =a*f(x)+b*f(y).
En otras palabras, se consideran 2 espacios vectoriales, V y W. Una
transformación lineal es una gráfica T: V→ W que satisface dos condiciones:
1). T (v1 + v2) = T (v1) + T (v2) donde v1 y v2 son vectores en V. 2). T (xV) = x T
(v) donde x es una escala
Una transformación lineal puede ser sobreyectiva o inyectiva. En el caso que, W y
V tengan dimensiones idénticas, entonces T puede llegar a ser invertible, esto es,
se encuentra T-1 el cual satisface la condición TT-1 = I. Asimismo, T (0) será
siempre 0.
La teoría de la matriz entra en la teoría de las transformaciones lineales porque es
posible representar cada transformación lineal como matriz. La multiplicación de
matrices puede considerarse como el ejemplo principal que puede demostrar el
concepto de transformación lineal. Una matriz A de dimensión n x m define que T
(v) = Av y aquí v es representado como un vector columna. Veamos un ejemplo:
Aquí, la transformación lineal t es definida como T (x, y) = (y, −2x + 2y, x). En el
caso que, V y W sean de dimensión finita, la transformación lineal está mejor
representada con la multiplicación de matrices en lugar de estableciendo la base
del espacio vectorial, tanto para W y V. En el caso que, W y V incluyan un
producto escalar y también los espacios vectoriales correspondientes y que W y V
sean ortonormales, será simple representar la matriz correspondiente como .
Mientras que w y v son de dimensión infinita, la transformación lineal puede ser
continua. Por ejemplo, considera que un espacio polinómico de 1 variable sea v y
T una derivada. Entonces, T (xn) = nxn-1, una no continua como xn/n = 0 mientras
que T (xn)/n no converge.
El resultado de la suma de 2 o más transformaciones lineales, la multiplicación de
una transformación lineal por número particular, y la multiplicación de 2
transformaciones lineales, son siempre transformaciones lineales. Una
transformación lineal en la cual su identidad es descrita en el espacio euclidiano
siempre es auto-adjunta en el caso de que la matriz A correspondiente sea
simétrica en cualquier base ortonormal. Una transformación lineal que es auto-
adjunta y se describa en una dimensión finita unitaria, el espacio (euclidiano)
contiene una base ortonormal en la cual su matriz lleva una forma diagonal.
Existen dos espacios fundamentales que están asociados a una transformación
lineal: su kernel ker(T) y su imagen im(T). El kernel y la imagen de una
transformación lineal T corresponden con el espacio nulo y el espacio de la
columna de cualquier matriz que represente a T.
En un sistema lineal, el número de variables es igual al número de variables libres
más el número de variables angulares, quedando una transformación lineal final T:
V→ W en la identidad dim V = dim ker(T) dim im(T). Si dim ker(T) = 0 y dim im(T) =
dim W, entonces t esta sobre y uno a uno. En este caso, esto se denomina un
isomorfismo.
5.3 LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACION LINEAL
La matriz de una transformación lineal
Desde el punto de vista algebraico lineal, las transformaciones más importantes
son las aquellas que conservan las combinaciones lineales. Estas son llamadas
transformaciones lineales o aplicaciones lineales. Una transformación lineal es una
parte esencial en el álgebra lineal. La idea principal detrás de la “Matriz de una
transformación lineal” es la definición de la matriz de T con respecto a las bases
arbitrarias del dominio de V y el codominio de W. En este caso, V y W son
espacios vectoriales de dimensión finita sobre F, y T: V → W es una
transformación lineal.
Sea V y W espacios vectoriales de finita dimensión sobre F, e imagina que T: V! W
es lineal. Fija una base
B = {v1, v2. . . vn}
de V y una base de
B0 = {w1, w2. . . wm}
de W. Ahora definimos la matriz MBB’ (T) de T con respecto a estas bases. Puesto
que B0 es una base de W, cada T (vj) puede escribirse únicamente como
T(v j) =
Por lo tanto la matriz de T, en definitiva, con respecto a las bases B y B0 se define
como la matriz MBB’ (T) = (cij ) m × n . ¿Lo qué dice esta definición es que la
columna jth de la matriz MBB’(T) es el vector columna formado por los coeficientes
de T(vj) con respecto a la base B0? Uno puede expresar el término anterior en
forma matricial mediante
(T(v1) T(v2) • • • T(v n)) = (w1 w2 • • •wm)MBB ’(T).
Es importante tener en cuenta que si V = Fn, W = Fm y T = TA, donde A Fm×n,
entonces MBB’(T) = A si B y B0 son las bases estándares. De TA (ej) es siempre
la columna jth de A.
Ahora, sea V el espacio de polinomios reales de al menos tres grados, y W el
espacio de polinomios reales de a lo sumo dos grados. Entonces, la diferenciación
es una transformación lineal D: V → W. Ahora
D (ax3 + bx2 + cx + d) = 3ax2 + 2bx + c.
Sea B la base {1, x, x2, x3} de V y B0 la base {1, x, x2} de W. Ahora,
D (1) = 0, D(x) = 1, D(x2) = 2x, D(x3) = 3×2.
Así
MBB’(D) =
Ahora bien, supongamos que T: V → V es una transformación lineal
diagonalizable (o semi-simple). Recordemos que esto significa que existe una
base B = {v1, v2. . . vn} de V tal que (vi) = vi para cada índice i entre 1 y n. Por lo
tanto, B es una base propia de V para T. En este caso, MBB (T) es la matriz
diagonal .
Pero, ¿Qué es la matriz de T con respecto a alguna otra base B0 de V? El primer
paso para responder a esta pregunta es encontrar cómo relacionar las
expansiones de un vector dado de V con respecto a dos bases distintas. Esto por
sí solo constituye un concepto diferente y más amplio que necesita de un
conocimiento muy superior y más profundo de las matemáticas .
5.4 APLICACION DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES:
REFLEXION, DILATACION, CONTRACCION Y ROTACION.
Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y
rotación
Rm.Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como
transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades
básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y
aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema
simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn
1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio
euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio
euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto
de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal
situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es
realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es
como producir la imagen espejo de la matriz actual.
2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos
dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un
cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos
del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde
tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la
dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).
3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí
el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el
punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección
de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).
4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto
puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza
para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la
rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las
manecillas del reloj.
Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de
la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través
de la recta y = (−2x / 3).
El primer paso para esto es determinar los vectores base.
Por lo tanto, podemos afirmar que,
R2 es una transformación lineal, entonces podemos escribir que,Dado que y
pertenece a R2. Imagina que A: R2
La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo
tanto la imagen de a través de y = (−2x/ 3) es determinada mediante la obtención
de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a . Esto está dado por y =
(3x/ 2) – (3/ 2).
El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) – (3/ 2) e y = (−2x/ 3) se
intersectan se dado como (9/13, −6/13). Tomamos p¬1¬ para ser el punto de
reflexión de a través de la recta dada. Este punto es simétrico respecto a (9/13,
−6/13) por lo tanto, podemos escribir que,
Esto produce,
De manera similar, la imagen del vector base resulta ser
Y tenemos la matriz de transformación lineal final como,
REFLEXION, DILATACION, CONTRACCION Y ROTACION.
Aplicación de las transformaciones lineales: reflexión, expansión, contracción y
rotación
Rm.Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como
transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades
básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y
aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema
simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn
1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio
euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio
euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto
de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal
situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es
realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es
como producir la imagen espejo de la matriz actual.
2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos
dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un
cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos
del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde
tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la
dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).
3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí
el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el
punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección
de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).
4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto
puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza
para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la
rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las
manecillas del reloj.
Como ejemplo, dirijámonos a producir la matriz estándar para la representación de
la transformación lineal reflejando un conjunto de puntos en el plano x-y a través
de la recta y = (−2x / 3).
El primer paso para esto es determinar los vectores base.
Por lo tanto, podemos afirmar que,
R2 es una transformación lineal, entonces podemos escribir que,Dado que y
pertenece a R2. Imagina que A: R2
La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo
tanto la imagen de a través de y = (−2x/ 3) es determinada mediante la obtención
de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a . Esto está dado por y =
(3x/ 2) – (3/ 2).
El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) – (3/ 2) e y = (−2x/ 3) se
intersectan se dado como (9/13, −6/13). Tomamos p¬1¬ para ser el punto de
reflexión de a través de la recta dada. Este punto es simétrico respecto a (9/13,
−6/13) por lo tanto, podemos escribir que,
Esto produce,
De manera similar, la imagen del vector base resulta ser
Y tenemos la matriz de transformación lineal final como,