Unidad 6 grafos

ALGORITMOS(CIC621)

Unidad 6. Grafos

J. Miguel Guanira Erazo MSc.

Escuela de Posgrado – Maestría en Informática 1

Unidad 6. Grafos

• GRAFOS:

Un grafo G = (V, A) es una estructura de datoscompuesta por un conjunto de elementosdenominados Vértices (nodos) y un conjunto deAristas o Arcos que conectan los vértices.

Cada arista es un par (v, w), donde v, w ∈ V. Si elpar (v, w) es un par ordenado, el grafo recibe elnombre de Grafo Dirigido.


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• GRAFOS:Los Grafos permiten abordar todos los problemas de tipo conectividad (el objeto O1 está conectado de una manera u otra al objeto O2) o de optimización (caminos más cortos).Ejemplos:• Modelación de tráfico• Planificación de movimientos: recolección de

basura, reparto de correspondencia• Redes informáticas, Internet.• Etc.


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Lima

Ancash

Cajamarca

Junín

Ucayali

Cuzco

Ica

Ayacucho Puno

EJEMPLO DE GRAFO

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GRAFO DIRIGIDO

H

Y

P

F

U Q

K

M

A

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• GRAFOS:Definiciones:• Grado(v): Denominado grado de un vértice, es elnúmero de aristas que se conectan a un vértice. Sedenota como grado(v). En el ejemplo, P es unvértice de grado 4, grado(K) = 3, y grado(A) = 0.


H

Y

P

F

U QK

MA

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• GRAFOS:Definiciones:• Vértices adyacentes: Dos vértices son adyacentessi está unidos por una arista. En ese caso se dice quela arista es incidente en esos vértices. En elejemplo, P y Q son adyacente, P y K no sonadyacentes.


H

Y

P

F

U QK

M

• GRAFOS:Definiciones:• a = (u, u): Denominado lazo o bucle, es una aristaque conecta un vértice consigo mismo.En el ejemplo los nodos H y M están conectados

con lazos.

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H

Y

P

F

U QK

M

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• GRAFOS:Definiciones :• P = (v1, v2,…, vn): Denominado camino, es lasecuencia de vértices que se debe seguir para llegardel vértice v1 (origen) al vértice vn(destino). En elejemplo el camino P para llegar del nodo H al nodoA es H-Y-F-K-A


H

Y

P

F

U QK

MA

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• GRAFOS:Definiciones :• P = (v1, v2,…, vn): Se denomina camino cerrado, siel origen (v1) coincide con el destino (vn). En elejemplo el camino H-Y-F-Q-P-H, es un caminocerrado.


H

Y

P

F

U QK

MA

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• GRAFOS:Definiciones :• P = (v1, v2,…, vn): Se denomina camino simple, sitodos los vértices excepto el origen y el destino,son distintos. En el ejemplo el camino H-Y-F-Q-P-H, es un camino simple, pero el camino H-Y-Q-P-M-Q-K no lo es.


H

Y

P

F

QK

MA

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• GRAFOS:Definiciones :• Ciclo: Se denominado ciclo, al camino simple ycerrado que incluye 3 o más vértices. En el ejemplolos caminos H-Y-Q-P-H y M-K-A-M son ciclos.


H

Y

P

F

QK

MA

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• GRAFOS:Definiciones :• Tour: Se denominado tour, al camino simple queune todos los vértices. En el ejemplo el caminosdado por H-Y-F-K-A-M-P-Q es un tour.


H

Y

P

F

QK

MA

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• GRAFOS:Definiciones :• Grafo conexo: Un grafo es conexo si para todo parde vértices del grafo existe un camino entre ellos.Si el grafo no es dirigido se dice que es “débilmenteconexo”. En el ejemplo se puede decir que el grafoes débilmente conexo.


H

Y

P

F

QK

MA

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• GRAFOS:Definiciones :• Grafo árbol: Un grafo es de tipo árbol si es un esun grafo conexo y no tiene ciclos.

• En el ejemplo se puede decir que el grafo es de tipoárbol.


1

5

2

4

3

3

1

4

2

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• GRAFOS:Definiciones :• Si el grafo es dirigido se dice que es “fuertementeconexo”. En el ejemplo se puede decir que el grafoes fuertemente conexo.


H

Y

P

F

Q

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• GRAFOS:Definiciones :• Grafo completo: Un grafo es completo si todos susnodos son adyacentes. En el ejemplo se puede decirque el grafo es completo.


H

Y

P

F

Q

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• GRAFOS:Definiciones :• Multigrafo: Se denomina así al grafo que por lomenos dos de sus vértices están conectados por dosaristas. En el ejemplo se puede decir que el grafo esmultigrafo.


H

Y

P

F

Q

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• GRAFOS:Definiciones :• Subgrafo: Dado un grafo G = (V, A), se denominasubgrafo a aquel grafo G1 = (V1, A1) en el que secumple que V1 ⊂ V, V1≠ ∅ y que A1 ⊂ A. Ademáscada arista de A1 es incidente con V1. En elsiguiente ejemplo se puede apreciar este concepto.


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H

Y

P

F

Q

A

C

B

SubGrafo

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• GRAFOS:Definiciones:• Grafo etiquetado: Se dice que un grafo estáetiquetado si sus arista tienen algún valor (costo,peso, longitud etc.).


H

Y

P

F

U QK

M1055

9

25

8

20

6018

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GRAFOS DIRIGIDOS

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• GRAFOS DIRIGIDOS:

Un grafo dirigido G, denominado también digrafo, esaquel grafo en el que cada una de sus aristas a estáasignada a un par ordenado (u, v) de vértices de G, esdecir tienen una dirección asignada.


H

Y

P

F

Q

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• ARCO O ARISTA DIRIGIDA:

Se denominan así a las aristas de un grafo dirigido.Se expresan como u → v.

-u es el origen y v es el destino.-u es predecesor de v y v es sucesor de u.-u es adyacente hacia v y v es adyacente desde u.


u varco a:

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• MATRIS DE AYACENCIA:

Los grafos dirigidos, por lo general se modelan mediantearreglos de dos dimensiones de valores binarios (0/1 ofalse/true). Son matrices cuadradas de orden n x n,donde n es representa el número de vértices del grafo. Aestos arreglos se les denomina matrices de adyacenciaM. Las filas de la matriz se relacionan con los vértices deorigen, mientras que las columnas los vértices de destino,y los valores de sus elementos M[u][v] tienen un valorde 1 (uno) si existe un arco desde u hacia v y 0 (cero) sino.


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• MATRIS DE AYACENCIA:Ejemplo:


H

Y

P

F

U QK

M

F H K M P Q U YF 0 0 1 0 0 1 0 0H 0 0 0 0 1 0 0 1K 0 0 0 1 0 0 0 0M 0 0 1 0 0 0 0 0P 0 0 0 1 0 1 0 1Q 0 0 1 0 1 0 0 0U 0 0 0 0 0 0 0 0Y 1 1 0 0 0 0 1 0

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• MATRIS DE AYACENCIA:Variante (grafos etiquetados):


F H K M P Q U YF 0 0 12 0 0 9 0 0H 0 0 0 0 6 0 0 0K 0 0 0 10 0 0 0 0M 0 0 0 0 0 0 0 0P 0 0 0 5 0 1 0 8Q 0 0 11 0 14 0 0 0U 0 0 0 0 0 0 0 0Y 7 2 0 0 0 0 2 0

H

Y

P

F

U QK

M

10

56

8

12

2

7

211

14

9

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• LISTAS DE AYACENCIA:

Otra manera de modelar los grafos dirigidos, es pormedio de arreglos unidimensionales de n elementos,donde n representa el número de vértices del grafo. Cadaelemento u del arreglo representan los vértices de origeny su valor M[u] es un puntero a una lista ligada en dondecada nodo representa el vértice de destino.


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• LISTA DE AYACENCIA:Ejemplo:


F

H

K

M

P

Q

U

Y

H

Y

P

F

U Q K

M

K Q

P Y

M

K

M Q Y

K P

F H U

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• LISTA DE AYACENCIA:Ejemplo:


F

H

K

M

P

Q

U

Y

K/12 Q/9

P/6

M/10

M/5 Y/8

K/11 P/14

F/7 H/2 U/2

H

Y

P

F

U QK

M

10

56

8

12

2

7

211

14

9

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DETERMINACIÓN DE CAMINOS EN GRAFOS

DIRIGIDOS

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• DETERMINACIÓN DE CAMINOS EN GRAFOS DIRIGIDOS:

Existen muchos problemas en los que se requiereconocer la existencia de caminos , de manera directa oindirectamente, entre dos puntos. Por otro lado ladeterminación del menor camino entre dos puntos esigualmente útil.Los grafos dirigidos son ideales para resolver este tipo deproblemas.


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• DETERMINACIÓN DE CAMINOS EN GRAFOS DIRIGIDOS:

Existen muchos algoritmos que permiten encontrarcaminos que partan de un punto de origen y que lleguena un punto destino recorriendo la menor distancia. Losalgoritmos más famosos son:

• El algoritmo de Dijkstra• El algoritmo de Floyd• El algoritmo de Warshall

Los tres algoritmos emplean una matriz de adyacencia


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ALGORITMO DE DIJKSTRA

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• ALGORITMO DE DIJKSTRA:

El algoritmo de Dijkstra determina la ruta más cortaentre un vértice de origen a cualquier otro vértice delgrafo dirigido.

Elementos requeridos:

• Una matriz de adyacencia M de n x n elementos en elque se coloca en cada elemento M[u][v], la distanciaentre los puntos u y v, si no existe el camino se colocaun valor muy grande (∞). No se consideran los bucles(M[u][u] = 0).


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• Una arreglo S que guardará los vértices una vez seconozca el camino mínimo entre él y el origen.Inicialmente contendrá el vértice origen. Se manejacomo un conjunto.

• Un arreglo D de n elementos, cada uno representa unvértice del grafo, en el que se guarda la distancia entre elorigen y el vértice. Al terminar el algoritmo, loselementos tendrán las distancias mínimas


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Se tienen el conjunto de vértices V: 1(origen), 2,3,4,…, n

• Colocar el vértice origen en el conjunto S.• Repetir desde 2 hasta n

o Elegir un vértice v en V-S tal que D[v] sea el mínimovalor.

o Agregar v a S.o Repetir para cada vértice w en V-S

Hacer D[w] ← mínimo ( D[w], D[v] + M[v][w] )


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• ALGORITMO DE DIJKSTR:Ejemplo 1:


11

1

3

2

5

464

3

3

5

6

2

1 2 3 4 51 0 4 11 ∞ ∞

2 ∞ 0 ∞ 6 23 ∞ 3 0 6 ∞

4 ∞ ∞ ∞ 0 ∞

5 ∞ ∞ 5 3 0

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• ALGORITMO DE DIJKSTR:Ejemplo 2:


4 1 2 3 4 5 6 7 81 0 2 ∞ 3 ∞ ∞ ∞ ∞

2 4 0 4 ∞ 6 ∞ ∞ ∞

3 ∞ 6 0 ∞ ∞ 7 ∞ ∞

4 ∞ ∞ ∞ 0 5 ∞ 45 ∞ ∞ ∞ 6 0 4 ∞ 36 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 0 ∞ ∞

7 ∞ ∞ ∞ 2 ∞ ∞ 0 58 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 1 8

71

32

54

4

36

5

62

6

78

6

42

5

1

3

4

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ALGORITMO DE FLOYD

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• ALGORITMO DE FLOYD:

El algoritmo de Floyd determina la ruta más corta entretodos los vértices de un grafo dirigido. Así como la ruta aseguir.


• Una matriz de adyacencia M de n x n elementos en elque se coloca en cada elemento M[u][v], la distanciaentre los puntos u y v, si no existe el camino se colocaun valor muy grande (∞). No se consideran los bucles(M[u][u] = 0).


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• Una matriz de T de n x n elementos en el que se colocaen cada elemento T[u][v], el vértice intermedio para irdel vértice u al vértice v.


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• Repetir para todo w desde 1 hasta noRepetir para todo u desde 1 hasta n

Repetir para todo v desde 1 hasta nSi Muw+Mwv < Muv entonces

Muv ← Muw+MwvTuv ← w


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• ALGORITMO DE FLOYD:Ejemplo:


1 2 31 0 1 32 2 0 13 4 5 0

3

1

3

21

52

14

w u v

Muv Muw + Mwv

1 1 11 11 1

23

1 111

23

222

1 111

23

333

1 111

23

222

123

222

222

123

333

222

1 111

23

333

123

222

333

123

333

333

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ALGORITMO DE WARSHALL

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• ALGORITMO DE WARSHALL:

El algoritmo de Warshall determina si hay una ruta entretodos los vértices de un grafo dirigido (no da distancias).


• Una matriz de adyacencia M de n x n elementos en elque se coloca en cada elemento M[u][v], el valor 1 sihay un arco que une los vértices u y v, 0 si no.

• Una matriz de C de n x n, inicialmente igual a M dondese guardará 1 si hay un camino entre los vértices u y v, 0si no.


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• ALGORITMO DE WARSHALL:

• Repetir para todo w desde 1 hasta noRepetir para todo u desde 1 hasta n

Repetir para todo v desde 1 hasta nSi Cuv = 0 entonces

Cuv ← Cuw ∧ Cwv


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GRAFOS NO DIRIGIDOS

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• DETERMINACIÓN DE CAMINOS EN GRAFOS NO DIRIGIDOS:

Los grafos dirigidos sirven para solucionar problemas deruteo en los que el costo de ir del vértice u al vértice v eligual al de ir del vértice v al vértice u.


11

1

3

2

5

4

64

3

35

6

2

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• ÁRBOL DE EXTENSIÓN MÍNIMA:

Un árbol de extensión mínima de un grafo no dirigidoG(V,A) se define como un árbol que conecta todos losvértices V y está formado por las aristas de menor costo.


1

5

2

4

3

3

1

3

45

62

1

5

2

4

3

3

1

4

2

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• ÁRBOL DE EXTENSIÓN MÍNIMA:

Si se necesita cablear una casa con un mínimode cable, entonces se necesita resolver unproblema de árbol de extensión mínima.


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ALGORITMO DE PRIM

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• ALGORITMO DE PRIM:

El algoritmo de Prim permite encontrar el árbol deextensión mínima para un grafo.


• Una conjunto V que contiene los vértices del grafo.V = {1,2,3…n}

• Un conjunto U que contendrá los vértices del grafo.Inicialmente contiene el primer vértice, U = {1}.

• Un conjunto L de aristas que se formará con las aristasde menor costo. Inicialmente la lista estará vacía, L=∅ .


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• ALGORITMO DE PRIM:

• Mientras V ≠ U haceroElegir una arista (u, v) del grafo tal que:

Su costo sea mínimo yu ∈ U y v ∈ V-U

oAgregar la arista (u, v) a LoAgregar el vértice v al conjunto U


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• ALGORITMO DE PRIM:Ejemplo 1:


5

4

1

3

2

1

4

3

35

6

2

V = {1, 2, 3, 4, 5}

U = {1}

A = { 1-2, 1-3, 2-3, 2-4,3-4, 3-5,4-5}

L = {∅}

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• ALGORITMO DE PRIM:Ejemplo 2:


V = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

U = {1}

A = { 1-2, 1-3, 1-4, 2-4, 2-5, 3-4,3-6, 4-5, 4-6,4-7, 5-7, 6-7}

L = {∅}3

6

1

5

2

1

4 3 10

5 6

2

4

7

2 7

1

48

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ALGORITMO DE KRUSKAL

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• ALGORITMO DE KRUSKAL:

El algoritmo de Kruskal permite encontrar también elárbol de extensión mínima para un grafo.


• Un conjunto L que contiene las aristas del grafo y suscostos.

• Un conjunto P de particiones. P = {{1}, {2}, {3},…{n}}


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• ALGORITMO DE KRUSKAL:

• Mientras haya vértices en P que pertenezcan aparticiones distintas hacero Elegir de L la arista (u, v) que tenga costo mínimoo Si u y v están en particiones distintas entonces

Unir las particiones a las que pertenezcan u y v


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• ALGORITMO DE KRUSKAL:Ejemplo 1:


5

4

1

3

2

1

4

3

35

6

2P = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}}

L = { 1-2(1), 1-3(3), 2-3(3), 2-4(6),3-4(4), 3-5(2),4-5(5)}

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• ALGORITMO DE KRUSKAL:resultado:


5

4

1

3

2

1

4

3

2P = {{1, 2, 3, 4, 5}}

L = { 2-4(6), 4-5(5)}

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• ALGORITMO DE KUSKAL:paso 1:


P = {{1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {7}}

L = { 1-2(2), 1-3(4), 1-4(1), 2-4(3), 2-5(10), 3-4(2),3-6(5), 4-5(7), 4-6(8),4-7(4), 5-7(6), 6-7(1)}

3

6

1

5

2

1

4 3 10

5 6

2

4

7

2 7

1

48

1-4(1) ← (u, v)

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BÚSQUEDA EN AMPLITUDBREADTH-FIRST

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• BÚSQUEDA EN AMPLITUD:

La búsqueda en amplitud es un algoritmo quepermite encontrar un camino entre dos vértices de ungrafo.El método consiste en que a partir del vértice inicial,se van analizando los siguientes vértices “porniveles” (los que están conectados al vértice inicial)y así se va avanzando hasta encontrar el vértice meta.


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• BÚSQUEDA EN AMPLITUD :


• Una lista P (pendientes) que contiene los vértices queaun no se han visitado. Funciona como una cola

• Una lista V (visitados) que contiene los vértices que aunno han sido visitados.


Unidad 6. Grafos

• BÚSQUEDA EN AMPLITUD :• Insertar el vértice inicial en la lista P• Mientras P ≠ ∅ y no se llegó al vértice meta

oTomar en X un elemento de P (cola: atender)oSi X ∉V entonces

Poner X en V (cola: llegada)Determinar todos los vértices conectados a XSi en estos vértices no se encuentra el vértice meta

• Colocarlos en P (cola: llegada)

• Si se encontró el vértice meta ⇒ ÉXITO• De lo contrario ⇒ FRACASO


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• BÚSQUEDA EN AMPLITUD :Ejemplo 1:


V = {∅}

P = { 1 }

6

5

2

43

7

89

10

11

12

1

Ruta de 1 a 12

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BÚSQUEDA EN PROFUNDIDADDEPTH-FIRST

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• BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD:

La búsqueda en profundidad es un algoritmo quepermite encontrar también un camino entre dosvértices de un grafo.El método consiste en que a partir del vértice inicial,se van analizando los siguientes vértices “poradyacencia”, se toma un vértice adyacente al delinicio y se repite el proceso con el vértice elegidocomo inicial. Si al final no se encuentra la meta sesigue con otro vértice adyacente al inicio.


Unidad 6. Grafos

• BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD :


• Una lista P (pendientes) que contiene los vértices queaun no se han visitado. Funciona como una cola

• Una lista V (visitados) que contiene los vértices que aunno han sido visitados.

• Un valor entero LP que indica el límite de profundidadpermitido (el vértice inicial tiene profundidad cero, eladyacente a él uno, etc. Si se llega al límite la ruta notiene éxito.


Unidad 6. Grafos

• BÚSQUEDA EN AMPLITUD :• Insertar el vértice inicial en la lista P• Mientras P ≠ ∅ y no se llegó al vértice meta

oTomar en X un elemento de P (pila: push)oSi X ∉V y su prof(X) ≤ LP entonces

Poner X en V (pila: push)Determinar todos los vértices adyacentes a XSi en estos vértices no se encuentra el vértice meta

• Colocarlos en P (pila: push)

• Si se encontró el vértice meta ⇒ ÉXITO• De lo contrario ⇒ FRACASO


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• BÚSQUEDA EN PROFUNDIDAD :Ejemplo 1:


V = {∅}

P = { 1 }

Ruta de 1 a 12

LP = 10

6

5

2

43

7

89

10

11

12

1

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EJEMPLOS DE BÚSQUEDA EN AMPLITUD Y PROFUNDIDAD

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PROBLEMA DEL PUZZLE-8

3 2 14 5 6

8 7

1 2 387

46 5

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321 4

568

7

1 2 387

46 5

ESTADO INICIAL ESTADO FINAL

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321 4

56

8

7

1 2 387

46 5

ESTADO INICIAL ESTADO FINAL

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