Unidad 8 Funiones16 - WordPress.com...1. Representar e interpretar una función y sus distintos...

Curso

2011-

2012

2º ESO

UNIDAD 8: FUNCIONES Departamento de Matemáticas IES Fray Bartolomé de las Casas (Morón)

UNIDAD 8: Funciones Curso

2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

2

OBJETIVOS CONTENIDOS PROCEDIMIENTOS 1. Conocer qué es una función y

cómo expresarla. 2. Reconocer las variables

dependiente e independiente de una función.

3. Analizar el crecimiento y decrecimiento de una función.

4. Obtener los máximos y mínimos relativos de una función.

5. Obtener los puntos de corte de una gráfica de una función con los ejes de coordenadas.

6. Reconocer y representar funciones lineales, afines y constantes y funciones de proporcionalidad inversa.

7. Identificar la pendiente de una recta.

8. Utilizar las funciones para representar y resolver problemas de la vida cotidiana.

• Funciones: tablas, gráficas y expresiones algebraicas.

• Características básicas de una función: cortes con los ejes, crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos.

• Funciones lineales, afines y constantes.

• Pendiente de una recta.

• Funciones de proporcionalidad inversa

• Representación de una función en sus distintas opciones.

• Interpretación de una gráfica. Posible identificación de una gráfica con una función.

• Cálculo de la imagen de un valor de la variable independiente.

• Obtención de las características básicas de una función.

• Representación de funciones lineales, afines y constantes y de proporcionalidad inversa.

• Obtención de la pendiente de una recta.

• Obtención de la ecuación de una función lineal, afín, constante o de

proporcionalidad inversa.

CRITERIOS DE EVALUACIÓN 1. Representar e interpretar una función y sus distintos elementos. 2. Estudiar las características básicas de una función: puntos de corte, intervalos de crecimiento y decrecimiento,

máximos y mínimos relativos. 3. Identificar una función lineal, afín, constante o de proporcionalidad inversa. 4. Obtener la expresión algebraica, mediante tablas y gráfica, de una función lineal, afín, constante o de

proporcionalidad inversa. 5. Hallar la pendiente de una recta y la ordenada en el origen. 6. Extraer toda la información de una gráfica que se corresponda a una situación real. 7. Expresar mediante una función una situación de la vida cotidiana

INTRODUCCIÓN

Lucía llega a casa de Tomás y lo encuentra escribiendo en un bloc.

No me puedo creer que estés haciendo deberes-exclama.

- Claro que no- replica él-. Estoy preparando una partida de barquitos. ¿Quieres jugar?

- Se me ocurre algo más divertido: voy a explicarte las coordenadas cartesianas.

- ¿Qué tiene que ver eso con los barquitos?

- -Mucho. En esta cuadrícula- dice Lucía cogiendo el boli de Tomás y marcando un cuadradito- a cada casilla le

corresponde una letra y un número. Por ejemplo, ésta es la casilla E3, porque está en la columna E y en la fila 3.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

A B C D E F G H I J


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

3

COORDENADAS CARTESIANAS

De la misma manera podemos decir que las coordenadas de los puntos dibujados son:

El O (0,0) es el origen de coordenadas

1. Escribe las coordenadas de los puntos señalados:

2. Escribe las coordenadas de los puntos señalados:


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

4

3. Señala en la gráfica siguiente los puntos que se citan a continuación: A

OBJETIVO 1 Y 2

• Una función es una relación entre dos magnitudes de manera que a cada valor

( variable independiente, ) de la primera le corresponde un único valor de la

segunda ( variable dependiente, ).

• Una función se puede expresar mediante:

a) Una tabla de valores

b) Una regla o enunciado

c) Una expresión analítica

• La expresión analítica de una función es una expresión algebraica que relaciona la

variable dependiente con la variable dependiente.

Ejemplo 1: La siguiente tabla no corresponde una función, ya que el valor 3 de la variable

independiente le corresponde dos valores distintos de la variable dependiente.

1 2

2 0

3 4

3 5

4 2

Ejemplo 2: Escribe la expresión algebraica de la función dada por el enunciado siguiente:

“A cada número le corresponde el resultado de sumar tres unidades al doble de su valor”

4. Escribe la expresión algebraica de cada función dada por su enunciado:

• A cada número se le asigna el resultado de elevarlo al cuadrado y sumarle tres

unidades:


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

5

• A cada valor se le asigna el perímetro de un triángulo equilátero de lado

•••• A cada valor se le asigna el volumen del cubo de lado :

•••• A cada valor le corresponde el área del rectángulo de base y de altura tres

unidades más que la base:

• Cálculo de la imagen de un valor de la variable independiente Ejemplo:

5. Completa, en cada caso, la tabla de valores de cada una de las siguientes

funciones:

a) c)

1

2

3

4

5

b) d)

0

1

2

3

4

1

2

0

-1

-2

-2

-1

0

1

2


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

6

6. A partir de la expresión analítica de la función dada y conociendo un valor de ,

calcula el correspondiente valor de :

a)

b)

c)

d)

7. Representa los puntos, para los valores indicados, de las siguientes funciones:

a)

Punto

0 1

-1

2

-2

b)

Punto

-3

-2

-1

1

2

• Cálculo del valor de la variable independiente, conociendo la imagen(variable dependiente)

Ejemplo:


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

7

c)

Punto

-2

-1

0

1

2

8. Completa las siguientes tablas de valores correspondientes a las funciones

representadas en las gráficas:

a)

b)

c)

1 2 4 6 8


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

8

d)

Nota: Datos de la parábola de color rojo.

L a curva que une los infinitos puntos que se obtendrían al asignar a x todos los valores

posibles constituye la gráfica de la función.


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

9

OBJETIVOS 3 Y 4

La siguiente gráfica representa el consumo en kW/h de energía eléctrica en una vivienda a

lo largo del año.

0

50

100

150

200

Febrero Abril Junio Agosto Octubre Diciembre

La gráfica tiene las siguientes características:

• Es creciente entre junio y agosto, y entre octubre y diciembre.

• Es decreciente entre febrero y junio, y entre agosto y octubre.

• En agosto tiene un máximo relativo, de valor 120 kW/h, donde pasa de creciente a

decreciente.

• La función tiene dos mínimos relativo donde pasa de decreciente a creciente: en

junio, de valor 80 kW/h, y en octubre, de 100 kW/h.

9. En la siguiente gráfica se muestra el número de personas que se encuentran a lo

largo de un día en un museo desde la hora de apertura hasta la hora de cierre.

Estudia el crecimiento de la función e indica en qué puntos hay máximos y

mínimos.

0

100

200

300

400

9 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Creciente:

Decreciente:

Máximos:

Mínimos:


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

10

10. La siguiente tabla muestra el número de oyentes que tiene una determinada

emisora de radio a lo largo de un año:

a) Traza en unos ejes de coordenadas un gráfico que refleje la información de la tabla.

b) Observa la gráfica representada y contesta a las siguientes preguntas:

b1) ¿En qué mes el número de oyentes de la radio fue máximo? ¿Y mínimo?

Meses Nº de oyentes

(en miles)

Enero 100

Febrero 85

Marzo 50

Abril 45

Mayo 45

Junio 45

Julio 20

Agosto 15

Septiembre 25

Octubre 45

Noviembre 60

Diciembre 80


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

11

b2) ¿Entre qué meses creció el número de oyentes?

b3) ¿En qué meses decreció?

b4) ¿Hubo algún periodo en el que el número de oyentes se mantuviera?

c) Observa el gráfico y contesta a las siguientes preguntas:

c1) ¿En algún mes se superaron los 50 000 oyentes? ¿En cuáles?

c2) ¿Hubo algún mes con menos de 20 000 oyentes? ¿Cuál?

d) Las emisoras reciben una ayuda pública si, como mínimo, seis meses al año tienen

más de 45 000 oyentes. ¿Recibirá esta emisora la ayuda?

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

OBJETIVO 5

Cuando la gráfica de una función tiene

corta a los ejes de coordenadas.

• Los puntos de corte con el

coordenada es 0. Son puntos del tipo

• Los puntos de corte con el eje Y

coordenada es 0. Son puntos del tipo

Ejemplo1 : Puntos de corte con los ejes

Ejemplo 2:

Averigua los puntos de corte de la función

Con el eje X: Hacemos � � 0

Con el eje Y: Hacemos � � 0

Ejemplo 3:

Averigua los puntos de corte de la función

Con el eje X: Hacemos �

⇒��, �, ��, �

Con el eje Y: Hacemos � � 0

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

Cuando la gráfica de una función tiene puntos que están sobre los ejes, se dice que la función

corta a los ejes de coordenadas.

puntos de corte con el eje X son los puntos de la función cuya segunda

Son puntos del tipo � , �.

puntos de corte con el eje Y son los puntos de la función cuya primera

Son puntos del tipo �, ��

con los ejes de las funciones dibujadas

Averigua los puntos de corte de la función � � 2� � 4 con los ejes de coordenadas

⇒ 0 � 2� � 4 ⇒ 4 � 2� ⇒�� ⇒ �

⇒ � � 2 ∙ 0 � 4 ⇒ � � 4 ⇒ �, ��

Averigua los puntos de corte de la función � � �� 4 con los ejes de coordenadas

� � 0 ⇒ 0 � �� 4 ⇒ 4 � �� ⇒�√4 �

⇒ � � 0 � 4 ⇒ � � 4 ⇒ �, ��

�� 1

Con el eje Y: �0,1�

b)� � �� 4� � 5

Co el eje Y: �0,5�

Con el eje X: ��1,0�, �5,0�

c)� � ��

�� 2� � 3

Con el eje Y: �0,3�

Con el eje X: �2,0��6,0�


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

12

, se dice que la función

son los puntos de la función cuya segunda

son los puntos de la función cuya primera

con los ejes de coordenadas

⇒ � � 2 ⇒ ��, �

con los ejes de coordenadas

� � ⇒ � � �2


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

13

11. Calcula los puntos de corte con los ejes de las siguientes funciones:

a) � � ! � �

b) � � �! � "

c) � � !� � #

d) � � �!� � �

e) � � 4�� 64

f) � � $�� 5

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

OBJETIVO 6

• Una función lineal magnitudes y tiene por expresión analítica

• La representación de una gráfica de una función lineal es una

origen de coordenadas

• El coeficiente, % recibe el nombre de

dicha recta.

• La función afín es una función que se describe con la expresión analítica

• La gráfica de una función afín es una

• El coeficiente % recibe el nombre de pendiente de la recta y mide la inclinación de la

misma y & es la ordenada en

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

es la expresión de una proporcionalidad directamagnitudes y tiene por expresión analítica � � % ∙ !�porejemplo�La representación de una gráfica de una función lineal es una recta que pasa por elorigen de coordenadas.

recibe el nombre de pendiente de la recta, y mide la inclinación de

% . 0 % /

es una función que se describe con la expresión analítica

� � % ∙ ! � & de una función afín es una recta que corta al eje y en el punto

recibe el nombre de pendiente de la recta y mide la inclinación de la

es la ordenada en el origen. m>0

m<0


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

14

proporcionalidad directa entre dos

� 2��. recta que pasa por el

y mide la inclinación de

/ 0

es una función que se describe con la expresión analítica:

recta que corta al eje y en el punto �, &� recibe el nombre de pendiente de la recta y mide la inclinación de la

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

12. Construye una tabla de val

funciones:

a) � � � � 4

b) � � �2� � 1

c) � � �� 3

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

Construye una tabla de valores (basta con dos) y representa las siguientes


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

15

y representa las siguientes

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

• Una función constantesiempre el mismo, sea cual sea el valor de la va

una función constante es del tipo:

donde � es la variable dependiente, y

Ejemplo: Una bicicleta circula durante 5 minutos a una velocidad constante de

expresión de la función que indica la velocidad de ese vehículo en función del tiempo durante

esos 5 min y dibuja si gráfica.

• Su gráfica por tanto es una recta horizontal, de pendiente 0.

Tiempo

(min)

0

1

2

3’5

Velocidad

(Km/h)

4

4

4

4

• Una función en la que la

variable independiente

• Su expresión algebraica es del t

no puede valer 0, � la variable dependiente, y

0, y que coincide con

• Su gráfica es una curva denominada

coordenadas y que no corta a los ejes.

a) Para k>0, la hipérbola es decrecientes y ocupa el primer y tercer cuadrante.

b) Para k<0, la hipérbola es crecientes y ocupan el segun

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

función constante es aquella en la que el valor de la variable dependiente es

siempre el mismo, sea cual sea el valor de la variable independiente. La expresión de

una función constante es del tipo:

� � es la variable dependiente, y �, un número conocido.

durante 5 minutos a una velocidad constante de 401expresión de la función que indica la velocidad de ese vehículo en función del tiempo durante

es una recta horizontal, de pendiente 0.

3’5

5

4

4

Una función en la que la variable dependiente es inversamente proporcionalvariable independiente se denomina función de proporcionalidad inversa

Su expresión algebraica es del tipo � � 2!

, donde � es la variable independiente

la variable dependiente, y 2es un número conocido distinto de

la constante de proporcionalidad inversa �� ∙ !

Su gráfica es una curva denominada hipérbola, que no pasa por el origen de

coordenadas y que no corta a los ejes.

decrecientes y ocupa el primer y tercer cuadrante.

crecientes y ocupan el segundo y cuarto cuadrante.


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

16

es aquella en la que el valor de la variable dependiente es

riable independiente. La expresión de

01/4. Escribe la

expresión de la función que indica la velocidad de ese vehículo en función del tiempo durante

inversamente proporcional a la

función de proporcionalidad inversa

es la variable independiente, que

es un número conocido distinto de

! � 2�.

que no pasa por el origen de

decrecientes y ocupa el primer y tercer cuadrante.

do y cuarto cuadrante.

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

OBJETIVO 7

13. Representa gráficamente las siguientes funciones en un mismo sistema de ejes

coordenados y comprueba que se trata de rectas paralelas:

�� 2� � 5

5�� 2�

6�� 2� � 6

• Las gráficas de las funciones afines o lineales con la

paralelas.

• Dados dos puntos cualesquiera de la gráfica de una función lineal o afín,

7�!8, �8�, 9:!�,��;,de la manera siguiente:

14. Dibuja las gráficas de las funciones afines que pasan por los puntos dados, y

calcula en cada caso su pendiente:

��<�3,1�, =�2, 6�m �

5�<�4,�2�, =�5,�6�m �

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

Representa gráficamente las siguientes funciones en un mismo sistema de ejes

coordenados y comprueba que se trata de rectas paralelas:

de las funciones afines o lineales con la misma pendiente

Dados dos puntos cualesquiera de la gráfica de una función lineal o afín,

; la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos se calcula

de la manera siguiente: % � ��>�8!�>!8

uja las gráficas de las funciones afines que pasan por los puntos dados, y

calcula en cada caso su pendiente:

�


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

17

Representa gráficamente las siguientes funciones en un mismo sistema de ejes

misma pendiente �%� son rectas

Dados dos puntos cualesquiera de la gráfica de una función lineal o afín,

de la recta que pasa por esos dos puntos se calcula

uja las gráficas de las funciones afines que pasan por los puntos dados, y

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

OBJETIVO 8

15. Representa gráficamente la función que relaciona el área de un triángulo

de altura con la medida de su base:

16. TARIFAS Y TELÉFONOS

Una compañía de teléfono cobra 0’15

minuto

a) Determina la expresión algebraica

el coste y t para los minutos de duración de las llamadas. Indica cuál es la variable

dependiente y cuál, la independiente.

b) Representa, mediante una tabla, el coste de las llamadas si la duración d

de 1, 3, 5, 10, 15, 20 y 30 minutos.

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

Representa gráficamente la función que relaciona el área de un triángulo

de altura con la medida de su base:

TARIFAS Y TELÉFONOS

Una compañía de teléfono cobra 0’15 € por establecimiento de llamada y 0’06 € por cada

Determina la expresión algebraica de esta función utilizando como variable


dependiente y cuál, la independiente.

Representa, mediante una tabla, el coste de las llamadas si la duración d

de 1, 3, 5, 10, 15, 20 y 30 minutos.


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

18

Representa gráficamente la función que relaciona el área de un triángulo de 4 cm

€ por establecimiento de llamada y 0’06 € por cada

de esta función utilizando como variable C y t: C para


Representa, mediante una tabla, el coste de las llamadas si la duración de las mismas es

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

c) Representa gráficamente la función con los datos calculados en el apartado anterior.

Emplea como unidad de tiempo el minuto y como unidad de coste el céntimo de euro.

d) En el mercado aparece otra compañía de teléfonos cuya función de coste es la siguiente:

?� � 0@25 � 0@04A, en la que

llamada. ¿Será más beneficioso para el consumidor cambiarse de compañ

misma?

Nota:

Traza, sobre los ejes de coordenadas del apartado anterior, la gráfica correspondiente a

justificar la respuesta.

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

Representa gráficamente la función con los datos calculados en el apartado anterior.


n el mercado aparece otra compañía de teléfonos cuya función de coste es la siguiente:

, en la que C representa el coste y t, los minutos de duración de la

llamada. ¿Será más beneficioso para el consumidor cambiarse de compañ

Traza, sobre los ejes de coordenadas del apartado anterior, la gráfica correspondiente a esta nueva función para


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

19

Representa gráficamente la función con los datos calculados en el apartado anterior.


n el mercado aparece otra compañía de teléfonos cuya función de coste es la siguiente:

, los minutos de duración de la

llamada. ¿Será más beneficioso para el consumidor cambiarse de compañía o seguir en la

esta nueva función para

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

17. La siguiente tabla relaciona el tiempo que tarda un grifo en llena

según sea su caudal:

Caudal (L/min) 4 Tiempo (min)

a) Completa la tabla.

b) Dibuja la gráfica de la función

a) ¿Cuál es la capacidad del bidón?

18. Una familia de 5 miembros

las condiciones establecidas son, por un lado, el pago de una cuota fija de 12

por el servicio y, por otro, el pago de 5

a) Haz una tabla donde refleje lo que paga la familia si c

b) Escribe la expresión algebraica que relaciona los

agua.

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

La siguiente tabla relaciona el tiempo que tarda un grifo en llena

según sea su caudal:

5 8 10

5

Dibuja la gráfica de la función tiempo-caudal.

¿Cuál es la capacidad del bidón?

DE LO DOMÉSTICO

Una familia de 5 miembros tiene un contrato con la compañía de agua en el que

las condiciones establecidas son, por un lado, el pago de una cuota fija de 12

por el servicio y, por otro, el pago de 5 € por % consumido.

Haz una tabla donde refleje lo que paga la familia si consume 1, 2, 3, 4 y 5

Escribe la expresión algebraica que relaciona los 1$ consumidos con el coste del


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

20

La siguiente tabla relaciona el tiempo que tarda un grifo en llenar un bidón

16

tiene un contrato con la compañía de agua en el que

las condiciones establecidas son, por un lado, el pago de una cuota fija de 12 €

onsume 1, 2, 3, 4 y 51$.

consumidos con el coste del

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

c) Representa gráficamente la función.

d) ¿Cuál es la pendiente de la función? ¿Qué no

e) ¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿Cuál es su significado?

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

Representa gráficamente la función.

¿Cuál es la pendiente de la función? ¿Qué nos indica su valor?

¿Cuál es la ordenada en el origen? ¿Cuál es su significado?


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

21

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

19. Todos los fines deque para poder tellas 5 horas por colabora, ¿tardar

a) Haz una tabla donde

las tareas del hogar, e

b) Escribe la expresión a

personas que colabor

c) Representa gráficame

d) ¿Son directamente pr

UNIDAD 8: Funciones

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

e semana al padre le toca realizar las tareas deltener la tarde del sábado y del domingo libres de la mañana cada uno de los dos días. Si el resto drá menos horas?

se refleje el número de horas que se han de emp

en función del número de miembros de la familia

algebraica que relaciona el tiempo empleado y el

ran.

ente la función.

roporcionales las dos magnitudes?


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

22

l hogar. Se sabe ebe dedicar e de la familia

plear para realizar

a que colaboren.

l número de


2011-

2012

Nombre: _________________________________________________________ Curso: ______

23

EVOLUCIÓN DEL IPC

Este gráfico se utiliza para representar cómo va variando el Índice de Precios al Consumo a lo largo de los meses.

Así podemos observar en qué meses aumentan los precios o disminuyen, cómo es la

evolución a corto o largo plazo,...

Unidad 8 Funiones16 - WordPress.com...1. Representar e interpretar una función y sus distintos...

Documents

Transcript of Unidad 8 Funiones16 - WordPress.com...1. Representar e interpretar una función y sus distintos...