•  LEYES DE KEPLER (1609) •  LEY DE GRAVITACION DE NEWTON (1687) •  CAMPO GRAVITACIONAL •  APLICACIONES

UNIDAD: GRAVITACIÓN

LAS LEYES DE KEPLER DESCRIBEN DE MANERA CINEMÁTICA EL MOVIMIENTO DE LOS PLANETAS

LEYES DE KEPLER (Johannes Kepler 1571-1630)

•  Matemático y astrónomo alemán

•  Fue colaborador de Tycho Brahe, de quien obtuvo las mediciones que le permitieron plantear sus leyes del movimiento planetario

•  En 1609 publica las dos primeras leyes, diez años después publica la tercera Ley

1º LEY DE KEPLER (LEY DE LAS ÓRBITAS)

Todo planeta gira alrededor del Sol, describiendo una orbita elíptica, en la cual el Sol ocupa uno de los focos

ELEMENTOS Y CARACTERÍSTICAS DE UNA ELIPSE

Excentricidad: Número

comprendido entre 0 y 1

2º LEY DE KEPLER (LEY DE LAS ÁREAS)

MAYOR RAPIDEZ

MENOR RAPIDEZ

Área 1 = Área 2

La línea que une al planeta con el Sol, describe áreas iguales en tiempos iguales

L = Iω

L = mr2⎡⎣ ⎤⎦ ⋅

vr

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

L =mvr

v1 ⋅r1 = v2 ⋅r2

Simplificando r

La masa no cambia

CONSERVACIÓN DEL MOMENTO

ANGULAR

Planeta Período de revolución en [años]

Radio orbital [UA]

T2/r3 [año]2/[UA]3

Mercurio 0,241 0,487 1,002

Venus 0,615 0,723 1,000

Tierra 1 1 1

Marte 1,8881 1,524 0,999

Júpiter 11,86 5,204 0,997

Saturno 29,6 9,58 0,996

Urano 83,7 19,14 1,000

Neptuno 165,4 30,2 0,993

Plutón 248 39,4 1,004

«El cuadrado del periodo de revolución de los planetas en torno al Sol, es directamente proporcional al cubo del radio medio de la orbita»

T2

r3=K

T12

r13

=T2

2

r23

Periodo

Radio

3º LEY DE KEPLER (LEY DE LOS PERÍODOS)

2. El valor de la constante depende de las unidades de medida

Observaciones: 1.  El radio medio es el promedio

del mayor y menor radio de la orbita

EJEMPLOS 1.- a) El periodo orbital de un planeta X es de 64 años. Determine el radio de su orbita b) ¿Entre que planetas orbitaria el planeta X? 2.- Encuentre la distancia entre Júpiter y el Sol, sabiendo que el período de rotación de Júpiter es de 12 años terrestres 3.- Dos planetas P1 y P2 orbitan al Sol; el primero tarda 2920 días en recorrer su orbita y el segundo tarda 365 días. ¿Cuál es la relación entre sus orbitas r1/r2?

ACTIVIDADES 1.- a)  Imagine que alguien le dice que se descubrió un pequeño planeta

con un periodo T= 8 años, y cuya distancia al Sol es R= 4 UA Si esto fuera verdad, ¿confirmarían tales datos la tercera ley de Kepler?

b) ¿Podría existir un planeta a una distancia R= 10 UA del Sol, y con un periodo T= 10 años? ¿Por qué? 2.- a)  Suponga que se haya descubierto un pequeño planeta X, cuya

distancia al Sol fuese 9 UA Usando la tercera ley de Kepler determina cual es el periodo de revolución de este planeta

b) consulta la tabla de la tercera ley de Kepler y determina entre que planetas se encontraría la órbita de este planeta

3.- Si la distancia del Sol a un planeta fuera de 8 UA. ¿Cuántos años necesitaría dicho planeta para dar una vuelta al Sol? 4.- El periodo de rotación de Marte es aproximadamente 1,88 años terrestres. Calcula la distancia entre Marte y el Sol en UA 5.- El periodo de revolución de Saturno es de 27 años terrestres. Calcular la distancia máxima que puede existir entre Saturno y la Tierra 6.- Dos satélites S1 y S2 orbitan al mismo planeta; el primero tarda 216 horas en recorrer su orbita y el segundo tarda 27 horas. ¿Cuál es la relación entre sus orbitas r1/r2? 7.- Dos satélites S1 y S2 orbitan al mismo planeta en una trayectoria circular; si el radio de la orbita de S1 es el cuádruple del radio de la orbita de S2 ¿Qué relación existe entre sus periodos T1/T2?

«Dos cuerpos cualquiera, en el universo, se atraen con una fuerza que es directamente proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellos»

LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL DE NEWTON (1687)

F = G

m1 ⋅m2r2

m1 y m2 Masas en [Kg] r distancia entre las masas en [m] G Constante de gravitación universal o constante

de Cavendish 6,67×10-11 [N·m2/Kg2] F Fuerza de atracción gravitacional en [N]

CARACTERÍSTICAS

Proporcional al producto de las masas

La fuerza de atracción gravitacional

Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre

las masas

Obedece a la 3º ley de Newton

Inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre las masas

r

F

F4

2r

F

F4

3r

F9

F9

Proporcional al producto de las masas

m1 m2 FF

r

6F 6F3m1 2m2

r

m1 3m2 F12 F21

F12 = G

m13m2r

F21 = G3m2m1

r

•  Ambas fuerzas son de igual magnitud y dirección F21= - F12 •  Tienen sentido opuesto •  Actúan sobre cuerpos distintos •  son simultáneas •  Actúan sobre la recta que une ambos cuerpos

r

F21= - F12

Obedece a la 3º ley de Newton

Es valida para pequeñas y grandes masas

En caso de que simultáneamente actúen dos o mas fuerzas sobre un cuerpo; estas se determinan individualmente y luego se determina vectorialmente la fuerza resultante

A B C

FAB

A B C

FCA

FBA

FCB

•  Determina la fuerza neta sobre B

•  Determina la fuerza neta sobre A

Debido el pequeño valor de la constante, la atracción gravitacional, es imperceptible para pequeñas masas, se hace notorio para grandes masas

CONSTANTE GRAVITACIONAL (G) (Henry Cavendish 1789)

EJEMPLOS 1.- Un niño A de 50 Kg se encuentrara a 1,2 m de distancia de un niño B de masa 40 Kg. Determina la fuerza de atracción gravitacional entre ambos niños 2.- Dos cuerpos de masa m se encuentran a una distancia r. ¿Qué ocurre con la fuerza de atracción gravitacional si: a)  Ambos duplican su masa b) Si la distancia entre ambos se triplica c) Si un objeto cuadruplica su masa y la distancia entre ellos se reduce a la mitad 2.- Según la figura, determina la fuerza neta sobre el cuerpo B

La fuerza de gravedad se considera una fuerza de acción a distancia

Actúa a través de un campo gravitatorio

CAMPO GRAVITACIONAL (g)

•  El campo de gravedad se representa mediante «líneas de campo» •  Donde las líneas están mas juntas el campo es más intenso •  Las líneas, indican la dirección de la fuerza gravitacional

EL VECTOR CAMPO GRAVITACIONAL

MAGNITUD Se determina con una

masa de prueba

!g= Fuerza de gravedad

masa de prueba

!g

!g = GM

r2

DIRECCIÓN Y SENTIDO

La dirección es sobre la recta que une la masa con el centro del planeta y el sentido hacia el centro del planeta

•  Al analizar la ecuación se observa que «m» no aparece; es decir, el campo gravitacional no depende de «m»

•  En la ecuación; G y M son constantes, por lo tanto, El campo gravitacional está en función de r, y es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia

•  En la ecuación r =R+h. Donde R: radio del plantea y h: altura respecto a la superficie del plantea

Si se calcula el campo gravitacional en la superficie del planeta h=0, por lo tanto r=R

!g = GM

r2ANÁLISIS DE g

EJEMPLO Un satélite de 500 Kg se encuentra en su órbita a una altura de 1780 Km respecto a la superficie terrestre a)  ¿Cuál es la aceleración de gravedad en dicha altura? b)  ¿Cuánto pesa el satélite en dicha altura? c)  ¿Cuánto pesa en la superficie terrestre? d)  Si la Tierra duplica su masa y reduce su radio a la mitad ¿Cuál

sería la aceleración de gravedad en la superficie terrestre? ¿Cuánto pesaría el satélite?

Ejemplos: 1.- a) calcula g en la superficie terrestre b ) Calcula el campo gravitacional en un punto situado a 3600 Km de la superficie terrestre. ¿Cuánto pesa una masa de 50 Kg en dicho punto? 2.- A cierta altura sobre la Tierra un cuerpo de 500 Kg tiene un peso de 400 N. ¿A qué altura, con respecto a la superficie terrestre se encuentra el cuerpo? 3.-La masa de Júpiter es casi 300 veces mayor que la de la Tierra, y su radio es casi 10 veces mayor que el de la Tierra: a) cual es el valor aproximado del campo gravitacional de Júpiter b) ¿Cuánto pesa en Júpiter un cuerpo que en la Tierra pesa 100 N? Radio terrestre: 6400 Km Masa de la Tierra: 5,98x1024 Kg

EJERCICIOS «Campo gravitacional» 1.- Un cuerpo se encuentra a 1600 Km sobre la superficie terrestre. ¿Qué valor tiene el campo gravitacional en dicho lugar y cuanto pesa una masa de 30 Kg en dicha altura? 2.- A cierta altura sobre la Tierra un cuerpo de 500 Kg tiene un peso de 400 N. ¿A qué altura, con respecto a la superficie terrestre se encuentra el cuerpo? 3.- Un planeta posee cuatro veces la masa de la Tierra y cuatro veces el radio terrestre. Determina «g» en dicho planeta. ¿Cuánto pesa una masa de 3 Kg en dicho planeta? 4.-¿Cuál es el radio de un planeta que tiene el doble de la masa de Urano, si en su superficie, el peso de un chancho de 5 toneladas es 50025 N

APLICACIÓN MOVIMIENTO DE SATELITES EJEMPLO Determina ¿Qué velocidad posee un satélite que se encuentra orbitando a la Tierra a una altura de 5600 Km respecto a la superficie?

Fuerza centrípeta = Fuerza de gravedad

RAPIDEZ DE ESCAPE !  Rapidez mínima que debe tener un cuerpo para vencer la

gravedad y escapar de un planeta