264 Unidad 111/LEYES DE NEWTON

7.1 Introducción

•!• La astronomía es la más antigua de las cien­cias. La cantidad y precisión de los datos astro­nómicos conseguidos desde épocas muy remotas, son realmente sorprendentes. Esto se debe, probablemente, a la influencia que los fe­nómenos celestes ejercían en la vida de los pueblos más antiguos. Así, la necesidad de establecer las épocas de siembra y de cosecha, y su relación con las posiciones del Sol, de la Luna y de las estrellas, llevó a los astrónomos de la Antigüedad a recabar un gran número de datos relacionados con los movimientos de tales astros.

•!• El modelo antiguo de los griegos. Los primeros intentos para explicar el movimiento de los cuerpos celestes se deben a los griegos del siglo rv a. de C. Al tratar de reproducir los movimientos de dichos cuerpos, los astróno­mos griegos establecieron un modelo en el cual la Tierra se situaba en el centro del Uni­ver.5o_(teoría geocéntrica), y los planetas, así., como el Sol, la Luna y las estrellas, se hallaban incrustados en esferas que giraban alrededor de la Tierra. Con este modelo se pudieron describir con aproximación razonable, los mo­vimientos de los astros en el cielo. Al intentar ajustar mejor su modelo a los hechos obser­vados, los griegos tuvieron que valerse de un gran número de esferas para explicar el mo­vimiento de un solo planeta. Esto convirtió el universo griego antiguo en algo muy compli­cado, y durante muchos años se llevaron a cabo varios intentos para conseguir un modelo más sencillo.

•!• El sistema geocéntrico de Tolomeo. De los sistemas ideados para la simplificación del antiguo modelo griego, el que obtuvo mayor éxito fue la teoría geocéntrica del gran astróno­mo Tolomeo, quien vivió en Alejandría en el siglo n d. de C., y era de origen griego.

Tolomeo suponía que los planetas se movían en círculos cuyos centros giraban alrededor de la Tierra (Fig. 7-1). Además de ser éste un modelo más sencillo que el primitivo de los

~ÚPI~R \ ~LUNA ffi)

MERCURIO~ VENUST

\~~~j~E. ~SATURNO

FIGURA 7-1 Diagrama simplificado del sistema geo­céntrico de Tolomeo.

griegos, logró un mejor ajuste a los movimientos que se observaban en el cielo.

Debido a la razonable exactitud de las previ­siones que se hacían con el sistema de Tolomeo, y como su teoría (que suponía a la Tierra en el centro del Universo) se adaptaba muy bien a las creencias religiosas de la Edad Media, sus ideas p~rduiaron prácticamente durante trece siglos.

, Pero las sucesivas modificaciones introduci­das en tal modelo para que se adaptara a las observaciones que se fueron acumulando du­rante ese largo periodo, acabaron por convertir el sistema tolomeico en otro también muy com­plicado.

•!• El sistema heliocéntrico de Copérnico. El astrónomo polaco Nicolás Copérnico presen­tó en el siglo XVI, un modelo más sencillo para sustituir el sistema de Tolomeo. Siendo un hom­bre con una profunda fe religiosa, Copérnico creía que "el Universo debería ser más sencillo, pues Dios no haría un mundo tan complicado como el de Tolomeo".

En el modelo de Copérnico, el Sol está en reposo, y los planetas, incluyendo la Tierra, giran alrededor de él en órbitas circulares (teoría heliocéntrica). Esta idea ya había sido propuest.'l por algunos filósofos de la Grecia antigua. Con su teoría heliocéntrica, Copérnico lograba una descripción de los movimientos celestes tan satisfactoria como la que se obtenía con el sistema de Tolomeo, y con la ventaja de ser un modelo mucho más sencillo que el geocéntrico.

Capítulo ?/Gravitación universal 265

Nicolás Copérnico (1473-15 J.3). Nacido en Polonia, además de ser un gran astrón0mo y matemático, desta­có como un respetado sacerdc. te, jurista, administrador, diplomático, médico y economista. Realizó parte de sus estudios en Italia, donde aprendió el griego, con lo cual pudo leer en el original las obras de los grandes filósofos y astrónomos de la Antigüedad. En su famoso libro De Revolutionibus Orbium Cóe!estium. (Sobre las revolucio­nes de las esferas celestes) presentaba la teoría helio­céntrica, que daba una visión completamente nueva del Universo. Esta obra no pudo publicarse sino hasta 1543, llegando el primer ejemplar a manos de Copérnico cuan­do ya se encontraba en su lecho de muerte.

Pero un sistema en el que el Sol se conside­raba inmóvil, y la Tierra se convettía en un planeta en movimiento como todos los demás, iba en contra ele la filosofía aristotélica y las convicciones religiosas de la época. En virtud

EJERCICIOS

Antes de pasar al estudio de la próxima sección, resu.elm las preguntas siguientes, consultando el texto siempre que sea necesario.

l. Describa en forma breve el modelo del Universo según los griegos ele la remota Antigüedad.

2. a) ¿Qué entiende usted por "sistema geocéntrico"? b) ¿Cuáles son los modelos geocéntricos del Uni­

verso que presentamos en esta sección?

7.2 Leyes de l(epler

•!• Kepler y las observaciones de Tycho Brahe. Algunos años después de la muerte ele Copémico, el astrónomo danés Tycho Brahe comenzó a realizar un importante trabajo desti­nado a obtener mediciones más precisas de las posiciones de los cuerpos celestes. En su obser-

ele ello, Copérnico tuvo gran renuencia a pu­blicar sus ideas. El libro en el cual expuso su teoría causó graneles polémicas, y terminó por ser colocado en la lista de los libros prohibidos por la Iglesia.

3. Cite dos causas por las cuales el sistema de Tolomeo fuera aceptado por tanto tiempo.

4. a) ¿Qué es un "sistema heliocéntrico"? b) ¿Cuál fue la razón alegada por Copérnico

(citada en esta sección) para presentar su modelo en sustitución del de Tolomeo?

e) ¿Por qué las ideas ele Copérnico no fueron bien aceptadas en su época?

vatorio, muy bien equipado para su época, Tycho Brahe llevó a cabo durante casi 20 años, rigurosas observaciones de los movimientos pla­netarios, comprobando que el sistema de Co­pérnico no se adapt.'!ba satisfactoriamente a tales mediciones.

Los datos obtenidos por Brahe, cuidadosa­mente tabulados, serían la base del trabajo que

:l66 Unidad 11//LEYES DE NEWTON

Johannes Kepler (1571-1630). Gran astrónomo ale­mán, publicó su primera obra Mysterium Cosmographi­cum en 1596, donde se manifiesta partidario de las ideas heliocéntricas de Copérnico. Sus dos primeras leyes sobre el movimiento de los planetas fueron divul­gadas con la publicación de su libro Astronomía Nova, en 1609, cuando ya se encontraba trabajando en Praga. No fue sino hasta 1 O años después cuando dio a cono­cer su tercera ley en el libro De Harmonice Mundi,

publicado en 1619.

después ele su muerte, desarrollara su discípulo, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630). Entusiasmado por la sencillez del sistema de Copérnico, Kepler creía en la posibilidad de realizar ciertas correcciones a dicho modelo, a fin de adaptarlo aún más a los movimientos celestes que se observan en realidad. Llevó a cabo su trabajo analizando cuidadosamente, con una gran habilidad matemática y durante casi 17 años, la enorme cantidad ele datos obtenidos por su maestro. El trabajo ele Kepler fue coronado por el éxito, pues logró descubrir las tres leyes del movimiento ele los planetas, lo cual originó el nacimiento de la Mecánica Celeste. A conti­nuación presentamos estas leyes del movimien­

to planetario.

•!• J!>riimera ley de Kepler. La corrección del sistema de Copérnico, buscada por Kepler, se

1 Planeta 1 1

'-.,1;/ 1 ...;;(K-----1-------/ll ~ :

1 1 1

FIGURA 7-2 La órbita de un planeta alrededor del Sol es una elipse, y el astro solar está situado en uno de los tocos de dicha curva.

expresa a través de su primera ley. Sus estudios lo llevaron a concluir que, en realidad, los planetas se mueven alrededor del Sol, pero sus órbitas son elípticas y no circulares, como supo­nía Copérnico. Aclem:ís, Kepler comprobó que el Sol se encuentra situado en uno ele los focos de cada elipse (Fig. 7-2). De manera que:

Prlí~erd :l~ cti<Repl~r: todS .plan~ta .·~tia ·· B.lrededot def soL déscri\Jiench una . órbita ' ·eJÍptii:~, en la cual~! Sol pcupaunb d~IÓsfac~~~ - ,---'- " --:_--':-- _--_,'~· ' -_ -- .---~,·>-::_<, --~~

Cabe destacar que la órbita ele un planeta no es una elipse tan alargada como indica la Figura 7-2. En realidad, las órbitas difieren muy poco de una circunferencia, y realmente es impre­sionante ver cómo las mediciones de Tycho Brahe pudieron ser tan exactas que hicieran posible al genial Kepler descubrir que dichas órbitas en realidad son elipses.

•!• Segunda ley de Kepler. Preocupado por conocer la velocidad ele los planetas, Kepler pudo comprobar que se mueven con más rapi­dez cuando están más cercanos al Sol, y con más lentitud cuando están más alejados de este astro. En la Figura 7-3, por ejemplo, el planeta desarrolla mayor velocidad entre A y B que entre

e y D. Mientras el planeta se mueve desde A hasta

B, la recta o radio focal que une al planeta con d Sol "describe" el área At. Al moverse de e a D, dicha recta "describe" el área A2 (Fig. 7-3). Kepler comprobó que si el tiempo que tarda en

Planeta

B

FIGURA 7-3 La velocidad de un planeta es mayor cuando se encuentra más cerca del Sol.

ir desde A hasta B fuera igual al tiempo nece­sario para ir de e a D, entonces las áreas A¡ y A2 serían iguales. Con base en esto formuló su

segunda ley:

Segunda le_v de Kepler: el radio focal que une a un planeta con el Sol "describe" áreas iguales en tiempos iguales.

•!• Tercera ley de Kepler. Al continuar el estudio de las tablas de datos de Tycho Brahe Kepler buscó establecer una relación entre lo~ periodos de revolución de los planetas y los ra­dios de sus órbitas (para simplificar este estudio,

Capitulo 7 /Gravitación universal

se supondrá que las trayectorias planetarias son Circulares). Después de 10 años d . e mtentarlo Kepler descubrió una relación que se . . ' smtettza en su tercera ley.

Para entender mejor esta ley, analicemos la Tabla 7-1. En la primera columna vemo 1 · sque os penados de revolución de los planetas

alrededor del Sol son muy distintos entre , L . Si.

o mismo sucede con los radios de sus órbita (distancias de los planetas al Sol), presentado: en la segunda columna de la tabla. Pero, por la tercera de ellas nos damos cuenta de que st elevamos a la segunda potencia el periodo ele revolución de cada planeta (T2) y lo divi­dtmos entre el cubo del radio ele su órbita (r3) 1 . 2 '1 ' e coctente T 1 r· tendrá el mismo valor para

cualquier planeta (las pequeñas diferencias que se observan en la tercera columna de la Tabla 7-1 se justifican plenamente por errores experimentales). Este resultado, que es el con­tenido ~e la tercera ley de Kepler, se expresa matematJcamente por

K

donde K es una constante para todos los pla­netas. De esta relación obtenemos T2 = K 3

d . 2 3 r ' es ec!f, T "" r· · Podemos, entonces, enun-ciar la tercera ley ele Kepler de la siguiente manera:

TABLA 71 -

~· ... ···. Periodo de r~VÓ!Í.tción(T) • ... Raclio d:efu órbita (r)

Planeta · ...

. y2¡r3 .. _ ...•

Cenafiós'F . •-·· . . . (~ti l.l.:.ó• .... [en aÓ(l/(u.a.)3}

Mercurio 0.241 0.387 1.002

Venus 0.615 0.723 1.000

Tierra 1.000 1.000 1.000

Marte 1.881 1.524 0.999

Júpiter 11.86 5.204 0.997

Saturno 29.6 9.58 0.996

Urano 83.7 19.14 1.000

Neptuno 165.4 30.2 0.993

Plutón 248 39.4 1.004

'1 u.a. 1 unidad astronómica radio de la órbita terrestre.

268 Unidad 111/LEYES DE NEWTON

•!• Con el trabajo de Kepler, las leyes bási­cas del movimiento de los planetas habían sido descubiertas estableciéndose así las bases de la Mecánica 'celeste. Pero lo que Kepler hizo fue describir este movimiento sin ocuparse de sus causas; en otras palapras, las leyes de Ke-

EJERCICIOS

Antes de pasar al estudio de la próxima sección, resuelva las preguntas siguientes, consultando el texto siempre que sea necesario.

5. ¿Cuál fue la principal fuente de información que permitió a Kepler descubrir sus leyes?

6. Recordando la primera ley de Kepler: . ti) Haga un dibujo que muestre la forma aproxi­

mada de la trayectoria de un planeta cualqu¡e­ra alrededor del Sol. ¿Cómo se denomina esta curva?

b) ¿Está situado el Sol en el centro de la órbita?

7. La figura de este ejercicio representa la trayectoria de Mercurio alrededor del Sol. Sabiendo que la velocidad de este planeta es máxima al pasar por E, ¿cuál de los puntos, B, C o D representa mejor la posición que el Sol ocupa?

_ .::_-r- -~_Mercurio . ...,...-- i ~

// i " / 1 \

1 ! \ A t·--·- -o·--·-?--- 0-- ---?E

, s :e o 1 ' . / " 1 /

' 1 ,/ '~--L----

Ejercicio 7

S. Suponga que la elipse mostrada en. la figu;a.de este ejercicio representa la trayectona de ]up1ter alrededor del Sol. Todas las áreas sombreadas son iguales entre sí.

pler• constituyen la cinemática del movimien­to planetario. En la próxima sección veremos cómo algunos años más tarde Newton, con base en los resultados de Kepler, elabora la mecánica del movimiento de los planetas y descubre una de las leyes fundamentales de la naturaleza: la de la Gravitación Universal.

• N. del R. Para recordarlas con más facilidad, la prime­ra la segunda y la tercera leyes de Kepler suelen deno­m;narse "ley de las órbitas", "ley de las áreas" Y "ley de los periodos", respectivamente.

EjercicioS

a) Si Júpiter tarda un año en recorrer el arco AB, ·cuál será el tiempo que tard.'l en recorrer cada ~no de los arcos CD, EFy GH?

b) Sean~. ~. t; y V:, las velocidades de Júpiter en cada una de las posiciones mostradas en la figura. Coloque estas velocidades en orden decreciente de sus valores.

9. Al consultar la Tabla 7-1 responda lo siguiente: a) ¿Qué es una unid.'ld astronómica (1 u.a.)? b) ¿Cuántas vuelt.'ls da la Tierra alrededor del

mientras Plutón sólo da una? e) ¿Cuál es el valor de la constante K de la

ley de Kepler (T2! r3 =K) que figura en la

10. a) Inmgine que alguien le dice que se un pequeño planeta con un periodo T = años, y cuya dist.'lncia al Sol es r = 4.0 u.a. esto fuera verd.'ld, ¿confirmarían tales datos tercera ley de Kepler? . .

b) ·Podría existir un planeta a una d1stanaa ~O u.a. del Sol, y con un periodo T= 10 ¿Por qué?

7.3 La gravitación universal

•!• Introducción. Al estudiar el movimiento de los planetas con base en las leyes de Kepler, Newton observó que como describen órbitas alrededor del Sol, deben estar sujetos a una fuerza centrípeta, pues de lo contrario sus tra­yectorias no serían curvas. Al razonar de esta manera, Newton estaba admitiendo que sus leyes del movimiento también eran válidas para Jos cuerpos celestes. Este punt9 de vista iba en contra de la filosofía aristotélica, en la cual se creía que el movimiento de los astros estaba regido por leyes especiales, distintas de las que pueden comprobarse en relación con los movimientos producidos en la superficie de la Tierra.

En la Figura 7-4 se presenta un planeta en su Úbita (supuestamente circular) alrededor del Sol. La fuerza F representa la fuerza centrípeta que debe actuar sobre el planeta para mante­nerlo en su trayectoria. Newton atribuyó esta

Capítulo 7 /Gravitación universal

~ Planeta

1 1

·"' \'i ~ M _71 '\: r . \

Sol

269

FIGURA 7-4 la fuerza de atracción del Sol proporciona la fuerza centrípeta que mantiene al planeta en su órbita.

fuerza a la existencia de una atracción del Sol sobre el planeta. En resumen, concluyó que

•!• Fuerza de atracción entre el Sol y un planeta. Basándose en sus leyes del movi­miento, así como en los estudios de Kepler, Newton logró obtener la expresión matemática de la fuerza de atracción entre el Sol y un planeta. Designando por F esta fuerza, llegó a las conclusiones siguientes:

1) Fes proporcional a la masa m de! planeta: F"" m

2) Fes proporcional a la masa M de! Sol: F"" M

3) F es inversamente proporcional al cua­drado de la distancia, r; entre el Sol y el planeta: F<>< l/r2

Fotografía de larga exposición del cielo del hemisteri; sur. El objetivo se mantuvo abierto durante algunas horas Y se dirigió al punto en donde el eje de rotación de la tierra "perfora la esfera celeste", directamente encima del polo sur. En virtud de la rotación de la Tierra las estrellas describen, en torno de aquel punto, los ~reos lum1nosos que aparecen en la fotografía Observe :enorme cantidad de estrellas cuyas trayectorias pue-

De modo que podemos escribir

en ser Percibidas en la figura.

mM Foc 7 o bien

F=G.!!!J:!. r2

donde G es una constante de proporcionalidad denominada constante de gravitación universal. La expresión F = G mM/ r 2 nos dice que

Unidad 111/LEYES DE NEINTON

la fuerza de atracción del Sol sobre un pla­neta es proporcional al producto de sus masas, e inversamente proporClonal al cua­drado de la distancia que hay entre ellos.

•!• Gravitación universal. Ahora vamos a describir el paso más audaz del trabajo ele Newton, el cual demuestra su extraordinaria ca­pacidad ele extrapolación, así como su gran intuición. Al analizar el movimiento ele la Luna alrededor ele la Tierra (Fig. 7-5), Newton se dio cuenta de que debía existir una fuerza de atr:lc­ción ele la Tierra sobre la Luna, análoga a aquella con la que el Sol atrae a los planetas. Según se dice, al observar una manzana desprenderse _ele un árbol concibió la idea ele que su ca1cla también debía ser causad::! por atracción de la Tierra. Reuniendo las ideas ele que el Sol ::!trae a los planetas y la Tierra atrae a la Luna Y a la manzana, Newton llegó a la conclusión de que la atracción observada debe ser zm fenómeno general (universal), y manifestarse entre dos objetos materiales cualesquiera. En otras pala­bras, entre usted y este libro debe ex1st1r una fuerza ele atracción, de la misma manera que existe entre usted y su compañero, ¡o entre el profesor y el pizarrón! Surgió así la idea ele la Gravitación Uniuersal, ele qt1e dos cuerpos cua-

Trayectoria de la Luna si no hubiese atracción de la Tierra

',¿-'-.

FIGURA 7-5 La Tierra atrae a la Luna con una fuerza de la misma naturaleza que la fuerza con que el Sol atrae a los planetas.

lesquiera se atraen con una fuerza F, den~mina­cla ji wrza gravitacional, cuyo valor est~ dado por la misma expresión matemática ele la fuerza entre el Sol y un planeta. Entonces, siendo m1 v m las masas de dos cuerpos separados una • 2 J:i. distancia r (Fig. 7-6), habrá entre ellos una ler-za F ele atracción cuya magnitud está dada por

m1 m2 F= G-­

r2

Tenemos, por tanto:

LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL

Dos cuerpos cualesquiera se atraen con una fuerza proporcional al producto de sus ma­sas, e inversamente proporcional al cua­drado de la distancia entre ellos.

La fuerza de atracción gravitacional entre dos objetos "comunes" existentes en la Tierra re­sulta ser muy pequeña, y Newton no pudo comprobar experimentalmente dicha atracción. Sólo cuando la interacción es entre dos masas muy graneles (como el Sol y los pla~etas) es posible apreciar la fuerza ele atracCJon gr2Vl­tatoria.

m¡ F F m2

e--~!iil»----~

FlGURA 7-6 Entre dos objetos materiales cualesquiera existe una fuerza de atracción (Gravitación Universal).

.;. Comprobación experimentall. de Jl.a Ley de Gravitación Universal No J:i.1e sino hasta casi 100 años después ele que Newton presentó sus trabajos, cuando se pudo comprobar en forma experimental que la gravitación es en realiclacl un fenómeno universal. El físico inglés Henry Cavendish, empleando una balanza de torsióll(Fig. 7-7), realizó el siguiente experimen­to: equilibró cuidadosamente dos pequeñas esferas, ele masas m1 y m¿, en una barra hori­zontal. Al acercar a estas masas dos esferas más graneles, M¡ y iV!¿, Cavenclish comprobó que la barra giraba, produciendo una torsión en e! hilo muy fino que la sostenía. Este hecho mostró que realmente existe una fuerza ele atracción entre i!i¡ y ¡J!J1, así como entre m2 y M2 (Fig. 7-7) como Newton había previsto.

Mediante la balanza ele torsión, Cavendish Joaró medir la fuerza ele atracción entre dos esferas, y así le fue posible determinar el valor ele la constante ele gravitación universal C. En el Sistema Internacional de Unidades (SI), el valor de e es

G= 6.67 X w-ll N. m2/kg2

Notamos que el valor ele G es muy pequeño, y a ello se debe que la atracción gravitacional entre dos objetos "comunes", de acuerdo con lo ya expresado, es prácticamente despreciable, y sólo se puede detectar con aparatos muy deli­neados, como el de Cavendish.

Capítulo 7 /Gravitación universal

Foto reciente tomada por una nave espacial al pasar cerca de Júpiter, donde se ve al enorme planeta y a cuatro de sus satélites. Todos estos astros se mueven en el espacio sideral de acuerdo con las leyes enuncia­das por Newton en el siglo XVII.

$EJEMPLO

Medición de J!a masa de la Tierra. Al haber obte­nido con una báscula de torsión el valor ele G Ca vendish logró determinar la masa de la Tierra, com~ ahora vamos a describir.

Consideremos una partícula de masa m cercana a la superficie de la Tierra (que tiene masa JV! y r:tclio R), según se indica en la Figura 7-8. La partícula m será atraída por la Tierra con una fuerza P aue es el peso de dicba partícula. Newton había d~~ostraclo (usando el Cálculo Integral inventado por él), que en la atracción gravitatoria entre dos cuerpos esféricos todo sucede como si la masa de ellos estuviera concentrada en su punto central. Así que podemos imaginar la masa M concentrada en el centro de la Tierra. y la fuerza F estará apuntando hacia dicho punto. Como la distancia ele m al centro ele la Tierra es R (radio ele esta última), podemos escribir, por la Ley de la Gravitación Universal,

F ivfm =G­

R2

FIGURA 7-7 Experimento de la balanza de torsión realizado por Cavendish.

Pero como F representa el peso de la partícula de masa m, tenemos, por la segunda ley ele Newton:

272 Unidad 111/LEYES DE NEWTON

FIGURA 7·8 Newton demostró que podemos calcu­lar la atracción de la Tierra sobre una partícula, supo­niendo la masa de la Tierra concentrada en su punto central.

EJERCICIOS

Antes de pct.sar al estudio de la próxima sección, resuelva las preguntas siguientes, consultando el texto siempre que sea necesario.

11. a) Usted sabe que los planetas describen órbitas alrededor del Sol. ¿Podría concluir, como hizo Newton, que tiene que haber una fuerza que actúa sobre ellos? Explique.

b) Newton st•po que debía existir un agente responsable de esta fuerza. ¿Cuál es?

12. La fuerza de atracción del Sol sobre la Tierra vale, aproximadamente, 4 x 1022 N. Diga cuál es el valor de esta fuerza suponiendo que: a) La masa de la Tierra fuera tres veces mayor. b) La masa del Sol fuese dos veces menor. e) La distancia entre la Tierra y el Sol fuese dos

veces mayor.

H. La ley de gravitación inicialmente fue establecida por Newton para expresar la fuerza de atracción entre el Sol y los planetas. Explique por qué, posteriormente, pasó a ser denominada "Ley de la Gravitación Universal".

14. a) Para que se de cuenta de la pequeñez de la fuerza de atracción entre dos objetos "comu­nes", calcule la fuerza con ia que dos personas se atraen (gravitacionalmente). Para simpli­ficar los cálculos suponga que las masas de las personas son m1 = m2 = 100 kg, que la

Al igualar estas dos expresiones para urm fuerza, vemos que

donde g. R2

M=--G

Así pues, conociendo los valores de g, R y G, logra­remos determinar el valor de M

En la época de Newton, los valores de g y R se conocían con razornble precisión, pero Newton no sabía con exactitud el valor de G. Como Cavendish logró medir G, fue posible entonces calcular la ffi.."'IS::t de Ja Tierra, y por eso se dice que Cavendish fue qaien, por primera vez, "pesó" a la Tierra en su balanza. én la expresión anterior, los valores g = 9.80 nlls2, R= 6.37 x 106 m y G = 6.67 x 10--11 N · m2/kg2, obtenemos para la masa de la Tierra, M= 5.97 x 1021 kg.

distancia entre ellas es r = 1 m, y que G = 10--10 N · m2/kg2.

b) Como los cuerpos celestes tienen masas mes, la fuerza gravitacional entre ellos es grande (aun cuando la distancia que los es, también, enorme). A fin de comprobar anterior, calcule el valor aproximado de fuerza de atracción entre la Tierra y la considerando que G = 10--10 N · m2!kg2,

de la Tierra Mr = 1025 kg, masa de la ML = 1023 kg y distancia de la TI= a la Luna 108 m.

15. El experimento de la balanza de torsión Cavendish llegar a dos resultados de tllauuupc"""' cia en la época. ¿Cuáles fueron dichas cOil'-'H-'>Km•

16. La figura de este ejercicio muestra un cuerpo de masa m1, situado a cierta la Tierra (de masa m?). Para calcular la F de atracción gravita~ional que la Tierra sobre el cuerpo (F = G m1 mzl ?';, ¿el valor distancia rdeberá tomarse igual a OA, OCu

............. .-~ ~ ..... .... mt

7,4 Movimiento de los satélites

•!• Aun cuando no fue posible, sino hast,"1 hace relativamente poco, colocar un satélite artificial alrededor de la Tierra, ya en el siglo xvn Newton tenía una idea clara de la manera en que podía hacerse. Pero no se disponía entonces de la fantástica tecnología necesaria para situar en órbita un satélite.

Como los principios básicos relacionados con este problema son muy sencillos, podremos analizarlos en un curso básico de física como éste.

•!• Cómo se puede colocar un satélite en órbita. Para orbitar o poner en órbita un saté­lite, debe elevarse, mediante poderosos cohetes hasta la altura h deseada (Fig. 7-9) El valor de h varía notablemente ele un satélite a otro, y ello depende ele muchos factores. Pero Ja altura no debe ser inferior a unos 150 km, para que en la región donde el satélite se moverá, la atmósfera esté totalmente enrarecida y, así, la fuerza de resistencia del aire no perturbe el movimiento ele! satélite.

Modelo en ta -ción en ~a~o natural del Sputnik 1, en una exposi-cado ~os_cu. Este fue el primer satélite artificial colo-

en orbita (1957).

Capítulo 7 /Gravitación universal 273

FIGURA 7·9 Cuando un satélite es colocado en órbita a una altura h, su radio orbital está dado por r = R + h.

. Una vez alcanzada la altura deseada, el saté­hte, también por medio de cohetes, es lanzado horizontalmente con una velocidad U(Fig. 7_9). Como ya sabemos, la Tierra ejerce sobre dicho satélite una fuerza F de atracción, que alterará la dirección de la velocidad lt haciendo que descnba_una trayectoria curvilínea. Muchas per­sonas piensan, equivocadamente, que a esa altura la fuerza de atracción de la Tierra sobre el satélite es nula o despreciable. Si esto fuese verdad, el satélite, una vez lanzado, con la velocidad lt seguitia moviéndose en línea recta con tal velociclad, y no entraiia en órbita alre­dedor de la Tierra.

Para que la trayectoria del satélite sea circular en torno de la Tierra, la velocidad horizontal V' deberá tener un valor determinado (que calcu­laremos más adelante). Lo anterior es porque la fuerza F ele atracción ele la Tierra, tiene que proporctonar la fuerza centiipeta necesaria para tal movimiento.

Una vez puesto en órbita, y si no existe perturbación alguna, el satélite seguirá girando indefinidamente alrededor ele la Tierra .

•!• Cálculo de la velocidad del satélite. Va­mos a hallar ahora la velocidad que debe impar­tirse a un satélite para que entre en órbita circular alrededor del centro ele la Tierra. El

Unidad 111/LEYES DE NEWTON

Este dibujo se puede hallar en los Principia, la famosa obra de Newton. Con él, Newton explica cómo sería posible colocar un satélite en órbita alrededor de la Tierra. Pero esta idea de Newton no se pudo llevar a cabo ~ino hasta casi 250 años después, una vez alcan­zado el desarrollo tecnológico necesario.

radio orbital, rcomo muestra la Figura 7-9, está paclo por

r= R + h

donde R es el radio de la Tierra, y b, la altura del satélite.

La fuerza F ele atracción de la Tierra sobre el cuerpo orbitado, está dada por

F = G Mm ¡-2

donde m es la masa del satélite, y M la masa de la Tierra (recuerde que Jl!I puede suponerse concentrada en el centro del planeta). Como esta acción proporciona la fuerza centrípeta que lo mantiene en órbita, podemos concluir que su valor es igual a mif!r, que es la expresión general de una fuerza centrípeta. Por tanto, tendremos

donde

Mm G-2-

r

Luego, si se nos proporciona la altura o distancia radial de un satélite en órbita, podremos calcular su velocidad, una vez que se conoce el valor de G y el de M Observe que tal velocidad no

depende ele la masa del satélite, y que cuanto mayor sea su radio orbital (o su altura) tanto me­nor será su velocidad.

•!• Periodo de revolución del satélite. El tiempo que el satélite tarda en dar una vuelta alrededor del centro ele la Tierra es su periodo de revolución. Durante dicho tiempo, T, la distancia que el satélite recorre estará dada por 2nr (perímetro de su órbita circular). Entonces, como se trata ele un movimiento uniforme, tendremos que

2nr = vT donde

2nr T=

Así pues, como ya sabemos calcular u, esta expresión nos permitirá determinar el periodo del satélite.

•!• Satélite estacionario. Suponga que un satélite es colocado en órbita a una altura aproxi­mada de 36 000 km sobre un punto del ecuador (Fig. 7-10). El radio ele su órbita será r = R + b, y como el radio ele la Tierra es, aproximada­mente, igual a 6 000 km, tendremos para el radio ele la órbita un valor ele casi 42 000 km. Llevando este valor de r a la expresión u = ~ GM/r,

obtenemos para el satélite una velocidad u=

10 800 km/h. Conociendo esta cantidad, podre-

fiGURA 7·10 Para un observador en la Tierra, el satélite estacionario parece estar inmóvil porque gira sobre un punto del ecuador, con un periodo de rotación igual al de la Tierra.

En una trasmisión vía satélite, la señal emitida por una antena en la Tierra está dirigida al satélite, siendo allí trasmitida de vuelta, dirigida para otro punto de la Tierra en donde será captada por otra antena situada en aquel lugar. El tiempo que necesita la señal, en este recorrido de ida y vuelta, es de casi 0.25 s.

Este grabado muestra tres satélites estacionarios del tipo lntelsat IV, situados en posicipnes tales que permi­ten la radiocomunicación entre dos puntos cualesquiera de la Tierra.

mos calcubr el periodo del satélite por la rela­ción T = 2nrf u. Realizando los cálculos encon­tramos que

T= 24 h

Observemos que este periodo de revolución es igual al ele rotación ele la Tierra sobre su eje, Y esto vuelve muy importante a tal satélite. Como se encuentra situado en el plano del ecuador terrestre (Fig. 7-10) y gira junto con la Tierra, ambos tardan lo mismo en dar una vuelta, a zm obser·uadoren la superficie ten-estre le parecerá que el satélite está inmóvil. Lo ante­rior es lo que sucede con los famosos satélites estacionarios del tipo llamado Intelsat, tan em-

Capírulo ?/Gravitación universal

pleados en la actualidad en las telecomunicacio­nes mundiales.

Así, cuando usted presencia un programa "vía satélite", la señal de televisión se envía (antes de llegar a su ap:.lrato receptor) hasta el satélite, a casi 36 000 km de altura, y luego regresa a la Tierra. Esta señal es captada por estaciones especiales de recepción CFig. 7-11), y se puede difundir a diver­sas regiones ele un país. Como las señales de televisión se propagan con la velocidad ele la luz (300 000 km/s), el tiempo que las señales tardan en ir hasta el satélite y regresar a la Tierra es muy co1to. Por ello, es posible presenciar, por ejemplo, un juego ele fútbol efectuado en Europa, práctica­mente en el mismo inst:mte en que se realiza en el estadio.

1!11 EJEMPLO

¿Cuál es el valor de la velocidad horizontal que debe imprimirse a un objeto para que entre en órbita casi al ras de la superficie de la Tierra'

Esto significa que la altura del satélite sería nula ( h = O) y que el radio de su órbita tendría que ser el radio ele la Tierra (r= R), como indica la Figura 7-12. El valor ele v resultaría muy grande, pues sabemos que

FIGURA 7-11 Antenas parabólicas como ésta son las que reciben las señales de un satélite estacionario de telecomunicaciones.

Unidad 111/LEYES DE NEWrON

FIGURA 7-12 Para el Ejemplo de la Sección 7.4.

ves tanto mayor cuanto menor sea h. Al sustituir en v = ~ GMIR !os valores conocidos de G, M y R, en­comramos que

v = 7.9 x 103 m/s (o bien, 28 800 km/h)

Con esta gran velocidad, el objeto encontraría una gran resistencia del aire, y probablemente, depen­diendo del material, se quemaría antes de desplazarse

EJERCiCIOS

Antes de pasar al estudio de la próxima sección, resuelva las preguntas siguientes, consultando el texto siempre que sea necesario.

17. Las afirmaciones siguientes suelen ser hechas por personas que no conocen muy bien las leyes de la Física. Presente argumentos que demuestren que estas afirmaciones no son correctas. a) "La fuerza de atracción de la Tierra sobre un

satélite artificial, es nula porque está muy alejado de su centro".

b) "Un cohete ya no será atraído por la Tierra una vez que llegue a regiones fuera de la atmósfera terrestre".

18. Explique por qué un satélite debe colocarse en órbita en regiones más allá de la atmósfera terrestre.

119. La fuerza de atracción de la Tierra sobre un satélite en órbita circular, proporciona la fuerza centrípeta que debe actuar sobre el satélite. En­tonces la atracción de la Tierra: a) ¿Hace variar la dirección de la velocidad del

satélite? b) ¿Hace cambiar la magnitud de su velocidad?

una distancia considerable. Además, usted podría citar varios factores que impedirían la realización del expe­rimento. Pero no dude que, si se pudieran eliminar todos esos factores y se imprimiera correctamente a un objeto, la velocidad que calculamos arriba, esto lo haría entrar en órbita, como se sugiere en la Figura 7-12, y usted lo tendría de regreso, sin caer al suelo, después de dar una vuelta completa alrededor de la Tierra.

20. Considere dos satélites, A y B, cuyas masas son tales que m11 > m& Estos satélites están en una misma órbita circular alrededor de la Tierra, como mues­tra la figura de este ejercicio. a) La velocidad de A, ¿es mayor, menor o igual

que B? {j) El periodo de A, ¿es mayor. menor o igual que E!

\ \ \

\ \,

1 1

1

\

1

\ \

------

Ejercicio 20

1

/

/ /

e

1 /

1 1

1 1 1 j

zt. observe el satélite C, que también se muestra en la figura del ejercicio anterior.

a) La velocidad de C, ¿es mayor, menor o igual que B?

b) El periodo de C, ¿es mayor, menor o igual que B?

7,5 Variiad@~m de !!a aeelefl'ad@n de la gravedad

.;. Conforme a lo visto en el Capítulo 6, expe­nmentalmente se puede comprobar que el valor de la aceleración ele la gravedad, g, varía ele un punto a otro de la Tierra. Ya se ha dicho también que en la superficie de la Luna, el valor de g es mucho menor que en la Tierra, y en otros planetas la aceleración gravitatoria no es igual a 9.8 m/s2 Estas variaciones en el valor de g podrían entenderse, como veremos, por medio ele la Ley de la Gravitación Universal.

•:• Expresión matemática de la acelera­dón de la gravedad. Consideremos un cuer­po, ele masa m, situado a una distancia r del centro de la Tierra (Fig. 7 -13). El peso de este cuerpo, por la segunda ley de Newton, está dado por

P= mg

donde g es el valor de la aceleración de la gravedad en el punto donde se encuentra el cuerpo. Pero este peso Pes la fuerza de atrac­ción que la Tierra ejerce sobre el cuerpo. Por la Ley de Gravitación Universal podemos, pues, escribir

donde lvf es la masa de la Tierra (supuestamente concentrada en su centro).

Si igualamos estas dos expresiones ele P, tendremos

mg iY!m

G-. r2

Capítulo 7 /Gravitación universal

22. La velocidad angular del movimiento de rotación de Jtlpiter es ro= (n/5) rad/h. a) ¿Cuántas horas tarda Júpiter en dar una vuelta

completa alrededor de su eje? b) Imagine que existe en Júpiter un satélite esta­

cionario empleado para telecomunicaciones. ¿Cuál será su periodo?

donde

Así pues, llegamos a una expresión nutemática que permite calcular la aceleración de la grave­dad en un punto en las proximidades de la superficie terrestre, cuando conocemos G, lama­sa de la Tierra y la distancia de este punto al centro de ella.

•!• Comentarios. Al analizar la ecuación u = 2 6

GMI r , haremos algunas apreciaciones: 1. Obsérvese que el valor de la masa m del

cuerpo no aparece en la ecuación, o sea, el valor

T~ r 1

FIGURA 7·13 Como el peso de un cuerpo es la fuerza de airacción graviiacional de la Tierra sobre él, pode­mos concluir que g = Gi1A!r2.

Un1dad 111/LEYES DE NEWTON

de g no depende de m. Este resultado que ~e obtuvo inmediatamente de la Ley de Grav¡taClon Universal, ya había sido observado en forma experimental por Galileo, algunos años antes ele Newton, al comprobar que todos los cuerpos en caída libre descienden con la misma acele­

ración. 2. Por la expresión g ; CiVIl r 2 vemos que

g = llr2, es decir, cuanto más nos alejamos del centro ele la Tierra, tanto menor es el valor ele g. Así, el valor ele g en lo alto ele una montaña es menor que al pie de la misma. En este caso, la diferencia ent1'e los dos valores ele g es muy pequeña, pero si nos clesplazam05 lo suficiente hacia arriba de la superficie ele la Tierra, nota­remos una disminución considerable en g (véase

Tabla 7-2).

TABLA 7-2

Variación de g con la altitud (en la latitud de 45°)

Altitud (km) g(m/s2)

o 9.81 20 9.75 40 9.69 60 9.63 80 9.57

100 9.51 200 9.22

3. Vamos a analizar ahora el valor ele gen la superficie terrestre. En este caso, siendo R el radio ele nuestro planeta, tendremos r; R, y por consiguiente,

iVJ g = G R2

Como la Tierra no es perfectameme esférica y el valor ele R en el ecuador es mayor que en los polos, podemos concluir que la aceleración ele la gravedad en el ecuador es, por tanto, menor que en los polos; es decir,

R (en el ecuador) > R (en los polos), Juego g (en el ecuador)< g (en los polos).

Esta conclusión coincide con Jos resultados ex­perimentales que se citaron en el Capítulo 6 y

que aparecen en la Tabla 7-3. En realidad, las variaciones ele g que se muestran en la tabla se deben, en parte, a la rotación de la Tierra. Este factor también contribuye a que la aceleración gravitatoria en el ecuador sea menor que en los

polos.

TABLA 7·3

Variación de g con la latitud (al nivel del mar)

Latitud g (m/s2)

o o 9.780 20° 9.786 40° 9.802 60° 9.819 80° 9.831 90o 9.832

•!• Aceleración de .la gravedad en .la super­ficie de otros cuerpos celestes. La expresión g ; Gk!/R 2 que se emplea para calcular la aceleración gravitacional en la superficie terres­tre, se puede utilizar también para determinar el valor de g en la superficie de cualquier otro cuerpo celeste. En este caso, }11[ representa obvia­mente la masa de tal astro y R su radio. Obser­vemos que la aceleración ele la gravedad en la superficie de un planeta es proporcional a su masa, e inversamente proporcional al cuadrado

de su radio.

$EJEMPLO

Imaginemos un planeta que tuviese una masa 8 ve­ces mayor que la ele la Tierra, y cuyo radio fuera 2 veces más grande que el terrestre. ¿Cuál sería el valor ele g ~n este planeta?

Como g = M, concluimos que si sólo M varía, g sería 8 veces mayor que en la Tierra. Puesto que g" 1/ R 2 vemos que la influencia del radio es volver 4 veces menor el valor ele g. Como g se multipiica por 8 (por la int1uencia de lv[) y se divide entre 4 (por la influencia de R), es obvio que g quedará multiplicada por 2. Así, b aceleración de la gravedad en el planeta en cuestión sería:

g; 2 x 9.8 m/s2 o bien, g; 19.6 m/s2

peso aparente de un cuerpo en el Ecuador

•:• Como ya analizamos en el Ejemplo 3, resuelto en la sección 6.4, una balanza de resorte (dinamómetro) no siempre indica el peso real de un cuerpo, es decir, la fuerza gravitacional de la Tierra sobre él. En el caso del ejemplo citado, el dinamómetro dentro del elevador que tenía una aceleración hacia arriba, indicaba un valor mayor que el peso del objeto, denominado "peso aparente".

p

FIGURA 7-13b La altura del dinamómetro (P) indica el peso aparente del cuerpo en el ecuador.

•!• Supongamos, ahora, un cuerpo de masa m, situa­do en el ecuador terrestre, suspendido de un dinamó­metro, como lo muestra la Figura 7-13b. Como se sabe, la magnitud ele la fuerza P, ejercida por el resalte sobre el cuerpo, lo proporciona la lectura del dinamómetro y representa el peso aparente del cuerpo. La fuerza Po representa la atracción gravitacional ele la Tierra en

él, es decir, P0 es su peso real dado por

Po= Givfm R2

donde jl;f y R representan la masa y el radio de la Tierra.

Si el cuerpo estuviera detenido, evidentemente tendríamos P; P0, es decir, la lectura del dinamó­metro proporcionaría su peso real. Sin embargo, sa­bemos que el cuerpo está girando junto con la Tierra Y describe una trayectoria circular ele radio R, con una

Capitulo 7 /Gravitación universal

velocidad u, en torno al centro ele la Tierra (el valor de u es igual a la velocidad lineal de un punto del ecuador de la Tierra). Por tanto, ese cuerpo tiene u na aceleración centrípel1 ac = ¡?-¡ R y la fuerza centrípeta Fe. que causa esa aceleración, debe ser dada por:

Fc;fh-P; Gi'lfm -P R2

Como Fe= nw 2/R, resulta:

donde

GMm u2 ---P;m-

Rz R

GMm u" P=---m-

Rz R

Tenemos, así, la expresión que nos proporciona el peso aparente ?del cuerpo en el ecuador. Vemos que ese peso aparente es me1Zor que el peso real Po y b ,diferencia entre ellos está dada por la expresión mu-IR.

•!• Esa diferencia, entre el peso real y el peso aparente tiene como consecuencia una variación en el valor de la aceleración de la gravedad, que se determina a continuación. Si designamos por ge la aceleración de la gravedad en el ecuador, es eviden­te que tenemos P; mge. Entonces:

donde

m:i GM1y/ n/u 2

/&; R 2 -;.R Cid J

& ; R2 -¡¡

Como vimos, GM/1?- indica el valor de la acele­ración de la gravedad g si la Tierra no estuviera en rotación, es decir, ( GM/1?-) ; g. Entonces

Al sustituir los valores u; 463 m/s (velocidad de un punto en el ecuador) y R = 6.37 x 106 m (radio de la Tierra), encontramos

v2 > , R; 0.034 mJs·; 3.4 cm/s2

Por tanto, debido a la rotación de la Tierra, la aceleración de la gravedad en el ecuador sufre una reducción de 3.4 cmls2. A este hecho se debe, en gran paite, las diferencias entre los valores de esa aceleración en el ecuador y en los polos, presenta­dos en la Tabla 7-3.

280 Unidad iii/LEYES DE NEWTON

EJERCICIOS

Antes de pasar al estudio de la próxima sección, resuelva las preguntas siguientes, consultando el texto siempre que sea necesario.

23. En la Figura 7-13, el vector P representa el peso del cuerpo de masa m. a) ¿Cuál es la expresión matemática de P de

acuerdo con la segunda ley de Newton? b) ¿Cuál es la expresión matemática de P según

la Ley de la Gravitación Universal? e) Usando las respuestas. de (a) y (b), muestre

que podemos obtener la expresión g = GiVJ! r 2,

la cual permite calcular el valor de g.

24. Los astronautas que descendieron en la superficie lunar comprobaron experimentalmente que la aceleración de la gravedad en nuestro satélite, vale casi 1.6 m/s2 Usando la expresión g = GJVI!Ii, calcule el valor de gen la Luna y compn1ebe si su respuesta concuerda con el resultado que obtu­vieron los astronautas. Considere los datos siguien­tes: G = 6.7 x 10-11 N · m2/kg2; masa de la Luna, M= 7.4 x 1022 kg, y radio lunar, R = 1.7 x 106 m.

g

o R

R

4R

9R

Ejercicio 25

25. La expresión g = G/11!/ r 2 indica que la aceleración ele la gravedad terrestre en un punto dado es inversamente proporcional al cuadrado de la

'JJ ,IIJ; illll'll t~.-.r~@J ®$p~d@Jm

¡para aprender más¡

!E~ éxito de la Gravitación Universal

•!• Una vez que obtuvo la expresión para la fuerza gravitacional entre dos objetos, F = G m¡nt?fr 2, Newton la empleó para estudiar e

interpretar un gran número de fenómenos natu­rales. Aun cuando varios de tales fenómenos ya

distancia de tal punto al centro de la Tierra. Complete con la anterior información la tabla de este ejercicio, determinando los valores de g para cada una de las alturas h que se indican (R representa el radio de la Tierra).

26. Como vimos en el Capítulo 3, los experimentos de Galileo demostraron que todos los cuerpos en caída libre, caen con la misma aceleración. Expli­que por qué la expresión g = GiVJ/ r2 concuerda con esta observación de Galileo.

Z7. Vimos que el valor de gen b superficie de la Tierra, varía con la latitud y con la altitud. Al observar la Tabla 7-3 y saber que el valor de gen lo alto del Monte Everest (punto más alto de la superficie terrestre) vale casi 9.78 m/s2, responda: á) ¿Encuentra usted que las variaciones de gen

la superficie terrestre son grandes o pequeñas? b) Entonces, ¿es aceptable considerar g =9.8 m/s2

en cualquier lugar de la superficie terrestre?

28. á) La masa de ]C:piter es casi 300 veces mayor que la ele la Tierra. Si el radio de aquel planeta fuera igual al radio terrestre, ¿cuántas veces mayor que en la Tierra sería la aceleración gravitatoria en Júpiter'

b) El radio de Júpiter es casi diez veces mayor que el de la Tierra. Si la masa de dicho planeta exterior (o sea, de los que están fuera ele la órbita terrestre) fuera igual a la de la Tierra, ¿cuántas veces menor que en ésta sería la aceleración ele la gravedad en Júpiter?

e) Aplicando sus respuestas de (a) y (b), diga cuántas veces mayor que en la Tierra es la aceleración de b gravedad en ]C1piter. ·

d) Luego entonces, ¿cuál es el valor aproximado de gen tal planeta?

se conocían desde lucía varios siglos, todavía no había sido posible encontrar una explicación

científica para ellos. El éxito obtenido por New­ton en la interpretación ele dichos fenómenos se

convirtió, entonces, en un gran triunfo de su Teoría de la Gravitación Universal.

A continuación, citaremos algunas ele las

innumerables situaciones que fueron analizadas con mucho éxito mediante la ley ele la gravita­ción.

•!• Las atracciones gravitacionales del Sol y la Luna causan las mareas. Uno de los fenó­menos naturales más conocidos es el ele las mareas oceánicas. Como usted sabe, el fenóme­no de las mareas consiste en l::t fluctuación del nivel del agua del mar, produciendo lo que se denomina "marea alta" y "marea baja". En un lugar determinado, la marea alta se produ-ce dos veces al día (lo mismo sucede con la marea baja). La explicación de este fenómeno la dio el propio Newton, al afirmar que lo producía la atracción del Sol y ele la Luna sobre las aguas marinas.

Para entender la explicación de Newton, vamos a examinar la Figura 7-14. En ella repre­sentamos a la Tierra por medio de una esfera envuelta por el manto ele agua de los océanos, y girando alrededor del Sol. La capa de agua situada en A, al encontrarse más cerca del Sol, es atraída por éste con una fuerza mayor que la capa situada en B. Entonces, como la Tierra describe una trayectoria curva y la fuerza cen­trípeta en A es mayor que en B, la capa A tiende a describir una trayectoria más cerrada, y por inercia, la capa B tiende a describir una trayec­tori:1 más abierta. Debido a esto, el nivel del

Capitulo 7 /Gravitación universal

FiGURA 7·14 Usando su Ley de la Gravitación Univer­sal, Newton logró explicar el fenómeno de las mareas.

La influencia de la atracción ele la Luna en la producción de las mareas se puede explicar ele manera similar. Este efecto se superpone al efecto producido por el Sol. y cuando el Sol, la Tierra y la Luna se encuentran en línea, estos efectos se suman entre sí, observándose enton­ces mareas más altas que el promedio.

agua pasa de A a A' y ele B a E', es decir, en un •:• lE1 eje de la Tierra cambia de dirección instante dado se observan dos mareas altas, una continua y lentamente. Uno ele los mavores a cada lado del planeta. Como la Tierra L1mbién éxitos de la teoría de Newton fue haber logrado posee un movimiento de rotación alrededor de explicar el fenómeno de la precesión del eje de su propio eje, después de un intervalo de 12 h rotación de la Tierra. Trataremos ahora de des-la capa A estará más lejos, y la B más cerca del cribir este fenómeno. Para ello, consideremos la Sol, observándose, nuevamente, una mare:1 alta Figura 7-15, en la cual se representa la órbita de en estos fugares. Por tanto, en un lugar determi- la Tierra alrededor del Sol. Como quizá sepa, el nado observaremos dos mareas altas al día. eje de rotación de la Tierra (representado por E

. PLANO DE LA ÓRBITA ORBITA DE LA TIERRA

1

FIGURA 7-15 El eje de rotación de la Tierra no se mantiene en una dirección fija en el espacio. Realiza un movimiento de precesión muy lento, y tarda 26 000 años en dar una vuelta completa alrededor de la normal N que se 1nd1ca en la figura. Por tanto, a lo largo de un. año, su dirección permanece prácticamente invariable.

Unidad 111/LEYES DE NEWfON

en la Figura 7-15) no es perpendicular al plano de esta órbita, y presenta cierta inclinación respecto de la normal N, como muestra la figura de referencia.

En la época ele Newton ya se conocía bien el hecho ele que el eje E no tiene una dirección fija en el espacio, sabiéndose que gira muy lenta­mente alrededor de N, desplazándose ele E hacia E' y regresando a la posición E (de manera semejante a lo que ocurre con el eje de un trompo que gira). Este movimiento descrito por E se denomina "precesión del eje de la Tierra". El tiempo que tal eje tarda en dar una vuelta completa alrededor de N, es decir, el periodo de precesión, también se conocía en aquella época, ¡y su valor es ele casi 26 000 ~iños!

Pero, no había sido posible encontrar una explicación científica para este fenómeno. Me­diante su teoría g¡'avitacional, Newton amlizó detalladamente la atracción que el Sol ejerce sobre las diversas partes de la Tierra, logrando explicar por qué ocurre la precesión de su eje (no vamos a describir el análisis hecho por Newton, pues exigiría ciertos conocimientos que no presentamos en nuestro curso). Por medio de su análisis matemático, Newton calcu­ló teóricamente el periodo de la precesión, encon­trando el resultado ele 26 000 años, en excelente concordancia con el valor determinado experi­mentalmente por observaciones astronómicas.

•!• los planetas experimentan ligeras per­rurbadones en sus órbitas di¡pticas. Como vimos, Kepler descubrió que son elipses las órbitas de los planetas alrededor del Sol. En la época de Ne-vvton, algunos astrónomos, al realizar observaciones más cuidadosas, notaron que siste­máticamente los planetas se alejaban ligeramente ele la órbita prevista por Kepler, o sea, que sus mo­vimientos sufrían pequeñas fluctuaciones alrede­dor de la trayectoria elíptica que deberían seguir.

Newton, usando una vez más su Ley de Gravitación Universal, demostró que estas fluc­tuaciones en la órbiL1 de un planeta determinado se debían a las atracciones que los demás pla­netas ejercían sobre él. En otras palabras, Newton probó que una trayectoria planetaria sería una elipse perfecta si sobre el planeta sólo actuara la fuerza de atracción del Sol. Pero, la fuerza que un planeta ejerce sobre otro es mucho menor

que la fuerza de atracción del Sol. Así, la trayec­toria ele un planeta determinado sólo es pertur­bada ligeramente por la atracción ele Jos demás.

•:• Descubrimiento del planeta Nepmno. Ahora vamos a describir cómo se empleó el análisis de Newton algunos años más tarde (en el siglo xrx), en uno ele los descubrimientos más sensacionales en el campo ele la astronomía.

Hasta mediados del siglo XVI~ los astrónomos únicamente conocían seis planetas: Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter y Saturno. Algunos años después ele la muerte ele Newton, se des­cubrió accidentalmente el planeta Urano, cuan­do se llevaban a cabo observaciones astronómi­cas con un telescopio. Usando la Teoría de la Gravitación Universal, los científicos calcularon la órbita que debía describir Urano, tomando en cuenta la atracción que el Sol y los demás planetas conocidos ejercían sobre él. Pero, al observar durante algunos años su movimiento, los astrónomos pudieron comprobar que no seguía exactamente la órbiL1 prevista por la teoría.

Similar a una estrella brillante, pues aparece reflejando la luz del Sol, el planeta Neptuno se ve en esta foto, la cual se obtuvo con ayuda de un moderno telescopio. A su lado se ve Tritón, el mayor y más cercano a él de sus dos satélites.

Al creer que la teoría de Newton no podía esrar equivocada, dos astrónomos, Aclams y Leverrier, sospecharon que las desviaciones observadas tenían que deberse a un planeta, aún desconocido, que perturbaba la órbita de Urano. Los científicos calcularon entonces, ba­sándose en la Ley de la Gravitación Universal, dónde debía estar situado el supuesto planeta p~1 ra ocasionar tal perturbación. Al apuntar sus telescopios hacia la posición indicacla por Adams

EJERCICiOS

AIJies de pasar al estudio de la próxima sección, rcsuch>a las preguntas siguientes, consultando el texto siempre que sea necesario.

29. Considere la Tierra, en su movimiento de trasla­ción, desplazándose entre las dos posiciones que se muestran en la Figura 7-14. a) La fuerza gravitacional del Sol sobre la capa

de agua que envuelve a la Tierra ¿es mayor en A o en B?

b) Muchas personas creen que, si en un punto de la Tierra se observa una marea alta, en ese momento se observará una marea baja en el punto diametralmente opuesto. ¿Está usted ele acuerdo con esta idea? (Véase Figura 7-14.)

30. Suponga que una persona se encuentra en la posición A' ele la Figura 7-14, desde donde observa una marea alta. ¿Después de cuánto tiempo obser­vará, si permanece en el lugar donde se encuentra: a) ¿Una marea baja? b) ¿La marea alta siguiente?

31. En la Figura 7-15, suponga que el eje E esté mostrando la dirección actual del eje terrestre y

Las preguntas siguientes se elaboraron para que repase los puntos más imp011antes abordados en este capítulo. Al resolverlas, acuda al texto siempre que tenaa una duda. "

1. Resuma las principales características ele los siste­mas astronómicos siguientes:

Capítulo 7 /Gravitación universal

y Leverrier, los astrónomos comprobaron, ma­rav!llaclos, que realmente había allí un ¡nuevo planeta! Así se descubrió, en 1846, el planeta Neptuno, el cual gira alrededor del Sol en una órbita situada después de la de Urano.

De modo similar, y por perturbaciones ob­servadas en la órbita de Neptuno, se descubrió en 1930 el planeta Plutón, que por las observa­ciones realizadas hasta hoy, aparentemente es el último planeta del sistema solar.

considere a ia Tierra en su posición más cercana al Sol. a) En esa época del año, en el hemisferio sur

¿sería invierno o verano? b) i,De aquí a cuántos años, al pasar la Tierra por

la misma posición, sería invierno en el hemis­ferio sur?

32. a) Suponga que sobre un planeta actuara sola­mente la fuerza de atracción del Sol. ¿Cuál sería la trayectoria de este planeta?

b) ¿Por qué las trayectorias de los planetas, en torno al Sol, no son exactamente elípticas?

33. a) ¿Cuáles eran los planetas conocidos hasta la época de Galileo y Newton?

b) ¿Podría usted decir por qué esos planetas ya eran conocidos en épocas muy anteriores a aquélla?

34. Explique por qué la órbita de Urano, observada por los astrónomos, no correspondía a la calcu­lada teóricamente por los científicos.

35. Trate de explicar, con pocas palabras, por qué Un tema especial recibió el título de El éxito de la Gravitación Universal.

a) Sistema griego primitivo. b) Sistema de Tolomeo. e) Sistema ele Copérnico.

2. a) Exprese, con sus propias palabras, la primera ley de Kepler. Ilustre con un dibujo su enun­ciado.

Unidad 111/LEYES DE NE'WTON

b) Haga lo mismo para la segunda ley de Kepler. e) Enuncie y exprese matemáticamente la tercera

ley de Kepler.

3. Lea la introducción de la Sección 7.3 _Y respo?cl~: a) ·Cuál fue la importante moclrflcaCion que Ne\V­

:on introdujo en las ideas ele Aristóteles acerca del movimiento ele los cuerpos celestes?

b) ¿Qué conclusión ele Newton se destaca en esl'l introducción?

4. a) Escriba la expresión matemática ele la fuerza de atracción del Sol sobre un planeta, obteni­da por Newton. Explique el significado ele cada uno ele los símbolos que aparecen en esta expresión.

b) Enuncie la Ley de Gravitación Universal de Newton.

e) Describa, en pocas palabras, el experimento que realizó Cavenclish para comprobar dicha Ley ele la Gravitación Universal.

5. Cuando un satélite artificial se encuentra en órbita circular alrededor ele la Tierra: a) ¿Actúa sobre él alguna fuerza? b) ¿Qué agente es responsable ele dicha fuerza?

6. a) Cuando un satélite está en órbita, ¿cuál es la expresión matemática ele la fuerza que actúa

1. Trate de observar el cielo una noche en que las estrellas sean perfectamente visibles. Fije su aten­ción en un grupo ele estrellas (como la Osa Mayor, las Tres Marías, o cualquier otra) y trate ele ubicar su posición en el cielo, usando como punto ele referencia un edificio, una montaña, un árbol, etcé­tera.

2. Unas dos horas después, intente localizar nue­vamente la posición del mismo grupo ele estrellas. ¿Observa usted el notable cambio ele posición expe­rimentado por las estrellas?

3. Describa cómo explicaban los antiguos griegos con su sistema geocéntrico, el movimiento ele las estrellas que observó.

4. De acuerdo con las ideas de Copérnico, ¿a qué se debe este movimiento estelar?

sobre él, de acuerdo con la Ley ele la Gravita­ción Universal?

b) Recordando que la fuerza que actúa sobre el satélite es una fuerza centrípeta, escriba otra expresión matemática para ésta.

e) Aplicando sus respuestas ele (a) y (b) demues­tre que la velocidad del satélite está dada por v= ~CM/R.

7. a) Describa cómo se obtuvo, en el. texto, la expresión T = 2rc r/ v.

b) Explique por qué un satélite estacionario debe tener un periodo de 24 h.

8. a) Escriba la expresión matemática para g, la cual se obtuvo a partir ele la Ley de la Gravitación Universal, y demuestre que concuerda con las afirmaciones siguientes: 1) La aceleración ele un cuerpo en caída libre

no depende de la masa ele este cuerpo. 2) La aceleración ele la gravedad en un punto,

es tanto menor cuanto mayor es la altura ele dicho punto.

3) La aceleración ele la gravedad en los polos ele la Tierra, es mayor que en el ecuador.

b) ¿Qué magnitudes, camcterísticas ele un pla­neta, influyen en el valor ele la aceleración de la gravedad en su superficie?

SEGUNDO EXPERiMENTO

1. La elipse es una curva tal que dados sus focos F¡ y Fz, la suma de las distancias de cualquiera de sus

1 1 1 1

--.----- ----1----

F : Fz 1 1

1

1

Segundo Experimento

puntos a aquellos es constante (en la figura tenemos F p+ p2p =constante). Así, podemos trazar una elipse ~r medio del siguiente procedimiento: los extremos

~ 1n cordón se fijan a dos clavos o tachuelas que se c,e L

n·an en dos puntos F, y Fz, como muestra la figura. E~tirando el cordón con la punta ele un lápiz trazamos una curva cleslizánclolo de modo que el cordón esté siempre estirado. De est::t manera, la suma de bs distancias de un punto cualquiera ele la curva a F1 y p, siempre será igual a la longitud del cordón. Luego, l~s puntos F1 y Fz, en los cuales clavamos las tachuelas ser:ín los focos de la elipse.

7 Usando el procedimiento que acabamos de des~~ibir, trace una elipse con los datos siguientes: tome un cordón de 30 cm de longitud y fije sus extremos ele modo que la distancia F1F2 entre los focos sea de 24 cm.

3. Cuanto menor sea la distancia entre los focos (para cierta longitud del cordón), la elipse tendrá una forma más parecida a una circunferencia. Para com­probar esto, trace otra elipse usando el mismo cordón pero dejando una distancia focal F1F2 de 8 cm. La cu 1va que debe obtener ahora corresponde, aproxi­madamente, a la forma ele la órbita ele] planeta Plutón alrededor ele] Sol. Como puede obsel'!ar, esta curva üene una forma muy parecida a la circunferencia, aun cuando entre los planetas, Plutón sea el que describe b órbita más "alargada".

4. Usando todavía el cordón ele 30 cm de longi­tud, trace una elipse con los focos a una distancia ele sólo 0.6 cm. Esta curva corresponde, aproximadamen­te, a h órbita ele la Tierra alrededor del Sol. Observe, como ya dijimos, que es prácticamente circular.

TERCER EXPERIMENTO

Los cometas son cuerpos celestes que se mueven alrededor del Sol en forma similar a la ele los planetas, pero sus órbitas son elipses muy alargadas. Uno ele los cometas más conocidos, sobre el cual ya debe haber oído hablar, es el cometa Ha!lev.

l. Busque en alguna enciclopedia o texto especia­lizado, algunos datos relativos a este cometa que le permitan responder el siguiente cuestionario:

ci) ¿Cu:.\1 es su periodo de revolución? b) ¿Cuándo fue la última vez que "pasó por la

Tierra"? Trate ele obsel'!ar una fotografía del cometa, ]a cual haya sido tomada en esa época.

e) ¿Cuinclo volverá a pas::tr cerca ele la Tierra? dl ¿Cuál es la menor distancia del comew al Sol?

Cuando se encuentra en esta posición, ¿entre las órbitas de qué planeta está situado'

Capítulo 7 /Gravitación universal 285

El cometa Halley, fotografiado durante su paso pró)(imo a la Tierra, en 191 O.

e) ¿Cuál es la máxima distancia del cometa al Sol? Cuando se halla en esta posición, ¿entre las órbitas de qué planetas se encuentra?

2. Consulte la Tabla 7-1 y trace un esquema donde se muestren, aproximadamente a escala, las órbitas de Jos planetas alrededor del Sol (consiclérelas Circu­lares y use una hoja de cartulina o ele papel muy grande). Empleando los elatos recogidos acerca del cometa y recordando lo que aprendió en el segundo experimento, trace en el esquema del sistema solar que dibujó, la elipse que representa la órbita del cometa Halley alrededor ele] Sol.

CUARTO EXPERiMENTO

Como quizás usted ya lo sepa, los planetas reflejan la luz del Sol y, por eso, algunos ele ellos pueden verse en el cielo, inclusive a simple vista, confucliénclose con bs estrellas. Sin embargo, al realizar esa actividad, usted aprenderá a distinguir un planeta ele una estrella sin utilizar aparatos y podrá, inclusive, identificar algu­nos ele esos planetas.

1. En una noche de cielo sin nubes, vea las estrellas, obsel'!e cómo brillan, es decir, la luz que emiten parece estar "guiñando" continuamente. Los planetas cintilan mucho menos que las estrellas y, ele esa manera, se ven prácticamente como fuentes de luz continua, es decir, no guiñen. Con base en esta información, obsel'!e detenidamente el cielo (a dife­rentes horas) e intente localizar algún planeta.

2. Al menos el planeta Venus puede obsel'!arse con cierta facilidad. Venus aparece siempre en las cercanías del Sol y puede verse como si fuera una "estrella" muy brillante, después de que se pone el Sol, o en otras épo­cas del ~no, poco antes ele que el Sol salga. Por esto, a este pianeta se le denomina "estrella del alba" o "estrella vespertina". Con base en esta información, trate ele loc;lizar a Venus en el cielo y observar su movimiento

Unidad 111/LEYES DE NEWTON

en relación con las estrellas (por la repetición de sus observaciones durante vari~s semanas). .

3. Marte y Júpiter tambien pueden observcuse c~n . . f 'l'd d si la observación se hace cuando estan c¡erta acrr a , .d ·r· p r • d 1 Tierra. Marte puede r entr rcarse o mas cerca e a l . 'd d

su colocación anaranjada y Júpiter, por a mtensr a ele su brillo (casi igual al de Venus). A pes~r ele que Júpiter esté muy alejado de la Tierra, la facrhdad con

l. La figura de este ejercicio representa un planeta en su órbita elíptica alrededor del SoL Recuerde la segunda ley de Kepler y respo~da: a) En A, ¿la aceleración tangencral del planeta

tiene el mismo sentido, o sentido contrano a su velocidad? ¿Por qué?

b) ¿Y en B? . e) La aceleración centrípeta del planeta en C, .¿':s

mayor, menor o igual que su acelerac!On centrípeta en D?Explique.

... V

---~--- ~ / . " / 1 ~

/ i \

• ·-·- 1

' i 1 ' 1 .. ~ .,., i ~ ~

V ..... --- -- _¡_ - B V

Problema 1

2_ a) Suponga que. se acaba de descubrir un peque­ño planeta x cuya distancia al Sol es r=9.0 u. ~­Con la tercera ley ele Kepler, determrne cual sería el periodo ele revolución ele este planeta.

b) ¿Sería posible. con los datos proporcronad~s ~n (a), determinar el periodo ele revolucron del planeta X? •

e) Compruebe, en la Tabla 7-1, entre que plane­tas se localizaría la órbita del planeta X

3. Imagine que la masa del Sol se volviese repenti­namente cuatro veces más grande. Par~ que la fuerza de atracción del Sol sobre la Tre:ra no sufriese alteraciones, la distancia entre b Trerra y el Sol tendría que volverse: a) 4 veces mayor. b) 4 veces menor.

que puede observarse se debe a su enormidacL Con d. de información proporcronada por mstrtutos ayu el . 1 . •

astronómicos, podrá usted determmar a me¡or epoca del año para realizar esas observacrones. No de¡e, entonces, de localizar a Marte y a Júpiter ~n el cielo y de verificar que se desplazan en relacron con las estrellas, con el pasar de los días.

e) 2 veces mayor. d) 2 veces menor. e) 8 veces mayor.

4 Sea F la fuerza ele atracción del Sol sobre un • 1 t sr· la masa del Sol se volviese tres veces p anea. •

más grande; la del planeta, cinco veces m~yor, y la distancia entre ellos se reclu¡era a la mrtad, _la fuerza de atracción entre el Sol y el planeta sena: a) 3F b) l5F e) 7.5F

d) (~)F 4

e) 60F

5. a) Un objeto, colocado entre la Tierra y la Luna, queda sujeto a la acción de las fu:;zas de atracci'án de ambos. Existe una posrcron en I_a cual estas fuerzas eskin en equilibrio. En la fr­oura de este ejercicio, ¿cuál de los puntos P¡, p2 0 P; puede representar esta pos~ción? .

b) Describa el movimiento que aclqumna el ob¡eto si se le soltara en A. ¿Y si se le soltara en B!

LUNA 8 __ .o

A ,_-r

-"-- p3 p2

Problema 5

6. Suponga queJL!piter posee un satélite cuya órbita tiene un radio igual al de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra. El periodo del movrmrento de la Luna alrededor de la Tierra, como usted ya debe saber, es de casi 27 dí::ts. El periodo de este supuesto satélite de Júpiter, ¿sería mayor, menor 0 igual a 27 días?

7. se determinó que el peso de un satélite artificial en la superficie de la Tierra, era de 1 000 N. Este satélite fue colocado en órbita a una altura igual al radio de la Tierra. Considerando g = 10 m/s2

en la superficie de la Tierra, señale de entre las afirmaciones siguientes, la que está equivocada. a) la masa del satélite en la superficie ele la Tierra

es de 100 kg.

b) la aceleración de la gravedad en la órbita del satélite, vale 2.5 m/ s2.

e) El peso del satélite en órbita es de 250 N. d) La masa del satélite orbitado es de 25 kg. e) La fuerza centrípeta que actúa sobre el satélite

vale 250 N.

8. a) La velocidad angular ele un satélite estaciona­rio, ¿es mayor, menor o igual que la velocidad angular de rotación de la Tierra?

b) La velocidad lineal de un satélite estacionario, ¿es mayor, menor o igual que la velocidad lineal ele un punto del ecuador terrestre?

9. Suponga que un satélite se encuentra en órbita sobre el ecuador ele la Tierra, a la misma altura que el satélite estacionario, pero girando en sen­tido contrario a la rotación ele la Tierra. a) El tiempo que este satélite tarcb. en dar una vuelta

complek'l en su órbita, ¿también seria de 24 h? b) ¿Dicho satélite sería estacionario? e) Si un observador en la Tierra viese pasar este

satélite sobre su cabeza en un instante dacio, ¿después de qué tiempo volvería a suceder esto?

10. Un satélite es colocado en órbita a 36 000 km de altura (misma altura del Intelsat), de modo que el plano de su órbita pasa por los polos de la Tierra . Un observador situado en el polo sur, ve pasar el satélite sobre su cabeza a las 8 h ele la mañana ele un día determinado. La próxima vez que el satélite pase sobre este observador será: a) A las 12 h del mismo día. b) A las 20 h del mismo día. e) A las 24 h del mismo día. dJ A las 8 h del día siguiente. e) A las 12 h del día siguiente.

11. La masa del Sol es, aproximadamente, 300 000 veces mayor que la masa de la Tierra y su radio vale casi lOO radios terrestres. ¿Cuál sería el valor aproximado de la aceleración ele caída ele un cuerpo sobre la superficie del Sol?

Capítulo 7 /Gravitación universal

13. L'l figura de este problenu muestra un planeta en su órbita elíptica alrededor del SoL Tomando en cuenta la fuerza de atracción de! Sol sobre él explique por qué en A la velocidad de] planetd está aumentando, y en B está clisminuyenclo.

Problema 13

14. a) Obtenga una expresión para la fuerza centrí­peta que actúa sobre un cuerpo ele masa m, girando en una órbita circular de radio r con un periodo T, en función ele m, r y T(recuerde que v = 2rrr/T).

b) Empleando su respuesta a la pregunta anterior y recordando que !a fuerza centrípeta que ac­túa en un planeta la proporciona Ja atracción gravitacionaJ del Sol (F= G nuv!/ 1-), demuestre que para un planeta cualquiera se tiene T2 /r0 = 4rr2/GJ11.

e) La relación que se obtuvo en (b), ¿le permite concluir que T2 /r0 tiene el mismo valor para todos los planetas, segün se afirma en la tercera ley de Kepler'

d) La expresión T2 /r1 = 4rr2/ GA;I, ¿es válida para el movimiento de la Luna alrededor de la Tierra? ¿Y para un satélite anificial de nuestro planeta? Explique.

15. Muchas personas acostumbran hacer la siguiente pregunta: "Si existe una fuerza ele atracción ele la Tierra sobre un satélite en órbita, ¿por qué éste no cae a la superficie terrestre?" ¿Cómo responde­ría usted a esta pregunta?

16. En "Preguntas y problemas" número 10, suponga \:¡ue el observador estuviese sobre el ecuador. Consicleranclo sin cambio alguno las demás infor­maciones del problema, ¿cuál sería, en este caso, la alternativa correcta?

12. Imagine que un satélite artificial transp0rta una bomba sujeta a la parte exterior de dicho saté­lite. Si luego que el satélite se encuentra en órbita, se soltase la bomba ¿caerá sobre la Tierra' Explique.

17. a) Usando la expresión obtenida en la pregunta (b) del Problema 14, calcule la orden de mag­nitud de la masa del Sol, usando los valores

Unidad 111/LEYES DE NEWTON

de T y r para la Tierra, proporcionados en la tabla que se encuentra al final de este volum~n (sustituya, en la expresión, solamente las or­denes de magnitud de los valores incluidos en

la tabla). b) Su respuesta a la pregunta anterior concuerda

razonablemente con la orden de magnitud del valor proporcionado en la misma tabla para la masa del Sol?

J!.S. Hasta hace poco tiempo, los astrónomos cono­cían la masa de j(rpiter con mayor precisión que la de la Luna. Actualmente, la masa de la Luna ya se conoce con bastante precisión. Explique estos

hechos.

19. Observaciones astronómicas indican que el Sol está describiendo un::t órbita, aproximadamente circu­lar, en torno al centro de nuestra galaxia. El orden de magnitud del radio de esa órbit::t es ele 1020 m y el periodo de ese movimiento es del orden de cien millones ele años. En ese movimiento, el Sol es atraído por la acción gravitacional ele una gran cantidad ele estrellas que existen en el interior ele

su órbita. a) Teniendo en cuenta esta información, calcule

el orden ele magnitud ele la masa total ele esas estrellas.

b) ¿Cuál sería el número ele esas estrellas, supo­niendo que la masa ele cada una fuera del orden ele la masa del Sol?

20. En la Sección 7.3 afirmamos que Newton, refle­xionando a partir ele sus leyes ele la Mecánica y ele las leyes ele Kepler, llegó a la conclusión de que había una fuerza F ele atracción entre el Sol (masa M) y una planet::t (masa m) tal que:

F~ m Foc 1!r2 F"' M

Si contesta las siguientes preguntas, podrá obser­var cómo Newton llegó a esas conclusiones (su­ponemos órbiws circulares para los planetas).

a) Aplicando la tercera ley ele Kepler y la respues­ta a la pregunta (a) del Problema 14, muestre que se obtienen las dos primeras proporcio­nalidades mencionadas en el enunciado de este problema.

b) Muestre que, aplicando la segunda y la tercera leyes ele Newton, es posible llegar a la conclu­sión ele que F"' /vi.

21. Un objeto de masa m se encuentra en un saté­lite en órbita circular ele radio 1; situada en el plano del ecuador, en torno al centro ele la Tierra

(masa ivf).

a) Aplicando la Ley de Gravitación Universal, escriba la expresión que indica el peso realP¡1

del objeto. b) Usando las expresiones para el peso aparente

P (obtenidas en el cuadro ele b Sección 7.5) y la ele la velocidad ele un cuerpo· en órbita, calcule el valor del peso aparente P del objeto.

22. En cada una ele las siguientes ecuaciones, diga si el peso aparente ele un astronauta es m::tyor, menor o igual al ele su peso real. Imagine que él se encuentra en el interior ele un satélite que será puesto en órbita por un cohete. a) Después del arranque, durante la fase de

aceleración proporcionada por el cohete.

b) Después ele que el combustible se acaba y el cohete continCra ascendiendo.

e) Cuando el satélite se encuentra en órbita.

:23. a) Algunas veces se oye decir que un sistema geocéntrico es incorrecto porque, en realidad, son los planetas que giran en torno al Sol. Recuérdese el concepto ele referencial en el estudio de los movimientos, ¿cree usted que

esta afirmación es correcta?

b) Teniendo en cuenta su respuesta a la pregunta anterior, diga cuál sería la ventaja de adoptar el sistema heliocéntrico.

24. La distancia mínima ele la Tierra a Marte es de 6 x 107 km y la de Marte a Júpiter es de 5 x 108

km. Sabiendo que:

masa de la Tierra = 6 x 10"í kg masa ele Marte = 7 x 1023 kg 1n:1sa de ]ú piter = 2 x 1027 kg

y tomando G = 7 X 10-11 N · m2/kg2, conteste: ¿cuál ele los dos planetas, Tierra o Júpiter, provoca mayor perturbación en el movimiento ele Marte?

25. Aplicando la Ley ele Gravitación Universal, deter­mine cuál debe ser, en el SI, la unidad ele la

constante gravitacional C.

Las siguientes preguntas se seleccionaron de pruebas de concurso para ingreso a Universidades y Faculta­des. Su objetiuo es trasmitir a! alumno una idea de cómo se formulan los exámenes de Física para ingreso a escuelas de niuel superior.

1. El periodo de traslación del planeta Venus en torno al Sol es menor que el de la Tierra, donde, por las leyes de Kepler, tenemos que: a) La masa de Venus es menor que la de la Tierra. !J) El radio de la órbita ele Venus es menor que

el de la Tierra. e) Venus está más distante del Sol que la Tierra. d) El diámetro ele Venus es menor que el ele la

Tierra. e) El periodo de romción ele Venus es menor que

el ele la Tierra.

2. ¿De cuántos años sería el periodo ele un planeta, girando en torno al Sol, si su distancia a su centro de gravedad es ele 8 veces la distancia Tierra-Sol? a) 8 años. b) 23 años. e) 64 años. dJ 512 años. e) Ninguna ele las respuestas anteriores.

3. Suponga que se descubrió un planeta pequeño, 4 veces más alejado del Sol que de la Tierra. ¿Cuánto tiempo necesitaría este planeta para dar una vuelta en torno al Sol? a) 8 años. b) 4 años. e) 64 años. dJ 10 años. e) Imposible determinar sin conocer la masa del

Sol.

4. En relación con la pregunta anterior, el tiempo que el planeta necesitaría para dar una vuelta completa en torno a su eje sería: a) 8 días. b) 4 días. e) 64 días. dJ 10 días. e) Imposible determinar.

5. Marte está 52 % más alejado del Sol que la Tierra. El año (periodo del movimiento de revolución en torno al Sol) ele Marte, expresado en años terres­tres es: a) 1.52 b) 1.37

e) 2.3 dJ 3.7

Capítulo 7 /Gravitación unrversal

e) Un resultado diferente de los anteriores.

6. La masa de la Tierra vale, aproximadamente 6 x 1021 kg y el radio de su órbita es de l. 5 x 101 ¡ m. Para Júpiter tenemos, respectivamente, 2 x 1027 kg y 7.5 x 1011 m. La fuerza que el Sol ejerce en Júpiter será aproximadamente: a) 25 veces menor que la fuerza del Sol en la

Tierra. b) 13 veces mayor que la fuerza del Sol en la

Tierra. e) 66 veces mayor que la fuerza del Sol en la

Tierra. el) 5 veces menor que la fuerza del Sol en la

Tierra. e) 48 veces mayor que la fuerza del Sol en la

Tierra.

7. Si se transportara un cuerpo para la superficie ele un astro, de forma esférica, cuya masa fuera 8 veces mayor que la ele la Tierra, y cuyo radio fuera 4 veces mayor que el radio terrestre, la fuerza gra vitacional ele este astro sobre el cuerpo sería: a) 2 veces su peso en la Tierra. b) 0.5 veces su peso en la Tierra. e) 32 veces su peso en la Tierra. dJ 4 veces su peso en la Tierra. e) 16 veces su peso en la Tierra.

8. Un estudiante consultó una tabla y verificó que la distancia del planeta Saturno al Sol es casi 10 veces mayor que la distancia ele la Tierra al Sol. En relación con este planeta, las observaciones siguientes, hechas por el estudiante, son correc­tas, excepto: a) La fuerza que el Sol ejerce en éste es casi 100

veces menor que la fuerza que el Sol ejerce sobre la Tierra.

b) Su tiempo de rotación en torno al Sol depende de su masa.

e) Su movimiento obedece a las leyes ele Kepler y a la ley ele Newton.

dJ Su tiempo ele rotación en torno al Sol es casi de 31 años.

e) La aceleración centrípeta que actúa sobre Sa­turno, debido a ia atracción del Sol, es casi de 0.01 ele la aceleración centrípeta que actúa sobre la Tierra.

9. En la figura, se representa la trayectoria del pla­neta Marte en torno al Sol. Como se sabe, esta

290 Unidad 111/LEYES DE NEWTON

trayectoria es elíptica y AB y CD representan, respectivamente, el eje mayor y el eje menor de la elipse. Es correcto afirm.'lr que: a) El Sol está localizaclo exactamente en el punto

de concurrencia de las rectas AB y CD (centro de la elipse).

IJJ Siendo l\1 y u11 los valores de la velocidad de Marte en A y B, se tiene liA = V¡¡.

e) Siendo Fe y Fo las fuerzas que el Sol ejerce sobre Marte en C y D, es cierto que Fr: y F[)son iguales, paralelas, pero de sentidos contrarios.

d) Siendo a el valor del semieje mayor de la elipse, la aceleración de Marte, tlr.h en A, vale ar.1 = GM! r:f donde M es la masa del Sol.

e) Siendo FA y F8 los valores de las fuerzas que el Sol ejerce sobre J\!larte en A y en B, tenemos FA diferente de F 8.

D

Pregunta 9

10. Si la masa de la Luna es casi de 1/81 de la masa de la Tierra y si la distancia de su centro al centro de la Tierra es 60 veces el radio terrestre, ¿a qué distancia de la superficie de la Tierra la fuerza gravitacional ejercida por la Luna sobre una nave espacial es igual a la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre la nave en referencia? ci) A 31 radios terrestres, contados a partir del

centro de la Tierra. b) A 53 radios terrestres, contados a partir de la

superficie de la Tierra. e) A 33 radios terrestres, contados a partir de la

superficie de la Tierra. d) A 94 radios terrestres, contados a partir del

centro de la Tierra. e) A 59 radios terrestres, cont.'ldos a partir del

centro ele la Tierra.

11. La velociclacl del sonido, en el aire, es de 330 m/s. El satélite Intelsat se encuentra a 36 000 km de altura. El tiempo transcurrido entre el instante en que un locutor, en México, anunciaba un gol y el instante en que se escucha su voz en Brasil, era de aproximadamente: a) 1.1 X 105 S

b) 2.2 X 105 S

e) 330 s d) 10 min e) Un valor diferente de los anteriores.

12. En relación con un satélite artificial estacionario (tipo Intelsat) que gira en torno al centro ele la Tierra, es falso afirmar que:

a) Su velocidad angular es de Jt/12 rad!hora. b) El eje de rotación ele la Tierra es paralelo al

plano de su órbita. e) Su aceleración centrípeta es mayor que la

aceleración centrípeta del movimiento de la Luna en torno a la Tierra.

d) La fuerza gravitacional de la Tierra proporciona la fuerza centripeta que lo mantiene en órbit'l.

e) Siendo v su velocidad, m su masa y r el radio de su órbita, la fuerza con que él atrae a la Tierra vale m[!-¡ r.

13. Analice las afirmaciones siguientes e inclique las que están correctas: Dos satélites, A y B, giran en torno a la Tierra en órbitas circulares de radios iguales a 2 raclios terrestres y a 4 radios terrestres, respectivamente. Si A tiene masa 2 veces mayor que B, podemos decir:

l. La relación entre los periodos de A y ele Bes -fi/8

II. La relación entre las velocidad de A y de Bes ..[2

III. La relación entre las fuerzas que la Tierra ejerce sobre A y sobre B, respectivamente, es igual a 8.

14. Un satélite de masa m describe una órbita circular de radio R¡, en torno a un planeta de masa M L'l constante de gravitación universal vale G. Si este satélite pasa a girar en otra órbita circular de radio Rz = R1/3 en torno al mismo planeta, la relación u1/vz entre los módulos de sus velocidades tan­genciales a lo largo de las órbitas de radios R1 y R¿, respectivamente, será: a) 1/9 b) 1/3 e) -!313 d!3 e) Un valor diferente de los anteriores.

15. Cuando un satélite est.'tcionario (tipo Intelsat) está en órbita en torno a la Tierra, es incorrecto afirmar que: a) Su periodo es de 24 horas. b) La fuerza centrípeta que actúa en él está

representada por la fuerza de atracción de la Tierra.

e) El valor de su velocidad no depende del valor de su masa.

d) La altura del satélite es de, aproximadamente, 103 km.

e) El plano de su órbit.'l coincide con el plano del ecuador de la Tierra.

16. Un satélite artificial describe una órbita circular en torno a la Tierra en un periodo

T= 4Jt ~ donde Res el radio ele 1"1 Tienn y g es la

aceleración ele la gravedad en la superficie terrestre. ¿A qué altura ele la superficie se encuentra el satélite? a) R b) R/2

e> 2 R d) R..f2 dJ R ..f3

17. Una balanza ele resorte (dinamómetro) indica, pa1n el peso ele cierto pedazo de oro, el valor de 1.0 N. El conjunto estú colocado en un satélite en órbita ele radio 500 km alrededor ele la Tierra. Dentro del satélite el dinamómetro marcará cero, porque: a) En esta altura ya no existe acción ele gravedad. b) El dinamómetro solamente da lecturas en la

superficie de la Tierra. CJ La fuerza de gravedad simplemente mantiene

al cuerpo en órbita, dando la sensación de imponderabilicbd.

d) La afirmación de que el dinamómetro marcará cero es falsa, porque no siempre ocurre esto dentro ele satélites en órbita.

e) En realidad su órbita contiene el plano del ecuador.

18. Considere que el valor de gen la superficie de la Tierra es 10 m/s2• En un punto a una altura igual al radio ele la Tierra, el valor de g será: á) cero b) 2.'i m/s2

l. Calcule el valor aproximado (en horas) del tiempo transcurrido entre la primera y la última escena mostradas en la Figura 7-12.

2. a) Calcule el valor aproxitimdo del tiempo que una señal de TV necesita para llegar hasta el lntelsat y regresar a la Tierra (considere el desplazamiento de la señal, tanto en la ida como ei regreso, igual a la altura del satélite).

bl Una comunicación telefónica ele Brasil con .Japón. exclusivamente vía satélite, se hará a

Capítulo 7 /Gravitación universal 291

e) 5.0 m/s2

d) 7.5 m!s2

e) 10 m/s2

19. Un hombre, en la superficie de la Tierra, pesa 80 kgf. Si fuera transportado a una altura igual al radio de la Tierra, su masa y su peso valdrían: a) 80 kg y 80 kgf b) 40 kg y 40 kgf e) 80 kg y 40 kgf d) 20 kg y 20 kgf e> 8o kg y 20 kgf

20. Se midió en una misma latitud el valor de la aceleración ele gravedad terrestre, para varias altitudes. ¿Para cuál altitud el valor de esta mag­nitud será la mitad ele su valor en la superficie ele la Tierra? Suponga la Tierra esférica de radio R y de densidad constante. á) 0.41 R b) 0.50 R e) 1.4 R d) 2.0 R e) 4.0 R

21. El diámetro de la Tierra es 4 veces mayor que el de la Luna. La aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra es 6 veces la aceleración en la superficie de la Luna. Siendo dT y dt. bs densidades (masa/volumen) respectivamente ele la Tierra a la Luna, se tiene:

8 a) dL = 3 dT

b)

e>

d)

¡j)

2 dL = 3 dT

dt. =.!. d-r 3

dL = 2 dr 2

d¿ = 3 dT

través de dos satélites estacionarios, siendo la señal enviada al primer satélite, regresando a u na estación terrestre que 1."1 retransmitirá al segundo satélite ele donde será enviada a ] apón. Si usted estuviera en Brasil, conversan­do con un amigo en Japón, ¿cuál sería, apro­ximacbmente, el tiempo transcurrido entre el instante en que acaba de terminar una frase y el instante en que usted comienza a escuchar la respuesm de su amigo?

292 Unidad 111/LEYES DE NEWTON

Obsen;ación: La respuesta de este problema de­muestra que, al mantener una conversación por teléfono, vía satélite, es necesario que las perso­nas se acostumbren, al terminar de hablar, a esperar un breve intervalo para recibir la respues­ta del interlocutor (en una conversación por teléfo­no común, esta respuesta es casi instantánea).

3. Después ele obtener el valor ele la masa de la Tierra, como su radio ya se conocía, Cavenclish pudo determinar la densidad media de la Tierra (dividiendo su masa entre su volumen). a) Calcule, en gramos/cm3, el valor de la densi­

dad media de la Tierra. b) Se verifica que la densick~d media de los

mat~riales que constituyen la corteza terrestre es casi de 2.5 gramos/cm3, valor que difiere de aquel encontrado en (a). ¿A qué conclusión puede usted llegar, debido a esa diferencia, respecto a la constitución de la Tierra?

4. Un satélite se encuentra en una órbita circular, ele radio r, en tomo al centro ele la Tierra, cuya masa es M Muestre que el periodo de ese satélite está

dado por la expresión T = 27t ...J r 3 /G,YJ.

5. En la relación T2! r3, de la tercera ley de Kepler, la distancia r debe considerarse como un radio me­dio de la órbita, esto es, la semi-suma ele la menor y ele la mayor distancia al Sol. Para los planetas, esas dos distancias son prácticamente iguales pero, para los cometas, cuyas órbitas son elipses muy alargadas, difieren bastante. Para el cometa Halley, la distancia mínima al Solla determinaron los astrónomos que encontraron un valor de 0.60 u.a., pero la distancia máxima no puede medirse directamente, porque el cometa no es visible al pasar por esa posición. a) Sabiendo que el periodo de ese cometa es ele

76 años calcule (en u.a.) su máxima distancia del Sol.

b) Consulte la Tabla 7-1 y verifique entre las órbi­tas de cuáles planet:ts se localiza el perihelio (menor distancia al Sol) y el afelio (mayor distancia al Sol) del cometa Halley.

6. Un astronauta, en un satélite, debe realizar ciertas maniobras si quiere cambiar ele órbita. Suponga que su velocidad sea !lJ, en la órbita en que se encuentra. a) Para salir de esa órbita, alejándose ele la Tierra,

él debe modificar su velocidad para un valor v1•

El valor de u1 ¿debe ser mayor o menor que tif b) Una vez que se alcanza la altura deseack'l, para

entrar en órbita a esta altura, será necesario que

la ·velociclad se altere hasta el valor !'.¡. ¿El valor !2 deberá ser mayor, menor o igual tu?

7. En la Tierra, un alambre de cobre puede soportar en uno de sus extremos, masas suspendidas ck hasta 60 kg, sin romperse. Considere la acelera­ción de la gravedad en la Tierra igual a 10 mfs2 y, en la Luna, igual a 1.5 rn!s2.

a) ¿Cuál es el peso máximo que este alambre podría soportar sin romperse, en la Luna?

b) ¿Cuál es la mayor masa que ,podría estar suspendida, en el mismo alambre, en la Luna sin que se rompa? '

8. Teniendo en cuenta las leyes de Kepler acerca del movimiento de los planetas, analice las afirmacio­nes siguientes e indique las que est'in correctas: a) L'l velocidad de un planeta, en su órbita

disminuye a medida que éste se aleja del Sol: b) El periodo de resolución de un planeta es

tanto menor cuanto mayor sea su masa. e) El periodo de rotación ele un planeta, en torno

a su eje, es tanto mayor cuanto mayor sea su periodo ele resolución.

d) El periodo de resolución de un planeta es tanto mayor cuanto mayor sea su distancia media al Sol.

e) El Sol se encuentra exactamente en el centro de la órbita elíptica descrita por dado planeta.

9. Como dijimos en la Sección 7.3, Newton sospe­chaba que la fuerza que causaba la caída ele los cuerpos en las proximidades de la Tierra y la fuerza que actúa en la Luna, manteniéndola en órbita, tenían ambas el mismo origen: la atracción gravitacional de la Tie1Ta (de misma naturaleza que la atracción del Sol sobre los planetas). Para verificar si su sospecha tenía funck'lmento, New­ton, calculó la aceleración de la Luna de dos maneras diferentes, que usted puede reproducir si contesta las preguntas siguientes: a) Sabiendo que la distancia del centro de la Tierra

a la Luna es de 380 000 km y que el periodo del movimiento de la Luna en tomo a la Tierra es de 27.3 días, calcule, en rn/s2, el valor de la aceleración de la Luna en ese movimiento.

b) Considere la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra igual a 10 rn!s2. Sabien· do que la distancia del centro de la Tierra a la Luna es igual a 60 R (donde Res el radio de la Tierra), use la ley del inverso cuadrado para calcular la aceleración de la Luna, suponiendo que sea causada por la atracción gravitacional de la Tierra (como Newton sospechaba).

e) Las respuestas de las preguntas (a) y (b) ¿confirman satisfactoriamente la sospecha de Newton?

lO. Al tener conocimiento de la primera ley de Kepler, un estudiante atribuyó la existencia de las esta­ciones del año a la variación de la distancia de la Tierra al Sol, diciendo que: "cuando la Tierra está más cerca del Sol es verano y cuando está más distante es invierno". a) Presente un argumento capaz de dejar en claro

que está explicación del estudiante no está correcta.

b) ¿Ya tuvo usted oportunidad de estudiar cuál es la causa de la existencia de las estaciones del año?

11. Dentro de un satélite en órbita en torno a la Tierra se acostumbra decir que un objeto flota debido a la llamada "ausencia de peso". Tres estudiantes presenmron las siguientes justificaciones para este hecho. Indique cuál considera usted correcta.

estudiante 1 - "la órbita del satélite se encuen­tra en el vacío y la gravedad no se propaga en el vacío". est!ldíante 2- "h fuerza de atracción terrestre, centrípeta, es menor que la fuerza centrífuga en el objeto".

ECUADOR RAYOS SOLARES

~ ---~-SOL

--~--(a)

RAYOS SOLARES ECUADOR

SOL --J~ Problema Complementario 10 (a) En virtud de la inclinación del eje de la Tierra, cuando ésta se encuentra en la posición mostrada, los rayos solares inciden con menor inclinación sobre el hemisferio sur que sobre el hemisferio norte. En tal virtud, cada metro cuadrado de la ~uperficie terrestre, del hemisferio sur, recibe mayor can­tidad de radiación solar que la misma área del hemisferio norte. Por tanto, en el hemisferio sur es verano cuando en _el hemisferio norte es invierno. (b) Seis meses des­pues de haber ocurrido la situación mostrada en (a). La Tierra se desplazó a la posición diametralmente opuesta ~e. su trayectoria. En esta situación, los rayos solares InCiden sobre el hemisferio norte en dirección más próxi­ma a !a normal a la superficie (menor inclinación). Así, en ~~ epoca del año será verano en el hemisferio norte e tnvtem': en el hemisferio sur. Evidentemente, la primavera ~-el otono se suceden en posiciones de la Tierra interme-Jas entre aquellas mostradas en la figura.

Capítulo 7 /Gravitación universal 293

estudíant~ 3 - "el satélite y el objeto que !1om tiene la m1sma aceleración, producid,~ única­mente por fuerzas gravitacionales".

12. Sea b.A el área "barrida" por el segmento que une un planeta al Sol, durante el intervalo Ll.t. Se llama oeloeidad areolar M Ll.t, es decir, la tasa en relación. con el tiempo con la cual el área está siendo "barrida".

a) La velocidad areolar ¿aumenta, disminuye 0 no varía mientras el planeta gira en torno al Sol?

b) Sabiendo que la elipse descrita por la Tierra en tomo al Sol tiene un área A = 6.98 x 1022 m2 calcule el área "barrick'l" por el segmento que un~ la Tierra al Sol, entre 0.0 h del día 1 ºde abril hasta las 24 h del día 30 de mayo del mismo año.

13. a) ¿Cuál es la variación, en crn/s2, de la acelera­ción de la gravedad cuando nos desplazamos del ecuador a los polos? (Consulte la Tabla 7-3.)

b) ¿Qué porcentaje ele esa variación se debe a la rotación de la Tierra? (Consulte el cuadro acer­ca de "peso aparente" en la Sección 7.5.)

e) ¿Cuál es la causa del porcentaje restante de esa variación?

14. Como probablemente ya debe saber, el planeta Saturno está rodeado por varios anillos situados en el plano de su ecuador. Al observar uno de esos anillos, los astrónomos midieron la velocidad de la parte externa del anillo y encontraron un valor Ve. Midieron, también, los radios interno y externo de ese anillo y encontraron valores r;y r •. a) A partir de esos datos, ¿cuál será la velocidad

V¡, ele la parte interna del anillo, si fuera sólido? b) ¿Cuál sería el valor de la velocidad !!¡ si el

anillo estuviera constituido por un gran n(nne­ro de partículas aisladas unas de otras? (Sea M la masa de Saturno).

Obseruación: Medidas realizadas por astrónomos mostraron que V¡ tiene un valor coincidente con el de la pregunta (b ).

15. La figura de este problema muestra un satélite en una órbita circular ele centro C', río coincidente con el centro C de la Tierra. Para demostrar que esa situación es físicamente imposible, conteste las siguientes preguntas: a) ¿Cuál es la dirección y el sentido de la fuerza

gravit'lcional F que la Tierra ejerce sobre el satélite? Dibuje el vector F en la figura.

b) Descomponga F en sus dos componentes perpendiculares F1 y F2, siendo F1 dirigida para C' (dibuje F1 y F2 en la figura). ¿Cuál de esas fuerzas representaría la fuerza centrípeta en el satélite?

Un1dad 111/LEYES DE NEWTON

Problema Complementario 15

e) Explique por qué el satélite no puede penna­necer en una órbita estable como b ele la figura.

16. Tres cuerpos celestes idénticos, ele masa M cada uno, están situados en los vértices ele un triángulo equilátero ele lado L (uéase figura ele este proble­ma} El conjunto está girando en movimiento circular uniforme y sobre cada cuerpo, actúan solamente las fuerzas gra vitacionales ejercidas

por los otros dos cuerpos. . a) Exprese, en función ele L, el valor ele rad1o rde

la trayectoria ele cada cuerpo (cos 30° = 1312). b) Determine la magnitud de la fuerza resultante

F que actúa en cada cuerpo. e) Calcule la magnitud de la velocidad 7J ele cada

cuerpo

L

M

;J~,·-/ \

\ \

\

1

\~, ' )

~~' Problema Complementario 16

17. Una estrella doble está constituida por un par ele estrellas que se atraen gravitacionalmente y giran en torno a un punto determinado centro de masa \CM) dei sistema (como si estuvieran sujetas a una barra rígida). Para una estrella doble, como la que se ilustm en la figura de este problema, en la cual

't CM . 2MQ----®---------OM

-,"'· ,, -1 Problema Complementario 17

una de las estrellas tiene el doble de masa que la otra, el CM, está localizado en la posición indicada en la figura. Determine el periodo T de rotación

de esa estrella doble.

18. La figura ele este problema es una copla de la fotografía de larga exposición del cielo del hemis­ferio sur. El objetivo se mantuvo abierto durame algunas horas y se dirigió al punto en donde el eje de rotación ele la Tierra "perfora la esfera celeste". Los inumerables arcos luminosos mues­tran trayectorias de un gran número ele estrellas en relación con la Tierra. Para facilitar la solución de este problema, indicamos en la figura la tra­yectoria ele una de las estrellas: el arco descrito por ella fue reforzado y el ángulo central correspon­diente a ese arco se indicó por las dos rectas trazadas en la figura. Mida ese ángulo y determine cuánto tiempo permaneció el objetivo abierto.

Problema Complementario 18

Ejercicios

1. la Tierra era el centro del Universo, y el Sol, las estrellas y los planetas estaban incrustados en esferas que giraban alrededor de la Tierra

2. a) el que tiene como centro la Tierra b) el de los antiguos griegos y el de Tolomeo

3. las previsiones hechas a través del sistema eran bastante precisas y su estructura concordaba con

·las ideas religiosas de la Edad Media. 4. a) el que tiene al Sol como centro

b! Copérnico creía que el Universo, por ser obra ele Dios, no podía ser tan complejo como se su ponía en el sistema ele Tolomeo

e) porque contradecían la filosofía ele Aristóteles y bs creencias religiosas ele la época

;. las tablas ele datos obtenidos por Tycho Brahe

6. a) elipse b) no; está situado en uno de los focos

7. el punto D 8. a) 1 año para cada uno

b) OJ > V1. = U!¡ > l:)

9. a) distancia ele la Tierra al Sol b) 248 vueltas e) K= 1.00 año2/( u.a.)3

10. a) sí bi no, pues T2 !r3 ;= 1.00 año2/(u.a.)3

11. a) sí, ya que todo cuerpo que describe una curva debe estar sujeto a una fuerza centrípeta

b) el Sol 12. a) 12 x 1022 N

b) 2 X 1022 N e) 1 X 1022 N

13. porque se observó que entre dos cuerpos cuales­quiera existe una atracción del mismo tipo que la que se observa entre el Sol y los planetas

14. a) 10-6 N b) 1022 N 15. la comprobación de que la ley ele la gravitación

era realmente universal y la medida con precisión del valor de e

16. oc 17. a) si no existiese la fuerza de atracción, el satélite

no entraría en órbita alrededor de la Tierra b) la atracción gravitacional entre dos cuerpos se

manifiesta igualmente en el vacío, indepen­dientemente de que exista o no un medio material (por ejemplo, aire) entre ellos

18. para que la resistencia del aire no altere el movi­miento del satélite

19. a) sí b) no

Capítulo 7 /Gravitación universal

20. a) igual b) igual 21. a) menor

b) mayor 22. a) 10 horas

b) 10 horas 23. a) P= mg

b) P= GmM!r2

24. el valor calculado es g = 1.7 rn/s2 estando, pcr tanto, en buena concordancia con el experimento

25. 2.5 m/s2; 0.40 m/s2; 0.10 m/s2

26. la expresión muestra que el valor de g no depen­de ele la masa del cuerpo en caída

27. a) pequeñas b) sí

28. a) 300 veces mayor b) 100 veces menor e) 3 veces mayor d) casi 30 m/ s¿

29. a) en A b) no; en el punto opuesto se observará también

una marea alta 30. a) 6 h

b) 12 h 31. a) verano

b) 13 000 años 32. a) una elipse

b) debido a la atracción de los demás planetas sobre él

33. a) Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno b) porque son visibles a simple vist:l

34. debido a las perturbaciones causadas por un nuevo planeta, aún desconocido (Neptuno)

Preguntas .Y problemas

1. a) mismo sentido porque su velocidad aumenta b) sentido contrario porque su velocidad dismi­

nuye e) mayor

2. a) 27 años b) no e) Júpiter y Saturno

3. (e) 4. (e) 5. a) P3

b) acelerado hacia la Tierra; acelerado hacia la

Luna 6. menor 7. (el)

8. a) igual b) mayor

Unidad 111/LEYES DE NEV/TON

9. a) sí b) no e) 12 horas

10. (d) 11. 300 m!s2

12. no; la bomba, por inercia, seguiría moviéndose con la misma velocidad del satélite, y por tanto, permanecería en órbita junto con él

13. la fuerza del Sol sobre el planeta tiene compo­nente en la dirección de la velocidad: en A, en el mismo sentido de la velocidad, y en B, en sentido contrario a ella

14. a) Fe= 4rrhnr!T2

e) sí, pues T2/ r 3 sólo depende· de la masa del Sol el) tomando el valor de M que aparece en la

expresión como masa de la Tierra, sera válida para cualqui.:r satélite de la misma

15. la velocidad del satélite es t::tl que la fuerza de atracción proporciona exactamente la de necesa­ria para que describa la órbita circular.

16. (b) 17. a) 1030 kg

b) sí 18. la masa de ]l1piter se calculó por la medida ele

Ty r ele sus satélites y la masa de la Luna se midió, de manera semejante, después de la colo­cación ele un satélite artificial en órbita (utilizando la expresión T2/ r 3 = 41t 2! Gii!D

19. a) 1041 kg b) 1011 (!) estrellas

4rc 2 m 20. a) F = -- -, (luego, F"" m y F"' 1/ r 2)

K r b) El planeta ejerce en el Sol una fuerza F ele

misma magnitud que aquélla del Sol sobre el planeta. Por la segunda ley ele Newton, F"' 1'vf

21. a) Po= Gii!Iml r 2

b) P= O 22. a) mayor

b) menor e) nulo

23. a) no; porque no hay error conceptual en consi­derarse el referencial en ia Tierra

b) las órbitas de los planetas son más sencillas cuando el Sol se toma como referencial

24. Júpiter 25. N · m2/kg2

Cuestionario

l.b 2. b 3. a 4. e 5. b 6. b

7. b 8. a 9.e

10. b 11. e 12. b 13. todas están correctas 14. e l5.d 16. a 17. e 18. b 19. e 20. a 21. b

Problemas complementarios

l. 1 h 24 min 2. a) aproximadamente 0.25 s

b) aproximadamente 1 s 3. a) 5.4 g/cm3

b) la densidad media de las cortezas internas de la Tierra debe ser superior a 5.4 g/cm3

5. a) aproximadamente 35 u.a. b) entre Mercurio y Venus; entre Neptuno y

Plutón 6. a) mayor

b) menor 7. a) 600 N

b) 400 kg 8. (a); (el) 9. a) 2.7 X 10-.l m/s2

b) 2.8 X 10-3 m/s2

e) sí 10. a) el invierno (o el verano) no ocurre simultánea­

mente en los hemisferios norte y sur b) inclinación del eje de la Tierra

U. estudiante 3 12. a) no varía

b) U6 x 1022 m2

13. a) 5.2 crn!s2

b) 65% e) variación del radio de la Tierra

14. a) U;= Ver¡/ re b) U;= ;/ GM!r,

15. a) para el centro C b) F1 e) la componente F2 desviaría al satélite ele aque­

lla órbita. 16. a) r= u€

b) F= GM2 ;/3!L2

e) u= >!Civil L 17. T= 6rr-lrj/GM

18. 10 h 28 min

~-

~-

h id rostcítica

Un globo sube en la atmósfera debido al empuje que recibe del aire, de acu;rdo con el principio de Arquímedes que se estudiará en este caprtulo.