Unidad i Antologia

7/24/2019 Unidad i Antologia

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Unidad:Instituto Tecnolgico Superior

de Coatzacoalcos.

ANTOLOGIA

1UNIDAD

Fecha de Edicin:

Febrero 2016

Departaento:

Ingeniera Industrial

Unidad ITeorema fundamental del clculo1.1 Medicin aproximada de figuras amorfas.1.2 Notacin sumatoria.1.3 Sumas de Riemann.1.4 Definicin de integral definida.1.5 Teorema de existencia.1. !ropiedades de la integral definida.1." #uncin primiti$a.1.% Teorema fundamental del c&lculo.1.' (&lculo de integrales definidas.1.1) *ntegrales *mpropias.

+,-eti$os(ontextuali/ar el concepto de integral definida.0isuali/ar la relacin entre c&lculo diferencial el c&lculo integral.(alcular integrales definidas.

l teorema fundamental del clculo consiste intuiti$amente en la afirmacin deue la deri$acin e integracin de una funcin son operaciones in$ersas. stosignifica ue toda funcin continua integra,le $erifica ue la integral de su deri$ada esigual a ella misma.

l teorema es fundamental porue 6asta entonces el c&lculo aproximado de &reas7integrales7 en el ue se $en8a tra,a-ando desde 9ru8medes: era una rama de lasmatem&ticas ue se segu8a por separado al c&lculo diferencial ue se $en8adesarrollando por *saac Ne;ton: *saac ei,ni/ en el siglo ?0*** dio lugar a conceptos como el de las deri$adas. >as integrales eran in$estigadascomo formas de estudiar &reas $ol@menes: 6asta ue en este punto de la 6istoriaam,as ramas con$ergen: al demostrarse ue el estudio del A&rea ,a-o una funcinAesta,a 8ntimamente $inculado al c&lculo diferencial: resultando la integracin: laoperacin in$ersa a la deri$acin.

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1.1 Medicin aproximada de figuras amorfas.*ntuicin geomBtrica*ntuicin geomBtricaSupngase ue se tiene una funcin continua y C fx ue su representacin gr&ficaes una cur$a. ntonces: para cada $alor dex tiene sentido de manera intuiti$a pensarue existe una funcinAx ue representa el &rea ,a-o la cur$a entre ) x a@n sinconocer su expresin.

Supngase a6ora ue se uiere calcular el &rea ,a-o la cur$a entre x xh. Se podr8a6acer 6allando el &rea entre ) xh luego restando el &rea entre ) x. n resumen:el &rea ser8aAxh EAx.+tra manera de estimar esta misma &rea es multiplicar h por fx para 6allar el &rea deun rect&ngulo ue coincide aproximadamente con la regin. Ntese ue la

aproximacin al &rea ,uscada es m&s precisa cuanto m&s peueFo sea el $alor de h.!ara aproximar el &rea de una figura amorfa: se di$ide la figura en una cierta cantidadde peueFos rect&ngulos: para o,tener el &rea de cada uno de ellos despuBssumarlos.



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1.2 Notacin sumatoria.>os n@meros cua suma se indica en una notacin sigma pueden ser naturales:comple-os u o,-etos matem&ticos m&s complicados. Si la suma tiene un n@meroinfinito de tBrminos: se conoce como serie infinita.Dada una sucesin

Gsta se puede representar como la suma de los primeros tBrminos con la notacinde sumatoria o notacin sigma. l nom,re de esta notacin se denomina de la letragriega sigma ma@scula: ue corresponde a nuestra S de "suma". >a notacinsigma es de la siguiente manera

>a ecuacin anterior se lee la Asuma de aH desde 6asta .A >a letra H es elndice de la suma o variale de la sumatoria se reempla/a H en la ecuacindespuBs de sigma: por los enteros 1: 2: 3: 4: 5: I.: n: se suman las expresiones ueresulten: con lo ue resulte del lado derec6o de la ecuacin

-emplo 1(alcule la siguiente serie

Solucin

-emplo 2

Solucin

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-emplo 3

Solucin

-emplo 4

Solucin

n los anteriores e-ercicios se pone de e-emplo el pro,lema con sigma: pero desucesin numBrica a sigma como se reali/a

-emplo 9xprese cada suma en notacin sigma

Solucin

-emplo


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Sin em,argo: no 6a forma @nica de escri,ir una suma en notacin sigma: tam,iBn lapodemos representar de la siguiente manera

SolucinJM!>+S 9 as siguientes propiedades son resultado natural de las propiedades de los n@merosnaturales

!ropiedades de las sumasSean las sucesiones

ntonces: para todo entero positi$o KnL todo n@mero real KcL: sa,emos

!ropiedades de la sumatoria

1. Sea ai el i7Bsimo tBrmino de la suma. ntonces

2. Sea ai bi i7Bsimos tBrminos diferentes entre s8 de la suma. ntonces

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3. Sea k9S D >9 SM9T+R*9



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-emplo

Solucin 9Se aplica la propiedad 2.


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Se sustituen $alores

500

500

3+96

500 (501 )

C6,2813.10

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!or consiguiente esta primera parte a se reali/: despuBs

ntonces para resol$er este

C

n(n+1)(2n+1)6 Se aplica esta frmula de la sumatoria

C

500 (501)(1001)6

=83583500

O recordemos ue marca un 2 como constante al inicio por lo ue al final se tiene uereali/ar la multiplicacin por ese n@mero.

9dem&s recordemos ue

mpleando la siguiente formula

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C 5)) #ormula empleada

!ara finali/ar colocamos los resultados de cada parte correspondiente

Resultado final

Determinar las siguientes sumatorias

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1. #umas de $iemann#uma de $iemannSea f una funcin en Pa: bQ tomemos una particin del inter$alo Pa: bQ: uedenotaremos por P C x0 = a, x1,...,xn = b entonces llamamos suma de $iemann auna suma de la forma

$on

De manera intuiti$a esta suma representa la suma de &reas de rect&ngulos con ,asexk - xk-1 altura f(tk). Sim,oli/amos esta suma como S(P, f): tam,iBn se utili/a lanotacin m&s extensa pero m&s expl8cita

1.% &efinicin de integral definida.

DefinicinDada f(x) una funcin contin@a positi$a en el inter$alo [a, b]. Se define la integraldefinida: en el inter$alo [a, b], como el &rea limitada por las rectasx=a, x=b, el e-e +? la gr&fica de f(x) y se nota



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Si f(x) es una funcin continua negati$a en el inter$alo [a, b] entonces se definela integral definida: en el inter$alo [a, b], como el $alor del &rea limitada por lasrectasx = a, x = b, el e-e +? la gr&fica de f(x), cam,iado de signo.

!or lo tanto: se puede decir ueAxh E Ax es aproximadamente igual a fxh:

ue la precisin de esta aproximacin me-ora al disminuir el $alor de h. n otraspala,ras: Uxh V Axh E Ax: con$irtiBndose esta aproximacin en igualdadcuando h tiende a ) como l8mite.

1.5 Teorema de existencia.

(uando fx es la ra/n de cam,io de la funcin #x fx C ) en Pa: ,Q entonces laintegral definida tiene la siguiente interpretacin

a

b

f(x)dx C cam,io total en #x cuando x cam,ia de KaL a K,L.

Decir ue fx es la ra/n de cam,io de #x significa ue fx es la deri$ada de#x o eui$alentemente ue #x es una primiti$a de fx. l cam,io total en #xcuando x cam,ia de KaL a K,L es la diferencia entre el $alor de # al final el $alorde # al principio: es decir: #, 7 #a.



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a

b

f(x)dx C #, 7 #a.

1.' !ropiedades de la integral definida.La inte-ra. de .a /a de do/ ncione/ e/ i-a. a .a /a de .a/ inte-ra.e/de dicha/ ncione/:

La inte-ra. de. prodcto de n nero rea. 3 por na ncin e/ i-a. a.prodcto de 3 por .a inte-ra. de dicha ncin:

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