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Unidad I: Ecuaciones diferenciales de primer orden 1.1 Teora preliminar Un

sistema de ecuanciones diferenciales es un conjunto de ecuaciones

diferenciales que relacionan varias funciones incgnitas, las derivadas de esta

funcin, las variables con respeto a las que estan denidas ! ciertas constantes

Este sistema tiene el tiempo t como "nica variable independiente ! dos

funciones incgnitas #$t% e !$t%. 1.1.1&eniciones $Ecuacin diferencial, orden,grado, linealidad% 'omo su nombre lo indica, una ecuacin diferencial es

aquella ecuacin que contiene algunos t(rminos diferenciales. Estos son los

diferenciales de la funcin que contiene la variable dependiente de la ecuacin

diferencial dada. 'ontiene tambi(n una o varias variables independientes. El

formato general de una ecuacin diferencial es

Ecuaciones diferenciales ordinarias. &eniciones ! Terminologa Una ecuacin

diferencial es una ecuacin cu!a incgnita es una funcin ! en la que aparecen

algunas derivadas de esa funcin. )i la funcin que interviene tiene slo una

variable independiente, la ecuacin se llama ecuacin diferencial ordinaria

$E.&.*.%. )i la funcin tiene varias variables independientes, se dice que es unaecuacin diferencial en derivadas parciales $E.&.+.%.

dem-s del tipo $ordinaria o parcial%, las ecuaciones diferenciales se clasican

seg"n su orden. El orden de una ecuacin diferencial viene determinado por la

derivada de orden m-s alto que aparece en dica ecuacin. En su forma m-s

general una ecuacin diferencial de orden n se puede escribir como

/eamos algunos ejemplos:

Una funcin ! 0 f$#% se dice que es una solucin de una ecuacin diferencial si

la ecuacin se satisface al sustituir, en ella, ! ! sus derivadas por f$#% ! sus

derivadas respectivas. +or ejemplo,

1. )e puede comprobar que ! 0 ln # es una solucin de la ecuacin #! 2 !3 0

4 en el intervalo $4,5%.

6. )e puede comprobar que ! 0 17$#6 8 1% es una solucin de !4 2 6#!6 0 4

en el intervalo $81, 1%, pero no en ning"n otro intervalo ma!or que contenga a

(ste.

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9. )e puede probar que toda solucin de la ecuacin !4 2 6! 0 4 es de la

forma ! 0 'e86#.

partir de aora nos centraremos fundamentalmente en dos cuestiones:

;qu( ecuaciones diferenciales tienen solucin ?a! E.&.*. que carecen de soluciones. s, por ejemplo, carece de

soluciones de valor real la ecuacin @d! d# 6 2104

> ?a! E.&.*. que tienen una "nica solucin. Esto le sucede, por ejemplo, a la

ecuacin @d! d# 6 2 !6 0 4