Unidad i guia de números complejos

PROFESOR: JULIO BARRETO 1 MATERIA: MATEMÁTICA IV

UNIDAD I: NÚMEROS COMPLEJOS.

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el

mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números

complejos se designa como ,C siendo R el conjunto de los reales en donde se cumple que

.CR Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia

de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número

real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica

con la letra i ), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como

de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones

diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además

los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de

la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en

la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas

electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran

como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los

imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es

el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable

compleja —, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n

soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números

complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.


ORIGEN

El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo

Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas. El

término “número complejo” fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedrich

Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica en álgebra, teoría de los

números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial, geometría no euclídea, análisis

complejo, análisis numérico y mecánica teórica, también abrió el camino para el uso

general y sistemático de los números complejos.

En este sentido, los números complejos aparecen por primera vez en la solución de

ecuaciones de segundo y tercer grado a fines del siglo XV y principios del XVI. En esos

tiempos la solución de ecuaciones algebraicas era uno de los problemas centrales del

álgebra.

Pero no es sino hasta después de dos siglos que fueron aceptados como un recurso

técnico. Ciertamente que con las aportaciones de Argand, Gauss y Hamilton se descorre el

velo de misterio que rodeaba a estos números, pero sólo en el terreno formal; esto no

significó, de ninguna manera, que los números complejos fueran aceptados por completo

entre los matemáticos, ni mucho menos que fueran comprendidos del todo. Todavía en el

siglo XIX muchos matemáticos seguían considerándolos como “entes abominables”. Con

este se quiere señalar que el concepto de número complejo fue difícil de entender: es por

ello que se tardó tanto tiempo en ser aceptados.

Existe una infinidad de formas de introducir los números imaginarios, los cuales

están estrechamente ligados con los números complejos, pero aquí se mencionará la que no

causa tanta confusión matemática: un número imaginario representa una idea matemática

precisa, que se introdujo por la fuerza en el álgebra de la misma manera que con los

números negativos. De esta forma su entendimiento y uso serán más claros si consideramos

el desarrollo de sus progenitores: Los números negativos.

Los números negativos aparecieron como raíces de ecuaciones tan pronto nacieron

éstas; o mejor dicho, tan pronto como los matemáticos se ocuparon del álgebra. Toda

ecuación de la forma:

,0, ;0 babax

Tiene una raíz negativa.

Los griegos, para quienes la geometría era un regocijo y el álgebra un mal necesario,

descartaron a los números negativos.


Incapaces de adoptarlos a su geometría, imposibilitados para representarlos

gráficamente, los griegos no los consideraron de modo alguno. Pero el álgebra los

necesitaba para desarrollarse. Más sabios que los griegos, los chinos y los hindúes

reconocieron a los números negativos antes de la era cristiana.

Cardano, eminente matemático del siglo XVI, jugador y bribón de vez en cuando y

a quien el álgebra debe muchísimo, fue el primero que reconoció la verdadera importancia

de las raíces (soluciones) negativas en las ecuaciones. Pero su conciencia científica lo

remordió hasta el punto tal que las llamó “ficticias”.

Rafael Bombelli, de Bologna, prosiguió la obra de Cardan donde éste la había

dejado y llegó a hablar de las raíces cuadradas de números negativos, pero no llegó, del

todo, a comprender el concepto de números imaginarios. En una obra publicada en 1572,

Bombelli señaló que las cantidades imaginarias eran indispensables para la solución de

muchas ecuaciones algebraicas de la forma: .0 ;02 aax Y que no pueden ser

resueltas sino con el auxilio de números imaginarios. Tratando de resolver una ecuación tan

sencilla como ,012 x se pueden distinguir dos alternativas: o la ecuación no tiene

sentido, o x es la raíz cuadrada de −1, que también es absurdo. Pero los matemáticos se

alimentan de absurdos y Bombelli salió del paso aceptando la segunda alternativa, que

generó la burla de muchos maestros de la época.

Sin embargo, el gran Leibniz escribió: “El espíritu divino encontró un escape

sublime en ese prodigio del análisis, en ese portento del mundo ideal, en ese anfibio entre

el ser y el no ser, al cual llamamos la raíz imaginaria de la unidad negativa”. También

Euler expresó que números como la raíz cuadrada de menos uno: “…no son ni nada, ni

menos que nada, lo cual necesariamente los hace imaginarios, o imposibles”.

Euler estaba en lo cierto, pero omitió decir que los números imaginarios eran útiles

e imprescindibles para el desarrollo de las matemáticas y la tecnología. Así, se les asignó

un lugar en el dominio de los números con todos los derechos, privilegios e inmunidades

pertenecientes a ellos.

Los números imaginarios surgieron de la extensión lógica de ciertos procesos. El

proceso de extraer raíces se denomina “evolución”. Es un nombre a propósito, porque los

números imaginarios evolucionaron, literalmente, por el proceso de extraer raíces. Si 4, 7,

11 tenían sentido, ¿por qué no habrían de tenerlo −4, −7, −11? Si 012 x tenía una

solución, ¿por qué no habría de tenerla 012 x ?

El reconocimiento de los imaginarios era como el reconocimiento de la Rusia

Soviética por los Estados Unidos de Norteamérica -la existencia era innegable, todo lo que

se necesitaba era una sanción formal y su aprobación.


UNIDAD IMAGINARIA

El número imaginario más conocido es .1 Euler lo representó por el símbolo i

que aún se usa en la literatura. Así, la unidad imaginaria es el número 1 y se designa

por la letra .i Esto es:

i1

O sea que i será aquella cantidad que elevada al cuadrado resulta .1 Claramente:

.112

2 iii

Las leyes formales de operación para i son sencillas. En efecto, utilizando la Ley de

los Signos, se tiene:

.==ii=iiii

i;× i =i =i = iii

; = i = ii

= i;--i

= -i;-i

= i;+i

111

1

1

1

1

1

22

2

2

Con lo anterior se puede construir una tabla de las potencias de la unidad

imaginaria: 1i i

3i i

5i i

7i i

2i 1

4i 1

6i 1

8i 1

Esta tabla indica que las potencias impares de i son iguales a i o i y que las

potencias pares de 𝑖 son iguales a 1 o .1 Se cumple además que: .10 i

Nota: Los valores se repiten de cuatro en cuatro, por eso, para saber cuánto vale una

determinada potencia de i, se divide el exponente entre 4, y el resto es el exponente de la

potencia equivalente a la dada. Debemos destacar que el “sobrante” o “resto” que oscilará

entre 0 y 3 (lo cual es lo que nos importa para realizar los cálculos como vemos en el

ejemplo de abajo).


Ejemplos: Hallar .22i

Solución: Como haciendo la división, tenemos que: ,52

422 entonces:

11111525422 iii

Ejercicio:

Demostrar que: ii 27

RAÍZ CUADRADA DE CUALQUIER NÚMERO NEGATIVO

Podemos hallar la raíz cuadrada de cualquier número negativo como el siguiente:

.214144 i

Ejercicio: Demostrar que:

a) i 39

b) i2

10

2

5

Podemos definir a los números imaginarios de forma general:

NÚMEROS IMAGINARIOS

Un número imaginario se denota por ,bi donde:

b es un número real

i es la unidad imaginaria

Con los números imaginarios podemos calcular raíces con índice par y radicando

negativo.


Ejemplo 1: Hallar las raíces de la ecuación 092 = + x

Solución: Tenemos que:

9909 22 x =x =+x

Es decir:

ixxx 319199 111

Y

ixxx 319199 111

Ejemplo 2: Hallar las raíces de la ecuación .=x + -x 0852

Solución: Usando la resolvente de la ecuación de segundo grado tenemos que:

0852 xx

1.2

8.1.45)5(2

x

2

3225)5( x

2

75 x

2

.75 ix

Por lo tanto se tendría dos soluciones:

ix2

7

2

51 y ix

2

7

2

52

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA BINÓMICA

Al número a+bi z le llamamos número complejo en forma binómica.


En donde:

El número a es la parte real del número complejo, y se denotará como .Re az

El número b es la parte imaginaria del número complejo, denotado como .Im bz

Además:

Si 0 =b el número complejo se reduce a un número real ya que ,0 aia+ con

.0Im z

Si 0 =a el número complejo se reduce a bi+bi ,0 y se dice que es un número

imaginario puro, es decir, .0Re z

El conjunto de todos números complejos se designa por .C Se expresa:

RbabiaC ,/

Y tenemos que:

Los números complejos a+bi y bi a se llaman opuestos.

Los números complejos a+bi z y bi az se llaman conjugados.

De lo anterior se concluye que el conjunto de los Números Reales es un subconjunto

de los Números Complejos

Demos así la siguiente definición:

Definición: (Igualdad de Complejos): Dos números complejos 1z y 2z son

iguales siempre que:

21 ReRe zz y .ImIm 21 zz

Ejemplo: Verificar para cuales valores de x e y los números complejos

ixz 621 y yiz 3102 sean iguales.

Solución: Debe cumplirse que las partes reales y complejas de los números deben

ser iguales, es decir:

52

10102

xxx y yyy 2

3

636


PLANO DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS O DIAGRAMA DE ARGAND

El concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números

complejos. Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de

los polos y los ceros de una función en el plano complejo.

Definición (El Plano Complejo):El plano complejo es un sistema de coordenadas

rectangulares o cartesianas con la particularidad que en el eje X o de las abscisas se

representará la parte real del complejo (EJE REAL), y en el eje Y o de las ordenadas se

representará la parte imaginaria del mismo (EJE IMAGINARIO).

NOTAS: En el plano complejo los números imaginarios pueden ser representados

como puntos o como vectores. Además, la suma de números complejos se puede relacionar

con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarse

simplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto

de las magnitudes de los términos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la

suma de los ángulos de los términos.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.

El eje X se llama eje real.

El eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a+bi z se representa:

1. Por el punto ba, que se llama su afijo.

2. Mediante un vector de origen

0,0 y extremo .,ba


Los afijos de los números reales se sitúan sobre el eje real, .X

Los afijos de los números imaginarios se sitúan sobre el eje imaginario, .Y

En este sentido, los Números Complejos se pueden expresar de varias formas:

1. FORMA BINÓMICA: Es la manera como se han presentado hasta ahora:

Ejemplos: 321 i; +=z 3

12 i; =z 9

2

13 ; i=z 24 ; =z .105 i=z

2. FORMA CANONICA O DE PAR ORDENADO: Se colocan, entre paréntesis

y separadas por una coma, primero la parte real y segundo la parte imaginaria del

complejo en cuestión.

Ejemplos: ;=z 3,21 1,3

12 ;=z

2

1,93 ;=z

;=z 0,24 .10,05=z

Nota: En los ejemplos anteriores que 4z es real y que 5z es imaginario puro.

3. FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR (Será explicada más adelante).

Ejercicio: Representar los números complejos anteriores, tanto en forma binómica

como en forma canónica o como par ordenado.


OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS

Sean a+biz 1 y c+diz 2 dos numero complejos, entonces se pueden realizar

las siguientes operaciones:

1. SUMA Y DIFERENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS:

La suma y diferencia de números complejos se realiza sumando y restando las partes

reales y las partes imaginarias entre sí, respectivamente.

ib+d+a+c=dic+a+bi

ib -d+a -c=c+di-bia

Ejemplo: Sean ,251 i+z i+-z 382 y ,243 i-z hallemos .321 zzzz

i+i = -++ - -= i--i +-i+z 77232485243825

Ejercicio: Dados ;531 i+z ;42 iz ;23 iz 0,34 z y .3,04 z

Halla el resultado de: .54321 zzzzzz

2. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

El producto de los números complejos se realiza aplicando la propiedad distributiva

del producto respecto de la suma y teniendo en cuenta que .12 i

iad+bc+dbac=dica+bizz 21

Ejemplo: Sean i+z 251 y ,322 iz hallemos .21 zzz

1116

415610

223532253225

i - =

i +=

i -+--= i-i+z

Ejercicio: Dados 2,31 z y ,5,22 z halla el valor de .21 zzz


Deducción de una fórmula para realizar el producto de complejos más directamente,

realizando los productos entre estos números complejos.

2

21. idbicbidacadicbiazz

1 dbicbidaca

icbdadbca .

Por lo tanto la fórmula quedaría:

icbdadbcadicbiazz 21

O bien en forma canónica:

cbdadbcadcbazz ,,,21

Regla memorística para recordar la aplicación de la fórmula:

(Al estudiante se le deja verificar la regla resolviendo el ejemplo anterior del

producto de complejos).

Cálculo de la Parte Real:

dbca

ciónMultiplica

dc

ba

..

,

,

Siempre negativo

Cálculo de la Parte Imaginaria:

cbda

ciónMultiplica

dc

ba

..

,

,

Siempre positivo


CONJUGADO DE UN COMPLEJO:

Llamaremos conjugados a dos complejos denotados como z y z que tengan sus

partes reales idénticas pero sus partes imaginarias opuestas. Esto será:

a+bi z y .biaz

Ejemplos:

En forma binómica: En forma canoníca:

PROPIEDAD DE LOS COMPLEJOS CONJUGADOS:

Al multiplicar dos complejos conjugados, el resultado es un número real positivo.

Ejemplo: Si ,2 iz halla el producto de .zz

Resolución:

522)1(422. iiizz

Por lo tanto: 5. zz

Vamos a probar ahora la propiedad para cualquier par de complejos conjugados

(Fórmula): Si tenemos que a+bi z y ,biaz entonces:

z z

1,3 1,3

5, 5,

3,0 3,0

0,e 0,e

0,0 0,0

z z

i 53 i 53

i 2 i 2

i3 i3

8 8


iabbababiabiazz .).()(. 22

ibababazz ... 22

ibazz 0. 22 22. bazz (Fórmula)

(Al estudiante se le deja verificar la propiedad resolviendo el ejemplo anterior).

3. DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS:

El cociente de números complejos se realiza multiplicando numerador y denominador

por el conjugado de este.

idc

adbc+

dc

bdac=

dic

a+bi

2222

Ejemplo: Sean i+z 231 y ,212 iz calcule .2

1

z

zz

i+

i+

i+

i+=

i

i+z

5

8

5

1

5

8

5

43

41

62

41

43

21

2312

21

2213

21

23

2222

Nota: Para dividir números complejos multiplicamos el numerador y el

denominador por el conjugado del denominador. Realice la demostración de esta fórmula.

Ejercicios: Halla el valor de:


ii

z

2

23

i

iz

65

827

GEOMETRÍA Y OPERACIONES CON COMPLEJOS

Geométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender

como sigue. Para sumar dos complejos 111 b+i=az y ,222 b+i=az podemos pensar en

ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntando desde el origen al punto

11,ba y ,22,ba respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sin

cambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del

primer vector; el segundo vector así ubicado apuntará al complejo .21 zz

Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos 1z y ,2z primero medimos

el ángulo que forman en sentido contrario a las agujas del reloj con el eje positivo de

las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultante corresponde con el del vector que

representa al complejo producto .21 zz

La longitud de este vector producto viene dada por la multiplicación de las longitudes

de los vectores originales. La multiplicación por un número complejo fijo puede ser vista

como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.

Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en

dirección contraria a las agujas del reloj. Asimismo el que 111 puede ser


entendido geométricamente como la combinación de dos rotaciones de 180º ( 12 i ),

dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.

NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y TRIGONOMÉTRICA

MÓDULO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el

origen de coordenadas y su afijo. Se designa por .z Es dado por: .22 bazr

Ejemplo: Halla el módulo de .43 iz

Solución: De la fórmula tenemos que:

251694)3( 22 z

Por lo tanto: 5z

ARGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO

El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real.

Se designa por .zArg

El argumento de un complejo puede tomar infinitos valores que se diferencian entre sí

por un número enteros de vueltas: .con ,2 ZkkzArg


Llamaremos argumento principal al que está comprendido entre 2,0 , o sea una

vuelta; y se calcula usando cualquier función trigonométrica como por ejemplo:

,r

barcSen

r

bSen ,

r

aarcCos

r

aCos .

a

barcTg

a

bTg

Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de a

b prescindiendo de los

signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

IV cuadrante elen ,360

0y 0 si,270

III cuadrante elen ,180

0y 0 si,180

II cuadrante elen ,180

0y 0 si,90

I cuadrante elen ,

0y 0 si,0

0

0

0

0

0

0

0

ba

ba

ba

ab

a

barctg

Ejemplos: Halla el argumento de los siguientes complejos: iz .221 y

iz .572

Solución:

Argumento de z1: 12

2

arcTgTg

Por lo tanto: )º360(2º135:24

3kbienok

Argumento de z2: 714286,07

5arcTgTg

Por lo tanto: )º360(2º5376,215:28809,1 kbienokrad

FORMA TRIGONOMÉTRICA O POLAR DE UN NÚMERO COMPLEJO:


En la figura se tiene que:

Senbdondedeb

Sen . ;

Y también:

Cosadondedea

Cos . .

Ahora, como ,bz=a+i sustituyendo obtenemos:

iSenCosz ... ,

Lo cual organizándolo nos queda: SeniCosz .. , y ahora sacando el factor

común resulta: SeniCosz . , y por último llamando a la expresión

SeniCos . = Cis se tiene la “Forma Trigonométrica o Polar de Z”:

Cisz .

Ejemplo 1: Convierta de la forma polar a la forma binómica: 120º2z


Solución: Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer

lugar a la forma trigonométrica.

Tomando en cuenta que: .isenααrrz α cos

Así,

00

00

1202120cos2z

120120cos2

isen

isenz

De aquí que la parte real es dada por:

.12

12120cos2 0

a

Y la parte imaginaria es:

.32

321202 0

senb

Por tanto, el número complejo en forma binómica es dado por:

i31z

Nota: Reales e imaginarios puros de módulo unidad:

z =10º = 1 z =1180º = −1 z =190º = i z =1270º = −i

Ejemplo 2: Pasar a la forma polar: i31z

Solución: Notemos que su modulo y argumento viene dados por:

.2z4z31z31z22

.601

3arcTg 0

Y por tanto nos queda que:

60º2z

NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES, CONJUGADOS, OPUESTOS E INVERSOS


NÚMEROS COMPLEJOS IGUALES: Dos números complejos son iguales si

tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

k

rrrr

2

NÚMEROS COMPLEJOS CONJUGADOS: Dos números complejos

son conjugados si tienen el mismo módulo y opuestos sus argumentos.

k

rrrr

2 conjugado

NÚMEROS COMPLEJOS OPUESTOS: Dos números complejos son opuestos si

tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

k

rrrr

2 opuesto

Representaciones de los opuestos y conjugados:

NÚMEROS COMPLEJOS INVERSOS: El inverso de un número complejo no

nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.

-αα r

r

11

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Y

TRIGONOMÉTRICA


MULTIPLICACIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

La multiplicación de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el producto de los módulos.

Su argumento es la suma de los argumentos.

Es decir: rrrrα

Ejemplo:

00000 6015451545183636

PRODUCTO POR UN COMPLEJO DE MÓDULO 1

Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del

origen.

rrα 1

Representaciones:

DIVISIÓN DE COMPLEJOS EN FORMA POLAR

La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:

Su módulo es el cociente de los módulos.

Su argumento es la diferencia de los argumentos.

Es decir:

r

r

r

rα

Ejemplo:

0

000

0

30304515

45 23

6

3

6


POTENCIA DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR

La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.

Su argumento es n veces el argumento dado.

nnn

α rr

Ejemplo:

00

0 120304

44

301622

FÓRMULA DE MOIVRE: nisennisenn

coscos

Ejemplo:

44coscos4

isenisen

RAÍZ DE NÚMEROS COMPLEJOS

Raíz enésima de complejos en forma polar: n r

Tenemos que la raíz enésima de número complejo es otro número complejo tal que:

Su módulo es la n raíz enésima del módulo.

n rr

Su argumento es:

.1,3,2,1,0con ,2

nkn

k

Así:

n

n

kn rr 2

Ejemplo: Hallar 6 1 i

Solución:

Sea ,1 iz tenemos que su modulo es:


211 22 z

Además, su argumento es:

0451

1

arctag

Por tanto, tenemos que:

0452z

Luego:

64502

De donde:

126 22 z

Y obtenemos:

03307

12

6

0

6

03247

12

5

0

5

03187

12

4

0

4

03127

12

3

0

3

0367

12

2

0

2

037

121

0

1

00

0

0

0

0

0

0

2033075

2032474

2031873

2031272

203671

20370

6

36045

zk

zk

zk

zk

zk

zk

k

Es decir:

EJERCICIOS DE NÚMEROS COMPLEJOS

1. Hallar .37i


2. Halla el valor de “z”, donde iiiiiiz .5.2.3.5.3.2 59222582120031942

3. Hallar las raíces de la ecuación .=x x 012

4. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos ixz 842

1 y

iyxxz 42 sean iguales.

5. Verificar para cuales valores de x e y los números complejos xiyxz 1 y

iyz 262 sean iguales.

6. Sean los números complejos: ;=z 3,21 1,3

12 ;=z

2

1,93 ;=z

;=z 0,24

.10,05 =z Representarlos en el plano complejo. Expresarlos en forma binómica.

7. Sean ,251 i+z iz 382 y .243 i-z Hallar:

a) .321 zzzz

b) .32 zzz

c) .3

2

1 zz

zz

8. Pasar a la forma polar y trigonométrica: .31 iz

9. Escribir en forma binómica: 0602z

10. Calcular todas las raíces de la ecuación: .016 x

11. Determina las soluciones de 0.225 ix .

12. Determina 4 º4081Cis .

13. Realiza las siguientes operaciones:

a)

0

0

60

3

20

2

3

b) 101 i

c) 631 i


d) 3

3

1

i

i

14. Resuelve la siguiente raíz, expresando los resultados en forma polar.

5 1010 i

15. Escribe una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones i21 y su

conjugado.

16. Calcula la siguiente operación, dando el resultado en forma polar.

ii

ii

223

2332

17. Calcula el valor de cociente, y representa los afijos de sus raíces cúbicas.

i

ii

2

77

18. Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cubo sea:

22cos8

isen

19. Expresa en función de cos y :sen

a) a5cos

b) asen5

20. Escribe en las formas polar y trigonométrica, los conjugados y los opuestos de:

a) i44

b) i22

21. Calcular todas las raíces de la ecuación: 0325 x

22. Expresa en función de cos y :sen


a) a3cos

b) asen3

PROBLEMAS DE NÚMEROS COMPLEJOS

1. Calcula k para que el número complejo que obtenemos de la siguiente división esté

representado en la bisectriz del primer cuadrante.

ik

i

2

Solución: 3k

2. Halla el valor de k para que el cociente ik

ki

2sea:

a) Un número imaginario puro.

b) Un número real.

Solución: 2,0 kk

3. Se considera el complejo ,322 i se gira 45° alrededor del origen de coordenadas

en sentido contrario a las agujas del reloj.

Hallar el complejo obtenido después del giro.

Solución: 51054z

4. Hallar las coordenadas de los vértices de un hexágono regular de centro el origen

de coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el afijo del complejo 190°.

Solución:

2

1,

2

31,0,

2

1,

2

3,

2

1,

2

3,1,0,

2

1,

2

3454321 zzzzzz

5. Determina el valor de a y b para que el cociente bi

ia

3

2 sea igual a: 03152

Solución: 5,8 ba

6. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que se obtiene al girar 90°, en sentido

antihorario alrededor del origen, el afijo del complejo 2 + i?

Solución: 2,1


7. Halla las coordenadas de los vértices de un cuadrado de centro el origen de

coordenadas, sabiendo que uno de los vértices es el punto (0, −2).

Solución: 2,0,0,2,2,0,0,2 4321 zzzz

8. La suma de los componentes reales de dos números complejos conjugados es seis, y

la suma de sus módulos es 10. Determina esos complejos en la forma binómica y

polar.

APLICACIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS A LA ELECTRICIDAD

Una aplicación de los números complejos es el cálculo de impedancias equivalentes

en redes eléctricas a corriente alterna. Antes, es necesario introducir algunos conceptos de

circuitos eléctricos.

La “impedancia” eléctrica es la oposición al flujo de la corriente eléctrica de

cualquier circuito. Por lo general, en los textos, la magnitud de la impedancia se denota

como z y se suele definir como:

22

CLR ZZZZ

Donde RZR es la impedancia resistiva o la resistencia del cuerpo a que fluya la

corriente, C

iZC (con 𝜔 la frecuencia angular de la corriente alterna) es la impedancia

capacitiva siendo C la capacidad que tiene el cuerpo para almacenar carga, y iLzL es

la impedancia inductiva siendo L la magnitud de la oposición que tiene el cuerpo a

cambios en la corriente.

Debido a la Ley de Ohm ( RV=I ), el voltaje y la corriente en un resistor tienen la

misma frecuencia angular; es decir están en fase. Este no es el caso del voltaje y la corriente

a través de un capacitor que retrasa a la frecuencia angular de la corriente alterna en −90° o

2

𝑟𝑎𝑑. En la corriente a través de un inductor, la frecuencia angular sufre una variación

de +90° o 2

𝑟𝑎𝑑; es decir, se adelanta 90° o

2

𝑟𝑎𝑑.

La representación geométrica de la invariancia, retraso y adelanto de la frecuencia de

la corriente con respecto a la frecuencia del voltaje es como se muestra en la figura adjunta.


Lo anterior indica que la impedancia se puede representar como el número complejo:

;1

iC

LRZZZZ CLR

Con modulo: 2

2 1

CLRZ

Y con argumento:

R

CωLω

Z

1

arctanarg

Por otro lado, las impedancias también obedecen a las mismas reglas que para el

cálculo de sus componentes individuales CR, y L en circuitos RLC en serie y en

paralelo.

Circuito RLC en Serie Circuito RLC en Paralelo

Es decir, para un conjunto de elementos nZZZZ ,,,, 321 que están en serie y en

paralelo, respectivamente, la impedancia equivalente eqz es:


neq ZZZZZ 321 O neq ZZZZZ

11111

321

Ejemplo 1: Por el circuito en serie mostrado en la figura adjunta circula una corriente

de 𝐼 = 2 sin 500𝑡 Amp. Obtener la magnitud de la impedancia equivalente del circuito y el

ángulo de desfasamiento entre la corriente y el voltaje.

Solución:

En este caso 𝜔= 500. El número complejo que representa a la impedancia equivalente

es:

iΩΩ + Hzi= H × × Ω + Hzi = mH × Ω + = Z -

eq 10105001020105002010 3

De esta forma, la magnitud de la impedancia equivalente es:

14,142001001001010 22 + =Zeq

El ángulo de desfasamiento está dado por el argumento de la impedancia

equivalente:

radZeq4

1arctan10

10arctanarg

Este resultado indica un adelanto en la corriente de 45° con respecto a la frecuencia

de entrada.

Ejemplo 2: Del circuito en paralelo mostrado en la figura siguiente:


Obtener la impedancia total Z si

.2,4,6,2 21 LC XXRR

Solución: En este caso:

;4211 iiXRZ C

;2622 iiXRZ L

Puesto que los circuitos están en paralelo, entonces:

21

111

ZZZ

Esto implica que:

21

21

ZZ

ZZZ

Esto es:

i. -= i -

=i +

i +×

-i

i - =

i -

i - =

i + + i -

i + i - Z 8,19,2

17

3050

44

44

4

1010

28

2020

2642

2642

La magnitud y ángulo de desfasamiento de esta impedancia son:

41,365,1124,341,81,89,222

Z

0.55rad. = 0,62-arctan = 2,9

1,8-arctan = Zarg =


∎

UNA FÓRMULA MARAVILLOSA

Relaciona los números imaginarios (i = raíz cuadrada de (–1)), con las potencias (número

e y logaritmos neperianos) y con las funciones trigonométricas. Permite recordar, sin

esfuerzo, fórmulas trigonométricas como la del seno o coseno de una suma de ángulos, del

ángulo doble o mitad, y calcular, con facilidad, derivadas de funciones trigonométricas.

Esta es la Fórmula de Euler: isene i cos

Y cuando , tenemos que:

1ie o bien 01ie

Para finalizar, se enunciará la opinión que emitió alrededor de la cuarta década del

siglo XX el eminente científico John von Neumann acerca de los números complejos:

“Hace 150 años, uno de los problemas más importantes de la ciencia aplicada -de la

que dependía el desarrollo de la industria, comercio y gobierno- era el problema de salvar

vidas en el mar. Las estadísticas sobre esas pérdidas eran terribles. El dinero y los esfuerzos

empleados en resolver el problema eran también terríficos, los matemáticos desarrollaban

una herramienta que salvaría más vidas que las que esperaba salvar el grupo de excéntricos

inventores. Esa herramienta se llegó a conocer como la teoría de Funciones de Variable

Compleja. Entre las muchas aplicaciones de esta noción puramente matemática, una de las

más fructíferas es la Teoría de la Comunicación por Radio.”

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Baldor, A. “Álgebra”. Distribuidora Cultural Venezolana S.A.

Churchill, R. (1992). Variable Compleja y Aplicaciones. Quinta Edición.

McGraw-Hill, México.

Edminister, Joseph A. (1981). Circuitos eléctricos. Serie de Compendios

Schaum, McGraw-Hill/INTERAMERICANA DE ESPAÑA, S.A.

Mendiola, Esteban. “Matemáticas 4to. Año”. Editorial Biosfera S.R.L. Capítulo

VII

Jiménez, J y Salazar, J. “Matemáticas Primer Año, Ciclo Diversificado.”.

Ediciones CO-BO. Caracas.

INTERNET: http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html#

http://www.vitutor.com/di/c/a_11.html

Unidad i guia de números complejos

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