UNIDAD II2.2 MODELOS DE PROGRAMACIN MATEMTICA2.2.1. Modelamiento

El modelamiento es un proceso propio de los seres humanos. Mediante este proceso el individuo, de acuerdo a su experiencia y conocimientos, define una representacin de un fenmeno o situacin. Nosotros entendemos y explicamos nuestras acciones por medio de la construccin de modelos. Nuestra interpretacin y entendimiento de un fenmeno son realizados a travs de nuestra experiencia y conocimientos, generando interpretaciones individuales acerca de ellos. Obviamente los modelos no contienen todos los detalles de la situacin real. Aun cuando fuera posible percibir e incorporar estos detalles, en general, la complejidad del mundo real es tal que el tamao de los modelos resultantes superara largamente la cantidad de datos que un computador puede manejar. Adems, esto no contribuira necesariamente a comprender mejor la situacin. Esta idea de modelamiento conlleva tres conceptos importantes de ser destacados: interpretacin individual, definicin del mbito de interpretacin, y representacin del fenmeno. Respecto a la interpretacin individual, debe observarse que el modelo es fruto de la experiencia del individuo y de su conocimiento. Esto es importante, ya que, en opinin de algunos autores, el conocimiento posee caractersticas ms objetivas y est sujeto a ser estructurada; sin embargo, la experiencia depende de cada individuo y es poco susceptible de ser estructurada. Uno de los aspectos relevantes en la concepcin de un modelo corresponde a la definicin del mbito de interpretacin. Por ello se entender la definicin de lo que es relevante y lo que no lo es. Este proceso es conocido con el nombre de abstraccin, y depende de los objetivos perseguidos con el modelo. Simon (1990) plantea que los modelos pueden ser utilizados para predecir o para prescribir. Los modelos predictivos representan eventos o situaciones que no son posibles de controlar, con el objetivo de adaptarse mejor a ellos, por ejemplo, los modelos que predicen el clima, los terremotos, los eclipses, etc. No se puede impedir que estos fenmenos ocurran, pero se pueden tomar acciones para evitar o disminuir sus efectos. Estos modelos, por otro lado, tienen como objetivo estudiar las consecuencias de efectuar ciertas decisiones, es decir, responder a preguntas como qu se puede hacer hoy, para conseguir un determinado comportamiento o caracterstica en el futuro?, qu ocurre si?, qu se necesita para.?, etc. Estos ltimos son modelos que se utilizan en investigacin de operaciones. Como resultado del proceso de abstraccin, algunos aspectos o elementos del fenmeno o situacin observados no son incorporados en el modelo. Esto implica, en definitiva, generar algn grado de incertidumbre respecto a su representabilidad y, por lo tanto, es necesario analizar si ese grado es aceptable para los propsitos del modelo. 1

Finalmente, la representacin del fenmeno corresponde a la transformacin de los elementos y relaciones seleccionados mediante el proceso de abstraccin en otros elementos y procedimientos o reglas que permitan estructurar el modelo. Esta estructuracin depender de la disciplina en la que el modelo es desarrollado y de la capacidad del modelador para transformar el fenmeno a elementos de esa disciplina. El amplio espectro que abarca el modelamiento, desde modelos sociales y filosficos hasta matemticos, hace difcil el desarrollo de metodologas para la construccin de modelos. En este captulo consideraremos solamente modelos matemticos que pueden ser utilizados como apoyo a la toma de decisiones en la gestin de diversas organizaciones. La metodologa que se propone aqu es vlida slo en este mbito.2.2.2. Construccin de un Modelo de Apoyo a la Toma de Decisiones

A continuacin se proponen algunos criterios que pueden guiar el desarrollo de modelos cuyo objetivo es apoyar la toma de decisiones. El proceso de desarrollo de un modelo debe ser visto como un proceso de aprendizaje y elaboracin. En este sentido, es recomendable partir de modelos simples y mediante sucesivas modificaciones aproximarse a modelos ms complejos. Un buen punto de partida en el desarrollo de un modelo lo constituyen las analogas y asociaciones con fenmenos o situaciones conocidos. De este modo, un modelo puede ser construido tomando como base otro ya existente. Para algunas situaciones que se presentan con algn grado de frecuencia en la gestin de organizaciones, la investigacin operativa propone modelos generales que pueden ser adaptados y/o modificados para casos particulares, como por ejemplo, programacin matemtica, teora de colas, flujo de redes, etc. An ms, existen modelos desarrollados para situaciones especficas, como por ejemplo, modelos de programacin lineal para planificacin de la produccin, para programacin de mquinas, para localizacin de instalaciones, etc.; modelos de flujo en redes para transporte y distribucin, para trfico de vehculos, etc. Existen diversos criterios para evaluar la bondad de un modelo. En el mbito de la toma de decisiones, a nuestro juicio, el mejor modelo es aquel que permite estudiar mejor el comportamiento de un sistema y lo hace en la forma ms simple posible. Esto es, un buen modelo de apoyo a la toma de decisiones facilita el anlisis del impacto que pueden tener diversas alternativas de decisin. Es importante recalcar que para poder evaluar el comportamiento de un fenmeno o sistema, es necesario conocer los objetivos establecidos al desarrollar el modelo. En caso contrario, ste puede ser un mal predictor del comportamiento o adquirir demasiada complejidad.

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2.2.3.

Modelos Matemticos de Apoyo a Decisiones

Un modelo matemtico se diferencia de otros tipos de modelos por el hecho de que todos sus elementos corresponden a funciones o relaciones matemticas. Un modelo matemtico de apoyo a la toma de decisiones es un modelo matemtico que adems posee uno o ms objetivos, y donde las variables o incgnitas deben representar las decisiones que se desea apoyar. La forma general de este tipo de modelos es: Max (Min) (x1, , xn) s.a. gi (x1, , xn) 0

i = 1, , m.

Los elementos incluidos en este modelo son: a) b) Condicin de optimizacin: corresponde a establecer si el modelo ser de maximizacin o minimizacin. Esto depende de los objetivos perseguidos. Funcin objetivo: es el criterio que orientar las decisiones y est representado por la funcin escalar (x1, , xn). Generalmente esta funcin representa beneficios, costos, ingresos, etc. Variables de decisin: los elementos que representan matemticamente las decisiones que se desea apoyar son las variables o incgnitas del modelo y se denotan por x1, x2, , xn. Ellas corresponden, por ejemplo, a cantidad de producto por fabricar, nmero de equipos por reemplazar, si una ciudad es visitada o no, flujo de vehculos en un camino, etc. Restricciones: cada una de ellas corresponde a una limitacin del sistema que es incorporada al modelo y representan por medio de las funciones escalares gi (x1, , xn), i = 1, , m. A modo de ejemplo: espacio mximo disponible, cantidad mnima de producto requerido, presupuesto disponible, etc. Parmetros o datos: representan decisiones, que a diferencia de las variables de decisin, no son controlables.

c)

d)

e)

Tanto la funcin objetivo como las restricciones establecen relaciones entre las variables de decisin y los datos o parmetros. La tarea del modelador consiste en dar forma a estas funciones, de manera de caracterizar apropiadamente el sistema y de identificar las decisiones que se desea apoyar. Para construir un modelo matemtico de apoyo a la gestin, es recomendable:

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Establecer en forma verbal y clara cules son las decisiones que se desea apoyar con los resultados del modelo. Asociar a cada decisin una variable, indicando las unidades en que se expresar el valor de ella. Establecer en forma verbal el o los criterios que sern representados por la funcin objetivo. Establecer en forma verbal la limitacin o caracterstica del sistema que ser representada por cada restriccin. Expresar en trminos matemticos las cantidades involucradas en la funcin objetivo y en cada una de las restricciones, utilizando las variables de decisin y los datos. Es importante verificar la consistencia de unidades entre las distintas cantidades de cada relacin. Recolectar los datos necesarios para establecer las relaciones anteriores numricamente. Esto requiere, generalmente, tiempo y recursos. Si stos se consideran excesivos o no se dispone de ellos, puede ser necesario modificar el alcance o mbito del modelo a fin de incluir slo los datos que estn disponibles.2.2.4. Planificacin de la Produccin de Puertas y Ventanas

La empresa ABRAX Ltda. Fabrica puertas y ventanas de madera. Existen dos modelos de puertas: puertas y ventanas: dobles y simples. El insumo ms importante es la madera. El proceso de corte de las partes se realiza en dos sierras elctricas de precisin y el barnizado lo efecta personal experimentado. Las cantidades de madera y los tiempos de corte y barnizado que requiere cada producto se muestran en la tabla siguiente: Requerimientos de Recursos Producto Puertas dobles Puertas simples Ventanas dobles Ventanas simples Madera (m2) 4,0 2,5 3,0 1,8 Corte (horas-mquina) 1,5 1,0 2,0 0,8 Barnizado (horas-hombre) 2,0 1,2 1,5 0,8

Los proveedores de madera pueden entregar hasta 800 m2 en un mes. Adems, se pueden utilizar hasta 400 horas de sierra para el proceso de corte y 300 horas-hombre para el barnizado. La empresa est comprometida con una constructora para entregar 200 puertas simples y 120 ventanas dobles en el mes. Los precios de venta unitarios y costos unitarios de produccin, en miles de pesos (M$), se muestran en la siguiente tabla. 4

Se desea determinar un plan de produccin para el mes que maximice el beneficio total y cumpla con los compromisos de entrega, suponiendo que todo lo que se produce se vende. Precios y Costos Producto Puertas dobles Puertas simples Ventanas dobles Ventanas simples Precio (M$) 120 80 100 60 Costo unitario (M$) 80 50 75 30

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2.2.5.

Problema General de Produccin

El problema anterior es un caso particular del caso general que se discute a continuacin. Supongamos que se desea disear un plan de produccin y de manejo de inventario para los prximos T perodos, esto es, determinar la cantidad que se ha de producir y la cantidad que se deja en inventario de cada uno de los n posibles productos en cada perodo. Para ello se cuenta con m recursos productivos. La cantidad mxima disponible del recurso i en el perodo t es bit, i = 1, , m; t= 1, , T y la cantidad de recurso i que requiere una unidad del producto j para ser fabricado (su coeficiente tecnolgico) es aij. La demanda estimada del producto j en el perodo t es djt. El inventario del producto j al inicio del primer perodo es Ij0. El plan debe minimizar los costos de produccin y mantencin de inventario. El costo unitario de produccin del producto j en el perodo t es Cjt y el costo unitario de mantencin del inventario del producto j en el perodo t es kjt. El plan debe ser tal que no exceda la cantidad disponible de recursos y que satisfaga la demanda.

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2.3

MEZCLA DE PRODUCTOS El objetivo de este problema es determinar la composicin, de mnimo costo o mximo beneficio, que debe tener cierto producto que se fabrica mezclando otros productos o ingredientes y que debe cumplir con ciertas especificaciones tcnicas. El primer problema de este tipo que se resolvi fue uno conocido como problema de la dieta donde se intenta determinar la frmula o composicin que debe tener un alimento de modo que satisfaga los requerimientos nutritivos establecidos. Existen aplicaciones del problema de mezcla de productos en diversas reas productivas: raciones para animales, productos alimenticios, elaboracin de pinturas, combustibles, licores, productos farmacuticos, fertilizantes, tc.2.3.1.

Diseo de la Composicin de Alimento de un Plantel Cuncola

El administrador de un plantel cuncola (crianza de conejos) desea determinar la composicin de 1.000 kg de alimento que cumpla con los requerimientos nutritivos establecidos para el normal crecimiento de los conejos y que tenga el menor costo posible. En la elaboracin del alimento pueden utilizarse los ingredientes cuyas caractersticas nutritivas y costo se sealan en la siguiente tabla. La dieta debe tener las siguientes caractersticas: Protena Fibra Hidratos de carbono Caloras Harina de pescado Ingredientes Harina de soya Harina de pescado Trigo Alfalfa Avena : : : : : 15% mnimo 25% Mnimo 20% y mximo 40% Mnimo 800/kg y mximo 1.800/kg Mximo 10% Costo ($/kg) 45 100 70 45 80

Caractersticas de los Ingredientes Protenas Fibra Hidratos de Caloras (%) (%) Carbono (%) (caloras/kg) 9 12 50 1.000 55 -4 1.950 7 6 66 1.750 12 25 35 450 8,5 11 58 1.700

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2.4 TRANSPORTE DE PRODUCTOS Una de las primeras y ms populares aplicaciones de programacin lineal corresponde al problema de transporte. Este problema que tiene diversas variantes, en su formulacin ms simple consiste en determinar un plan de distribucin para un producto que est disponible en cierto nmero de lugares, denominados orgenes, y que debe enviarse en cantidades preestablecidas a localidades llamadas destinos. El plan debe ser tal que el costo total de transporte sea mnimo, dados los costos unitarios de transporte entre cada par origen-destino. Se iniciar la ilustracin de este problema con la formulacin anterior que considera slo un producto y un perodo. Posteriormente, se considerarn otras formulaciones que incluyen centros de transbordo, varios perodos, varios productos, etc.2.4.1.

Transporte de Frutas

Una empresa transnacional exportadora de frutas que opera en Amrica del Sur desea determinar un plan de distribucin de la fruta desde las plantas empacadoras hasta los centros de distribucin, para el perodo de verano. Las plantas se encuentran ubicadas en Rancagua, San Pablo y Bogot. El mercado se ha agrupado en cuatro regiones, como se muestra en la figura Requerimientos de Recursos siendo cada una de ellas atendida por un distribuidor. Los centros de distribucin estn localizados en Santiago, Ro de Janeiro, Quito y Caracas. En la Tabla Costos de Transporte, se sealan los costos unitarios en M$, los requerimientos de cada regin y la produccin de fruta en las plantas, para el perodo de verano.

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Transporte de Frutas

Costos de Transporte

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2.4.2. Transporte con Transbordo

Esta es una de las variantes ms interesantes del problema de transporte. En este caso se considera la posibilidad de enviar los productos a los destinos a travs de puntos intermedios, es decir, un origen puede enviar producto a un destino directamente o bien a travs de algn punto intermedio. Estos puntos pueden ser otros orgenes, otros destinos o bien lugares denominados centros de transbordo que slo reciben, almacenan por perodos cortos y redistribuyen los productos, como por ejemplo, puertos, aeropuertos, bodegas intermedias, lugares de acopio o acumulacin de producto, etc. La estructura ms simple de este problema contiene m orgenes, n destinos y q centros de transbordo. Los productos se envan desde los orgenes a los centros de transbordo y desde all, en un instante determinado, a los destinos. Todos los productos deben pasar por algn centro de transbordo. La situacin se muestra esquemticamente en la figura siguiente. Se asume que cada centro de transbordo tiene una capacidad limitada para almacenar productos.

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Representacin del Problema de Transporte con Transbordo

Se asumir que los centros de transbordo slo almacenan producto durante el perodo considerado, esto es, los productos que recibe un determinado centro deben ser distribuidos durante ese mismo perodo. Para este caso, el modelo se puede formalizar de la siguiente forma. Sean las variables de decisin: Se consideran los siguientes parmetros que caracterizan los orgenes, destinos, centros de transbordos y los costos de transporte: ai = cantidad de producto disponible en el origen i, bj = cantidad de producto requerida en el destino j, wk = capacidad del centro de transbordo k, eik = costo unitario de transporte desde el origen i al centro de transbordo k, dkj = costo unitario de transporte desde el centro de transbordo k al destino j

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xik = cantidad de producto enviada desde el origen i al centro de transbordo k, i = 1, , m; k= 1, , q, ykj = cantidad de producto enviada desde el centro de transbordo k al destino j, k= 1, , q; j = 1, , n.

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2.4.3. Transporte con Transbordo y Multiperodo

Supongamos que se tiene la siguiente estructura para distribuir un producto en T perodos: m orgenes, q centros de transbordo y n destinos. El producto se enva desde los orgenes a los centros de transbordo y desde all a los destinos. En los orgenes existe una disponibilidad mxima de producto en cada perodo y se puede almacenar productos para perodos posteriores. Los centros de transbordo poseen una capacidad de almacenaje limitada y slo pueden almacenar producto durante un perodo, y en los destinos existe un requerimiento o demanda estimada del producto para cada perodo. Adems de los costos de transporte, se incurre en un costo de inventario cuando un origen almacena producto para ser enviado en otros perodos. Los centros de transbordo, en cambio, representan un costo fijo. Se puede visualizar la situacin esquemticamente en la siguiente figura: Representacin del Problema de Transporte con Transbordo y Multiperodo

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Se definen las siguientes variables de decisin: xikt = ykjt = Iit = cantidad de producto enviada desde el origen i al centro de transbordo k, en el perodo t, cantidad de producto enviada desde el centro de transbordo k al destino j, en el perodo t, cantidad de producto en inventario en el orienten i al final del perodo t. Y los siguientes parmetros: ait = bjt = wk = eikt = dkjt = t, hit = Ii0 = capacidad de produccin en el origen i en el perodo t, cantidad de producto requerida en el destino j en el perodo t, capacidad del centro de transbordo k, costo unitario de transporte desde el origen i al centro de transbordo k en el perodo t, costo unitario de transporte desde el centro de transbordo k al destino j en el perodo costo unitario de inventario en el origen i en el perodo t, cantidad de producto en inventario al comienzo del perodo 1 en el origen i. Las restricciones del modelo son: a) Disponibilidad en los orgenes: la cantidad total de producto enviada desde un origen ms la cantidad dejada en inventario en el perodo debe ser igual a la disponibilidad de producto en ese origen en el perodo. La cantidad disponible es igual al inventario al inicio del perodo (es decir al final del perodo anterior) ms la cantidad mxima que se puede producir en ese origen durante el perodo.

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2.4.4.

Flujo de Pasajeros en un Ferrocarril

Un ferrocarril interprovincial tiene dos lneas y un conjunto de estaciones en cada lnea. La estructura del sistema se muestra en la siguiente figura. Se desea estudiar la distribucin de pasajeros en el sistema, para un viaje desde la estacin A hasta las estaciones E y G. La capacidad del tren que va desde A hasta E es de 1.200 pasajeros y la del tren que va desde C hasta G es de 800 pasajeros. Estructura de la Red Ferroviaria

Se ha estimado la cantidad de pasajeros que llega a cada estacin, segn su destino. La tabla siguiente contiene la matriz de origen-destino estimada, esto es, el nmero estimado de pasajeros que desean viajar entre cada par de estaciones. El costo del viaje en tren es de $ a por cada tramo (segmento entre dos estaciones consecutivas de la red), por persona. Los pasajeros que no consigan comprar pasaje deben utilizar un bus que tiene un costo de $ b por cada tramo, por persona, con a < b. Cul es

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la distribucin de pasajeros que minimiza el costo total de todas las personas que desean viajar? Matriz de Origen-Destino

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FORMULACIN DEL MODELO Variables de decisin Para determinar la cantidad de pasajeros en cada tramo de viaje se definen las siguientes variables:

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2.5 OTROS MODELOS LINEALES En esta seccin se presentan varios problemas que pueden ser modelados utilizando programacin lineal continua.2.5.1. Prdidas de Material en Proceso de Corte

Una industria que fabrica papel y lo distribuye en rollos debe determinar la mejor forma de realizar el proceso de corte. Los rollos de papel que se producen tienen un ancho de 100 cm.; sin embargo, los clientes demandan rollos de 30 cm., 45 cm. y 50 cm. de ancho. Por lo tanto, al cortar los rollos de 100 cm. se incurre en una prdida de material que depende de la forma en que se corten los rollos originales. Se desea determinar la forma de efectuar el corte de manera que se satisfaga la demanda y se minimice la prdida total de material. Se tiene un pedido de 800 rollos de 30 cm. de ancho, 500 rollos de 45 cm. y 1.000 rollos de 50 cm. Dadas las caractersticas de los rollos demandados por los clientes, existen seis alternativas diferentes de corte de un rollo de 100 cm. de ancho, que se muestran en la siguiente figura: Cortes de Rollos de Papel

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