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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CATAMARCA

FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y

NATURALES

DEPARTAMENTO: MATEMÁTICA Y ESTADÍSTICA

UNIDAD INICIAL DE

INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA

PROFESORADO Y LICENCIATURA EN

MATEMÁTICA DOCENTES RESPONSABLES: ESP. NORA OLMEDO LIC. CECILIA MARCHETTI COLABORADORES: LIC. JAVIER PERALTA LIC. EDUARDO ZÁRATE PROF. JULIA CABEZA Mgter. MÓNICA PUENTE CICLO ACADÉMICO: 2017

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¡Bienvenido a la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales!

Desde nuestro lugar, queremos ayudarte en tu inserción a nuestras aulas. Para ello

confeccionamos este documento que pretende brindarte algunos elementos, estrategias y

actividades, que puedan orientar tu estudio personal y te sirvan para reflexionar y actuar

durante la organización de tus actividades como estudiante de matemática.

Bienvenidos!

¿Qué supone estudiar matemática?

Los alumnos que ingresan a la Universidad estudian de manera independiente en muy escasos

momentos, en general, antes de una evaluación. Sus actividades se restringen al trabajo que se

realiza en clase produciendo una fuerte dependencia hacia el profesor, no están

acostumbrados a utilizar libros de matemática y las carpetas suelen estar llenas de respuestas

a ejercicios que ni siquiera están enunciados.

Pero, Estudiar, queridos estudiantes, significa mucho más que resolver ejercicios de la carpeta

o similares, aunque esta actividad está incluida en el estudio. Estudiar un concepto involucra,

entre otras cosas, relacionarlo con otros conceptos, identificar qué tipos de problemas se

pueden resolver y cuáles no, con esta herramienta, saber cuáles son los errores más comunes

que se han cometido en la clase como parte de la producción y por qué. Estudiar matemática

supone, además de resolver ejercicios, resolver problemas, construir estrategias de

validación, comunicar y confrontar con otros el trabajo producido y reflexionar sobre el

propio aprendizaje.

Un poco de humor…

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INTRODUCCIÓN

Los alumnos que ingresan a la universidad deberían poseer ciertas competencias,

indispensables para asegurar su permanencia en ella y la consecución de sus aprendizajes. Sin

embargo los comienzos en la Universidad no son fáciles y los estudiantes necesitan un periodo

de adaptación hasta que consiguen integrarse plenamente. Si a esta situación además le

añadimos que, en particular, el aprendizaje de la matemática depende, en gran medida, de lo

que anteriormente haya aprendido, nos damos cuenta de que es necesario homogeneizar los

diferentes conocimientos matemáticos que poseen los alumnos para aportar algunos aspectos

complementarios y fundamentales en formación matemática: habilidad, destreza y capacidad

de desarrollar el razonamiento matemático en la resolución de problemas. Se pretende

además que los alumnos adquieran un hábito de estudio adecuado a esta disciplina. El

enfoque será teórico - práctico, centrado en la justificación, verificación, generalización y en la

participación activa del alumno.

OBJETIVOS:

Adquirir hábitos de estudio propios del aprendizaje de la Matemática en el nivel universitario.

Adquirir agilidad en el manejo de las operaciones básicas y sus propiedades.

Utilizar los diferentes registros de representación.

METODOLOGIA:

La resolución de problemas es el aspecto central de la propuesta porque es el adecuado para

permitir que el alumno desarrolle actividad matemática de tipo variado y por aportar un

cambio actitudinal. También se insistirá en la explicación y en la práctica de producir

argumentos para validar un enunciado o una respuesta, para lo cual se requerirá la interacción

entre pares, las puestas en común y la precisión en el lenguaje, natural y simbólico.

CONTENIDOS MINIMOS: Operaciones básicas en los conjuntos numéricos. Propiedades. Expresiones algebraicas.

Ecuaciones e inecuaciones. Funciones elementales: lineal, de proporcionalidad directa e

inversa, cuadrática.

EVALUACION:

Se evaluará periódicamente a través de trabajos prácticos y de un examen, cuyo resultado será

la nota del primer parcial de Introducción a la Matemática.

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¿QUÉ ASPECTOS CARACTERIZAN LA ACTIVIDAD MATEMÁTICA?

Cada disciplina tiene una especificidad en su quehacer, tiene formas particulares de producir, de comunicar y validar conocimientos, y en matemática esto se hace mucho más evidente. Estas formas específicas que irás conociendo, siempre deben estar incluidas en el momento del estudio; es decir, no puedes estudiar desconociendo, por ejemplo, las maneras de establecer la verdad en matemática. Estas formas específicas de producir conocimiento, de validarlo y de comunicarlo deben estar incluidas en el estudio y ello supone la utilización de estrategias de aprendizaje que te permitan buscar soluciones, no simplemente memorizar procedimientos; explorar patrones, no simplemente memorizar fórmulas; formular conjeturas, no simplemente resolver ejercicios.

La Comunicación a través del lenguaje matemático

Algunos autores definen la matemática como una ciencia exacta que tiene un sistema de

códigos y símbolos que le permiten expresar ideas contextualizadas a una situación

determinada. Por ello, para comprenderla, es necesario entender la sintaxis y semántica de su

lenguaje. Es fundamental para los alumnos que estudian matemática hacer del uso de su

lenguaje, en sus diferentes formas (oral, escrito, simbólico y gráfico), una actividad cotidiana,

porque esto les ayudará a desarrollar el pensamiento lógico – formal, a construir caminos

propios de razonamiento y de estrategias a la hora de resolver problemas, a precisar,

simplificar y formalizar ideas y conceptos propios de la disciplina.

A través de diferentes actividades matemáticas podrás comprender que el lenguaje

matemático, es la herramienta que te ayudará a construir lazos entre tu experiencia

matemática informal y los símbolos abstractos usados por ella, a optimizar tu vocabulario y tus

maneras de expresar ideas. Es decir,al dominio del lenguaje matemático te permitirá

comprender una situación (problema) o tomar una decisión difícil de explicar y expresar sin

usar los símbolos y los gráficos.

La Resolución de ejercicios y problemas:

Una actividad fundamental en matemática es desarrollar la capacidad para ‘manipular’ y

también ‘leer a través’ de expresiones simbólicas, como dos aspectos complementarios en la

resolución de problemas algebraicos. Es decir, debes aprender, por un lado, a separarte de los

significados y adoptar una visión global de las expresiones simbólicas para poder manipular

con ellas de manera rápida y eficiente; y por otro lado, aprender a leer “a través” de las

expresiones simbólicas con el objeto de captar significados. Este trabajo te permitirá armonizar

las manipulaciones automáticas con ciertos niveles de razonabilidad.

La resolución de problemas es la actividad diaria de un alumno que estudia matemática. Estos

son muy importantes en tu formación porque te permiten adquirir entrenamiento para

desarrollar estrategias de pensamiento, métodos de razonamiento y de validación.

La Validación, Justificación y Demostraciones

En la vida en sociedad estamos permanentemente inmersos en situaciones de comunicación

en las que intercambiamos ideas, opiniones y, frente a las diferencias, necesitamos

argumentar a favor de una idea propia y analizar si nos parecen valederas las razones de

nuestros interlocutores, para avanzar en el propósito de convencer y convencernos, propio de

una comunidad que elabora consensos sobre normas y valores. Cuando el intercambio de

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argumentos se produce entre los integrantes de una comunidad de producción de

conocimientos (por ejemplo en una clase), se van elaborando formas de argumentación que

justifican su validez; pero, en algún momento se pueden producir dudas sobre ello y entonces

se debe revisar la pertinencia de lo enunciado o investigado. Estas actividades, la justificación

y validación de argumentos, son esenciales para trabajar de manera autónoma y permiten

desarrollar el método de trabajo y de razonamiento en matemática.

Los razonamientos considerados como procesos de pensamiento, son aquellos mediante los

cuales se sacan conclusiones a partir de cierta información. En ocasiones, al observar varias

veces que una acción produce un mismo resultado, se puede elaborar la conclusión que esa

acción tendrá siempre el mismo resultado. A esta clase de razonamiento, propio de las ciencias

naturales, se le llama razonamiento “inductivo” y a la conclusión que se obtiene a través de

este razonamiento se la llama generalización. En matemática también podemos utilizar este

tipo de razonamientos para formular “conjeturas”, es decir aquellos enunciados generales de

los cuales se sospecha que pueden ser verdaderos.

Existe otro proceso de razonamiento que se utiliza en matemática y es el razonamiento

“deductivo”, que consiste en aceptar cuestiones generales (llamadas postulados) para obtener

conclusiones para casos particulares. Todos aquellos enunciados que se derivan de esta forma,

se llaman “teoremas” y el proceso que requiere del razonamiento deductivo para probar que

son verdaderos se llama “demostración”.

¿QUÉ ESTRATEGIAS Y ACTIVIDADES PUEDENORIENTARTE EN LA COMPRENSIÓN DE LOS

DISTINTOS CONTENIDOS?

Muchas veces los profesores nos encontramos en una situación en que los alumnos nos

preguntan qué hay que utilizar para resolver un cierto problema:"¿Es de regla de tres simple

directa o inversa? Sólo dígame eso y yo después lo resuelvo." Es claro que nos están

preguntando lo esencial del problema. Pero, ¿por qué esto no resulta evidente para los

alumnos? ¿Por qué para ellos la búsqueda de las herramientas adecuadas no forma parte

esencial en la resolución de un problema? ¿Por qué la tarea se restringe a la aplicación de un

algoritmo que, si fuera por ellos, debería estar "adosado" al enunciado? ¿No crea esto una

ficción? Los que resolvieron el problema no fueron los alumnos, sino el profesor, quien les dijo

qué concepto tenían que utilizar, pero puede suceder que el alumno piense que fue él quien

llegó a la respuesta. Pensamos que de esta manera, ustedes, los alumnos, pueden crearse una

idea equivocada acerca de cuánto saben: "No sé qué me pasó en la prueba, si yo en clase

resolví todos los ejercicios y me salieron bien. Después los volví a hacer para estudiar e igual

me fue mal. No entiendo qué pasó." Creemos, entonces, que esta actividad de anticipación de

procedimientos y la dependencia del profesor, están relacionada con la toma de conciencia

por parte del alumno de cuáles son sus responsabilidades. Pero los cambios no se consiguen

de un momento para el otro, sino que requieren tiempo.

Cada uno de ustedes debe proponer los caminos y estrategias que te permitan solucionar los

problemas planteados. No todo se resuelve de la misma forma

Las estrategias de aprendizaje que pondrás en práctica surgirán de tu estado motivacional de acuerdo con las demandas de las tareas que deberás realizar. Es por esto que, las siguientes actividades estarán orientadas a motivarte hacia el desarrollo de estrategias que te permitan aprender de forma significativa y autónoma; es decir a planificar, controlar y valorar

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tuactuación, intentando utilizar “en forma reflexiva” las técnicas y los procedimientos aprendidos a través de la resolución de ejercicios y problemas. También podrás adquirir las herramientas que te permitan analizar, antes de empezar una tarea, qué sabes y qué desconoces de ella, cuáles son sus características y su finalidad, podrás justificar adecuadamente tus decisiones sobre los procedimientos y algoritmos que se deben utilizar en función de las reflexiones precedentes.

¿QUÉ INSTRUMENTOS NECESITAS PARA ESTUDIAR?

La Carpeta

La carpeta es el espacio en el que se deja registro de las interacciones que se producen en la

clase a propósito de un saber matemático. Tiene, o debería tener, un valor instrumental

importante. Para que este valor instrumental pueda construirse, es necesario que sea el

alumno quien elabore y decida cómo incluir en la carpeta los aspectos centrales del trabajo,

para ello debes considerar lo esencial y tener en cuenta que:

a) La solución de los ejercicios y problemas planteados en las guías de Trabajos Prácticos deben estar acompañadas de alguna reflexión o de discusión acerca del procedimiento utilizado, o a cerca de los errores que se pudieron haber cometido (o que se cometieron) al resolverlos, con anotaciones personales que faciliten tu estudio posterior. También al finalizar la guía puedes elaborar una síntesis de lo aprendido hasta el momento o las relaciones que tiene con lo aprendido en guías anteriores.

b) En general, “parte de la teoría” estará explicada por el profesor durante la clase, por ello debes aprender a Tomar Apuntes. Esta técnica es necesaria en la Universidad. Es evidente que para una buena toma de apuntes debes estar atento en clase y con una actitud positiva tanto hacia el profesor como hacia lo que se expone. Para facilitar la toma de apuntes es conveniente que anteriormente se haya leído el tema de clase, y ya saber el tema dictado en la clase anterior. Podrías, además tener en cuenta: - Anotar constantemente y no dejes de lado los comentarios del profesor, aunque te

parezcan triviales. - Interpretar las ideas del que habla y, si es posible, expresarlas con tus palabras, a

excepción de que lo tratado sea la rigurosidad del lenguaje matemático. - Escribe lo más claro posible. - Anota los ejemplos, diagramas, etc, que el profesor propone en cada tema (Ayudará a

la memoria visual). - Marca las ideas o conceptos que el profesor repite, reitera o destaca con inflexiones de

la voz, anotaciones especiales o referencias aparte. - Anota las recomendaciones dadas por el exponente en cuanto a bibliografía, puntos de

vista, aplicación de los temas, etc. - Deja espacios suficientes (conviene los márgenes amplios) para facilitar la

complementación posterior (como por ejemplo: colocar subtítulos, destacar ideas centrales, agregar aspectos faltantes, anotar dudas, opiniones personales o aspectos tomados de textos)

- Repasa bien las notas de cada clase, antes de iniciar apuntes de otra. c) Se puede completar la carpeta, ya sea la solución de un ejercicio o problema, o la toma de

apuntes, con información extraída de libros de texto. Esta tarea de complementación es muy importante y hace que la carpeta sea un instrumento fundamental para estudiar bien. Esto significa que podemos incluir definiciones sobre los temas trabajados, se

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pueden resolver los ejercicios de otra forma, averiguar si se utiliza la misma notación, y muchas cuestiones más que a vos se te pueden ocurrir.

d) También puedes incluir las crónicas del día, esto es, una actividad que estaremos poniendo en práctica en este curso. Consiste en escribir, al finalizar cada clase, qué se hizo, qué se debe retener de las actividades que se llevaron a cabo, qué se aprendió, qué tipo de ejercicios o problemas se trabajaron, cuáles fueron los errores más comunes que se cometieron, qué técnicas de resolución es conveniente aplicar en la solución de los ejercicios, porqué una estrategia de resolución de problemas es más apropiada que otra, etc. Resulta así la crónica de cada día una síntesis fundamental, cuya lectura servirá de punto de partida para iniciar las actividades del día siguiente.

e) Si quieres, también, puedes dedicarle una parte de la carpeta a elaborar un Glosario de términos matemáticos al cual puedes remitirte cada vez que necesites recordar algún concepto. De esta manera te irás independizando de la figura del profesor como única fuente de información y de confirmación en la clase. Además, esto servirá para que frente al “esto no lo vimos” respecto de un determinado tema, se te irá haciendo costumbre en la clase mirar previamente el glosario, una suerte de memoria colectiva como ayuda a la memoria individual.

El libro de texto

En la escuela secundaria el libro sólo ha sido utilizado para sacar ejercicios, ya que la "teoría"

la explicaba el profesor. Si bien esta circunstancia también ocurre en la Universidad, deberás

consultarlo con mayor frecuencia no sólo para completar la carpeta, como vimos

anteriormente, sino también para aprender mejor el lenguaje matemático, para analizar si los

conceptos coinciden o no con los dados en clase. En caso de no coincidir, deberás profundizar

sobre esas diferencias: ¿son sólo diferencias de lenguaje?, ¿se están definiendo, bajo el mismo

nombre, conceptos diferentes?, ¿es una definición más general que la otra? De esta manera se

estaría prestando especial atención a las distintas formulaciones de un concepto.

También puedes analizar, para un tema que se haya estudiado, si los subtítulos del

correspondiente capítulo del libro fueron todos trabajados en clase. Si tienes distintos libros

disponibles puedes comparar el desarrollo de un mismo tema.

¿QUÉ ACTIVIDADES TE AYUDARÁN A REFLEXIONAR Y A ACTUAR EN MATEMÁTICA?

Resolver problemas

Para resolver un problema, cada alumno debe proponer su estrategia de solución, pero si no

tienes experiencia en ello te podemos dar algunas sugerencias útiles:

- Trata de comprender el enunciado: Lee el problema, trata de entender el significado global, distingue los datos de la incógnita, observa la relación entre ellos, intenta expresar el problema con tus propias palabras.

- Intenta comprender el problema: haz un dibujo, un esquema, una representación de la situación, experimenta, considera el problema con datos más sencillos. Si no sabes cómo empezar, identifica lo que QUIERES hacer y lo que SABES hacer.

- Busca unas cuántas estrategias, algo que te ayude: resuelve primero un problema más sencillo, haz un esquema, una tabla, un diagrama, elige un papel apropiado, usa lápices de colores, tantea, elabora preguntas, identifica pautas o regularidades, considera casos particulares, comienza por el final

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- Selecciona una estrategia y trabaja con ella: sin desanimarse ante las dificultades, sin empecinarse en una idea o camino, anota lo que haces (qué y cómo lo haces), acude a otra estrategia si la elegida no funciona, trata de llegar hasta el final

- Revisa: repasa las operaciones y los razonamientos, pregúntate si tiene sentido la solución o es absurda, explica lo que has hecho de manera que otra persona pueda entenderlo, verifica tu trabajo, cuestiónate luego si el problema se puede resolver de manera más sencilla, ¿qué ocurriría si…?, enuncia variantes del problema y resuélvelo.

Anticipar la resolución, Conjeturar

Consiste en tratar de poder decir cómo se puede resolver un problema, pero sin hacerlo. Es

decir, poder plantear alguna estrategia de resolución, sin desplegarla totalmente, predecir una

postura frente a la situación planteada justificándola o el resultado a obtener. Luego el paso

siguiente será resolverla y ver efectivamente si la estrategia considerada fue correcta o no.

Los ejemplos y contraejemplos pueden ayudar a conjeturar

Tratar el error

Es habitual que en las clases de matemática el alumno se dirija exclusivamente al docente con

la intención de mostrarle qué sabe o para preguntarle una duda. No desea ser oído por sus

compañeros en caso de decir algo inexacto o no pertinente. El cambio a lo que apuntamos es

que dejes de considerar al profesor como único interlocutor y que te dirijas más a tus pares.

No se trata sólo de que muestres frente a la clase sólo lo que sabes, sino que puedas explicar y

dudar a cerca de tus respuestas y enfrentes los errores con actitud crítica y de aprendizaje.

Mientras que consideres el error como sinónimo de anormalidad, de falta, de tiempo perdido,

tratando de disimularlo, será difícil tu aprendizaje. Sin embargo, si el error es discutido y

analizado, con sumo respeto, por la clase y se explicitan cuáles son las concepciones erróneas

que llevaron a producirlo, podrás obtener herramientas de control y sabrás qué actitud tomar

para no volver a cometerlo.

La Evocación:

Evocar significa revisar los conceptos aprendidos o problemas resueltos desde otra

perspectiva, como personas que reflexionan sobre los mismos. Puede ocurrir que para algunos

alumnos sea necesario volver a resolver, o aplicar otro procedimiento de resolución distinto

del utilizado en clase, o bien puede consistir en una explicación de cómo fue tratado y de qué

otra manera podría haberse encarado, sin llegar a resolver, sino más bien como una

oportunidad para reflexionar acerca de lo aprendido. Los alumnos que no entendieron

encuentran otra oportunidad y una razón para hacerlo puesto que deberán hablar de lo

sucedido y describirlo sin poder actuar.

Puestas en común y debates

Obtener conclusiones a propósito de problemas, confrontar distintos procedimientos, opinar

acerca de la validez de una conjetura, son actividades fundamentales del trabajo matemático,

por lo cual, es una actividad que debes aprender a realizar y los profesores deben ayudarte

para lograrlo. Las puestas en común tienen varios objetivos; dos esenciales son: la

confrontación de procedimientos y la producción de conclusiones colectivas. Para que la

puesta en común tenga sentido, es necesario que exista cierta incertidumbre respecto de

aquello que se discute. A nadie le resulta estimulante involucrarse en un debate sobre algo

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acerca de lo cual hay una certeza absoluta. Por otro lado, la incertidumbre que se genera en la

clase respecto del valor de verdad de una cierta cuestión resulta entonces un elemento

esencial que contribuye a la conceptualización. Las exigencias de explicitación, de

argumentación, de revisión y de validación brindan oportunidades para transformar el

conocimiento y hacerlo más reconocible; son por esto, elementos esenciales en la constitución

del sentido de los conocimientos.

Durante el debate, cada grupo expone sus conclusiones y se entera de las conclusiones de los

demás. Luego, según el caso, defiende la propia postura o la deja de lado para adoptar la

postura de otro. Sin embargo, la explicitación de los puntos de vista será de interés si se

expresan en un marco en el cual todos puedan ser escuchados. Es decir, que el debate no

consiste en oponer una opinión a otra o en forcejear esperando el arbitraje del profesor, sino

que su funcionamiento exige a todos aportar argumentos basados en hechos que los demás

puedan constatar.

¿CÓMO ORGANIZAR LOS REPASOS?

Es obvio que son los alumnos, y no el profesor como pasa a veces en la escuela secundaria,

quien debe ser la parte activa del repaso antes de una evaluación. Podemos señalarte algunas

estrategias que te pueden ayudar en las distintas instancias de repaso:

a) “Machetes”: Consistiría en una síntesis de los temas estudiados. Puede incluir mapas conceptuales o esquemas que relacionen los diferentes conceptos, las fórmulas con las aclaraciones que corresponda a cada una, ejemplos, aclaraciones, carteles de precaución. Elaborar un “machete” de esta manera es muy interesante porque te ayudará a reflexionar acerca de cuáles son los aspectos más importantes para recordar y cuáles son los errores comunes. También es interesante exponerlo en clase o mostrárselo a un compañero para que puedan hacerle aportes referidos a aspectos que no hayas tenido en cuenta. De esta manera, podrás organizar un repaso, que no necesariamente debe realizarse antes de una evaluación escrita, sino que puede hacerse en cualquier momento del aprendizaje e irse completando.

b) “Explicación a un compañero”: Después de comprender un tema, puedes intentar comunicarle a un compañero lo que aprendiste, para ello debes previamente organizar esa explicación para que él pueda comprenderte y simular por un momento que eres profesor (en fin, la mayoría de ustedes lo serán), y éste será un buen momento para practicar la comunicación oral, que en un futuro cercano lo pondrás en práctica durante los exámenes. Es importante para tu formación y para aprender a estudiar, el intercambio de información que se realiza en clase, la posibilidad de discutir, reflexionar, modificar lo que cada uno hizo, justificar las razones por las cuales está haciendo una elección en particular y no otra y, además, debes poder aceptar como útil el trabajo hecho por otro compañero adoptando aquellas partes que sirvan para completar el propio.

c) “Preparación de un examen”: Lo primero que tienes que hacer es quitarle esa trascendencia al examen como algo imposible de lograr o de lo difícil que será. Luego, es necesario que conozcas con claridad los contenidos que tienes que estudiar. A partir de allí podrás tener una idea de cómo te organizarás: con gran memorización, con conexión de ideas, con todos los datos hasta los de menos importancia, analiza qué tipo de problemáticas se resolvieron alrededor de los conceptos que se estuvieron trabajando en un determinado momento, cuáles son las diferencias y similitudes entre ellos, es decir qué sentidos del objeto matemático se ponen en juego en cada uno. También puedes hacer preguntas acerca de lo que tú piensas que no se puede pasar por alto en un examen.

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CONJUNTOS NUMÉRICOS: PROPIEDADES DELAS OPERACIONES

ACTIVIDAD INICIAL:

A) A través de este problema, se pretende que repases un poquito las operaciones entre números, por ello te pedimos que hagas las cuentas a mano y luego puedes revisarlas con

la calculadora. El siguiente dibujo representa el piso de una habitación, cuyas losetas son cuadradas

a) ¿Cuántas losetas enteras (sin partir) hay?

b) ¿Qué dimensiones, en losetas, tiene el suelo de la habitación?

d) Las losetas miden 40 cm de lado. ¿Cuál es la superficie del suelo?

e) Si la altura de la habitación es de 2,80 m ¿Cuál es el volumen?

f) ¿Cuánto costará pintar las paredes y el techo a $25,90 el m2 (Los pintores no descuentan la

superficies de puertas y ventanas).

B) En el texto aparecen distintos tipos de números, Indica cuáles son esos tipos y para qué sirven cada uno de ellos. Por ejemplo, 28 es un número natural y sirve para contar.

C) Elabora una lista con todos los contenidos que recordaste y usaste correctamente para

resolver el problema anterior y otra con aquellos que no recuerdas, desconoces o debes reforzar

D) Lee los siguientes conceptos teóricos y destaca aquellas expresiones o términos que no

comprendes su significado

Un poco de historia

La noción de número es tan antigua como el hombre mismo. Las tribus más primitivas,

tanto en el pasado como en la actualidad, disponen de símbolos para distinguir entre uno,

dos, tres,…

Es difícil analizar los caminos mentales que el hombre hubo de recorrer hasta llegar a

algún sistema de enumeración que le permitiera manejar, con el pensamiento, la

pluralidad. De hecho, sólo en unas pocas civilizaciones avanzadas se llegó a la creación de

sistemas de numeración verdaderamente manejable y eficiente. Este hallazgo está

profundamente unido al progreso matemático y cultural de esos pueblos

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LOS NÚMEROS NATURALES:

Los números que se usan para contar las cosas de la naturaleza se llaman números naturales. Al conjunto formado se lo denota con la letra ℕ

ℕ = {1, 2, 3, 4, … } Operacionesen ℕ: Adición y Multiplicación: Para contar un elemento se usa el número 1, para el siguiente el número 2, y así sucesivamente. A cada número natural le sigue otro natural que se obtiene agregando 1 al anterior. Así aparece la operación de sumar, que también se suele llamar Adición. Sumar 1 es nombrar al siguiente número natural. Por ejemplo, el siguiente del 5 es el 6, y por eso 6 = 5 + 1. De esta manera y según este orden, los primeros naturales son: 1; 2; 3; 4;… La operación de suma se extiende a todos los naturales. Para indicar que un número está antes que otro se usa el signo <, y se lee “menor que”. Por ejemplo, 2 <5 se lee “2 es menor que 5”, e indica que 2 está antes que el 5. Del mismo modo, el símbolo >se utiliza para indicar que un número está después que otro y se lee “mayor que”. La suma reiterada de un mismo número se llama Multiplicación, o también usaremos el término Producto. Si se multiplica 5 ∙ 8 = 40. Los números 5 y 8 se llaman factores. Sumar 5 veces 8 es multiplicar 5 por 8, y coincidentemente, es lo mismoque sumar 8 veces 5. Esto es

8 + 8 + 8 + 8 + 8⏟ = 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5⏟

5 veces 8 veces Entonces, en el conjunto de los números naturales podemos definir 2 operaciones: adición y multiplicación. Estas operaciones son cerradas, es decir, la adición y la multiplicación entre dos números naturales es otro número natural. Además, estas operaciones cumplen con las siguientes propiedades: Conmutatividad: Esta propiedad se refiere a que el orden de los términos de una suma o de los factores en una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo: 5 + 6 = 6 + 5 𝑦 2 ∙ 3 =3 ∙ 2 Asociatividad: Esta propiedad se refiere a que la forma de agrupar los términos en una suma o en una multiplicación no altera el resultado. Por ejemplo:

2 + (3 + 4) = 2 + 7 = 9 𝑦 (2 + 3) + 4 = 5 + 4 = 9 Entonces 2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4 2 ∙ (3 ∙ 4) = 2 ∙ 12 = 24 𝑦 (2 ∙ 3) ∙ 4 = 6 ∙ 4 = 24 Entonces 2 ∙ (3 ∙ 4) = (2 ∙ 3) ∙ 4 Distributividad de la multiplicación respecto de la suma: La multiplicación distribuye respecto a la suma. Por ejemplo: (2 + 3) ∙ 4 = 5 ∙ 4 = 20 𝑦 2 ∙ 4 + 3 ∙ 4 = 8 + 12 = 20 Entonces: (2 + 3) ∙ 4 = 2 ∙ 4 + 3 ∙ 4

Potenciación: La multiplicación reiterada se llama Potenciación. Ejemplo: 8 ∙ 8 ∙ 8 ∙ 8 = 84.En este caso, 8 se llama la base y 4 el exponente. El exponente indica el número de veces que se multiplica a la base por sí misma.

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Resta:La resta entre dos números, por ejemplo, 10 y 2, es el número que hay que sumarle a 2 paraobtener 10. Es decir 10 − 2 = 8 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 2 + 8 = 10. El número 10 es el minuendo y el 2 es el sustraendo.

ACTIVIDAD 1:

1) Elabora un cuadro con las propiedades de las operaciones básicas que se cumplen en ℕ

2) Resolver: Si n es un número natural, determine para qué valores de n estos números pertenecen al conjunto de los números naturales.

𝑎) 𝑛

2 𝑏)

𝑛

3 𝑐) 𝑛 − 5 𝑑) 𝑛 +

1

2 𝑒) 𝑛 ∙

3

4

3) Dado un número natural a a) ¿siempre existe un natural b tal que a + b = 0? b) ¿y tal que a · b = 1?

4) Seguimos leyendo el material teórico y comienza a elaborar un glosario

NÚMEROS ENTEROS:

Si quisiéramos hallar el número que sumado a 5 sea igual a 3, no podríamos encontrar solución en el conjunto de los números naturales, ya que si sumamos un natural a 5 obtendremos otro natural mayor que 5, y 3 es menor que 5. Este problema es análogo a querer calcular la resta 3 − 5. Es decir, ninguna resta en la que el sustraendo sea mayor o igual que el minuendo puede ser resuelta en el conjunto de los naturales. La introducción de los números enteros negativos y el cero sirvió para resolver este tipo de problemas:

En primer lugar, el 0 es el número que sumado a cualquier natural da el mismo natural, por ejemplo: 3 + 0 = 3 𝑜 125 + 0 = 125. Así queda definida la suma de un natural con el 0 y la resta entre dos naturales iguales, por ejemplo: 3 − 3 = 0 𝑜 125 − 125 = 0

Para cada natural consideramos el Opuestocomo el número que sumado a él da 0. Por ejemplo, el número que sumado a 1 da como resultado 0 se lo denota -1y es el opuesto al número natural 1. El opuesto de 2 es -2, el de 3 es -3 y así sucesivamente. El 0 es el opuesto de sí mismo

Todos los opuestos de los números naturales se denominan Números Enteros Negativos, y a los naturales se los denomina Números Enteros Positivos. Así, los enteros negativos, los positivos y el cero dan lugar al Conjunto de losNúmeros Enteros y se lo representa con la letra ℤ

Orden en ℤ

Como en los naturales existe un orden natural: 1 <2, 2 <3, 3 <4, etc, en los enteros también hay un orden compatible con el de los naturales. Los enteros conforman una sucesión infinita de números, donde cada elemento tiene un sucesor que se obtiene sumando 1 al número, y un antecesor, que se obtiene restándole 1. Ejemplos: -7 es el antecesor de -6 pues -6 -1= -7, y -5 es el sucesor de -6 porque -6 + 1 = -5.

Podemos expresarlo: ℤ = {…− 3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4, … }

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Podemos representarlos en la recta numérica así:

Los Números Enteros y la Recta Numérica

a) En la siguiente recta numérica están ubicados los números 0; 1 y a:

¿Dónde ubicamos los números 1; y 1a a a ?

b) En la siguiente recta están ubicados los números 0 y a. ¿Dónde se ubica el número –a.?

Soluciones:

En el primer problema hay que ubicar los números 1; y 1a a a en la siguiente recta,

conociendo la ubicación de 0,1 y :a

Como se conoce el lugar donde está el número y del 0a , es posible determinar dónde está el

número a , pues la distancia entre 0 y a debe ser la misma que la distancia entre y 0.a

El número 1a está ubicado a una unidad hacia la derecha del número a . Medir la distancia

de una unidad es medir la distancia que hay entre 0 y 1 ó entre dos números enteros

consecutivos cualesquiera. Para ubicar el numero 1a hay que tomar la medida que hay entre

0 y 1, y marcar un segmento con esa medida comenzando en a hacia la derecha. De igual

forma se puede ubicar el número 1a , a una unidad hacia la derecha de .a

En el ítem b del primer problema, hay que ubicar en la recta numérica el número .a

Analizando la gráfica podemos preguntarnos:

¿Por qué el número a está ubicado a la izquierda del cero? ¿Por qué no tiene el signo menos?

A esto podemos responder diciendo que a es una letra que representa a cualquier número y

puede estar ubicado en cualquier lugar. Como a está ubicado a la izquierda del cero es un

número negativo. De esta manera, el número a es el opuesto de a y se ubica a la misma

distancia del 0 a la que se encuentra a , pero en el sentido contrario.

0 1 a

0 a

0 1 a -a

0 1 a -a -a+1 a+1

0 a

0 a -a

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O sea, como el número a se encuentra a la izquierda del 0, es negativo, por lo que su opuesto,

a es positivo. Para ver este concepto más claramente analizamos estos ejemplos:

Si 5, 5; si 6, 6a a a a

Valor Absoluto de un Número Entero

El valor absoluto de un entero positivo o cero es el mismo número, y el valor absoluto de un

entero negativo es su opuesto. Se denota encerrando el número entre barras. Por ejemplo:

|3| = 3 ; |0| = 0 𝑦 |−5| = 5.

Podemos decir que el valor absoluto de un número es la distancia desde el número al cero.

Operaciones enℤ

Adición y Multiplicación: Estas operaciones se extienden a este nuevo conjunto, y la resta

queda bien definida entre cualquier par de números enteros. En efecto, la resta entre dos

números enteros se define como la suma de un número y el opuesto del otro. Por ejemplo:

1 − 4 = 1 + (−4) = −3 y −7 − 15 = −7 + (−15) = −22

Las operaciones de suma y de multiplicación quedan definidas y satisfacen las mismas

propiedades que se satisfacen para los números naturales. Si bien la resta es una operación

cerrada en el conjunto de los enteros, no cumple con las propiedades asociativa ni

conmutativa.

La multiplicación entre dos enteros negativos o dos enteros positivos es un entero positivo y la

multiplicación entre un entero positivo y uno negativo es un entero negativo.

Elemento neutro:

Para la suma es el Cero. Si lo sumamos al 0 con cualquier número se obtiene el mismo número.

Por ejemplo: 7 + 0 = 7 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 − 4 + 0 = −4.

Para la Multiplicación es el Uno:Si se multiplica 1 por cualquier número se obtiene el mismo

número: 8 ∙ 1 = 8 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 − 3 ∙ 1 = −3

Elemento Absorbente

Para la multiplicación es el Cero porque cualquier número multiplicado por 0 da como

resultado cero. Por ejemplo: 6 ∙ 0 = 0 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 − 4 ∙ 0 = 0.

Potenciación

También la potenciación con exponente natural se define como la multiplicación reiterada de

un número tantas veces como lo indique el exponente. Así: (−5)3 = (−5) ∙ (−5) ∙ (−5) =

−125. Las potencias con exponente negativo no están definidas para los enteros, excepto

para 1 y -1.

Se conviene definir la Potencia con exponente 0 de un número no nulo es igual a 1. Por

ejemplo:70 = 1 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 (−2)0 = 1

División

ℤes un conjunto cerrado respecto a las operaciones suma, resta y multiplicación. La división

entera es una operación que sólo tiene sentido en el conjunto de los números enteros y en el

de los naturales si le quitamos el 0. La división entera entre dos números, llamados dividendo y

divisor, permite hallar otros dos números enteros, llamados cociente y resto. El resto es un

15

entero no negativo y menor que el valor absoluto del divisor, tal que si se le suma el producto

entre el divisor y el cociente se obtiene el dividendo. Por ejemplo, la división entre 27 y (-6)

tiene como cociente (-4)y como resto 3 pues 27 = (−6) ∙ (−4) + 3 o si dividimos 1500 por

125 el cociente es 12 y el resto es 0 puesto que 1500 = 125 ∙ 12 + 0.

Si el resto de la división es 0 se dice que el divisor divide al dividendo, o que el dividendo es

divisible por el divisor o que el dividendo es múltiplo del divisor. Por ejemplo, 8 es divisible por

4, o bien, 4 es divisor de 8, o 8 es múltiplo de 4 puesto que 8 = 4 ∙ 2 + 0.

Ahora, si bien el cociente entre 27 y 6 es 4, no es cierto que4 ∙ 6 sea igual a 27. Por lo tanto la división entera noes la operación inversa a la multiplicación. Esto es, en el conjunto de los enteros no es posible resolver problemas como hallar el número que multiplicado por 6 sea igual a 27.

Por lo tanto las siguientes expresiones son equivalentes:

𝑎es múltiplo de 𝑏𝑎es divisible por 𝑏𝑏 divide a𝑎𝑏 es factor de𝑎

Ejemplo: Dada24 ÷ 3 = 8, o bien, 24 ÷ 8 = 3. Expresar que 24 es múltiplo de 3 y de 8 es lo

mismo que decir: 24 es divisible por 3 y 8. Además, que 3 y 8 son divisores de 24, ó 3 y 8

dividen a 24, o bien que 3 y 8 son factores de 24.

Número Primos y Compuestos:

La cantidad de divisores que tiene un número permite clasificarlo en número primo o número

compuesto.

A los números compuestos es posible factorizarlo como producto de los números primos que

lo dividen. Esta descomposición es única, salvo el orden en que pueden usarse los números

primos como factores. El 1 no es número primo.

Ejemplos: 2 es un número primo, pues tiene solamente dos divisores: él mismo y el 1. Es bueno

destacar que el número 2 es el único número primo par. 50 es un número compuesto, pues

admite los divisores 1, 2, 5, 10, 25, 50 y puede factorizarse usando números primos así: 50 =

2 ∙ 52.

Máximo común divisor: Si buscamos los divisores de los números 24 y 36 consideramos:

Los divisores de 24 son: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24.

Los divisores de 36 son: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.

Observamos que los divisores comunes a ambos números son : 1, 2, 3, 4, 6,12. El mayor de

ellos es 12, al que llamamos: máximo común divisor, por ser el mayor de los divisores comunes

y lo denotamos así: 𝑚𝑐𝑑(24,36) = 12.

Número Primo: Es aquel, mayor que 1, que sólo tiene como divisores al 1 y a él mismo.

Número Compuesto: Es aquel que admite más de dos divisores

Un número 𝑎 es múltiplo de 𝑏 si es posible encontrar un número entero 𝑘, tal que se cumple 𝑎 ∙ 𝑘 = 𝑏 Si 𝑎 es múltiplo de 𝑏 la división 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑘 tiene resto cero

Un número entero 𝑎 es múltiplo de 𝑏 si es posible encontrar un número entero 𝑘 tal

que se cumple: 𝑎 ∙ 𝑘 = 𝑏 . Si 𝑎 es múltiplo de 𝑏 , la división 𝑎 ÷ 𝑏 = 𝑘 tiene resto cero

16

También, escribiendo los números 24 y 36 factorizados: 24 = 23 ∙ 3 y 36 = 22 ∙ 32 para

determinar el 𝑚𝑐𝑑(24,36) debemos realizar el producto de los factores que son comunes a

ambas descomposiciones tomándolos con el menor exponente con que figuran. Por lo tanto:

𝑚𝑐𝑑(24,36) = 22 ∙ 3 = 12 tal como lo habíamos obtenido al hacer el listado de los divisores

de los números 24 y 36.

Atención: Si 𝑚𝑐𝑑(𝑎, 𝑏) = 1, es decir, 1 es el único divisor común de 𝑎 y 𝑏, se expresa que 𝑎 y

𝑏 son coprimos o primos entre sí.

Mínimo común múltiploConsideremos los números 12 y 9, busquemos sus primeros múltiplos.

Los primeros múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132…

Los primeros múltiplos de 9 son: 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 99, 108, 117….

Observamos que hay un número infinito de múltiplos de cada uno de ellos y hay infinitos

múltiplos comunes a ambos: 36, 72, 108…El menor de ellos, el 36, es lo que llamamos el

mínimo común múltiplo por ser el menor de los múltiplos comunes y lo indicamos así:

𝑚𝑐𝑚(12,9) = 36

También, escribiendo los números 12 y 9 en forma factorizada: 9 = 32 y 12 = 22 ∙ 3 para

determinar el 𝑚𝑐𝑚(12,9)debemos realizar el producto de los factores que son comunes a

ambas descomposiciones como también los que no lo son tomándolos con el mayor

exponente con que figuran. Por lo tanto elegimos 𝑚𝑐𝑚(12,9) = 22 ∙ 32 = 36, tal como

habíamos obtenido al hacer el listado de los múltiplos de los números 12 y 9.

ACTIVIDAD 2:

5) Observa el cuadro solicitado en el ejercicio 2, ¿le harías algún cambio si consideras las propiedades en el conjunto de Números enteros? Complétalo

6) Escriba en cada caso todos los números enteros x que satisfacen la condición establecida.

a) −101 < 𝑥 < −97 𝑏) − 17 ≤ 𝑥 < −12 𝑐) − 1 ≤ 𝑥 ≤ 2

7) ¿Las siguientes expresiones son equivalentes? Justifica A) 12 es múltiplo de 4 B) 4 divide a 12 C) 4 es factor de 12 D) 12 es divisible por 4

8) Halle seis múltiplos consecutivos de cada uno de los siguientes números: 2, 3, 4, 5, 6, 8 y 9

a. ¿se repite algún múltiplo entre los hallados? ¿Por qué? b. ¿es igual hallar múltiplos que factores?

9) Factorea los siguientes números y calcule el mcd y el mcm:

a) 38 y 108 b) 100 y 150 c) 108 y 1200

10) Enunciar los criterios de divisibilidad por 2, 3, 4, 5, 6,8, 9,11

11) Escribir Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda:

a) Si un número es divisible por 6, entonces, es divisible por 3.

b) Si un número es divisible por 3, entonces, es divisible por 6.

c) Si un número es divisible por 3 y por 5, entonces, es divisible por 15.

d) Si un número es divisible por 7, entonces, no es divisible por 2.

e) Si un número no es divisible por 4, entonces, no es divisible por 2.

17

f) Si un número es divisible por 16, entonces, es divisible por 8 y por 4.

g) Existe un número que divide a todos los números.

h) Existe un número que es múltiplo de todos los números.

12) Dado un número entero a a) ¿siempre existe un entero b tal que a + b = 0? b) ¿y tal que a · b = 1? c) La suma de dos números primos ¿es un número primo? ¿Siempre? Justifica tu respuesta. d) El producto de números primos ¿es un número primo? Justifica tu respuesta. e) Dado un número natural cualquiera, ¿cuál es su divisor más pequeño? ¿y el mayor? f) Si un número es divisor de otro, ¿también lo es de los múltiplos de éste? ¿Por qué?

13) Escribir cada enunciado usando desigualdades

a. x es positivo b. y es negativo c. t es menor que 6 d. u es menor o igual que 1 e. z es mayor que -5 f. x es menor que 5 g. x es mayor o igual que -3 h. t está comprendido entre –3 y 0 i. z es menor que –3 j. t es menor que 5 mayor que -2 k. y es menor que o igual que 2 e y mayor que 0

14) Seguimos leyendo la teoría, completando los cuadros ahora con el conjunto de número racionales. También elabora un glosario con los nuevos conceptos que encuentres

NÚMEROS RACIONALES:

Para dar solución al problema de hallar el número que multiplicado por 5 dé como resultado 2,

surge la fracción2

5 y se lee “dos quintos”. Las fracciones se representan como cocientes entre

dos enteros, llamados numerador y denominador respectivamente, siendo el denominador distinto de 0. Las Fracciones comunes se clasifican en:

Propias: son aquellas cuyo denominador es mayor que el numerador.

Impropias: son aquellas cuyo denominador es menor que el numerador

Números Mixtos: son expresiones que poseen una parte entera y otra fraccionaria.

Toda fracción multiplicada por su denominador es igual al numerador. Por ejemplo, 2

5∙ 5 = 2

Pero 4

10 es también el número que multiplicado por 5 es igual a 2:

4

10 ∙ 5 = 2 Entonces las

fracciones 2

5 y

4

10 representan el mismo número racional, es por ello que se las llama Fracciones

Equivalentes

Definición:Un número racional 𝑎

𝑏 es el cociente de dos números enteros 𝑎 y 𝑏, con 𝑏 ≠ 0 ,

siendo 𝑎 el numerador y 𝑏 el denominador.

18

Las Fracciones Irreduciblesson aquellas cuyo numerador y denominador no son ambos divisibles por un mismo entero, excepto 1 y -1. Estas fracciones tienen la propiedad que toda fracción equivalente a ella se obtiene multiplicando el numerador y el denominador por un

mismo entero no nulo. Por ejemplo,−3

4es una fracción irreducible, y algunas de sus fracciones

equivalentes son −9

12 ;

6

−8

Los Números Racionales se construyen a partir de los números fraccionarios, considerando a todas las fracciones equivalentes como un solo número. Por ejemplo, las fracciones −3

4; −9

12 ;

6

−8 son distintas, son equivalentes y todas representan el mismo número racional.

Al Conjunto de los Números Racionalesse lo denota con la letra ℚe incluye al conjunto de números enteros, y por lo tanto a los números naturales. En efecto, cada número entero está representado por una fracción con denominador 1, o una equivalente. Comparación de fracciones

Definición: Dadas dos fracciones 𝑎

𝑏 y

𝑐

𝑑 , tal que 𝑏 > 0 y 𝑑 > 0 se define el siguiente orden en

el conjunto de los números racionales: 𝑎

𝑏<

𝑐

𝑑si y sólo si 𝑎 ∙ 𝑑 < 𝑏 ∙ 𝑑

Expresiones Decimales: Los números racionales suelen expresarse en notación decimal, por

ejemplo, 5

10= 0,5

Aquellas fracciones que son equivalentes a una fracción con denominador 1, 10, 100 u otra potencia de 10 tienen una expresión decimal finita, y se denominan Fracciones decimales.

Por ejemplo, 3

25 es equivalente a

12

100, por lo tanto es una fracción decimal y se expresa en

notación decimal como 0,12. Si no son equivalentes a una expresión con denominador que sea potencia de 10 tienen una notación decimalinfinita periódica. Esto significa que en la parte decimal existe una secuencia de uno o más números que se repite indefinidamente. A dicha secuencia se la denomina

período. Por ejemplo: 1

3= 0,333…, y su período es 3. Para denotar el período se lo suele

marcar con un arco sobre él.

Por ejemplo: 6

100= 0,06 ;

6

9= 0,666… = 0, 6̂ ;

3549

990= 3,584848484… = 3,584̂

Por otro lado, todas las fracciones decimales también tienen una representación decimal

infinita. Por ejemplo:

1 = 3 ∙1

3= 3 ∙ 0,3 = 0, 9̂también4,53 = 4,529̂

Atención: Todas las fracciones equivalentes tienen una misma notación decimal, finita o

periódica. Por ejemplo: 3

4=12

16=15

20=

75

100= 0,75 = 0,749̂

INTERPRETACIÓN Y REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES

ℚes el conjunto de todos los números que se pueden escribir como expresiones

decimales finitas o infinitas periódicas.

19

El número racional 𝑎

𝑏 indica que dividimos en 𝑏 partes iguales al todo y tomamos 𝑎 de esas

partes. Así, dado el número 7

8 nos indica que el todo se ha dividido en 8 partes iguales y de

ellas se han tomado 7. Una de las formas gráficas de interpretar la situación anterior, consiste en representar el todo mediante una barra, ésta se ha dividido en 8 partes iguales. También, en la recta numérica, como siete octavos es menor que uno, dividimos la unidad en ocho partes iguales, contamos siete de ellas a partir del cero, obteniendo así el punto de la

recta que representa al número 7

8:

Los números racionales y la recta numérica

a) En la siguiente recta numérica se encuentran representados los números 0, a y b.

¿Dónde se ubican los números: ; ;2 2 2

a a b ab

?

Solución: Para ubicar el punto 2

a es necesario conocer el punto medio entre 0 y a, ya que

2

aes

la mitad de a. Para marcar el punto 2

a b, se puede ubicar primero a b , y luego dividir esa

distancia, entre 0 y a b , en 2 partes iguales. También podemos considerar que la expresión

2

a brepresenta el promedio entre a y b, o sea el punto medio. La expresión

2

ab , está

representada por el punto que está ubicado a la derecha de b, a una distancia de 2

a; o bien a

la derecha de 2

auna distancia de b.

Operaciones en ℚ: Suma y Resta: La suma y la resta de dos fracciones con el mismo denominador es otra fracción con el mismo denominador cuyo numerador es la suma (la restarespectivamente) de los numeradores. Por ejemplo:

3

5+1

5=4

5 ;

5

3−7

3= −

2

3

0 a b

2

a

2

a b

2

ab

0 a b

20

Si los denominadores son distintos el problema de sumar y restar fracciones se resuelvebuscando dos fracciones del mismo denominador equivalentes a las dos fracciones dadas, es decir, dos fracciones con denominador común. Por ejemplo:

2

3+ (−

1

2) =

4

6+ (−

3

6) =

1

6

El Elemento Opuesto: Cada Número racional tiene su Número Opuesto La suma y la resta son operaciones cerradas en el Conjunto de los Números Racionales. Multiplicación y División La multiplicación entre dos racionales se obtiene multiplicando numeradores entre sí y denominadoresentre sí. Por ejemplo:

−2

3∙ (−

5

7) =

10

21

Elemento Inverso: Un número racional es el inverso de otro si la multiplicación entre ambos es igual a 1. Por ejemplo:

2

3∙3

2= 1 ;

−3

5∙5

−3= 1 ;

1

4=4

1= 4

La división de números racionales se puede expresar de diferentes maneras. Por ejemplo:

2

3÷4

5=

2

34

5

=2

3∙5

4

Ambas Operaciones son cerradas en ℚ Potenciación Con la introducción de los números racionales se amplía la definición de potenciación con exponentes enteros negativos. Se define la potencia de un número racional con exponente negativo como igual a la potencia del inverso con el exponente cambiado de signo. Por ejemplo:

2−3 = (1

2)3

; (3

4)−5= (

4

3)5

La Potenciación cumple con varias propiedades que estudiaremos completamente en el Conjunto de los Número Reales Atención: Entre dos números enteros existen sólo un número finito de números enteros. Por ejemplo, entre 5 y -4 hay sólo 8 números enteros; pero ¿cuántos números racionales hay? La respuesta es: ¡infinitos! Lo mismo ocurre para cualquier par de números racionales distintos que tomemos. Para ver esto basta tomar,como ejemplo, el promedio entre ambos y al resultado promediarlo con alguno de ellos, repitiendo el proceso indefinidamente. Si tomamos el 0 y el 1. Ambos son números racionales. Su promedio es el número que está entre ambos y equidista de los dos, y

es igual a la semisuma de los dos números:0+1

2=1

2. y es racional.

Ahora el promedio entre 1

2y 0, es

1

2+0

2=1

4 , nuevamente obtenemos un número racional y

repitiendo este proceso obtenemos una sucesión infinita de números racionales distintos, todos entre 0 y 1 ACTIVIDAD 3:

21

15) Escribe números fraccionarios cuyos numeradores y denominadores tengan dos cifras y:

a) sean mayores que 1; b) menores que 1; c) mayores que -1; d) menores que -1.

16) Clasifica las siguientes fracciones en propias e impropias. Luego, representa en la recta

numérica: 3

5 ; −

4

3; 17

3; −

2

6; −

6

3; 1

8

17) Dados los siguientes números:11

12 ; 12

13 ; 17

12 ; 29

20

a) ¿Son mayores o menores que 1? b) Ordénalos de menor a mayor c) Clasifica el tipo de fracciones que son cada una

18) Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℕ, complete con el signo<; >; =; ≤; ≥; que corresponda y justifique con

ejemplos. Si a > b, entonces a/b . . . 1. Si a < b, entonces a/b . . . 1 Si a = b, entonces a/b . . . 1 Si a = 1, entonces a/b . . . 1

19) Indica V o F

a) Una fracción positiva es mayor que cualquier fracción negativa.

b) Dadas dos fracciones positivas de igual denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

c) Dadas dos fracciones positivas de igual numerador es mayor la que tiene menor denominador

d) Dadas dos fracciones negativas es mayor aquella cuyo valor absoluto es menor.

20) Para pensar (se pretende un razonamiento expresado con sus palabras). Dado un número racional a a) ¿siempre existe un racional b tal que a + b = 0? b) ¿y tal que a · b = 1?

21) Indica en la recta numérica los opuestos a los números ubicados en ella

-b a 0 c

a) ¿Es a un número positivo? ¿Por qué? b) ¿Es b un número positivo? ¿Por qué?

c) Da un ejemplo numérico de los valores que pueden adoptar a y b

d) ¿Dónde ubicarías el número a+1? ¿Qué consideras para ello?

e) Dónde ubicaría a −1

2?

Partes de un todo: Hay situaciones en las cuales es necesario calcular partes o fracciones de cantidades, como por ejemplo: partes de cantidades de dinero, de superficies de terrenos, porciones de sustancias, etc.

Ejemplo1: Supongamos que tenemos 8 fichas y deseamos usar las 3

4 partes de ellas. ¿Cuántas

fichas usaremos?

Necesitamos calcular 3

4de 8, es decir,

3

4∙ 8 = 6. Usaremos 6 fichas

22

Ejemplo 2: Sea ahora una situación en la que necesitamos calcular la fracción de otra fracción.

Por ejemplo 2

3 de

4

5

Para una mejor interpretación de la regla anterior, recurrimos a la representación gráfica.

Es decir 2

3 de

4

5 es

2

3 ∙4

5=

8

15 del total

Fracciones y Porcentaje En la vida diaria, es habitual en nuestro lenguaje el uso de los términos: porcentaje, por ciento, como también el cálculo de ellos. En el siguiente diagrama mostramos, a través de un ejemplo, las diferentes maneras de expresar una parte de un todo.

Razones y Proporciones

Razón:Es el cociente entre dos magnitudes, distintas de cero, expresadas en la misma unidad.

Ejemplo: Las edades de dos hermanos son 9 y 12 años, entonces la razón entre la edad del

menor y del mayor es:

Proporción:Una proporción está formada por una igualdad entre dos razones:

𝑎

𝑏=𝑐

𝑑

Donde a, b, c y d son distintos de cero y se lee " 𝒂 es a 𝒃 como 𝒄 es a 𝒅".

Por ejemplo, 3

4 𝑦

6

8 son dos razones iguales, entonces podemos construir la proporción:

3

4=6

8

Que se lee " 3 es a 4 como 6 es a 8 ".

Es decir, para tener una relación proporcional, necesitamos tener dos razones que sean

equivalentes. Existen dos tipos de proporcionalidad: directa e inversa.

Ambas sirven para resolver problemas donde se conoce una razón y un dato de la segunda.

23

Teorema Fundamental de las Proporciones:

En cada proporción se cumple lo siguiente: 𝒂

𝒃=

𝒄

𝒅si y solo si 𝑎 ∙ 𝑑 = 𝑏 ∙ 𝑐

En esta relación a y d reciben el nombre de extremos, b y c se los llama medios.

Ejemplos:

a) 3

4=6

8pués 3 × 8 = 4 × 6

b) Las alturas de dos edificios están en la razón 4 / 5. Si el primero mide 20 (m), ¿cuánto mide el segundo?

Solución: 20(𝑚)

𝑥(𝑚)=4

5 ⇒ 𝑥 = 25Respuesta: el segundo edificio mide 25 (m)

ACTIVIDAD 4:

22) He pagado $ 85.40 por un electrodoméstico. El precio incluye 21 % de IVA. ¿Cuál es el precio sin IVA?.

23) Un saco costaba $ 160 y pagué por él $ 128 en una liquidación. ¿En qué porcentaje fue rebajado?.

24) Escribir, usando porcentaje, los siguientes enunciados: a) Dos de cada cinco alumnos juegan básquet. b) La cuarta parte de los alumnos hacen atletismo. c) Todos los alumnos asisten a la clase de historia. d) Tres octavos de los alumnos practican natación. e) Uno de cada cuatro alumnos aprobó la evaluación de matemáticas. f) Las tres cuartas partes del curso practica algún deporte.

25) Resuelve los siguientes problemas

a) Tres recipientes contienen agua, el primero 47

50 litros, el segundo

55

62 litros y el

tercero 30

33 litros. ¿Qué recipiente tiene menos agua y cuál más?

b) En el colegio, 3

1 de los alumnos estudia inglés y un 33% francés. ¿Cuál es la lengua

más elegida? c) Una aleación está compuesta por 24/29 de cobre, 4/29 de estaño y 1/29 de zinc.

¿cuántos kilogramos de cada metal habrá en 348 kg de aleación? d) Luís invita a sus amigos una tarta. Pedro come 1/5, Ana 1/6 y Tomás 1/3. Luís come el

resto. ¿cuánto come? e) Dado un cordón Juan toma la mitad. De lo que queda Pedro toma la mitad; de lo que

queda María toma la mitad; de lo que queda Carmen toma 2/5. Al final quedan 30 cm. ¿cuál era la longitud del cordón?

24

NÚMEROS IRRACIONALES:

Si quisiéramos conocer el número cuyo cuadrado es 2; esto es, hallar 𝑥tal que 𝑥2 = 12 + 12 =2. Observamos que no existe ningún número racional que cumpla la propiedad que elevado al

cuadrado sea igual a 2. Este número se llama raíz cuadrada de 2 y se lo denota √2 y es comparable con losnúmeros racionales, en el sentido que se puede determinar qué números racionales son menores y cuáles mayores que él Los números irracionales tienen también una representación decimal, y esta expresión decimal es infinita no periódica. Algunos de los números irracionales que se utilizan con frecuencia son 𝜋 que surge de la división entre la longitud de la circunferencia y su diámetro, 𝑒: número de Neper y base del logaritmo natural y M: logaritmo en base 10 del número e. Las aproximaciones decimales de estos números se listan a continuación:

√2 = 1,41421356…𝜋 = 3,14159265… , 𝑒 = 2,71828182…𝑀 = log10 𝑒 = 0,43429448…

El conjunto de los Números Irracionales es el conjunto de todos los números que no se

pueden escribir como expresiones decimales infinitas no periódicas y se designa con

𝕀 = {…− √2,…𝜋,… 𝑒,…0,1010010001… , √3 ; … }.

En los libros elementales de matemática encontraremos la demostración de que √2 no es un

racional. Con éste número se pueden generar infinitos números irracionales, la forma es de

sumarle a √2 un número racional: 1+√2; √2 − 3; √2 − 2, etc.

Otra manera de obtener números irracionales es escribir un número cuyas cifras decimales

sean infinitas y no presenten periodicidad:

0.1234567891011121314151617181920...., -2.16716781678916711672....

El nombre de “irracional” proviene del hecho de que no se puede expresar como razón de dos

enteros.

Las raíces cuadradas de los números naturales que no son exactas como √2 ; √5; √7 , .... se

representan exactamente aplicando el Teorema de Pitágoras en la recta numérica.

Recordamos:

En la siguiente figura representamos √2 .

Reglas de Aproximación

Para aproximar números decimales, debemos tener en cuenta:

Caso 1: Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es igual o mayor que 5, se aumenta en una unidad el dígito anterior

Caso 2: Si el primer dígito de la parte que se va a descartar es menor que 5 se deja el dígito anterior

Ejemplo: Aproximar a la décima, a la centésima y a la milésima

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los

cuadrados de los catetos.

25

= 3,141592654.......Aproximación a la décima = 3,1

Aproximación a la centésima = 3,14Aproximar a la milésima = 3,142

ACTIVIDAD 4:

26) Representar en la recta real 1 + √2 ; √5; √3 ; √5 − 2

27) Dados los siguientes números: -3; 4; 2 ; -15; -1,2; - 2 ; 0 ; 0,001; 0,01; √2

2; 1,41; -10;

10,1. a. ¿cuáles son mayores que 1 y menores que -1? b. Ordénalos de mayor a menor. Explica qué tuviste en cuenta para ordenarlos c. ¿A qué conjunto pertenece cada número?

EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES

El conjunto de los números reales se simboliza con ℝy está formado por todos los números racionales e irracionales. La unión de los racionales (ℚ) y los Irracionales (𝕀) da como resultado el conjunto de los Números Reales ℝ

ℝ = ℚ∪ 𝕀

Relación de orden en ℝ: El conjunto de los números reales es un conjunto ordenado, ya que,

dados dos números reales distintos siempre se puede establecer cuál es el mayor. A la relación

de orden definida en ℝ se la indica con “<” (a < b se lee: “a es menor que b”, o también “b es

mayor que a”).

En el conjunto de los números reales vale la ley de tricotomia: dados dos números reales a y b

vale una y solo una de las siguientes expresiones: a b ó a b ó a b También podemos

decir que es válida alguna de estas desigualdades:

𝑎 < 𝑏 𝑜 𝑎 ≤ 𝑏 𝑜 𝑎 > 𝑏 𝑜 𝑎 ≥ 𝑏

Cuando un número real 𝑏cumple simultáneamente que es mayor que un número 𝑎y menor

que 𝑐:𝑎 < 𝑏 ∧ 𝑏 < 𝑐, se puede expresar por la triple desigualdad: 𝑎 < 𝑏 < 𝑐.

Intervalos de números reales y su representación gráfica Existe una correspondencia uno a uno entre los números reales y los puntos de la recta: a cada punto dela recta le corresponde un número real y viceversa, por ello decimos que los números realescubren la recta.ℝ es un conjunto denso El conjunto de todos los números reales comprendidos entre dos números𝑎 y 𝑏puede

simbolizarse como:𝐴 = {𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑎 < 𝑥 < 𝑏}. Esto significa que un número real 𝑥 pertenecerá

al conjunto A si satisface la desigualdad 𝑎 < 𝑥 < 𝑏, es decir si cumple que 𝑎 < 𝑥 y 𝑥 < 𝑏, o

bien, que 𝑥 > 𝑎 y 𝑥 < 𝑏

Ejemplo:

𝐵 = {𝑥 ∈ ℝ ∧ −2 < 𝑥 <7

4} significa que 𝐵 es el conjunto de los números reales mayores que

-2 y menores que 7

4 . Se puede representar en la recta numérica así:

26

El conjunto 𝐵 es un conjunto infinito. El segmento de la recta numérica es un conjunto infinito de puntos que representa a 𝐵. Definiciones: Intervalo Abierto: Se designa con (𝑎, 𝑏) y es el conjunto de todos los números reales

comprendidos entre 𝑎y 𝑏, sin incluirlos.

Intervalo cerrado: se simboliza con [𝑎, 𝑏] y es el conjunto de todos los números

realescomprendidos entre 𝑎y 𝑏 incluyéndolos.

Intervalo semiabierto: se simboliza con:

(𝑎,𝑏] es el intervalo abierto por izquierda y cerrado por derecha, es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre 𝑎y 𝑏, incluyendo al extremo 𝑏. De manera semejante [𝑎,𝑏)es el intervalo cerrado por izquierda y abierto por derecha, es el conjunto de todos los números reales comprendidos entre a y b incluyendo al extremo a.

Intervalos No acotados:

Con el símbolo+∞ debemos entender “supera cualquier número por grande que sea” y

por −∞ “es inferior a cualquier número por pequeño que sea”; pero estos signo no son un

números reales y no se debe pretender operar con estos signos en nuestro estudio. Los

usaremos por conveniencia de notación.

[𝑎,∞)denota el intervalo infinito cerrado por izquierda y no acotado por derecha, corresponde al conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a .

(𝑎,∞)denota el intervalo abierto por izquierda y no acotado por derecha,

corresponde al conjunto de todos los números reales mayores que a.

(∞,𝑏]denota el intervalo cerrado por derecha y no acotado por izquierda,

corresponde al conjunto de todos los números reales menores o iguales que b.

(−∞,𝑏)denota el intervalo abierto por derecha y no acotado por izquierda,corresponde al conjunto de todos los números reales menores que b.

Finalmente con (−∞,+∞) se denota al conjunto de todos los números reales y su representación es toda la recta real.

27

ACTIVIDAD 5

28) Escribe todos los números que satisfacen las siguientes condiciones y luego representa en la recta numérica:

a) Los números enteros entre -5,3 y 10,5 b) Los números naturales entre -5,3 y 10,5 c) Los números reales entre 5,3 y 10,5

29) Represente los siguientes conjuntos utilizando la notación de intervalo y grafíquelos en la

recta.

30) Representa en la recta real los siguientes intervalos

𝑎) (−2,5; 0,5) b) (−∞;−1] c) [−3

2;9

2]

OPERACIONES EN ℝ:

Para todo número real las cuatro operaciones fundamentales son:

Adición o Suma: a b Sustracción o Resta: a b

Multiplicación o Producto: .a b División o Cociente: : , con 0a

a b bb

Las operaciones de suma, resta, multiplicación y división son cerradas en el Conjunto de los Números Reales. Todo número real distinto de cero tiene un inverso. El inverso de un número racional distinto de 0 es un número racional, y el inverso de un número irracional es un número irracional. El producto de un número y su inverso es Uno.

Todo número real tiene su Opuesto. La suma de un número y su opuesto es cero

Las Propiedades de estas operaciones las podemos sintetizar en el siguiente cuadro, donde se

utilizan símbolos propios de la matemática (completa el glosario):

𝑎) {𝑥 ∈ ℝ/4 ≤ 𝑥 ≤ 5}𝑏) {𝑥 ∈ ℝ/−1 < 𝑥 ≤ 1}𝑐) {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 ≤ 5}

𝑑) {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > −2}𝑒) {𝑥 ∈ ℝ/𝑥 > 2 ∧ 𝑥 < −2 }𝑓){𝑥 ∈ ℝ/ 𝑥 < 2 ∧ 𝑥 > 2 }

28

TRABAJO PRÁCTICO 1

A tener en cuenta: Si aplicamos la propiedad distributiva del producto respecto a la suma a la siguiente expresión, obtenemos:3−1(2 + 5) = 3−1 ∙ 2 + 3−1 ∙ 5 Es equivalente a:

1

3∙ (2 + 5) =

1

3∙ 2 +

1

3∙ 5 =

2

3+5

3=7

3

O bien(2 + 5) ∙1

3=1

3∙ (2 + 5) por propiedad conmutativa de la multiplicación

=2 + 5

3= (2 + 5) ÷ 3 =

7

3

Entonces: (2 + 5) ∙1

3= (2 + 5) ÷ 3 𝑦 (2 + 5) ÷ 3 = 2 ÷ 3 + 5 ÷ 3

En símbolos: (𝑏 + 𝑐): 𝑎 = 𝑏: 𝑎 + 𝑐: 𝑎

a) La Adición y la Multiplicación se cumple lapropiedad conmutativa: ∀𝑎, 𝑏𝜖ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎

∀𝑎, 𝑏𝜖ℝ ∶ 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑏 ∙ 𝑎

b) La Adición y la Multiplicación se cumple lapropiedad asociativa: ∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: (𝑎 + 𝑏) + 𝑐 = 𝑎 + (𝑏 + 𝑐) ∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: (𝑎. 𝑏). 𝑐 = 𝑎. (𝑏. 𝑐)

c) La multiplicación es distributiva respecto de la suma: ∀𝑎, 𝑏 ϵ ℝ: (𝑎 + 𝑏). 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏. 𝑐

∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: 𝑎. (𝑏 + 𝑐) = 𝑎. 𝑏 + 𝑎. 𝑐

d) Existen elementos llamados neutros para la suma y el producto: ∃ 0 ϵℝ / ∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: a+0 =0+a = a El 0 es el neutro para la suma

∃ 1 ϵℝ / ∀𝑎, 𝑏ϵ ℝ: a .1 =1. a = a El 1 es el neutro para la multiplicación

e) Existencia del inverso aditivo (opuesto): ∀𝑎ϵℝ, ∃(−𝑎)/ 𝑎 + (−𝑎) = (−𝑎) + 𝑎 = 0

(−𝒂)es el opuesto de 𝒂 y es único

f) Existencia del inverso multiplicativo (recíproco):

∀𝑎ϵℝ, 𝑎 ≠ 0, ∃ 𝑎−1ϵℝ tal que 𝑎. 𝑎−1 = 𝑎−1. 𝑎 = 1

1 1a

a

se llama inverso o reciproco de a

g) Propiedad uniforme:

∀𝑎, 𝑏, 𝑐ϵℝ

{

𝑠𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑐𝑆𝑖 𝑎 = 𝑏 ⟹ 𝑎 . 𝑐 = 𝑏 . 𝑐

Si , 0a b

a b cc c

De esta última se desprenden Simplificación y la amplificación

h) Propiedad Cancelativa:∀𝑎, 𝑏𝜖ℝ ∶ 𝑎 + 𝑏 + (−𝑎) = 𝑏

29

Esto es:vale la propiedad distributiva de la división respecto a la suma a derecha, sólo cuando la división está a la derecha de la suma

Analicemos el siguiente caso10 ÷ (2 + 5) ≠10

2+10

5

10 ÷ (2 + 5) =10

2+5=10

7y10

2+10

5=5.10+2.10

10=70

10= 7

En símbolosa a a

b c b c

Es decir, no vale la propiedad distributiva de la división respecto a la suma a izquierda

Potenciación La potencia de un número real con exponente entero se define de la misma manera que para los números racionales.

La Potencia enésima de un número a, na , es el producto de n factores iguales a a. El númeroa

ϵ ℝes la base de la potencia, el númeron ϵ ℕ es el exponente.

veces

...n

n

a a a a a

Notemos que las potencias con base no nula y exponente par son siempre positivas, por ejemplo:

52 = 25 ; (−3

2)4

=81

16 ; (−2)2 = 4 ; 𝑒𝑡𝑐

Propiedades de la Potenciación:

Ejemplos:

1) (−1

4)0= 1 2,050 = 1

2) (3

4)2

∙ (3

4)3

= (3

4)5

𝑝𝑢𝑒𝑠 (3

4)2

∙ (3

4)3

=3

4 ∙3

4 ∙3

4 ∙3

4 ∙3

4= (

3

4)5

Sean a y b números reales no nulos; m y n números fraccionarios

1. Potencia de Exponente Cero:𝒂𝟎 = 𝟏 2. Producto y Cociente de Potencias de Igual Base:

, con 0n

n m n m n m

m

aa a a a a

a

3. Potencia de Otra Potencia:

m

n n ma a

4. Distributiva de la Potenciación respecto a la Multiplicación y División:

n nn n n

n

a aa b a b

b b

5. Potencia de Exponente Negativo:

𝑎−𝑛 = (1

𝑎)𝑛

(𝑎

𝑏)−𝑛

= (𝑏

𝑎)𝑛

6. Potencia de Exponente Fraccionario

𝑎𝑚

𝑛 = √𝑎𝑚𝑛

30

3) (−3)5 ÷ (−3)2 = (−3)3 𝑝𝑢𝑒𝑠 (−3)5 ÷ (−3)2 =(−3)5

(−3)2 =(−3)∙(−3)∙(−3)∙(−3)∙(−3)

(−3)∙(−3)

Simplificando los factores iguales en el numerador y denominador, obtenemos:

(−3)5 ÷ (−3)2 = (−3)3

4) (3 ∙ 2)3 = 33 ∙ 23 𝑝𝑢𝑒𝑠 (3 ∙ 2)3 = 63 = 216 𝑦 33 ∙ 23 = 27 ∙ 8 = 216 Recíprocamente:42 ∙ 72 = (4 ∙ 7)2

5) [(−9) ÷ 3]2 =(−9)2

32 𝑝𝑢𝑒𝑠 [(−9) ÷ 3]2 = (−3)2 = 9 𝑦

(−9)2

32=81

9= 9

6) (2

3)−2

= (3

2)2

por definición de Potencia de Exponente Negativo

=9

4

A tener en cuenta

La potenciación no es distributiva respecto de la suma y a la resta Observa atentamente:

2 2 2

2

4 3 4 3

7 16 9

49 25

3 3 3

3

5 3 5 3

2 125 27

8 98

La Potencia de una Suma o Diferencia de dos Números se resuelve de la manera indicada a la izquierda del signo = Radicación Dado un número n natural y un número a real, se define la raíz n-ésima de a, y se escribe

n a , al único número real b, tal que nb a .

∀ 𝑎 𝜖 ℝ, 𝑛 𝜖 ℕ, 𝑛 > 1: 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟: √𝑎𝑛

= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 𝑝𝑎𝑟: √𝑎𝑛

= 𝑏 ⇔ 𝑏𝑛 = 𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≥ 0

Cuando el índice es impar la radicación está definida para todos los números reales, y tienenel mismo signo que el radicando.

Por ejemplo: √273

= 3 ; √325

= 2 ; √−273

= −3 ; √−325

= −2 Cuando el índice es par la radicación está definida sólo para los radicandos positivos. Por ejemplo, si queremos hallar el número que elevado al cuadrado sea igual a 16 tendremos dos soluciones: 4 y - 4. Para distinguir entre ellas, utilizaremos una notación diferente para cada una. Esto es, escribiremos

√16 = 4 ; −√16 = −4 𝑦 ± √16 = ±4 Consideraremos como raíz cuadrada de un número positivo a la solución positiva. Ejemplos:

𝑎) √1253

= 5 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 53 = 125

𝑏) √−325

= −2 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 (−2)5 = −32

𝑐) √814

= 3 𝑝𝑜𝑟𝑞𝑢𝑒 34 = 81

𝑑) √−164

∉ ℝ porque no existe ningún número real que elevado a la cuarta potencia de por

resultado -16.

31

Esto ocurre con todos los cálculos de raíces de índice par de números negativos, es por eso que

estos casos no son considerados en la definición de radicación en ℝ

Propiedades de la Radicación

A tener en cuenta: Para denotar la radicación con índice natural también se utiliza la notación con exponente fraccionario:

√814

= 811

4 ; √123

= 121

3 De esta manera se puede extender la definición de potenciación de un número real positivo con cualquier exponente racional:

Ejemplos: 21

4 = √24

53

4 = √534

𝑝𝑢𝑒𝑠 53

4 = 51

4 ∙ 51

4 ∙ 51

4 por producto de potencias de igual base

= √54

∙ √54

∙ √54

por definición de potencia de exponente fraccionario

= √5.5.54

Por Propiedad recíproca de la Distributiva de la Radicación

= √534

respecto a la Potenciación y por definición de Potencia.

Ejemplos:

1) √27.33

= √273

∙ √33

= 3√33

2) √2 ∙ √2 = √2 ∙ 2 = √4 = 2

3) √(−2)33

= −2 ; √52 = 5

4) √16

625

4=

√164

√6254 =

2

5

Además:

Sean a un número real no nulo; m y n números naturales.

1. Simplificación: Se puede simplificar índice con exponente cuando la base de la

potencia es no negativa, por lo tanto: Si 0, entonces n na a a

Si es impar Si es par n nn nn a a n a a

2. Propiedad Distributiva:

La radicación es distributiva respecto de la multiplicación y división, siempre que existen las raíces de los factores que intervienen

√𝑎. 𝑏𝑛

= √𝑎𝑛. √𝑏𝑛

√𝑎

𝑏

𝑛=

√𝑎𝑛

√𝑏𝑛 con b≠0

La radicación no es distributiva respecto de la adición y sustracción

3. Raíz de otra Raíz

√ √𝑎 𝑚𝑛

= √𝑎𝑛.𝑚

=

4. Potencia de una Raíz

(√𝑎𝑛)𝑝= √𝑎𝑝

𝑛= 𝑎

𝑛

𝑝

32

Estas Propiedades se pueden aplicar siempre y cuando la Radicación esté definida en el Conjunto de los Números Reales

Para simplificar exponentes e índices, se debe tener en cuenta que las operaciones estén bien definidas. Por ejemplo:

a. 4

4 3 , no se puede simplificar, ya que 4 44 3 81 3 , si hubiéramos simplificado el

resultado que se obtiene es 44 3 3 y sabemos por la definición dada que si el índice de

la raíz es par, la raíz es positiva

b. 6

12 3 , no se puede simplificar, si lo hacemos quedaría 3 , que no está definida.

Se puede simplificar cuando la base de la potencia es no negativa, por lo tanto: Si

0, entonces n na a a

Análogamente las demás propiedades se pueden aplicar si la Radicación tiene solución en ℝ

VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO REAL

El valor absoluto de un número real x, denotado x , se define:

0

0

x si xx

x si x

Se puede ver que el valor de absoluto es un número no negativo. También podemos definir

Valor Absoluto de un número real de la siguiente manera:

Se llama módulo o valor absoluto de un número real, a la distancia que hay entre ese

número y el 0. En símbolos el módulo de un número real a se escribe a .

Por ejemplo 4 4 , pues la distancia entre 0 y 4 es de cuatro unidades, si se considera como

unidad la medida de la distancia entre 0 y 1.

Como la distancia que hay entre -4 y 0 es la misma que hay entre 0 y 4, entonces 4 4 .

ACTIVIDAD 6

31) Indica V o F: 𝑎) |−3| < 5 … . . 𝑏) 3 > |−2| …… 𝑐) |−2| > |−1| … ..

32) Resuelve las siguientes operaciones y justifica escribiendo la/s propiedad/es aplicada/s (por escrito, en lenguaje natural y en símbolos)

a)

2

3

2

b) 035 c) 2

5.3 d) 24 e) 3

1 f) 21

9

g) 23

4 h) 233 i) 25 j)

2

9

5

k) 3

1

27

l) 8

73

ll)2

26 m)

5

35 n)

7

3.7 ñ)

3

5.32

o) 25

6

5

4 p)

4

9.

11

2

q) 2

15

8

5

r) 32.2 s)

123. 4 25 t) 2

1

324.3

u) 23.72

v) 9 w) 3 8 x) 4 y)0

2z)

7

0

33

33) Responde a las siguientes preguntas, justificando las respuestas. a) ¿Es conveniente simplificar el 2 del numerador con el 2 del denominador en el

ejercicio ll? Porqué? ¿Y el 7 del numerador con el 7 del denominador en el ejercicio n? b) ¿Es posible distribuir el exponente ½ respecto al producto del ejercicio s?, ¿y el 3? ¿y

el exponente – ½ respecto a la suma del ejercicio t?, ¿y el 3?Justifica cada respuesta c) ¿Será posible resolver el ejercicio s de una manera diferente a como la hicieron? d) Observen los resultados desde el ejercicio ll hasta el q ¿Qué pueden concluir acerca de

las simplificaciones? e) Observen los resultados desde el ejercicio v hasta el x ¿Qué pueden concluir?

34) Clasifique cada igualdad como verdadera o falsa. Si no es correcta, modifique el miembro

derecho para obtener una igualdad verdadera.

35) Calcule el valor numérico aplicando propiedades. Verifique con la calculadora:

𝑎) 34 ∙ 32 = 38𝑏) 104

54= 24𝑐) 34 + 34 = 38𝑑)

1

2−3= −23

𝑒) (22)3 = 28𝑓) (2

3)4

=24

3𝑔) (𝑎2𝑏)3 = 𝑎2𝑏3ℎ) (2 + 𝜋)−2 =

1

4+1

𝜋2

𝑖) 25 ∙ 22 = 47𝑗)(−27)0 = 1𝑘)(𝑎 + 𝑏)0 = 𝑎 + 1𝑙)2−5

23= 2−2

𝑚)93

93= 1𝑛) (20)3 = 23𝑜) 𝑎2 + 𝑎2 = 2𝑎2𝑝)(𝑎 + 𝑏)

13⁄ = 𝑎

13⁄ + 𝑏

13⁄

𝑞)√16 + 25 = √16 + √25 𝑟)√83

∙ √8 = √646

𝑠) 2√(𝑥 + 1) = √4𝑥 + 4

𝑡) √(𝑥 − 1)2 = 𝑥 − 1𝑢) √𝑥9 = 𝑥3

𝑎) − 105𝑏) [(1

2)3

]

2

𝑐) 20 + 21 + 22𝑑) (1

2)4

(−2)4

𝑒) (−3)2(−2)3𝑓) 32

30𝑔) (

2

3)0

+ (2

3)1

ℎ) (−2)5

(−2)3

𝑖) (−3

4)3

𝑗)3−3

4−3𝑘) 23 ∙ 34 ∙ 45

22 ∙ 33 ∙ 44𝑙) (

2

3)−2

+ (2

3)−1

𝑙𝑙) 83

162𝑚)[(−7)2(−3)2]−1𝑛)

210

43ñ) 81−

12⁄

𝑜) 64−23⁄ 𝑝)(−125)

23⁄ 𝑞) √9

3∙ √−33

𝑟) √−33

√−243

𝑠) √9

27−13⁄𝑡)√(−125)(−1000)

3𝑢)√√625𝑣)√144 + 25

34

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

ACTIVIDAD INICIAL

El lenguaje simbólico permite traducir problemas enunciados en un lenguaje natural en

expresiones algebraicas. Por ejemplo: Si a, b y c son números reales, son expresiones algebraicas algunas de las

siguientes

Lenguaje Coloquial (o Natural) Lenguaje algebraico

El doble de a

El triple de la suma de a y c

El producto de a por el cuadrado de b

El cubo de a, disminuido en 3

El cubo de: a disminuido en 3

2a

3(a+c)

ab2

a3-3

(a-3)3

A) Representa en símbolos: a. Tres números consecutivos b. Un número impar c. Dos números pares consecutivos d. El opuesto de un número e. El inverso de un número distinto de cero f. Todo número mayor que 5 g. x está comprendido entre 1 y 2 h. 2 es un número real i. x está comprendido entre 4 y 6 o es igual a 4 o es igual a 6 j. el cuadrado de un número disminuido en 2 k. el cuadrado de: un número dividido 2 l. el número al que excede n en 3 m. la mitad del triple de n

El Álgebra comienza cuando los matemáticos comienzan a interesarse por las operaciones

que se pueden realizar con cualquier número, más que por los mismos números. Ese

cualquier número se representa con una letra y se da así el paso de la Aritmética que se

interesa por los números concretos, al Álgebra.

La palabra “Álgebra” proviene del vocablo árabe al-yabar que se traduce como

“restauración, reponimiento o reintegración”. Deriva del escrito realizado alrededor del año

820 d.C. por el matemática Muhammad Al-Jwarizmi (conocido como Al Juarismi) el cual

proporcionaba operaciones simbólicas para la solución de ecuaciones lineales y cuadráticas

35

El Significado de las Letras

Se suele pensar que el álgebra comienza cuando se empieza a utilizar letras para representar

números, pero, en realidad comienza cuando los matemáticos se interesan por las operaciones

que se pueden hacer con cualquier número. Ese cualquier número se representa con una letra

y se da, así el paso de la aritmética, que se interesa por los números concretos, al álgebra.

La importancia relevante del Álgebra es poder, a través de ella, escribir una determinada situación problemática mediante ecuaciones, desigualdades u otras expresiones matemáticas. También permite la generalización de un determinado tipo de problemas o situaciones haciendo uso de “letras” que representan números. En este punto es conveniente diferenciar desde el principio que existen distintos usos de las letras en el álgebra: En algunos casos representan un número desconocido o incógnita que se desea averiguar. En otros casos representan constantes del problema, las cuales no cambian en la situación

planteada. También están las llamadas variables o indeterminadas, que como su nombre lo indica,

adoptan distintos valores. En general en una misma situación aparecen dos o más variables y éstas están vinculadas por alguna relación.

En otros casos las letras se utilizan para generalizar números, representando entonces a todo un rango numérico.

Estos no son los únicos usos que se dan a las letras en el álgebra, también pueden representar parámetros, nombres de funciones, vectores, puntos, y muchos más. Usualmente, para representar constantes o datos se utilizan las primeras letras del abecedario o del alfabeto griego (a, b, c,… o 𝛼, 𝛽, 𝛾,...) , mientras que para representar variables o incógnitas suelen usarse las ´ultimas letras (x, y, z, w, …). No obstante recalcamos que la elección de las letras no siempre es esa. A continuación analizaremos ejemplos para ilustrar el uso de las letras en Álgebra. Las Letras para Generalizar de números:

En el capítulo anterior primero descubrimos a través de ejemplos numéricos las propiedades

de las operaciones en cada conjunto numérico y luego se generalizó a todos los elementos del

conjunto con letras mediante su expresión simbólica.

Allí cuando expresamos, por ejemplo, que a + b = b + a; cualesquiera sean los números reales a

y b, queremos decir quea y b representan números reales, no necesariamente distintos

aunque las letras sean distintas.No son incógnitas, puesto que no nos interesa conocer el valor

de a ni de b, simplemente nos sirven para generalizar una cierta propiedad numérica que se

cumple para los números reales.

Las Letras como Incógnitas Las incógnitas de un problema son aquellos valores que interesan ser conocidos y no están explícitamente dados en el problema. Ejemplo 1: Hallar el número cuya raíz cúbica es 3. En este problema existe una única incógnita, y tiene la propiedad de que su raíz cúbica es 3. Aun cuando es inmediato darse cuenta que se trata del número 27, este número no está dado en el problema explícitamente y por ello es una incógnita. Para plantear algebraicamente el problema simbolizamos con una letra a la incógnita, por

ejemplo, 𝑥. Entonces √𝑥3

= 3 y ésta es la ecuación que se deberá resolver para encontrar 𝑥.

36

Ejemplo 2: El área de un cuadrado menos el doble de lo que mide el lado es igual a 3. ¿Cuánto mide el lado? Este problema aparenta tener dos incógnitas: el área del cuadrado y la longitud del lado. Pero debemos recordar de la geometría que el área de un cuadrado es igual a la longitud del lado elevada al cuadrado. Así, si denotamos con𝑥a la longitud del lado y nuestro problema se plantea algebraicamente de la siguiente manera:𝑥2 − 2𝑥 = 3

Las expresiones que hemos obtenido en los ejemplos anteriores: √𝑥3

= 3 y 𝑥2 − 2𝑥 = 3 son igualdades que se cumplen que sólo son ciertas para algunosvalores de𝑥, o quizás para ninguno. La presencia del signo=no indica que las expresionesa cada lado sean iguales. Por el contrario, se pretende hallar los valores de las incógnitas que hagan ciertas o verdaderas las igualdades En efecto, puede haber igualdades que no son ciertas, por ejemplo 𝑥 + 5 = 𝑥 Las Letras como Constantes Numéricas Consideremos los siguientes problemas: 1. Hallar el número que multiplicado por 2 es 8. 2. Hallar el número que multiplicado por 3 es 0. 3. Hallar el número que multiplicado por 0 es 3.

4. Hallar el número que multiplicado por√2 𝑒𝑠 𝜋

Todos estos problemas son similares, y sus planteos algebraicos son los siguientes:

2 ∙ 𝑥 = 8 3 ∙ 𝑥 = 0 0𝑥 = 3 √2 ∙ 𝑥 = 𝜋 Notemos que los cuatro problemas tienen un planteo algebraico muy parecido, sólo cambian losdatos del problema. Si usamos letras para simbolizar estos datos, decimos que las letras denotanconstantes. En este caso tenemos que resolver una ecuación del tipo𝑛 ∙ 𝑥 = 𝑚 en la

cual n y m son los datos del problema (valores constantes) y 𝑥es la incógnita. La solución de esta ecuacióngeneral permitirá resolver todos los problemas de la forma: “Hallar el número que multiplicado por n da como resultado 𝑚”. La solución a este problema será diferente según 𝑛y 𝑚sean iguales a 0 o no. Si 𝑚y 𝑛sonambos iguales a 0, entonces hay infinitas soluciones. Si 𝑚 ≠ 0 𝑦 𝑛 = 0, no hay soluciones,mientras

que, si 𝑛 ≠ 0la única solución ser𝑥 =𝑚

𝑛

Las Letras como Variables Analizamos el siguiente problema: “Dos números enteros tienen la propiedad que el triplo de uno más el doble del otro es igual a 25. ¿Cuáles son esos números? Si denotamos con 𝑥 e 𝑦esos dos números, tenemos la relación: 3𝑥 + 2𝑦 = 25 Notemos que 𝑥 e𝑦no pueden adoptar cualquier valor arbitrario, sino que el valor de uno deellos depende del valor de otro. Entonces 𝑥 e 𝑦varían en el conjunto de los enteros y están enuna relación de dependencia.

Para cada valor de 𝑥se cumple que𝑦 =25−3𝑥

2

Escrito de esta manera también se dice que 𝑥es la variable independiente y que𝑦 depende de 𝑥, por esto se expresa que 𝑦 es la variable dependiente. En particular, 𝑥sólo puede adoptar valores impares para que 𝑦resulte un entero. Algunosvalores posibles de 𝑥 e 𝑦son: 𝑥 = 1 𝑒 𝑦 = 11; 𝑥 = −3 𝑒 𝑦 = 17 DIFERENCIAS (𝑎 + 𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐 + 𝑏 ∙ 𝑐es una identidad, se cumple para todos los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 en ℝ. Las letras se usan para generalización de números

2𝑥 = 5es una ecuación pues la igualdad se cumple para un único valor de 𝑥 que es 5

2

37

Clasificación: Las expresiones algebraicas se clasifican en enteras, racionales e irracionales.

Las expresiones algebraicas enteras son aquellas en las cuales las letras y números se relacionan a través de las operaciones de suma, producto y potencia. Por ejemplo:

3 3 4x x . Las expresiones algebraicas racionales son aquellas en las que por lo menos una de

las letras figura como divisor de la expresión. Por ejemplo: 3

2 1x .

Las expresiones algebraicas irracionales son aquellas en la que por lo menos una de

las letras se figura como radicando. Por ejemplo: 1

52

x .

Polinomios: Son expresiones algebraicas enteras.

Polinomios en una indeterminada, x, es la expresión de la forma:

donde 𝑎𝑛 ,𝑎𝑛−1 ,…𝑎2 ,𝑎1 ,𝑎0 son números reales, llamados coeficientes, 𝑥es laindeterminada

Los exponentes de 𝑥 son números enteros no negativos y el grado del polinomio es el mayor exponente de la variable cuyo coeficiente es diferente de cero.

n es un número natural que indica el grado de un polinomio (𝑛𝜖ℕ0 𝑞𝑢𝑒 es el conjunto de los números naturales que incluye al cero ó el conjunto de los números enteros no

negativos). El grado del polinomio P x , se indica con grP x n .

na es el coeficiente principal y 𝑎0 es el término independiente o término de grado 0

En el caso particular de que todos los coeficientes sean ceros, el polinomio se denomina

polinomio nulo, se lo indica con y carece de grado.

Según la cantidad de términos que tenga el polinomio, se llama:

Monomio un solo término Binomio dos términos Trinomio tres términos … … Polinomio de grado n. n términos

Ejemplos:

a)Sea 3 411 2

2P x x x

Es un trinomio de cuarto grado 4n , la variable es x, entonces grP(x) = 4.

𝑃(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎2𝑥2 + 𝑎1𝑥

1 + 𝑎0

Definición: Las expresiones algebraicas son combinaciones de números expresados por

letras y cifras, relacionados entre sí por una o más operaciones

38

Los coeficientes son: 0 1 2 3 4

11, 0, , 2

2a a a a a , donde el coeficiente

principal es 4 2a

3

32

Q y y es un binomio de grado 1 en la variable y, 0 1

3, 3

2a a

5R x Monomio de grado cero, 0 5a

1

52

S x x No es un polinomio pues x esta con exponente 1/ 2 .

3

2 1T x

x

No es un polinomio porque x está en el denominador (es una expresión

algebraica racional).

A tener en cuenta

Un número real es un monomio en el cual la indeterminada 𝑥tiene exponente 0; Ej: 4 =4𝑥0

Y en particular, si el coeficiente es 0 el monomio resulta:0 = 0𝑥0 Las potencias de 𝑥también son monomios, con coeficiente 1: Los monomios son homogéneoscuando tienen el mismo grado Los monomios son semejantes cuando tienen la misma parte literal El grado de un polinomio con respecto a una de sus indeterminadas está dado por el

mayor exponente con que figure esa indeterminada Un polinomio está ordenado según las potencias decrecientes (o crecientes) de una

indeterminada cuando el exponente de la misma en cada término es menor o igual (mayor o igual) que en el anterior

Operaciones con Polinomios

Adición y Sustracción

La suma y diferencia de polinomios se trabaja haciendo una simple supresión de paréntesis y

agrupando términos semejantes como muestran los siguientes ejemplos:

1) Sumar los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥).

𝑃(𝑥) = 2 − 7𝑥2 − 5𝑥3 𝑦 𝑄(𝑥) = 4𝑥2 + 5𝑥3 − 3𝑥4 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) = (2 − 7𝑥2 − 5𝑥3) + (4𝑥2 + 5𝑥3 − 3𝑥4 )

= 2 − 7𝑥2 − 5𝑥3 + 4𝑥2 + 5𝑥3 − 3𝑥4 = 2 − 3𝑥2 − 3𝑥4

2) Restar los polinomios 𝑃(𝑥) 𝑦 𝑄(𝑥).

𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) = (2 − 7𝑥2 − 5𝑥3) − (4𝑥2 + 5𝑥3 − 3𝑥4 ) = 2 − 7𝑥2 − 5𝑥3 − 4𝑥2 − 5𝑥3 + 3𝑥4

= 2 − 11𝑥2 −−10𝑥3 + 3𝑥4

En el ejemplo de la resta o diferencia, al hacer la supresión de paréntesis lo que se ha hecho es

sumar al polinomio ( )P x el opuesto del polinomio ( )Q x .

Producto de Polinomios

Para efectuar los productos de los polinomios debemos tener en cuenta la propiedad

distributiva del producto respecto de la suma y las propiedades de la potenciación.

Veamos algunos ejemplos para los distintos casos que se nos pueden presentar.

39

1) Multiplicar 𝑃(𝑥) = 3𝑥2 𝑦 𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 1 (𝑃. 𝑄)(𝑥) = 3𝑥2. (2𝑥 − 1)

= 3𝑥2. 2𝑥 − 3𝑥2. 1 (A)

= 6𝑥3 − 3𝑥

Se puede observar que el polinomio obtenido en (A) tiene un factor común3𝑥2 en ambos

términos. De manera recíproca dado el polinomio: 3𝑥2. 2𝑥 − 3𝑥2. 1

Se puede obtener el producto: 3𝑥2. (2𝑥 − 1)

Esto es: 3𝑥2. 2𝑥 − 3𝑥. 1 = 3𝑥2. (2𝑥 − 1)

A este procedimiento se los llama extraer factor común en un polinomio

2) Multiplicar 𝑃(𝑥) =1

2𝑥2 + 3𝑥 𝑦 𝑄(𝑥) = 2𝑥 − 1

(𝑃. 𝑄)(𝑥) = (1

2𝑥2 + 3𝑥) . (2𝑥 − 1)

= 1

2𝑥2. (2𝑥 − 1) + 3𝑥. (2𝑥 − 1)

= 1

2𝑥2. 2𝑥 −

1

2𝑥2. 1 + 3𝑥. 2𝑥 − 3𝑥. 1

= 𝑥3 −1

2𝑥2 + 6𝑥2 − 3𝑥

2 2

2 2

3) y

P x x a Q x x a

P Q x x a x a x x x a a x a a

x ax ax a

x a

Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥 𝑦 𝑄(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥

(𝑃. 𝑄)(𝑥) = (2𝑥2 + 3𝑥). (2𝑥2 − 3𝑥)

= (2𝑥2). (2𝑥2) + (2𝑥2). (−3𝑥) + (2𝑥2). (2𝑥2) + (3𝑥)(−3𝑥)

= (2𝑥2)2 − (3𝑥)2

= 4𝑥4 − 9𝑥2

El producto de la suma de dos números por su diferencia se convierte en la diferencia de los

cuadrados de los mismos.

2

2 2

2 2

4)

2

P x Q x x a

P Q x x a x a x a x x x a a x a a

x ax ax a

x ax a

Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) = 2𝑥2 + 3𝑥

(𝑃. 𝑄)(𝑥) = (2𝑥2 + 3𝑥). (2𝑥2 + 3𝑥) = (2𝑥2 + 3𝑥)2

= (2𝑥2). (2𝑥2) + (2𝑥2). (3𝑥) + (2𝑥2). (3𝑥) + (3𝑥)(3𝑥)

= (2𝑥2)2 + 2. (2𝑥2). (3𝑥) + (3𝑥)2

= 4𝑥4 + 12𝑥3 + 9𝑥2

Es decir: (2𝑥2 + 3𝑥)2 = 4𝑥4 + 12𝑥3 + 9𝑥2

El desarrollo del cuadrado de un binomio recibe el nombre de trinomio cuadrado perfecto.

40

3

2 2 2 2 2 2

3 2 2 2 2 3

5)

2 2

2 2

P x Q x R x x a

P Q R x x a x a x a x a x a x x x a a x a a

x a x ax ax a x x x ax x a a x a ax a a

x ax a x ax a x a

3 2 2 3 3 3x ax a x a

Ejemplo: 𝑃(𝑥) = 𝑄(𝑥) = 𝑅(𝑥) = 2𝑥 − 3

(𝑃. 𝑄. 𝑅)(𝑥) = (2𝑥 − 3)3

= (2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)(2𝑥 − 3)

= (2𝑥 − 3). (4𝑥2 + 2.2𝑥. (−3) + 9)

= 2𝑥. (4𝑥2 − 12𝑥 + 9) − 3. (4𝑥2 − 12𝑥 + 9)

= 8𝑥3 − 24𝑥2 + 18𝑥 − 12𝑥2 + 36𝑥 − 27

= 8𝑥3 − 36𝑥2 + 54𝑥 − 27

Es decir:

(2𝑥 − 3)3 = 8𝑥3 − 36𝑥2 + 54𝑥 − 27

= (2𝑥)3 + 3. (2𝑥)2. (−3) + 3.2𝑥. (−3)2 + (−3)3

El desarrollo del cubo de un binomio recibe el nombre de cuatrinomio cubo perfecto.

ACTIVIDAD 1:

1) Elabora un resumen o síntesis de clasificación de las letras

2) Reduce las siguientes expresiones algebraicas. Escribe a continuación el nombre de la/s propiedad/es aplicada/s

3) Responde a las siguientes preguntas, justificando las respuestas a) ¿Qué valor o valores no puede tomar la x en el ejercicio c? ¿y en ejercicio w? b) ¿Qué valor o valores no puede tomar la x del ejercicio v? c) ¿En qué ecuación x no puede tomar el valor 1? ¿Por qué?

a) 52 .xx b) 113.yy

c)3

6

x

xd)

9

2

y

y

e) x

xx 33 32 f) 62y g) xx 5.6

h) xxx 2. 3

i)3

225

x

xx j)

73.xx k) x

x 23

l)

z

z3

2

m)

y

yy3

3 n)

x

x

2 ñ)

x5

0 o)

y

y 422

p)

x

x2

q)

4

32

4

2

x

x r)

1

)1( 5

x

x s)

2

10 x

t) 5412 .yy

u) .x x v) 3x x w) 3222 2. xxx

41

4) Simplifique y exprese cada respuesta sólo con exponentes positivos. Indique qué valores

puede tomar cada letra. Luego, verifique reemplazando las letras por números:

5) Indica si las siguientes expresiones son Verdaderas o Falsas y justifica tu respuesta

6) Sea 𝑥 𝜖 ℝ, indique si son verdaderas o falsas cada una de estas afirmaciones.

𝑎) 𝑥2 > 0 𝑏) 𝑥3 ≥ 0 𝑐) √𝑥3 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 0

𝑑)𝑥−1 < 0 𝑠𝑖 𝑥 < 0 𝑒) − 𝑥2 < 0 𝑓) − 𝑥 < 0

7) Si se supone que𝑥, 𝑦, 𝑧 𝜖 ℝ, tal que 𝑥 > 0, 𝑦 < 0, 𝑧 < 0, determine el signo de las siguientes expresiones:

𝑎) 𝑥 − 𝑦 𝑏) 𝑥 − (𝑦 + 𝑧) 𝑐) 𝑧 − 𝑥

𝑦 𝑑) 𝑥(𝑦 + 𝑧) 𝑒)(−𝑦)3 𝑓)(𝑦 − 𝑥)2

8) Siendo 𝑃(𝑥) = 2𝑥3 − 3𝑥 + 12 𝑄(𝑥) = −3𝑥4 + 2𝑥2 + 𝑥3. Obtiene: b) 𝑃(−1); 𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥); 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) c) Indica el coeficiente principal, el coeficiente del término de grado 0 y el grado de cada

polinomio

9) Escribir en lenguaje algebraico cada uno de los siguientes enunciados. a) El cuadrado de la suma de dos números reales es igual a la suma de sus cuadrados más el doble de su producto. b) El espacio recorrido por un móvil es igual a su velocidad por el tiempo que está enmovimiento. c) Un número elevado a la 10 significa multiplicar 10 veces ese número.

𝑎) (𝑥−3)2𝑏)𝑥9

𝑥3𝑐)(2𝑎)3(3𝑎)2𝑑)(−2𝑎2𝑏0)4

𝑒)(𝑥2𝑦)4

(𝑥𝑦)2𝑓) (𝑥 − 2𝑦)6

(𝑥 − 2𝑦)2𝑔) (𝑥−2𝑦2)3

(𝑥3𝑦−2)2ℎ)(2𝑥3𝑦−2)2

8𝑥−3𝑦2

𝑖) (𝑎 + 𝑏)−2

(𝑎 + 𝑏)−8𝑗) 𝑥−2 + 𝑦−2 𝑘)(𝑎−4𝑏−8)

34⁄ 𝑙)

𝑎2 ∙ 𝑏−12⁄ ∙ 𝑐

13⁄

𝑎−3 ∙ 𝑏0 ∙ 𝑐−13⁄

𝑚) (64𝑎6

𝑏−9)

23⁄

𝑛) 1

2(𝑥2 + 4𝑥)−

12⁄ (2𝑥 + 8)

3 3) ) 2 5 5 2 5

2 2

)2 3 4 20 )2 3 4 14

1 1) 7 5 2 ) 3 2 5

5 5

7 5 7 5)2 3 5 2 3 2 5 )

2 2 2

5 3 5 2 2 2) )

2 3 2 7 5 7 5

a a a b b b

c d

e a a a f b b

g h

i j

42

d) El producto de dos potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene la mismabase y cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las potencias que semultiplican. e) La suma de tres números enteros es 54. f) Escribir un número natural, su anterior y su posterior. g) La superficie de un cuadrado de lado x es 121. h) El cociente de dos potencias de igual base es igual a otra potencia que tiene la mismabase y cuyo exponente es igual a la resta de los exponentes de las potencias que se dividen

IDENTIDADES Y ECUACIONES

Clasificación de las Ecuaciones Las ecuaciones algebraicas se clasifican:

a) Por su grado;

b) Por el número de sus incógnitas.

2

3 2 0 es una ecuación de primer grado con una incógnita.

2 5 8 es una ecuación de primer grado con dos incógnitas

2 1 0 es de segundo grado con una incógnita.

x

x y

x x

Ecuaciones de Primer Grado con una Incógnita

¿Cómo podrías formalmente expresar la solución de la ecuación de primer grado con una incógnita?

𝑥 =……

…… .

Igualdades

Las igualdades matemáticas son las expresiones caracterizadas por el signo " = ".

Una Identidad es una igualdad absoluta, o válida sin condicionamientos, para cualquier valor de las

indeterminadas. Por ejemplo:

7 + 3 = 10

(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ

(𝑥 + 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥2 − 𝑦2 𝑠𝑒 𝑐𝑢𝑚𝑝𝑙𝑒 ∀ 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ

Una Ecuación es una igualdad condicionada, es decir que se satisface sólo para determinados

valores de las indeterminadas y en algunas ocasiones no tiene solución. Por ejemplo:

7 + 𝑥 = 10 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = 3

2𝑥 − 1 = 𝑥 − 2 𝑠ó𝑙𝑜 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = −1

𝑥2 = 9 𝑠𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑥 = 3 𝑦 𝑥 = −3

𝑥 + 5 = 𝑥 − 2 𝑛𝑜 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑎 𝑣𝑒𝑟𝑖𝑓𝑖𝑞𝑢𝑒, 𝑛𝑜 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛

La condición o condiciones que debe cumplir una ecuación para ser efectivamente una igualdad

están representadas por una letra o varias que reciben el nombre de incógnitas de la ecuación.

Una ecuación de primer grado o lineal con una incógnita es, por lo tanto, de la forma: 𝑚𝑥 +𝑏 = 0 donde 𝑚 𝑦 𝑏 son constantes y 𝑥 es la incógnita

43

Resolución de una ecuación lineal

En toda ecuación se distinguen dos miembros en la igualdad. Una forma de no equivocarse en el procedimiento de despejar la incógnita es analizar laexpresión de afuera hacia dentro, como

en “cáscaras de cebollas”. Mediante ejemplos explicaremosel procedimiento.

Ejemplo 1:

2 7 1 12 2 primer miembro Segundo miembrode la igualdad de la igualdad

x x x

En cada uno de los miembros de una ecuación puede o no haber términos semejantes; si los hay, se

debe operar con ellos

3𝑥 + 6 = 14 − 𝑥

Los términos en cada uno de los miembros no son semejantes, por lo que no se puede operar entre

ellos. Entonces, debemos agrupar términos semejantes en cada uno de los miembros, para ello

aplicamos propiedad uniforme: sumamos a ambos miembros x y 6 y obtenemos:

3𝑥 + 6 + 𝑥 + (−6) = 14 − 𝑥 + 𝑥 + (−6)

3𝑥 + 𝑥 = 14 − 6

4𝑥 = 8

Ahora, para despejar definitivamente x, volvemos a aplicar la misma propiedad y dividimos a ambos

miembros por 4. Por último, resolvemos.

4𝑥: 4 = 8: 4 o bien: 4𝑥

4=8

4

𝑥 = 2𝑥 = 2

Verificación: a fin de comprobar la validez de la solución se sustituye xpor 2 en la ecuación y se

computa el valor de cada miembro. Si los valores así obtenidos son iguales, la solución es correcta.

Para el ejemplo anterior la verificación es:

Primer miembro: 2 2 7 2 1 12

Segundo miembro: 12 2 2 12

Luego 2x es la solución de la ecuación dada.

Ejemplo 2: Calcular el o los valores de x en la siguiente ecuación

Aplicar esta propiedad equivale decir

que x pasa sumando al otro

miembro y que 6 pasa restando

(Pasaje de términos)

Equivale a decir que el 4 que está

multiplicando pasa al otro miembro

dividiendo (Pasaje de factores)

44

2 3 8

4

2 34 8 4 Multiplicamos por 4 ambos miembros de la igualdad.

4

2 3 32

2 3 2 32 2 Sumamos -2 a ambos miembros de la igualdad.

3 30

x

x

x

x

x

3 30 Dividiendo por -3 ambos miembros de la igualdad.

3 3

10

x

x

Verificación

2 3 108

4

328 8 8 Por lo tanto 10 es la solución de la ecuación.

4x

Ejemplo 3: Resuelve el siguiente problema: “El doble de la edad que Guillermo tendrá dentro de 6

años es igual al triple de la edad que tenía hace 5. ¿Qué edad tiene Guillermo actualmente?”

Encuentra la solución probando con diferentes edades. ¿Cuánto tiempo demoraste?

Este es un ejemplo que cuesta encontrar ese valor, pues no cuentas, de antemano, con algunos valores posibles que puede tomar esta edad. Es este uno de los casos en que el planteo de ecuaciones ayuda a resolverlo.

Solución:

2(𝑒 + 6) = 3(𝑒 − 5)

2𝑒 + 12 = 3𝑒 − 15

2𝑒 + 12 − 12 − 3𝑒 = 3𝑒 − 15 − 12 − 3𝑒

−1𝑒 = −27

𝑒 = 27

Respuesta: La edad de Guillermo es 27 años

Respuesta: La edad que actualmente tiene Guillermo es 27 años

Inecuaciones Lineales con una incógnita

Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el

signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.

Los signos de desigualdad son ”mayor que”; “menor que”; “mayor o igual que” y “menor o igual”. Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos procedimientos que se usan para resolver una ecuación lineal. Ejemplos:

1) Resolver 3 8x . Sumando la misma cantidad a ambos lados:

¡¡Atención!!

Justifica cada paso realizado

con el nombre de la propiedad

aplicada

¡¡REALIZA LA

VERIFICACIÓN!!

45

3 8

3 8 8 8

11 que es lo mismo que poner 11

x

x

x x

Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide o multiplica por un número negativo, el sentido de desigualdad cambia.

2) Resolver: 5 12 8 3x x

5 12 8 3

5 8 12 3

3 15

3 3

5

x x

x x

x

x

La interpretación gráfica de la solución de una inecuación es un intervalo del conjunto de los números reales. Por ejemplo:

La solución del primer ejercicio es 11x , representado por el intervalo ;11 , lo que

gráficamente seria:

La solución del segundo ejemplo será: 5;

Ecuación Cuadrática o Ecuación Polinómica de Segundo Grado

Es la ecuación de la forma: 2 0ax bx c , donde , ,a b c son constantes y 0a , donde

, ,a b c son los coeficientes de los términos cuadrático, lineal e independiente respectivamente.

La Fórmula de Baskara: permite determinar el valor de las raíces de la ecuación 2 0ax bx c .

𝑥 =−𝑏 ± √𝑏2 − 4𝑎𝑐

2𝑎

Análisis del discriminante:

Si 2 4 0b ac , la ecuación tiene dos soluciones reales.

2 2

1 2

4 4;

2 2

b b ac b b acx x

a a

Si 2 4 0b ac , la ecuación tiene dos soluciones reales iguales.

1 22

bx x

a

Si 2 4 0b ac , la ecuación tiene no tiene soluciones reales.

Ejemplo: Encontrar las raíces, si es posible, de la ecuación 24 5 6 0x x . Donde

0 5

0 11

46

4, 5, 6a b c :

𝑥1,2 =−5± √52 − 4.4. (−6)

2 . 4

𝑥1,2 =−5± √25 + 96

8 → 𝑥1 =

−5 + 11

8 ; 𝑥2 =

−5 − 11

8

𝑥1 =3

4 ; 𝑥2 = −2

ACTIVIDAD 2:

10) Expresa en símbolos lo planteado en cada problema y luego resuélvelos. a) Después de un 20% de descuento, un proyector se vendió en 9 600 pesos. Determine el precio original del artículo. b) Un grupo de alumnos fue encuestado. El 20% (700 alumnos) favoreció a un nuevo producto sobre la marca de mayor venta. ¿Cuántos alumnos fueron encuestados? c) Encuentra tres números enteros consecutivos cuya suma sea 48. d) En 5 años Alberto tendrá 3 veces la edad que tenía hace 7 años. ¿Cuántos años tiene

Alberto? e) Dentro de 12 años Lucas tendrá 27 ¿Qué edad tiene ahora? f) Hace 7 años Juan tenía 16 ¿Cuál es su edad? g) Si María tuviera el doble del dinero que tiene ahorrado podría comprarse un automóvil de $35000 y le quedarían $7000 ¿Cuánto dinero tiene ahorrado? h) Un hombre comenzó una dieta y en seis meses redujo su peso a la mitad, continuó con la dieta y bajo 14 kg llegando a los 71 kg ¿Cuánto pesaba antes de comenzar la dieta? i) Si a 8 se le resta la raíz cúbica de un número y al resultado de la resta se lo multiplica por 6 se obtiene 64 ¿Cuál es ese número?

11) En las siguientes ecuaciones, primero trata de anticipar, sin resolverlas, qué se lee a través

de su expresión simbólica: ¿tendrán solución, es decir, existe el valor de 𝑥? ¿Qué valores

puede o no adoptar 𝑥 para que la expresión tenga solución? ¿El posible valor de 𝑥 será positivo o negativo? Luego, determine el conjunto solución de cada una y verifique el resultado obtenido (aunque sea mentalmente).

12) Decir si las siguientes igualdades son ecuaciones y en caso afirmativo encuentre sus raíces

𝑎) 3𝑥 + 5 = 2𝑥 + 10𝑏) 4𝑥2 − 2𝑥 − 3 = 3𝑥2 − 4𝑥

𝑐) 3𝑥 + 4 = 4(𝑥 − 26)𝑑) 3𝑥2 − 3𝑥 + 7 = 3(𝑥2 + 2𝑥) − 9𝑥 + 7

𝑎) − 5𝑥 + 2 = 12𝑏) 6𝑦 − 𝑦 = 23𝑐) 𝑥3 =27

8𝑑) (2𝑥)3

𝑥2= −18

𝑒) 2 − √𝑥

3

5= 1𝑓)

13

𝑦=

22

𝑦 − 2𝑔) 1

4+𝑦

2= 3𝑦 − 5ℎ)

5

2𝑥 − 3= 9

𝑖) 2𝑥 + 1

4= 6𝑗)

2

𝑥+ 3 = 11𝑘)√𝑥. 6 = 18𝑙)

18

𝑥3= −9

𝑙𝑙) √4𝑥 = 6𝑚) 4

2 − √𝑥= −1𝑛)

2

𝑥3 + 1= −2

48

13) Exprese como productos las siguientes expresiones

14) Indica el V o F en las siguientes proporciones

ACTIVIDAD 4

15) Resuelve la ecuación (x – 3). (x – 4 ) = 0 (Ten en cuenta de que para que un producto de varios factores sea 0, es suficiente que uno de ellos sea 0). ¿Qué tipo de ecuación es?

a) Efectúa el producto (x – 3 ). (x – 4 ). ¿Has obtenido x2 – 7x + 12?. Resuelve esta última ecuación igualando previamente a 0.

b) Observa los coeficientes -7 y 12. ¿Encuentras alguna relación entre ellos?.

16) Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones:

𝑎) 25𝑥2 − 144𝑦2𝑏) 𝑎2 − 121𝑏2𝑐) 24𝑥5 + 18𝑥4 − 30𝑥2

𝑒) 4𝑥2 − 4𝑥 + 1𝑓) 𝑥2 + 3𝑥 +9

4

𝑎) 2𝑥2 − 7𝑥 + 3 = 0𝑏) − 𝑥2 + 3 − 7𝑥 = 0𝑐) 2𝑥 − 3 = 1 − 2𝑥 + 𝑥2

𝑑) 𝑥2+(𝑥 + 2)2 = 580𝑒) 2𝑥2 −10

3+4

3= 0𝑓) 𝑥2 − 2𝑥 + 5 = 0

𝑔) (𝑥 − 1)2 + (𝑥 + 1)2 = (𝑥 − 3)2ℎ) 2𝑥2+10

2=−

15𝑥5−302

49

FUNCIONES

ACTIVIDAD INICIAL

1) “Unos amigos deciden poner un negocio de reparación de computadoras con entrega en el domicilio del cliente. Para estimar los costos deciden investigar los costos en diferentes remiserías. La empresa “Remises del Valle” cobra $12 por el servicio más $8 por cada kilómetro recorrido. Roque, un remisero del barrio, cobra $16 por cada kilómetro que recorre”. a) Para hacer un viaje de 1 km ¿Cuál de los dos conviene para realizar el envío?¿y si es de

menos de 1km? ¿Por qué?

b) Si el viaje fuera de 5.0 10 km ¿con cuál de los dos se pagará menos?

c) ¿Qué servicio conviene contratar? d) Si designamos con 𝑥 a la cantidad de km recorridos y con 𝑦 al costo del envío, ¿cuál es

la expresión simbólica que representa la situación de cada remisería? e) ¿Cuál de los siguientes gráficos resulta adecuado para estimar el costo del transporte

según cada empresa?Explica

La noción de correspondencia desempeña un papel fundamental en la vida cotidiana. Por

ejemplo:

El concepto de Relación-Función es uno de los más importantes en Matemáticas. La noción

actual de función comienza a gestarse en el siglo XIV cuando los filósofos escolásticos

medievales comenzaron a preocuparse por medir y representar gráficamente las variaciones de

ciertas magnitudes como la velocidad de un cuerpo en movimiento o la diferencia de

temperatura en los distintos puntos de un objeto metálico. El personaje más influyente en este

proceso inicial fue probablemente Nicole Oresme (1323-1382), en Paris

50

Correspondencia 1: En el almacén “Don Juan”, a cada artículo le corresponde un precio.

Correspondencia 2: En el conjunto ℝ, a cada número le corresponde una segunda potencia.

Correspondencia 3: A cada estudiante le corresponde un promedio de calificaciones.

En estos ejemplos se relacionan dos variables: en el primero son artículo y precio, una es

alfanumérica y la otra numérica; en los otros ejemplos, ambas variables son numéricas.

El precio depende del artículo, entonces “el precio” es la variable dependiente y “el nombre

del artículo” es la variable independiente

A tener en cuenta:

Relación es la correspondencia entrelos elementos de un primer conjunto, llamado Dominio, con los elementos de un segundo conjunto, llamado Codominio, de manera que: a cada elemento del Dominio le corresponde algunos elementos del Codominio.

Una Función es un tipo especial de relación a la que se añade la restricción de que: a cada elemento del Dominio le corresponde uno y sólo un elemento del Codominio.

Todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

En general la noción de FUNCIÓN involucra tres cosas: (1) un conjunto D llamado DOMINIO, (2) un conjunto C que se llama CODOMINIO y (3) una regla que le hace corresponder a cada elemento de D un elemento (y solamente uno)

de C.

Definición:

La letra 𝒙representa a todos los valores del conjunto A que tienen su correspondiente imagen en B. Se designa con𝒙a la variable independiente y, al conjunto de todos los valores que puede

adoptar 𝒙 se llama Dominio de la función. Todo elemento del conjunto A tiene imagen, entonces, el conjunto A es el Dominio de la Función. Se lo se lo representa 𝑫𝒇 o 𝑫𝒐𝒎𝒇

Como a cada valor de 𝒙 le corresponde un único valor de 𝒚del conjunto B, se dice que 𝒚 depende de 𝒙, o que 𝒚 es la variable dependiente, o bien,que 𝒚 es una función de 𝒙.

El conjunto B se llama Codominio de la función, se lo representa 𝐶𝑓 o 𝐶𝑜𝑑𝑓

El subconjunto de B formado todos los valores que puede adoptar 𝒚, la variable dependiente, es la Imagen. Se lo representa 𝑰𝒇 o 𝑰𝒎𝒇.

Tanto las relaciones como las funciones pueden ser representadas de varias formas: utilizando Diagramas de Venn, fórmulas, y la forma más frecuente,la representación gráfica es en un sistema de ejes cartesianos. Ejemplos: a)𝑦 = 2𝑥2

Dados los conjuntos A y B. Una función 𝒇 de 𝑨en 𝑩(𝒇:𝑨 ⟶ 𝑩), es una relación que le hace

corresponder a cada elemento 𝒙 𝝐 𝑨 uno y sólo un elemento 𝒚 𝝐 𝑩, llamado imagen de 𝒙

por 𝒇, que se escribe𝒚 = 𝒇(𝒙). (se lee y igual a f de x )

51

a) d)

b) {(𝐽𝑢𝑎𝑛, 10); (𝑃𝑒𝑑𝑟𝑜, 8.50)(𝑀𝑎𝑟í𝑎, 6); (𝐷𝑎𝑛𝑖𝑒𝑙𝑎, 10)}

Representación de Funciones: Las funciones pueden ser representadas de varias formas:

Utilizando Diagramas de Venn, como la correspondencia b) anterior.

Por extensión cuando se nombra el conjunto formado por todos los pares ordenados que la cumplen. Ejemplo c)

Por comprensión, que puede ser expresada con lenguaje coloquial como las correspondencias dadas al inicio de este capítulo, o bien, con el lenguaje algebraico utilizando fórmulas, por ejemplo: Sea 𝑓:ℝ → ℝ 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑥2.

Mediante tablas de valores.

Utilizando la representación gráfica en un sistema de ejes cartesianos, que es el conjunto

de puntos ,x y , pertenecientes aℝ2, para los cuales ,x y es un par ordenado de f. En

todo par ordenado, siempre la primera componente del punto es x y la segunda

componente será y , por eso 2,33,2 . Por ejemplo: 𝑓(𝑥) = 𝑥2:

FUNCIONES DE UNA VARIABLE REAL

Las funciones que más nos van a interesa en matemática son las funciones numéricas. Consideraremos que x toma valores sobre un subconjunto de los números reales y, los correspondientes valores de y también serán reales, de modo que estudiaremos funciones reales de una variable real. Dominio y Codominio de una Función El Dominio de una función está formado por aquellos elementos del conjunto A que tienen imagen en B

𝐷𝑓 = {𝑥𝜖𝐴/𝑓(𝑥) = 𝑦 ∧ 𝑦𝜖𝐵}

Juan

Pedro

María

Daniela

8.50

6

10

5

Dominio Nombres

Codominio Calificaciones

52

Para el cálculo certero del dominio de una función, se debe introducir el concepto

de restricción en el cuerpo real. Estas restricciones ayudan a identificar la existencia del

dominio de una función.

Ejemplos:

Para la función 𝒇(𝒙) = √𝒂𝒏

. No existe restricción si n es impar, pero si para n par, la

función f(x) necesariamente deberá ser mayor o igual que cero, ya que las raíces

negativas no están definidas en el conjunto de números reales.

Sea 𝒚 = √𝒙 − 𝟕. El índice de la raíz es par (2), por tanto 𝒙 − 𝟕 ≥ 𝟎 ; despejando, se

tiene que 𝒙 ≥ 𝟑. El dominio entonces será el conjunto de todos los reales en

el intervalo[𝟑, +∞).

Para encontrar el dominio de la función 1

( )2

xf x

x

se debe identificar cuál es el

conjunto de valores permitidos para x . Como la división por cero no está definida,

debe ser - 2 0x , o sea 2x . Por otro lado, el radicando de la raíz cuadrada debe

ser mayor o igual a cero, con lo que resulta 1 0x , o lo que es lo mismo 1x .

Por lo tanto, el dominio de f x es el conjunto de todos los números reales mayores

o iguales a 1 , excepto 2 . Simbólicamente escribimos:

{ / 1 2}Df x IR x x

Esto se lee: el dominio de la función f es el conjunto formado por los x pertenecientes al

conjunto de números reales tales que x sean mayor que 1 y distinto de 2 .

El Codominio de una función es el segundo conjunto o también llamado Conjunto de Llegada. La imagen de una función es el conjunto formado por los elementos del conjunto B que tienen preimagen en A:

𝐼𝑚𝑓 = {𝑦𝜖𝐵/ ∃𝑥𝜖𝐴 ∧ 𝑓(𝑥) = 𝑦}

Por lo tanto para 𝑓: 𝐴 → 𝐵: 𝐼𝑚𝑓 ⊂ 𝐶𝑜𝑑𝑓.

Adicionalmente, es posible hablar de la imagen de un elemento (del dominio) para hacer

referencia al valor que le corresponde bajo la función. Esto es, si 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es una función,

entonces la imagen del elemento 𝑎 ∈ 𝐴 es el elemento 𝑓(𝑎) ∈ 𝐵.

53

Por ejemplo:

Para una función𝑓:ℝ → ℝdefinida como función cuadrática: 𝑓: 𝑥 → 𝑥2, o, 𝑓(𝑥) = 𝑥2el

codominio de 𝑓 es ℝ, pero 𝑓(𝑥) = 𝑥2 siempre toma un valor positivo, entonces, la imagen

de 𝑓 es el conjunto [0, +∞). La imagen de 2 es 𝑓(2) = 4. El dominio de la función 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 1 es el conjunto ℝ ; es decir: 𝐷𝑓 = ℝ y el

codominio son todos los valores mayores que −1: 𝐶𝑓 = [−1,+∞).

Variables:

Las Variables independientes no dependen de ninguna otra variable, en general en la función 𝑦 = 𝑓(𝑥) es 𝑥 la variable independiente.

Las Variables Dependientes son, como su nombre lo indica, aquellas que dependen del valor de otras variables. 𝑦 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑒 𝑑𝑒 𝑥.

Ejemplos:

El promedio depende del nombre del alumno.

El precio depende o está en función del artículo. ACTIVIDAD 1: 1) Dados los siguientes ejemplos indica cuál es la variable independiente y cuál la

dependiente. a) La presión varía a medida que aumenta la profundidad en el mar. b) La distancia recorrida por un móvil al variar el tiempo c) El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado d) El precio de las manzanas se corresponde con las estaciones del año

2) Dos amigos hicieron una excursión en bicicleta a un bosque que está a 44 km de su pueblo,

para llegar al cual hay que seguir un itinerario con subidas y bajadas. Están allí un rato y regresan.

Mirando la gráfica contesta:

a) ¿Qué significa cada cuadrito en el eje horizontal de la gráfica? ¿y en el eje vertical? b) ¿A qué hora salieron?

c) ¿Cuántos km hay desde el comienzo de la primera cuesta hasta la cima? ¿Cuánto

tiempo tardaron en subirla?

d) ¿Cuántos km hay en bajada? ¿Qué tiempo se tardaron?

54

e) ¿Cuánto tiempo se demoraron en el bosque?

f) ¿Cuánto tardaron en ir del pueblo al bosque? ¿Y del bosque al pueblo? ¿A qué crees que

puede deberse la diferencia?

g) Esta relación tiempo – espacio ¿es función?, justifica tu respuesta

3) La remisería “Villa Parque” cobra $20 por cada km recorrido. a) ¿Cuál de los siguientes gráficos representa lo que cobra esta empresa? ¿Por qué?

b) En algún caso conviene utilizar los servicios de esta remisería? c) Es cierto que si en un viaje se recorre el doble de km que en otro entonces se pagará el

doble? 4) Discutan con sus compañeros qué empresa elegirían para hacer distintos viajes. Deben

justificar sus respuestas, para ello: a) Elaboren un cuadro donde se pueda ver cuál empresa conviene en función de la

distancia b) Elaboren la expresión simbólica que permita estimar el costo del viaje en cada caso

5) Expresa si las siguientes gráficas representan una función o no. En caso de hacerlo, indica

el correspondiente dominio y codominio. Justifica la respuesta.

6) Para la función 𝑦 = 𝑔(𝑥)del gráfico de la figura siguiente. a) Obtiene𝑔(2); 𝑔(1,5) Expresa en palabras tu respuesta b) ¿Qué valores del dominio tienen como imagen al número 2?

55

7) Sea 𝑓:ℝ → ℝ, una función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 1. Calcular

𝑓(0); 𝑓 (5

2) ; 𝑓(1); 𝑓(√2)

8) Sea 𝑔:ℝ → ℝ, una función definida por 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4𝑥 + 7. ¿Para qué valor o valores de 𝑥 se verifica que 𝑔(𝑥) = 7 y 𝑔(𝑥) = 2

9) Para las siguientes funciones dadas por tablas, decidir cuáles son funciones y cuáles no.Explicar en cada caso.

10) Expresa si las siguientes ecuaciones representan una función o no. En caso de hacerlo, indica el correspondiente dominio. Justifica la respuesta.

2

3 2) ( ) b) g( ) c) h( ) d) ( ) ) ( )

3 1 4

x x xa f x x x i x x e j x

x x x

11) El costo del envío de paquetes postales de hasta de 12 kilos depende del peso del mismo. La tabla muestra la relación: peso del paquete-costo. Representa gráficamente.

12) La fórmula d(t )=50 − 5t 2 describe la caída de una piedra desde un edificio de 50 metros de altura, es decir la fórmula permite calcular la distancia de la piedra hasta el suelo después de t segundos. a) ¿A qué altura se encuentra la piedra después de 2 segundos? b) ¿En qué instante la piedra toca el suelo?

ALGUNOS TIPOS DE FUNCIONES:

Una función es creciente en un intervalo si para cualquier par de números 𝑥1 𝑦 𝑥2 del intervalo, se cumple que: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) < 𝑓(𝑥2).

Una función es decreciente en un intervalo si para cualquier par de números 𝑥1 𝑦 𝑥2 del intervalo, se cumple que: 𝑥1 < 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) > 𝑓(𝑥2).

Una función es constante en un intervalo si para cualquier par de números 𝑥1 𝑦 𝑥2 del intervalo, se cumple que: 𝑥1 ≠ 𝑥2 ⇒ 𝑓(𝑥1) = 𝑓(𝑥2).

56

Si una función f cumple con la condición: 𝑓(𝑥) = 𝑓(−𝑥) para todo x, se expresa que 𝒇es una función par. Por ejemplo:𝑓(𝑥) = 𝑥2, porque 𝑓(2) = 22 = 4 y 𝑓(−2) = (−2)2 = 4, entonces 𝑓(2) =𝑓(−2) y así se cumple para infinitos valores de 𝑥. Además, su gráfica es una parábola simétrica con respecto al eje y (ver gráfico de parábola)

Una función f se dice impar si 𝑓(𝑥) = −𝑓(−𝑥) para todo 𝑥.

Por ejemplo: 𝑓(𝑥) =1

𝑥 , porque 𝑓(2) =

1

2 y −𝑓(−2) = −

1

−2=1

2 entonces 𝑓(2) =

−𝑓(−2) y así se cumple para todo valor real de 𝑥.

FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD

DIRECTA: En el ejercicio 3 de la actividad anterior: La remisería “Villa Parque” cobra $20 por

cada km recorrido. Es decir a 0km, el costo es $0, a doble de kms recorridos le corresponde el

doble en el costo. Por eso decimos que el costo es proporcional a la distancia. La función que

los relaciona es una Función de Proporcionalidad directa.

Cuando las variables independiente y dependiente son directamente proporcionales, es decir,

cuando al aumentar la variable independiente, la dependiente también aumenta en la misma

proporción, son Funciones de Proporcionalidad Directa. Su gráfica es una recta que pasa por

el origen. Su fórmula general es 𝒇(𝒙) = 𝒎𝒙, donde m es una constante de proporcionalidad

Ejemplo: 𝑦 =1

4𝑥

En esta función vemos que para 𝑥 = 0, también 𝑦 obtendrá este valor. El punto de

coordenadas (0,0) pertenece a la recta. Asignando a 𝑥 otros valores, cualquier número real,

podremos obtener infinitos puntos de su gráfica, que es una recta. El dominio es 𝐷(𝑓) = ℝ

INVERSA: Cuando aumenta la variable independiente y la variable dependiente disminuye en la misma proporción, y cuando disminuye la variable independiente la variable dependiente aumenta en la misma proporción, entonces la función que las relaciona se dice que es de proporcionalidad inversa. Entonces, las variables independiente y dependiente son inversamente proporcionales

Las funciones de este tipo tienen la siguiente forma: 𝒇(𝒙) =𝒂

𝒙, siendo “𝒂” un coeficiente de

proporcionalidad. Su gráficaes una curva llamada hipérbola. El dominio es el conjunto formado por todos los números reales que no anulen el denominador.

El ejemplo más sencillo es 𝑦 =1

𝑥El dominio es 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ≠ 0}. Su gráfica es:

57

Tanto 𝑥 como 𝑦 nunca podrán tomar el valor cero.

ACTIVIDAD 2 13) Un tipo de pan cuesta por kilo $21,50. Si ponemos sobre la balanza 1500 gramos el

importe a pagar será $ 32.25. Qué tipo de función es? Justifica tu respuesta. Elabora una tabla con algunos pesos y precios, encuentra la fórmula que describe esta situación y representa en un sistema de ejes cartesianos.

14) Para cada uno de los siguientes problemas, indica las variables dependiente e independiente, el tipo de función, su Dominio e Imagen. Luego, obtiene una fórmula y el gráfico que las representan. a) Por cuatro horas de trabajo, Alberto ha cobrado $20. ¿Cuánto cobrará por 5 horas? b) Tres obreros descargan un camión en dos horas. ¿Cuánto tardarán 6 obreros? c) Trescientos gramos de queso cuestan $ 12. ¿Cuánto cuestan el kilo? d) Un camión, a 60 km/h, tarda 40 minutos en cubrir cierto recorrido. ¿Cuánto tardará un

coche a 120 km/h?

FUNCIÓN LINEAL

FUNCIÓN LINEAL

La representación gráfica de esta función es una recta

La función de Proporcionalidad Directa, 𝑦 = 𝑚𝑥es un tipo de función lineal donde 𝑏 = 0

La ordenada al origen es la ordenada del punto donde la gráfica de la función corta al eje

y. El punto (0;b) pertenece a la recta La pendiente es un número asociado a la inclinación de la recta La pendiente representa cuánto varía y , ya sea que aumente o disminuya, por cada

unidad que aumenta 𝑥. En la gráficapodemos observar que:

en la recta t cuando 𝑥 aumenta una unidad,𝑦 aumenta 2 unidades. 𝑚 = 2 y la ecuación es 𝑦 = 2𝑥

En la recta r cuando 𝑥 aumenta una unidad, 𝑦 disminuye 1 unidad. 𝑚 = −1 y la ecuación es 𝑦 = −1𝑥 o bien 𝑦 = −𝑥

En la recta s cuando 𝑥 aumenta una unidad no es fácil determinar el incremento de 𝑦. Avanzamos un poco más y vemos que cuando 𝑥 aumentó tres unidades 𝑦 aumentó 2.

Esto indica que por cada unidad de incremento de 𝑥, el aumento de 𝑦 es 3

2. Entonces

𝑚 =3

2 y la ecuación es 𝑦 =

3

2𝑥

Una función lineal, definida en ℝ, es aquella que a cada número real 𝑥le hace corresponder

otro número real que responde a la expresión:𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 o bien 𝑓(𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏, con mϵℝ

y b ϵ ℝ .A" b " se lo llama ordenada al origen y "𝑚" se la denomina pendiente

58

Si conocemos las coordenadas de dos puntos de una recta 𝑃1(𝑥1, 𝑦1) 𝑦 𝑃2(𝑥2, 𝑦2)podemos determinar el valor de su pendiente mediante la

fórmula: 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1=

Δ𝑦

Δ𝑥donde: Δ𝑦 representa la variación de 𝑦.

Δ𝑥representa la variación de 𝑥.

La figura de la derecha muestra que por cada unidad que aumenta 𝑥, el valor de 𝑦 aumenta 3 unidades. Si hacemos el cociente entre cualquier par puntos el valor de la pendiente es 3: 𝐴(3,14); 𝐵(2, 11); 𝐶(1,5); 𝐷(−1,2)

Considerando 𝐴 y 𝐵:𝑚 =11−14

2−3=−3

−1= 3Para 𝐴 y 𝐶: 𝑚 =

14−5

3−0=9

3= 3

Gráficas de rectas usando m y b Si conocemos la pendiente de la recta y la ordenada al origen, podemos graficar la recta. Por ejemplo, para graficar la recta y = −3x + 5 Se debe ubicar primero el valor de b (ordenada al origen) sobre el eje y, es decir el punto (0,5). (Siempre la ordenada al origen se la ubica en el en el eje y ). A partir de ese punto, como la

pendiente es −3 =−3

1se toma una unidad a la derecha y 3 unidades hacia abajo, así se obtiene

el punto (1,2). Si la pendiente es negativa se debe desplazar hacia abajo. Uniendo ambospuntos obtenemos la gráfica deseada.

59

El valor de la pendiente determina si la función es creciente, constante o decreciente.

Si 𝑚 > 0 la función lineal es creciente. Si 𝑚 < 0 la función lineal es decreciente. Si 𝑚 = 0 la función lineal es Constante. Si el valor de 𝑚 no existe, No estamos en presencia de una función.

Función Creciente Función Constante Función Decreciente No es Función ECUACIONES DE LA RECTA:

Ecuación Polinómica o Ecuación Implícita o General : A𝒙 + 𝑩𝒚+ 𝑪 = 𝟎 con A, 𝐵, 𝐶 ∈ ℝ.

Si despejamos 𝒚obtenemos 𝒚 = −𝑨

𝑩𝒙 −

𝑪

𝑩donde 𝑚 = −

𝑨

𝑩 y 𝑏 = −

𝑪

𝑩.

Ecuación Explícita: 𝒚 = 𝒎𝒙 + 𝒃 La ecuación de la recta que pasa por un punto y tiene pendiente conocida es

𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎 (𝒙 − 𝒙𝟏)

En efecto, sea 𝑦 = 𝑚 𝑥 + 𝑏 la ecuación de una recta y sea 𝑃(𝑥1, 𝑦1)un punto de ella. Como P pertenece a la recta verifica su ecuación, entonces: 𝑦1 = 𝑚 𝑥1 + 𝑏 . Si restamos miembro a miembro, obtenemos: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚 (𝑥 − 𝑥1). Esta es la recta que pasa por un punto y tiene una pendiente dada.

Ecuación de la Recta dados dos Puntos que pertenecen a ella. Sean𝑃1(𝑥1, 𝑦1) y 𝑃2(𝑥2, 𝑦2),

podemos calcular su pendiente como 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1 y la ecuación es:

𝒚 − 𝒚𝟏 =𝒚𝟐−𝒚𝟏𝒙𝟐 − 𝒙𝟏

(𝒙 − 𝒙𝟏)

Ecuación Segmentaria o Continua. Dados los puntos de intersección de la recta con los ejes

coordenados (𝑎; 0) 𝑦 (0; 𝑏) la ecuación es: 𝒙

𝒂+𝒚

𝒃= 1.

Casos Particulares

Si 𝑏 = 0 es 𝑦 = 𝑚𝑥, Su gráfica pasa por el origen de coordenadas.

Si 𝑏 = 0 𝑦 𝑚 = 1, la ecuación es 𝑦 = 𝑥 y se llama Función Identidad.

Si 𝑏 = 0 𝑦 𝑚 = 0 , la ecuación es 𝑦 = 0, se llama Función Nula.

Si 𝑚 = 0, la ecuación es 𝑦 = 𝑏, se llama Función Constante.

Relaciones entre las Rectas

Dos rectas son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales. La pendiente de r y de s son iguales: 𝑚𝑟 =: 𝑚𝑠

Dos rectas son perpendiculares si y sólo si la pendiente de una es la recíproca negativa

de la otra, o el producto de ambas es igual a 1 → 𝑚𝑡 = −1

𝑚𝑟.

60

INTERSECCIÓN ENTRE RECTAS

El problema geométrico de determinar el punto de intersección entre dos consiste en determinar las coordenadas del punto intersección o de corte entre ellas. Lo cual, es equivalente al problema algebraico de resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Se pueden presentar los siguientes casos: Que las rectas no tengan ningún punto en común (rectas paralelas no coincidentes). En el

ejemplo 1 se puede observar que las rectas 𝑦 = −𝑥 y 𝑦 = −𝑥 + 1 No tienen puntos comunes. El sistema es incompatible, no tiene solución

Que las rectas tengan un punto en común (rectas secantes). En el ejemplo 2 se ve que las

rectas 𝑦 = −𝑥 + 1 y 𝑦 = 𝑥 tienen en común el punto 𝑃 (1

2;1

2). En este caso decimos que

el sistema es compatible determinado, tiene solución única. Que las rectas son coincidentes. En las rectas del ejemplo 3,cuyas ecuaciones son

𝑥 + 𝑦 = 1y3𝑥 + 3𝑦 = 3, se puede observar, si despejamos la variable 𝑦en ambas ecuaciones, que las rectas se superponen, estos es, ambas ecuaciones se representan con la misma recta. Por lo tanto, la intersección es el conjunto infinito de puntos que pertenecen a cualquiera de ellas. El sistema es compatible indeterminado.

Sistemas de ecuaciones lineales

Analicemos ahora las ecuaciones lineales con dos incógnitas. Por ejemplo:2𝑥 − 𝑦 = 3 Encontrar una solución es dar un par de números que satisfagan la ecuación. La diferencia conlas ecuaciones lineales con una incógnita es que ahora tendremos infinitas soluciones. Notemosque si despejamos la incógnita 𝑦en la ecuación, obtenemos𝑦 = 2𝑥 − 3 Entonces para cada valor de 𝑥se obtiene un valor de 𝑦,y este par de númerosserá una solución. Por ejemplo los siguientes pares de números son soluciones de la ecuación: 𝑥 = 0 𝑦 = −3 ; 𝑥 = −1 𝑦 = −5 ; 𝑥 = 3 𝑦 = 3 Los puntos (0, −3); (−1,5); (3,3) son tres de las infinitas soluciones de esta ecuación

Para encontrar el punto de intersección entre dos rectas se debe despejar la variable y de ambas ecuaciones y graficar las rectas. La solución es el punto intersección de las rectas en el gráfico.Para resolver analíticamente se debe plantear un sistema dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x e y

61

En efecto, si reemplazamos estos valores en la ecuación 𝑦 = 2𝑥 − 3veremos que se satisface laigualdad: Un sistema de ecuaciones es un conjunto formado por una o más ecuaciones. Lo que caracterizaal sistema es que se busca una o más soluciones que sean soluciones de todas las ecuacionesplanteadas en el sistema. En esta sección estudiaremos sistemas de dos ecuaciones con dosincógnitas.

Por ejemplo: {2𝑥 − 𝑦 = 3𝑥 + 4𝑦 = −21

Resolución Para resolver un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se realizan distintas transformacionesque lo hagan más simple y faciliten su resolución. Se debe transformar el sistema en otro equivalente, es decir, en otro que conserve las mismas soluciones En este curso aprenderemos uno de los métodos más sencillos que consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar las expresiones resultantes y despejar la otra incógnita.

Dado: {2𝑥 − 𝑦 = 3𝑥 + 4𝑦 = −21

despejamos cualquiera de las dos incógnitas en ambas ecuaciones, por

ejemplo 𝑦, entonces obtenemos un sistema equivalente al dado ya que cada ecuación obtenida

es equivalente a las dadas: {𝑦 = 2𝑥 − 3

𝑦 =−21−𝑥

4

Ahora, si 𝑥 𝑒 𝑦 son las soluciones, el valor de 𝑦 en

ambas ecuaciones es el mismo, por lo tanto, si 𝑦 = 𝑦 entonces 2𝑥 − 3 =−21−𝑥

4 . Ha quedado

planteada una ecuación con una incógnita.

Despejando 𝑥, obtenemos: 𝑥 = −1 y reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones

dadas, obtenemos el valor de 𝑦. Obtenemos 𝑦 = −5

La solución es el par de números reales 𝑥 = −1 e 𝑦 = −5 que son las coordenadas del punto

de intersección 𝑃(−1,−5)

Una solución a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de números que son solución de ambas ecuaciones

ACTIVIDAD 3 15) Dadas las ecuaciones a) 𝑎) 𝑦 = −3𝑥 + 5 𝑏) 𝑦 = 4 𝑐) 𝑥 = −2 Responde:

a) Qué valor corresponde a la variable dependiente𝑦, cuando la variable independiente 𝑥 toma el valor (-1) en cada una de las ecuaciones. Muestre su respuesta en el gráfico.

b) Qué valor corresponde a la variable independiente𝑥, cuando la variable dependiente𝑦toma el valor 3 en cada una de las ecuaciones.

62

c) Obtiene las coordenadas de los puntos donde cada recta corta a los ejes coordenados d) Explique cómo encontró los valores pedidos.

16) Grafique las siguientes rectas en un mismo sistema de ejes cartesianos. Luego, analice y

obtenga conclusiones:

17) Obtenga la ecuación de la recta que pase por el punto dado y tenga la pendiente indicada: a) (3; 4), 𝑚 = 2 b) (1;−2), 𝑚 = 0 c) (−3; 5), 𝑚 = −2

d) (8; 0), 𝑚 = −2

3

e) (0; 0), 𝑚 = 5

18) Determinar las ecuaciones de las siguientes rectas, indique las pendientes y las ordenadas al origen

19) Obtenga la ecuación de la recta que pasa por los dos puntos dados:

𝑎) (−1; 2), (2;−1)𝑏) (1; 1), (−1;−1)𝑐) (3; 0), (0; −3)

20) Dos rectas paralelas a los ejes coordenados se intersecan en el punto (5; −7). ¿Cuáles son

sus ecuaciones?

𝑎) 𝑦 = 2 −1

2𝑥b) 𝑦 = 4 − 2𝑥 c)𝑦 = 2 −

1

2𝑥𝑑) 𝑦 = 4 − 2𝑥

𝑒) 𝑦 =1

2𝑥 − 2 f) 𝑦 =

2

3𝑥 − 2g) 𝑦 = −3𝑥 + 6 h) 𝑦 = −3𝑥 − 9

i) 𝑦 = 2𝑥 − 4 j) 𝑦 = −2𝑥 − 5 𝑘) 𝑦 = 2𝑥 − 1

63

21) Las rectas 𝑙1 y 𝑙2 son perpendiculares entre sí y se interceptan en el punto (−2;−6). 𝑙1

tiene pendiente igual a −2

5. Con la pendiente de 𝑙2 determine la ordenada al origen de esa

recta.

22) Toda recta horizontal es perpendicular a cualquier recta vertical. ¿Por qué se excluyeron esas del resultado que dice que las rectas son perpendiculares si y solo si sus pendientes son inversas y opuestas?

23) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

a){2𝑥 + 𝑦 = 13𝑥 + 2𝑦 = 4

b) {𝑥 − 2𝑦 = 52𝑥 − 4𝑦 = 0

c){−3𝑥 + 2𝑦 = −6

3 + 𝑦 =3

2𝑥

𝑑) {3𝑥 + 𝑦 = 73𝑥 − 5𝑦 = 1

24) Las siguientes son funciones lineales por trozos. Para representarlas debes tener en cuenta

el intervalo que corresponde a cada parte:

a) 𝑦 = {1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 3 2 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 < 43 𝑠𝑖 4 ≤ 𝑥 < 6

b) 𝑦 = {𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 < 02𝑥 − 1 𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 2−2𝑥 + 7 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2

c)𝑦 = {𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 00 𝑠𝑖 − 2 < 𝑥 < 0−𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −2

FUNCIÓN CUADRÁTICA

a ϵ ℝ es el coeficiente cuadrático, b ϵ ℝ es el coeficiente lineal y c ϵ ℝ es el término independiente. La representación gráfica es una parábola, cuyos elementos son:

A tener en cuenta Los ceros o raíces son los puntos donde la parábola corta al eje x. Las coordenadas se

obtienen haciendo y = 0 , es decir 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 . La solución de esta ecuación se obtiene mediante la aplicación de la fórmula de Baskara arrojando como soluciones 𝑥1; 𝑥2

La abscisa del vértice se puede obtener de dos maneras:

𝑥𝑣 =−𝑏

2𝑎 o bien 𝑥𝑣 =

𝑥1+𝑥2

2

Ademas 𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) de este modo el vertice tiene coordenadas 𝑉(𝑥𝑣 , 𝑦𝑣)

La ecuación del eje de simetría es 𝑥𝑣 =−𝑏

2𝑎

Para graficar Se debe determinar por lo menos tres puntos: las dos raíces y el vértice.

Vértice

Raíces o

ceros

Eje de simetría

Una función cuadrática, definida en ℝ, es aquella que a cada número real 𝑥le hace

corresponder otro número real que responde a la expresión 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎 ≠ 0

64

Ejemplo: Graficar 2( ) 5 6f x x x

Solución: La ordenada al origen es 6 , por lo tanto se sabe que el punto 0, 6 pertenece a

la función.

Para hallar el vértice de la parábola: 5

2 2v

bx

a

El valor vy puede encontrase reemplazando el valor vx obtenido en la función original.

25 5 5 25 25 25 50 24 49

5. 6 62 2 2 4 2 4 4

f

El vértice están en 5 49

,2 4

Ahora se calculan las raíces:

2

1,2

2 1

1,2

2

4

2

5 71

5 5 4 1 6 5 49 2

5 72 1 26

2

b b acx

a

x

x

x

Los ceros o raíces de la función están en 6,0 y 1,0 .Con estos tres puntos se puede

trazar la parábola:

ACTIVIDAD 4:

25) Dadas las siguientes funciones determina: Las coordenadas del vértice, La ecuación del eje de simetría, Las raíces, el dominio y La imagen.

a) 𝑦 = −𝑥2 − 6𝑥 − 14

b) 𝑦 = 2𝑥2 + 4𝑥 − 1

c) 𝑦 =1

2𝑥2 − 4𝑥 + 9

26) Encuentre la coordenada y de las funciones a) y b) del ejercicio anterior cuando la variable independiente toma el valor ¾. Encuentre la coordenada x de las funciones c) y d) del ejercicio anterior cuando la variable independiente toma el valor 6

27) Representar la función dada por los puntos de la siguiente tabla. Luego, Verificar que

responde a la ecuación 𝑦 =1

2𝑥2 +

1

2𝑥

y

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

x

-5

-10

-12,5

65

28) Dibujar las gráficas de las parábolas. Dar las coordenadas del vértice para cada caso

A) 𝑎) 𝑦 = 𝑥2 + 5 𝑏) 𝑦 = 𝑥2 − 5 𝑐)𝑦 = −𝑥2 − 5 𝑑)𝑦 = −𝑥2 + 5

B) 𝑑) 𝑦 = (𝑥 − 3)2 𝑒) 𝑦 = (𝑥 + 3)2 𝑓) 𝑦 = −(𝑥 − 2)2 𝑔) 𝑦 = −(𝑥 + 2)2 29) Dar la ecuación de la parábola de vértice (0,2) y que pasa por el punto (5,0).

30) Dar la ecuación de la parábola de vértice (2,3) y que pasa por el punto (3,5). ¿Cuál es el ejede

simetría?