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UNIDAD V

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

RESUMEN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Definición: Un sistema de ecuaciones son dos o más ecuaciones en dos o más variables que se resuelven

en forma simultánea y pueden tener una, varias o ninguna solución.

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales es aquel donde todas las ecuaciones del sistema son

ecuaciones lineales.

En el curso se tratarán dos casos particulares:

i. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, llamado Sistema 𝟐 × 𝟐, ii. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, llamado Sistema 𝟑 × 𝟑.

La solución de un Sistema 2 × 2, es una pareja ordenada4 que satisface ambas ecuaciones del sistema.

La solución de un Sistema 3 × 3, es una terna ordenada5 que satisface las tres ecuaciones del sistema.

Tipos de soluciones, Sistemas 2 × 2:

i. Solución única: Cuando las rectas se intersectan (vea Figura I).

ii. No hay solución: Cuando las rectas son paralelas (vea Figura II).

iii. Infinidad de soluciones (muchas soluciones): Cuando las ecuaciones representan a una misma

recta (vea Figura III).

Figura I Figura II Figura III

4 Ejemplos de parejas ordenadas: (𝑥, 𝑦), (𝑎, 𝑏), (𝑚, 𝑛), 𝑒𝑡𝑐. 5 Ejemplos de ternas ordenadas: (𝑥, 𝑦, 𝑧), (𝑎, 𝑏, 𝑐), (𝑝, 𝑞, 𝑟), 𝑒𝑡𝑐.

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Los métodos para resolver Sistemas 2 × 2, vistos en clase, son:

1) Método Gráfico

2) Método de Reducción ( de Eliminación o de Suma y Resta)

3) Método de Sustitución

4) Método de Igualación

5) Método por Determinantes (Cramer)

Para el caso de Sistemas 3 × 3, sucede algo análogo. En vez de rectas, en forma gráfica, se consideran

planos, vea las siguientes gráficas en 3 dimensiones.

En las figuras anteriores se muestra el mismo sistema de ecuaciones 3x3 visto desde diferentes ángulos.

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EJERCICIOS SOBRE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

I. SISTEMAS DE ECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

A. Resuelva los sistemas de ecuaciones por el método gráfico.

1. {𝑥 = 2

𝑥 + 3𝑦 = 5

2. {𝑦 = −1

3𝑥 + 𝑦 = 2

3. {𝑥 + 2𝑦 = 82𝑥 + 𝑦 = 7

4. {2𝑥 + 3𝑦 = 3

3𝑥 − 2𝑦 = 11

5. {4𝑥 + 5𝑦 = −15

8𝑥 + 10𝑦 = −30

6. {2𝑥 = −32−3𝑦 + 𝑥 = 5

7. {3𝑦 + 3𝑥 = −35 = 4𝑥 + 4𝑦

8. {3𝑥 = 6𝑦 + 18−7𝑦 = 4𝑥 − 9

9. {8𝑥 = −10 + 2𝑦

5𝑥 + 𝑦 = −4

10. {

𝑥

3−

𝑦

6= −

3

202 𝑦

3−

4 𝑥

3=

3

5

 

B. Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos de reducción y sustitución.

11. {3𝑎 + 3𝑏 = −3

4𝑎 + 𝑏 = 5

12. {

2

3𝑥 +

1

2𝑦 = 6

1

2𝑥 + 𝑦 = 7

13. {2𝑚 + 9𝑛 = 8

3𝑚 + 10𝑛 = 5

14. {4𝑥 + 2𝑦 = 62𝑥 + 𝑦 = 7

15. {4𝑥 + 3𝑦 = 106𝑥 + 9𝑦 = 21

16. {2𝑥 − 2𝑦 = −6

𝑥 − 𝑦 = −3

17. {5𝑝 − 4𝑞 = −135𝑝 = −4𝑞 − 7

18. {7 − 3𝑎 − 2𝑏 = 0

4𝑎 + 𝑏 = 8

19. {2𝑥 = 7𝑦 − 26

5𝑥 + 𝑦 = 9

20. {4𝑣 = 3𝑤 − 2

8𝑣 − 10 = −𝑤

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C. Resuelva los sistemas de ecuaciones por los métodos de igualación y determinantes.

21. {𝑥 + 𝑦 = 12𝑥 − 𝑦 = 2

22. {2𝑥 + 3𝑦 = 3

3𝑥 − 2𝑦 = 11

23. {2𝑥 + 9𝑦 = 8

3𝑥 + 10𝑦 = 5

24. {𝑥 + 3𝑦 = 42𝑥 − 𝑦 = 1

25. {4𝑥 + 5𝑦 = 0−2𝑥 − 𝑦 = 3

26. {3𝑥 − 7𝑦 = −2

4𝑥 − 3𝑦 =1

2

27. {5𝑥 = 2𝑦 − 2

4𝑥 = 20 − 2𝑦

28. {−2𝑥 − 4𝑦 = 22−7𝑥 − 5𝑦 = 32

29. {4𝑥 + 10𝑦 = 12−2𝑥 + 2𝑦 = 8

30. {2𝑥 + 5𝑦 = 25

−10𝑥 − 9𝑦 = −77

D. Resuelva los sistemas convirtiéndolos primero a su forma común y luego resuelva empleando cualquier método.

31. {𝑥+3𝑦

4+

𝑥

6=

−1

12

𝑥 + 4𝑦 = 2

32. {2𝑥+1

5=

𝑦

4

2𝑥 − 3𝑦 = −8

33. {𝑥

2−

𝑥−𝑦

3= −

1

2

𝑥 + 4 = −1

34. {

2(𝑥+4)

2−

𝑦

2=

9

2

𝑥 − 2𝑦 − (𝑥 −2

3) = −

4

3

35. {

2𝑥−1

2−

𝑦−3

3=

11

6−2𝑥

5+

𝑦−1

10= −

5

6

36. {

3𝑥−2𝑦

3+ 4𝑦 =

13

32(−2𝑦+𝑥)

3−

3𝑥

2= −

13

6

37. {

𝑥+𝑦

𝑥−𝑦=

−2

7

8𝑥+𝑦−1

𝑥−𝑦−2= 2

38. {

5 𝑥−3 𝑦

4+ 3 𝑦 = 7

5 (−4 𝑦+𝑥)

5−

3 𝑥

6= −7

 

39. {2(𝑥+𝑦)

3− 𝑦 = −3

3(𝑥 − 𝑦 + 5) + 3𝑥 = 12

40. {7𝑥−9𝑦

2−

2𝑥+4

2= −5

2(𝑥 − 1 + 𝑦) = −10

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E. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones con coeficientes literales por dos métodos diferentes.

41. {𝑥 + 𝑦 = 𝑎 + 𝑏𝑥 − 𝑦 = 𝑎 − 𝑏

42. {𝑥 − 𝑦 = 𝑎

𝑥 − 2𝑦 = −3𝑎

43. {2𝑥 + 𝑦 = 𝑏 + 2

𝑏𝑥 − 𝑦 = 0

44. {𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 + 𝑏

3𝑏𝑥 − 2𝑎𝑦 = 3𝑎 − 2𝑏

45. {2𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 2𝑎2

𝑥 + 𝑦 = 3𝑎 − 𝑏

46. {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑐

47. {𝑎𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑐𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑑

48. {𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑎2 + 𝑏2

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑎2𝑏 + 𝑎𝑏2

49. {𝑎𝑏𝑥 − 𝑏𝑦 = 𝑏 − 1

𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 = 𝑎 + 𝑏

50. {

𝑥

𝑎+ 𝑦 = 2𝑏

𝑥

𝑏− 𝑦 = 𝑎 − 𝑏

II. ECUACIONES FRACCIONARIAS QUE PUEDEN HACERSE LINEALES

A. Resuélvase para 𝟏

𝒙 y para

𝟏

𝒚, después para 𝒙 y para 𝒚, los siguientes sistemas.

51. {

1

𝑥+

1

𝑦= 7

3

𝑥+

2

𝑦= 16

52. {

1

𝑥+

1

𝑦=

−7

12

2

𝑥+

1

𝑦= −

11

12

53. {

2

3𝑥+

1

2𝑦= 6

1

2𝑥+

1

𝑦= 7

54. {

3

𝑥−

2

𝑦=

1

2

2

𝑥+

5

𝑦=

23

12

55. {

1

2𝑥−

1

3𝑦= 0

1

𝑥+

2

3𝑦= 8

56. {

1

𝑥+

2

𝑦=

7

6

2

𝑥+

1

𝑦=

4

3

57. {

2

𝑥−

3

𝑦=

−3

2

5

𝑥+

1

𝑦=

23

12

58. {

2

𝑥−

1

𝑦= 1

2

𝑥+

1

𝑦= 11

59. {

5

𝑥+

4

𝑦= 7

7

𝑥−

6

𝑦= 4

60. {

12

𝑥+

5

𝑦= −

13

2

18

𝑥+

7

𝑦= −

19

2

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III. SISTEMAS DE ECUACIONES CON TRES INCÓGNITAS

A. Resuelva las ecuaciones siguientes para 𝐱, 𝐲, 𝐳. Cada una por los métodos de reducción

(suma y resta) y determinantes

61. {

𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 82𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3

3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 6

62. {

𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 73𝑥 + 6𝑦 − 𝑧 = −12𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 6

63. {

𝑥 + 2𝑦 − 6𝑧 = −7𝑥 − 𝑦 − 2𝑧 = 6

𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = 4

64. {

2𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = −9𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 12

3𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 13

65. {

3𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = 20𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = −32𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 9

66. {5𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = −4

3𝑥 + 3𝑦 + 8𝑧 = −112𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 = −11

67. {2𝑥 − 𝑦 = 11

2𝑥 + 5𝑦 + 4𝑧 = −33𝑥 + 5𝑧 = 17

68. {2𝑥 + 3𝑦 = 9

4𝑥 − 2𝑧 = −2 4𝑦 + 3𝑧 = 25

)

69. {

𝑥 + 4𝑧 = 3𝑦 + 3𝑧 = 9

2𝑥 + 5𝑦 − 5𝑧 = −5

70. {

2𝑥 + 𝑦 = 182𝑦 + 2𝑧 = −2

3𝑥 − 2𝑦 − 5𝑧 = 38

IV. PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A SISTEMAS LINEALES 2x2

Resuelva los siguientes problemas incluyendo el sistema de ecuaciones para resolverlos.

PROBLEMAS SOBRE NÚMEROS

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

Las cifras o dígitos son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Ejemplos: 8 tiene una cifra (un dígito); 35 tiene dos cifras (dos dígitos); 527

tiene tres cifras (tres dígitos)

Estructura de un número, ejemplos:

324 = 3 ∙ 100 + 2 ∙ 10+4

58 = 5 ∙ 10 + 8

7310 = 7 ∙ 1000 + 3 ∙ 100 + 1 ∙ 10 + 0

71. La suma de dos números es el doble que su diferencia. El número más grande es el doble

del menor más 6.

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72. Un número es 5 unidades mayor que el triple de un segundo número. Encuentra esos

números, si la suma de ellos es de 77 unidades.

73. Un número es 15 unidades mayor que otro. ¿Cuáles son esos números, si su suma es

193?

74. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 7. Cuando los dígitos se

intercambian, el número se incrementa en 27. Hallar el número.

75. Se tiene un número de dos dígitos, la suma de sus dos dígitos es 11, el dígito de las

decenas es menor en 5 que el de las unidades.

PROBLEMAS ACERCA DE PRECIOS

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

Ejemplos de precios unitarios (o tasas):

Pago de entrada de un niño, tasa de $1.50 por niño, se representa $1.50

1 niño

Pago por una caja de fresa: tasa de $7 por caja, se representa $7

1 caja

Cálculos con precios unitarios:

Si hay 5 niños el pago por todos es de 5 niños ∙$1.50

1 niño= $7.50

Por 4 cajas de fresa hay que pagar 4 cajas ∙$7

1 caja= $28

76. La cuota de entrada a un parque de diversiones es de $1.50 por niño y $4 por adulto.

Cierto día, 2200 personas entraron al parque, y se recibieron $5,050 de entradas.

¿Cuántos niños y cuántos adultos entraron?

77. En el puesto de un mercado se venden dos variedades de fresas: la estándar y la de lujo.

Una caja estándar de fresas se vende en $7, y una caja de fresas de lujo se vende en $10.

Un día el puesto vende 135 cajas de fresas por un total de $1,110. ¿Cuántas cajas de cada

tipo se vendieron?

78. Un grupo de 6 adultos y 12 niños pagaron en total $900 por sus boletos de viaje. Otro

grupo de 4 adultos y 16 niños pagaron en total también $900. ¿Cuál es el costo de un

boleto para niño, y de un boleto para adulto?

79. Los boletos para un concierto se vendieron en dos días. El viernes se vendieron 200

boletos de la sección A y 350 de la sección B, por $7200. El sábado se vendieron 250

boletos de la sección A y 500 de la sección B, por $9750. ¿Cuál fue el precio de cada tipo

de boleto?

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80. Dos estudiantes tuvieron un ingreso de $690 por concepto de venta de dulces a razón

de $1.50 el paquete y de nueces a razón de $1.00 la bolsa. Originalmente habían gastado

$407.50, pagando el paquete de dulces a $1.00 cada uno y la bolsa de nueces a $0.50

cada una. ¿Cuántos paquetes de dulces y cuántas bolsas de nueces vendieron?

PROBLEMAS ACERCA DE PORCENTAJES Y MEZCLAS:

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas.

Significado de multiplicar por una fracción o decimal. 1

2∙ 8 quiere decir, la mitad de ocho,

1

2∙ 8 = 4 (compruébalo en tu calculadora)

1

5∙ 20 quiere decir, la quinta parte de veinte,

1

5∙ 20 =

20

5= 4

3

4∙ 20 quiere decir, las tres cuartas partes de veinte,

3

4∙ 20 =

20

4∙ 3 = 5 ∙ 3 = 15

1

10∙ 450 quiere decir, la décima parte de 450,

1

10∙ 450 =

450

10= 45

0.1 ∙ 450 también quiere decir, la décima parte de 450, 0.1 ∙ 450 =450

10= 45

(compruébalo en tu calculadora) 15

100∙ 300, quiere decir, quince centésimos de 300, o quince porciento de 300,

300

100∙ 15 = 45

0.15 ∙ 300, también quiere decir, quince centésimos de 300, también quiere

decir quince porciento de 300.

Otra manera de representar es 15% ∙ 300 = 45. (15

100= 0.15 = 15%).

En general, se tiene la relación a% ∙ b = c, en la cual, si se conocen dos

cantidades se conoce la tercera.

Si se conocen b, c entonces a% =c

b .

Si se conocen a%, c entonces b =c

a%.

81. Como producto de dos inversiones una persona recibe anualmente $302.55.Una de las

inversiones produce 4 por ciento y la otra 3 por ciento. Si las inversiones se

intercambiaran una por otra ganaría $280.90. ¿A cuánto asciende cada inversión?

82. Un tabernero eleva la cantidad de alcohol de un licor, que contiene 10% de alcohol,

añadiendo una solución de 70% de alcohol, el resultado en un licor que tiene una

concentración de 16%, llena 1000 botellas de a litro. ¿Cuántos litros de licor (10%) y

cuántos de solución de alcohol (70%) usó?

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83. Un químico tiene dos contenedores grandes para soluciones de ácido sulfúrico, cada

contenedor tiene una concentración diferente de ácido. Se mezclan 300 ml de la primera

solución y 600 ml de la segunda y se obtiene una mezcla que es de 15% de ácido, pero si

se mezclan 100 ml de la primera con 500 ml de la segunda da una concentración de

12.5 % de ácido sulfúrico. ¿Cuáles son las concentraciones de los contenedores

originales?

84. Se mezclaron dos tipos de solución; una al 15% de ácido y la otra al 8% de ácido, para

producir 40 litros de solución al 10.8% de ácido. ¿Cuántos litros de cada tipo de solución

se usaron?

85. Un comerciante mezcla tabaco de cierta calidad y precio de $28 por kilogramo con otro

de precio $36 por kilogramo y obtiene 100 kilogramos de una mezcla que vende a $31.20

por kilogramo. ¿Cuánto usó de cada clase de tabaco?

PROBLEMAS DE MOVIMIENTO

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

Si 𝑑 es la distancia, 𝑣 es la velocidad (o tasa) y 𝑡 es el tiempo, con sus unidades

consistentes, es decir, si la velocidad son 𝑘𝑚

ℎ la distancia debe estar en 𝑘𝑚 y el

tiempo en ℎ.

La relación entre estos tres conceptos es: 𝑑 = 𝑣𝑡 o 𝑣 =𝑑

𝑡 o 𝑡 =

𝑑

𝑣, siempre que

sea posible hay que trabajar con la primera (sin denominador).

Si la velocidad de un avión sin viento es 𝑣𝑎 y tiene un viento en contra 𝑣𝑣, la

velocidad del avión será 𝑣𝑎 − 𝑣𝑣, si tiene el viento a favor 𝑣𝑎 + 𝑣𝑣

86. Dos aeropuertos, A y B, están a 1,800 km uno de otro y B está situado al este de A. Un

avión voló en 4 horas de A a B y luego regresó a A en 41

2 horas. Si durante todo el viaje

estuvo soplando viento del oeste a velocidad constante, encontrar la velocidad del avión

en el aire en reposo y la velocidad del viento.

87. Un piloto voló una avioneta entre dos poblaciones, separadas por 180 millas, como el

viento estuvo en contra, tardó 2 horas. De regreso, el viento estuvo soplando a la misma

velocidad, así que el viaje le tomó sólo 1.2 horas, ¿cuál sería la velocidad de la avioneta

sin viento, y cuál fue la velocidad del viento?

88. Un piloto vuela 1760 kilómetros hacia el norte y luego regresa a su punto de partida.

Durante todo el viaje sopló viento del norte con velocidad constante. Determínese la

velocidad del avión, relativa al aire y la velocidad del viento, sabiendo que en el viaje de

ida empleó cuatro horas veinticuatro minutos y en .el viaje de regreso tan sólo cuatro

horas.

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89. Para su rutina de ejercicio, Cynthia anda media hora en bicicleta y luego media hora en

patines. Cynthia anda en bicicleta a una velocidad que es dos veces la velocidad a la que

anda en patines. Si la distancia total cubierta es de 12 km, determina la velocidad a la

que ella anda en bicicleta y a la que anda en patines.

90. Una tripulación rema 28 km en 13

4 horas río abajo y 24 km en 3 horas río arriba. Hallar

la velocidad del bote en agua tranquila y la velocidad del río.

PROBLEMAS DE TRABAJO

Algunos conocimientos necesarios para comprender estos problemas

En estos problemas hay que pensar la fracción de trabajo que se hace en una

hora, por ejemplo si una pared se pinta en 11 horas, se pinta a una tasa de 1

11

de pared cada hora, en 8 horas se pinta 8 ∙1

11=

8

11 de pared. Si una alberca se

llena con una bomba en 7 horas, se llena a una tasa de 1

7 de alberca por hora,

en 3 horas se tiene 3 ∙1

7=

3

7 de alberca llena. Establecidas las fracciones, la

suma debe ser uno, para el trabajo completo o para la alberca llena.

91. Un agricultor con un tractor grande y su ayudante con un tractor chico pueden arar

juntos un terreno en 51

3 horas, también pueden arar el campo si el agricultor trabaja 6

horas solo y luego el ayudante trabaja solo durante 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarán el

terreno trabajando solos sin ayuda?

92. Dos hermanos cortan el césped de un cierto terreno en 2 2/9 horas. En una ocasión el

hermano mayor trabaja solo durante 3 horas y luego el otro hermano termina el trabajo

en 1 ¼ horas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada muchacho hacer todo el trabajo él solo?

93. Un chofer y su ayudante pueden descargar un tráiler juntos en 2 horas, si el ayudante

trabaja sólo durante 3 horas, el chofer puede terminar de descargar, sólo, en 11

2 horas.

¿Qué tiempo emplearían en descargar el tráiler cada uno sólo?

94. Alicia y Beatriz trabajaron juntas cinco horas, logrando realizar en este tiempo la mitad

del trabajo que pensaban presentar en una exposición. La tarde siguiente Alicia trabajó

sola durante dos horas, luego se le unió Beatriz y juntas terminaron en cuatro horas más.

¿Cuánto tiempo le hubiera tomado a cada una hacer sola ese trabajo?

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95. Si una bomba A trabaja durante 8 minutos y otra bomba B durante 15 minutos, pueden

llenar una alberca. Además, si la bomba A trabaja 12 minutos y la bomba B 10 minutos,

también pueden llenar la alberca. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada bomba llenar la

alberca?

V. PROBLEMAS QUE DAN ORIGEN A SISTEMAS LINEALES DE 3X3

Resuelva los siguientes problemas incluyendo el sistema de ecuaciones para resolverlos.

96. CULTIVO DE BACTERIAS. Una bióloga ha colocado tres cepas bacterianas (denotadas por

I, II y III) en un tubo de ensayo, donde serán alimentadas con tres diferentes fuentes

alimenticias (A, B y C). Cada día 400 unidades de A, 600 de B y 600 de C se colocan en el

tubo de ensayo, y cada bacteria consume cierto número de unidades de cada alimento

por día, como se muestra en la tabla. ¿Cuantas bacterias de cada cepa pueden coexistir

en el tubo de ensayo y consumir todo el alimento?

CEPA BACTERIANA I CEPA BACTERIANA II CEPA BACTERIANA III

Alimento A 1 2 0

Alimento B 2 1 1

Alimento C 1 1 2

97. NUTRICIÓN. Un médico recomienda que su paciente tome diariamente 50 mg de

niacina, de riboflavina y de tiamina, para aliviar una deficiencia vitamínica. En su maletín

de medicinas en casa, el paciente encuentra tres marcas de píldoras de vita- mina. Las

cantidades de las vitaminas relevantes por píldora se dan en la tabla siguiente. ¿Cuántas

píldoras de cada tipo debe tomar a diario para obtener 50 mg de cada vitamina?

Vitamax Vitron VitaPlus

Niacina (mg) 5 10 15

Rivoflavina (mg) 15 20 0

Tiamina (mg) 10 10 10

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98. DISTANCIA, VELOCIDAD Y TIEMPO. Amanda, Bryce y Corey entran a una competencia en

la que deben correr, nadar y andar en bicicleta en una ruta marcada. Sus magnitudes de

velocidad promedio se dan en la siguiente tabla. Corey termina primero con un tiempo

total de 1h 45 min. Amanda llega en segundo lugar con un tiempo de 2h 30 min. Bryce

termina al último con un tiempo de 3 h. Encuentre la distancia (en millas) para cada parte

de la carrera.

Promedio de velocidad (mi/h)

CORRER NADAR BICICLETA

Amanda 10 4 20

Bryce 7 1/2 6 15

Corey 15 3 40

99. ELECTRICIDAD. Mediante el uso de las Leyes de Kirchhoff, se

puede demostrar que las corrientes I1, I2 e I3 que pasan por las

tres ramas del circuito de la figura satisfacen el sistema lineal

dado. Resuelva el sistema para hallar el valor de I1, I2 e I3.

{

𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼3 = 06𝐼1 − 8𝐼2 = 4

8𝐼2 + 4𝐼3 = 5

100. CORRIENTES ELÉCTRICAS. En la figura se muestra el diagrama de un circuito eléctrico que

contiene tres resistores, una batería de 6 volts y una batería de 12 volts. Se puede

demostrar, usando las Leyes de Kirchhoff, que las tres corrientes, I1, I2 e I3 son

soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

{

𝐼1 − 𝐼2 + 𝐼3 = 0𝑅1𝐼1 + 𝑅2𝐼2 = 6

𝑅2𝐼2 + 𝑅3𝐼3 = 12

Encuentre las tres corrientes si:

a. R1 = R2 = R3=3 ohms.

b. R1 = 4 ohms, R2 = 1 ohm y R3 = 4 ohms.

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101. GASOLINA. Una gasolinera vende tres tipos de gasolina: Regular en $3.00 el galón,

Performance Plus en $3.20 el galón y Premium en $3.30 el galón. En un día particular se

vendieron 6500 galones de gasolina para un total de $20,050. Se vendieron tres veces

más galones de gasolina Regular que de Premium. ¿Cuántos galones de cada tipo de

gasolina se vendieron ese día?

102. AGRICULTURA. Un agricultor tiene 1200 acres de tierras en las que produce maíz, trigo y

frijol de soya. Cuesta $45 por acre producir maíz, $60 producir trigo y $50 producir frijol

de soya. Debido a la demanda del

mercado, el agricultor producirá el

doble de acres de trigo que de maíz.

Ha asignado $63,750 para el costo de

producir sus cosechas. ¿Cuántos acres

de cada cultivo debe plantar?

103. AJUSTE DE CURVAS I. Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:

A(−2,0), B(0,2) y C(−4,2). Es preciso aclarar que una circunferencia tiene la ecuación

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 y que el sistema de ecuaciones que resuelven este problema

se pueden generar sustituyendo las componentes de cada punto en esta expresión.

Una vez que hayas calculado el valor de los coeficientes D, E y F, grafica la ecuación

resultante usando algún software (Geogebra, Derive, etc.) para corroborar tus

resultados.

104. AJUSTE DE CURVAS II. Encuentra la ecuación de la parábola vertical que pasa por los

puntos: A(1, −1), B(2,3) y C(3,15). Recuerda que una parábola vertical tiene la

ecuación y = ax2 + bx + c y que el sistema de ecuaciones que resuelven este problema

se puede generar sustituyendo las componentes de cada punto en esta expresión.

Una vez que hayas calculado el valor de los coeficientes a, b y c, grafica la ecuación

resultante usando algún software (Geogebra, Derive, etc.) para corroborar tus

resultados.

105. LLENAR UNA PISCINA. Una piscina puede ser llenada por tres tubos, A, B y C. El tubo A

por sí solo puede llenar la piscina en 8 horas. Si los tubos A y C se usan juntos, la piscina

se puede llenar en 6 horas; si el B y el C se usan juntos, tardan 10 horas. ¿Cuánto tiempo

tarda en llenarse la piscina si se usan los tres tubos?